BIến đổi FOURIER hay

Chương 1: Giải tích Fourier

GIẢI TÍCH FOURIER

Cuối thế kỷ 18 nhà toán học, nhà vật lý đồng thời là kỹ sư người Pháp tên Jean Baptiste
Joseph Fourier đã có khám phá kỳ lạ. Trong một kết quả nghiên cứu của mình về phương trình
đạo hàm riêng mô tả sự truyền nhiệt của vật thể, Fourier đã khẳng định rằng “mọi” hàm số đều
có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi vô hạn các hàm lượng giác.
Ban đầu khẳng định của Fourier đã không được các nhà toán học cùng thời tin tưởng và
chú ý đến. Tuy nhiên không lâu sau đó các nhà khoa học đã đánh giá cao khả năng ứng dụng và
lĩnh vực ứng dụng rộng lớn của ý tưởng này. Phát hiện này của Fourier được xếp hạng “top ten”
về thành tựu toán học trong mọi thời đại, trong danh sách này còn có khám phá của Newton về
phép tính vi tích phân, của Riemann về hình học vi phân, và 70 năm sau có lý thuyết tương đối
của Einstein. Giải tích Fourier là một thành phần không thể thiếu của toán học ứng dụng hiện
đại, nó được ứng dụng rộng rãi trong toán lý thuyết, vật lý, kỹ thuật. Chẳng hạn, xử lý tín hiệu
hiện đại bao gồm audio, tiếng nói, hình ảnh, video, dữ liệu địa chấn, truyền sóng vô tuyến, v.v
…đều được đặt cơ sở trên giải tích Fourier và những dạng khác của nó. Nhiều công nghệ tiên
tiến hiện đại bao gồm truyền hình, CD và DVD âm nhạc, phim video, đồ họa máy tính, xử lý
ảnh, phân tích và lưu trữ dấu vân tay … theo cách này hay cách khác đều có sử dụng những dạng
khác nhau của lý thuyết Fourier.
Về mặt lý thuyết người ta có thể phân tích các tín hiệu âm thanh phát ra từ các nhạc cụ
như: piano, violin, kèn trumpet, kèn oboe, trống …. thành chuỗi Fourier để tìm ra các tần số cơ
bản (tone, overtone, …). Về mặt ứng dụng, lý thuyết Fourier còn là một công cụ hiệu quả của âm
nhạc điện tử hiện đại; một nhạc cụ điện tử có thể được thiết kế sao cho có thể tổ hợp các tông sin
và cosin thuần túy để phát ra các âm thanh kỳ diệu của nhạc cụ. Như vậy, cả hai cách tự nhiên và
nhân tạo âm nhạc điện tử đều dựa vào các nguyên lý tổng quát của Fourier.
Ý tưởng ban đầu của Fourier phân tích một hàm số tuần hoàn thành tổng của một chuỗi
các hàm lượng giác được mở rộng thành biểu diễn một véc tơ của không gian Hilbert theo hệ
trực chuẩn đầy đủ. Vì vậy nếu có một hệ trực chuẩn thì ta có một cách khai triển Fourier.
Trong chương này ta xét những vấn đề chính của giải tích Fourier


Không gian Hilbert



Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier hữu hạn



Phép biến đổi Fourier



Phép biến đổi Fourier rời rạc và phép biến đổi Fourier nhanh.

Phép biến đổi Fourier hữu hạn được phát triển trên ý tưởng của khai triển hàm số tuần
hoàn thành chuỗi Fourier, trong đó mỗi hàm số hoàn toàn được xác định bởi các hệ số Fourier
của nó và ngược lại. Có ba dạng của chuỗi Fourier: dạng cầu phương (công thức 1.24, 1.28),

3


Chương 1: Giải tích Fourier

dạng cực (công thức 1.36) và dạng phức (công thức 1.37, 1.41, 1.42). Phần 1 của mục này sẽ
trình bày ba dạng của chuỗi Fourier, các công thức liên hệ giữa chúng và kèm theo lời nhận xét
nên sử dụng dạng nào trong mỗi trường hợp cụ thể. Trường hợp hàm không tuần hoàn phép biến
đổi Fourier rời rạc được thay bằng phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược duy nhất được
xây dựng dựa vào công thức tích phân Fourier.
Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu

diễn phổ. Tín hiệu tuần hoàn sẽ có phổ rời rạc, còn tín hiệu không tuần hoàn sẽ có phổ liên tục.
Đối số của hàm tín hiệu là thời gian còn đối số của biến đổi Fourier của nó là tần số, vì vậy phép
biến đổi Fourier còn được gọi là phép biến đổi biến miền thời gian về miền tần số.
Trong thực tế ta thường phải tính toán giá trị số của các tín hiệu được rời rạc hoá bằng
cách chọn mẫu tại một số hữu hạn các thời điểm, khi đó phổ tương ứng cũng nhận được tại một
số hữu hạn các tần số bằng phép biến đổi Fourier rời rạc. Ngoài ra để thực hiện nhanh phép biến
đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng các thuật toán biến đổi Fourier nhanh.
Hướng ứng dụng vào viễn thông: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh
vô tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM...

1.1. KHÔNG GIAN HILBERT
Khái niệm không gian Hilbert là sự mở rộng của khái niệm không gian Euclide - không
gian véc tơ hữu hạn chiều với tích vô hướng. Không gian Euclide đã được trang bị trong chương
trình toán đại cương ở bậc đại học.
1.1.1. Tích vô hướng
Khái niệm tích vô hướng của hai véc tơ của không gian véc tơ bất kỳ được khái quát từ



 

 

tích vô hướng uv  u v cos(u ; v) .
Trong không gian véc tơ  n tích vô hướng của hai véc tơ

x  ( x1, x2 ,..., xn ) , y  ( y1, y2 ,..., yn )
Được định nghĩa như sau:

x, y  x1 y1  x2 y2    xn yn .

(1.1)

Tích vô hướng giữ một vai trò rất quan trọng, và là một khái niệm được ứng dụng rộng
rãi trong toán học, cơ học, vật lý … Biết tích vô hướng của mọi cặp véc tơ thì có thể suy ra độ
dài của véc tơ (bình phương độ dài của véc tơ bằng tích vô hướng của véc tơ ấy với chính nó) và
góc giữa hai véc tơ (cosin của góc này bằng tích vô hướng của hai véc tơ chia cho tích của hai độ
dài của chúng). Vì vậy trong khái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo góc, và
từ đó đi đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu vuông góc …
Khái niệm tích vô hướng được mở rộng đối với không gian véc tơ bất kỳ như sau:
Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương của không gian véc tơ được gọi là
một tích vô hướng của không gian véc tơ đó.

