322_Toán cao cấp

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến
1.1. Hàm số và giới hạn của hàm số:
1.1.1. Hàm số:
Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số thực
¡
. Một hàm số xác định trên X là
một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x X∈ với một giá trị duy nhất f(x) ∈ ¡ .
Ký hiệu:
f : X → ¡

x y f (x)=a
X được gọi là tập xác định của hàm số f.
Tập hợp
{ }
f (x) x X∈
được gọi là tập giá trị của hàm số f.
Đồ thị của hàm số:
Cho hàm số f có tập xác định X. Tập hợp tất cả các điểm
( )
( )
x,f x
với
x X
∈
được gọi
là đồ thị của hàm số f.
Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).
■ Nếu
( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2
x , x a,b , x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
thì f được gọi là hàm số tăng
trên khoảng (a, b).
■ Nếu
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x , x a,b , x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
thì f được gọi là hàm số giảm
trên khoảng (a, b).
Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Cho hàm số xác định trên tập hợp X.
■ f được gọi là hàm số chẵn nếu
x X x X
f ( x) f (x)
∀ ∈ ⇒ − ∈


− =

■ f được gọi là hàm số lẻ nếu
x X x X
f ( x) f (x)
∀ ∈ ⇒ − ∈


− = −

1
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc
tọa độ.
1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm
( )
0
x a, b∈
. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới
0
x
nếu với mọi dãy
{ } ( ) { }
n 0
x a,b \ x⊂
,
n 0
n
lim x x
→∞
=
ta đều có
( )
n
n
limf x A
→∞
=
Ký hiệu:
( )
0

0
x x
lim f x A 0, 0,0 x x f (x) A
→
= ⇔ ∀ε > ∃δ > < − < δ ⇒ − < ε
Các phép toán về giới hạn:
Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi
0
x x→
. Khi đó:
[ ]
0 0 0
x x x x x x
i) lim f (x) g(x) limf (x) limg(x)
→ → →
± = ±
[ ]
0 0 0
x x x x x x
ii) lim f (x)g(x) lim f (x).lim g(x)
→ → →
=
(
)
0
0 0
0
x x
x x x x
x x

lim f (x)
f (x)
iii) lim lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
→
→ →
→
= ≠
[ ]
x x
0
0 0
lim g( x)
g( x )
x x x x
iv) lim f (x) lim f (x)
→
→ →
 
=
 
Một số giới hạn cơ bản:
a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x
0
thuộc miền xác định của nó thì:
( )
0
0
x x
lim f (x) f x

→
=
b)
x
x
lim e
→+∞
= +∞
,
x
x
lim e 0
→−∞
=
c)
x
x 0
lim ln x , lim ln x
+
→+∞
→
= −∞ = +∞
d)
0
x x
limc c
→
=
e)
x 0

sinx
lim 1
x
→
=
2
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
f)
x
x 0
e 1
lim 1
x
→
−
=
g)
x
x
1
lim 1 e
x
→ ∞
 
+ =
 
 
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a)
2

x 2x 1
x
lim e
− + +
→∞
b)
( )
1
x
x
lim 1 sinx
→ ∞
+
c)
x 0
sin5x
lim
x
→

Giải
Ta có:
a)
2
x 2x 1
x
lim e 0
− + +
→∞
=

b)
( ) ( ) ( )
x
sinx sinx
lim
1 1 1
x x
x sin x sin x
x x x
lim 1 sinx lim 1 sinx lim 1 sinx e
→ ∞
→ ∞ → ∞ → ∞
   
+ = + = + =
   
   
c)
x 0 x 0 x 0
sin5x sin5x sin5x
lim lim 5. 5lim 5.1 5
x 5x 5x
→ → →
   
= = = =
   
   
1.2. Vô cùng bé, vô cùng lớn:
1.2.1. Vô cùng bé:
Định nghĩa: Hàm
( )

xα
được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
0
x x→
nếu
( )
0
x x
lim x 0
→
α =
.
Cho
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB khi
0
x x→
. Giả sử tồn tại
( )
( )
0
x x
x
lim A
x
→

α
=
β
♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB tương đương. Ký
hiệu:
( ) ( )
x xα β:
khi
0
x x→
.
♦ Trường hợp 2: Nếu
A , A 1, A 0∈ ≠ ≠¡
thì
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB
cùng cấp.
♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB
( )
xα

gọi là cấp cao hơn VCB
( )
xβ

khi
0
x x→
. Ký hiệu:
( ) ( )
( )
x O xα = β
khi
0
x x→
.
3
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Ví dụ: Ta có:
x 0
sinx
lim 1
x
→
=
sinx x⇒ :
khi
x 0→
Ví dụ: Ta có:
2
x 0

x
lim 0
x
→
=
nên
2
x
cấp cao hơn x.
1.2.2. Vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm
( )
xα
gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi
0
x x→
nếu
( )
0
x x
lim x
→
α = +∞
Dễ thấy rằng nếu
( )
xα
là VCL thì
( )
1
xα

là VCB, ngược lại nếu
( )
xα
là VCB thì
( )
1
xα
là VCL
( )
( )
x 0α ≠
Như vậy, việc nghiên cứu các VCL có thể chuyển sang các VCB.
1.3. Hàm số một biến liên tục:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
( )
0
x a, b∈
. Hàm số f(x)
được gọi là liên tục tại x
0
nếu
0
0
x x
lim f (x) f (x )
→
=
.
Trường hợp
0

