KỸ THUẬT GIẢI NHANH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẶNG THÀNH NAM
(Giám đốc trung tâm nghiên cứu, tư vấn và phát triển
sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)

NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT LUYỆN THI QUỐC GIA
THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI MỚI NHẤT CỦA BỘ GD & ĐT

KỸ THUẬT GIẢI NHANH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3 x 2 − 2 x − 5 + 2 x x 2 + 1 = 2 ( y 1)+ y 2
 2
2
 x + 2 y = 2 x − 4 y + 3

-

2+y 2+

Dành cho học sinh lớp 10,11,12
Ôn thi quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi
Dành cho giáo viên giảng dạy và luyện thi Quốc gia

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


Mục Lục
Lời nói đầu
Chương 1: Kiến thức bổ sung khi giải hệ phương trình . .................................. 3
Chủ đề 1: Phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai . ...................... 3
Chủ đề 2: Phương trình bậc ba . ....................................................................... 4

Chủ đề 3: Phương trình bậc bốn ...................................................................... 7
Chủ đề 4: Phương trình phân thức hữu tỷ....................................................... 12
Chủ đề 5: Hệ hương trình hai ẩn có chứa phương trình bậc nhất .................. 13
Chủ đề 6: Hệ hương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát. ............................. 14
Chương 2: Các kỹ thuật và phương pháp giải hệ phương trình . ....................25
Chủ đề 1. Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.. ...................... 25
Chủ đề 2. Hệ phương trình đối xứng loại I. .................................................... 46
Chủ đề 3. Hệ phương trình đối xứng loại II. . ................................................. 99
Chủ đề 4. Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp . .......................................... 132
Chủ đề 5. Kỹ thuật sử dụng phép thế. .......................................................... 159
Chủ đề 6. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử. . .............................................. 188
Chủ đề 7. Kỹ thuật cộng, trừ và nhân theo vế hai phương trình của hệ. ...... 222
Chủ đề 8. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số. . ............................................... 254
Chủ đề 9. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng tổng - hiệu. ......................................... 336
Chủ đề 10. Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số. . ............................ 361
Chủ đề 11. Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình. ..... 427
Chủ đề 12. Kỹ thuật đánh giá. ..................................................................... 438
Chủ đề 13. Hệ phương trình có chứa căn thức. . .......................................... 491
Chủ đề 14. Kỹ thuật lượng giác hóa. ............................................................ 576
Chủ đề 15. Kỹ thuật hệ số bất đònh. ............................................................. 600
Chủ đề 16. Kỹ thuật phức hóa. ..................................................................... 640
Chủ đề 17. Kỹ thuật sử dụng tính chất hình học giải tích. . .......................... 665
Chủ đề 18. Kỹ thuật nhân liên hợp đối với hệ phương trình có chứa căn thức
...................................................................................................................... 677
Chủ đề 19. Một số bài toán chọn lọc và rèn luyện nâng cao. ....................... 704
Chương 3: Bài toán có chứa tham số...............................................................783
Chủ đề 1: Hệ đối xứng loại I . ........................................................................783
Chủ đề 2: Hệ đối xứng loại II .......................................................................827
Chủ đề 3: Hệ đẳng cấp . ................................................................................836
Chủ đề 4: Kỷ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số − Xử lý bài toán hệ

phương trình có chứa tham số ......................................................................846


CHƯƠNG 1:

KIẾN THỨC BỔ SUNG
KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

- Nộ i dung chương nà y đề cậ p đế n cá c nội dung
- Phương trình, bấ t phương trình bậ c nhấ t và bậ c hai.
- Cá c phương trình bậ c ba, bậ c bốn dạ ng đặ c biệ t.
- Cá c phương trình dạng phâ n thứ c đặ c biệ t.
- Phương phá p giả i phương trình bậ c ba, bậ c bốn tổ ng quá t.
- Hệ phương trình cơ bả n gồ m hệ bậ c nhấ t hai ẩ n, hệ bậ c nhấ t ba ẩ n, hệ
gồ m mộ t phương trình bậ c nhấ t hai ẩ n và mộ t phương trình bậ c hai hai ẩ n.
- Hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n dạng tổ ng quá t.
Đâ y là nhữ ng kiế n thứ c cơ bả n và cầ n thiế t trướ c khi tiế p cậ n với hệ phương
trình nên hy vọng sẽ cung cấ p đủ những kỹ nă ng về giả i phương trình và hệ
phương trình trước khi chúng ta đến với các hệ phương trình dạng nâng cao hơn.

Chủ Đề 1: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất ax + b = 0, (a ≠ 0)
+ Nế u a = 0, b ≠ 0 phương trình vô nghiệm.
+ Nế u a = 0, b = 0, phương trình vô số nghiệm.
b
+ Nế u a ≠ 0 ⇔ x = – là nghiệ m củ a phương trình.
a
Bấ t phương trình bậ c nhấ t ax + b > 0.
 b


b
+ Nếu a > 0 ⇔ x > − ⇒ S =  − ; +∞

a
 a


b
b
+ Nếu a < 0 ⇔ x < − ⇒ S =  −∞
; −
a
a


2. Phương trình và bất phương trình bậc hai
a) Phương trình bậ c hai ax2 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0). Đònh thứ c ∆ = b2 – 4ac.
+ Nế u ∆ = b2 – 4ac < 0, phương trình vô nghiệ m.
b
+ Nế u ∆ = b2 – 4ac, phương trình có nghiệm duy nhấ t x 0 = − .
2a
2
+ Nếu ∆ = b – 4ac > 0, phương trình có hai nghiệm phâ n biệ t:


x1,2 =

−b ± ∆
và khi đó ax2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ).

2a

b) Bấ t phương trình bậ c hai f(x) = ax 2

bx
+ c+ 0,(a
>

0)
≠.

+ Nế u ∆ = b2

4ac
− 0≤khi đó a.f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R .

+ Nế u ∆ = b2

4ac
− 0>khi đó f(x) = 0 có hai nghiệ m phân biệ t x 1 < x 2 .


 x > x2
 f(x) > 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x 2 ) > 0 ⇔ 
- Nế u a > 0 ⇒ 
 x < x1

 f(x) < 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔ x1 < x < x 2
 f(x) > 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔ x1 < x < x 2


 x > x2
- Nế u a < 0 ⇒ 
 f(x) < 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔  x < x

1


Chủ Đề 2:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

1. Phương trình dạng 4x3 + 3x = m .
Hà m số f(x) = 4x3 3x +
có f '(x) = 12x 2

3 +0, >x ∀R ∈nê n phương trình

4x3 + 3x = m có khô ng quá mộ t nghiệm.

