Một số tiêu chuẩn xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ QUỲNH

MỘT SỐ TIÊU CHUẨN XÉT TÍNH ĐIỀU
KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ QUỲNH

MỘT SỐ TIÊU CHUẨN XÉT TÍNH ĐIỀU
KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
ThS. TRẦN THỊ THU

HÀ NỘI – 2018

✶

▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❚r÷î❝ ❦❤✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣
❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❚❤❙✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉ ♥❣÷í✐ ✤➣ trü❝ t✐➳♣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï✱
❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳
❊♠ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tî✐ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ ❑❤♦❛
❚♦→♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷ ✤➣ ❞↕② ❜↔♦ ❡♠ t➟♥ t➻♥❤ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤
❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❦❤♦❛✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔② ❝õ❛ ❡♠ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ♥❤✐➺t t➻♥❤
❝õ❛ ❚❤❙✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉ ❝ò♥❣ ✈î✐ sü ❝è ❣➢♥❣ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ ❦➳ t❤ø❛ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ q✉↔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈î✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥✳
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ ❜↔♥ t❤➙♥✱ ❦❤æ♥❣ ❝â sü trò♥❣
❧➦♣ ✈î✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝✳
◆➳✉ s❛✐ ❡♠ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

✐


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✶

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✐

▲í✐ ♠ð ✤➛✉

✷

✶

✸

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸
✶✳✹
✷

▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳

✳ ✸
✳ ✻
✳ ✾
✳ ✶✷

▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥
t➼♥❤

✶✹

✷✳✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤
✷✳✷ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣
❜✉ë❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❤➺ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝
✷✳✹ ▼ët sè ❤÷î♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ❤✐➺♥ ♥❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✐✐

✶✽
✷✻
✸✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

❑➳t ❧✉➟♥

✸✺

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✻

✐✐✐


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

❇❷◆● ❑➑ ❍■➏❯

K
Kn
x, y , x

Lp ([0, T ]; Rm )

❚r÷í♥❣ R ❤♦➦❝ C
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì n ❝❤✐➲✉
❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣✱ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ Kn
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝

p

✈î✐

0 < p ≤ +∞
ker A
det A
rank A
A∗ , AT
cone M
int M
(Ω)+
(A, B)
[A|B]

ΩCT
RT
R
dim X
Mat(m × n, K)

◆❤➙♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû A
✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥A

❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A
▼❛ tr➟♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ ♠❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ A
◆â♥ s✐♥❤ ❜ð✐ t➟♣ M
P❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ M
◆â♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ Ω
▼❛ tr➟♥ ❣❤➨♣ ❜ð✐ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ ♠❛ tr➟♥ B
▼❛ tr➟♥ ❝â ❞↕♥❣ (B, AB, ..., An−1B) ✲ ♠❛ tr➟♥ ❦✐➸✉
❑❛❧♠❛♥
❚➟♣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
❚➟♣ ✤↕t ✤÷ñ❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ T > 0
❚➟♣ ✤↕t ✤÷ñ❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❜➜t ❦➻
❙è ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ m ❞á♥❣✱ n ❝ët ❧➜② ❣✐→ trà
tr♦♥❣ K
✶


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

▲❮■ ▼Ð ✣❺❯
▲þ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t♦→♥ ❤å❝ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ t♦→♥ ❤å❝
ù♥❣ ❞ö♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ♠î✐ ✤÷ñ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✳
❈æ♥❣ ❝ö ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t t♦→♥ ❤å❝ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ t♦→♥ ❤å❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ✤à♥❤ t➼♥❤ ✈➔ ❣✐↔✐ sè ❝→❝ ❤➺ t❤è♥❣
✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳ ❘➜t ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺✱ ❦ÿ t❤✉➟t ✈➔
❦✐♥❤ t➳ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ ✈➔ ❝➛♥ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö t♦→♥ ❤å❝ ✤➸ t➻♠ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐✳ ❍✐➺♥ ♥❛② ❧þ
t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ ✈➔ ❝â ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝❛♦ tr♦♥❣

