Nghiệm lồi của phương trình det d2u = 1 trong rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Thị Thùy Trang

NGHIỆM LỒI
CỦA PHƯƠNG TRÌNH det D2u = 1 TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Hà Nội – Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Thị Thùy Trang

NGHIỆM LỒI
CỦA PHƯƠNG TRÌNH det D2u = 1 TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GVC.TS Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2018


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
cảm ơn tới các Thầy Cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, các Thầy Cô trong tổ bộ môn Giải Tích cũng như các Thầy Cô tham
gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt việc học và làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS.
Trần Văn Bằng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em
có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản
khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được những ý kiến góp ý quý báu của các Thầy Cô và các bạn sinh viên.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Hoàng Thị Thùy Trang

1


Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận "Nghiệm lồi của phương trình det D2 u =
1 trong Rn " là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn
của TS. Trần Văn Bằng. Các nội dung nghiên cứu, trong khóa luận là
hoàn toàn trung thực và có sử dụng một số tài liệu trong danh mục tài
liệu tham khảo. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về khóa luận nghiên

cứu của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Hoàng Thị Thùy Trang

i


Mục lục

Bảng kí hiệu

1

Lời nói đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Độ đo Monge-Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tiết diện ngang Monge-Ampere . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Nghiệm lồi của phương trình det D2 u(x) = 1 trong Rn

12

2.1

Bổ đề Pogorelov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Đánh giá Holder trong miền của D2 u . . . . . . . . . . .

18

2.3

C α đánh giá của D2 u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

BẢNG KÍ HIỆU

R

Tập số thực

Rn

Không gian Euclide thực n chiều

P(Rn )

Họ tất cả các tập con của Rn

x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử của Rn
x21 + · · · + x2n

|x|

Chuẩn của phần tử x, bằng

x·y

Tích vô hướng của x và y, bằng

BR (x0 )

Hình cầu mở tâm x0 ∈ Rn bán kính R

A

Bao đóng của tập con A

dist(x, A)

Khoảng cách từ điểm x đến tập A

C k (Ω)

Tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω

Dj u(x) = uj (x)

Đạo hàm riêng cấp một

Dij u(x) = uij (x) Đạo hàm riêng cấp hai

n

i=1 xi yi

∂u
∂xj (x)
∂2u
∂xi ∂xj (x)

Du(x), D2 u(x)

Gradient và Hessian của hàm u tại x

∆u(x)

Laplace của hàm u tại x

∂u(x)

Ánh xạ pháp hay dưới vi phân của hàm u tại x

χE (x)

Hàm đặc trưng của tập hợp E

|E|

Độ đo Lebesgue n chiều của tập hợp E ⊂ Rn

h.k.n.

Hầu khắp nơi

oscE f

Dao động của hàm f trên tập E,
bằng supE f − inf E f

1


Lời nói đầu
Phương trình Monge-Ampere là một phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến, có vai trò quan trọng trong hình học cũng như trong nhiều lĩnh
vực khác. Vì thế phương trình này đã nhận được sự quan tâm nghiên
cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới, xem [4] và các tài liệu trong
đó. Trong trường hợp các dữ kiện không khả vi, các loại nghiệm yếu của
phương trình đã được xem xét như nghiệm suy rộng, nghiệm nhớt,...
Bước đầu tìm hiểu về phương trình Monge-Ampere, em chọn tìm hiểu
về nghiệm cổ điển lồi của một phương trình Monge-Ampere đặc biệt,
det D2 u(x) = 1,

x ∈ Rn .

Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình
bày của chương sau.
Chương 2 trình bày kết quả về nghiệm lồi của phương trình MongeAmpere với vế phải là đơn vị, như Bổ đề Pogorelov, đánh giá Holder
trong miền và C α đánh giá của Hessian D2 u của nghiệm. Các kết quả
của khóa luận chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [4].
Do trình độ có hạn nên khóa luận không tránh khỏi có những thiếu
sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Hoàng Thị Thùy Trang

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình
bày nội dung của Chương 2. Các bạn có thể tìm hiểu kĩ hơn về hàm
lồi và ứng dụng trong [1], lý thuyết độ đo trong [2] và lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát trong [3].

