www thuvienhoclieu com bai tap trac nghiem duong tiem can co dap an
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (256.37 KB, 26 trang )
www.thuvienhoclieu.com
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
y = f ( x)
Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số
lim f ( x) = 1
có
lim f ( x) = - 1
và x�- �
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và
x�+�
y=- 1
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
x = - 1.
lim f ( x) = 0
lim f ( x) = +�
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có x�+�
và x�- �
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
x =1
và
. Khẳng định
y = 0.
lim+ f ( x) = +�
lim f ( x) = 0
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có x�+�
và x�0
. Khẳng định
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 .
D. Hàm số đã cho có tập xác định là
D = ( 0, +�)
.
lim+ f ( x) = +�
lim f ( x) = - 1
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) có x�- �
và x�1
. Khẳng định
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = - 1 và tiệm cận đứng x = 1.
D. Đồ thị hàm số hai tiệm cận ngang là các đường y = - 1 và y = 1.
lim f ( x) = 1
lim- f ( x) = lim+ f ( x) = 10.
x�2
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có x���
và x�2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 và đường thẳng x = 2
không phải là tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 10.
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nhưng có một tiệm cận đứng
x = 2.
Câu 6. Cho hàm số f ( x) có tập xác định là
các khoảng của tập D và có
lim+ f ( x) = - �;
x�( - 3)
lim f ( x) = +�;
x�1-
lim- f ( x) = - �;
x�( - 1)
lim f ( x) = +�;
x�1+
D = ( - 3;3) \ { - 1;1}
, liên tục trên
lim+ f ( x) = - �;
x�( - 1)
lim f ( x) = +�.
x�3-
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng
www.thuvienhoclieu.com
x=- 3
và
x = 3.
Trang 1
www.thuvienhoclieu.com
B. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng x = - 1 và x = 1.
C. Đồ thị hàm số có đúng bốn TCĐ là các đường thẳng x = �1 và x = �3 .
D. Đồ thị hàm số có sáu TCĐ.
Câu 7. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Đồ thị hàm số
lim f ( x) = 1
x�+�
và
y = f ( x)
có tiệm cận ngang
lim f ( x) = 1
C. Đồ thị hàm số
lim f ( x) = +�
khi và chỉ khi
x�- �
B. Nếu hàm số y = f ( x) không xác định tại
có tiệm cận đứng x = x0
x�2+
y =1
và
y = f ( x)
lim f ( x) = +�
x�2-
D. Đồ thị hàm số
ngang.
Câu 8. Cho hàm số
thiên như sau:
y = f ( x)
y = f ( x)
x0
thì đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng
x=2
khi và chỉ khi
.
bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận
xác định và liên tục trên
�\ { - 1}
, có bảng biến
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = - 1 và tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = - 1 và tiệm cận ngang
Câu 9. Cho hàm số
thiên như sau:
f ( x)
y = f ( x)
xác định và liên tục trên
�\ { - 1} ,
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có hai TCN y = 2, y = 5 và một TCĐ
D. Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận.
www.thuvienhoclieu.com
x = - 2.
y = - 2.
có bảng biến
x =- 1.
Trang 2
www.thuvienhoclieu.com
Câu 10. Cho hàm số
y = f ( x)
có bảng biến thiên như sau:
Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x) ?
A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = �1 .
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1.
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = �1 , tiệm cận đứng
x = - 1.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang
Câu 11. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
xác định và có bảng biến thiên như sau:
x
y'
-�
0
-
y = 1,
�\ { 0}
0
2
x = - 1.
, liên tục trên mỗi khoảng
1
+
tiệm cận đứng
-
+�
1
y
-� -�
-�
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
D. Hàm số không có cực trị.
Câu 12. Cho hàm số
x
y = f ( x)
-�
y'
có bảng biến thiên như sau:
+
+�
3
- 3
+
+
+�
+�
y
0
0
-�
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
-�
x =- 3.
x = 3.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 3
www.thuvienhoclieu.com
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
D. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
Câu 13. Cho hàm số
y = f ( x)
-�
x
có bảng biến thiên như sau:
- 2
0
+�
-
+
y'
+�
y
1
0
-�
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 14. Cho hàm số
x
y = f ( x)
-�
có bảng biến thiên như sau:
- 2
y'
1
-
+�
+
+�
+�
y
2
-�
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 15. Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của
đồ thị hàm số
y=
x- 2
.
x+2
A. ( - 2;2) .
B. ( 2;1) .
C. ( - 2;- 2) .
D. ( - 2;1) .
Câu 16. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số
A. 2.
y=
x2 - 3x - 4
x2 - 16 .
B. 3.
C. 0.
D. 1.
x- 2
y= 2
x - 9
Câu 17. Đồ thị hàm số
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 18. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đồ thị hàm số nào trong các
hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
A.
y=
1
x
.
B.
y=
Câu 19. Đồ thị hàm số
cận?
A. 1.
B. 2.
1
.
x +1
4
C.
y=
� x2 +1
�
�
khi x �1
� x
y=�
�
�
2x
�
�
khi x < 1
�x - 1
�
1
.
x +1
2
D.
y=
1
.
x + x +1
2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm
C. 3.
D. 4.
Câu 20. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
www.thuvienhoclieu.com
y = f ( x) =
3x + 2
.
x +1
Trang 4
www.thuvienhoclieu.com
A. Đồ thị hàm số f ( x) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng
y = 3 và không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số f ( x) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm
cận đứng là đường thẳng x = - 1.
C. Đồ thị hàm số f ( x) có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
y = - 3 , y = 3 và không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số f ( x) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm
cận đứng là các đường thẳng x = - 1, x = 1.
y=
x2 +1
x2 - x - 2
Câu 21. Đồ thị hàm số
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Câu 22. Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm cận ngang?
y=
A.
x2 - x
x +2
. B.
y=
y=
x- 2
x +1
.
C.
y=
4- x2
x +1
y=
.
D.
x +2
x- 2
.
x +1
2
x +1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 23. Cho hàm số
A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận ngang, không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
y=
Câu 24. Đồ thị hàm số
cận?
A. 1.
B. 2 .
x +1
2
4x + 2x +1
có tất cả bao nhiêu đường tiệm
C. 3 .
y=
x +1
x2 - 1
y=
x- 7
x2 + 3x - 4
Câu 25. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2 .
Câu 26. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2.
y=
D. 4 .
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3 .
D. 0 .
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 0.
D. 3.
2x +1
3x - x - 1 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
Câu 27. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 28. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm
y=
1- x
cận đứng của đồ thị hàm số
A. n = d = 1.
B. n = 0; d = 1.
y=
Câu 29. Đồ thị hàm số
A. 0 .
B. 1.
y=
Câu 30. Đồ thị hàm số
A. 0 .
B. 1.
.
( x - 1) x Khẳng định nào sau đây là đúng?
C.
n = 1;d = 2.
D.
n = 0; d = 2.
x +3
9- x2
16- x2
x2 - 16
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2 .
D. 3 .
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2 .