4


Chương 1: Giải tích Fourier

Như vậy tích vô hướng u, v của hai véc tơ u , v trong không gian véc tơ H có các
tính chất cốt yếu sau:
1)

u, v  v, u

2)

u1  u2 , v  u1, v  u2 , v

3)

 u, v   u, v với mọi số thực 

4)

u, u  0 nếu u  0 và u, u  0 nếu u  0 .

Nếu H là không gian véc tơ trên trường số phức thì điều kiện 1) được thay bằng

u, v  v, u , trong đó v, u là số phức liên hợp của số phức v, u .
Điều kiện 3) thay bằng  u,  v    u, v ;  ,   .
Một không gian véc tơ với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert.
Với mỗi véc tơ v  H ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay môđun của véc tơ v (độ dài
của véc tơ v ) qua biểu thức

v 

v, v .

(1.2)

Nếu v  1 thì v được gọi là véc tơ đơn vị.
Có thể kiểm chứng được
1) Với mọi v  H : v  0 ; v  0 khi và chỉ khi v  0 .
2) Với mọi   :  v |  | v .
3)

uv  u  v .


Định nghĩa 1.1: Dãy các véc tơ un n1 hội tụ về véc tơ u nếu lim un  u  0 , ta ký hiệu

n

lim un  u , vậy

n

lim un  u    0,  N : n  N ; un  u  

(1.3)

n


Dãy các véc tơ un n1 được gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu

lim

n,m

un n1 là dãy cơ bản khi và chỉ khi   0,  N : n, m  N ;

un  um  0 , vậy

un  u m   .

Có thể chứng minh được rằng mọi dãy hội tụ là dãy cơ bản, tuy nhiên điều ngược lại
chưa chắc đúng.

5

Chương 1: Giải tích Fourier

Không gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là không
gian Hilbert (đây là tính chất đầy đủ của không gian Hilbert).
Ví dụ 1.1: Người ta chứng minh được không gian các dãy bình phương hội tụ


l  ( n )n0 :

2




2
|

|



 n
n 0


(1.4)

với tích vô hướng xác định như sau


( n ); (n )    nn

(1.5)

n 0

là một không gian Hilbert.
Không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn  a; b  (theo nghĩa tích phân
Lebesgue)





L2a;b  x(t ) :  | x(t ) |2 dt  
 a;b

(1.6)

với tích vô hướng xác định như sau

x(t ); y(t )   x(t ) y(t )
 a;b

(1.7)

cũng là một không gian Hilbert.
Chú ý rằng đối với các hàm liên tục hoặc liên tục từng khúc thì tích phân Lebesgue trùng
với tích phân theo nghĩa thông thường.

Hội tụ trong không gian l 2 và L2a;b (công thức 1.7) được gọi là hội tụ bình phương
trung bình.
1.1.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Định lý 1.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Với mọi u, v  H , luôn có

u, v  u  v

u, v

2

 u, u  v, v

(1.8a)
(1.8b)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh: Nếu một trong hai véc tơ bằng 0 thì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều bằng 0 ,
do đó bất đẳng thức nghiệm đúng.

6


Chương 1: Giải tích Fourier

Giả sử v  0 , với mọi t   ta có: u  tv, u  tv  0 .
Mặt khác

2

F (t )  u  tv, u  tv  t 2 v  2t v, u  u

với t và luôn luôn không âm. Vì vậy 'F  v, u

2

 v

2

u

2

2

là một tam thức bậc hai đối

 0 . Từ đó suy ra bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz.
Khi u , v phụ thuộc thì u  kv (hoặc v  ku ):
2

u, v  kv, v  k  v  kv  v  u  v .
Ngược lại nếu u, v  u  v thì 'F  0 .
Do đó tồn tại t0   sao cho u  t0v, u  t0v  0  u  t0v .
Định lý đã được chứng minh.



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (1.8b) vào không gian  n với tích vô hướng
(1.1) ta có bất đẳng thức Bunnhiacopsky:

 x1 y1  ...  xn yn 2   x12  ...  xn2  y12  ...  yn2 

(1.9)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  ty1, ..., xn  tyn .
Hệ quả:


1) Nếu dãy các véc tơ un n1 hội tụ về véc tơ u thì lim un , v  u, v đúng với mọi
n

v.


2) Nếu dãy un n1 hội tụ về u và

vn n1 hội tụ về v

thì

lim

n,m

un , vm  u, v .

Chứng minh: 1) 0  un , v  u, v  un  u, v  un  u v  0 khi n   .




2) Hai dãy un n1 và vn n1 hội tụ do đó chặn, vì vậy tồn tại C sao cho un  C ,

vn  C với mọi n .

0  un , vm  u, v  un  u, vm  u, vm  v  un  u, vm  u, vm  v
 un  u vm  u vm  v  C  un  u  vm  v   0

khi

n  ,

m  .

7


Chương 1: Giải tích Fourier

1.1.3. Hệ trực chuẩn, trực chuẩn hoá Gram-Schmidt
Định nghĩa 1.2: Hai véc tơ u, v  H gọi là trực giao nhau, ký hiệu u  v , nếu u, v  0 .
Hệ các véc tơ S  v1,..., vn ,... của H được gọi là hệ trực giao nếu hai véc tơ bất kỳ của
hệ S đều trực giao nhau.
Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.
Vậy hệ các véc tơ S  e1,..., en ,... là hệ trực chuẩn khi thỏa mãn điều kiện

1 nÕu i  j
là ký hiệu Kronecker
ei , e j   ij trong đó  ij  
0 nÕu i  j

(1.10)

Ví dụ 1.2: Trong không gian véc tơ L20;2  các hàm bình phương khả tích với tích vô hướng xác
định bới công thức (1.7), hệ các hàm số sau là một hệ trực giao

1, cos nt ; sin nt ;

n  1, 2, ... 

(1.11)

Thật vậy
2

1, cos nt 



2

cos ntdt  0 

0

 sin ntdt 

1, sin nt ; n

(1.12)

0

2

 cos nt sin mtdt  0 ; n, m

(1.13)

0
2

2

 cos nt cos mtdt   sin nt sin mtdt  0 ; n  m
0

(1.14)

0

2

 cos

2
2

ntdt 

0

 sin

2

ntdt   ; n  0

(1.15)

0

Định lý 1.2: Mọi hệ trực chuẩn là hệ độc lập tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử hệ S  v1,..., vn ,... trực chuẩn, khi đó nếu 1v1  ...  mvm  0 thì

i  1v1  ...  mvm , vi  0 với mọi i  1,..., m . Do đó S độc lập tuyến tính.
Định lý đã được chứng minh.