1.1

Độ đo Monge-Ampere

Cho Ω là một tập con mở của Rn và u : Ω → R là hàm số xác định trên
Ω. Trong khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng một số kí hiệu quen thuộc

sau đây:
Với x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , thì chuẩn của x xác định bởi
|x| =

x21 + · · · + x2n

và tích vô hướng của các véc tơ x, y ∈ Rn là
x · y = x1 y1 + · · · + xn yn .

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

Hình cầu tâm x0 bán kính R trong Rn là tập hợp
BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R}.
C k (Ω) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục
trên Ω, k = 0, 1, 2, · · · . Khi k = 0 ta viết đơn giản C 0 (Ω) bởi C(Ω).
Nếu u là hàm khả vi tới mức cần thiết thì Du(x) = (ux1 , · · · , uxn ) là
gradient và D2 u(x) = [uxi xj ]n×n là (ma trận) Hessian của hàm đó tại x.
Với x0 ∈ Ω, một siêu phẳng giá của hàm số u tại điểm (x0 , u(x0 ))
là một hàm affin l(x) = u(xo ) + p.(x − x0 ) sao cho u(x) ≥ l(x) với mọi
x ∈ Ω.
Nếu Ek là một dãy các tập hợp thì
∞
E ∗ = lim sup En = ∩∞
n=1 ∪k=n Ek ;

∞
E∗ = lim inf En = ∪∞
n=1 ∩k=n En .
n→∞

n→∞

Với Ω ⊂ Rn là tập con bị chặn và đo được, ta định nghĩa trọng tâm
của Ω là điểm x∗ xác định bởi
x∗ =

1
|Ω|

xdx.
Ω

Hàm u : Ω → R là lồi trên tập Ω nếu với mọi 0 ≤ t ≤ 1 và mọi
x, y ∈ Ω sao cho tx + (1 − t)y ∈ Ω ta có
u(tx + (1 − t)y) ≤ tu(x) + (1 − t)u(y).
Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ pháp). Ánh xạ pháp của u còn gọi là dưới vi

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

phân của u, là hàm đa trị ∂u : Ω → P(Rn ) xác định bởi

∂u(x0 ) = {p : u(x) ≥ u(x0 ) + p.(x − x0 ), với mọi x ∈ Ω}.
Với E ⊂ Ω, chúng ta định nghĩa ∂u(E) =

x∈E

∂u(x).

Lưu ý rằng, tập ∂u(x0 ) có thể bằng rỗng. Đặt
S = {x ∈ Ω : ∂u(x) = ∅}.
Nếu u ∈ C 1 (Ω) và x ∈ S thì ∂u(x) = {Du(x)} và thường viết đơn
giản là ∂u(x) = Du(x). Điều này nghĩa là nếu u khả vi thì ánh xạ pháp
là gradient.
Nếu u ∈ C 2 (Ω) và x ∈ S thì Hessian của u là ma trận xác định không
âm, nghĩa là D2 u(x) ≥ 0. Nói cách khác, nếu u là C 2 , thì S là tập các
điểm trên đó đồ thị của u là lồi. Thực vậy, theo khai triển Taylor
u(x + h) = u(x) + Du(x).h +

1 2
D u(ξ)h, h ,
2

trong đó ξ nằm trên đoạn thẳng giữa x và x + h. Vì u(x + h) ≥ u(x) +
Du(x).h với mọi h đủ nhỏ nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1.1. Cho Ω = BR (x0 ) trong Rn và hàm u(x) = |x − x0 |. Khi đó
ta có



x − x0



, nếu 0 < |x − x0 | < R
|x
−
x
|
0
∂u(x) =


B1 (0),
nếu x = x0 .

