Một số khía cạnh về mặt cực tiểu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TẠ THỊ KIM ANH

MỘT SỐ KHÍA CẠNH VỀ
MẶT CỰC TIỂU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TẠ THỊ KIM ANH

MỘT SỐ KHÍA CẠNH VỀ
MẶT CỰC TIỂU

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
PGS.TS NGUYỄN THẠC DŨNG

Hà Nội – Năm 2018


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành với sự giúp đỡ chỉ
bảo của các thầy cô trong tổ Hình học trong Khoa Toán của trường
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Nguyễn Thạc
Dũng, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian để em
hoàn thành được khóa luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn
đề mà em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các
thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2018.
Sinh viên

Tạ Thị Kim Anh

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên
cứu và tổng hợp của em dưới sự tạo điều kiện của các thầy cô trong
tổ Hình học khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 , đặc biệt
là sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Thạc Dũng - giảng viên
trường Đại học Khoa học Tự nhiên.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã được nêu ra ở phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Một số khía cạnh về mặt
cực tiểu" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.

Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2018.
Sinh viên

Tạ Thị Kim Anh

ii


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Mặt cực tiểu trong R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Biến phân theo phương vuông góc

. . . . . . . . . . .

4

1.3

Sự biến dạng từ mặt xoắn ốc đến mặt catenoid . . . .

8

2 Các mặt tròn xoay cực tiểu và một vài ví dụ về mặt
cực tiểu

13

2.1

Các mặt tròn xoay cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Một vài ví dụ của mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1

Mặt cực tiểu của Enneper . . . . . . . . . . . .

16

2.2.2

Mặt cực tiểu của Catalan . . . . . . . . . . . .

17

2.2.3

Mặt cực tiểu của Henneberg

. . . . . . . . . .

20

Mảnh Monge và mặt cực tiểu của Scherk . . . . . . . .

22

2.3

3 Ánh xạ Gauss của một mặt cực tiểu. Các tọa độ đẳng
nhiệt

26

3.1

Ánh xạ Gauss của một mặt cực tiểu . . . . . . . . . . .

26

3.2

Các tọa độ đẳng nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

KẾT LUẬN

35

Tài liệu tham khảo

35

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Lời mở đầu
Học thuyết mặt cực tiểu được Euler, Lagrange và Meusnier chỉ ra
từ những năm giữa của thế kỉ 18. Nền toán học thế giới phải chờ hơn
50 năm cho tới khi Scherk tìm thấy các ví dụ khác mà ngày nay gọi
là "mặt cực tiểu của Scherk" và một họ gồm cả mặt catenoid và mặt
xoắn ốc.
Tầm quan trọng của các mặt cực tiểu được minh họa bởi các thí
nghiệm của Plateau. Ông nghiên cứu các mặt cực tiểu với biên là một
đường cong cho trước. Điều này cũng được các nhà toán học xây dựng
và nghiên cứu một cách tổng quát.
Yêu thích hình học, yêu thích các mặt cực tiểu và muốn nghiên cứu
về chúng nên em đã chọn đề tài: "Một số khía cạnh về mặt cực tiểu"
để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học này.
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các mặt cực tiểu bới việc chỉ ra một mặt cực tiểu là
một điểm tới hạn của hàm diện tích trong một chiều thích hợp.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: mặt cực tiểu, ánh xạ của một mặt cực tiểu
và các tọa độ đẳng nhiệt.
Phạm vi nghiên cứu: mặt cực tiểu và các ví dụ về mặt cực tiểu .
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề, các tài liệu tham
khảo liên quan.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

4. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận này
gồm 3 chương:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị"
Chương 2: "Các mặt tròn xoay cực tiểu. Một vài ví dụ về mặt cực
tiểu"
Chương 3: "Ánh xạ Gauss của một mặt cực tiểu. Các tọa độ đẳng
nhiệt"
Trong suốt quá trình nghiên cứu, để hoàn thành khóa luận em đã
nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Nguyễn Thạc Dũng cùng
các thầy cô trong tổ Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Một
lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, các cô.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy
cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta nghiên cứu thế nào là mặt cực tiểu, biến
phân theo phương vuông góc và sự biến dạng giữa các mặt cực tiểu đẳng
cự. Kiến thức này chủ yếu được lấy từ quyển "Hình học vi phân hiện
đại của đường cong và mặt cong với phần mềm Mathematica" của
Alfred Gray.

