DE VA DA HSG TOAN 8 (lân 5) NAM HOC 2017 2018

K THI CHN HC SINH GII LP 8
NM HC: 2017 -2018
Mụn thi: Toỏn 8 (Ln 5)

PHềNG GIO DC V O TO
HUYN TH XUN

Thi gian lm bi: 150 phỳt ( khụng k thi gian giao )

( thi ny cú 06 bi, gm 01 trang )
1
6x + 3
2

+ 3
2
: ( x + 2) .
x +1 x +1 x x + 1


Bi 1: (4,5 im). Cho biu thc: Q =

a) Tỡm iu kin xỏc nh ca Q, rỳt gn Q.
1
b) Tỡm x khi Q = .
3
c) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc Q.
Bi 2: (4,5 im).
2x + 3 2x + 5
6x 2 + 9x 9

= 1
a) Gii phng trỡnh:
.
2x + 1 2x + 7
(2 x + 1)(2 x + 7)

b) Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: x3 2x2 x +2
c) Tỡm cỏc giỏ tr x, y nguyờn dng sao cho: x2 = y2 + 2y + 13.
Bi 3: (4,0 im).
ab + 1 bc + 1 ca + 1
=
=
a) Cho abc 1 v
. Chng minh rng a = b = c.
b
c
a
x2 2x + 2011
b) Cho biểu thức M =
với x > 0
x2
Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

.
Bi 4: (5,0 im). Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn. Cỏc ng cao AD, BE, CF ct
nhau ti H.
a) Chng minh rng: BD.DC = DH.DA.
HD HE HF
+
+

= 1.
b) Chng minh rng:
AD BE CF
c) Chng minh rng: H l giao im cỏc ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF.
d) Gi M, N, P, Q, I, K ln lt l trung im ca cỏc on thng BC, CA, AB, EF,
FD, DE. Chng minh rng ba ng thng MQ, NI, PK ng quy ti mt im.
Bi 5: (1.0 im). Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú AB = AC =b ; BC = a. ng phõn
giỏc BD ca tam giỏc ABC cú di bng cnh bờn ca tam giỏc ABC. Chng minh rng:
1 1
b
=
.
b a (a + b) 2

Bài 6: (1,0 im).
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chng minh rng:
Ht

a
b
c
3
+
+

.
1 + b2 1 + c2 1 + a 2 2

H tờn thớ sinh :............ Giỏm th s 1 :....
S bỏo danh : ............... Giỏm th s 2: ....

Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THỌ XUÂN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP
NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: TOÁN

Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang
Bài
Bài 1
(4,5đ)

Bài 2
(4,5đ)

Nội dung cần đạt
a) Đk: x ≠ −1; x ≠ −2.
x2 − x + 1 + 6x + 3 − 2 x − 2 1
( x + 2)( x + 1)
1
Q=
.
=
= 2
3
2
x +1

x + 2 ( x + 1)( x + 2)( x − x + 1) x − x + 1
1
1
= ⇔ x 2 − x + 1 = 3 ⇔ ( x + 1)( x − 2) = 0
b) 2
x − x +1 3
Suy ra x = -1 hoặc x = 2.
1
So sánh với điều kiện suy ra x = 2 thì Q =
3
2
1
1 3 3

2
c) Q = 2
; Vì 1 > 0; x – x + 1 =  x − ÷ + ≥ > 0.
x − x +1
2 4 4

3
Q đạt GTLN ⇔ x 2 − x + 1 đạt GTNN ⇔ x 2 − x + 1 =
4
4
1
⇔ x= (t/m). Lúc đó Q =
3
2
4
1

Vậy GTLN của Q là Q = khi x= .
3
2

−1
−7
;x ≠
2
2
( 2 x + 3) (2 x + 7) − ( 2 x + 5 ) ( 2 x + 1) = ( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1) − 6 x 2 + 9 x − 9
( 2 x + 1) (2 x + 7) ( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1) ( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1) ( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1)

a) ĐK: x ≠

⇔

Thang
điểm
0,5
1,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

4 x 2 + 20 x + 21 − 4 x 2 − 12 x − 5 4 x 2 + 16 x + 7 − 6 x 2 − 9 x + 9

=
( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1)
( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1)

8 x + 16
−2 x 2 + 7 x + 16
⇔
=
( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1) ( 2 x + 7 ) ( 2 x + 1)

0,5

x = 0
⇒ 8 x + 16 = −2 x + 7 x + 16 ⇔ 2 x + x = 0 ⇔ x (2 x + 1) = 0 ⇔ 
 x = − 1 (Lo¹i)

2

0,5

2

2

Vậy phương trình có một nghiệm x = 0
b) Ta có x3 – 2x2 – x + 2 = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)
= (x-2)(x-1)(x+1).
2
2

c)Ta có x = y + 2y + 13 ⇔ x2 = (y + 1)2 + 12
⇔ (x + y + 1)(x - y – 1) = 12
Do x + y + 1 – (x - y – 1) = 2y + 2 là số chẵn và x , y ∈ N* nên
x + y + 1 > x – y – 1 . Do đó x + y + 1 và x – y – 1 là hai số nguyên
dương chẵn.
Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp: x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2
⇔ x = 4 và y = 1. Vậy (x; y) = (4; 1).