D. 3 .
www.thuvienhoclieu.com
Trang 5
www.thuvienhoclieu.com
Câu 31. Đồ thị hàm số
A. 0
B. 1
y=
1- x2
x + 2x
y=
2x 3- x2
x2 + x - 2
y=
2- x2 - 1
x2 - 3x + 2
Câu 32. Đồ thị hàm số
A. 3.
B. 1.
Câu 33. Đồ thị hàm số
A. 0.
B. 1.
2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2
D. 3.
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2.
D. 4.
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2.
D. 3.
x +1
y=
x2 - 1
Câu 34. Đồ thị hàm số
A. 4.
B. 2.
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3.
D. 1.
x- 1
y=
2
2x - 1- 1 . Gọi d, n lần lượt là số tiệm cận đứng
Câu 35. Cho hàm số
và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. n + d = 1.
B. n + d = 2.
C. n + d = 3.
D. n + d = 4.
x2 + 2x +1
x2 - 1
y=
Câu 36. Đồ thị hàm số
A. 0.
B. 1.
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2.
D. 3.
x2 - x - 2
y=
4
2
x - 4x + 4 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 37. Cho hàm số
A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B. Đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số có đường tiện cận ngang là x = 1.
y=
x2 + 2x + 3
x4 - 3x2 + 2
Câu 38. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 3 .
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 5 .
D. 6 .
y=
x2 - 3x + 2
Câu 39. Đồ thị hàm số
A. 0.
B. 1.
Câu 40. Đồ thị hàm số
ngang?
A. 0.
B. 2.
3
x4 - 1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 2.
D. 3.
y = x2 + 2x + 3 - x
C. 1.
Câu 41. Tìm giá trị thực của tham số
đường tiệm cận đứng đi qua điểm
m= 2 .
có bao nhiêu đường tiệm cận
(
D. 3.
m
)
để đồ thị hàm sô
2m2 x - 5
x +3
1
m= .
2
m= 0 .
nhận đường thẳng
m=
2.
A.
B. m= - 2.
mx - 1
2x + m
có
M - 1; 2 .
A.
B.
C.
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
y=
y=
y= 8
m=
m
D.
để đồ thị hàm số
làm tiệm cận ngang.
C. m= �2.
D.
www.thuvienhoclieu.com
2
2 .
m= 0.
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
y=
( m- 2n- 3) x + 5
x - m- n
Câu 43. Biết rằng đồ thị hàm số
nhận hai trục tọa độ làm
2
2
S
=
m
+
n
2.
hai đường tiệm cận. Tính tổng
A. S = 2.
B. S = 0.
C. S = - 1.
D. S = - 1.
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y=
2x2 - 3x + m
x- m
không có tiệm cận đứng.
A.
B. m= 1, m= 2 .
C. m= 0, m= 1.
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m= 0 .
y=
x +1
x - 2mx + 4
2
A.
m
D. m= 1.
để đồ thị hàm số
có ba đường tiệm cận.
m�( �;- 2) �( 2;+�) .
�
5� �
5
�
m��
- �;- �
�;�
�
�
�
�2
�
��
2�
B.
�
5� �
5
�
m��
- �;- �
�;�
�
�
�
�
�2
�
�
2�
�
2�
.
�
�
�
�
2�
�( 2;+�) .
�
�
�
C.
D. m�( 2;+�) .
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
a
để đồ thị hàm số
m
D. a= �2.
để đồ thị hàm số
2
y=
x +1
3x2 - 2ax + a
a= �
có đúng một tiệm cận đứng.
3
.
2
A.
B. a = 0, a = 3.
C. a = 1, a = 2.
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
y=
x+2
x - 4x + m
2
có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.
A.
B. m> 4.
C. m= 4, m= - 12. D. m�4.
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
m< 4.
y=
x+2
x - 4x + m
2
có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.
A. m=- 12.
B. m> 4.
C. m= - 12, m> 4. D. m�4.
Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
[- 2017;2017] để hàm số
x+2
y=
2
x - 4x + m
có hai tiệm cận đứng.
A.
B.
C. 2020.
D. 2021.
Câu 50. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham
2018.
2019.
y=
x +1
2
mx +1 có hai tiệm cận ngang.
sao cho đồ thị của hàm số
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B. m< 0 .
C. m= 0 .
D. m> 0 .
m
Câu 51. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để đồ thị hàm số
số
m
y=
x- 3
x + mx2 + 4
A.
có đúng một tiệm cận ngang.
B. m�0.
C. m= 1.
m= 0, m = 1.
y=
D.
m= 0.
x- 1
2
x + 2(m- 1)x + m2
Câu 52. Cho hàm số
với m là tham số thực và
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
www.thuvienhoclieu.com
1
m> .
2
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
x +2
y=
mx4 + 3
có đường tiệm cận ngang.
A. m= 0 .
B. m< 0 .
C.
y=
m> 0 .
D.
m�0 .
2x +1
x- 1
Câu 54. Tìm trên đồ thị hàm số
những điểm M sao cho khoảng
M
cách từ
đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận
ngang của đồ thị.
A.
C.
� 7�
�
M�
- 4; �
�
�
�
� 5�hoặc M ( 2;5)
M ( 4;3)
hoặc
M ( 2;5)
Câu 55. Cho hàm số
.
M ( 4;3)
B.
.
D.
x- m
y=
x +1 ( C )
với
hoặc
M ( - 2;1)
.
� 7�
M�
- 4; �
�
�
�
�
� 5�
hoặc M ( - 2;1) .
m
M
là tham số thực. Gọi
là điểm
thuộc ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( C )
nhỏ nhất. Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất đó bằng 2.
A. m= 0.
B. m= 2.
C. m= - 2, m= 0. D. m= 1.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số
lim f ( x) = 1
y = f ( x)
có
lim f ( x) = - 1
và x�- �
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và
x�+�
y=- 1
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
x =1
và
x = - 1.
Câu 1. Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:
lim f ( x) = 1��
� y =1
x�+�
là TCN.
lim f ( x) = - 1��
� y=- 1
x�- �
là TCN. Chọn C.
lim f ( x) = 0
lim f ( x) = +�
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có x�+�
và x�- �
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
Câu 2. Ta có
lim f ( x) = 0 ��
� y= 0
x�+�
. Khẳng định
y = 0.
là TCN.
x
�
��
1�
�
�
�
; x �- 1
�
�
�
�
��
2�
�
�
y=�
x
�
��
1�
�
�
- �
; x �1
�
�
�
�
�
2�
� ��
.
Đáp án B sai vì chọn hàm
Vậy ta chỉ có đáp án C đúng. Chọn C.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 8
www.thuvienhoclieu.com
lim+ f ( x) = +�
lim f ( x) = 0
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có x�+�
và x�0
. Khẳng định
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 .
D. Hàm số đã cho có tập xác định là D = ( 0, +�) .
Câu 3. Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:
lim f ( x) = 0 ��
� y=0
x�+�
x� 0+
là TCN.
lim f ( x) = +� ��
� x=0
là TCĐ. Chọn B.
lim+ f ( x) = +�
lim f ( x) =- 1
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) có x�- �
và x�1
. Khẳng định
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = - 1 và tiệm cận đứng x = 1.