❝✉ë❝ sè♥❣✳
✣÷ñ❝ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚❤❙✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉✱ ❡♠ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✏▼ët
sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤✑ ❧➔♠
❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❣ç♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ✶ ✏❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✑ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥
❝❤✉➞♥ ❜à ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥
t➼♥❤✱ t➟♣ ❧ç✐ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ✏▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺
t✉②➳♥ t➼♥❤✑ ✤÷❛ r❛ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺
t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❤❛✐ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤
❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ tr➯♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳ ✣➙② ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣
❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳
✷


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
▲þ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t♦→♥ ❤å❝ ✤÷ñ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♥❤÷ ♠ët ❝❤✉②➯♥ ♥❣❤➔♥❤
✤ë❝ ❧➟♣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈î✐ sü ❦➳t ❤ñ♣ ❣✐ú❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❦➽ t❤✉➟t✳
❈æ♥❣ ❝ö ❝❤➼♥❤ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥
t♦→♥ ❤å❝ ❧➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤
❤➔♠✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐✱
♥â♥ ✈➔ ♥â♥ ❧ç✐✳ ▼ö❝ ✶✳✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✤↕✐ sè
t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼ö❝ ✶✳✷ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✳ ▼ö❝ ✶✳✸
❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼ö❝ ✶✳✹ ♥â✐ ✈➲
❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐✱ ♥â♥✱ ♥â♥ ❧ç✐ ✈➔ ♠ët sè ✤à♥❤ ❧➼ q✉❛♥ trå♥❣✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤
◆❣♦➔✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì ✲ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛

✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤❬✼❪✱ ❡♠ s➩ ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥
♠❛ tr➟♥ ♥❤÷ ❤↕♥❣✱ ✈➨❝ tì r✐➯♥❣✱ ❣✐→ trà r✐➯♥❣✳ ▼ö❝ ♥➔② ❡♠ t❤❛♠ ❦❤↔♦
tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✼❪✳
✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

▼❛ tr➟♥ A = (aij )m×n, i = 1, n, j = 1, n ✈î✐ ❝→❝ sè t❤ü❝
❤♦➦❝ ♣❤ù❝ aij ❝â m ❞á♥❣ ✈➔ n ❝ët✳ ❑❤✐ m = n t❤➻ ♠❛ tr➟♥ A = (aij )m×n
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ❝➜♣ n ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ A = (aij )n×n. ❚➟♣ ❤ñ♣
t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❦✐➸✉ m ❞á♥❣✱ n ❝ët ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ tr÷í♥❣ K
✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Mat(m × n, K)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳

▼❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ❝➜♣ (2 × 2)


1 0
.
A=
0 1

❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ✈➔ ♣❤➨♣
♥❤➙♥ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈î✐ ♠ët ✈æ ❤÷î♥❣ ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì

tr➯♥ tr÷í♥❣ K ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❧➔✿ dim Mat(m × n, K) = m × n✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

❈❤♦ ♠❛ tr➟♥ A = (aij ) ∈ Mat(m × n, K) ✈➔
B = (bjk ) ∈ Mat(n × p, K). ❚❛ ❣å✐ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ✈î✐ ♠❛ tr➟♥ B
♠ët ♠❛ tr➟♥ C = (cij ) ∈ Mat(m × p, K) ♠➔ ♣❤➛♥ tû ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

n

aij × bjk , i = 1, m, k = 1, p

cik =
j=1

✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ C = A · B ✳
❚❛ ❣å✐ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ A ∈ Mat(n × n, K) ❧➔ ♠ët ♠❛
tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✭❤❛② ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✮ ♥➳✉ ❝â ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣
B ∈ Mat(n×n, K) s❛♦ ❝❤♦ A.B = B.A = E ✭E ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ❝➜♣ n✮✳
❑❤✐ ✤â B ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ A ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ B = A−1.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳

❈❤♦ A ∈ Mat(m × n, K)✳ ❈♦✐ ♠é✐ ❝ët ❝õ❛ A ❧➔ ♠ët
✈➨❝ tì t❛ ✤÷ñ❝ n ✈➨❝ tì t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì Kn✳ ❚❛ ❣å✐ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❤➺
n ✈➨❝ tì ♥➔② ❧➔ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ rank A✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳

✹

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

❈❤♦ A ∈ Mat(n × n, K)✳ ❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ❜➡♥❣ ❝➜♣
❝❛♦ ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❦❤→❝ 0 ❝õ❛ A✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ rank A = r ♥➳✉
❝â ♠ët ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝➜♣ r ❝õ❛ A ❦❤→❝ 0 ✈➔ ♠å✐ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝➜♣ ❧î♥
❤ì♥ r ✭♥➳✉ ❝â✮ ❝õ❛ A ✤➲✉ ❜➡♥❣ 0✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳

❈❤♦ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ❝➜♣ n tr➯♥ tr÷í♥❣ sè K✳ ❙è
λ ∈ K ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✭●❚❘✮ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët
✈➨❝ tì u = 0, u ∈ Kn s❛♦ ❝❤♦ Au = λu✳ ❑❤✐ ✤â ✈➨❝ tì u ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈➨❝ tì
r✐➯♥❣ ✭❱❚❘✮ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ù♥❣ ✈î✐ ●❚❘ λ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳

✭❈❛②❧❡② ❍❛♠✐❧t♦♥✮✳ ▼å✐ ♠❛ tr➟♥ A ∈ Kn×n ❝❤✐➲✉ ✤➲✉ ❧➔
♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♥â
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷

P (A) = An + a1 An−1 + . . . + an−1 A + an I ≡ 0.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳

❈❤♦ ♠❛ tr➟♥ A ∈ Kn×n ❝❤✐➲✉✱
A = [aij ], i, j = 1, 2, . . . , n.

❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A s➩ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

n

n

|aij |2

A =

1
2

.

i=1 j=1

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳

❍➔♠ sè ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ n ❧➔ ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣
n

ck λk .

f (λ) =
k=0

❑❤✐ n = +∞ t❤➻ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳
❍➔♠ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❆ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ f (A) =

n

ck Ak .
k=0

✺


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

◆➳✉ f (λ) = eA t❛ ❝â
A A2
An
e =1+ +
+ ... +
+ ...
1!
2!
n!
A

✳
❈❤♦ A ∈ Kn×n ✈î✐ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ λ1, λ2, . . . , λn ❦❤→❝
♥❤❛✉✳ ▼❛ tr➟♥ A ❣å✐ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✹✳

✐✮

Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn ✱

✐✐✮

Ax, x > 0, x = 0.

tr♦♥❣ ✤â

x, y

❦➼ ❤✐➺✉ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈➨❝ tì x, y ∈ Rn
n

x, y =

xi yi .
i=1

◆❣♦➔✐ ✤à♥❤ ❧➼ ✭✶✳✸✮✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝á♥ sû ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✺✳

✭❬✹✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✹✱ tr❛♥❣ ✶✷❪✮ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣

✐✮ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱
✐✐✮ ∃c > 0,

Ax, x ≥ c

x

2

, ∀x ∈ Rn .

✶✳✷ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ p✳
❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ð ♠ö❝ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✸❪✱ ❬✻❪✳
✻


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

✭❬✸✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✱ tr❛♥❣ ✺✼❪✮✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤
❝❤✉➞♥ ✭❤❛② ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤
X tr➯♥ tr÷í♥❣ K✱ K = R ❤♦➦❝ K = C ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët →♥❤ ①↕ tø X ✈➔♦ t➟♣
sè t❤ü❝ R✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ . ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ t✐➯♥ ✤➲ s❛✉
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳

✐✮ (∀x ∈ X)

x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ,

✐✐✮ (∀x ∈ X)(∀α ∈ K)
✐✐✐✮ (∀x, y ∈ X)

αx = |α| x ,

x+y ≤ x + y .

❚❛ ❦þ ❤✐➺✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ X.
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳

❱î✐ ∀x ∈ R✱ t❛ ✤➦t
x = |x|.

