Ôn nâng cao PT và hệ P.trình-toán 10

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
Chương III :
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình một ẩn
• Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái;
g(x) là vế phải.
• Điều kiện xác đònh (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế
có nghóa.
• Mỗi số x
0
thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x
0
) = g(x
0
) là mệnh đề đúng, là một nghiệm
của phương trình. Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô
nghiệm.
2. Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ)
Cho hai phương trình (PT): f
1
(x) = g
1
(x) (1) & f
2
(x) = g
2
(x) (2).
+ PT (2) là (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f
1

(x) = g
1
(x)
⇒
f
2
(x) = g
2
(x) nếu tập nghiệm của (1) là tập
con của tập nghiệm của (2).
+ Hai phương trình (1) và (2) là tương đương, kí hiệu f
1
(x) = g
1
(x)
⇔
f
2
(x) = g
2
(x), nếu các tập nghiệm
của (1) và của (2) bằng nhau.
3. Phép biến đổi tương đương
Đònh lý : Gọi D là ĐKXĐ của PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác đònh
Dx
∈∀
thì
a) f(x) = g(x)
⇔
f(x) + h(x) = g(x) + h(x).

b) f(x) = g(x)
⇔
f(x) . h(x) = g(x) . h(x) , nếu h(x)
≠
0 ,
Dx
∈∀
.
4. Phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b
∈
R ; a
≠
0. x được gọi
là ẩn còn a, b là các hệ số.
+ PT ax + b = 0 với a
≠
0 có nghiệm duy nhất x = -b/a.
5. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
• Nếu a
≠
0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a.
• Nếu a = 0, b
≠
0, PT vô nghiệm.
• Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x
∈
R.
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ?

a) 2x + 3 = 8 – 3x và
1
38
1
32
22
−
−
=
−
+
x
x
x
x
.
b) 2x + 3 = 8 – 3x và 2x + 3 +
4
2
2
−
x
= 8 – 3x +
4
2
2
−
x
.
1 Nguyễn Công Mậu

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
Bài 3.2 Giải các phương trình :
a) 2x – 1 +
111
+−=−
xx
; b)
3966
22
+−+−=−
xxx
Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m :
3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1 .
Xác đònh các giá trò của m để hai phương trình có một nghiệm chung.
ài 3.4 Giải các phương trình sau :
a)
3
42
10
3
2
32
−
=
+
−
−
xxx
; b)
)1(

3
1
1
1
1
2422
++
=
+−
−
−
++
+
xxxxx
x
xx
x
c)
3
87
1919
81
1925
75
1931
−=
−
+
−
+

−
xxx
; d)
59
7
61
5
63
3
65
1 +
+
+
=
+
+
+ xxxx
Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x :
a) m
2
(x-1) = 9x + 3m ; b)
3
2
=
−
−+
mx
mmx

c)

2
3
3
=
+
−
+
+
+
mx
x
x
mx
; d)
231
−+=+
mxmx
.
Bài 3.6 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
a)
22
2
22
2
2
bx
x
a
xb
b

xax
−
=+
−
−−
; b)
ba
b
x
a
x
ba
abx
+=++
+
−
.
Bài 3.7 Tìm giá trò của tham số sao cho phương trình :
a)
)1(5
2
+=+
xmxm
vô nghiệm .
b)
525
2
−=−
xmxm
có vô số nghiệm .

c)
2
1)1( mxmm
=++
có nghiệm duy nhất .
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ?
a) 3x + 1 = 2x + 4 và 3x + 1 +
1
1
−
x
= 2x + 4 +
1
1
−
x
b) 3x +1 = 2x + 4 và 3x +1 +
3
1
−
x
= 2x + 4 +
3
1
−
x
Bài 3.9 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số).
1a)
)12(3)7()2(

2
++−=−
xxmxm
; 1b)
)25(23)1(
2
−=−−
xmxxm
2a)
2
2
1
=
−
+−
x
mmx
; 2b)
2
1
2
=
−
++
x
mmx
2 Nguyễn Công Mậu
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
3a)
2