0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5


Bi 3
(4,0)

ab + 1 bc + 1 ca + 1
1
1
1
=
=
a+ =b+ =c+ .
b
c
a

b
c
a
Do ú:
1 1 bc
1 1 ca
1 1 ab
ab= =
; bc= =
; ca = =
c b
bc
a c
ac
b a
ab
(a b)(b c)(c a)
Suy ra: (a b)(b c)(c a) =
a 2 b 2c2
(a b)(b c)(c a)(a2b2c2 - 1) = 0
(a - b)(b c)(c a) = 0 (do abc 1)
Suy ra a = b = c
a) T

Ta có: M =

=
=

2

( x 2011)

0,5
0,5

2

25 đ

x2 2.2011x + 1+ 20112 + 2010x2
2011x2

0,
25 đ

+ 2010x
( x 2011) + 2010 2010
=
2
2011x
2011x2
2011 2011
2
Dấu = xấy ra ( x 2011) = 0 x = 2011 (thỏa mãn)
2

0,5

0,

x 2x + 2011 2011x 2.2011x + 2011
=
x2
2011x2
2

0,5

2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

0,
25 đ

2010
đạt đợc khi x = 2011
2011

0,
25 đ

Bi 4
(5,0)

A

E

F
H

C

B
D

a) Ch ra c BDH ADC (g.g)
BD DH

=
AD DC
BD.DC = DH.DA
1
SHBC 2 HD.BC HD
=
=
b) Ta cú:
SABC 1 AD.BC AD
2
HE SHAC HF SHAB
=
=
Tng t:
;
.
BE SABC CF SABC

0,5
0,5
0,5

0,5
0,5


HD HE HF SHBC + SHAC + SHAB SABC
+
+
=
=
=1
AD BE CF
SABC
SABC
·
·
c) Chứng minh được ∆AEF ∼ ∆ABC (c.g.c) ⇒ AEF
= ABC
·
·
·
·
Tương tự DEC
. Do đó: AEF
= ABC
= DEC

·
·
·
·
·
·
Mà AEF
= 900 nên HEF
+ HEF
= DEC
+ HED
= HED
⇒ EH là phân giác của góc DEF.
Tương tự FH là phân giác của góc EFD
Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF.
d)
Do đó

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

A

E
Q

P

N

F
K
H
I
C

B
D

M

Do ∆BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên EM =

1
BC (trung
2

tuyến ứng với cạnh huyền)
1
Tương tự : FM = BC
2
Do đó: ∆EMF cân tại M, mà Q là trung điểm EF nên MQ ⊥ EF
⇒ MQ là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của
tam giác DEF.
Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường
trung trực của tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng
quy tại một điểm.

Bài 5
(1,0đ)

A
H
D

C
B

Vẽ BH là đường cao của tam giác ABC.
Tam giác BAD cân tại B (BA=BD) có BH là đường cao nên cũng
là đường trung tuyến

0,5
0,5


⇒ AH =

AD
.
2

Tam giác ABC có BD là đường phân giác , ta có :
DA AB b
DA DC DA + DC
AC
b
b2

=
= ⇒
=
=
=
=
⇒ DA =
DC BC a
b
a
a+b
a +b a +b
a +b

0,25

Tam giác HAB vuông tại H , theo đ/lý Pytago ta có :
AB 2 = BH 2 + AH 2 ⇒ BH 2 = b 2 −

AD 2
4

(1)

0,25

Tam giác HBC vuông tại H , theo đ/lý Pytago, ta có
BC 2 = BH 2 + HC 2 ⇒ BH 2 = BC 2 − ( AC − AH )2 = a 2 − (b −
⇒ BH 2 = a 2 − b 2 + b. AD −

AD 2
4

AD 2
)
2

(2)

0,25

Từ (1) và (2) ta có :
AD 2
AD 2
= a 2 − b 2 + b. AD −
⇒ b 2 − a 2 = b. AD − b 2
4
4
2
−ab
a −b
b
1 1
b
⇒ (b + a )(b − a ) =
⇒
=
⇒ − =
2
a+b

ab
(a + b)
b a (a + b) 2
b2 −

Bài 6
(1,0đ)

0,25

Vậy bài toán được c/m.
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên
a
ab 2
ab 2
ab
=a−
≥a−
=a− .
2
2
1+ b
1+ b
2b
2

0,25

b
bc

c
ca
≥
b
−
≥
c
−
;
1 + c2
2 1+ a2
2
a
b
c
ab + bc + ca
+
+
≥
3
−
mà a + b + c = 3 nên
(1)
0,25
1 + b2 1 + c2 1 + a 2
2
Cũng từ a + b + c = 3 ⇒ (a + b + c)2 = 9
⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab +
bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) ≤ 9 ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 (2).

0,25
a
b
c
3 3
+
+
≥ 3 − = đpcm.
Từ (1) và (2) suy ra
1 + b2 1 + c2 1 + a 2
2 2
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Ghi chú:
- Học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm
điểm.
Tương tự ta có :