Môđun trên miền chính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

VŨ THỊ NGỌC ANH

MÔĐUN TRÊN MIỀN CHÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

VŨ THỊ NGỌC ANH

MÔĐUN TRÊN MIỀN CHÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS. LÊ QUÝ THƯỜNG

HÀ NỘI – 2018


▼ö❝ ❧ö❝

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶
✸
✺

✶✳✶ ▼✐➲♥ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ▼æ✤✉♥ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✸ ❚ü ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❝õ❛ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

✷ ▼æ✤✉♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤

✶✺

✸ ▼æ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣

✷✻

❑➳t ❧✉➟♥

✸✻

✷✳✶ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✷ ❈→❝ ♥❤➙♥ tû ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❊✉❝❧✐❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✸✳✶ ❈➜✉ tró❝ K[x]✲♠æ✤✉♥ tr➯♥ ♠ët K ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✸✳✷ ❚➼♥❤ ♥❤➙♥ tû ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✸✳✸ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷

✶


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r÷î❝ ❦❤✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣
❝↔♠ ì♥ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❙÷ P❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱
❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ❜ë ♠æ♥ ✣↕✐ sè ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛② ❝æ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣
❞↕② ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ♥❤ú♥❣ tr✐ t❤ù❝ q✉þ ❜→✉ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥
❧ñ✐ ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ♥❤✐➺♠ ✈ö ❦❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳
✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❚❙✳
▲➯ ◗✉þ ❚❤÷í♥❣✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ trü❝ t✐➳♣ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣
✤ï ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳
❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❜↔♥ ❦❤â❛
❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ❣â♣ þ q✉þ ❜→✉ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥
❱ô ❚❤à ◆❣å❝ ❆♥❤

✷


▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

▲þ t❤✉②➳t ♠æ✤✉♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tø t❤➳ ❦✛ ❳■❳✱ ❝â ♥❤✐➲✉ ❣✐→ trà
❧þ t❤✉②➳t ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ❤å❝✳ ❱✐➺❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♣❤→t
tr✐➸♥ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t ♠æ✤✉♥
tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t t❤í✐ sü tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉

❧➽♥❤ ✈ü❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✣↕✐ sè ❤✐➺♥ ✤↕✐✳
◆â✐ r✐➯♥❣✱ ❧þ t❤✉②➳t ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❤➳t sù❝
❤ú✉ ➼❝❤ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥â ❝❤♦ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➼♥❤
❞↕♥❣ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ t✛ ✈➔ ❞↕♥❣ ❝❤✉➞♥ ❏♦r❞❛♥ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ✈î✐ ❤➺
sè tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣✳ ❉↕♥❣ ❝❤✉➞♥ ❏♦r❞❛♥ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ A ❧➔ ♠ët
♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝â ❞↕♥❣ ❣➛♥ ✈î✐ ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ♥❤➜t✱
♥❤÷♥❣ ✤➸ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥â✱ ②➯✉ ❝➛✉ t✐➯♥ q✉②➳t ❧➔ tr÷í♥❣ ♥➲♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù❛ t➜t ❝↔
❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ s➩ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞↕♥❣ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉
t✛ ✈➻ ♥â ❦❤æ♥❣ ✤á✐ ❤ä✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ tr÷í♥❣ ♥➲♥ ✈➔ ✈➝♥ ✤↔♠ ❜↔♦ ✤÷ñ❝ ②➯✉
❝➛✉ t➻♠ ✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❝❤➾ ❞ò♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣✳
❳✉➜t ♣❤→t tø q✉❛♥ s→t tr➯♥ ❝ò♥❣ ✈î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ❚❙✳ ▲➯
◗✉þ ❚❤÷í♥❣✱ tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ▼æ✤✉♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥
❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳
✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

❚➻♠ ❤✐➸✉ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤✱
❝→❝ ✤➦❝ ✤✐➸♠ t❤ó ✈à ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ♥➔② tr➯♥ ❝→❝ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔
tr➯♥ ✈➔♥❤ ❊✉❝❧✐❞ ✈➔ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ K[x] ✭✈î✐ K ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣✮✳
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② ✈✐➺❝ ✤å❝ ❤✐➸✉ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶✷
❝õ❛ ❝✉è♥ s→❝❤ ❆❜str❛❝t ❆❧❣❡❜r❛ ❝õ❛ ❉✉♠♠✐t ✈➔ ❋♦♦t❡ ✭①❡♠ ❬✷❪✮✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝
✸