Thật vậy, nếu 0 < |x − x0 | < R, thì u khả vi tại x nên giá trị của
∂u(x) chính là gradient của u tại x nên ta có kết quả như đã chỉ ra.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

Nếu x = x0 thì từ định nghĩa của ánh xạ pháp, p ∈ ∂u(x0 ) nếu và chỉ
nếu |x − x0 | ≥ p.(x − x0 ) với mọi x ∈ BR (x0 ). Nếu p = 0 và chúng ta
R p
, thì ta suy ra |p| ≤ 1. Rõ ràng là nếu |p| ≤ 1 thì
chọn x = x0 +
2 |p|
p ∈ ∂u(x0 ). Vậy ta có điều cần chứng minh.
Định lý 1.1. Nếu Ω mở và u ∈ C(Ω), thì lớp

S = {E ⊂ Ω : ∂u(E) là đo được Lebesgue}
là một σ-đại số Borel. Hàm tập M u : S → R xác định bởi
M u(E) = |∂u(E)|

(1.1)

là một độ đo, hữu hạn trên các tập compact, được gọi là độ đo Monge Ampere liên kết với hàm u.
Ví dụ 1.1.2. Nếu u ∈ C 2 (Ω) là một hàm lồi, thì độ đo Monge-Ampere
M u liên kết với u thỏa mãn
det D2 u(x)dx,

M u(E) =

(1.2)

E

với mọi tập Borel E ⊂ Ω.

1.2

Tiết diện ngang Monge-Ampere

Cho φ : Rn −→ R là một hàm lồi.
Định nghĩa 1.2. Cho t > 0 và l(x) = φ(x0 ) + p(x − x0 ) là một siêu
phẳng giá của φ tại (x0 , φ(x0 ), một tiết diện ngang, hoặc đơn giản là một

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

tiết diện của φ tại độ cao t là một tập lồi
Sφ (x0 , p, t) = {x ∈ Rn : φ(x) < l(x) + t}.
Nếu φ trơn thì l là duy nhất, l(x) = φ(x0 ) + Dφ(x0 ).(x − x0 ) nên ta kí
hiệu Sφ (x0 , t) thay cho Sφ (x0 , p, t).
Ví dụ 1.2.1. Ta sẽ xét hai ví dụ đơn giản sau:
a) Cho φ(x) = |x − y|2 , y ∈ Rn . Dễ thấy Sφ (x0 , t) = B√t (x0 ).
b) Xét φ(x) = h|x − y| với y ∈ Rn và h ∈ R. Để ý rằng, đồ thị của
φ là một hình nón. Khi đó mọi siêu phẳng giá của φ tại điểm (y, 0) mà
không song song với bất kì đường sinh nào của hình nón thì sẽ tạo ra
các tiết diện hình ellip. Mặt khác nếu ta lấy một siêu phẳng giá tại điểm
(x, φ(x)) với x = y, thì các tiết diện tương ứng là paraboloids n − 1 chiều
và vì thế các tiết diện là những tập không bị chặn.
Tiếp theo chúng ta sẽ phân tích các tính chất hình học quan trọng
của các tiết diện ngang của hàm lồi φ có độ đo Monge-Ampere liên kết
M φ, xem Định nghĩa 1.2, thỏa mãn điều kiện đúp (doubling condition)
trong Định nghĩa 1.3 sau đây.
Trong chương này ta giả sử rằng các tiết diện Sφ (x0 , p, t) là các tập bị
chặn. Giả sử x∗0 là trọng tâm của Sφ (x0 , p, t). Nếu λ > 0, thì λSφ (x0 , p, t)
là ảnh vị tự tỉ số λ của Sφ (x0 , p, t) với tâm là trọng tâm của nó, tức là
λSφ (x0 , p, t) = {x∗0 + λ(x − x∗0 ) : x ∈ Sφ (x0 , p, t)}.
Định nghĩa 1.3 (Điều kiện đúp). Ta nói rằng độ đo Borel ν là đúp đối
với trọng tâm trên các tiết diện của φ nếu tồn tại các hằng số C > 0 và
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

0 < α < 1 sao cho với mọi tiết diện Sφ (x, p, t),
ν(Sφ (x, p, t)) ≤ Cν αSφ (x, p, t/2) .