+
=
−
x
x
mx
x
; 3b)
3
11
+
+
=
+
+
x
x
mx
x

4a)
2=
+
+
+
+
+
mx
nx
nx

mx
; 4b)
2
1
1
=
−
+
+
+
−
x
mx
mx
x
5a)
1)1(
1
1
1
1
−+
+
=
−
+
−
xm
m
xmx

m
; 5b)
1)2(
2
112
2
−+
+
=
−
+
−
xm
m
mx
m
x
6a)
)3(3
2
nxmnxm
+=+
; 6b)
)(2
2
nmxmnxm
−=−
.
7a)
2

+−=+
mxmx
; 7b)
1
+
=
+
x
x
mx
x
Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
a)
1
)1(
11
1
2
2
−
+
=
+
+
−
−
x
xa
x
b

x
ax
; b)
2)12()1(
+=++−
xxbxa
Bài 3.11 Xác đònh m để các phương trình sau vô nghiệm :
a)
2
2
1
1
=
−
+
+
−
−
x
x
x
mx
; b)
2
12
1
=
+
+
+

+
−
x
mx
x
x
Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R :
a)
)12(3)2(
+=++−
xbxxa
; b)
2)12()1(
+=++−
xxbxa
Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm :
a)
22
1
3)23(
1
2)13(
x
xm
x
mxm
−
++
=
−

++−
; b)
22
9
2)32(
9
3)12(
x
mxm
x
xm
−
−++
=
−
++
Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm :
a)
32)1(
2
−+=−
mxxm
; b)
234)1(
2
+−=−
mxxm
§2. Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
3 Nguyễn Công Mậu

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn số
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với a.b
≠
0 ; x, y là hai ẩn số.
+ Cặp số (x
0
; y
0
) thoả mãn ax
0
+ by
0
= c thì (x
0
; y
0
) được gọi là một nghiệm của (1). + + Phương trình
bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ
là đường thẳng ax + by = c .
2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1)
a) Nếu a
≠
0 , b
≠
0, phương trình (1) có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của phương
trình là :
RyyRx
b
axc

x
∈






∈






−
,;
a
by-c
,; hoặc
.
Tập nghiệm của (1) được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thò hàm số :

b
c
x
b
a
y
+−=

. Còn gọi là đường thẳng ax + by = c.
b) Nếu a = 0 , b
≠
0, phương trình có dạng by = c . Công thức nghiệm tổng quát là :

Rx
b
c
x
∈






;;
. Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với
trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tạo độ






b
c
;0
.
c) Nếu a

≠
0 , b =0, phương trình có dạng ax = c . Công thức nghiệm tổng quát là :

Ryy
a
c
∈






;;
. Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với
trục tung và cắt trục hoành tại điểm có tạo độ






0;
a
c
.
d) Nếu a = 0, b = 0, c
≠
0 thì hệ vô nghiệm.
e) Nếu a = b = c = 0 thì mọi cặp số (x ; y) ,

RyRx
∈∈
;
đều là nghiệm của phương trình.
3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng :
(I) :



=+
=+
)2(
)1(
222
111
cybxa
cybxa
trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Kí hiệu :
1221
22
11
baba
ba
ba
D
−==
, gọi là đònh thức của hệ (1).
4 Nguyễn Công Mậu

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10

1221
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
;
1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==
.
Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) như sau :
a) Nếu D
≠
0 hệ (I) có một nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
) được xác đònh bỡi công thức :

D
D
y
D
D
x
y
x
==
00
;
.
b) Nếu D = 0 va ø D
x

≠
0 (hoặc D
y

≠
0) thì hệ (I) vô nghiệm.
c) Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm là tập nghiệm của (1) hoặc của (2).
4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Gọi d
1

là đường thẳng a
1
x + b
1
y = c
1
và d
2
là đường thẳng a
2
x + b
2
y = c
2
.
• Hệ (I) có nghiệm duy nhất
⇔
d
1
và d
2
cắt nhau.
• Hệ (I) vô nghiệm
⇔
d
1
// d
2
.
• Hệ (I) có vô số nghiệm

⇔
d
1

≡
d
2
.