ừ õ ỏ ữủ t tr ố s số
ữỡ ừ ỳ t ữ
ố tữủ ự

õ ự ổ ỳ s tr

ự ử ố tữủ ự ử t ỗ
ỵ trú ừ ởt ổ ỳ s tr ởt
t t ũ ờ sỡ tr tr t
tỷ t ừ ởt ổ ỳ s tr ởt
ỳ t ừ ởt tr ổ ợ tỷ tr ởt
trữớ ự ử t tự tố t ừ ởt tr ổ
Pữỡ ự

t t tr ự ỵ
q trồ tỹ ộ t t ữợ ử ỵ tt
ổ tr t t tự tố t ừ tr
trú t
ữỡ tự ữỡ tõ ữủ ỳ

tự ỡ tt ỗ
ổ tr ởt t q ỡ tr ổ
ữỡ ổ tr r t ở ữỡ
ú tổ ổ sỷ R ởt ự ởt ỵ
q trồ trú ổ tr ự tỷ
t ừ ởt ử t ởt
ữỡ ổ tr tự ởt ú tổ ử
ởt t q q trồ tr ữỡ ự ổ tr
tự ởt
ở t
õ
ụ ồ


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tâ♠ ❧÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ❦❤♦→ ❧✉➟♥✱
❜❛♦ ❣ç♠ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔♥❤✱ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤✱ ♠æ✤✉♥ tr➯♥ ♠ët ✈➔♥❤ ✈➔ ❝→❝ ❦➳t
q✉↔ ❝ì ❜↔♥ tr➯♥ ♠æ✤✉♥✳

✶✳✶ ▼✐➲♥ ❝❤➼♥❤

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❚❛ ❣å✐ ♠ët ✈➔♥❤ ♠é✐ t➟♣ ❤ñ♣ R = ∅ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣

t♦→♥ ❤❛✐ ♥❣æ✐✱ ❣ç♠
✭❛✮ P❤➨♣ ❝ë♥❣✿

+ : R × R → R,

(x, y) → x + y,

· : R × R → R,

(x, y) → x · y,

✭❜✮ P❤➨♣ ♥❤➙♥✿
t❤ä❛ ♠➣♥ ❜❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿
✭❘✶✮ R ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❛❜❡❧ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣❀
✭❘✷✮ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤ñ♣❀
✭❘✸✮ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✈➲ ❤❛✐ ♣❤➼❛ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✿
(x + y)z = xz + yz,

✈î✐ ♠å✐ x, y, z ∈ R✳
✺

z(x + y) = zx + zy,

ữỡ

tự



ởt R ữủ ồ ởt

ừ õ R ữủ ồ õ ỡ ừ
õ õ ỡ tự tỗ t ởt tỷ 1 R s 1 ã x = x ã 1 = x
ợ ồ x R R ữủ ồ ổ õ ữợ ừ ổ tỗ t
x, y R \ {0} s xy = 0
R ữủ ồ ởt R ởt
õ ỡ ổ õ ữợ ừ ổ
ử ộ t số Z Q R C t ởt
õ ỡ ố ợ t ở số tổ tữớ
r õ ở Z/n số ổ n n 1 t tr ởt
ữ s
[a][b] := [ab].

õ ở Z/n ũ ợ õ t ởt
õ ỡ
ởt trữớ ởt õ ỡ 1 = 0 s
ồ tỷ ừ õ
sỷ R ởt S R ữủ ồ ởt
ừ R S ởt õ ừ õ ở R ố
ợ tự ợ ồ x, y S t õ xy S
õ S ụ ởt ợ t ừ

t tữỡ ự ừ R S
S ởt trữớ t õ ữủ ồ ởt trữớ ừ
R
ởt tr ừ R ởt A R
õ t t ra A ợ ồ r R ợ ồ a A
ởt ừ R ởt A R õ t t
ar A ợ ồ a A ợ ồ r R
A R ứ tr ứ t õ ữủ
ồ ởt ừ R
t X R ọ t ừ R ự X ữủ ồ
s X


