Phép nghịch đảo và một số ứng dụng đẹp của nó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

KHUẤT PHƯƠNG ANH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐẸP CỦA NÓ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

KHUẤT PHƯƠNG ANH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐẸP CỦA NÓ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN THỊ TRÀ

HÀ NỘI – 2018

Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Giới thiệu phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Khái niệm hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Khái niệm phép biến hình . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tích của hai phép biến hình . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Phép biến hình đảo ngược . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5

Phép biến hình có tính chất đối hợp

. . . . . .

7

1.2

Điểm kép, hình kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Định hướng trong mặt phẳng . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Định hướng trong không gian . . . . . . . . . .

10

1.4

Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5

Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu . . .

11

1.5.1

Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 11
i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

1.5.2

Trục đẳng phương của hai đường tròn . . . . .

12

1.5.3

Hai đường tròn trực giao . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.4

Phương tích của một điểm đối với mặt cầu . . .

12

2 Phép nghịch đảo

14

2.1

Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . .

14

2.2

Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch
đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4

Ảnh của mặt phẳng và mặt cầu qua phép nghịch đảo .

24

2.5

Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo . . . . . . . . . .

28

3 Một số ứng dụng đẹp của phép nghịch đảo

31

Bài tập đề nghị

50

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

53

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ bộ môn Hình học cũng như các thầy
cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu
và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học
và khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới
ThS. Nguyễn Thị Trà, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ
để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn nhiều hạn chế
nên bản khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các
bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội,ngày ... tháng ... năm 2018
Sinh viên

Khuất Phương Anh

1


Lời cam đoan

Khóa luận này được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên
cứu của bản thân và sự hướng dẫn của ThS.Nguyễn Thị Trà.
Trong khóa luận này tôi có tham khảo các kết quả nghiên cứu của
các nhà khoa học trong và ngoài nước. Tôi xin cam đoan kết quả của
khóa luận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào khác.
Hà Nội,ngày ... tháng ... năm 2018

Sinh viên

Khuất Phương Anh

2


Lời mở đầu
Trong chương trình THPT người ta đã đưa vào giảng dạy một số
phép biến hình như phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đồng dạng,...
Tuy nhiên một phép biến hình đặc biệt là phép nghịch đảo thì không
được đề cập đến vì nó đòi hỏi nhiều kiến thức chuyên sâu và phức tạp hơn.
Khi lên đến bậc đại học thì với nền kiến thức tốt hơn, sinh viên
được giới thiệu và nghiên cứu kĩ về phép nghịch đảo. Có rất nhiều
bài toán khó giải theo cách thông thường hoặc sử dụng các phép
biến hình bình thường thì lời giải dài và phức tạp, nhưng khi áp dụng
phép nghịch đảo vào lời giải thì thu được cách chứng minh rất đẹp
và dễ hiểu. Ngoài ra khi rèn luyện các bài toán liên quan đến phép
nghịch đảo, người học còn phát triển được tư duy logic và khả năng
quan sát trực quan tốt hơn.
Với niềm yêu thích hình học, yêu thích phép nghịch đảo và các
nét đẹp của nó mà tôi đã chọn đề tài Phép nghịch đảo và một số
ứng dụng đẹp của nó làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
Nhờ có vậy mà tôi có điều kiện và cơ hội để làm quen, tìm hiểu và
nghiên cứu nhiều hơn về phép nghịch đảo.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Bố cục bài khóa luận gồm 3 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Phép nghịch đảo.
Chương 3: Một số ứng dụng đẹp của phép nghịch đảo.

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Giới thiệu phép biến hình
Khái niệm hình

Khái niệm về hình là một khái niệm ai nấy đều có một cách rõ rệt
do cả một quá trình nhìn ngắm các sự vật và so sánh hình thù của
chúng. Tuy nhiên, toán học cần phải chính xác hóa khái niệm đó và
mở rộng nó ra để tiện cho việc diễn đạt các ý kiến. Ta sẽ gọi một
tập hợp điểm khác rỗng là một hình.
Ký hiệu:
Muốn chỉ rằng một điểm A thuộc về một hình F , người ta dùng ký hiệu
A ∈ F hoặc F

A.