(1.3)

Mặt khác, ta nói rằng ν là đúp đối với tham số trên các tiết diện của
φ nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi tiết diện Sφ (x, p, t),
t
ν(Sφ (x, p, t)) ≤ C ν αSφ (x, p, ) .
2

(1.4)

Định nghĩa 1.4. Một Ellipsoid có tâm tại điểm x0 là một tập có dạng
E(A, x0 ) = {x : A(x − x0 ), (x − x0 ) ≤ 1},
trong đó A là một ma trận cấp n × n, đối xứng và xác định dương. Thể
tích của E(A, x0 ) là
|E(A, x0 )| = √

ωn
,
det A

trong đó ωn là thể tích của hình cầu đơn vị trong Rn .
Bổ đề 1.1. Cho Ω ⊂ Rn là một tập bị chặn lồi mở và φ là một hàm lồi
trong Ω sao cho φ ≤ 0 trên ∂Ω. Nếu x ∈ Ω và (y) = φ(x) + p.(y − x) là
một siêu phẳng giá của φ tại điểm (x, φ(x)), thì

|p| ≤

−φ(x)
.
dist(x, ∂Ω)

(1.5)

Tổng quát hơn, nếu Ω ⊂ Ω thì
∂φ(Ω ) ⊂ B 0,

maxΩ (−φ)
.
dist(Ω , ∂Ω)

(1.6)

Mệnh đề 1.1. Cho Ω là một miền lồi trong Rn với trọng tâm bằng 0 và
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

B(0, αn ) ⊂ Ω ⊂ B(0, 1), và φ là một hàm lồi trong Ω, φ = 0 trên ∂Ω.
Gọi µ là độ đo Monge-Ampere liên kết với φ và giả sử tồn tại hằng số
C > 0 và 0 < α < 1 sao cho µ(Ω) ≤ Cµ(αΩ). Khi đó
C1 | min φ|n ≤ µ(Ω) ≤ C2 | min φ|n
Ω

Ω

với C1 là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào n, và C2 là hằng số dương
chỉ phụ thuộc vào C, α và n.
Định lý sau đây cho ta một đặc trưng hình học của độ đo MongeAmpere thỏa mãn điều kiện đúp.
Định lý 1.2. Cho µ là độ đo Monge-Ampere liên kết với hàm lồi φ. Các
mệnh đề sau là tương đương:
(i) µ thỏa mãn điều kiện đúp (1.3).
(ii) Tồn tại 0 < τ, λ < 1 sao cho với mọi x0 ∈ Rn và t > 0
Sφ (x0 , p, τ t) ⊂ λSφ (x0 , p, t).

(1.7)

Hệ quả 1.1. Cho µ là độ đo Monge-Ampere liên kết với hàm lồi φ
và giả sử µ thỏa mãn (1.3). Giả sử T là biến đổi afin chuẩn hóa tiết
diện Sφ (x, p, t), (nói riêng, T (Sφ (x, p, t)) = Sψ (T x, q, t) trong đó ψ(y) =
φ(T −1 y) và q = (T −1 )t p). Khi đó
(i) Tồn tại c0 > 0 chỉ phụ thuộc vào hằng số trong (1.3) và n sao cho
dist(Sψ (T x, q, τ t), ∂Sψ (T x, q, t)) ≥ c0 (1 − τ )n , với mọi 0 < τ < 1.
(ii) Tồn tại c > 0 chỉ phụ thuộc vào hằng số trong (1.3) và n sao cho

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

nếu y ∈

/ Sφ (x, p, t) thì
B(T (y), C n ) ∩ T (Sφ (x, p, (1 − )t)) = ∅, với mọi 0 < < 1.

(1.8)

Định lý sau đây cho ta đánh giá định lượng về cỡ của các tiết diện
chuẩn hóa. Nó nói rằng nếu hai tiết diện giao nhau và chúng ta chuẩn
hóa tiết diện lớn hơn thì tiết diện còn lại sẽ giống như một hình cầu với
bán kính được lấy tỷ lệ theo tỷ lệ chuẩn hóa của tiết diện lớn hơn.
Định lý 1.3. Giả sử rằng độ đo Monge-Ampere µ được liên kết với φ
thỏa mãn (1.3). Tồn tại các hằng số dương K1 , K2 , K3 và

sao cho nếu

Sφ (z0 , p0 , r0 ) và Sφ (z1 , p1 , r1 ) là các tiết diện với r1 ≤ r0 ,
Sφ (z0 , p0 , r0 ) ∩ Sφ (z1 , p1 , r1 ) = ∅
và T là biết đổi afin chuẩn hóa Sφ (z0 , p0 , r0 ) thì
B T z1 , K2

r1
r0

r1
⊂ T (Sφ (z1 , p1 , r1 )) ⊂ B T z1 , K1 ( )
r0

và T z1 ∈ B(0, K3 ).