1.1

Mặt cực tiểu trong R3

Cho U là một tập mở khác rỗng của R2 . Ta gọi mỗi ánh xạ khả vi
r : U → Rn ,

(u, v) → r(u, v) là một mảnh tham số trong Rn . Điểm

(u0 , v0 ) gọi là một điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm tại
(u0 , v0 ), tức là hai véc tơ ru (u0 , v0 ) và rv (u0 , v0 ) độc lập tuyến tính.
Một điểm không chính quy của mảnh tham số r được gọi là điểm kì
dị. Mảnh tham số r mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được
gọi là mảnh tham số chính quy.
Mặt cực tiểu trong R3 là mặt có độ cong trung bình bằng không.
Ta kí hiệu độ cong trung bình của một mặt là H thì mặt cực tiểu là

3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

mặt mà H = 0. Đây cũng là mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả
các mặt có cùng biên.
Biến phân theo phương vuông góc của một mặt M trong R3 là một
họ các bề mặt t → M(t) trong đó M(t) là một biến đổi của mặt M
theo các phương pháp tuyến. Gọi A(t) là diện tích của mặt M(t) thì
ta chỉ ra độ cong trung bình của M bằng 0 khi và chỉ khi đạo hàm
cấp 1 của A(t) bằng 0 trong M.
Cho U là một tập mở trong R2 , x : U → R3 là một đơn ánh khả
vi liên tục sao cho với mỗi (u, v) ∈ U hai véc tơ xu , xv độc lập tuyến
tính, gọi R là một tập con compact của x(U). Khi đó công thức tính
diện tích miền R được cho bởi
EG − F 2 dudv,

xu × xv dudv =

SR =
x−1 (R)

x−1 (R)

trong đó E, F, G là các hàm khả vi trên U lần lượt xác định bởi
E = xu · x u ,

1.2

F = xu · xv ,

G = x v · xv .

Biến phân theo phương vuông góc

Bổ đề 1.1. Cho U là một tập mở trong R2 , M là một mặt chính quy
trong R3 và x : U → M là một mảnh chính quy. Q là một miền bị
chặn trong U, khi đó diện tích của x(Q) là
||xu × xv || dudv.

Sx(Q) =
Q

Định nghĩa 1.1. Cho U là một tập mở trong R2 và x : U → R3 là một
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

mảnh chính quy, chọn một miền bị chặn Q ⊂ U. Giả sử h : Q −→ R
khả vi và ε > 0. Cho U kí hiệu trường véc tơ đơn vị sao cho U(u, v)
vuông góc với x (u, v) , ∀(u, v) ∈ U. Khi đó biến phân theo phương
vuông góc của x và Q xác định bởi h là ánh xạ X : (−ε, ε) × Q → R3
được cho bởi công thức
Xt (u, v) = x(u, v) + th(u, v)U(u, v)

(1.1)

với (u, v) ∈ Q, −ε < t < ε.
Theo định nghĩa này, với mỗi ε > 0 đủ bé, với mỗi t sao cho
−ε < t < ε, ta có Xt là một mảnh chính quy. Đặt



E(t) = (Xt )u .(Xt )u ,


F (t) = (Xt )u .(Xt )v ,



 G(t) = (X ) .(X ) .
t v

Khi đó

(1.2)

t v




E(0) = (Xt )u .(Xt )u = xu .xu ,



F (0) = (Xt )u .(Xt )v = xu .xv ,



 G(0) = (X ) .(X ) = x .x .
t v
t v
v v

hay E = E(0), F = F (0), G = G(0). Theo Bổ đề 1.1, diện tích của
Xt (Q) là
E(t)G(t) − F 2 (t)dudv.