D. Đồ thị hàm số hai tiệm cận ngang là các đường y = - 1 và y = 1.
Câu 4. Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:
lim f ( x) = - 1 ��
� y=- 1
x�- �
x�1+
lim f ( x) = +� ��
� x =1
là TCN.
là TCĐ. Chọn C.
lim f ( x) = 1
lim- f ( x) = lim+ f ( x) = 10.
x�2
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có x���
và x�2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 và đường thẳng x = 2
không phải là tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 10.
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nhưng có một tiệm cận đứng
x = 2.
Câu 5. Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:
lim f ( x) = 1 ��
� y =1
x���
là TCN.
lim+ f ( x) = lim- f ( x) = 10 ��
� x=0
x�2
x�2
không phải là TCĐ. Chọn A.
Câu 6. Cho hàm số f ( x) có tập xác định là
các khoảng của tập D và có
lim+ f ( x) = - �;
x�( - 3)
lim f ( x) = +�;
x�1-
lim- f ( x) = - �;
x�( - 1)
lim f ( x) = +�;
x�1+
D = ( - 3;3) \ { - 1;1}
, liên tục trên
lim+ f ( x) = - �;
x�( - 1)
lim f ( x) = +�.
x�3-
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng x = - 3 và x = 3 .
B. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng x =- 1 và x = 1.
C. Đồ thị hàm số có đúng bốn TCĐ là các đường thẳng x = �1 và x = �3 .
D. Đồ thị hàm số có sáu TCĐ.
Câu 6. Chọn C.
Câu 7. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
www.thuvienhoclieu.com
A. Đồ thị hàm số
lim f ( x) = 1
x�+�
và
y = f ( x)
có tiệm cận ngang
lim f ( x) = 1
C. Đồ thị hàm số
lim f ( x) = +�
khi và chỉ khi
x�- �
B. Nếu hàm số y = f ( x) không xác định tại
có tiệm cận đứng x = x0
x�2+
y =1
và
y = f ( x)
lim f ( x) = +�
x�2-
D. Đồ thị hàm số
ngang.
y = f ( x)
x0
x=2
có tiệm cận đứng
bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận
lim f ( x) = 1
y = x3 - 1
khi và chỉ khi
.
Câu 7. A sai vì chỉ cần một trong hai giới hạn x�- �
tồn tại thì đã suy ra được tiệm cận ngang là y = 1.
B sai, ví dụ hàm số
y = f ( x)
thì đồ thị hàm số
không xác định tại
x=- 2
hoặc
lim f ( x) = 1
x�+�
nhưng
lim - f ( x)
x�( - 2)
lim + f ( x)
và x�( - 2)
không tiến đến vô cùng nên x = - 2 không phải là tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số.
C sai vì chỉ cần tồn tại một trong bốn giới hạn sau:
lim f ( x) = - �, lim- f ( x) = +�, lim+ f ( x) = - �, lim+ f ( x) = +�
x�2-
x� 2
x� 2
D đúng vì chỉ có hai giới hạn
Câu 8. Cho hàm số
thiên như sau:
y = f ( x)
lim f ( x) , lim f ( x)
x�- �
x�+�
x� 2
. Chọn D.
xác định và liên tục trên
�\ { - 1}
, có bảng biến
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = - 1 và tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = - 1 và tiệm cận ngang
Câu 8. Từ bảng biến thiên, ta có :
�lim f ( x) = +�
�
x�( - 1)
�
�
��
�x =- 1
�
�
lim+ f ( x) = - �
�
�
�x�( - 1)
●
Chọn D.
Câu 9. Cho hàm số
thiên như sau:
f ( x)
là TCĐ. ●
.
lim y = - 2
�
�
x�- �
�
��
� y=- 2
�
�
lim y = - 2
�
x
�+�
�
xác định và liên tục trên
www.thuvienhoclieu.com
�\ { - 1} ,
x = - 2.
y = - 2.
là TCN.
có bảng biến
Trang 10
www.thuvienhoclieu.com
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có hai TCN y = 2, y = 5 và một TCĐ
D. Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận.
Câu 9. Từ bảng biến thiên, ta có:
�lim f ( x) = +�
+
�
x� ( - 1)
�
�
��
� x=- 1
�
�
lim- f ( x) =- �
�
�
�x�( - 1)
lim f ( x) = 5 ��
� y=5
x�- �
Câu 10. Cho hàm số
x = - 1.
là TCĐ.
là TCN và
y = f ( x)
lim f ( x) = 2 ��
� y=2
x�+�
là TCN. Chọn C.
có bảng biến thiên như sau:
Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x) ?
A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = �1 .
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1.
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = �1 , tiệm cận đứng
x = - 1.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang
Câu 10. Ta có
Ta có
A.
lim f ( x) = 2 ���
x�- 1
lim f ( x) = - 1��
� y=- 1
x�- �
-�
là TCN;
-
1
0
+
2
tiệm cận đứng
x = - 1.
nên đồ thị hàm số không có TCĐ.
lim f ( x) = 1��
� y =1
x�+�
Câu 11. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
xác định và có bảng biến thiên như sau:
x
y'
y = 1,
0
�\ { 0}
-
là TCN. Chọn
, liên tục trên mỗi khoảng
+�
1
y
-� -�
-�
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
D. Hàm số không có cực trị.
Câu 11. Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét như sau:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 11
www.thuvienhoclieu.com
A đúng vì
hàm số.
B sai vì tại
lim f ( x) = lim- f ( x) = - � ��
� x=0
x�0+
x=0
x�0
là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số không xác định.
C sai vì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng
1
trên khoảng ( 0;+�) mà không
đạt giá trị lớn nhất trên khoảng ( - � ;0) .
D sai vì đạo hàm y� đổi dấu từ "+ " sang
x = 1 ��
� x =1
là điểm cực đại của hàm số.
Chọn A.
y = f ( x)
Câu 12. Cho hàm số
x
-�
y'
khi đi qua điểm
có bảng biến thiên như sau:
+�
3
- 3
+
"- "
+
+
+�
+�
y
0
0
-�
-�
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =- 3.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
D. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
Câu 12. Từ bảng biến thiên, ta có:
lim y = 0 ��
� y= 0
x���
là TCN;
�lim+ y = - �
�
�x�( - 3)
��
� x =- 3
�
�
lim - y = +�
�
�x�( - 3)
�
là TCĐ;
�lim+ y = - �
�
x� 3
�
��
� x=3
�
�
lim y = +�
�
x� 3�
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả ba đường tiệm cận. Do đó D sai. Chọn D.
Câu 13. Cho hàm số
x
-�
- 2
y = f ( x)
0
-
+
y'
có bảng biến thiên như sau:
+�
+�
y
1
0
-�
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 13. Từ bảng biến thiên, ta có:
lim y = 0 ��
� y= 0
x�+�
là TCN;
www.thuvienhoclieu.com
Trang 12
www.thuvienhoclieu.com
lim + y = - � ��
� x =- 2
x�( - 2)
là TCĐ;
lim- y = +� ��
� x=0
x� 0
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng ba đường tiệm cận. Chọn C.