◆❤í ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ sè t❤ü❝✱ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝❤♦ t❛
♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ R✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ R1✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ (X, d) ❝❤♦ tr÷î❝✱ t➟♣ ❤ñ♣
B(a, r) = {x ∈ X : d(a, x) < r},

tr♦♥❣ ✤â a ∈ X ✈➔ r ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠
a ❜→♥ ❦➼♥❤ r.
❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn✱ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❝❤➼♥❤ ❧➔ B(0, 1)✱
❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠ ❣è❝ tå❛ ✤ë✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✶✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳

✭❬✸✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✱ tr❛♥❣ ✶✷❪✮ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♠❡tr✐❝ M = (X, d)✳ ❚❛ ❣å✐ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ x ∈ X tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
M ♠å✐ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ x✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ r > 0 ♥➔♦ ✤➜②✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳

✼


õ tốt ồ

ý

ổ tr M = (X, d) t A X
A ồ t tr ổ M ồ tở A
tr ừ A õ x A t tỗ t ởt
ừ x tr A



A ồ t õ tr ổ M ũ ừ A tr
X t
tr r ổ tr t
ý ồ t ồ õ t õ

ỵ

tr ổ
t t X Y tr trữớ K A tứ ổ X ổ
Y ồ t t A tọ


A(x + x ) = Ax + Ax ; x, x

X;

A(x) = (Ax); x X, K.

tữớ ồ t t t tỷ t t
tr
A t tỷ t t tử ổ

ổ t
ỵ

ử tr ởt ổ E
ởt ở à tr ởt số F t ừ E ồ tt
số f (x) õ ụ tứ p (1 p < ) ừ ổ t tr
E tự s



|f |p dà <
E




õ tốt ồ

ý

ồ ổ Lp(E, à) ổ t p
E ởt t ữủ s tr Rk à ở s t
t t Lp(E) E = [a, b] R1 à ở s t t t
Lp (a, b) Lp[a,b] .
trũ r tr
ồ ổ tr t trũ tự
ỵ

ởt số tự ữỡ tr t
t

Pữỡ tr ỵ tt õ trỏ q trồ tr
ồ ố ợ ữỡ tr ữớ t q t
tợ sỹ tỗ t t t ừ
r ử ữủ t tr t t s
ú tổ s tố ởt số tự q sỹ tỗ t
t t ừ ởt số ợ ữỡ tr ữ s
t t tr t


x (t) = f (t, x),




x(t ) = x ,
0
0

tr õ (t, x) D R ì Rn, t I R f : D Rn tử


số x(t) t I tọ

(t, x(t)) D, t I,
x (t) = f (t, x(t))



õ tốt ồ

ý

ữủ ồ ừ ữỡ tr
ó r t tr ữỡ tr õ õ õ
t õ ú tổ q t sỹ tỗ t t
ừ t ử t ữ s
ỵ

Pr tr sỷ
0 , b) Rn
f : [t0 a, t0 + a] ì B(x

tọ s
f tử
f tọ st ố ợ t t tự
0 , b).
f (t, x)f (t, y) L xy , (t, x), (t, y) [t0 a, t0 +a]ì B(x

ỡ ỳ
0 , b).
M = f (t, x) M, (t, x) [t0 a, t0 + a] ì B(x

õ t tr õ t x(t)
tr [t0 , t0 + ] ợ = min(a, Mb )

ự tr t t x(t) ởt ừ t
õ tử ừ ữỡ tr t
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0



ữợ t t ởt q ử t ừ tr ố ợ ởt số
ợ ữỡ tr t



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ♠ët ✲ ❤➺ ❞ø♥❣


x = Ax + g(t), t ≥ 0

✭✶✳✸✮


x(t ) = x , t ≥ 0,
0
0 0

tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❤➡♥❣ sè✱ g(t) : [0, ∞] → Rn ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤✱ t❤➻
❤➺ ✭✶✳✸✮ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② s❛✉✿

t
A(t−t0 )

x(t) = e

eA(t−s) g(s)ds.