Ta chứ ng minh phương trình có nghiệ m duy nhấ t.
1
Đặ t m =  a3
2

1
−
a3 

3

⇔
a =m

m±2 1 . +

3

1 
1 
1 
1  1 
1
Khi đó 4   a −   + 3   a −   =  a3 −  =m .
a 
a  2 
a3 
2 
2 
1
1
Do đó x =  a
− nghiệm củ a phương trình hay phương trình có nghiệm
 là
a
2
1
1
duy nhấ t x =  a
 .−
a

2

Ví dụ 1. Giả i phương trình 4x3 + 3x = 2 .
Lời giải
Hà m số f(x) = 4x3 +3x −2 có f '(x) = 12x 2
có tố i đa mộ t nghiệm.

nê n phương trình
3 +0, >x ∀ ∈


1
1
Đặ t 2 =  a3 −  ⇔a =3 2
2
a3 

Chọ n a = 3 +2

1
⇒
5 −=
a

±5 .

−3 2

5

3

1 
1 
1 
1  1 
1
Khi đó : 4   a −   + 3   a −   =  a3 −  .
a 
a  2 
a3 
2 
2 
Vậ y: phương trình có nghiệ m duy nhấ t:
1
1 1
x =  a −  =  3 2
2
a 2

+5

3

−5  .


+2

2. Phương trình dạng 4x3 − 3x = m .

α
α
3cos −nê n
3
3
α + 2π
α − 2π
.
cos
= ,x3 = cos
3
3

khi
α đó do cos α = 4 cos3

TH1: Nế u m ≤ 1 đặ t m = cos

α
phương trình có ba nghiệ m x1 = cos ,x2
3
1
TH2: Nế u m > 1 đặ t m =  a3
2

1
+ 
a3 

1 

1
1
1 
Khi đó  a3 +  = 4   a + 
3
2
a 
a 
2 

3

3

⇔
a =m

m±2 1 . −

1 
1 
3−  a +  .
a 
2 

1
1
Vì vậy x 0 =  a
+ mộ t nghiệm củ a phương trình.
 là

2
a
Ta chứ ng minh x 0 là nghiệm duy nhấ t củ a phương trình.

Thậ t vậ y ta có : 4x3 − 3x = 4x30
Phương trình 4x2 + 4x 0 x + 4x20

( +4x x +4x 3−)
< x >1.
− 3 = 0 có ∆ ' = 12 (1 x −) 0 do
3x
− 0

⇔
( x x−0 ) 4x2

0

2
0

2
0

0

Vậ y phương trình có nghiệm duy nhấ t:
3

3

1
1
m + m2 − 1 + m − m2 − 1
.
x = a +  =
2
a
2

3. Phương trình dạng x3 + px = q .
TH1: Nế u p = 0 ⇒ x3 = q ⇔ x =
TH2: Nế u p > 0 đặ t x = 2

3

q.

p
t đưa về phương trình dạ ng: 4t 3 + 3t = m .
3

=
0.


TH3: Nế u p < 0 đặ t x = 2

p
t− đưa về phương trình dạ ng: 4x3 − 3x = m .

3

4. Phương trình bậc ba dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0, (a ≠ 0).
Phương pháp phân tích nhân tử.
Nế u phương trình có nghiệm x 0 thì ta có thể phâ n tích:

(

)

ax3 + bx2 + cx + d = ( x −x 0 ) ax2 +( b +ax 0 ) x +c +bx 0 +ax20 .

Từ đó để giả i phương trình bậ c ba trê n ta đi giả i phương trình bậ c hai:
ax2 + ( b + ax 0 ) x + c + bx 0 + ax20 = 0 .

Phương pháp Cardano. Chia hai vế phương trình cho a đ
ưa phương trình về
dạng: x3 + ax2 + bx + c = 0 .
Bằ ng cá ch đặ t y = x

a
− luô n đưa phương trình về dạng chính tắ c:
3

y3 + py + q = 0 (1) trong đó p = q –

a2
, q = c + G  x, x 2 − a2  = 0
3




PP

.
→

Ta chỉ cần xét p, q ≠ 0 vì nếu p = 0 hoặ c q = 0 phương trình đơn giản, tiế p tụ c
đặ t y = u + v thay và o (1), ta đượ c:

u  v 

3

 p u  v   q  0  u 3  v 3  3uv  p u  v   q  0 .

Ta chọ n u, v sao cho 3uv + p = 0 khi đó u3 + v3 + q = 0.
 3 3
p3
3uv + p = 0
=
−
u
v

⇔ 
Vậ y : ta có hệ phương trình  3
27 .
3
 u + v + q = 0

 3
3
 u + v −= q
Theo đònh lý Vi–é t u, v là hai nghiệm của phương trình X3 + qX −
Đặ t ∆ =

q2
4

p3
= 0 (3)
27

p3
+
27

q
q
+ Nế u ∆ > 0 khi đó (3) có hai nghiệm u3 =− + ∆ , v3 =− − ∆
2
2

và

q
q
phương trình (2) có nghiệm duy nhấ t y = 3 − + ∆ + 3 − − ∆ nê n
2
2

phương trình (1) có nghiệm thự c duy nhấ t x =

a 3 q
q
+ − + ∆ +3 − − ∆ .
3
2
2


+ Nế u ∆ = 0 khi đó (3) có nghiệm ké p u = v = − 3

q
và phương trình (2) có
2

q
q
3
hai nghiệm thự c trong đó có mộ t nghiệ m ké p y1 =
2 3 − ; y2 =
y3 =
2
2

Do đó: (1) có hai nghiệ m thự c, trong đó có mộ t nghiệ m ké p:
a
q
a

q
x1 = + 2 3 − ;x 2 =x3 = + 3
3
2
3
2

+ Nế u ∆ < 0 khi đó (3) có nghiệm phứ c, giả sử là u 0 , v 0 khi đó (1) có ba
nghiệm phức:

y=
1 u0 + v0

1

− ( u0 + v0 ) + i
y2 =
2


1
− ( u0 + v0 ) − i
 y3 =
2



a
x1 = + u0 + v0
3



3
a 1
u0 − v0 ) ⇒ x2 =
− ( u + v0 ) + i
(
2
3 2 0


3
a 1
u 0 − v 0 )  x3 = − ( u 0 + v 0 ) − i
(
2
3 2


3
( u − v0 )
2 0
3
( u − v0 )
2 0

Ngoài hai cá ch trê n có thể giả i phương trình bậ c ba bằ ng phương pháp lượ ng
giá c hó a hoặ c biến đổi đưa về đẳ ng thứ c a3 = b3.