Câu 14. Cho hàm số
x
-�
y = f ( x)
- 2
có bảng biến thiên như sau:
1
-
y'
+�
+
+�
+�
y
2
-�
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 14. Từ bảng biến thiên, ta có:
lim y = +� ��
�
x�+�
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;
lim + y = +� ��
� x =- 2
x�( - 2)
là TCĐ;
lim+ y = - � ��
� x =1
x�1
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận. Chọn B.
Câu 15. Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của
y=
đồ thị hàm số
A. ( -
2;2)
x- 2
.
x+2
B. ( 2;1) .
.
C. ( -
2;- 2)
.
D. ( -
2;1)
.
D = �\ { - 2} .
Câu 15. TXĐ
Dễ thấy đồ thị hàm số có TCĐ:
x =- 2
và TCN:
y = 1.
Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là ( - 2;1) . Chọn D.
Câu 16. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ
y=
x2 - 3x - 4
x2 - 16 .
thị hàm số
A. 2.
B. 3.
Câu 16. Xét phương trình
C. 0.
x - 16 = 0 � x = �4
lim y = lim
x�- 4
D. 1.
. Ta có:
( x +1) ( x - 4)
2
x�- 4
2
x - 3x - 4
x +1
= lim
= lim
=� � x =- 4
x�- 4 ( x + 4) ( x - 4)
x�- 4 x + 4
x2 - 16
là TCĐ;
( x +1) ( x - 4)
x - 3x - 4
x +1 5
lim y = lim
= lim
= lim
= � x=4
2
x� 4
x� 4
x� 4 ( x + 4) ( x - 4)
x� 4 x + 4
8
x - 16
không là TCĐ.
2
Vậy đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng. Chọn D.
y=
Câu 17. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2.
Câu 17. TXĐ:
D = �\ { �3} .
x- 2
x2 - 9
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3.
D. 4.
Ta có:
x- 2
x- 2
lim y = lim- 2
= - �; lim+ y = lim+ 2
= +� ��
�x=3
x�3x�3 x - 9
x�3
x�3 x - 9
www.thuvienhoclieu.com
là TCĐ;
Trang 13
www.thuvienhoclieu.com
lim y = lim-
x�- 3-
x�- 3
x- 2
x- 2
= +�; lim+ y = lim+ 2
= - � ��
�x =- 3
2
x
�3
x
�3
x - 9
x - 9
1 2
1
- 2
x
x
lim y = lim
= 0; lim y = lim x
x�- �
x�- �
x�+�
x�+�
9
1- 2
1x
2
x2 = 0 ��
� y= 0
9
x2
Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận. Chọn C.
TCĐ;
là TCN.
Câu 18. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đồ thị hàm số nào trong các
hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
1
y=
x
.
y=
1
.
x4 +1
1
.
x2 +1
y=
y=
1
.
x2 + x +1
A.
B.
C.
D.
Câu 18. Nhận thấy các đáp án B, C, D hàm số có TXĐ: D = � nên không
có TCĐ.
Dùng phương pháp loại trừ thì A đúng. Chọn A.
(Thật vậy; hàm số
y=
1
Câu 19. Đồ thị hàm số
cận?
A. 1.
B. 2.
Câu 19. Ta có:
x
có
lim y = lim+
x� 0+
x� 0
= +� ��
� x=0
là TCĐ;
là TCN;
là TCĐ)
có tất cả bao nhiêu đường tiệm
C. 3.
2x
lim y = lim
= 2 ��
� y=2
x�- �
x�- � x - 1
x�1
x
� x2 +1
�
�
khi x �1
� x
y=�
�
�
2x
�
�
khi x <1
�x - 1
�
2x
= - � ��
� x =1
x- 1
lim y = lim-
x�1-
1
D. 4.
2
lim y = lim
x +1
= 1��
� y =1
x
là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận. Chọn A.
x�+�
x�+�
Câu 20. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
y = f ( x) =
3x + 2
.
x +1
A. Đồ thị hàm số f ( x) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng
y = 3 và không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số f ( x) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm
cận đứng là đường thẳng x =- 1.
C. Đồ thị hàm số f ( x) có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
y = - 3 , y = 3 và không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số f ( x) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm
cận đứng là các đường thẳng x = - 1, x = 1.
�
Câu 20. TXĐ: D = � ��
đồ thị không có tiệm cận đứng.
lim
x�- �
Ta có
Chọn C.
3x + 2
= - 3 ��
� y=- 3
x +1
lim
là TCN;
x�+�
3x + 2
= 3 ��
� y=3
x +1
www.thuvienhoclieu.com
là TCN.
Trang 14
www.thuvienhoclieu.com
y=
Câu 21. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2.
x2 +1
x2 - x - 2
x2 +1
= 1��
� y =1
x��� x - x - 2
lim y = lim
Câu 21. Ta có
x���
Xét phương trình
●
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 4.
D. 3.
2
là TCN.
�
x=2
x2 - x - 2 = 0 � �
.
�
x =- 2
�
�
x2 +1
�
lim+ y = lim+ 2
= +�
�
�
x�2
x� 2 x - x - 2
�
�
��
�x=2
�
�
x2 +1
�
�
lim y = lim- 2
=- �
�
x�2x�2 x - x - 2
�
�
là TCĐ;
�
x +1
�
lim+ y = lim+ 2
=- �
�
�
x�- 2
x�- 2 x - x - 2
�
�
��
�x =- 2
�
�
x2 +1
�
�
lim y = lim- 2
= +�
�
x�- 2x�- 2 x - x - 2
�
�
2
●
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận. Chọn D.
Câu 22. Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm cận ngang?
y=
A.
x2 - x
x +2
. B.
y=
x- 2
x +1
lim y = lim
x�+�
x�+�
Câu 22. A. Xét
lim y = lim
x�- �
Xét
B. Xét
x�- �
.
C.
y=
4- x2
x +1
y=
.
D.
x +2
x- 2
.
1
1
x 11x2 - x
x
x = 1;
= lim
= lim
x�+�
x�+�
2
x +2
x +2
1+
x
1
1
- x 1- 1x2 - x
x
x = 1.
= lim
= lim
x�- � - x + 2
x�- �
2
x +2
- 1+
x
Vậy A. sai.
2
1x- 2
x- 2
x = 1;
lim y = lim
= lim
= lim
x�+�
x�+� x +1
x�+� x +1
x�+�
1
1+
x
2
- 1- x- 2
x = - 1.
lim y = lim
= lim
= lim
x�- �
x�- � x +1
x�- � x +1
x�+�
1
1+
x
x- 2
Xét
Vậy B đúng.
Chọn B. (C và D có thể loại trừ vì TXĐ không chứa - � và +� )
y=
x +1
2
x +1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 23. Cho hàm số
A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận ngang, không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
� đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 23. TXĐ: D = ���
Ta có:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 15
www.thuvienhoclieu.com
� 1�
x�
1+ �
�
�
�
�
� x�
� 1�
�
x�
1+ �
�
�
�
� x�
x +1
= lim
= lim
= 1��
� y =1
2
x�+�
x�+�
1
1
x +1
x 1+ 2
x 1+ 2
x
x
lim y = lim
x�+�
x�+�
x +1
lim y = lim
x�- �
x2 +1
x�- �
= lim
x�- �
� 1�
x�
1+ �
�
�
�
�
� x�
1
x 1+ 2
x
= lim
x�- �
� 1�
x�
1+ �
�
�
�
� x�
�
1
- x 1+ 2
x
là TCN;
= - 1��
� y=- 1
là TCN.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng hai tiệm cận ngang.