x0 +
t0

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳

✭✶✳✹✮

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤❛✐ ✲ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ❞ø♥❣


x = A(t)x + g(t), t ≥ 0,

✭✶✳✺✮


x(t ) = x , t ≥ 0,
0
0 0

❚r♦♥❣ ✤â ❤➔♠ A(t) ❧➔ ❤➔♠ ✤♦ ✤÷ñ❝ ✭❤♦➦❝ ❧✐➯♥ tö❝ t❤❡♦ t✮ ✈➔
A(t) ≤ m(t),

❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ✈➔ g(t) ❝ô♥❣ ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤✱ t❤➻ ❤➺ ✭✶✳✺✮ ❝ô♥❣ ❝â

♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✺✮ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
m(t)

t

x(t) = φ(t, t0 )x0 +

φ(t, s)g(s)ds,
t0

tr♦♥❣ ✤â φ(t, s) ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➺ t❤✉➛♥ ♥❤➜t x
t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠❛ tr➟♥


 d φ(t, s) = A(t)φ(t, s), t ≥ s,
dt

φ(t, t) = I.

✶✶

= A(t)x

✭✶✳✻✮


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

✶✳✹ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐
❚✐➳♣ t❤❡♦ ✤è✐ ✈î✐ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥➯✉ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➟♣ ❧ç✐✱ ❝→❝
t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➟♣ ❧ç✐✱ ♥â♥ ❧ç✐ ✈➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➸ →♣
❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t♦→♥ ❤å❝✳ ▼ö❝ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣
t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✽❪✳
❚➟♣ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ Kn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ♥➳✉ ♠å✐
✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ C ✤➲✉ ♥➡♠ tr♦♥❣ C ❤❛②

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✺✳

tx + (1 − t)y ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ (0, 1).

❈❤♦ C ⊂ Rn✱ ❈ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❈ ❝❤ù❛ t➜t ❝↔
❝→❝ tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❈✳
k
k
i
n
i
❚ù❝ ❧➔✿ C ⊂ R ❀ ❈✲ t➟♣ ❧ç✐ ⇔ λia ∈ C ✈î✐ a ∈ C; ∀i > 0✱ λi = 1.
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳

i=1

i=1

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷✳

✐✮ ◆➳✉ Ci ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✱ ∀i ∈ I t❤➻

Ci

❝ô♥❣ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳

i∈I

✐✐✮ ◆➳✉ ❈✱ ❉ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ t❤➻✿
C + D = {x + y|x ∈ C, y ∈ D},
αC = {αx|x ∈ C; α ∈ I}

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐✳

❈❤♦ t➟♣ M ⊂ Rn❀ ▼ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥â♥ ❦❤✐
∀x ∈ M, λ > 0 t❤➻ λx ∈ M ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✻✳

❚➟♣ M ⊂ Rn❀ ▼ ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
λM ⊂ M ; ∀λ > 0 ✈➔ M + M ⊂ M ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳

✶✷


õ tốt ồ

ý

= Rn t ỗ ự õ

(C())+ = {f Rn : f, x 0, x } ữủ ồ õ ố
ữỡ ừ ổ t sỷ ử + t (C())+



t tự t r Rn t ỗ rớ
rộ õ t t ởt s
ỵ

t tự t ỗ õ rộ
rớ tr Rn t õ t t
ởt s

ỵ

r t C Rn ởt õ ỗ
t 0 int(C) = ởt ồ tr
{F , I} M (n, Rn ) tỹ F F = F F , , I)
õ FC C, I t tỗ t ởt tỡ f = 0 tọ
f C + F f = f, I

ỵ




❈❤÷ì♥❣ ✷
▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤

✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❈ö t❤➸✱ ♠ö❝ ✷✳✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❦✐➳♥
t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼ö❝ ✷✳✷ ✤÷❛ r❛
t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳ ▼ö❝ ✷✳✸
tr➻♥❤ ❜➔② t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❤➺ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
▼ö❝ ✷✳✹ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❤÷î♥❣ ♠ð rë♥❣ ❤✐➺♥ ♥❛② ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥
❚♦→♥ ❤å❝✳