11

,

(1.9)


Chương 2
Nghiệm lồi của phương trình
det D2u(x) = 1 trong Rn
Trong chương này chúng tôi tìm hiểu một số kết quả về nghiệm lồi của
phương trình Monge-Ampere với vế phải là hàm hằng 1.

2.1

Bổ đề Pogorelov

Chúng ta bắt đầu với một bổ đề khá quan trọng và hữu dụng của
Pogorelov.
Bổ đề 2.1. Cho Ω ⊂ Rn là một miền lồi mở và bị chặn, và u ∈ C 4 (Ω) ∩
¯ là nghiệm lồi của bài toán
C 2 (Ω)
detD2 u = 1, trong Ω,
u = 0, trên ∂Ω.
Giả sử α là một véctơ đơn vị,
1

2

h(x) = |u(x)|Dαα u(x)e 2 Dα u(x) ,
12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

và M = maxΩ¯ h(x). Khi đó tồn tại P ∈ Ω sao cho M = h(p) và ta có
bất đẳng thức
2

M ≤ C(n)eDα u(P ) ,
trong đó C(n) là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào số chiều n.
Chứng minh. Vì u = 0 trên ∂Ω và u lồi chặt trong Ω, nên giá trị lớn
nhất M đạt được tại một điểm P ∈ Ω. Vì D2 u(P ) > 0 nên tồn tại một
ma trận O sao cho det O = 1 và Ot D2 u(P )O là ma trận chéo và nếu
u¯(x) = u(Ox), thì D1 u¯(x) = Dα u(Ox) và D11 u¯(x) = Dαα u(Ox); đặc
biệt D2 u¯(P ) là ma trận chéo với P = O−1 P. Để chứng minh khẳng
định này, ta quay hệ trục tọa độ để có α là một trong các trục. Tức là,
giả sử Q là một ma trận trực giao sao cho Qe1 = α và v(x) = u(Qx).
Khi đó cột đầu tiên của Q là véctơ α và ta có D1 v(x) = (Dα u)(Qx),
D11 v(x) = (Dαα )(Qx). Tiếp theo, với A = (aij ) là một ma trận cấp n×n
đối xứng xác định dương, xét

12
− aa13
− aa14
1 − aa11
11
11



0 1
0
0


0 0
1
0
B=

0 0
0
1

 ..
..
..
..
.
.
.
.

0 0
0
0

13

···

···
···
···
...
···



− aa1n
11 

0 


0 


0 

.. 
. 

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

Ta có



a11 0
,
B t AB = 
0 B1
Trong đó, B1 là một ma trận cấp (n − 1) × (n − 1). Vì A là ma trận đối
xứng xác định dương, nên B1 cũng là một ma trận đối xứng xác định
dương. Từ đó, tồn tại một ma trận trực giao O1 sao cho O1t B1 O1 là ma
trận chéo. Đặt


1 0
.
O =
0 O1
Chọn A = (D2 v)(Qt P ) và đặt u¯(x) = v(BOx), khi đó D2 u¯((BO)−1 Qt P )
là ma trận chéo. Kết hợp phép đổi tọa độ, ma trận O = QBO là ma
trận cần tìm.
Vì thế, ta có thể giả sử rằng α = (1, 0, · · · , 0) và do đó
1

2

h(x) = |u(x)|D11 u(x)e 2 (D1 u(x)) ,
và D2 u(P ) là ma trận chéo. Cho L là toán tử tuyến tính tại P,
n

L=
i=1

1
Dii .
uii (P )

Vì h đạt giá trị lớn nhất tại P, cho nên hàm số
1
w = log |u| + log D11 u + (D1 u)2
2

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

đạt giá trị lớn nhất tại P, và do đó Dw(P ) = 0 và D2 w(P )
L(w)(P )

0.