Chọn C.
x +1
y=
2
4x + 2x +1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm
Câu 24. Đồ thị hàm số
cận?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
2
2x 1 0, x �
Câu 24. Ta có 4x ++>"ξ��
TXĐ của hàm số D = �. Do đó đồ
thị hàm số không có tiệm cận đứng.
lim
Xét
x�+�
lim
x�- �
x +1
2
4x + 2x +1
=
1
1
��
� y=
2
2
là TCN;
x +1
1
1
=��
� y=2
2
2
4x + 2x +1
là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận. Chọn B.
y=
Câu 25. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2 .
Câu 25. TXĐ:
x +1
x2 - 1
D = ( - 1;1) �( 1;+�)
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3 .
D. 0 .
. Ta có:
�
x +1
1
�
lim+ y = lim+
= lim+
= +�
�
�
x
�
1
x
�
1
x
�
1
( x +1) ( x - 1)
x +1( x - 1)
�
�
��
� x =1
�
�
x +1
1
�
�
lim- y = lim= lim=- �
�
x�1 ( x +1) ( x - 1)
x�1
�
x +1( x - 1)
�x�1
lim+ y = lim+
x�( - 1)
x�( - 1)
là TCĐ;
x +1
1
= lim+
= - � ��
� x =- 1
x
�
1
(
)
( x +1) ( x - 1)
( x - 1) x +1
là TCĐ;
1
1
+ 4
3
x +1
x = 0 ��
lim y = lim 2
= lim x
� y=0
x�+�
x�+� x - 1
x�+�
1
1- 2
x
Là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận. Chọn C.
y=
Câu 26. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2.
x- 7
x + 3x - 4
2
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 0.
D. 3.
Câu 26. TXĐ D = [7;+�) .
2
Vì x + 3x - 4 �0, " x �D . Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Chọn C.
y=
Câu 27. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2.
2x +1
3x -
x- 1
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
C. 3.
D. 4.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 16
www.thuvienhoclieu.com
D = [1;+�) .
Câu 27. TXĐ:
lim y = lim
x�+�
x�+�
2+
2x +1
3x -
x- 1
= lim
x�+�
3-
1
x
=
1 1
x x2
2
2
��
� y=
3
3
Do đó ta chỉ xét
là
TCN.
Vậy đồ thị hàm số có đúng một TCN. Chọn A.
Câu 28. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm
y=
1- x
.
( x - 1) x Khẳng định nào sau đây là đúng?
cận đứng của đồ thị hàm số
A. n = d = 1.
B. n = 0; d = 1.
C.
n = 1;d = 2.
lim y
�
Câu 28. TXĐ: D = ( 0;1) ��
không tồn tại
hàm số không có tiệm cận ngang.
Xét phương trình
1- x
lim
( x - 1) x
x�0+
lim
x�1-
Vậy
1- x
( x - 1) x
�
x=0
.
x =1
�
( x - 1) x = 0 � �
�
x �- �
= limx�1
x- 1 x
Ta có:
là TCĐ.
Chọn D.
x +3
9- x2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2 .
D. 3 .
lim y
�
Câu 29. TXĐ: D = ( - 3;3) ��
không tồn tại
hàm số không có tiệm cận ngang.
Ta có:
x�- 3
lim
x�3-
9- x
x +3
2
9- x
Suy ra đồ thị
= � ��
� x =1
Câu 29. Đồ thị hàm số
A. 0 .
B. 1.
2
lim y.
x�+�
là TCĐ;
- 1
y=
x +3
và
n = 0; d = 2.
= � ��
�x=0
n = 0; d = 2.
lim+
D.
= lim+
x�- 3
= limx�3
x +3
3- x. 3+ x
x +3
3- x. 3+ x
= lim+
x�- 3
= limx�3
x +3
3- x
x+3
3- x
x �- �
và
lim y.
x�+�
Suy ra đồ thị
= 0 ��
�x =- 3
không là TCĐ;
= +� ��
�x=3
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận. Chọn B.
y=
Câu 30. Đồ thị hàm số
A. 0 .
B. 1.
16- x2
x2 - 16
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2 .
D. 3 .
�
Câu 30. TXĐ: D = ( - 4;4) ��
không tồn tại
hàm số không có tiệm cận ngang.
Ta có:
●
lim+
x�- 4
lim y
x �- �
� - 1 �
16- x2
�
�
= lim+ �
�
=- � ��
�x=- 4
�
2
�
2
�
x
�4
�
x - 16
� 16- x �
và
lim y.
x�+�
Suy ra đồ thị
là TCĐ;
� - 1 �
16- x
�
�
lim- 2
= lim- �
�
= - � ��
�x= 4
�
�
x�4
x�4 �
�
x - 16
� 16- x2 �
2
●
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận. Chọn C.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 17
www.thuvienhoclieu.com
Câu 31. Đồ thị hàm số
A. 0
B. 1
y=
1- x2
x + 2x
2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2
D. 3.
[ 1;0) ( 0;1]
Câu 31. TXĐ: D =-Ⱦ��
không tồn tại
thị hàm số không có tiệm cận ngang.
lim y
x�- �
lim y.
và
x�+�
Suy ra đồ
�
1- x2
�
�
lim
= +�
�
�x� 0+ x2 + 2x
�
��
� x=0
�
�
2
�
1
x
�
lim- 2
=- �
�
�
�x� 0 x + 2x
Ta có
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận. Chọn B.
y=
Câu 32. Đồ thị hàm số
A. 3.
B. 1.
2x 3- x2
x2 + x - 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2.
D. 4.
D =�
- 3; 3�
\ {1} ��
�
�
�
Câu 32. TXĐ:
không tồn tại
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
lim y
x�- �
và
lim y.
x�+�
Suy ra
� 2x 3- x2
�
�
lim
= +�
�
�x�1+ x2 + x - 2
�
��
� x =1
�
�
2
�
2
x
3
x
�
lim- 2
=- �
�
�
�x�1 x + x - 2
Ta có
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận. Chọn B.
y=
Câu 33. Đồ thị hàm số
A. 0.
B. 1.
2- x2 - 1
x2 - 3x + 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2.
D. 3.
D =�
- 2; 2�
\ {1} ��
�
�
�
Câu 33. TXĐ:
không tồn tại
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
lim y
x�- �
và
lim y.
x�+�
Suy ra
�
2- x2 - 1
�
�
lim
=0
�
�x�1+ x2 - 3x + 2
�
��
�
�
�
2
�
2
x
1
�
lim- 2
=0
�
�
�x�1 x - 3x + 2
Ta có
đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận. Chọn A.
y=
x +1
Câu 34. Đồ thị hàm số
A. 4.
B. 2.
Câu 34. TXĐ:
lim y = 1��
� y=1
( - x - 1) ( 1- x)
x�( - 1)
lim y = lim+
là TCN và
- ( - x - 1)
lim- y = lim-
x�1+
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3.