Định lý 1.3: Giả sử S  u1,..., un ,... là một hệ các véc tơ độc lập tuyến tính của không gian
Hilbert H . Khi đó ta có thể tìm được hệ trực chuẩn S '  e1,..., en ,... sao cho

span e1,..., ek   span u1,..., uk ; với mọi k  1, 2,... .

8


Chương 1: Giải tích Fourier

Chứng minh: Ta xây dựng hệ trực chuẩn S ' theo các bước quy nạp sau đây mà được gọi là quá
trình trực chuẩn hoá Gram-Schmidt.
) k  1 : Vì hệ S độc lập nên u1  0 . Đặt e1 

u1
.
u1

) k  2 : Xét e2   u2 , e1 e1  u2 , ta có e2  0 (vì nếu e2  0 thì u2  ke1 , điều này

e2

trái với giả thiết hệ S độc lập). Đặt e2 

e2

, hệ e1, e2  trực chuẩn và

span e1, e2  span u1, u2 .
) Giả sử đã xây dựng được đến k  1. Nghĩa là tồn tại e1,..., ek 1 trực chuẩn sao cho

span  e1,..., ek 1  span  u1,..., uk 1 . Tương tự trên ta xét
k 1

ek   uk , ei ei  uk

(1.16)

i 1

ta cũng có ek  0 ( vì nếu ek  0 thì uk là tổ hợp tuyến tính của e1,..., ek 1 , do đó là tổ
hợp tuyến tính của u1,..., uk 1 , điều này mâu thuẩn với giả thiết hệ S độc lập). Đặt

ek 

ek

(1.17)

ek

thì ek  ei ; i  1,..., k  1. Vậy hệ e1,..., ek  trực chuẩn và





span e1,..., ek   span e1,..., ek 1, ek  span u1,..., uk 1, uk  .



Ví dụ 1.3: Trong 3 xét hệ 3 véc tơ độc lập: u1  (1,1,1) , u2  (1,1,1) , u3  (1,2,1) . Hãy
trực chuẩn hoá hệ S  u1, u2 , u3
Bước 1: u1  3  e1 
Bước 2:

u1  1 1 1 
.

,
,
u1  3 3 3 

e2   u2 , e1 e1  u2  

1  1 1 1 
 4 2 2
,
,

  (1,1,1)    3 , 3 , 3 
3 3 3 3



2
 2 1 1 
,
,
e2  (2,1,1)  e2   
.
3
6 6 6

Bước 3: e3   u3 , e1 e1  u3 , e2 e2  u3



4  1 1 1  1  2 1 1 
 1 1
,
,
,
,



  (1, 2,1)   0, 2 ,  2 
3 3 3 3
6
6 6 6



1 
1
 1
,
e3  (0,1, 1)  e3   0,
.
2
2
2


9


Chương 1: Giải tích Fourier

e1, e2 , e3 là hệ véc tơ trực chuẩn hoá của hệ u1, u2 , u3 .
Ví dụ 1.4: Xét hệ gồm ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) của không gian L20;T  có đồ thị cho trong
hình 1.1

s1 (t )

s2 (t )

s3 (t )

1

1

1

0

0

t

T /3

2T / 3

0

t

T

T /3

t

Hình 1.1: Đồ thị ba hàm s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t )
Ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) độc lập tuyến tính, trực chuẩn hóa Gram-Schmidt ba hàm số
này ta được ba hàm e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) xác định như sau:
T

s1 (t ), s1 (t )    s1 (t )  dt 
2

0


3
T
 3/T
 e1 (t ) 
s1 (t )  
T
3


 0
T

s2 (t ), e1 (t )   s2 (t )e1 (t )dt 
0

nÕu 0  t  T / 3
nÕu ng­îc l¹i

T
3

1 nÕu T / 3  t  2T / 3
T
e1 (t )  
3
0 nÕu ng­îc l¹i

e2 (t )  s2 (t ) 
Vậy


 3/T
e2 (t )  

 0

Tương tự



 3/T
e3 (t )  

 0

nÕu T / 3  t  2T / 3
nÕu ng­îc l¹i
nÕu 2T / 3  t  T
nÕu ng­îc l¹i

Hệ trực chuẩn e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) có đồ thị

e1 (t )

e2 (t )

e3 (t )

3/T

3/T

3/T

0

T
3

t

0

T
3

2T
3

t

0

Hình 1.2: Đồ thị hệ trực chuẩn e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t )

10

2T
3

T

t


Chương 1: Giải tích Fourier

1.1.4. Hệ trực chuẩn đầy đủ, chuỗi Fourier


Định lý 1.4: Giả sử en n1 là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert H , với mọi u  H ta
có:
1) Nếu u 



 nen
n 1

thì n  u, en .


 nen

Ta gọi n  u, en là hệ số Fourier của u đối với en và chuỗi

gọi là chuỗi

n 1



Fourier của u theo hệ en n1 .


2)

 | n |2 

2

u

(bất đẳng thức Bessel).

n 1




3) Chuỗi   n en hội tụ và  u    nen   en với mọi n .
n1
n 1







2) Với mọi n : u

2

n

n

nen , em  lim k ek , em  lim k ek , em  m .

Chứng minh: 1) u, em 

n

n1

 u, u 

k 1

n



n



n



n



k 1



k 1



k 1



k 1



k ek   u  k ek  , k ek   u  k ek 

n

n

k 1

k 1

k ek , k ek



n

k 1



n

n

k 1

k 1

k ek , u  k ek

n

n

n

n

k 1

k 1

k 1

k 1

 u   k ek ,  k ek  u   k ek , u   k ek




Vậy

 | n |2 

n

n

k 1

k 1

k ek , k ek

n

n

n

k 1

k 1

k 1

m

m

m

k n

k n

k n

 u    k ek , u    k ek   |  k |2 .

2

u .

n 1

3) Từ 1) và 2) ta có : với mọi n , với mọi m  n :

 k ek ,  k ek   k  0 khi

n   , và vì không gian Hilbert đầy đủ nên chuỗi Fourier

2



 nen

hội tụ.

n 1

Với mọi n : en , u 



k ek
k 1



 en , u  en ,   k ek  en , u  en , lim
k 1

m

m

k ek ,
k 1

11


Chương 1: Giải tích Fourier

m

 en , u  lim en ,   k ek ,   n   n  0 .
m

k 1

Định lý đã được chứng minh.