✷✳✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛
❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤
❚➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ❦❤ð✐ ①÷î♥❣ ❜ð✐ ♥❤ú♥❣ þ t÷ð♥❣ ✈➔ ❦➳t
q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❑❛❧♠❛♥ tø ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✻✵✳ ❚ø ✤â ✤➳♥ ♥❛② ❜➔✐ t♦→♥
✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ trð t❤➔♥❤ ♠ët
❤÷î♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝
✶✹


õ tốt ồ

ý

ử ữủ t tr t
rữợ tố ởt số tự ỡ q ỵ tt
t ồ ú tổ t ử s
ử tr t sỹ ởt t õ
trồ ữủ m tr ữớ t tứ ởt tr x0 tợ tr x1 tr tớ
T > 0 trữợ ỹ ở ừ t õ ỹ t ở ỹ
st ỹ ỗ ỹ õ t q t
ở t t q tr ở ừ t ổ t ữỡ
tr
ử

mx (t) + bx (t) + kx = u(t),

tr õ

ỹ t tớ t tọ
|u(t)| a, x(t) tr t t tớ t Pữỡ tr ở
t ữủ ữ ữỡ tr tỡ t t
u(t)

y = Ay + Bu,

tr õ









0
1
0
;B =
1
k
b

m
m
m
y(t) ỗ t y1 (t) ổ
A=

õ tr t
t tr ừ t
y2(t) ổ t tố ở ở ừ t t t r t
ữủ u(t) s t ở tứ tr x0
tợ tr x1 tr tớ T õ ở ừ t
ữủ



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

❈ö t❤➸ t❛ ①➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ s❛✉


x (t) = Ax(t) + Bu(t)

✭✷✳✶✮


x(0) = 0, x ∈ Rn ; t ≥ 0; u ∈ Ω

tr♦♥❣ ✤â A ∈ Kn×n; B ∈ Kn×m ✱ Ω ⊂ Rm✳ ✣➸ ❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ ①➨t K = R✳
❍➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
❑❤✐ Ω = Rm t❤➻ ❤➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳

❈❤♦ ❤➔♠ u(t) : [0, +∞) → Rm

✐✮ ❍➔♠ u(t) ❧➔ ❦❤↔ t➼❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧➜② ❣✐→ trà tr♦♥❣ Rm✱ u ∈ Ω ❤➛✉
❦❤➢♣ ♥ì✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✮✳
✐✐✮ ❚➟♣ ΩCT = {u(t) : u(t) ❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝} ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ t➟♣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✮✳
✐✐✐✮ ❚➟♣ RT = {x ∈ Rn : ∃u(t) ∈ ΩCT ; ✈î✐ ①✭t✱ ✵✱ ✉✮ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤➺ ✭✷✳✶✮}
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ✤↕t ✤÷ñ❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❚✳
✐✈✮ ❚➟♣ R =

RT

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ✤↕t ✤÷ñ❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤ú✉

T >0

❤↕♥ ❜➜t ❦➻ ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✮✳
◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳

✐✮ ❳➨t ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✷✳✶✮ ✈î✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ x(0) = 0 ❝❤♦
tr÷î❝ t❤➻ ❤➺ ✭✷✳✶✮ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ x(t, 0, u) ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
t

eA(t−s) Bu(s)ds

x(t, 0, u) =
0

✈î✐

u(.) ∈ ΩCT .

❑❤✐ ✤â t➟♣ ✤↕t ✤÷ñ❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ T ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣
T

eA(T −s) Bu(s)ds

n

RT = RT (0) = {x ∈ R : x =
0

✶✻

✈î✐

u(.) ∈ ΩCT }.


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

✐✐✮ ❳➨t ❤➺ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔ x(0) = x0 t❤➻ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈➔
❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❜ð✐

t
At

eA(t−s) Bu(s)ds

x(t, x0 , u) = e x0 +
0

✈î✐

u(.) ∈ ΩCT .