Chủ Đề 3:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

1. Phương trình dạng trùng phương ax 4 + bx2 + =
c 0, ( a ≠ 0 ) .
Đặ=
t t x 2 , ( t ≥ 0 ) phương trình trở thành: at 2 + bt + c =
0 . Đâ y là phương
trình bậ c hai đã biế t cá ch giả i.
4

4

2. Phương trình dạng ( x − a ) + ( x − b ) =
c.
Đặ t t= x −

a+b
phương trình trở thà nh:
2

4

4

 b−a  a−b
c đưa về
t +
 +t +
 =

2  
2 


phương trình dạ ng trù ng phương.
4

4

Ví dụ 1. Giả i phương trình ( x − 2 ) + ( x − 6 ) =
82 .
Lời giải
4

4

Đặ t t= x − 4 phương trình trở thành: ( t + 2 ) + ( t − 2 ) =
82 .


(

)(

)

 t =−1  x − 4 =−1  x =3
⇔
⇔
⇔ t 4 + 24t 2 − 25 =0 ⇔ t 2 − 1 t 2 + 25 =0 ⇔ 

=
x−4 1 =
t 1
=
x 5
Vậ y phương trình có hai nghiệm là=
x 3,x
= 5.
m với a + d = b + c .
3. Phương trình dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) =

Đặt t =
( x + a )( x + d ) hoặc t =
( x + b )( x + c) đưa về phương trình bậc hai với ẩn
t.
24 .
Ví dụ 2. Giả i phương trình x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) =

Lời giải
Đặt t = x ( x − 3) = x2 − 3x ⇒ ( x − 1)( x − 2 ) = x2 − 3x + 2 = t + 2 phương trình trở thành:
 x2 − 3x =
t =
x =
−6
−6
−1
.
⇔
⇔
t ( t + 2 ) =24 ⇔ t 2 + 2t − 24 =0 ⇔ 

2
=
4
 t 4=
x 4
 x − 3x =

Vậ y: phương trình có hai nghiệm là x =
−1, x =
4.
4. Phương trình dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) =
ex 2 với ad
= bc
= m.
Viế t lạ i phương trình dướ i dạ ng: ( x + a )( x + d )  . ( x + b )( x + c )  =
ex 2 .

(

)(

)

⇔ x2 + ( a + d ) x + ad x2 + ( b + c ) x + bc =
ex2 .

Xé t trườ ng hợ p x = 0 xem thỏa mã n phương trình hay không.
Vớ i x ≠ 0 chia hai vế củ a phương trình cho x2 , ta đượ c:




ad
bc
+ a + d  x +
+ b + c =
e.
x +
x
x




Đặ t t =x +

ad
bc
đưa về phương trình bậ c hai vớ i ẩ n t .
=x +
x
x

Ví dụ 3. Giả i phương trình ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 6 ) =
30x 2 .
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương vớ i:

(

)(

)

2
2
2
2

 

( x + 2 )( x + 6 )  . ( x + 3)( x + 4 ) = 30x ⇔ x + 8x + 12 x + 7x + 12 = 30x

Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn phương trình.
Xé t x ≠ 0 chia hai vế củ a phương trình cho x2 , ta đượ c:





12
12
30 .
 x + + 8  x + + 7  =
x
x




(

)

12
Đặ t t =
x + , t ≥ 4 3 phương trình trở thành:
x

 t = −2

( t + 8)( t + 7) =30 ⇔ t 2 + 15t + 26 =0 ⇔ t = −13 .


Đố i chiế u vớ i điều kiệ n chỉ nhận nghiệm t =
−13 ⇔ x +

12
=
−13 .
x

 x = −1
.
⇔ x2 + 13x + 12 =0 ⇔ 
 x = −12

Vậ y phương trình có hai nghiệm là x =
−12,x =
−1 .
2

e d
5. Phương trình dạng ax + bx + cx + dx + e =
0 với =   .
a b
4

3

2

TH1: Nế u e = 0 đưa về phương trình:

(

)

ax 4 + bx3 + cx2 + dx
= x ax3 + bx2 + cx + d= 0 , phương trình tích có chứ a

phương trình bậ c ba dạ ng tổ ng quá t đã biết cá ch giải.
TH2: Nế u e ≠ 0 ⇒ x =
0 khô ng là nghiệm củ a phương trình.
Xé t x ≠ 0 chia hai vế phương trình cho x2 ta đượ c:
ax2 +

e





d
e 
d 
+  bx +  + c = 0 ⇔ a  x 2 +
 + b x +
+ c= 0.
2
x
bx 
x
ax 



2

d
d2
d
e
d
⇒ t 2 = x2 +
+ 2 = x2 +
+ 2 đưa về phương trình
2
2
2
bx
b

b
b x
ax
bậ c hai với ẩn t .

Đặ t t = x +

Ví dụ 4. Giả i phương trình x 4 + 3x3 − 6x2 + 6x + 4 =
0.
Lời giải
Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn phương trình.
Xé t x ≠ 0 chia hai vế phương trình cho x2 , ta đượ c:
2



6 4
2
2
= 0 ⇔  x +  + 3  x +  − 10 = 0 .
x + 3x − 6 + +
2
x x
x
x


2

t = 2

2
Đặ t t =
x + , t ≥ 2 2 phương trình trở thành: t 2 + 3t − 10 =0 ⇔ 
x
 t = −5


Đố i chiế u vớ i điều kiệ n chỉ nhận nghiệm:
t =−5 ⇔ x +

2
−5 ± 17
.
=−5 ⇔ x2 + 5x + 2 =0 ⇔ x =
x
2

Vậ y phương trình có hai nghiệm là x =

−5 ± 17
.
2

6. Phương trình dạng x 4 = ax 2 + bx + c .
TH1: Nế u ∆= b2 − 4ac= 0 biế n đổ i đưa phương trình về dạng:
2


b 
=

x4 a  x +  .
2a 


TH2: Nế u ∆= b2 − 4ac ≠ 0 ta chọ n số thự c m sao cho:

(

)

2

(

x 4 =  x2 − m + m  = x2 − m



(

⇔ x2 − m

)

2

=

)

2

(

)

+ 2m x 2 − m + m 2 = ax 2 + bx + c .

( a − 2m ) x2 + bx + c + m 2 .