Định nghĩa 1.3: Hệ trực chuẩn en n1 của không gian Hilbert H được gọi là hệ trực chuẩn
đầy đủ khi chỉ duy nhất véc tơ 0 trực giao với tất cả các phần tử của hệ, nghĩa là:

u, en  0 với mọi n  1,2,... thì u  0

(1.18)

1
1
 1

,
cos nt ;
sin nt ; n  1, 2, ... 



 2


(1.19)

Ví dụ 1.5:
1) Hệ các hàm

là một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert L20;2  .
2) Hệ các véc tơ en  l 2 , n  1, 2, ...

en n1 , trong đó e1  (1,0,0,....) , e2  (0,1,0,....) , …

(1.20)

là một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert l 2 .


Định lý 1.5: Giả sử en n1 là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert H , n  u, en là hệ
số Fourier u  H đối với en . Các mệnh đề sau đây tương đương:
1)

en n1 là một hệ trực chuẩn đầy đủ.

2) Với mọi u  H : u 



 nen .
n 1

3) Với mọi u, v  H : u, v 



  n n
n1

4) Với mọi u  H : u

2



với n  u, en và n  v, en .

  n .
2

n 1



Chứng minh: 1)  2): Theo kết quả 3) của định lý 1.4 ta có  u 



vậy theo định nghĩa của hệ trực chuẩn đầy đủ (công thức 1.17): u 

12





n1



nen   em với mọi m ,





n1

n1

nen  0  u  nen .


Chương 1: Giải tích Fourier

2)  3): u, v 





k 1

m1

n

k ek , mem
n

n

k 1

m1

n

 lim   k ek , lim mem
n

n

k 1

m1

k



k 1

k 1

k ek , mem  lim kk  kk .

 lim

n

3)  4): Cho u  v ta được u

2

n


 u, u   n .
2

n1

4)  1): Giả sử n  u, en  0 với mọi n  1,2,... thì u

2



   n  0 , do đó u  0 . Vậy
2

n1



hệ en n1 đầy đủ.
Định lý đã được chứng minh.




Định lý 1.6: (Riesz–Fischer). Cho en n1 là một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert


H . Nếu dãy số  n n1 thỏa mãn điều kiện


 n

2



(1.21)

n 1

Thì sẽ có một véc tơ duy nhất u  H nhận các số  n làm hệ số Fourier và


u    n en , u



  n

2

n 1

Chứng minh: Với mọi m  n :
m

 k

2

m

m

k n

k n

 k ek ,  k ek

(1.22)

n 1
m

   k , điều kiện (1.19) kéo theo

2

k n

 0 khi n   , và vì không gian Hilbert đầy đủ nên chuỗi

k n

Đặt u 

2



 nen

hội tụ.

n 1



 nen , ta có u, en 
n 1



m

m

k ek , en  lim k ek , en  lim k ek , en  n ,
m

k 1

k 1

m

k 1



vậy u nhận  n làm hệ số Fourier và vì hệ en n1 đầy đủ nên ta cũng có (1.21). Ngoài ra nếu có
véc tơ v nhận các số  n làm hệ số Fourier thì u  v, en  n  n  0 với mọi n , do đó

u  v  0 . Vậy véc tơ u  H nhận các số  n làm hệ số Fourier là duy nhất.
Định lý đã được chứng minh.



13


Chương 1: Giải tích Fourier

1.2 CHUỖI FOURIER
1.2.1 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2 
Trong không gian L20;2  các hàm bình phương khả tích trên đoạn  0, 2  tích vô hướng

xác định theo công thức (1.7) và hệ trực chuẩn (1.19) ta có chuỗi Fourier của hàm x(t ) là một
chuỗi lượng giác vô hạn có dạng

a0 
x(t ) 
   an cos nt  bn sin nt 
2 n1

(1.23)

trong đó

a0 
Hệ số

1



2

1

2

 x(t )dt ; an    x(t )cos ntdt ;
0

0

2

bn 

 x(t )sin ntdt ; n  1, 2, ...

(1.24)

0

1
của số hạng thứ nhất xuất phát từ sự thuận lợi trong việc tính toán sau này.
2
Theo định lý 1.5 chuỗi Fourier

a0 
   an cos nt  bn sin nt  của hàm x(t ) với các hệ
2 n1

số thỏa mãn (1.23) hội tụ về x(t ) theo nghĩa bình phương trung bình (1.3). Tuy nhiên chưa chắc
hội tụ theo điểm, chính vì vậy người ta dùng ký hiệu  thay cho dấu =.
Các câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên:
(i) Khi nào chuỗi lượng giác vô hạn (1.23) hội tụ theo điểm?
(ii) Loại hàm x(t ) nào có thể biểu diễn thành tổng của chuỗi Fourier? Nghĩa là có thể thay
dấu = thay cho dấu  .
Định lý 1.7(Định lý Dirichlet): Nếu hàm x(t ) tuần hoàn chu kỳ 2 , đơn điệu từng khúc và bị
chặn (gọi là điều kiện Dirichlet), thì chuỗi Fourier hội tụ và dấu “  ” trong công thức (1.23)
được thay bằng dấu “ = ”.
Tại các điểm gián đoạn ta ký hiệu

x(t ) 

x(t  0)  x(t  0)
2

(1.25)

trong đó x(t  0), x(t  0) lần lượt là giới hạn phải và giới hạn trái của x(t ) tại t .
Ví dụ 1.6: Xét hàm số x(t )  t ,   t   ; tuần hoàn chu kỳ 2 . Vì x(t ) là hàm lẻ nên các
hệ số Fourier có thể tính như sau

14


Chương 1: Giải tích Fourier

1

a0 









1

 tdt  0 , an    t cos ntdt  0 ,








2  t cos nt sin nt 
2
bn   t sin ntdt   t sin ntdt   
 2   (1) n1 .
 