ữỡ

tự



ộ ừ ởt R R ữủ ồ ởt tt
sỹ ố ợ tr
trũ
sỷ a b tỷ tr ởt
R õ tỷ d R d = 0 ữợ ợ t ừ a b
d | a d | b ợ ồ c R s c | a c | b t c | d
sỷ R R : R R ữủ
ồ ởt ỗ õ t t ừ tự
ợ ồ x, y R
(x + y) = (x) + (y),
(xy) = (x)(y).

ởt ỗ ỗ tớ ởt ỡ

ữủ ồ ởt ỡ ởt ú
ởt ỗ ỗ tớ ởt t ữủ ồ ởt t

ởt ỗ ỗ tớ ởt s ữủ ồ ởt
õ ởt : R R t t õ R
ợ R t R = R

sỷ A ởt ừ R õ r A ởt

õ ừ õ R ố ợ ở R A
t R/A ởt õ ố ợ ở

(x + A) + (y + A) = (x + y) + A,
ợ x, y R tr R/A ởt ữ s

(x + A) ã (y + A) = (xy + A),
ợ x, y R õ R/A ởt

R/A ữủ ồ tữỡ ừ R t

A

ỵ sỷ : R R

ởt ỗ õ tỗ t
t ởt : R/ ker Im s = ã .

ữỡ

tự



ỗ õ r ởt ỗ ừ
õ ở R R ỵ ỗ õ : R/ ker Im
ữủ (x + ker ) = (x) ợ ồ x R
õ t = ..
ự ởt ỗ t t
ở ố ợ t õ
ự

[(x + ker )(y + ker )] = (xy + ker ) = (xy) = (x)(y)
= (x + ker )(y + ker ),

ợ ồ x, y R ỵ ữủ ự
sỷ R ởt õ ỡ
A ừ R ữủ ồ tố A = R ợ ồ x, y R
tứ xy A s r x A y A
A ừ R ữủ ồ ỹ A = R ổ tỗ t
B A s B = A B = R õ A ỹ t
q tr t tt sỹ ừ R

r ởt R õ ỡ ồ ỹ

tố

sỷ A ởt tr õ ỡ
R õ

A tố R/A ởt
A ỹ R/A ởt trữớ

R ởt {0}

ởt I ừ R ữủ ồ ởt õ ữủ s
ởt tỷ
ởt ởt tr õ ồ

ử số Z tự ởt K[x] ợ số
tở ởt trữớ K


❈❤÷ì♥❣ ✶✳

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✾

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✾✳

✭❛✮ ❚r♦♥❣ ♠ët ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤✱ ♥➳✉ ♣❤➛♥ tû a ❧➔ ❜➜t ❦❤↔
q✉② t❤➻ ✐✤➯❛♥ (a) ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐✳

✭❜✮ ❚r♦♥❣ ♠ët ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤✱ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤→❝ 0 ✤➲✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳
✭❝✮ ❚r♦♥❣ ♠ët ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤✱ ♠å✐ ❝➦♣ ♣❤➛♥ tû ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✤➲✉ ❝â ÷î❝ ❝❤✉♥❣
❧î♥ ♥❤➜t✳

✭❞✮ ❚r♦♥❣ ♠ët ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤✱ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤
✤➲✉ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ ♠ët t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ tû ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✈➔ sü
♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥➔② ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t s❛✐ ❦❤→❝ t❤ù tü ✈➔ ♠ët ♥❤➙♥ tû ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳

✶✳✷ ▼æ✤✉♥ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✵✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❝â ✤ì♥ ✈à 1✳ ▼ët ♠æ✤✉♥
✭tr→✐✮ tr➯♥ R

✭❤♦➦❝ R✲♠æ✤✉♥ ✭tr→✐✮✮ ❧➔ ♠ët t➟♣ M ✤÷ñ❝ tr❛♥❣ ❜à ❤❛✐ ♣❤➨♣

t♦→♥✿
✭❛✮ P❤➨♣ ❝ë♥❣ tr➯♥ M ✿

+ : M × M → M,

(x, y) → x + y,

✭❜✮ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈î✐ ✈æ ❤÷î♥❣✿
· : R × M → M,

