Ôn tập Toán lớp 10

TÀI LIỆU DẠY ÔN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10
ÔN PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải phương trình :
a)
3 2 1 2x x− = −
b)
2
3x 9x 1 x 2− + = −
c)
2
x + 3 + x + 3x = 0
d)
2
x 2x 4 2 x− − = −
e)
01-2-5-
2
=xxx
f)
452
22
−=−
xxx
g)
2 2
x 20x 9 3x 10x 21− − = + +
h)
2
-x + 4x + 2 = 2x
i)
2

x - 2 = x + x - 6

Bài 2 : Giải bất phương trình sau:
a) 7x
2
– 4x – 3
≤
0 b) 2x
2
+ 8x + 11
≥
0
c) 81x
2
+ 36x + 4 < 0 d) -5x
2
+ 19x + 4 >0
e) 2x(3x – 5) > 0 f) (2x – 3)(4 - 3x )(5x + 2) < 0
g) (x – 2)
2
(x – 7)
≥
0 h) (3x
2
+ 7x)(9 – x
2
) > 0
i) (1- 2x)(x+3) + 3x -1
≤
(1- x)(x+3) + x

2
– 5
Bài 3 : Giải bất phương trình sau:
a)
2 2
2 1
2 5 3 9x x x
>
− + −
. b)
2
4 3
1
3 2
x x
x
x
− +
< −
−
c)
1 5
1 2x x
≥
+ +
d)
3
81
4
2

2
15 xxx
−
≥
−
−
+
e)
2
12
31
−<
+
−
x
x
f)
0
1
44
2
2
≤
−
++
x
xx
g)
1
2

43
>
−
−
x
x
h)
3
1
76
52
2
−
<
−−
−
x
xx
x

Bài 4 : Giải các bất phương trình sau :
a) |5x – 3| < 2 b) |3x – 2| ≥ 6
c)
212
+≤−
xx
d)
3273
+>+
xx

e)
0≥1-2-2
2
xxx +
f)
2
x 6 x 5x 9− > − +
g)
2
2x + 2 = x - 2x - 3
h) 2x
2
– 3x – 15  ≤ –2x
i)
x + 3 - 2x > x +1 -1
j)
xxx
<−−+
614
2
k)
2
2
10x - 3x - 2
> 1
x - 3x + 2
l)
2
2x -1 2x - 5x + 2≤

Bài 5 : Giải các bất phương trình sau :
a)
1532
2
−<−−
xxx
b)
171
22
>+−+
xx

c)
2
3x - 9x +1 x - 2≤
d)
2
x - 5x + 4 2x + 2≤

e)
xxx -5≥12-
2
+
f) l) x – 6 +
0≤127-
2
+xx

g)
2 2

2x - x + 6x -12x + 7 < 0
h)
2 2
(3x + 2) x -1 + x -1 0≤
Bài 6 :Giải các phương trình sau :
1 Nguyễn Công Mậu
TI LIU DY ễN Hẩ CHO HC SINH HC XONG LP 10
a)
2
x 1 x 2x 3+ =
; b)
2 2
x 2 x 3x 11 3x 4+ + = +

c)
2
3x 9x 1 x 2 + =
; d)
1224
2
++=+
xxx
e)
2
x 3x 2 x 2 + = +
; f)
2
-x + x -1 = 2x + 5
Bi 7 : Gii bt phng trỡnh sau :
a)

2
x 5x 6 x 2+ < +
; b)
52
2
+
xxx

c)
2 2
x 3x 2 x 2x + + >
; d)
2 2
x x 2x 4+ + <
e)
2
x 4x x 2 +
; f)
2
8 2x x 3x 6+ +

Bi 8 : Gii cỏc bt phng trỡnh sau :
a)
2
x 6x 5 8 2x + >
; b)
2 2
2x 3x 15 2x 8x 6

c)

9x + 3x - 2 10
Bi 9 : Tỡm tham s m cỏc phng trỡnh sau:
a) x
2
(m + 2)x m 2 = 0 vụ nghim .
b) 3x
2
2(m + 5)x + m
2
4m + 15 = 0 cú nghim .
c)
2
x 2(m 1)x m 7 0 + + + =
cú nghim .
d)
2
(m 2)x 3x m 1 0+ + =
cú 2 nghim phõn bit .
e) (2 + m)x + 2mx +2m 3 = 0 vụ nghim .
f)
023
22
=+ mxx
vụ nghim .
h) (m 2)x
2
2mx + 2m 3 = 0 cú hai nghim cựng du .
i)
012
2

=+
mxx
cú 2 nghim phõn bit .
k) mx
2
2(m 1)x + 4m 1 = 0 cú 2 nghim phõn bit .
l)
( ) ( )
052121
2
=+++
mxmxm
cú 2 nghim õm phõn bit .
m)
( )
2 2
2x 2 m 2 x 3 4m m 0+ + + + + =
cú nghim .
n)
( )
( )
2 2 2
m 1 x 2 m 2 x 5 7m 2m 0 + + + + =
cú hai nghim trỏi du .
o)
2 2
(m 4m 5)x 2(m 1)x 3 0 + =
cú 2 nghim trỏi du .
p) x
2