0

n
n 0 n
1

2

Do đó chuỗi Fourier tương ứng


t  2 (1)n1
n1

sin nt
sin 2t sin 3t sin 4t



 2  sin t 


 
n
2
3
4



(1.26)

Áp dụng định lý 1.7 ta có


2 (1)n1
n1

Thay t 


2

sin nt t nÕu    t  

n
 0 nÕu t  

và chia hai vế cho 2 ta được



1 1 1 1
 1     
4
3 5 7 9

Ví dụ 1.7: Xét hàm số x(t )  t ,   t   ; tuần hoàn chu kỳ 2 . Vì x(t ) là hàm chẵn nên
các hệ số Fourier có thể tính như sau

bn 

1







t sin ntdt  0 ; a0 



1







t dt 



2





 0

2  t sin nt cos nt 

an   t cos ntdt  
 2   4
0
 n
n  t 0   2
 n
2



 tdt   ,

0

nÕu n  2k  0
nÕu n  2k  1

.

Do đó chuỗi Fourier tương ứng

t 


2



4



cos nt  4 
cos3t cos5t cos 7t

   cos t 


 
2
2 
9

25
49

n1 n




(1.27)

Thay t  0 ta được

1 1
1
1
.
 1  
  
2
8
9 25 49
n0 (2n  1)

2

Ví dụ 1.8: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn chu kỳ 2 xác định như sau

1 nÕu 0  t  
0 nÕu    t  0

 (t )  

15


Chương 1: Giải tích Fourier

Các hệ số Fourier

a0 

1





  (t )dt 



1





 dt  1, an 
0

1





  (t )cos ntdt 



 2

bn    (t )sin ntdt   sin ntdt   n
 
0

0
1



Chuỗi Fourier tương ứng

1

 (t ) 



1





 cos ntdt  0 ,
0

nÕu n  2k  1

.

nÕu n  2k

1 2
sin 3t sin 5t sin 7t

  sin t 


 
2 
3
5
7


Hình 1.3: Đồ thị của hàm bước nhảy tuần hoàn
Áp dụng định lý 1.7 ta có công thức

nÕu (2k  1)  t  2k
0
1 2
sin 3t sin 5t sin 7t
 
  sin t 


    1
nÕu 2k  t  (2k  1)
2 
3
5
7
 
1/ 2 nÕu t  k
Các đồ thị sau tương ứng là đồ thị của tổng riêng lần lượt có 3, 5 và 10 số hạng của chuỗi Fourier
của hàm bước nhảy tuần hoàn.

Hình 1.4: Đồ thị các tổng riêng của chuỗi Fourier của hàm bước nhảy tuần
hoàn

16


Chương 1: Giải tích Fourier

Từ các đồ thị trên ta nhận thấy rằng mặc dù hàm gốc gián đoạn nhưng các tổng riêng của
chuỗi Fourier tương ứng là các hàm liên tục hội tụ, mặc dù chậm chạp. Tuy nhiên gần vị trí gián
đoạn của hàm thì đồ thị của các tổng riêng Fourier vượt quá vị trí khoảng 9%. Vùng vượt quá vị

trí này càng nhỏ khi số các số hạng của tổng riêng Fourier tăng lên, nhưng độ lớn của nó không
thay đổi. Điều này giải thích tính chất không hội tụ đều của chuỗi Fourier. Hiện tượng này lần
đầu tiên được nhà vật lý Josiah Gibbs (người Mỹ) phát hiện và ngày nay người ta gọi là hiện
tượng Gibbs.
1.2.2 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ T0  2l
Trường hợp hàm tuần hoàn với chu kỳ bất kỳ, ta có thể đổi biến để đưa về chu kỳ 2 và
áp dụng các kết quả ở mục trên.

l


Giả sử x(t ) là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2l . Đặt y (t )  x 


t  thì y (t ) tuần hoàn chu


kỳ 2 . Nếu x(t ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet thì y (t ) cũng thỏa mãn điều kiện Dirichlet, do
đó có thể khai triển thành chuỗi Fourier.

y (u ) 

a0 
   an cos nu  bn sin nu 
2 n1

trong đó y (u ) ở vế trái của đẳng thức trên được quy ước như (1.25).
Thay biến số u 



l

t t 


u , ta có x(t )  y 

l

l


t   y u 


n
n 
   a0  
x(t )  y  t      an cos t  bn sin
t
l
l 
 l  2 n1 

a0 

1



2

1

2l

 y(u)du   
0

0

(1.28)

    1
y  t  d  t    x(t )dt ,
l  l  l0
2l

Tương tự ta có các hệ số Fourier được tính theo công thức sau:

1
1
n
1
n
a0   x(t )dt ; an   x(t )cos tdt ; bn   x(t )sin
tdt ; n  1, 2, ...
l0
l0
l

l0
l
2l

2l

2l

(1.29)

Ví dụ 1.9: Xét hàm số x(t )  t , 1  t  1; tuần hoàn chu kỳ 2 . Vì x(t ) là hàm lẻ nên các hệ
số Fourier có thể tính như sau
1

1

1
1
a0   tdt  0 , an   t cos n tdt  0 ,
1 1
1 1
1

1
1
 t cos n t sin n t 
1
2
bn   t sin ntdt  2 t sin n tdt  2  



(1) n1 .
2 
1 1
n
(n )  0 n

0

Do đó chuỗi Fourier tương ứng

17


Chương 1: Giải tích Fourier

2



(1)n1



t

n1

sin n t 2 
sin 2 t sin 3 t sin 4 t


  sin  t 


  .
n

2
3
4


Nhận xét 1.1:
1. Hàm tuần hoàn chu kỳ 2 là một trường hợp đặc biệt của hàm tuần hoàn chu kỳ 2l , vì vậy
các nhận xét sau đây được giả thiết là hàm tuần hoàn chu kỳ 2l . Ngoài ra do tính chất tích
phân của hàm tuần hoàn nên các hệ số Fourier (1.24) cũng có thể tính như sau:

a0 

1
l

2l  c



x(t )dt ; an 

c

1
l

2l  c



x(t )cos

c

n
1
tdt ; bn 
l
l

2l  c



x(t )sin

c

n
tdt ; n  1, 2, ...c
l

Để công thức có tính đối xứng người ta thường chọn c  l :

1
1
n
1
n
a0   x(t )dt ; an   x(t )cos tdt ; bn   x(t )sin
tdt ; n  1, 2, ...
l l
l l
l
l l
l
l

l

l

2. Nếu x(t ) là hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ 2l thì x(t )cos

(1.30)

n
n
t là hàm lẻ và x(t )sin
t là hàm
l
l

chẵn, do đó các hệ số Fourier (1.24) thỏa mãn

2
n
a0  an  0; bn   x(t )sin
tdt ; n  1, 2, ...
l0
l
l

3. Nếu x(t ) là hàm chẵn tuần hoàn chu kỳ 2l thì x(t )cos

(1.31)

n
n
t là hàm chẵn và x(t )sin
t
l
l

là hàm lẻ, do đó các hệ số Fourier (1.29) thỏa mãn

2
2
n
bn  0; a0   x(t )dt ; an   x(t )cos tdt ; n  1, 2, ...
l0
l0
l

l

l

(1.32)