(α, x) → α · x,

t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮ (M, +) ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❛❜❡❧✱
✭✐✐✮ (αβ)x = α(βx)✱ ∀α, β ∈ R✱ ∀x ∈ M ✱
✭✐✐✐✮ (α + β)x = αx + βx✱ ∀α, β ∈ R✱ ∀x ∈ M ✱
✭✐✈✮ α(x + y) = αx + αy✱ ∀α ∈ R✱ ∀x, y ∈ M ✱
✭✈✮ 1 · x = x✱ ∀x ∈ M ✳
◆â✐ r✐➯♥❣✱ ♥➳✉ R ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣✱ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët R✲❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ✈❡❝tì✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✶✳


ữỡ

tự



ồ õ M õ t ữ ởt Zổ
R ởt õ ỡ I ởt ừ R
õ tữỡ R/I ụ ởt Rổ ự ợ ợ ổ
ữợ ã [x] := [x] ợ ồ R [x] R/I
h : R R ởt ỗ M ởt Rổ
õ M õ trú ừ ởt R ổ ợ ợ ổ ữợ
ữ s ã x := h()x ợ ồ R x M
R ởt õ ỡ M ởt
Rổ ởt Rổ ừ M ởt õ N ừ (M, +) s
x N ợ ồ R x N
sỷ M ởt Rổ
rộ S M ữủ ồ ởt ỡ s ừ Rổ M
ộ tỷ ừ M t t t t q
tỷ ừ S
ổ M ữủ ồ ổ tỹ õ õ ởt sỡ s õ
ổ
ổ M Rổ ợ ồ x M tỗ
t R s x = 0
R ởt M M ữủt Rổ
ởt : M M ởt ỗ Rổ

(x + y) = (x) + (y) ợ ồ x, y M
(rx) = r(x) ợ ồ r R x M
: M M ởt ỗ Rổ ỗ tớ ởt
ỡ t õ ữủ ồ ởt ỡ ú ổ
ỗ tớ ởt t t õ ữủ ồ ởt t
ổ ố ũ ỗ tớ ởt s t õ ữủ ồ
ởt ổ
tỗ t ởt ổ : M M t t õ M
ợ M t M = M


ữỡ

tự



sỷ : M M ởt ỗ Rổ õ
ker := {x M | (x) = 0}

ữủ ồ t ừ
Im := (M ) = {y M | y = (x), x M }

ữủ ồ ừ ự ữủ ker Im tữỡ
ự Rổ ừ M M
M N Rổ Hom (M, N ) t
ỗ Rổ tứ M N
M ởt Rổ N , . . . , N
ổ ừ M
ờ ừ N , . . . , N Rổ s

R

1

1

n

n

N1 + ã ã ã + Nn := {a1 + ã ã ã + an | ai Ni , i}.

ợ ồ 1 i n
Ni (N1 + ã ã ã + Ni1 + Ni+1 + ã ã ã + Nn ) = {0},

t tờ N + ã ã ã + N ữủ ồ tờ trỹ t ừ N , . . . , N
ữủ N ã ã ã N
ợ ồ t A ừ M t
1

n

1

1

n

n

RA = {r1 a1 + ã ã ã + rm am | ri R, ai A, m Z>0 }

RA = 0 A = A t ỳ {a , a , . . . , a } ú
t õ t t Ra + Ra + ã ã ã + Ra t RA ồ RA
ổ ừ M ữủ s A N ổ ừ M
N = RA ợ A ởt t ừ M t ồ A ởt t
tỷ s ừ N t õ N ữủ s A
ởt t N ừ M ỳ s õ ởt t ỳ
A ừ M s N = RA
N ỗ ởt tỷ a t Ra ổ
ổ s a õ Ra = {ra | r R}
1