D. 1.
D = ( - � ;- 1) �( 1;+�) .
x�+�
x�( - 1)
x2 - 1
x +1
2
Ta có:
lim f ( x) =- 1��
� y =- 1
x�- �
= limx�( - 1)
- - x- 1
1- x
là TCN;
= 0 ��
� x =- 1
không là TCĐ;
= +� ��
� x =1
x - 1
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận. Chọn C.
x�1
y=
x- 1
2
2x - 1- 1 . Gọi d, n lần lượt là số tiệm cận đứng
Câu 35. Cho hàm số
và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
www.thuvienhoclieu.com
Trang 18
www.thuvienhoclieu.com
A.
n + d = 1.
n + d = 2.
B.
C.
Câu 35. Để căn thức có nghĩa khi
lim y = lim
�
�
1 � �1
�
�
�
2x2 - 1�0��
� x ��;�� ;+��
.
�
�
�
�
�
�
�
2 � �2
x�- 1
( x - 1) ( 2x2 - 1+1)
2( x2 - 1)
x�- 1
lim y = lim
x�1
x�- 1
( x - 1) ( 2x - 1+1)
lim
x�+�
lim
x�- �
●
Vậy
x�1
2x2 - 1- 1
x- 1
2
2x - 1- 1
=
1
=-
x�1
��
� y=
2
1
2
2x2 - 1+1 1
= ��
� x =1
2( x +1)
2
= lim
2( x2 - 1)
x- 1
2x2 - 1+1
= � ��
�x =- 1
2( x +1)
= lim
2
●
n + d = 4.
�
�
1 � �1
�
D =�
- �;�� ;+��
\ { - 1;1} .
�
�
�
�
�
�
�
�
2 � �2
Do đó tập xác định của hàm số:
Ta có
●
D.
�
�
1 � �1
�
�
2x2 - 1- 1= 0 � 2x2 - 1 = 1� 2x2 - 1= 1� x = �1��
- �;�� ;+��
.
�
�
�
�
�
�
2�
2
��
Xét
●
n + d = 3.
là TCĐ;
không là TCĐ;
1
2
là TCN;
1
��
� y=-
2
là TCN.
Chọn C.
d = 1, n = 2 ��
� n + d = 3.
x2 + 2x +1
x2 - 1
y=
Câu 36. Đồ thị hàm số
A. 0.
B. 1.
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2.
D. 3.
�1
�
khi x >- 1, x �1
�
x + 2x +1
�x - 1
�
y=
=
=
.
�
1
x2 - 1
x2 - 1 �
�
khi x <- 1
�
�
� x- 1
x +1
2
Câu 36. Ta có
Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
x = 1.
2
lim y = lim
x + 2x +1
= 0 ��
� y= 0
x2 - 1
là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận. Chọn C.
x���
x���
x2 - x - 2
y=
4
2
x - 4x + 4 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 37. Cho hàm số
A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B. Đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số có đường tiện cận ngang là x = 1.
Câu 37. TXĐ:
lim y = 1��
� y=1
x���
{
} . Ta có:
D = �\ � 2
là TCN;
� lim + y = - �
�
x�( 2)
�
�
��
� x= 2
�
�
lim - y = - �
�
�
�x�( 2)
lim + y = +�
�
�
x� ( - 2)
�
�
��
� x =�
�
lim - y = +�
�
�
�x�( - 2)
là TCĐ;
2
là TCĐ.
Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Chọn B.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 19
www.thuvienhoclieu.com
x2 + 2x + 3
y=
x4 - 3x2 + 2
Câu 38. Đồ thị hàm số
A. 1.
B. 3 .
Câu 38. TXĐ:
)
lim y = 1��
� y=1
(
2
)
x�( - 1)
) . Ta có:
là TCN;
lim - y = +� ��
� x =-
x� -
(
2 �( 1;1) � 2;+�
D = - � ;-
x���
(
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 5 .
D. 6 .
là TCĐ;
2
lim+ y = +� ��
� x =- 1
lim- y = +� ��
� x =1
x�1
là TCĐ;
là TCĐ;
lim+ y = +� ��
� x= 2
x� 2
là TCĐ.
Vậy hàm số đã cho có tất cả năm đường tiệm cận. Chọn C.
y=
x2 - 3x + 2
Câu 39. Đồ thị hàm số
A. 0.
B. 1.
Câu 39. TXĐ:
lim-
x�1
x2 - 3x + 2
3
4
x - 1
D = �\ {- 1;1} .
= lim+
3
x�1
4
x - 1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
C. 2.
D. 3.
Ta có:
x2 - 3x + 2
3
x4 - 1
=-
3
��
� x =1
4
không là TCĐ.
�
x - 3x + 2
�
lim +
=- �
�
3 4
�
x
�
1
(
)
�
x - 1
�
��
� x =- 1
�
�
x2 - 3x + 2
�
�
lim = +�
�
3 4
�
x - 1
�x�( - 1)
2
là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng. Chọn B.
Câu 40. Đồ thị hàm số
ngang?
A. 0.
B. 2.
Câu 40. Ta có:
�
�
�
�
�
�
lim
�
x�+�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
lim
�
x�- �
�
�
�
(
(
y = x2 + 2x + 3 - x
có bao nhiêu đường tiệm cận
C. 1.
D. 3.
�
�
3
�
�
�
�
2+
�
�
�
�
�
2
x
+
3
�
�
x
�
�
�
�
x2 + 2x + 3 - x = lim �
=1
�
�= xlim
�
�
2
x�+� �
�+� �
�
�
�
�
2
3
� x + 2x + 3 + x�
�
�
1+ + 2 +1�
�
.
�
�
�
�
x x
� � 2 3� �
�
�
2 3
�
� 2�
�
�= +�
�
x2 + 2x + 3 - x = lim �
x �
1+ + 2 �
- x�
= lim x�
- 1+ + 2 - 1�
�
�
�
�
�
�
�
x�- � �
x
��
�
x x
�
� � x x � �
�
�
�
)
)
y = 1.
Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là
Câu 41. Tìm giá trị thực của tham số
đường tiệm cận đứng đi qua điểm
A.
m= 2 .
Câu 41. TXĐ:
B.
m= 0 .
(
m
)
Chọn C.
để đồ thị hàm sô
y=
mx - 1
2x + m
có
M - 1; 2 .
C.
1
m= .
2
D.
m=
2
2 .
� m�
�
D = �\ �
- �
�
�
2
�.
� �
www.thuvienhoclieu.com
Trang 20
www.thuvienhoclieu.com
Ta có
mx - 1
�
�
lim - y = lim = +�
�
� m�
�
� m�
�
�
� 2x + m
x��
- �
x��
- �
�
�
�
�
�
�
� 2�
� 2�
m
�
�
��
� x =�
�
m
x
1
2
�
lim + y = lim +
=- �
�
�
�
�
�
�
m�
m� 2x + m
�
x��
- �
x��
- �
�
�
�
�
�
�
�
�
2�
2�
� �
là TCĐ.
m
�= - 1 � m= 2
2
.