0. Bởi vậy
(2.1)

Vì
wi =

wii =

ui u11i
+
+ u1 u1i ,
u
u11

(2.2)

uii u2i
u11ii u211i
− 2+
− 2 + u21i + u1 u1ii .
u
u
u11
u11

Từ đó
n

Lw(x) =
i=1

1
Dii (x)w(x)
uii (P )

1
=
u(x)

+

n

i=1

1
1
uii (x) −
uii (P )
u(x)2

1
1
L(u11 )(x) −
u11 (x)
u11 (x)2
n

+
i=1

n

i=1
n

i=1

ui (x)2

uii (P )
u11i (x)2
uii (P )

2

u1i (x)
+ u1 (x)L(u1 )(x).
uii (P )

Do D2 u(P ) là ma trận chéo, lấy vi phân phương trình det D2 u = 1 theo
x1 ta có L(u1 )(P ) = 0. Hơn nữa, L(u)(P ) = n và
n

L(u11 )(P ) =
k,l=1

15

u1kl (P )2
.
ukk (P )ull (P )


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

Khi đó từ (2.1)
n

1
Lw(P ) =
−
u(P ) u(P )2
−

1
u11 (P )2

n

i=1

n

i=1

ui (P )2
1
+
uii (P ) u11 (P )

u11i (P )2
+
uii (P )

n

i=1

n

k,l=1

u1kl (P )2
ukk (P )ull (P )

u1i (P )2
≤ 0.
uii (P )

Lúc này ta có
n

u1kl (P )2
1
−
ukk (P )ull (P ) u11 (P )2
k,l=1

n
n
1 
u11l (P )2
=
+
u11 (P )
u11 (P )ull (P )

1

u11 (P )

1
=
u11 (P )

l=1
n

k>1,l=1

n

i=1

k>1,l=1

u11i (P )2
uii (P )

u1kl (P )2
−
ukk (P )ull (P )

n

i=1



u11i (P )2 
u11 (P )uii (P )

u1kl (P )2
.
ukk (P )ull (P )

Từ đó
n
1
−
u(P ) u(P )2

n

i=1

ui (P )2
1
+
uii (P ) u11 (P )
n

+
i=1

n

k>1,l=1

u1kl (P )2
ukk (P )ull (P )

u1i (P )2
≤ 0.
uii (P )

Vì P là điểm đạt giá trị lớn nhất của w, nên từ (2.2)
ui (P ) u11i (P )
+
+ u1 (P )u1i (P ) = 0, i = 1, · · · , n.
u(P )
u11 (P )
Ta có u1i (P ) = 0 với i = 1 vì D2 u(P ) là ma trận chéo khi đó
ui (P )
u11i (P )
=−
, với i = 1,
u(P )
u11 (P )

16

(2.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

và do đó
u11i (P )2
ui (P )2
=
, với i = 1.
u(p)2
u11 (P )2
Bởi vậy,
1
u11 (P )
n

=
k=2
n

=
k=2
n

=
k=2

n

k>1,l=1

u1kl (P )2
ukk (P )ull (P )

u1k1 (P )2
+
ukk (P )u11 (P )2

n

l=2

u1kl (P )2
u11 (P )ukk (P )ull (P )

2

u1k1 (P )
+ số hạng dương
ukk (P )u11 (P )2
uk (P )2
+ số hạng dương.
ukk (P )u(P )2

Thay biểu thức trên vào (2.3) và bỏ đi số hạng dương ta được
n
1 u1 (P )2
−
+
u(P ) u(P )2 u11 (P )

n

i=1

u1i (P )2
≤ 0,
uii (P )

Từ đó
n
1 u1 (P )2
−
+ u11 (P ) ≤ 0.
u(P ) u(P )2 u11 (P )
2

Nhân biểu thức trên với u11 (P )u(P )2 eu1 (P ) ta thu được
2

h(P ) − ne

u1 (P )2
2

2

h(P ) − u1 (P )2 eu1 (P ) ≤ 0.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