0
x x
lim f (x) f (x )
−
→
=
thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x
0
,
0
0
x x
lim f (x) f (x )
+
→
=
thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x
0
.
Vậy f liên tục tại x
0

0 0
0
x x x x
lim f (x) lim f (x) f (x )
+ −
→ →
⇔ = =
.

Nếu hàm số không liên tục tại x
0
thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x
0
. Vậy f gián
đoạn tại điểm x
0
khi không tồn tại
0
x x
lim f (x)
→
hoặc
0
0
x x
lim f (x) f (x )
→
≠
Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó:
i) f bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho:
[ ]
f (x) M x a,b≤ ∀ ∈

ii) f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b].
iii)
[ ] [ ]
( )
0 0
c f (a),f (b) , x a,b : f x c∀ ∈ ∃ ∈ =

iv) Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
[ ]
0 0
x a,b : f (x ) 0∈ =
4
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
v)
1.4. Đạo hàm:
1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
( )
0
x a, b∈
. Cho x
0
một
số gia
x
∆
. Đặt
( )
0 0
y f x x f (x )∆ = + ∆ −
. Nếu tồn tại giới hạn
( )
0 0
x 0 x 0
f x x f (x )
y
lim lim

x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số
y = f(x) tại điểm x
0
.
Ký hiệu:
( )
( )
0 0
0
x 0 x 0
f x x f (x )
y
f x lim lim
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ ∆
Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi.
Đạo hàm của hàm số
y
′

được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x). Ký hiệu:
y f (x)
′′ ′′
=
Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là
( ) ( )
( )
n n 1
y y
−
′
=
1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( )
0 0
M x ,f (x )
có phương trình:
( ) ( )
0 0 0
y y f x x x
′
− = −
1.4.3. Cách tính đạo hàm:
5
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Các đạo hàm cơ bản:
( ) ( )

( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n n 1
x x
2 2
c 0 c const
x nx
a a .lna 0 a 1
1
lnx x 0
x
sinx cosx cosx sinx
1 1
tgx cotgx
cos x sin x
−
′
= =
′
=
′
= < ≠
′
= >
′ ′
= =−

′ ′
= =−
Các quy tắc tính đạo hàm:
( ) ( )
( )
( )
2
cu c.u c const
u v u v
uv u v v u
u u v v u
v v
′
′
= =
′
′ ′
± = ±
′
′ ′
= +
′
′ ′
−
 
=
 
 
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

3 2
y x 3x 1= − +
b)
2
x x 1
y
2x 5
+ −
=
+
c)
2 x
y x e=
d)
y x.sinx=
1.4.4. Vi phân của hàm một biến:
Định nghĩa: Hàm f khả vi tại x
0
nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x
0
.
Vi phân của hàm y = f(x) là
( )
dy
dy f (x)dx f x
dx
′ ′
= ⇔ =
Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f
là:

( )
( )
n
n n
d y f x dx=
Ví dụ: Cho hàm số
3
y x 2x 1= + +
.
Khi đó:
( )
2 2 2
dy 3x 2 dx, d y 6xdx= + =
1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân:
1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn:
6
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Định lí: Quy tắc L’Hospital
Nếu
0
x x
(x)
lim
(x)
→
ϕ
ψ
có dạng
0
0

hoặc
∞
∞
thì
0 0
x x x x
(x) (x)
lim lim
(x) (x)
→ →
′
ϕ ϕ
=
′
ψ ψ
Ví dụ:
a) Tính
3
3 2
x
2x 3x 3
lim
-x 2x x
→ ∞
− +
+ +
(dạng
∞
∞
)

b) Tính
3
2
x
x 3x 3
lim
4x x 2
→ ∞
− +
+ +
(dạng
∞
∞
)
c) Tính
2
3
x
3x 3
lim
3 x 5x
→ ∞
− +
− +
(dạng
∞
∞
)
1.5.2. Cực trị của hàm một biến:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và

( )
0
x a, b∈
. Điểm
0
x
được gọi là
điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở
( )
0
I x I∈
sao cho:
( ) { }
0 0
f(x) < f x x I \ x∀ ∈
Điểm
0
x
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở
( )
0
I x I∈
sao cho:
( ) { }
0 0
f(x) > f x x I \ x∀ ∈
Điểm x
0
được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu.
Định lí: Nếu x