(

)

Ta chọ n m sao cho: b2 − 4 ( a − 2m ) c + m 2 =
0.
Ví dụ 5. Giả i phương trình x 4 = 7x2 − 3x −

3
.
4

Lời giải
Phương trình đã cho tương đương vớ i:

( x + 1)
2

2


 2
1
3± 3
x + 1 = 3x −
x =


1
2 ⇔
2
.
=  3x −  ⇔ 

2
1
 x 2 + 1 =−3x +


−3 ± 7
x =

2
2

2

Vậ y phương trình có bố n nghiệ
m là x
=

3± 3
−3 ± 7
.
=
,x
2
2

7. Phương trình bậc bốn tổng quát ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e =
0.
b
Cách 1: Đặ t x =
− + t đưa về phương trình dạ ng: t 4 = αt 2 + βt + λ .
4a

Cách 2: Viế t lạ i phương trình dướ i dạ ng:
4a2 x 4 + 4bax3 + 4cax 2 + 4dax + 4ae =
0

(

⇔ 2ax2 + bx

) =( b
2

2

)

− 4ac x2 − 4adx − 4ae .


(

)

Thê m và o hai vế củ a phương trình đạ i lượng 2y 2ax2 + bx + y2 (vớ i y là
hằ ng số tìm sau).

(

Khi đó : 2ax2 + bx + y

) = (b
2

2

)

− 4ac + 4ay x 2 + 2 ( by − 2ad ) x − 4ae + y2 .

( by − 2ad )

Ta chọ n y sao cho: ∆ 'x =

(

2

)(

)

− b2 − 4ac + 4ay y2 − 4ae = 0 .

Ví dụ 6. Giả i phương trình x 4 − 16x3 + 57x 2 − 52x − 35 =
0.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương vớ i:

(

x 4 − 16x3 + 64x2 = 7x2 + 52x + 35 ⇔ x 2 − 8x

)

2

= 7x 2 + 52x + 35 .

Ta thêm và hằ ng số y thỏa mã n:

(

(
⇔ ( x − 8x + y ) =
x2 − 8x

)

2

)

(

)

+ 2y x2 − 8x + y2 = 7x2 + 52x + 35 + 2y x2 − 8x + y2 .
2

2

( 2y + 7) x2 + x ( 52 − 16y ) + 35 + y2 .
( 26 − 8y ) − ( 2y + 7) ( 35 + y2 )=
2

Ta chọ n y sao cho ∆ 'x =

(

0.

)

⇔ ( y − 1) 2y2 − 55y + 431 = 0 ⇔ y = 1 .

Vậ y phương trình đã cho tương đương vớ i:

(x

2

)

− 8x + 1

2

= 9 ( x + 2)

2


11 − 141
x =
 x2 − 8x + 1= 3 ( x + 2 )
2
.
⇔
⇔

 x2 − 8x + 1 =−3 ( x + 2 )
11
+
141


x =
2


Vậ y phương trình có hai nghiệ
m là x
=

11 − 141
11 + 141
.
=
,x
2
2


Chủ Đề 4: PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
1. Phương trình dạng x2 +

a2 x 2

( x + a)

2

=
b.

Phương trình đã cho tương đương vớ i:

2

2
 x2 

ax 
2ax2
x2
−
+
=
⇔
+
=
x
b
2a.
b.




x+a
+
x+a
x+a
x
a





Đặ t t =

x2
đưa về phương trình bậ c hai vớ i ẩ n t : t 2 + 2at =
b.
x+a
2

 x 
Ví dụ 1. Giả i phương trình x + 
1.
 =
 x +1
2

Lời giải
Điề u kiện: x ≠ −1 .
Phương trình đã cho tương đương vớ i:
2

2
 x2 

x 
2x2
x2
−
+

=
⇔
+
=
x
1
2.
1.






x +1
x +1
x +1

 x +1

 x 
⇔

 x +1


2

2


 x2
 x =−1 + 2 − 2 2 − 1
=−1 + 2

x
2
.
1⇔ x +1
+ 2.
=
⇔

 x2
x +1
 x = −1 + 2 + 2 2 − 1
=−1 − 2


x +1
2
2

Vậ y phương trình có hai nghiệm là :
x

−1 + 2 − 2 2 − 1
−1 + 2 + 2 2 − 1
.
=

;x
2
2

2. Phương trình dạng

x2 + mx + a
x2 + nx + a

+

x2 + px + a
x 2 + qx + a

=
b.

Xé t xem x = 0 có là nghiệm của phương trình hay khô ng.
a
a
+m x+ +p
x
x
Trườ ng hợp x ≠ 0 viế t lạ i phương trình dướ i dạ ng:
b.
+
=
a
a
x+ +n x+ +q

x
x
x+

Đặ t t= x +

a
đưa về phương trình bậ c hai vớ i ẩ n t .
x


Ví dụ 2. Giả i phương trình

x2 + 5x + 3

x 2 + 4x + 3

184
.
=
−
119
x − 7x + 3 x + 5x + 3
Lời giải
2

+

2

Điề u kiện: x2 + 5x + 3 ≠ 0,x2 − 7x + 3 ≠ 0 .
Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn phương trình.
3
3
+5 x+ +4
184
x
x
Xé t x ≠ 0 viế t lạ i phương trình dưới dạ ng:
.
+
=
−
3
3
119
x+ −7 x+ +5
x
x
3
Đặ t t =
x + , t ≥ 2 3 phương trình trở thành:
x

x = 2
 7

3 7

=

t
=
x
+
 2

t+5 t+4
184
3
x
2
.
+
=
−
⇔
⇔
⇔  x =
t−7 t+5
119
2
971
3
971
y =


−
−


 x + x =
211
211
−971 ± 408589

 x =
422
x+

(

Chủ Đề 5:

)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN CÓ CHỨA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

a x + b1y =
c1
, a12 + b12 > 0,a22 + b22 > 0 .
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:  1
+
=
a
x
b
y
c
 2

2
2

(

)

Đâ y là hệ phương trình cơ bả n để giả i chú ng ta có thể thự c hiệ n phé p thế , sử
dụ ng máy tính bỏ túi hoặc sử dụ ng đònh thứ c Crame(hay đượ c dù ng trong
biệ n luận).
=
D

a1 b1
c1 b1
a1 c1
.
=
,Dx =
,Dy
a2 b 2
c2 b2
a2 c2

Cá c trườ ng hợp
D≠0

Kế t quả
Hệ phương trình có nghiệm duy nhấ t:
Dy 

.