B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ :
a) 4x – 3y = 6 ; b) -3x + 2y = 4
Bài 3.16 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (3m - 2)x + (m+1)y = m – 2 ; b) (m
2
– 1)x + (m+1)y = m
2
– m -2
Bài 3.17 Cho k là một số thực xác đònh. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho
5 Nguyễn Công Mậu
O x
y
d
1
d
2
O x
y

21
dd ≡
O x
y
d
1

d
2
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
cặp số






−−
3
1;2
k
k
là nghiệm của phương trình đó.
Bài 3.18 Giải các hệ phương trình :
a)



=−
=−

823
135
yx
yx
; b)



=++
=+−
0345
0423
yx
yx
c)







=
+
+
−
=
+
+
−

20
29
1
1
3
5
2
1
5
3
4
yx
yx
; d)







=
+
−
+
=
+
+
+
15

8
12
2
15
29
1
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
e)





=+
=−−
13
32
yx
xyx
; g)






=++
=−+
=+−
1032
1132
623
zyx
zyx
zyx


Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I)



+=+
=++
13
2)2(
mmyx
myxm
; trong đó m là tham số . Với giá trò
nào của m hệ (I) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 3.20 Cho hệ phương trình : (I)




−=−+
=−−
mymx
myxm
6)4(
)2(
; trong đó m là tham số. Với giá trò
nào của m hệ (I) có vô số nghiệm. Viết công thức nghiệm của hệ trong trường hợp đó.
Bài 3.21 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình (I)



=−−
=−+
2)1(
3)2(6
ayxa
yaax
.
Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất, hãy tìm một hệ thức giữa x và y độc lập
với tham số a.
Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)



=++
+=+
mymx
mymx

6)1(2
2
.
6 Nguyễn Công Mậu
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
Tìm những giá trò nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên .
2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)



+=−
−=−+
mmyxm
myxm
2
12)1(
22
.
Tìm những giá trò nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên .
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.23 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (2m - 3)x + (m-1)y = m + 2 ; b) (m
2
– 4)x + (m-2)y = m
2
+ m -6
Bài 3.24 Cho k là một số thực xác đònh. Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho
cặp số







−
2
;2
k
k
là nghiệm của phương trình đó.
Bài 3.25 Giải các hệ phương trình :
a)



=+
−=−
53
432
yx
yx
; b)







=+

−
=+
−
35
2
2
7
2
3
y
x
y
x
c)







=
+
−
−
=
+
+
−
1

94
3
32
yxyx
yxyx
; d)







=
+−
−
−+
=
+−
−
−+
3
2
12
2
1
1
6
5
12

1
1
3
yxyx
yxyx
e)





−=+
=+
95
53
yx
yx
; g)





=−−
=++
=−−
343
12
232
zyx

zyx
zyx
Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a)



+=++
−=−
12)62(
44
myxm
mmyx
; 1b)



−=+−
=+
2
12
myx
ymx
7 Nguyễn Công Mậu
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
2a)



=+−

=+−
2)2(
32)1(3
2
myxm
ymxm
; 2b)



=+
=+−
12
)1(
myx
myxm
3a)





=−
−=−
mymmx
mnmynx
4
2
2
; 3b)






=−
=−
2
2
nynx
mmyx
4a)



=++−
=++−
mynmxnm
nynmxnm
)()(
)2()2(
; 4b)



=+
+=+
mnmynx
nmnymx
2

22
Bài 3.27 1) Cho hệ phương trình :



=+−−
=+−−
02)1(
036)2(
ymmx
myxm
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối
với m .
2) Cho hệ phương trình :



=−−
=−+
2)1(
9)2(6
myxm
ymmx
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối
với m .
Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với
x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) :
1a)




=−++
=−++++
04)2(2
02)13()1(
ymx
mymxm
; 1b)



=−−+
=−+
012
03
mmyx
mymx
2a)



−=+
+=+
122
12
mmyx
mymx
; 2b)




+=+
=+
1
32
myx
mymx
Bài 3.29 Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :
8 Nguyễn Công Mậu
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10




=+
+=+
3
12
yx
nymx
và



=+
+=+
33
22

2
yx
myx

Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :





=−+
=−+
=−+
0
01
01
myx
myx
ymx
§3. Phương trình bậc hai một ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức nghiệm
Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax
2
+ bx + c = 0 (1)
trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số.
Đặt
( )
2b'b với
=−=∆−=∆

acbacb
2'2
'4
là biệt thức của (1).
a) Nếu
∆
> 0 (
∆
’> 0), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tính bỡi công thức :









∆+−
=
∆−−
=
∆+−
=
∆−−
=
a
b
x
a

b
xhay
a
b
x
a
b
x
''
;
'
2
;
2
2
'
121
b) Nếu
∆
= 0 (
∆
’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi công thức :
x
1
= x
2
= -b/2a ( hay x
1
= x
2