1

2

n

2

n


ữỡ

tự

ởt t S ữủ ồ s ừ M

tỷ ừ M õ t t ữợ tờ ủ t t
tỷ ừ S ợ số tr R
ổ M tỹ t S ở t t
t t ừ tỷ tr M t
R t ỹ ữủ ừ S ữủ ồ ừ R
ởt Rổ M ữủ ồ ởt Rổ tr
ợ ồ t ổ ừ M
M1 M2 M3 ã ã ã

tỗ t ởt số ữỡ m s M

k

= Mm

ợ ồ k m

ỵ R ởt õ ỡ M

ởt

Rổ õ s tữỡ ữỡ
M ởt Rổ tr

ồ ồ rộ ổ ừ M ự ởt tỷ ỹ
t q
ồ ổ ừ M ỳ s
õ r R ởt t ồ ồ rộ ừ

R õ ởt tỷ ỹ

ỵ ữủ ự tr r
sỷ N ởt Rổ ừ Rổ M õ N ởt
õ ừ õ M ố ợ ở t t ữủ õ
tữỡ M/N ởt õ ợ ở ữ s
ự

(x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N,

ợ ồ x, y M tr M/N ởt t ợ ổ ữợ
tr R ữ s
a(x + N ) = ax + N,

ợ a R x M ự ữủ r ợ t
tr M/N ởt Rổ


ữỡ

tự



ổ M/N tr R ữủ ồ ởt ổ tữỡ
ừ M t ổ N



ỵ ố ợ ồ ỗ Rổ : M N tỗ t

t ởt Rổ : M/ ker Im s = ã

t : M N ữ ởt ỗ õ ỵ
ỗ õ tỗ t t õ : M/ ker Im
s = ã ỡ ỳ t õ (x + ker ) = (x) ự
t ợ ổ ữợ t
ự

(a(x + ker )) = (ax + ker ) = (ax) = a(x) = a(x + ker ).

ợ ồ a R, x M õ ởt ỗ ổ
M ởt Rổ õ
Tor(M ) := {x M | R, x = 0}

ữủ ồ ừ M õ ởt Rổ ừ M ổ M
ữủ ồ ởt ổ M = Tor(M )
ử t R = Z õ M = Z/3ì Z/4 ữủ ữ
ởt Zổ õ M ởt Zổ t [x]
ợ ừ x ổ n ợ ồ tỷ ([x] , [x] ) M t ồ = 12 Z
õ 12([x] , [x] ) = ([12x] , [12y] ) = ([0] , [0] )
n

3

3

4

3

4

4

3

4

ỹ ỗ ừ ởt ổ tỡ

K ởt trữớ V ởt K ổ tỡ n
T : V V ởt tỹ ỗ tr V ồ e , . . . , e ởt ỡ s õ
tự tỹ ừ V sỷ r
1

n

n

T (ej ) =

aij ei ,

j = 1, . . . , n.

i=1

tr A = (aij )nìn ữủ ồ tr ừ T tr

ỡ s e1 , . . . , en
tự trữ ừ A



PA (x) := det(A xEn ),

tr õ E tr ỡ n
n


ữỡ

tự



sỷ u , . . . , u ởt ỡ s õ tự tỹ ừ V ồ C
tr tứ ỡ s e , . . . , e s ỡ s u . . . , u r
t t u = t e 1 j n t õ C = (t ) õ ởt
tr ồ B tr ừ T tr ỡ s u , . . . , u õ
B = C AC. õ tự trữ P (x) ừ B ữủ t ữ s
1

n

1
n
i=1 ij i

j

n

1

n

ij nìn
1

1

n

B

PB (x) = det(B xEn ) = det(C 1 AC C 1 (xEn )C)
= det(C 1 (A xEn )C)
= PA (x).

õ P (X) ổ ử tở ồ ỡ s ừ V
tự P (x) := P (x) ữủ ồ tự trữ
ừ tỹ ỗ T
ỵ ỵ t A ởt tr ổ
A

T

A

n A M (n ì n, K) õ PA (A) = 0 tr M (n ì n, K)
ự

B(x) tr ử ủ ừ A xE õ t õ
n

B(x)(A xEn ) = det(A xEn )En = PA (x)En .