❍➺ ✭✷✳✶✮ ❤❛② ❝➦♣ (0, x1) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝
tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ T ♥➳✉ ∃u(t) ∈ ΩCT : x(0, 0, u) = 0 ✈➔ x(T, 0, u) = x1.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳

❍➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ t♦➔♥ ❝ö❝ tr♦♥❣
t❤í✐ ❣✐❛♥ T ♥➳✉ ∀x1 ∈ Rn✱ ✤➲✉ ∃u(t) ∈ ΩCT s❛♦ ❝❤♦ (0, x1) ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥
✤÷ñ❝ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ T ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳

❍➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr♦♥❣
t❤í✐ ❣✐❛♥ T ♥➳✉ ∃V (0) ⊂ Rn s❛♦ ❝❤♦ ❤➺ ✭✷✳✶✮ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ t♦➔♥ ❝ö❝
tr♦♥❣ V (0)✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✳

❉ò♥❣ ♠æ t↔ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝â ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✺✳

✐✮ ❍➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥

❚ ♥➳✉ 0 ∈ int(RT ).
✐✐✮ ❍➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
❤ú✉ ❤↕♥ ❜➜t ❦➻ ♥➳✉ 0 ∈ int(R).
✐✐✐✮ ❍➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ t♦➔♥ ❝ö❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
❚ ♥➳✉ RT = Rn.
✐✈✮ ❍➺ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ t♦➔♥ ❝ö❝ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤ú✉
❤↕♥ ❜➜t ❦➻ ♥➳✉ R = Rn.
✶✼


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳

✐✮ ◆➳✉ RT = Rn t❤➻ R = Rn.
✐✐✮ ◆➳✉ 0 ∈ int(RT ) t❤➻ 0 ∈ int(R).

✷✳✷ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❤➺
❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝
✣➛✉ t✐➯♥✱ t❛ ①➨t ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ tr➯♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳
❳➨t ❤➺


x = Ax + Bu

x(0) = 0, x ∈ Rn , t ≥ 0.

✭✷✳✷✮

tr♦♥❣ ✤â A ∈ Rn×n; B ∈ Rn×m✱ u ∈ Rm✳
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳

❈❤♦ ❤➺ ✭✷✳✷✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳

✐✮ ❍➺ ✭✷✳✷✮ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ t♦➔♥ ❝ö❝✳
✐✐✮ ❍➺ ✭✷✳✷✮ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
✐✐✐✮ ❈➦♣ ✭❆✱ ❇✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛❧♠❛♥
rank[A|B] = n

✈î✐

[A|B] := (B, AB, A2 B, ..., An−1 B).

✐✈✮ ❈➦♣ ✭❆✱ ❇✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❍❛✉t✉s
rank(A − λI, B) = n, ∀λ ∈ C.

✶✽


õ tốt ồ

ý

ự ự i) ii), i) iii), iii) iv).
i) ii)
ii) i) õ R Rn ự Rn R
0 int Rn tỗ t > 0 s B1 R ợ B1
ỡ x R ợ x Rn tọ x 1 ợ x0 Rn

t t õ xx0 B1 R s tỗ t T0 > 0 : xx0 RT
0

0

x0

x0

T0

=

e
0

0

A(T0 s)

Bu(s)ds

r x0

T0

=

x0
ds

x0

u(s)


eA(T0 s) Bu(s)

0

õ ổ õ r ở tr
ữủ õ x0 R
ứ õ Rn = R s r ữủ t ử
i) ii) ữủ ự
i) iii) sỷ ữủ t ử ữ
rank[A|B] = rank(B, AB, . . . , An1 B) < n.

õ s t ữủ tỡ ổ v Rn,

v=0

s

v (B, AB, . . . , An1 B) = 0.

ứ õ t õ
v B = v AB = . . . = v An1 B = 0.

t t õ
p(A) = An + an1 An1 + . . . + a0 I = 0.