0
là điểm thỏa
( )
0
f x 0
′
=
và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm
x
0
là điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu x
0
là điểm thỏa
( )
0
f x 0
′
=
và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm
x
0
là điểm cực đại của hàm số
Định lí: Nếu x
0
là điểm mà tại đó
( )
0
f x 0
′

=
và
( )
0
f x 0
′′
<
thì hàm số đạt cực đại tại
điểm x
0
.
7

x
y
’
y
x
1
0 0 -
+ +
CĐ
CT
x
2
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Nếu x
0
là điểm mà tại đó
( )

0
f x 0
′
=
và
( )
0
f x 0
′′
>
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
1.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b).
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làm
như sau:
Bước 1: Tính
y
′
Bước 2: Giải phương trình
y 0
′
=
tìm các nghiệm
[ ]
i
x a,b∈
Bước 3: Tính f(a), f(b), f(x
i

)
Khi đó:
[ ]
{ }
i
x a,b
max f (x) max f(a), f(b), f(x )
∈
=

[ ]
{ }
i
x a,b
min f (x) min f(a), f(b), f(x )
∈
=

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
y x 3x 3= − +
trên đoạn
[ ]
0,2
Ta có:
2
y 3x 3
′
= −

2
x 1 y 1
y 0 x 1
x 1 y 5
= ⇒ =

′
= ⇔ = ⇔

= − ⇒ =

Mặt khác:
f (0) 3,f (2) 5= =
Vậy
[ ]
( )
x 0,2
maxf (x) 5 x 2 x 1
∈
= = ∨ = −
và
[ ]
( )
x 0, 2
min f(x) 1 x 1
∈
= =
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi
sản phẩm phải là: p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản
phẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20x

a) Tìm tổng thu nhập R(x)
b) Tìm tổng lợi nhuận P(x)
c) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max.
d) Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c)
Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max.
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ
8
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
1.1. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu:
Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi
phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng,
còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước của mỗi lô hàng ). Ta xem
n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửa
hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C
( )
Q
bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu
kho và chi phí cho các chuyến hàng.
■ Chi phí lưu kho:
Q
.h
2
■ Chi phí cho các chuyến hàng:
n
.p
Q
Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là $ 10
một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái. Cửa
hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí
hàng tồn kho là nhỏ nhất ?

Giải
Ta có: n = 2500, h = 10.
Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó: Q
[ ]
∈ 1;2500
.
Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là
Q
2
. Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm
là 10.
Q
2
= 5Q (1)
Số lần đặt hàng mỗi năm là:
2500
Q
. Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là:
(20 + 9Q)
2500
Q
=
50000
Q
+ 22500 (2)
Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là:
C(Q) = 5Q +
50000
Q
+ 22500

Ta có :
( )
′
= −
2
50000
C Q 5
Q

( )
′
= ⇔ =
2
C Q 0 5Q 50000
=

⇔ = ⇔

= −

2
Q 100
Q 10000
Q 100

Vì Q
[ ]
∈ 1;2500
nên ta loại Q = - 100
9

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
( )
′′
= >
3
100000
C Q 0
Q
với Q>0 nên
[ ]
( ) ( )
∈
= =
Q 1;2500
min C Q C 100 23500
Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là
=
2500
25
100
.
Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và
mỗi lần đặt 100 cái tivi.
Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm,
chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10.
Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất.
1.2. Ý nghĩa của đạo hàm:
Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một
loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong thực tế người ta quan tâm
đến xu hướng biến thiên của biến y tại x

0
khi x thay đổi một lượng nhỏ x∆ .
Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng x∆ là:
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −
Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x
0
đến x
0
+
x
∆
là:
y
x
∆
∆
Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x
0
là:

( )
0 0
0
x 0 x 0
f (x x) f (x )
y
lim lim f x
x x

∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ ∆
Khi
x
∆
khá nhỏ thì
( )
0
y
f x
x
∆
′
≈
∆
hay
( )
0
y f x x
′
∆ ≈ ∆
Vậy x thay đổi một lượng
x
∆
thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng
( )