A(t) =
Q

Ta tính đạo hàm tại 0 của hàm A(t).

5

(1.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Bổ đề 1.2. Ta có
A (0) = −2

hH

EG − F 2 dudv,

(1.4)

Q

trong đó H là độ cong trung bình của M.
Chứng minh. Lấy đạo hàm của (1.1) tương ứng u, v ta được

(X ) = x (u, v) + t(h (u, v)U (u, v)) ,
t u
u
u
u
 (X ) = x (u, v) + t(h (u, v)U (u, v)) .
t v
v
v
v
Khi đó, ta có

(X ) = x + th U + thU ,
t u
u
u
u
 (X ) = x + th U + thU .
t v

v
v
v

(1.5)

Lưu ý rằng các hệsố của dạng cơ bản thứ hai được xác định bởi


e = −Uu .xu = U.xuu ,


f = −Uv .xu = U.xuv = U.xvu = −U.xuv ,




g = −Uv .xv = U.xvv .

nên
E(t) = (Xt )u .(Xt )u
= (xu + thu U + thUu ).(xu + thu U + thUu )
= E + 2thxu .Uu + O(t2 )
= E − 2the + O(t2 ).
Tương tự,
F (t) = F − 2thf + O(t2 ),
G(t) = G − 2thg + O(t2 ).
6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Từ đó ta có
E(t)G(t) − F 2 (t) = (E − 2the + O(t2 ))(G − 2thg + O(t2 ))
− (F − 2thf + O(t2 ))2
= EG − F 2 − 2th(Eg − 2F f + Ge) + O(t2 )
= (EG − F 2 )(1 − 4thH) + O(t2 ),
hệ quả là
E(t)G(t) − F 2 (t) =

(EG − F 2 )(1 − 4thH) + O(t2 )

=

EG − F 2

1 − 4thH + O(t2 )

=

EG − F 2 (1 − 2thH) + O(t2 ),

nên ta thu được
( EG − F 2 (1 − 2thH) + O(t2 ))dudv

A(t) =
Q

EG − F 2 dudv − 2t

=
Q

hH

EG − F 2 dudv + O(t2 ).

Q

Khi đó, lấy đạo hàm tương ứng với t và tính giá trị của kết quả nhận
được tại t = 0, ta thu được (1.4).
Định lý 1.1. Cho x : U → R3 là một mảnh chính quy, và một miền
bị chặn Q ⊂ U. Khi đó x là mặt cực tiểu xác định trên Q khi và chỉ
khi A (0) = 0 của biến phân theo phương vuông góc của x và Q cùng
với mọi cách chọn hàm h : Q → R.
Chứng minh. Giả sử với tham số hóa x, ta có H đồng nhất bằng 0,
khi đó (1.4) dẫn tới A (0) = 0 với mọi hàm h.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Ngược lại, giả sử rằng A (0) = 0 với mọi hàm khả vi h : Q → R.
Ta chứng minh H đồng nhất bằng 0 bằng phản chứng. Giả sử tồn tại
q ∈ Q sao cho H(q) = 0. Chọn hàm h sao cho h(q) = H(q), hơn nữa
ta chọn h sao cho đồng nhất bằng 0 bên ngoài một lân cận nhỏ của q

mà tại lân cận này hH ≥ 0 . Điều này dẫn tới A (0) < 0 mâu thuẫn
với công thức (1.4) . Mâu thuẫn này chỉ ra rằng H(q) = 0. Vì q là
tùy ý nên x là mặt cực tiểu xác định trên Q.
Lưu ý rằng chúng ta chưa nói gì tới đạo hàm cấp hai của A tại 0.
Do đó một mặt cực tiểu, mặc dù là điểm tới hạn của phiếm hàm diện
tích vẫn có thể không phải là điểm cực tiểu của phiếm hàm này.