Suy ra
h(P ) ≤

ne

=e

2.2

u1 (P )2
2

u1 (P )2
2

(n2 + 4u1 (P )2 )eu1 (P )2
2
n + n2 + 4u1 (P )2
2
≤ C(n)eu1 (P ) .
2

+

Đánh giá Holder trong miền của D2u

Ta kí hiệu
|u(x) − u(y)|

.
|x − y|α
x,y∈Ω

[u]α,Ω = sup

là nửa chuẩn Holder bậc α của hàm u trên Ω.
Định lý 2.1. Cho Ω ⊂ Rn là một miền lồi mở Bαn (0) ⊂ Ω ⊂ B1 (0) và
¯ là nghiệm lồi của bài toán
u ∈ C 4 (Ω) ∩ C(Ω)
detD2 u = 1, trong Ω
u = 0, trên ∂Ω.
Với

> 0 và Ω = {x ∈ Ω : u(x) < − } , tồn tại các hằng số C = C(n)

và 0 < α < 1 chỉ phụ thuộc vào
D2u

và số chiều n sao cho

α,Ω

≤ C.

Chứng minh. Chứng minh của định lí được thực hiện trong 6 bước:
Bước 1: Tồn tại một hằng số C0 > 0 chỉ phụ thuộc vào cấu trúc, sao
18

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

cho
dist(Ω , ∂Ω)

C0 n .

(2.4)

Điều này được suy ra từ các tính chất của các tiết diện ngang. Thật vậy,
đặt m = minΩ u và x0 ∈ Ω sao cho m = u(x0 ). Vì u lồi và u = 0 trên ∂Ω,
cho nên m < 0 và u(x) < 0 với x ∈ Ω. Rõ ràng rằng l(x) = m là siêu
phẳng giá của u tại (x0 , u(x0 )). Cho S(x0 , 0, t) = {x : u(x) < m + t} . Ta
có S(x0 , 0, −m) = {x : u(x) < 0} = Ω, và
S(x0 , 0, −m − ) = Ω .
Vì S(x0 , 0, −m) = Ω chuẩn hóa, nên theo hệ quả (1.1) ta thu được
dist(S(x0 , 0, −m − ), ∂S(x0 , 0, −m))
−m −
= dist(S(x0 , 0,
(−m)), ∂S( x0 , 0, −m))
−m
n
n
−m −
+
C0 1 −
= C0
.

−m
−m
Theo Mệnh đề 1.1, m ≈ Cn nên (2.4) được chứng minh.
Bước 2: Ta có đánh giá
|Du(x)|

C

−n

, với mọi x ∈ Ω ,

Theo Bổ đề 1.1 ta có
Du(x) ∈ B 0,

maxΩ −u
,x ∈ Ω .
dist(Ω , ∂Ω)

Vậy (2.5) được chứng minh từ (2.4).
19

(2.5)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ THÙY TRANG

Bước 3: Nếu |α| = 1 thì

Dαα u(x)

C( ), với mọix ∈ Ω3 .

(2.6)

Thật vậy, xét hàm số v(x) = u(x) + 2 . Ta có
detD2 v = 1, trong Ω2 ,
v = 0, trên ∂Ω2 .
Áp dụng Bổ đề 2.1 với v trong tập Ω2 , ta có
2

max h(x) ≤ Cn eDα u(P ) ,
Ω2
1

2

trong đó h(x) = |v(x)| Dαα v(x)e 2 Dα v(x) và h(P ) = maxΩ2 h(x). Vì Ω2 ⊂
Ω , nên theo (2.5) ta có |Dα v(P )| = |Dα u(P )| ≤ C
1

2

h(x) = |v(x)| Dαα u(x)e 2 Dα u(x) ≤ Cn eC

−2n

−n

, và hệ quả là

, với mọi x ∈ Ω2 .

(2.7)

Nếu x ∈ Ω3 thì v(x) = u(x) + 2 < −3 + 2 = , tức là |v(x)| > trong
Ω3 và từ (2.7) ta thu được
Dαα u(x) ≤ Cn eC
Từ đó suy ra (2.6) với C( ) = Cn

−2n

eC

, với mọi x ∈ Ω3 .

−2n

.

Bước 4: Giả sử λj (x), j = 1, · · · , n là các giá trị riêng của D2 u(x). Khi
đó
λj (x) ≥

1
, với mọi x ∈ Ω3 ,
C( )n−1
20

(2.8)