0
f x x
′
∆
( chẳng
hạn giá thay đổi một lượng
x
∆
thì số hàng bán ra thay đổi một lượng là
( )
0
f x x
′
∆
)
Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là
2
P 50 Q= −
. Tìm tốc độ thay đổi giá khi
lượng cầu Q thay đổi. Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ?
Giải
Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là:
P 2Q
′
= −
. Do đó:
P (1) 2.1 2
′
= − = −
. Điều này có

nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sản
phẩm là 2 đơn vị tiền.
Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược
lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên.
Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà
hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất
cất nhà sẽ giảm đi.
10
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
1.3. Giá trị cận biên:
Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x
thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x, ký hiệu: My(x).
Từ định nghĩa của đạo hàm ta có:
( ) ( )
dy
My x y x
dx
′
= =
Ta thường chọn xấp xỉ
( )
My x y≈ ∆
tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi
y∆
của y
khi x tăng lên một đơn vị.
( )
x 1∆ =
1.3.1. Giá trị cận biên của chi phí:
Cho hàm chi phí C = C(Q). Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí. Giá trị

này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị.
Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:
2
500
C 0,0001Q 0,02Q 5
Q
= − + +
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q sản phẩm. Áp dụng Q = 50.
Giải
Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
3 2
C Q.C 0,0001Q 0,02Q 5Q 500= = − + +
Giá trị cận biên của chi phí là:
2
dC
MC(Q) 0,0003Q 0,04Q 5
dQ
= = − +
Khi Q = 50 thì:
2
dC
MC(50) 0,0003(50) 0,04(50) 5 0,75 2 5 3,75
dQ
= = − + = − + =
.
Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3,75 đơn vị.
1.3.2. Giá trị cận biên của doanh thu:
Cho hàm doanh thu R = R(Q). Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của doanh thu.
Ví dụ: Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ
Q = 10000

−
125P. Tìm doanh thu cận biên khi P = 30, P = 42.
Giải
Theo giả thiết: Q = 10000
−
125P (1)

10000 Q
125P 10000 Q P
125
−
⇔ = − ⇔ =
(2)
Ta có doanh thu:
R Q.P=
(3)
11
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Thế (2) vào (3)
⇒

( )
2
1
R Q.P 10000Q Q
125
= = −
Nên
( )
1

MR(Q) 10000 2Q
125
= −
(4)
■ Khi P = 30. Từ (1)
⇒

Q 10000 125.30 10000 3750 6250= − = − =
Từ (4)
⇒

( )
1 2500
MR(6250) 10000 2.6250 20
125 125
= − = − = −
■ Khi P = 42. Từ (1)
⇒

Q 10000 125.42 10000 5250 4750= − = − =
Từ (4)
⇒

( )
1 500
MR(4750) 10000 2.4750 4
125 125
= − = =
1.4. Hàm cầu và tính co giãn của cầu:
Ta gọi P là giá bán một sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được ( hay nhu cầu

về loại sản phẩm đó ). Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến số là P, và nhìn
chung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì nhu cầu càng thấp và
ngược lại.
Khi ta có hàm cầu: Q = f(P)
⇒

P g(Q)=
Hàm tổng doanh thu:
R PQ g(Q).Q= =
Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR.
Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A. Marshall đặt là:
P dQ P
.Q (P)
Q dP Q
′
η = − = −
. (
η
đọc là eta)
η
được gọi là độ co giãn của cầu.
Ví dụ: Cho hàm cầu
2
Q 30 4P P= − −
. Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3.
Giải
Hệ số co giãn của cầu là:
( )
2
2 2

P P 4P 2P
Q (P). 4 2P .
Q 30 4P P 30 4P P
+
′
η = − = − − − =
− − − −
Tại P = 3,
30
3,3
9
η = ≈
1.5. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế:

Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f(x).
Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm chi phí
C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C
Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau:
■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại)
12
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
■ Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa.
■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)
Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa
Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian
d
Q Q Q(P)= =
và hàm tổng
chi phí là: C = C(Q). Tìm sản lượng Q trong một đơn vị thời gian để lợi nhuận tối đa.
Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán với giá P sao cho

Q Q(P) P P(Q)= ⇔ =
. Từ đó doanh thu của xí nghiệp là
R(Q) P(Q).Q=
và lợi nhuận
của xí nghiệp là: N = R – C. Sản lượng Q muốn tìm chính là Q > 0 để N đạt giá trị lớn
nhất.
Ví dụ: Cho hàm cầu
Q 300 P= −
và hàm chi phí
3 2
C Q 19Q 333Q 10= − + +
. Tìm Q
để lợi nhuận lớn nhất.
Giải
Ta có:
P 300 Q= −
Doanh thu:
2
R PQ (300 Q)Q 300Q Q= = − = −
Lợi nhuận:
( )
2 3 2
N R C 300Q Q Q 19Q 333Q 10= − = − − − + +
⇔
N
3 2
Q 18Q 33Q 10= − + − −
2
Q 1
N 3Q 36Q 33 0

Q 11
=

′
= − + − = ⇔

=

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi Q = 11.
1.6. Định mức đánh thuế doanh thu:
Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn
vị thời gian
Q Q(P)=
và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là C = C(Q).
Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế
nhất.
Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0. Ta có: Q = Q(P)
P P(Q)⇔ =
.
13
Q
N’
N
− ∞
1
11
+ ∞
0 0+
−
-26

474
− ∞
0
-10
−