= -b’/a)
c) Nếu
∆
< 0 (
∆
’< 0), phương trình (1) vô nghiệm.
2. Đònh lý Vi-et và ứng dụng
Đònh lý : Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có các nghiệm là x
1
và x
2
thì tổng và tích các
nghiệm của phương trình là : S =
a
c
xxP
a
b
xx
==−=+
2121
.;
.
Ứng dụng :
* Nhẩm nghiệm của phương trình ax
2

+ bx + c = 0 (a
≠
0) (1)
- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x
1
= 1 và nghiệm
x
2
= c/a .
- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a - b + c = 0 thì nó có một nghiệm x
1
= -1 và nghiệm
x
2
= -c/a .
* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình :
x
2
-Sx + P = 0
* Phân tích một tam thức bậc hai thành thừa số
Nếu
))(()(0)(
2121
2
xxxxaxfxxxxcbxaxxf
−−=⇒=∨=⇔=++=
3.Giải và biện luận phương trình ax
2
+ bx + c = 0

9 Nguyễn Công Mậu
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10
Khi phương trình ax
2
+ bx + c = 0 trong đó a hoặc b hoặc c có chứa tham số .Bài toán giải
và biện luận phương trình đượpc tiến hành như sau :
Bước 1: xét trường hợp a = 0 (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m)

Từ a = 0
⇒
m = … thay giá trò m vào b và c . Phương trình là bx + c = 0 với b, c là số đã
biết. Có một trong hai khả năng sau xảy ra :
• Nếu b = 0 và c
≠
0 ( 0x + c = 0 với c
≠
0) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu b = 0 và c = 0 (0x + 0 = 0 ) thì phương trình có vô nghiệm x
∈
TXĐ
Bước 2: Xét trường hợp a
≠
0
⇒
m
≠
…
• Tính biệt số
)''(4
22

acbhayacb
−=∆−=∆
(Chú ý dấu của
∆
và
∆
’như nhau)
• Biện luận theo dấu của
∆
(hoặc
∆
’) :
- Nếu
∆
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu
∆
= 0 thì phương trình có nghiệm kép x
0
= -b/2a (hoặc x
0
= -b’/a)
- Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo công thức :










∆+−
=
∆−−
=
∆+−
=
∆−−
=
a
b
x
a
b
xhay
a
b
x
a
b
x
''
;
'
2
;
2

2
'
121
Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả. (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kòp thời gian)
4. Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0
• Nếu ac < 0
⇒
x
1
< 0 < x
2
(gt x
1
< x
2
) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu).
• Nếu ac > 0 ta tính
∆

≥
0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (tức là x
1
.x
2
> 0)
Đặt S = x
1
+ x

2
(= -b/a) ; P = x
1
.x
2
(= c/a > 0)
-Nếu S > 0 thì 0 < x
1
< x
2
(phương trình có hai nghiệm dương)
-Nếu S < 0 thì x
1
< x
2
< 0 (phương trình có hai nghiệm âm).
Tóm tắt mục này như sau :
• Nếu P < 0
⇒
x
1
< 0 < x
2
• Nếu
⇒






>
>
>∆
0
0
0
S
P
0 < x
1
< x
2
; Nếu
⇒





<
>
>∆
0
0
0
S
P
x
1
< x

2
< 0


5. Một số phương trình qui về cách giải phương trình bậc hai
a) Phương trình trùng phương dạng ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a
≠
0) (1)
-Đặt ẩn phụ y = x
2
, điều kiện y
≥
0.
-Viết phương trình theo y là ay
2
+ by + c = 0 (2)
Bảng tóm tắt về nghiệm của (2) suy ra nghiệm tương ứng của (1) như sau :
Phương trình trung gian
ay
2
+ by + c = 0
Phương trình trùng phương
ax
4
+ bx
2

+ c = 0
0 < y
1
< y
2
24,312,1
; yxyx
±=±=
y
1
< 0 < y
2
22,1
yx
±=
y
1
= 0 < y
2
x
0
= 0 và
22,1
yx
±=
0 < y
1
< y
2
ox

/
∈
b) phương trình dạng
kdxcxbxax
=++++
))()()((
với a,b,c,d,k
∈
R (1)
10 Nguyễn Công Mậu