4. Nếu x(t ) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng (a , b) . Ta có thể
mở rộng thành hàm tuần hoàn chu kỳ 2l  b  a . Do đó x(t ) có thể khai triển thành chuỗi
Fourier, các hệ số Fourier được tính như sau

2
2
2n
x
(
t
)
dt
;
a

x
(
t
)cos
tdt ;
n
b  a a
b  a a
ba

b

a0 

b

2
2n
x
(
t
)sin
tdt ; n  1, 2, ...
b  a a
ba
b

bn 

(1.33)

5. Nếu x(t ) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng  0, l  . Khi đó ta có
thể mở rộng thành hàm chẵn hoặc hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ 2l . Nếu mở rộng thành hàm chẵn

18


Chương 1: Giải tích Fourier

thì các hệ số Fourier được tính theo công thức (1.32) và nếu mở rộng thành hàm lẻ thì các hệ

số Fourier được tính theo công thức (1.31).
1.2.3 Dạng cực của chuỗi Fourier (Polar Fourier Series)
Từ công thức (1.28) nếu ta đặt

A0 

a0
; An  an2  bn2
2

(1.34)

an
b
, sin n  n
An
An

(1.35)

và góc n , 0  n  2 xác định bởi

cos n 
thì công thức (1.28) có thể viết lại

x(t ) 


a0 
n

n
 n

  an cos t  bn sin
t  A0   An cos  t  n 
2 n1
l
l
 l

n1

(1.36)

Công thức (1.28) được gọi là chuỗi Fourier dạng cầu phương (Quadrature Fourier
Series). Công thức (1.36) được gọi là chuỗi Fourier dạng cực của x(t ) .
1.2.4 Dạng phức của chuỗi Fourier (Complex Fourier Series)
Thay công thức Euler

ei  ei
ei  ei
cos  
, sin  
2
2i
vào (1.23) ta được

a0 
a0   ei nt  ei nt
ei nt  ei nt

x(t )     an cos nt  bn sin nt      an
 bn
2 n1
2 n1 
2
2i





a0   an  ibn  i nt  an  ibn  i nt
  
e  
e
2 n1  2 
 2 
Vậy ta có thể viết chuỗi Fourier dưới dạng phức

x(t ) 



 cnei nt    c2e2it  c1eit  c0  c1eit  c2e2it  

(1.37)

n

trong đó các hệ số Fourier phức cn xác định như sau

c0  a0 / 2
cn  (an  ibn ) / 2
c n  (an  ibn ) / 2

a0  2c0
hoặc

an  cn  c n

(1.38)

bn  i (cn  c n )

Mặt khác, tương tự (1.7) ta có tích vô hướng các hàm phức

19


Chương 1: Giải tích Fourier
2

 x(t ) y(t )dt

x; y 

0

Với tích vô hướng này hệ các hàm
2

e 
i mt


m

là một hệ trực giao, nghĩa là thỏa mãn

2 nÕu n  m
ei nt eimt dt  
 0 nÕu n  m


0

(1.39)

Vì vậy các hệ số Fourier phức (1.38) có thể tính trực tiếp

1
cn 
2



 x(t )e

i nt

1
hoặc cn 
2

dt



c  2



x(t )ei nt dt , c

(1.40)

c

Ví dụ 1.10: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn ví dụ 1.8

1
2



1
1
cn 
 (t )ei nt dt 
e i nt dt   0



2 
2 0
 1

 in

nÕu n  0
nÕu n ch½n n  0
nÕu n lÎ

Vậy, hàm bước nhảy đơn vị có khai triển Fourier

 (t ) 

1 i

2 

e(2 m1)it
 2m  1 .
m


Ví dụ 1.11: Tìm khai triển Fourier của hàm mũ tuần hoàn x(t )  eat .

1
cn 
2



e

at i nt

e







1
e( ain)t
( a in )t
dt 
e
dt 
2 0
2 (a  in) t 



a
e( ain)t
e( a in)  e( a in )
 e a

(a  in)sh a
ne

 (1)
 (1) n
.
2 (a  in) t 
2 (a  in)
2 (a  in)
 (a 2  n 2 )

Vậy hàm có chuỗi Fourier tương ứng

eat 

sinh a





(1)n (a  in) int
 a 2  n2 e .
n

Hàm tuần hoàn chu kỳ T0  2l có khai triển Fourier dạng phức

x(t ) 



 cne

n

20

i

n
t
l

1
, cn 
2l

c  2l


c

x(t )e

i

n
t
l dt ,

c

(1.41)


Chương 1: Giải tích Fourier

Nếu ký hiệu f 0 

1
là tần số cơ bản của hàm tuần hoàn chu kỳ T0 thì công thức (1.41)
T0

được biểu diễn

x(t ) 



 cne

i 2 n f 0t

n

1
, cn 
2l

c  2l



x(t )ei 2n f0t dt , c

(1.42)

c

Nhận xét 1.2: Công thức (1.34)-(1.38) cho thấy dạng cực, dạng phức và dạng cầu phương của
chuỗi Fourier là hoàn toàn tương đương, nghĩa là từ dạng này ta có thể biểu diễn duy nhất qua
dạng kia và ngược lại. Vậy thì dạng nào được ứng dụng tốt nhất. Câu trả lời phụ thuộc vào từng
trường hợp cụ thể. Nếu bài toán thiên về giải tích thì sử dụng dạng phức sẽ thuận lợi hơn vì việc
tính các hệ số cn dễ hơn. Tuy nhiên khi đo các hàm dạng sóng được thực hiện trong phòng thí
nghiệm thì dạng cực sẽ thuận tiện hơn, vì các thiết bị đo lường như vôn kế, máy phân tích phổ sẽ
đọc được biên độ và pha. Dùng các kết quả thí nghiệm đo được các nhà kỹ thuật có thể vẽ các
vạch phổ một phía là các đoạn thẳng ứng với mỗi giá trị biên độ An tại tần số f n  nf 0 

n
.
T0

1.2.5 Đẳng thức Parseval
Định lý 1.8: Đối với mọi hàm x(t ) tuần hoàn chu kỳ T0  2l thoả mãn điều kiện Dirichlet sẽ
xảy ra đẳng thức Parseval

1
T0

c T0



2

x(t ) dt 





n

c

cn

2

(1.43)

Chứng minh:

1
T0

c T0


c

1
x(t ) dt 
T0
2

1

T0

c T0


c

c T0

1
x(t ) x(t )dt 
T0


 m,
n

cm cn e

i

c T0 



cme
  m

c

m
t
l



m
n
t i t
l
l dt

c

i







n

n
 
i t 
  cne l  dt
 n



2

cn .