1.3

Sự biến dạng từ mặt xoắn ốc đến mặt catenoid

Mặt xoắn ốc và mặt catenoid là điểm đầu và điểm cuối của một biến
dạng giữa các mặt cực tiểu đẳng cự. Với mỗi t (0 ≤ t ≤ π2 ), ta xác
định
z [t] (u, v) = cos t(sinh v sin u, − sinh v cos u, u)+
(1.6)
sin t(cosh v cos u, cosh v sin u, v).
Mối liên hệ chính xác giữa họ các mặt này, mặt xoắn ốc và mặt
catenoid cho bởi phương trình
z [0] (u, v) = (sinh v sin u, − sinh v cos u, u)
z

π
(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sin u, v).
2

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hình 1.1: z

Tạ Thị Kim Anh

nπ
16

9

với 0

n

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

trong đó z [0] là một tham số của một mặt xoắn ốc và z

π
2

là một

tham số của mặt catenoid.
Định lý 1.2. Họ một tham số của các mặt cong (1.6) là một biến

dạng từ mặt xoắn ốc đến mặt catenoid sao cho z [0] là một tham số
của một mặt xoắn ốc và z

π
2

là một tham số của mặt catenoid. Hơn

nữa, mỗi z [t] là một mặt cực tiểu mà đẳng cự địa phương tới z [0].
Đặc biệt, mặt xoắn ốc là đẳng cự địa phương tới mặt catenoid.
Chứng minh. Ta kí hiệu E(t), F (t), G(t) là các hệ số của dạng cơ bản
thứ nhất ứng với z [t]. Dễ dàng tính được

E(t) = cosh2 v = G(t),

F (t) = 0.

Đặc biệt, ta thấy rằng E(t), F (t), G(t) là hàm hằng theo biến t. Theo
Bổ đề 12.7, [1, p136] ta được điều phải chứng minh.
Hình vẽ 1.1 cho ta mô tả chính xác các phép biến dạng t → z [t].
Ở đây các màu được tô là một hàm của độ cong Gauss. Rõ ràng phép
nhúng z [t] là phụ thuộc vào t. Không có mặt nào trong hai mặt xoắn
ốc và catenoid là tự giao nhau. Tuy nhiên mỗi mặt trung gian z [t] đều
có các điểm tự giao nhau. Ngoài ra chúng ta cũng thấy rằng các tiệm
cận trong mặt xoắn ốc được biến đổi từ từ thành các đường độ cong
chính trong mặt catenoid.

10

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Hình 1.2: Các miền đẳng cự của mặt xoắn ốc và mặt catenoid

Hình 1.2 mô tả hai miền đặc biệt của mặt xoắn ốc và mặt catenoid
tương ứng với phép biến dạng nói trên. Các đường cong biên của các
miền này là các đường xoắn ốc và đường tròn, với tham số hóa tương
ứng là
α(u) = (sinh 1 sin u, − sinh 1 cos u, u),

0

u < 2π,

γ(u) = (cosh 1 cos u, cosh 1 sin u, 1),

0

u < 2π.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Độ dài của đường xoắn ốc là

2π

|α (u)| du
0
2π

|(sinh 1 cos u, sinh 1 sin u, 1)| du

=
0
2π

sinh2 1 cos2 u + sinh2 1 sin2 u + 1du

=
0
2π

sinh2 1(cos2 u + sin2 u) + 1du

=
0
2π

sinh2 1 + 1du

=
0

= 2π cosh 1,

và chu vi của đường tròn là
2π

|γ (u)| du
0
2π

|(− cosh 1 sin u, cosh 1 cos u, 0)| du

=
0
2π

cosh2 1 sin2 u + cosh2 1 cos2 udu

=
0
2π

cosh2 1(sin2 u + cos2 u)du

=
0
2π

cosh2 1du

=
0

= 2π cosh 1.
Thực tế rằng hai độ dài này bằng nhau là hoàn toàn trùng hợp với
khẳng định rằng đường xoắn ốc được biến đổi đẳng cự thành đường
tròn.