Giao của hai hình A và B là A ∩ B.
Hợp của hai hình A và B là A ∪ B.
Nếu mỗi điểm của một hình A, cũng là một điểm của hình B thì
người ta nói rằng A là một tập hợp con hay một bộ phận của B và
viết: A ⊂ B hay B ⊃ A.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Khuất Phương Anh

Khái niệm phép biến hình

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P . Khi đó mỗi
hình H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P và được
ký hiệu là H ⊂ P .
Định nghĩa 1.1. Cho một tập hợp bất kỳ P khác rỗng. Một song ánh
từ P vào chính nó được gọi là một phép biến hình của tập P .
Như vậy cho một phép biến hình f : P −→ P là cho một quy tắc để
bất kỳ điểm M thuộc P , ta tìm được một điểm M = f (M ) hoàn toàn
xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
1. Nếu M, N là hai điểm bất kỳ phân biệt của P thì f (M ), f (N ) là
hai điểm phân biệt của P .
2. Với một điểm M thuộc P bao giờ cũng có một điểm M thuộc P
sao cho f (M ) = M .
Điểm M được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f .

Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm M qua phép biến hình
f nói trên. Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành
điểm M và ta có f (M ) = M .
1.1.3

Tích của hai phép biến hình

Định nghĩa 1.2. Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép
biến hình liên tiếp nhau. Nếu ta dùng một phép biến hình f : P −→ P
để biến một điểm M bất kỳ của P thành một điểm M rồi lại dùng
tiếp một phép biến hình thứ hai g : P −→ P để biến M thành M .
Ta có:
M = f (M ); M = g(M ).
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Khi đó phép biến hình h biến M thành M gọi là tích của hai phép
biến hình f và g được ký hiệu h = g.f . Ta có:
h(M ) = (g.f )(M ) = M = g(M ) = g[f (M )].
Nói chung tích g.f và tích f.g là hai phép biến hình khác nhau.
1.1.4

Phép biến hình đảo ngược

Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M
thành điểm M . Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M

gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho.
Ký hiệu f −1 là phép biến hình đảo ngược của f và f −1 (M ) = M .
Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f −1
và ta có: f.f −1 = f −1 .f = Id. (phép đồng nhất)
1.1.5

Phép biến hình có tính chất đối hợp

Định nghĩa 1.4. Cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M ,
sau đó thực hiện tiếp phép biến hình f biến điểm M thành điểm M .
Nếu M trùng với M thì ta nói phép biến hình f có tính chất đối hợp.
Ta có: f.f (M ) = f (M ) = M ≡ M hay f 2 = Id.

1.2

Điểm kép, hình kép

Định nghĩa 1.5. Điểm được gọi là điểm kép (hay điểm bất động) đối
với một phép biến hình nào đó nếu ảnh của nó qua phép biến hình đó
là chính nó.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Định nghĩa 1.6. Hình H được gọi là hình kép đối với một phép biến
hình nào đó nếu ảnh của mỗi điểm trên H cũng nằm trên chính H.

1.3

Định hướng

Ở lớp dưới ta thường nói các góc có số đo không vượt quá 360o như
góc nhọn, góc vuông, góc bẹt,.... Tuy nhiên trong thực tế nhiều khi
chúng ta phải quan niệm góc với nghĩa rộng hơn. Ví dụ khi bánh xe
quay một vòng rưỡi ta nói rằng nó quay một góc 540o , hơn nữa việc
quay đó có thể thực hiện theo hai chiều quay khác nhau. Cùng với
việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng, việc định hướng cho
góc trong mặt phẳng, không gian sẽ mang lại cho chúng ta nhiều điều
thuận lợi trong việc nghiên cứu hình học cũng như nhiều lĩnh vực khác.
1.3.1