X = A t t ữủ B(A)(AA) = P (A)E õ P (A) = 0
tự õ ọ t m (x) s m (A) = 0
ữủ ồ tự tố t ừ A
ự ữủ r m (x) t P (x)
A

n

A

A

A

A

A


ữỡ

ổ tr
trú ừ ổ ỳ s tr

r ử t s ổ sỷ R ởt

ỵ R ởt M ởt Rổ tỹ

ỳ N ởt ổ ừ M õ
N õ tỹ m m n

ỗ t ởt ỡ s y1 , y2 , . . . , yn ừ M s a1 y1 , a2 y2 , . . . , am ym
ởt ỡ s ừ N tr õ a1 , a2 , . . . , am tỷ ừ R
a1 | a2 | ã ã ã | am

sỷ N = 0 ợ ộ ỗ Rổ tứ M R
(N ) ừ N ởt ổ ừ R (N ) ởt
tr R R ởt (N ) ởt sỷ
(N ) = (a ) ợ a R t

ự





:= (a ) | HomR (M, R) .

0 = ỵ ồ õ tỷ ỹ
ồ tỷ ỹ (a ) tự tỗ t Hom(M, R) s
(N ) = a t a := a ồ y ởt tỷ ừ N s (y) = a

s ự a = 0 ồ x , x , . . . , x ởt ỡ s ừ Rổ
tỹ M t Hom (M, R) ( x ) =
N = 0 tỗ t i s (N ) = 0 (a ) = 0 (a ) õ
(a ) (a ) ụ 0 tự a = 0




1



1

1

i

1

2

R

i

i

1

i

n

i

1



n
j=1

j j

i

i


ữỡ

ổ tr



ự a | (y) ợ ồ Hom (M, R) ồ d ởt
tỷ ừ (a , (y)) ừ R r d t a (y)
d = r a + r (y) ợ r , r R t ỗ = r + r : M R
õ (y) = r +r (y)= r (y)+r (y) = r a +r (y) = d

d (N ) (d) (N ) t d t a (a ) (d) (N )
a tỷ tố (a ) = (d) = (N ) d t (y)
(a ) = (d) a | (y)
ử t õ a | (y) ợ ồ 1 i n t
(y) = a b ợ b R 1 i n t y =
b x õ
1

R

1

1 1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1 1

1

1

2

2

1

1

1

1

i

i

1 i

1

i

i

n
i=1 i i

1

n

a1 y 1 = a1

n

bi xi =
i=1

i (y)xi = y.
i=1

a = (y) = (a y ) = a (y ) R a tỷ
ổ (y ) = 1
s ự y ởt tỷ ừ ởt ỡ s ừ M a y
ởt tỷ tr ởt ỡ s ừ N õ t s ự
M = Ry ker
N = Ra y (N ker ).
t ồ x M õ t ữủ t ữợ x = (x)y +(x(x)y ).
(x(x)y ) = (x)(x)(y ) = (x)(x)ã1 = 0 x(x)y
ởt tỷ ừ ker õ x Ry +ker M = Ry +ker
sỷ ry ụ ởt tỷ ừ ker õ 0 = (ry ) = r(y ) = rã1 = r
r M = Ry ker ỵ ữủ ự

ự t t r a | (x ) ợ ồ x N a
ởt tỷ s ừ (N ) t (x ) = ba ợ b R t õ
1

1 1

1

1

1

1

1

1 1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x = (x )y1 + (x (x )y1 ) = ba1 y1 + (x ba1 y1 ),

tr õ x ba y N ker . õ N = Ra y + (N ker ). ữỡ
tỹ ữ tr t õ t ự r Ra y (N ker ) = 0.
N = Ra y (N ker ).
ớ t s ự q t rank(N ) = m
m = 0 t N ởt ổ õ N = 0
sỷ ú ợ m 1 0 s ự ụ ú ợ m
tự t õ t ự N ker õ m 1
1 1