D
D


D

( x;y ) = 

x

;

=
D D=
D=
0
x
y

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

D = 0 nhưng Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0

Hệ phương trình vô nghiệm.


a1x + b1y + c1z =
d1


2
2
2
2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: a2 x + b2 y + c=
2 z d 2 , a i + b i + ci > 0 .
a x + b y + c z =
d3
3
3
 3

(

)

Hệ nà y dù ng phé p thế đưa về hệ bậ c nhấ t hai ẩn hoặc dù ng má y tính bỏ túi.
3. Hệ phương trình hai ẩn gồm một phương trình bậc nhất và một phương
mx + ny =
a
trình bậc hai:  2
.
2
d
ax + bxy + cy =

Rú t x theo y hoặ c rú t y theo x từ phương trình đầ u củ a hệ thế và o phương
trình thứ hai củ a hệ đưa về giả i phương trình bậ c hai.

Chủ Đề 6:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
DẠNG TỔNG QUÁT

A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n là hệ có dạ ng:
a x2 + b y2 + c xy + d x + e y + f =
1
1
1
1
1
1 0
 2
2
0
a2 x + b2 y + c2 xy + d 2 x + e2 y + f2 =

(1)
(2)

a) Nế u mộ t trong hai phương trình là bậ c nhấ t thì dễ dà ng giả i hệ bằng phương
phá p thế.
a
b
b) Nế u 1 = 1 bằ ng cá ch loạ i bỏ x2 + y2 đưa về hệ phương trình bậc hai có
a2 b 2
mộ t phương trình bậ c nhấ t và giả i hệ bằ ng phương phá p thế .
c) Nế u mộ t trong hai phương trình là thuầ n nhấ t bậ c hai(chẳ ng hạn
2

2
0 phương trình
d=
1 e=
1 f1 )khi đó phương trình đầu là a1x + b1y + c1xy =

nã y cho phé p ta tính đượ c t =

x
.
y

d) Hệ đẳ ng cấ p bậ c hai nế u d=
0 hệ trở thà nh hệ đẳ ng cấ p bậ c
1 e=
1 d=
2 e=
2
hai. Bằ ng cá ch khử đi hệ số tự do ta đưa về mộ t phương trình thuầ n nhất bậ c
x
hai cho phép ta tính đượ c t = .
y


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

e) Đưa về hệ bậ c nhấ t bằ ng cá ch đặt y = tx và đặ t z = x2 giả i hệ vớ i hai ẩ n là

( x;z ) lúc sau giải phương trình z = x2 .
f) Trong nhiề u trườ ng hợ p ta có thể á p dụ ng phương phá p tònh tiế n nghiệm.

x= u + a
(vớ i u,v là cá c ẩ n và a,b là hai nghiệ m củ a hệ
Bằ ng cá ch đặ t 
y= v + b
phương trình). Để tìm a,b có hai cá ch thự c hiệ n ta cho cá c hạng tử bậ c nhất
sau khi khai triển triệ t tiê u từ đó ta có hệ đẳ ng cấ p bậ c hai với hai ẩn
u,v cá ch giải tương tự trườ ng hợ p c) hoặ c đạo hàm mộ t phương trình lầ n lượ t
theo biến x ,theo biế n y giải hệ phương trình thu đượ c ta đượ c nghiệm

( x0 ;y0 ) khi đó=a

x=
0 ,b y 0 .

g) Dù ng hệ số bấ t đònh(xem thê m chủ đề hệ số bất đònh).
Cách 1: Lấ y (1) + k.(2) đưa về mộ t phương trình bậ c hai vớ i ẩ n
t = ax + by + c ta tìm k hợ p lý sao cho phương trình bậ c hai có Delta là số

chính phương.
Cách 2: Tìm hai cặ p nghiệ m củ a hệ phương trình. Viế t phương trình đườ ng
thẳ ng đi qua hai điểm đó . Lấ y mộ t điể m khá c hai điể m trê n thay và o hai vế
cá c phương trình củ a hệ từ đó suy ra hệ số bấ t đònh cầ n tìm.
h) Đạ o hàm lầ n lượ t theo biến x hoặ c theo y đố i vớ i mộ t trong hai phương trình
 u= x − a
đưa về hệ
củ a hệ tìm ra nghiệm =
x a,y
= b khi đó đặ t ẩn phụ 
v= y − b
phương trình đẳ ng cấ p.

B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giả i hệ phương trình

.
Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương phá p thế. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta đượ c:
5x − 4y − xy =
15 . Hệ phương trình đã cho tương đương vớ i:

5x − 15
5x − 4y − xy =
15
y =
⇔
x+4
 2
2
−3  2
x + y − 4x + 2y =
2
−3
x + y − 4x + 2y =

( x ≠ −4 )



5x − 15
y = +

x 4

⇔
2
x 2 +  5x − 15  − 4x + 2. 5x − 15 + 3 =
0



x+4
 x+4 



5x − 15
y =
⇔
x+4
x 4 + 4x3 + 22x 2 − 180x + 153 =
0


5x − 15
y = +
 x = 1,y = −2
x 4
.
⇔
⇔
=

=
x
3,y
0
2

( x − 1)( x − 3) x + 8x + 51 =
0


(

)

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là=
( x;y )

( 3;0 ); (1; −2 ) .

Cách 2: Đưa về hệ bậ c nhấ t
Nhậ n thấy x = 0 khô ng thỏa mãn hệ phương trình.
Xé t x ≠ 0 đặ t y = tx hệ phương trình trở thà nh:

(
(

)

 1 + t 2 x2 + 2 ( t − 2 ) x =
−3


.

12
 t 2 − t + 1 x2 + (1 − 2t ) x =


)

(
(

)

 1 + t2 z + 2 ( t − 2) x =
−3

.
Đặ t z = x khi đó hệ trở thà nh: 
12
 t 2 − t + 1 z + (1 − 2t ) x =

2

)

Ta có cá c đònh thứ c:
1 + t2
2t − 4
D=

=
−4t 3 + 7t 2 − 8t + 5
2
t − t + 1 1 − 2t
−3 2t − 4
1 + t2 − 3
Dz =
=
−18t + 45;D x =
=
15t 2 − 3t + 15
2
12 1 − 2t
t − t + 1 12

(

)

.

Nế u D =0 ⇔ −4t 3 + 7t 2 − 8t + 5 =0 ⇔ ( t − 1) 4t 2 − 3t + 5 =0
⇔ t = 1 ⇒ Dz = 27 ≠ 0 nê n hệ vô nghiệ m.