Định hướng trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng E2 cho điểm O cố định. Khi đó xung quanh O có
hai chiều quay.
Ta chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, cùng chiều
kim đồng hồ là chiều âm.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

a) Góc định hướng giữa hai tia
Định nghĩa 1.7. Cho hai tia Ox và Oy, chọn tia đầu là Ox, tia cuối

là Oy. Khi đó góc định hướng giữa hai tia là hình thu được khi quay
tia Ox quanh điểm O tới trùng tia Oy.
Ký hiệu: (Ox, Oy).
Nhận xét:
Góc định hướng có nhiều giá trị.
Góc định hướng dương nếu góc quay theo chiều dương của mặt phẳng
và ngược lại.
Nếu chọn α là góc định hướng khi quay tia Ox tới trùng tia Oy, ta
có thể quay thêm một, hai hay một số vòng nữa để tia Ox trùng với
tia Oy. Tất cả các giá trị của các góc nói trên đều gọi là các giá trị của
góc định hướng suy rộng (Ox, Oy). Như vậy góc định hướng suy rộng
có vô số giá trị nên được ký hiệu là:
(Ox, Oy) = α + k2π(k ∈ Z).

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

b) Góc định hướng giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1.8. Trong mặt phẳng P , cho hai đường thẳng a và b cắt
nhau tại điểm O. Góc định hướng giữa hai đường thẳng a, b là góc quay
đường thẳng a xung quanh điểm O đến trùng đường thẳng b.
Ký hiệu: (a, b).
Khác với góc định hướng giữa hai tia, ta nhận thấy rằng khi quay
đường thẳng a xung quanh điểm O để đến trùng với b thì cứ quay
nửa vòng đường thẳng a lại đến trùng với đường thẳng b một lần.
Bởi vậy góc định hướng của hai đường thẳng a, b xác định sai khác

một góc kπ nên được ký hiệu là:
(a, b) = β + kπ(k ∈ Z).

1.3.2

Định hướng trong không gian

Định nghĩa 1.9. Trong không gian cho đường thẳng ∆ đã được
định hướng. Xung quanh ∆ sẽ có hai chiều quay. Nếu ta chọn một
chiều là dương, một chiều là âm thì ta nói rằng ta đã định hướng được
không gian.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

Khuất Phương Anh

Phép vị tự

Định nghĩa 1.10. Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số
k = 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M
−−→
−−→
sao cho OM = k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Ký hiệu: VOk .
Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự.

1.5
1.5.1

Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu
Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Định nghĩa 1.11. Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Đường thẳng
∆ thay đổi qua M cắt (O) tại hai điểm A và B.
Khi đó M A.M B = M O2 − R2 = không đổi.
Tích M A.M B gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

Ký hiệu: PM/(O) .
Ta có:
PM/(O) = M A.M B = M O2 − R2 .
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5.2

Khuất Phương Anh

Trục đẳng phương của hai đường tròn

Định nghĩa 1.12. Cho hai đường tròn (O) và (O ). Quỹ tích những
điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn (O) và (O ) là
một đường thẳng vuông góc với đường thẳng nối hai tâm của hai
đường tròn đó. Quỹ tích này được gọi là trục đẳng phương của hai
đường tròn (O) và (O ).

1.5.3

Hai đường tròn trực giao

Định nghĩa 1.13. Hai đường tròn được gọi là trực giao với nhau
tại một điểm chung M của chúng nếu hai tiếp tuyến ở M của hai
đường tròn đó vuông góc với nhau.
1.5.4

Phương tích của một điểm đối với mặt cầu

Định nghĩa 1.14. Nếu từ một điểm M cố định ta vẽ một cát tuyến
thay đổi cắt mặt cầu (S) bán kính R cho trước ở A và B thì tích
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

M A.M B là một số không đổi.
Tích số M A.M B được gọi là phương tích điểm M đối với mặt cầu (S)
và được ký hiệu là PM/(S) .
Ta có:
PM/(S) = M A.M B = M O2 − R2 .

13

Chương 2
Phép nghịch đảo
Trong các phép biến hình, phép nghịch đảo được coi là một phép khá
đặc biệt. Nó có các tính chất rất thú vị được ứng dụng để giải nhiều
bài toán khó. Trong chương này chúng ta cùng đi xem xét định nghĩa
phép nghịch đảo và các tính chất cơ bản của nó.