12


Chương 2
Các mặt tròn xoay cực tiểu và một
vài ví dụ về mặt cực tiểu
2.1

Các mặt tròn xoay cực tiểu

Mặt catenoid là một mặt duy nhất trong họ z [t] có dạng mặt tròn
xoay cực tiểu. Trong phần này, ta sẽ chứng minh rằng, trên thực tế,
chỉ có mặt catenoid và mặt phẳng là các mặt tròn xoay cực tiểu.
Định lý 2.1. Nếu một mặt tròn xoay M là một mặt cực tiểu thì nó
được chứa trong một mặt phẳng hoặc mặt catenoid.
Chứng minh. Cho x là một mảnh mà vết được chứa trong M, đặt
α(ϕ, ψ) là đường sinh của mặt M, khi đó M được xác định bởi
(ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, ψ(v)).
Do x là mặt cực tiểu, theo chương 15, [1] , một trong ba trường hợp
sau phải xảy ra:

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

ψ là hàm đồng nhất 0. Khi đó ψ là hàm đồng

Trường hợp 1.

nhất 0 nên α là một đường nằm ngang và M là một phần của mặt
phẳng vuông góc với trục quay.
ψ là luôn luôn khác 0. Khi đó, theo định lý hàm

Trường hợp 2.

ngược, tồn tại hàm ngược ψ −1 , xét biểu diễn
α(t) = α(ψ −1 (t)) = (h(t), t),
trong đó h = ϕ ◦ ψ −1 , và một mảnh y mới cho bởi công thức
y(u, v) = (h(v) cos u, h(v) sin u, v).
Do α là một sự tham số hóa lại của α, nên x và y có cùng vết. Do
vậy ta chỉ cần chứng minh rằng mặt tròn xoay y là một phần của mặt
catenoid.
Theo [1], các độ cong chính của mặt tròn xoay y được xác định bởi
công thức

h
k = g =
,
m
G
(h 2 +1)3/2
k = e = − √ 1 .

p

E

(2.1)

h h 2 +1

Do mặt tròn xoay là cực tiểu nên 0 = 2H = km + kp , do vậy h thỏa
mãn phương trình
h h = 1 + h 2.

(2.2)

Để giải phương trình này, đầu tiên ta biến đổi phương trình trở thành
2h h
2h
=
.
2
1+h
h

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Lấy tích phân của hai vế, ta thu được
log(1 + h 2 ) = log(h2 ) − log(c2 ).
trong đó c = 0 là một hằng số nào đó, bằng cách mũ hóa hai vế, ta
nhận được
h
1 + h 2 = ( )2 .
c

(2.3)

Phương trình bậc nhất này có thể được viết lại là
h /c

1
= .
c
(h/c)2 − 1

(2.4)

Tiếp tục lấy nguyên hàm hai vế, ta thu được
arccos

h v
= + b.
c
c

Do vậy, ta thu được nghiệm (2.2) là
v

h(v) = c cosh( + b).
c
Thay giá trị của h và biểu diễn tham số y, ta kết luận được M là một
phần của mặt catenoid.
Trường hợp 3.

ψ là đồng nhất 0 tại một số điểm nhưng không

phải mọi điểm. Ta chứng minh rằng trường hợp này không thể tồn
tại.
Thật vậy giả sử ta có ψ (v0 ) = 0 nhưng ψ (v) > 0 với v < v0 , Theo
trường hợp 2, đường sinh là một đường catenary với v < v0 và hệ
số góc của tiếp tuyến với đường cong này được xác định bởi

15

ϕ
ψ

. Tuy


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

nhiên, điều kiện ψ (v0 ) = 0 kéo theo hệ số góc này trở thành vô hạn
tại v0 . Nhưng điều này là không thể, vì đường cong sinh là đồ thị hàm
cosh.

2.2

Một vài ví dụ của mặt cực tiểu

2.2.1

Mặt cực tiểu của Enneper

Một trong những mặt cực tiểu đơn giản nhất được Enneper tìm
thấy năm 1864. Nó được xác định bởi
u3
v3
2
enneper(u, v) = (u −
+ uv , −v +
− vu2 , u2 − v 2 ).
3
3
Dễ dàng chứng minh được H = 0. Thật vậy, trước hết ta có
xu = (1 − u2 + v 2 , −2uv, 2u),
xv = (2uv, −1 − u2 + v 2 , −2v).
Khi đó
E = (1 + u2 + v 2 )2 = G,

F = 0.