Dx
x =
D ⇒ z = x2 ⇔ D .D = D2 .
Xé t t ≠ 1 ⇒ D ≠ 0 khi đó 

z
x
D
z = z

D

( −18t + 45) ( −4t3 + 7t 2 − 8t + 5=)

(15t

2

− 3t + 15

)

2

(

)

⇔ 153t 4 + 216t 3 + 360t =
0 ⇔ 9t ( t + 2 ) 17t 2 − 10t + 20 =
0.

t = 0
⇔
 t = −2

TH1 : Nế u t = 0 ⇒ D = 5,Dx =15 ⇒ x =

Dx
D

=3 ⇒ y = 0 .

D
TH2 : Nế u t =
81,Dx =
81 ⇒ x = x =⇒
1 y=
−2 ⇒ D =
−2 .
D

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là=
( x;y )

( 3;0 ); (1; −2 ) .

Cách 3 : Đặ t ẩ n phụ đưa về hệ đẳng cấ p
x= u + 1
hệ phương trình trở thà nh:
Đặ t 
y= v − 2
 u +1 2 + v − 2 2 − 4 u +1 + 2 v − 2 =
) ( ) ( ) ( ) −3
(

.

2
2
( u + 1) + ( v − 2 ) − ( u + 1)( v − 2 ) + u + 1 − 2 ( v − 2 ) =
12


 u2 + v2 − 2u − 2v =
0
.
⇔
2
2
0
 u − uv + v + 5u − 7v =

Cách 4: Hệ số bất đònh(2 hướ ng xử lý).
x2 + y2 − 4x + 2y =
−3
(1)
Viế t lạ i hệ phương trình dướ i dạ ng: 
2
2
12
(2)
x + y − xy + x − 2y =

Lấ y (1) + k.(2) theo vế ta đượ c:

0.
( k + 1) x2 − ( ky + k + 4 ) x + k ( y2 − 2y − 12 ) + y2 + 2y + 3 =

Ta có : ∆ x =

( ky + k + 4 )

(

2

((

)

− 4 ( k + 1) k y 2 − 2y − 12 + y 2 + 2y + 3

)

(

)

)

= −3k 2 − 8k − 4 y2 + 10k 2 + 8k − 8 y + 49k 2 + 44k + 4 =0 .


Ta chọ n k sao cho ∆ x là số chính phương muốn vậy cho ∆ 'y =
0.

(

⇔ 5k 2 + 4k − 4
4

3

) − ( −3k
2

2

)(

)

− 8k − 4 49k 2 + 44k + 4 =0

.

2

⇔ 43k + 141k + 134k + 44k + 8 =0 ⇒ k =−1

Tứ c là trừ theo vế hai phương trình củ a hệ như lời giả i 1 ở trê n.
x2 + 3y2 + 4xy − 18x − 22y + 31 =
0
.
Bài 2. Giả i hệ phương trình 

2
2
0
2x + 4y + 2xy + 6x − 46y + 175 =

Lời giải
x= u + a
Cách 1: Đặ t 
khi đó hệ phương trình trở thà nh:
y= v + b
 u + a 2 + 3 v + b 2 + 4 u + a v + b − 18 u + a − 22 v + b + 31 =
0
) ( ) ( )( ) ( ) ( )
(
.

2
2
2 ( u + a ) + 4 ( v + b ) + 2 ( u + a )( v + b ) + 6 ( u + a ) − 46 ( v + b ) + 175 =
0


 u2 + 3v2 + 4uv + ( 2a + 4b − 18) u + ( 6b + 4a − 22 ) v


+ a2 + 3b2 + 4ab − 18a − 22b + 31 =
0
⇔
2
2

2u + 4v + 2uv + ( 4a + 2b + 6 ) u + ( 8b + 2a − 46 ) v

+ 2a2 + 4b2 + 2ab + 6a − 46b + 175 =
0


Ta sẽ chọn cá c hệ số ( a; b ) sao cho hệ trê n trở thành hệ đẳng cấ p bậ c hai.
2a + 4b − 18 =
0

a =
0
−5
6b + 4a − 22 =
.
⇔
⇔
=
+6 0 =
b 7
4a + 2b
8b + 2a − 46 =
0

Thay vào hệ trê n ta đượ c:
 u2 + 3v2 +=
 u2 + v2 −=
 u = v
4uv 1
2uv 0

.
⇔
⇔ 2
 2
2
2uv 1 2u2 + 4v2 + =
2uv 1 8u = 1
2u + 4v + =



1
−
−5
 x =
2 2


1

1
−
+7
 y =
u = v = −

2 2

2 2


.
⇔
⇔

1

1
 x
=
−5
 u= v=

2 2

2 2

1
 y
=
+7
 
2 2

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là :

 1

1
1
1

− 5; −
+ 7 ;
− 5;
+ 7 .
( x;y ) =
−
2 2
2 2
 2 2
 2 2

Nhận xét: Việ c đặ t ẩ n phụ thự c hiệ n bằ ng thủ thuậ t nhanh như sau :
Đạ o hàm theo biến x và đạ o hàm theo biế n y mộ t trong hai phương trình củ a
hệ (ta lự a chọ n phương trình đầ u củ a hệ)ta đượ c:
2x + 4y − 18 =
x =
0
−5  u =+
x 5
.
⇔
⇒

6y + 4x − 22 =0
y =7
v =y − 7
Cách 2: Lấ y (2) + k.(1) ta đượ c:

( k + 2 ) x2 + 2 ( y + 3 + 2ky − 9k ) x + 4y2 + 3ky2 − 46y + 175 − 22ky + 31k =0 .
Coi đây là phương trình bậc hai vớ i ẩn là x.

Ta có :
2

(

'x ( 2k + 1) y + 3 − 9k  − ( k + 2 ) 4y 2 + 3ky 2 − 46y + 175 − 22ky + 31k
∆=
=

(k

2

)

(

)

)

− 6k − 7 y 2 − 14 k 2 − 6k − 7 y + 50k 2 − 291k − 341

( 2k + 1) y + 3 − 9k =
Chọ n k = −1 thì ∆ 'x =
0 suy ra x =
−
y − 12 .
k+2
Lời giải

Lấ y (2) − (1) theo vế ta đượ c: x2 + 2 (12 − y ) x + y2 − 24y + 144 =
0.
2

⇔ ( x + 12 − y ) = 0 ⇔ x = y − 12 .

Thay vào phương trình đầu củ a hệ ta đượ c:

( y − 12 )

2

+ 3y 2 + 4y ( y − 12 ) − 18 ( y − 12 ) − 22y + 31 =
0.