1.2.6 Đạo hàm và tích phân của chuỗi Fourier
Đối với chuỗi hàm hội tụ, một vấn đề tự nhiên đặt ra là: khi lấy đạo hàm hoặc lấy tích phân
của từng số hạng của chuỗi ta được chuỗi mới, chuỗi mới này có hội tụ về đạo hàm hoặc tích
phân của hàm tổng của chuỗi ban đầu không? Trường hợp chuỗi lũy thừa thì câu trả lời là khẳng
định. Với ý tưởng này người ta thường tìm nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi lũy
thừa nếu nghiệm của phương trình không phải là hàm sơ cấp.
Sự hội tụ của chuỗi Fourier tinh tế hơn vì vậy đòi hỏi phải thận trọng khi áp dụng phương
pháp lấy đạo hàm hoặc tích phân theo các số hạng. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống cả hai

21


Chương 1: Giải tích Fourier

phép toán này đem lại những kết quả thú vị và cung cấp một công cụ hữu ích để xây dựng chuỗi
Fourier của các hàm tương đối phức tạp.

1.2.6.1 Tích phân của chuỗi Fourier

Ta thấy rằng nguyên hàm luôn mịn hơn hàm gốc, vì vậy có thể tiên đoán rằng sẽ không
gặp khó khăn gì khi lấy tích phân của chuỗi Fourier. Tuy nhiên có một trở ngại là nguyên hàm
của một hàm tuần hoàn chưa chắc là hàm tuần hoàn. Chẳng hạn hàm hằng 1 là một hàm tuần
hoàn nhưng có nguyên hàm, cụ thể x , không tuần hoàn. Vì nguyên hàm của hàm sin , hàm cos
là hàm  cos và hàm sin , do đó nguyên hàm của tất cả các hàm tuần hoàn khác trong chuỗi
Fourier cũng là hàm tuần hoàn. Vì vậy chỉ có số hạng hằng

a0
có thể gây nên khó khăn khi lấy
2

tích phân của chuỗi Fourier.
t



Bổ đề 1.1: Giả sử x(t ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 , khi đó tích phân y (t )  x(u )du là hàm
0

tuần hoàn chu kỳ 2 khi và chỉ khi



 x(t )dt  0 (có giá trị trung bình bằng 0).



Định lý 1.9: Nếu x(t ) là hàm liên tục từng khúc, tuần hoàn chu kỳ 2 và có giá trị trung bình

bằng 0 thì có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi Fourier của x(t ) để nhận được chuỗi
Fourier của nguyên hàm
t



a
1
 b

y (t )   x(u )du  m     n cos nt  n sin nt  , m 
n
2

n1  n
0



 y(t )dt



Ví dụ 1.12: Hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ 2 và x(t )  t , do đó có giá trị trung bình bằng 0.
Theo ví dụ 1.6 ta có chuỗi Fourier


t  2 (1)n1
n1

sin nt
n

Lấy tích phân từng số hạng của chuỗi Fourier ta được

t2  2
(1)n1
2
cos 2t cos3t cos 4t



 2
cos
nt


2
cos
t



 

2
2
6
6
4

9
16
n


n1

Vì

1
2



t2
2
dx

.
2
6


Nếu x(t ) có giá trị trung bình khác 0, chuỗi Fourier tương ứng có số hạng a0  0

22

(1.44)

Chương 1: Giải tích Fourier

x(t ) 

a0 
   an cos nt  bn sin nt 
2 n1

Trong trường hợp này kết quả của lấy tích phân sẽ là

a0
a
1
 b

y (t )   x(u )du  t  m     n cos nt  n sin nt  ; m 
2
n
2

n1  n
0
t



 y(t )dt

(1.45)



Chú ý rằng vế phải của chuỗi (1.45) không phải là chuỗi Fourier. Ta có thể viết lại dưới dạng
khai triển chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2 như sau

y (t ) 


a0
a
 b

t  m     n cos nt  n sin nt 
2
n

n1  n

(1.46)

1.2.6.2 Đạo hàm của chuỗi Fourier

Phép tính đạo hàm ngược với phép lấy tích phân. Đạo hàm có thể làm cho hàm xấu hơn.
Vì vậy khi sử dụng phương pháp lấy đạo hàm của chuỗi Fourier x(t ) chúng ta cần phải chú ý
đến sự thỏa mãn điều kiện Dirichlet của x '(t ) . Đòi hỏi này được thỏa mãn nếu x(t ) khả vi liên
tục từng khúc đến cấp 2.
Định lý 1.10: Nếu x(t ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 và khả vi liên tục từng khúc đến cấp 2 thì
có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi Fourier của x(t ) để nhận được chuỗi Fourier của đạo
hàm


 (t )  x '(t )    nbn cos nt  nan sin nt 

(1.47)

n1

Ví dụ 1.13: Nếu đạo hàm chuỗi Fourier của hàm x(t )  t (ví dụ 1.7) ta được

x '(t ) 

4
sin 3t sin 5t sin 7t



  .
 sin t 

3
5
7


Mặt khác đạo hàm của x(t )  t ta được hàm dấu

d t
 1 nÕu t  0
 sign t  
dt

1 nÕu t  0
Vậy

sign t 

4
sin 3t sin 5t sin 7t



 
 sin t 

3
5
7


1.2.7 Chuỗi Fourier của hàm delta
Hàm delta còn gọi là hàm Dirac (hàm xung đơn vị), là một hàm số suy rộng. Hàm xung
đơn vị tại t  t0 được ký hiệu là  t0 (t ) , hàm số này chỉ tập trung giá trị tại t  t0 . Vậy

23


Chương 1: Giải tích Fourier

 t0 (t )  0 với mọi t  t0 .