(2.5)

Để đơn giản hóa các tính toán, đặt ρ = 1 + u2 + v 2 , ta tính được
xu × xv = (2uρ, 2vρ, ρ2 − 2ρ).

Tuy nhiên, chúng ta không cần chuẩn hóa véc tơ này, vì độ cong trình
bình bằng không được suy ra trực tiếp từ phương trình (2.5) và
xuu = −2(u, v, −1) = −xvv .
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Mặc dù dễ dàng định nghĩa, mặt cong của Enneper lại rất phức tạp
bởi nó chứa các điểm tự cắt. Cách tốt nhất để trực giác hóa là chiếu
mặt này lên các trục tọa độ như trong hình vẽ 2.1

Hình 2.1: Mặt cong của Enneper với các hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ

2.2.2

Mặt cực tiểu của Catalan

Mặt cực tiểu của Catalan được tham số bởi
x(u, v) = (−u − sin u cosh v, 1 − cos u cosh v, −4 sin
Ta có thể kiểm tra được độ cong trung bình H = 0.

17

u
v
sinh ). (2.6)
2

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

Hình 2.2: Mặt cực tiểu của Catalan

Giao điểm của mặt phẳng z = 0 với vết của (2.6) chứa đường cong
tọa độ
α(u) = x(u, 0) = (u − sin u, 1 − cos u, 0),

(2.7)

là một đường cong xycloid trong mặt phẳng Oxy. Hầu như tất cả các
tính chất thú vị về mặt Catalan được suy ra từ các tính chất của mặt
trong mối liên hệ với đường cong này, mà ngay bây giờ chúng ta sẽ
khảo sát chúng. Ta kí hiệu s là một hàm độ dài cung dọc theo đường
cong, mà do đó tốc độ của nó xác định bởi
√
ds
u
= |α (u)| = 2 − 2 cos u = 2 sin .
du
2

(2.8)

Lưu ý ta cũng có thể viết s là một hàm của u mà không cần công thức

chính xác.
Xét các véc tơ tiếp xúc xu , xv với mặt đã cho tại các điểm thuộc
đường cycloid này. Trước hết là véc tơ tiếp xúc của chính đường cong,
xu (u, 0) = α (u) = (1 − cos u, sin u, 0).

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tạ Thị Kim Anh

bên cạnh đó
u
xv (u, 0) = (0, 0, −2 sin ),
2
nên véc tơ xv (u, 0) này là trực giao với mặt phẳng chứa vết của α.
Véc tơ gia tốc α (s) là vuông góc với
α (s) = α (u)

du
,
dv

bởi vì véc tơ α (s) có độ dài không đổi. Mặt khác α (s) phải nằm
trong mặt phẳng Oxy, và do đó là trực giao với xv . Như vậy, chúng ta
vừa xây dựng kết quả sau đây.
Bổ đề 2.1. Gia tốc α (s) của đường cong (2.7) là song song khắp nơi
với véc tơ pháp tuyến xu × xv của mặt (2.6)
Một cách tổng quát, cho trước một đường cong α mà vết nằm trên

một mặt cong, thành phần tiếp tuyến của α (s) xác định một đại lượng
được gọi là độ cong trắc địa. Đường cong α được gọi là tiền trắc địa
nếu véc tơ gia tốc α (s) của nó thỏa mãn kết luận của Bổ đề 2.1. Lưu
ý là thuật ngữ trắc địa này được định nghĩa cho các đường cong tham
số hóa bởi tích của một hằng số với độ dài cung. Một bài toán thú vị
trong lý thuyết mặt cực tiểu là xác định một mặt cực tiểu chứa một
đường trắc địa là một đường cong cho trước, hoặc chứa một đường
cong tiếp xúc với các hướng tiệm cận hoặc hướng chính.

19