⇔



1
1
1
−
− 5,y =
−
+7
7−
y =
x =

2
2
2
2
2
2
2

.
⇒
8y − 112y + 391 =⇔
0


1
1
1
− 5,y =
+7
y = 7 +
x =
2 2
2 2
2 2



C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
2
2

0
2x + xy − y − 5x + y + 2 =
.
Bài 1. Giả i hệ phương trình 
2
2
0
x + y + x + y − 4 =
Lời giải
Hệ phương trình đã cho tương đương vớ i:
  y= 2 − x
( x + y − 2 )( 2x − y − 1) =
0

y 2x − 1
.
⇔ =
 2
0
x + y 2 + x + y − 4 =
 2
2
0
x + y + x + y − 4 =

 y= 2 − x
 2
=
x 1,y
= 1

2
0
x + y + x + y − 4 =

⇔
⇔
4
13 .
x =
− ,y =
−
y 2x − 1
 =

5
5
 x2 + y2 + x + y − 4 =
0



Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là ( x;y
=
)

(1;1) ;  − 45 ; − 135  .








x2 − y2 − 2x + 2y + 3 =
0
Bài 2. Giả i hệ phương trình 
.
2
0
y − 2xy + 2x + 4 =
Lời giải
Nhậ n thấy y = 1 khô ng thỏa mãn hệ phương trình.

Xé t y ≠ 1 rú t x =

y2 + 4
từ phương trình thứ hai thay và o phương trình thứ
2y − 2

nhấ t củ a hệ ta đượ c:
2

 y2 + 4 
y2 + 4
+ 2y + 3 =
0.

 − y 2 − 2.
 2y − 2 

2y − 2



(

)(

)

⇔ 3y 4 − 12y3 − 4y2 + 32y − 44 =0 ⇔ y2 − 2y + 2 3y 2 − 6y − 22 =0 .




5
4
5
1−
1−
,y =
1−
y =
x =
3
3
3
.
⇔ 3y2 − 6y − 22 =0 ⇔ 
⇒



5
4
5
1+
1+
,y =
1+
y =
x =
3
3
3



Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là :


( x;y ) =−
1


4
3

;1 −

5 

4
5 
;1 +
; 1 +
.
3 
3
3

x2 − 2xy + 2y + 15 =
0
.
Bài 3. Giả i hệ phương trình 
2
−
+
+
=
2x
2xy
y
5
0


Lời giải
Nhậ n thấy x = 1 khô ng thỏa mãn hệ phương trình.
Vớ i x ≠ 1 rú t y =

x2 + 15

thay và o phương trình thứ hai củ a hệ ta đượ c:
2x − 2
2

x2 + 15  x 2 + 15 
+
2x − 2x.
0.
 +5=
2x − 2  2x − 2 

(

)(

)

⇔ 3x 4 − 12x3 + 26x 2 − 28x − 245 =0 ⇔ x 2 − 2x − 7 3x2 − 6x + 35 =0 .

x =
x =
1− 2 2
1 − 2 2,y =
1− 3 2
.
⇔ x2 − 2x − 7 = 0 ⇔ 
⇒
 x =
1 + 2 2  x =
1 + 2 2,y =

1+ 3 2

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là :

( x;y ) =
(1 − 2

)(

)

2;1 − 3 2 ; 1 + 2 2;1 + 3 2 .

x2 + y2 + x − 2y =
2
.
Bài 4. Giả i hệ phương trình  2
2
11
x + y + 2 ( x + y ) =

Lời giải
Cách 1 : Trừ theo vế hai phương trình củ a hệ ta đượ c x + 4y =
9.
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương vớ i:
 9 − 4y 2 + y2 + 9 − 4y − 2y =
x2 + y2 + x − 2y =
2
2
)

.
⇔ (

9
x= 9 − 4y
x + 4y =


=
= 2
x 1,y
17y2 − 78y + 88 =
0

⇔
⇔
23
44 .
x =
− ,y =
x= 9 − 4y

17
17
23 44
; .
(1;2 );  − 17
17

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là =

( x;y )









Cách 2 : Nhậ n thấ y x = 0 khô ng thỏ a mã n hệ phương trình.
Xé t x ≠ 0 đặ t y = tx khi đó hệ phương trình trở thành:

(
(

)
)

 1 + t 2 x 2 + (1 − 2t ) x =
2

.

11
 1 + t 2 x 2 + 2 (1 + t ) x =


(
(

)
)

 1 + t 2 z + (1 − 2t ) x =
2

Đặ t z = x hệ phương trình trở thà nh: 
11
 1 + t 2 z + 2 (1 + t ) x =

2

(

)

(

)

Tính đượ c D =
( 4t + 1) t 2 + 1 ,Dx =9 t 2 + 1 ,Dz =26t − 7 .
1
27
Nế u D =0 ⇔ t =− ⇒ Dz =− ≠ 0 hệ phương trình vô nghiệm.
4
2

Dx

x=
1 
D ⇒ z= x2 ⇔ D .D= D2 .
Nế u D ≠ 0 ⇔ t ≠ − ⇒ 
z
x
Dz
4 
z=
D


(

2

)

⇔ 81 t + 1

2

t = 2
.
=( 26t − 7 )( 4t + 1) t + 1 ⇔ 23t − 2t − 88 = 0 ⇔ 
 t = − 44

23

(

2

)

TH1 : Nế u t =2 ⇒ D =45,Dx =45 ⇒ x =
TH2 : Nế u t =
−

2

Dx
D

=1 ⇒ y =2 .

44
23
44
⇒x=
− ,y = .
23
17
17

Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là =
( x;y )

23 44
; .

(1;2 );  − 17
17








x2 + 4y 2 − 4x + 12y + 11 =
0
Bài 5. Giả i hệ phương trình 
2
2
0
x + 4y − 2xy − x + 4y − 12 =


Lời giải
Trừ theo vế hai phương trình củ a hệ ta đượ c:

( 2x + 8) y + 23 − 3x = 0 ⇔ y = 3x2x−+238 (do x = −4 không thỏa mãn hệ phương trình).
Thay y =

3x − 23
và o phương trình đầu củ a hệ ta đượ c :
2x + 8
2

 3x − 23 
3x − 23
+ 11 =
x + 4
0.
 − 4x + 12.
2x + 8
 2x + 8 
2

⇔ x 4 + 4x3 + 22x 2 − 180x + 153 =
0.
 x = 1,y = −2
x = 1 
⇔ ( x − 1)( x − 3) x2 + 8x + 51 =0 ⇔ 
⇒
12 .
 x = 3  x = 3,y = −
7


(

)



Vậ y hệ phương trình có hai nghiệ m là ( x;y ) =−
(1; 2 );  3; − 127  .




x2 + 2y2 + xy + x − 10y =−12
.
Bài 6. Giả i hệ phương trình 
2
2
−8
3x − y − xy + 15x + 4y =

Lời giải
Đặ t u =+
x 2,v =−
y 3 hệ phương trình trở thà nh:
 u − 2 2 + 2 v + 3 2 + u − 2 v + 3 + u − 2 − 10 v + 3 =−12
) ( ) ( )( )
( )
(
.