(1.48)

Ngoài ra  t0 (t ) là xung đơn vị nên tích phân của nó thỏa mãn điều kiện


 t (t )dt  1



(1.49)

0

Rõ ràng rằng không tồn tại hàm theo nghĩa thông thường thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện
trên, vì hàm thỏa mãn điều kiện (1.48) sẽ có tích phân bằng 0.
Kỹ sư người Anh Oliver Heaviside là người đầu tiên sử dụng hàm delta trong các ứng
dụng thực tế của mình, mặc dù các nhà toán học lý thuyết cùng thời cho rằng đó là ý nghĩ điên
rồ. Ba mươi năm sau, nhà Vật lý lý thuyết nổi tiếng Paul Dirac đã sử dụng hàm delta trong lý
thuyết cơ học lượng tử của mình, nhờ đó cuối cùng các nhà lý thuyết đã chập nhận hàm delta.
Năm 1944 nhà toán học Pháp Laurent Schwartz cuối cùng đã xây dựng được lý thuyết phân bố
kết hợp với hàm suy rộng điều này giải thích cơ sở tồn tại của hàm delta.
Có hai cách khác nhau để xây dựng hàm delta:


hợp.

Cách thứ nhất xem hàm delta là giới hạn của dãy hàm trơn theo nghĩa bình thường.
Cách thứ hai xem hàm delta như là một phiếm hàm tuyến tính của không gian hàm thích

Cả hai đều quan trọng và đáng quan tâm. Tuy nhiên cách thứ nhất sẽ dễ dàng tiếp thu
hơn, vì vậy ta chỉ xét phương pháp này.

Phương pháp giới hạn xem hàm delta  t0 (t ) là giới hạn của dãy hàm khả vi g n (t ) có
giá trị ngày càng tập trung tại t  t0 và có tích phân luôn bằng 1.
Chẳng hạn xét dãy hàm g n (t ) 

0
lim g n (t )  
n


24

n
thỏa mãn hai điều kiện
 (1  n2t 2 )

nÕu t  0
nÕu t  0



,

1



 gn (t )dt   arctan nt t   1



(1.50)


Chương 1: Giải tích Fourier

Vì vậy, một cách hình thức ta đồng nhất giới hạn của dãy hàm g n (t ) là hàm delta tập trung tại
gốc t  0 .

lim gn (t )   (t )   0 (t ) .

(1.52)

n

Hình 1.5 cho thấy các hàm g n (t ) có giá trị ngày càng tập trung tại gốc t  0 .
Cần chú ý rằng có nhiều cách chọn các hàm g n (t ) có giới hạn là hàm delta.
Trường hợp hàm delta  t0 (t ) có giá trị tập trung tại t0 bất kỳ có thể nhận được từ hàm

 (t ) bằng cách tịnh tiến
t0 (t )   (t  t0 ) .

(1.53)

Vì vậy, có thể xem  t0 (t ) là giới hạn của dãy hàm

g n (t )  g n (t  t0 ) 

n



 1  n2 (t  t0 )2



(1.54)

Đạo hàm và tích phân của hàm delta
Từ công thức (1.48)-(1.49) ta có
Với mọi hàm liên tục x(t ) :
l

 x(v) nÕu 0  v  l

  v (t ) x(t )dt  0

nÕu ng­îc l¹i

0

(1.55)

Do đó
t

1 nÕu t  v
0 nÕu t  v

  v (u)du   (t  v)  



(1.56)

Theo định nghĩa thông thường của nguyên hàm, từ công thức (1.56) ta có thể xem hàm
bước nhảy là một nguyên hàm của hàm delta, do đó đạo hàm của hàm bước nhảy là hàm delta.
Sự khác biệt ở đây là mặc dù hàm delta là hàm suy rộng nhưng hàm bước nhảy là hàm số theo
nghĩa thông thường.
Công thức (1.56) cũng phù hợp với định nghĩa của hàm delta theo giới hạn

25


Chương 1: Giải tích Fourier

t

f n (t ) 





n

1  n u 
2 2

du 

1

1
arctan nt + .

2

nÕu t  0
1

Các hàm này sẽ hội tụ về hàm bước nhảy lim f n (t )   (t )  1 / 2 nÕu t  0 .
n
0
nÕu t  0

Với nhận xét trên ta có thể coi

d (t )
  (t )
dt

(1.57)

Hình 1.6: Đồ thị của hàm bước nhảy như là giới hạn của dãy hàm f n (t )

Tính liên tục là điều kiện cần của tính khả vi, như vậy hàm không liên tục thì không khả
vi. Tuy nhiên người ta có thể mở rộng khái niệm đạo hàm của các hàm không liên tục như là
hàm suy rộng với các hàm delta tập trung giá trị tại những điểm gián đoạn.
Nếu x(t ) là hàm khả vi (theo nghĩa thông thường) tại mọi t ngoại trừ tại điểm gián đoạn

t0 với bước nhẩy  . Khi đó ta có thể biểu diễn lại hàm x(t ) dưới dạng tiện hơn
x(t )  y(t )   (t  t0 )

(1.58)

Trong đó y (t ) là hàm liên tục tại mọi điểm và khả vi tại mọi điểm có thể trừ điểm gián đoạn.
Đạo hàm công thức (1.58) và áp dụng công thức (1.57) ta được

x '(t )  y '(t )   (t  t0 )
t

Ví dụ 1.14: Xét hàm số x(t )   1 2
 5 t

nÕu t  1
nÕu t  1

Hàm số gián đoạn tại t  1 với bước nhẩy

26

6
(có đồ thị trong hình 1.7).
5

(1.59)


Chương 1: Giải tích Fourier

Do đó có thể biểu diễn theo công thức (1.56) như sau

6
x(t )  y (t )   (t  1) ,
5

t

y (t )   1 2 6
 5 t  5

nÕu t  1
nÕu t  1

Công thức đạo hàm (1.57) tương ứng

6
x '(t )  y '(t )  (t  1) ,
5

1

y (t )   2
 5 t

Đồ thị hàm x(t )

nÕu t  1
nÕu t  1

Đồ thị hàm x '(t )

Hình 1.7: Đồ thị của x(t ) và đạo hàm x '(t )

t

Ví dụ 1.15: Xét hàm số x(t )  t 2  1
 t
 2e

nÕu t  0
nÕu 0  t  1
nÕu t  1

Hàm số gián đoạn tại t  0 với bước nhẩy 1 và tại t  1 với bước nhẩy

2
(có đồ thị trong
e

hình 1.8). Do đó đạo hàm suy rộng có dạng

1
nÕu t  0

2
x '(t )  (t )  (t  1)  2t
nÕu 0  t  1
e
 t

nÕu t  1
2e

27