2.1

Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Định nghĩa 2.1. Trong mặt phẳng, cho một điểm O cố định và
một hằng số k = 0. Nếu từ mỗi điểm M của mặt phẳng khác với
điểm O, ta tìm được điểm M thẳng hàng với hai điểm O và M sao cho
OM .OM = k (k ∈ R) thì phép biến hình M = f (M ) được gọi là
một phép nghịch đảo cực O, phương tích k. Ta ký hiệu một phép
nghịch đảo như vậy là f (O, k) hoặc N (O, k) hoặc NOk .
Tính chất 2.1.1. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp.
Thật vậy, gọi M là ảnh của M qua phép nghịch đảo f (O, k).
Suy ra OM .OM = OM .OM = k.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Nghĩa là, nếu M = f (M ) thì ta cũng có M = f (M ).
Do đó f.f (M ) = M hay f 2 là phép đồng nhất.

Tính chất 2.1.2. Nếu hai điểm M và M là tương ứng với nhau qua
phép nghịch đảo f (O, k) thì M, M , O thẳng hàng.
Điều này hiển nhiên theo định nghĩa.
Tính chất 2.1.3. Tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo
√
f (O, k), với k > 0 là đường tròn tâm O, bán kính k.
Thậy vậy, giả sử điểm M là một điểm kép.
Ta có: f (M ) = M.
Suy ra OM .OM = k, do đó OM =

√

k.

Vậy tập hợp điểm M là điểm kép của phép nghịch đảo f (O, k) (k > 0)
√
là đường tròn tâm O, bán kính k. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn
nghịch đảo của phép nghịch đảo f (O, k).
Nhận xét: (Hình 2.1)
Với k > 0 thì hai điểm A và A là ảnh của A qua phép nghịch đảo
f (O, k) sẽ cùng nằm về một phía đối với điểm O.
Với k < 0 thì hai điểm A và A là ảnh của A qua phép nghịch đảo
f (O, k) sẽ nằm khác phía đối với điểm O.

Hình 2.1:

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Khuất Phương Anh

Một số định lý cơ bản

Định lý 2.1. Điều kiện cần và đủ để hai điểm bất kỳ là ảnh của
nhau trong phép nghịch đảo f (O, k) là có hai đường tròn đi qua
hai điểm đó và cùng trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép
nghịch đảo f (O, k).

Chứng minh.
Điều kiện cần:
Gọi (O1 ), (O2 ) là hai đường tròn đi qua hai điểm A và A .
Theo tính chất ảnh của một điểm qua phép nghịch đảo, ta có ba điểm
O, A, A thẳng hàng và OA.OA = k.
Ta lại có:

√
PO/(O1 ) = OA.OA = ( k)2 = k.

Do đó (O1 ) trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O.
Tương tự (O2 ) cũng trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Như vậy, không những ta có hai đường tròn đi qua 2 điểm A, A và
trực giao với đường tròn nghịch đảo mà có hẳn một chùm đường tròn
trực giao với đường tròn nghịch đảo.
Điều kiện đủ:
Giả sử hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cùng trực giao với đường tròn
nghịch đảo của phép nghịch đảo f (O, k) (k > 0) và đi qua hai điểm A, A .
Vì đường tròn nghịch đảo trực giao với (O1 ) và (O2 ) nên tâm O của
nó nằm trên trục đẳng phương AA của (O1 ) và (O2 ), nghĩa là ba điểm
O, A, A thẳng hàng.
Lại có:

√
OA.OA = PO/(O1 ) = ( k)2 = k.

Suy ra tồn tại phép nghịch đảo f (O, k) : A −→ A .
Định lý 2.2. Với mỗi phép nghịch đảo, hai điểm bất kỳ không thẳng hàng
với cực nghịch đảo, và ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó cùng
nằm trên một đường tròn.
Chứng minh. Gọi A, B hai điểm bất kỳ không thẳng hàng và A , B là
ảnh của chúng qua phép nghịch đảo tâm O, phương tích k.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Vì

OA.OA = OB.OB = k.
Nên
OBA

OA B .

Do đó
OAB = O B A .
Suy ra
BAA + BB A = 180o .
Từ đó ta thấy bốn điểm A, A , B, B cùng thuộc một đường tròn.
Định lý 2.3. Nếu phép nghịch đảo f (O, k) biến hai điểm A, B lần lượt
AB
thành hai điểm A , B thì A B = |k|.
.
OA.OB
Chứng minh. T H1 : Ba điểm O, A, B không thẳng hàng.(Hình 2.2)

Hình 2.2:

Do điểm A = f (O, k)(A) và B = f (O, k)(B).
Nên theo định lý 2.2 ta có: ∆OBA

∆OA B .