2
2
3 ( u − 2 ) − ( v + 3) − ( u − 2 )( v + 3) + 15 ( u − 2 ) + 4 ( v + 3) =
8
−


(

)

2
2
2
 2
2
2
4
 u + uv + 2v =
 u + uv + 2v= 4 3u − uv − v
.
⇔
⇔
2
2
1
3u − uv − v =
3u2 − uv − v2 =
1

 u = v

11u2 − 5uv − 6v2 =
0
6v

⇔
⇔  u = −
2
2

11
1
 
3u − uv − v =
2
3u − uv − v2 =
1



u =
x =
−1,v =
−1
−3,y =
2
  u = v


 2
−1,y =
u=
1,v =
1
4
2
x =
1 
3u − uv − v =



6
11
6
11
,v = ⇔  x =
−
−
− 2,y = + 3 .
⇔ 
⇔ u =
u = − 6 v
53
53
53
53



11


6
11
6
11
 2
2
−
−

+3
 x = − 2,y =
1  u = ,v =
 3u − uv − v =


53
53
53
53
Vậ y hệ phương trình có bốn nghiệ m là :


 6

11
+ 3 ;
− 2; −
+ 3 .
53
53
53

  53

Nhận xét: Cá ch đặ t ẩ n phụ như trê n xuấ t phát từ thủ thuậ t. Đạ o hàm mộ t
trong hai phương trình củ a hệ theo biế n x và theo biế n y ta đượ c(ở đâ y ta lự a
chọ n phương trình đầ u củ a hệ ).
2x + y + 1 =0
x =−2  u =x + 2

.
⇔
⇒

4y + x − 10 = 0
y = 3
v = y − 3

( x;y ) =
( −3;2 ); ( −1;4 );  −

6

− 2;

11

x2 + y2 =
1
(1)

Bài 7. Giả i hệ phương trình 
2
2
69
48 x − y + 28xy + 21x + 3y =

(

)

Lời giải
Lấ y 50.(1) + (2) theo vế ta đượ c:
98x2 + 28xy + 21x + 2y 2 + 3y − 119 =
0.

 y= 7 − 7x
.
⇔ ( 7x + y − 7 )(14x + 2y + 17 ) = 0 ⇔ 
 y = − 14x + 17
2

 24 7 
Hệ phương trình có hai nghiệm là: ( x;y ) = (1;0 ) ;  ;  .
 25 25 

x2 + y2 + x =
3
Bài 8. Giả i hệ phương trình 
.
2
2
0
x − 2y − xy + y + 1 =
Lời giải
Lấ y 2.(1) + (2) theo vế ta đượ c:

3x2 + 2x − 5 − xy + y = 0 ⇔ ( x − 1)( 3x + 5 − y ) = 0 .

Xé t trườ ng hợ p tìm đượ c cá c nghiệm của hệ phương trình là:

 11 17 
x;y ) (1;1) ; (1; −1) ; ( −2; −1) ;  − ;  .
(=
 10 10 

(2)


CHƯƠNG 2.

CÁC KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chương nà y là nộ i dung chính củ a cuố n sá ch. Tô i trình bày theo cá c dạ ng
toá n điể n hình phâ n theo cá c chủ đề . Mỗ i chủ đề cung cấ p cá c phương pháp
cũ ng như kỹ thuậ t giả i nhanh đồ ng thờ i là mộ t số lưu ý đố i với bạ n đọ c trong
quá trình xử lý từ ng bài toá n cụ thể.

Chủ đề 1.

KỸ THUẬT SỬ DỤNG
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
c1
a x + b1y =
Ta đã biế t mộ t hệ phương trình bậ c nhấ t hai ẩ n  1
luô n giả i
c2
a2 x + b2 y =

Dy
Dx
vớ i
đượ c bằ ng phé p thế hoặ c thô ng qua cô ng thứ c Đònh thứ
c x =
=
,y
D
D
a1 b1
c1 b1
a1 c1
=
,Dx =
,Dy
đó : D =
.
D ≠ 0 , trong
a2 b 2
c2 b2
a2 c2

Nế u tinh ý quan sá t hệ phương trình ta có thể đưa 1 hệ phương trình phứ c tạ p
về hệ bậ c nhấ t hai ẩn như trê n và ta sử dụ ng cô ng thứ c nghiệm để giả i.
Dấu hiện nhận biết phương pháp:
+ Cá c phương trình của hệ chỉ là phương trình bậ c nhấ t hoặ c bậ c 2 củ a mộ t
ẩ n x và y.
+ Có 1 nhâ n tử lặp lạ i ở cả 2 phương trình củ a hệ và cá c thành phần cò n lại
chỉ có dạ ng bậ c nhất củ a x và y(1 că n thứ c; 1 biểu thứ c củ a x và y).
+ Có 2 nhâ n tử lặp lạ iở cả 2 phương trình củ a hệ(có 2 că n thứ c; 2 biể u thứ c

củ a x và y).
Để rõ hơn bạn đọ c theo dõ i cá c ví dụ trình bà y dưới đâ y chắ c chắ n sẽ hình
thà nh kỹ năng nhậ n diện hệ phương trình đượ c giả i bằ ng kỹ thuậ t này.
Chú ý. Trong chương 1 các bà i toá n về hệ phương trình bậ c hai hai ẩ n dạng
tổ ng quát tôi đã trình bà y kỹ thuậ t nà y.
Cầ n nhấ n mạ nh thêm rằ ng phương phá p này giú p ta giả i quyế t đượ c bà i toá n
khi nhậ n biế t đượ c hệ bậ c nhấ t hai ẩ n. Tuy nhiê n có 1 thự c tế rằ ng đối vớ i 1
số hệ phương trình sẽ yê u cầ u bạ n đọ c tính toán khá nặ ng. Do vậ y mụ c đích
củ a bà i viế t là cung cấ p thê m cho bạ n đọ c 1 kỹ thuậ t để giả i hệ. Nhìn hệ
phương trình dưới con mắ t linh hoạ t hơn và tư duy suy nghó ta sẽ có thêm cá c
cá ch giả i hay khá c nhau.