Do đó ycbt
Chọn A.
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
y=
2m x - 5
x +3
nhận đường thẳng
m=
2.
A.
B. m= - 2.
y= 8
làm tiệm cận ngang.
C. m= �2.
D.
m= 0.
2
lim y = lim
2m x - 5
= 2m2 ��
� y = 2m2
x- 3
Câu 42. Ta có
2
Do đó ycbt � 2m = 8 � m= �2 . Chọn C.
x���
x���
y=
( m- 2n- 3) x + 5
x - m- n
Câu 43. Biết rằng đồ thị hàm số
2
2
hai đường tiệm cận. Tính tổng S = m + n - 2.
A. S = 2.
B. S = 0.
C. S = - 1.
Câu 43. Ta có:
lim y = lim
x���
( m- 2n- 3) x + 5
x���
x - m- n
nhận hai trục tọa độ làm
S
m2
Từ giả thiết, ta có
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
2x2 - 3x + m
x- m
A.
m= 0 .
Câu 44. TXĐ:
Ta có
y=
không có tiệm cận đứng.
B. m= 1, m= 2 .
C.
D = �\ { m}
là TCN;
là TCĐ.
�
�
m+ n = 0
m= 1
�
�
=-+=��
�
�
�
m- 2n- 3 = 0 �
n=- 1
�
�
y=
S = - 1.
D.
= m- 2n- 3 ��
� y = m- 2n- 3
lim + y = +� ��
� x = m+ n
x�( n+m)
là TCN.
x- m
2
m
m= 0, m= 1.
.
( x - m) ( 2x + 2m- 3) + 2m( m- 1)
n2
= 2x + 2m- 3+
0.
Chọn B.
để đồ thị hàm số
m= 1.
D.
2m( m- 1)
x- m
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giới hạn
.
lim y
x�m�
tồn tại hữu
�
m= 1
� 2m( m- 1) = 0 � �
.
�
m= 0
�
hạn
Chọn C.
Cách 2. (Chỉ áp dụng cho mẫu thức là bậc nhất)
2
Ycbt � Phương trình 2x - 3x + m= 0 có một nghiệm là
x=m
�
m= 0
��
� 2m2 - 3m+ m= 0 � 2m( m- 1) = 0 � �
�
m= 1
�
.
Chọn C.
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
y=
x +1
x2 - 2mx + 4
A.
C.
m
để đồ thị hàm số
có ba đường tiệm cận.
m�( - �;- 2) �( 2;+�) .
�
5� �
5
�
m��
- �;- �
��
�
� ;�
�
�
�
2� � 2
�
2�
�( 2;+�) .
�
�
�
B.
D.
�
5� �
5
�
m��
- �;- �
��
�
� ;�
�
�
�
2� � 2
�
2�
.
�
�
�
m�( 2;+�) .
www.thuvienhoclieu.com
Trang 21
www.thuvienhoclieu.com
lim =
x +1
= 0 ��
� y=0
x - 2mx + 4
2
Câu 45. Ta có
Do đó ycbt � phương trình
x���
2
x - 2mx + 4 = 0
là TCN với mọi m .
có hai nghiệm phân biệt khác
- 1
�
�
m> 2
�
�
�
2
D
'
>
0
�
�
�
�
m - 4> 0 �
m<- 2
�
��
��
��
.
� 2
�
�
�
�
2
m
+
5
�
0
1
2
m
.
1
+
4
�
0
( )
( )
5
�
�
�
�
m��
�
2
Chọn C.
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số
y=
x2 +1
3x - 2ax + a
2
A.
Câu
a= �
3
.
2
46.
có đúng một tiệm cận đứng.
B.
Ycbt
a = 0, a = 3.
C.
a = 1, a = 2.
2
� 3x - 2ax + a = 0
có
D. a= �2.
nghiệm
duy
nhất
�
a= 0
� D ' = a2 - 3a = 0 � �
�
a= 3
�
.
Chọn B.
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
y=
x+2
x2 - 4x + m
A.
m< 4.
m
để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.
B. m> 4.
C. m= 4, m= - 12. D. m�4.
lim
x+2
= 0 ��
� y= 0
x2 - 4x + m
Câu 47. Ta có
Ycbt � phương trình
phân
biệt
trong
x���
2
x -
là TCN với mọi m.
4x + m= 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm
- 2
đó
có
một
nghiệm
bằng
�
D ' = 4- m= 0
�
�
m= 4
D ' = 4- m> 0
�
��
��
.
�
�
�
m= - 12
� 2
�
�
�
( - 2) - 4( - 2) + m= 0
�
�
�
�
Chọn C.
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của tham số
x+2
y= 2
x - 4x + m
A.
m
để đồ thị hàm số
có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.
B. m> 4.
C. m= - 12, m> 4. D. m�4.
m=- 12.
lim
x+2
= 0 ��
� y=0
x - 4x + m
2
Câu 48. Ta có
là TCN với mọi m .
Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì
2
phương trình x - 4x + m = 0 vô nghiệm � D �< 0 � m> 4 . Chọn B.
Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức
� m= - 12
x2 - 4x + m = 0 có nghiệm x = - 2 ��
. Điều này là sai, vì với
x���
y=
m=- 12
1
x- 6 .
thì hàm số trở thành
Đồ thị này vẫn còn TCĐ là x = 6 .
Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn
[- 2017;2017] để hàm số
2018.
A.
Câu 49. Ycbt
B.
y=
x+2
2
x - 4x + m
2019.
� x2 - 4x + m= 0
có hai tiệm cận đứng.
C. 2020.
D. 2021.
có hai nghiệm phân biệt khác - 2
www.thuvienhoclieu.com
Trang 22
www.thuvienhoclieu.com
D�
>0
�
�
�
4- m> 0
m< 4
��
��
��
� 2
�
�
�
�
�
m
+
12
�
0
m�- 12
( - 2) - 4.( - 2) + m�0 �
�
�
�
m��
������
m�{ - 2017;...;0;1;2;3} \ { - 12}
m�[ 2017;2017]
.
Vậy có tất cả
giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.
Câu 50. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham
2020
y=
x +1
2
mx +1 có hai tiệm cận ngang.
sao cho đồ thị của hàm số
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B. m< 0 .
C. m= 0 .
D. m> 0 .
Câu 50. Khi m> 0, ta có:
số
m
lim
x�+�
1
1
x = 1 ��
� y=
1
m
m
m+ 2
x
1+
x +1
mx2 +1
= lim
x�+�
� 1�
�
x�
1+ �
�
�
�
� x�
1
x =lim y = lim
=
x�- �
x�- �
1
1
x m+ 2
m+ 2
x
x
y=
m= 0
- 1-
1
m
là TCN ;
1
��
� y=-
m
là TCN.
x +1
��
�
1
Với
suy
đồ thị hàm số không có tiệm cận.
m<
0
Với
thì hàm số có TXĐ là một đoạn nên đồ thị hàm số không có
TCN.
Vậy với m> 0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Chọn D.