6mx + 2 2m + 9m
2
= 0 cú 2 nghim dng phõn bit .
q) (2+m)x + 2mx + 2m 3 = 0 cú 2 nghim dng .
r)
2
x + x - 3 = x + m
cú nghim
Bi 10 : Cho f(x) = mx
2
2mx+1. Tỡm m :
a) Phng trỡnh f(x) = 0 cú nghim.
b) Bt phng trỡnh f(x) > 0 cú nghim vi mi x thuc R.
c) Phng trỡnh f(x) = 0 cú 2 nghim phõn bit cựng du.
Bài 11 : Cho f(x) =
2
( 1) 4 4m x x m + +

a) Tìm
m
để phơng trình f(x) = 0 có nghiệm.
b) Với giá trị nào của
m
thì phơng trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Tìm m để f(x) < 0 với mọi x R.
Bi 12 : Cho biu thc:
2
( ) 4 3 2f x mx mx m= + +
2 Nguyn Cụng Mu
TÀI LIỆU DẠY ƠN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10

a) Tìm m để f(x) = 0 có nghiệm.
b) Tìm m để f(x) > 0 với mọi số thực x.
c) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
Bài 13 : Cho f(x) = (m - 1)x
2
- 2(m - 1)x - 1.
a) Tìm m để f(x) = 0 có nghiệm.
b) Tìm m để f(x) < 0 với mọi x ∈ R.
c) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm dương.
Bài 14 : Tìm m để bất phương trình x
2
+ 2mx + 3m < 0 vơ nghiệm
Bài 15 :
a) Tìm m để pt:
2
x 2(m 1)x 4 0− + − =
có 2 nghiệm
1 2
x , x
thỏa
2 2
1 2
x x 24+ ≥
.
b) Tìm m để pt:
2
x (2m 3)x 3 0− + − =
có 2 nghiệm
1 2
x , x

thỏa
2 2
1 2 1 2
x x x x 34+ − <
.
ƠN BẤT ĐẲNG THỨC-GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
A.PHẦN BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC :
Bài 1:
∀
a,b,c
∈
R , chứng minh:
cabcabcba
++≥++
222
.
Bài 2:
∀
a,b
∈
R , chứng minh:
22
22
2
baba
+
≤







+
. Từ đó suy ra :
22
44
4
baba
+
≤






+
Bài 3:
∀
a,b,c,d
∈
R , chứng minh:
( )( )
2222
dcbabdac
++≤+
.
Bài 4:
∀

a >0 ,chứng minh:
122
+<++
aaa
Bài 5: Cho
a
≤
1 và
b
≤
1. Chứng minh:
abba
+≤+
1
Bài 6: Cho a,b,x,y là bốn số dương. Chứng minh rằng:
(ax + by)(bx + ay)
≥
(a+b)
2
xy
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a+b = 2 thì :
33
ba
+
44
ba
+≤
Bài 8:
∀
a,b,c,d

≥
0 . Chứng minh:
bdacdcba
+≥++
))((
Bài 9: Cho a,b có a+b
≥
0 ,chứng minh rằng :
22
33
3
baba
+
≤






+
Bài 10:
∀
a,b,c,d
∈
R , chứng minh:
a)
( )( )
( )
2

2222
bdacdcba
−≤−−

3 Nguyễn Cơng Mậu
PHƯƠNG PHÁP 1:DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
* a
2n

≥
0 ; * a
≥
0 & b
≥
0
⇒
a + b
≥
0 và ab
≥
0
* a
≥
b
⇔
a-b
≥
0 ; * a
≥
b & b

≥
c
⇒
a
≥
c
* a
≥
b
⇔
a
±
c
≥
b
±
c ; * a
≥
b & c
≥
d
⇒
a + c
≥
b + d
* a
≥
b
⇔
ac

≥
bc nếu c > 0 ; * a
≥
b
⇔
ac
≤
bc nếu c < 0
* a
≥
b> 0 thì
ba
11
≤
; * a
≥
b
1212
+
≥
+
⇒
n
b
n
a
* a
≥
b
≥

0





≥
≥
⇒
nn
nn
ba
ba
22
22
; * 0
≤
a
≤
1
⇒
a
n+k

≤
a
n
; với k
*
N

∈
TÀI LIỆU DẠY ƠN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10
b)
( )( )
( )
2
2222
bdacdcba
−≥++

Bài 11: Chứng minh:
∀
a,b > 0 , ta có:
ab
ba
≤
+
11
2
Bài 12: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: a
3
+ b
3

≥
a
2
b + ab
2
Bài 13: Chứng minh

∀
a
∈
R thì:
a)
2
1
2
2
2
≥
+
+
a
a
; b)
2
1
1
4
2
≤
+
x
x
Bài 14:
∀
a,b,c,d,e
∈
R , chứng minh:

( )
edcbaedcba
+++≥++++
22222

Bài 15 : Cho a + b =2.Chứng minh BĐT : a
4
+b
4

≥
2.
Bài 16: Chứng minh rằng :nếu 0 < x
≤
y
≤
z thì ta có :
)(
11
)(
111
zx
zx
zx
yzx
y
+







+≤++






+
Bài 17: Cho a,b >0 .Chứng minh rằng :
ba
a
b
b
a
+≥+
Bài 18: Cho a,b,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn
[ ]
1;0
.Chứmg minh rằng :
a
2
+b
2
+c
2

≤

1+a
2
b+b
2
c+c
2
a.
Bài 19: Cho ab
≥
1.Chứng minh rằng :
abba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
Bài 20: Cho x,y,z > 0. Chứng minh rằng :
)(3
222222
zyxxzxzzyzyyxyx
++≥++++++++
Bài 21: Cho
cbca

≥≥≥
&0
,chứng minh rằng :
abcbccac
≤−+−
)()(
Bài 22: Chứng minh rằng : với mọi a,b,c,d ta có :

222222
)()( dbcadcba
+++≥+++
Bài 23: Cho a + b = 2 .Chứng minh rằng :
4455
baba
+≥+
Bài 24: Cho
cba
<<<
0
.Chứng minh rằng :
)()()(
223223223
bacacbcba
−+−+−
< 0
Bài 25: Cho x,y,z > 0 thoả mãn
4
111
=++
zyx

.Chứng minh rằng :
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++
zyxzyxzyx
4 Nguyễn Cơng Mậu
PHƯƠNG PHÁP 2: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI.
Cho n số không âm a
1
,a
2
,… a
n
.Ta có BĐT :

n
n
aaa
n
n

aaa
.....
2
.
1
...
21
≥
+++
dấu dẳng thức xảy ra khi a
1
=a
2
=…= a
n
TÀI LIỆU DẠY ƠN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10
Bài 1:
∀
a,b,c
≥
0 . Chứng minh: (a+b)(b+c)(c+a)
≥
8abc
Bài 2:
∀
a,b
≥
0 . Chứng minh: (a+2)(b+2)(a+b)
≥
16ab

Bài 3: Cho a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
là n số dương thoả mãn điều kiện: a
1
a
2
a
3
…a
n
= 1. C/minh:
(1+a
1
)(1+a
2
)(1+a
3
)…(1+a
n
)
≥
2
n
.

Bài 4: Cho
ABC
∆
có độ dài các cạnh là a,b,c . Chứng minh
a) (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
≤
abc
b) ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)
≥
0
Bài 5: Cho a,b,c > 0 , chứng minh:
2
3
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bài 6: Cho a,b >0 , chứng minh :
a)
( )
4
11

≥






++
ba
ba
b)
baba
+
≥+
411

Bài 7: Cho a,b,c
≥
0 và a+b+c = 1. Chứng minh: (1-a)(1-b)(1-c)
≥
8abc
Bài 8: Cho a,b,c > 0 , chứng minh:
cbaab
c
ca
b
bc
a 111
++≥++
Bài 9: Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 1. Chứng minh:

64
1
1
1
1
1
1
≥






+






+






+
cba

Bài 10: Cho a,b,c > 0 . Chứng minh:
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++
≥
+
+
+
+
+
Bài 11: Cho a,b,c
≥
1,chứng minh rằng :
2
3
11`1
abc
cababcbca
≤−+−+−
Bài 12: Cho x,y,z
≥
0 và x+y+z
≤

3 .Chứng minh rằng :
zyx
z
z
y
y
x
x
+
+
+
+
+
≤≤
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
2
3
111
222
Bài 13: Cho

ABC
∆
có độ dài các cạnh là a,b,c và có diện tích S.
Chứng minh rằng :
34
222
Scba
≥++
. Cho biết đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 14: Cho a,b,c > 0 với
bca
211
=+
.Chứng minh rằng:
4
22
≥
−
+
+
−
+
bc
bc
ba
ba
Bài 15: Cho
ABC
∆
có độ dài các cạnh là a,b,c và có diện tích S = 1.Chứng minh :

a
4
+b
4
+c
4

≥
16
Bài 16: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng :
abc
cba
abcacbbca
2
111
222
++
≤
+
+
+
+
+
Bài 17: Cho a,b,c > 0 và
2
1
1
1
1
1

1
≥
+
+
+
+
+
cba
.Chứng minh rằng : abc
≤

8
1
Bài 18: Cho a,b
≥
1,chứng minh rằng :
ababba
≤−+−
1`1
Bài 19: Cho a,b,c > 0 và a>c ; b>c . Chứng minh:
abcbccac
≤−+−
)()(
Bài 20: Cho a,b,c > 0 . Chứng minh: (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
)

≥
9abc
Bài 21: Cho x,y,z > 0 sao cho xyz = 1 và n
N
∈
.Chứng minh rằng :
3
2
1
2
1
2
1
≥






+
+






+
+







+
nnn
zyx
Bài 22: Cho a,b,c > 0 . Chứng minh các BĐT:
a)
2
3
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a

5 Nguyễn Cơng Mậu