Từ đó suy ra:
AB
OA
OA .OA
|k|

=
=
=
.
AB
OB
OA.OB
OA.OB
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Do đó ta được điều phải chứng minh: A B = |k|.

AB
.
OA.OB

T H2 : Ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Do A = f (O, k)(A) và B = f (O, k)(B).
Nên ta có:
OA.OA = OB.OB = k.
Lại có:
k
k
−
OB OA

OA − OB
(−AB)
= k.
.
= k.
OA.OB
OA.OB

A B = OB − OA =

Suy ra ta được điều phải chứng minh: A B = |k|.

AB
.
OA.OB

Định lý 2.4. Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực là một phép vị tự.
Chứng minh. Giả sử có hai phép nghịch đảo cùng cực O và phương
tích lần lượt là k1 và k2 .
Gọi A = f1 (O, k1 )(A) và A = f2 (O, k2 )(A ).
Ta có: OA.OA = k1 và OA .OA = k2 .
k2
k2
OA
=
hay ∃VO k1 : A −→ A .
Do đó:
OA
k1
Mặt khác, ta có: f2 (O, k2 ).f1 (O, k1 ) : A −→ A .

k2

Nên suy ra: f2 (O, k2 ).f1 (O, k1 ) = VO k1 .
Vậy tích của hai phép nghịch đảo là một phép vị tự tâm O, tỷ số

k2
.
k1

Như vậy ta thấy rằng, khi cho một hình F thì hình dạng của ảnh F
không phụ thuộc phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vị trí của
cực nghịch đảo.
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Thật vậy, giả sử F1 là ảnh của F qua phép nghịch đảo f1 (O, k1 ) và
F là ảnh của F2 qua phép nghịch đảo f2 (O, k2 ).
Khi đó, ta có: F1 = f1 (F ) và F = f2 (F2 ).
Suy ra F1 = f1 [f2 (F2 )] = (f1 .f2 )(F2 ) = V (F2 ), với V là một phép vị tự.
Do đó, F1 và F2 là hai hình đồng dạng.

2.3

Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép
nghịch đảo

Định lý 2.5. Phép nghịch đảo biến một đường thẳng đi qua cực
nghịch đảo thành chính nó.
Điều này hiển nhiên theo định nghĩa.
Định lý 2.6. Ảnh của một đường thẳng không đi qua cực nghịch
đảo là một đường tròn đi qua cực nghịch đảo, ngược lại ảnh của một
đường tròn đi qua cực nghịch đảo là một đường thẳng không đi qua
cực nghịch đảo.
Chứng minh. Giả sử cho phép nghịch đảo f (O, k) và đường thẳng d
bất kỳ không đi qua điểm O. (Hình 2.3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng d và H là
ảnh của H qua f (O, k).
Trên d lấy điểm A bất kỳ và gọi A = f (O, k)(A).
Khi đó, ta có AH ⊥ OH và bốn điểm A, A , H, H cùng thuộc một
đường tròn.
Suy ra AA H = 90o hay điểm A nằm trên đường tròn tâm I đường kính OH .
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khuất Phương Anh

Hình 2.3:

Do đó, khi điểm A chạy trên đường thẳng d thì điểm A chạy trên
đường tròn tâm I đường kính OH .
Ngược lại, cho phép nghịch đảo f (O, k) và đường tròn tâm I đi qua điểm O.
Gọi H = (I) ∩ OI và H = f (O, k)(H ).
Trên đường tròn (I) lấy điểm A bất kỳ, gọi A = f (O, k)(A ).
Khi đó ta có OA H = 90o và bốn điểm A, A , H, H cùng thuộc một

đường tròn.
Suy ra AHH = 90o hay điểm A thuộc đường thẳng d qua điểm H và
vuông góc với HH .
Dễ thấy đường thẳng d không đi qua điểm O.
Vậy qua phép nghịch đảo, đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo
sẽ biến thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo và ngược lại.
Nhận xét: Điểm I là ảnh của tâm I qua phép nghịch đảo f (O, k)
chính là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d.

21