Câu 51. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y=
x- 3
x + mx2 + 4
có đúng một tiệm cận ngang.
A. m= 0, m= 1. B. m�0.
C. m= 1.
Câu 51. Ta có:
lim y = lim
x�+�
x�- �
x�+�
lim y = lim
x�- �
x- 3
=
2
x + mx + 4
x- 3
=
2
x + mx + 4
Nếu
thì
m= 0.
1
1+ m
với
m�0 ;
với
m�0, m�1.
1
1-
m
�
�
� 3�
4
�
�
�
�
�
1
�
1
+
1
�
�
�
2
�
�
�
( x - 3) x + 4 - x
�
�
�
�
x
x
�
�
2
lim y = lim
= lim x .
= - �,
x�- �
x�- �
x�- �
4
4
�
1
1 �
do lim y = khi m= 1�
.
�
�
y= �
�
�
�
2
2 � x�+�
chỉ có đúng một TCN là
Do đó
(
m= 1
D.
)
2
suy ra hàm số
giá trị m= 1 thỏa yêu cầu bài toán.
�
m�0
�
�
�
m�1
�
Nếu
�
1
=
,
để
đồ
thị
hàm
số
có
một
tiệm
cận
ngang
1
� m= 0.
1+ m 1- m
Vậy m= 0, m= 1 thỏa mãn
y=
yêu cầu bài toán. Chọn A.
x- 1
m
1
m> .
2
www.thuvienhoclieu.com
Trang 23
2
x + 2(m- 1)x + m2
Câu 52. Cho hàm số
với là tham số thực và
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
www.thuvienhoclieu.com
A. 1.
C. 3 .
B. 2 .
1
2
m>
Câu 52. Khi
thì phương trình
thị hàm số không có tiệm cận đứng.
x- 1
lim y = lim
x�+�
Ta có
x + 2( m- 1) x + m2
2
x�+�
x- 1
lim y = lim
x�- �
x2 + 2( m- 1) x + m2
x�- �
D. 4 .
x2 + 2( m- 1) x + m2 = 0
vô nghiệm nên đồ
= 1��
� y =1
là TCN;
= - 1��
� y=- 1
là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận. Chọn B.
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
x +2
y=
mx4 + 3
có đường tiệm cận ngang.
A. m= 0 .
B. m< 0 .
C.
m> 0 .
D.
m�0 .
2
x +2
y=
mx4 + 3
Câu 53. Đồ thị hàm số
các giới hạn
● Với
TCN.
lim y
x�+�
và
m= 0 ��
� y=
lim y
x�- �
tồn tại hữu hạn. Ta có:
x2 + 2
3
có đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi
. Khi đó
lim y = +�
�
�
x�+�
�
�
�
lim y = +�
�
�x�- �
suy ra đồ thị không có
�
3
3�
�
�
�
D =�
- 4 - ;4 �
�
�
�
m
m
�
�
nên
● Với m< 0 , khi đó hàm số có TXĐ:
ta không xét
x
�
+�
x
�
�
trường hợp
hay
được. Do đó hàm số không có tiệm cận
ngang.
m> 0 ,
D=�
● Với
khi đó hàm số có TXĐ
và
� 2�
2
x2 �
1+ �
�
1+ 2
�
�
�
� x2 �
x = 1
lim
= lim
x���
x���
3
3
m
x2 m+ 4
m+ 4
x
x
1
��
� y=
m là TCN. Chọn C.
Hàm số
Gọi
M ( x0 ; y0 )
y=
ax + b
( ad- bc �0, c �0)
cx + d
.
là điểm thuộc đồ thị hàm số
y=
ax + b
cx + d ,
D 2 : y-
a
=0
c
.
suy ra
�
ax0 + b�
�
�
M�
x
;
y
=
�
0
0
�
�
�
�
cx0 + d�
�
.
Đồ thị�
hàm số
Ta có
y=
ax + b
cx + d
có TCĐ
D1 : x +
�
cx + d
d
�
d1 = d[ M , D1 ] = x0 + = 0
�
�
c
c
�
�
�
�
a
ad - bc
�
�
d2 = d[ M , D 2 ] = y0 =
�
c
c( cx0 + d)
�
�
d1 = kd2
d
=0
c
;
TCN
.
cx0 + d
ad - bc
d
=k
��
� x0 = - � kp
c
c( cx0 + d)
c
www.thuvienhoclieu.com
Trang 24
www.thuvienhoclieu.com
d1.d2
d1.d2 =
d1 + d2 ��
� min
ad - bc
= p = const
c2
ad - bc
d1 + d2 �2
Dấu
c2
=2 p
xảy ra khi
'' = ''
cx0 + d
ad - bc
=
c
c( cx0 + d)
2
��
�( cx0 + d) = ad - bc ��
� x0 = -
Điểm
hoành
M ( x0; y0 )
độ
d
� p
c
có ● Có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận ngắn nhất
thỏa 2 p .
d
x0 = - � p
c
● Khoảng cách đến tâm đối xứng nhỏ nhất
y=
2p .
2x +1
x- 1
Câu 54. Tìm trên đồ thị hàm số
những điểm M sao cho khoảng
cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận
ngang của đồ thị.
A.
C.
� 7�
�
M�
- 4; �
�
�
�
� 5�hoặc M ( 2;5)
M ( 4;3)
hoặc
M ( 2;5)
.
M ( 4;3)
B.
.
D.
hoặc
M ( - 2;1)
.
� 7�
M�
- 4; �
�
�
�
�
� 5�
hoặc M ( - 2;1) .
� 2a +1�
�
M�
a;
�
�
�
�
� a- 1 �
với a�1
Câu 54. Gọi
Đường tiệm cận đứng
Ycbt
d : x = 1;
là điểm thuộc đồ thị.
đường tiệm cận ngang d�: y = 2 .
�� a- 1 = 3 2a+1- 2
� d[ M , d] = 3d �
M , d�
�
�
a- 1
�
M ( 4;3)
�
a= 4
2
� ( a- 1) = 9 � �
��
�
�
a=- 2 �
M ( - 2;1)
�
Áp dụng công thức giải nhanh.
với
c = 1, d =- 1, k = 3, p =
Câu 55. Cho hàm số
. Chọn B.
cx0 + d
ad - bc
d
=k
��
� x0 =- � kp
c
c( cx0 + d)
c
ad - bc
=3
c2
.
y=
x- m
x +1 ( C )
Suy ra
với
m
x0 = 1�3 .
là tham số thực. Gọi
M
là điểm
thuộc ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( C )
nhỏ nhất. Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất đó bằng 2.
A. m= 0.
B. m= 2.
C. m= - 2, m= 0. D. m= 1.
Câu 55. Áp dụng công thức giải nhanh.
Điểm
�
�
ax0 + b�
�
M�
x
;
y
=
�
0
0
�
�
�
cx0 + d�
�
�
Đồ thị hàm số có TCĐ
thuộc đồ thị hàm số
D1 : x +
d
=0
c
;
TCN
y=
ax + b
cx + d .
D 2 : y-
www.thuvienhoclieu.com
a
=0
c
.
Trang 25