1 1

1 1

1 1


ổ tr

ữỡ



tt q N ker ởt Rổ tỹ m 1 ử
tự ởt ỳ t õ t ờ s a y ởt ỡ s t ý
ừ N ker t ữủ ởt ỡ s ừ N õ N ụ ởt ổ
tỹ m
s ự q t rank(M ) = n ổ
ker ởt ổ tỹ t rank(ker ) = n 1 ử
tt q ổ ker ổ N ker ừ õ t t
ữủ ởt ỡ s y , y , . . . , y ừ ker s a y , a y , . . . , a y ởt
ỡ s ừ N ker tr õ a , a , . . . , a R tọ a | a | ã ã ã | a
tờ tr tờ trỹ t y y , . . . , y
ởt ỡ s ừ M a y , a y , . . . , a y ởt ỡ s ừ N
ự a | a t t ỗ : M R tr
ỡ s y , y , . . . , y ừ M ữ s (y ) = (y ) = 1 (y ) = 0
ợ ồ i > 2 õ t õ a = (a y ) s r a (N ) õ
(a ) (N ) (a ) tỷ ỹ tr ồ (a ) = (N )
a = (a y ) (N ) t õ (a ) (N ) = (a ) a | a

ỵ t ữủ ự
1 1

2

3

n

2 2

2

3

3 3

m

m m

2

3

m

, 2

1 1

1

1

2 2

m m

2

2

n

1

1

1

2

i

1 1

1

1

2

n

1

2 2

2

1

1

2

ỵ R ởt M ởt Rổ ỳ

s õ tỗ t t s tự tỹ tỷ tr
R ởt t ừ M ữ s

M
= Rr R/(a1 ) R/(a2 ) ã ã ã R/(am ),
tr õ a1 , . . . , am tỷ ổ ừ R tọ
a1 | a2 | ã ã ã | am

M ởt Rổ ỳ s t õ t ồ ởt
s tố t ừ õ ỗ ỳ tỷ x , x , . . . , x
ồ b , b , . . . , b ởt ỡ s ừ Rổ tỹ R t t

: R M (b ) = x ợ ồ 1 i n ỵ
t õ R / ker = M ử ỵ R ổ ker
t t ữủ ởt ỡ s ừ R y , . . . , y s a y , . . . , a y
ỡ s ừ ker ợ a , . . . , a R a | ã ã ã | a õ
M
= R /ker = (Ry ã ã ã Ry )/(Ra y ã ã ã Ra y ).
t ỗ Rổ
ự

1

1
n

2

2

n

n

n

i

i

n

n

n

1

n

1

m

1

n

1

n

1 1

m

1 1

m m

: Ry1 ã ã ã Ryn R/(a1 ) ã ã ã R/(am ) Rnm

m m


ữỡ

ổ tr




(1 y1 , . . . , n yn ) = ([1 ], . . . , [m ], m+1 , . . . , n ).

t ởt t Rổ ker = Ra y
ử t õ

1 1

ã ã ã Ram ym .


t ừ t ừ M ữủ t ự
tr r
M
= R/(a1 ) ã ã ã R/(am ) Rnm .

tỷ t ừ ổ tr

r ử t tr ởt R
ởt R ởt ữủ tr ởt
: R \ {0} N

s (ab) (a) ợ ồ a, b R \ {0} s ợ ồ a, b R
b = 0 tỗ t q, r R tọ a = qb + r ợ r = 0 (r) < (b)
ó r ởt ởt
R ởt M ởt Rổ ỳ
s õ t ỵ tỗ t t ởt
Tor(M ) = R/(a1 ) R/(a2 ) ã ã ã R/(am ),

tr õ a , . . . , a tỷ ổ ừ R tọ
a | a | ã ã ã | a tỷ t s ởt
tỷ tr R õ a , . . . , a ữủ ồ tỷ t
ừ M
r ữợ t s tr ởt tt t t
tỷ t ừ ởt ổ tr ởt rữợ t t
ởt số t q ỡ tr ỵ tt ổ
1

1

2

m

m

1

m

ờ R ởt M ởt Rổ õ M

Rỳ s tỗ t ởt t : Rn M


ữỡ

ổ tr



sỷ M ởt Rổ ỳ s õ tỗ t
tỷ , . . . , M s ồ tỷ x M tỗ t
x=
ợ , . . . , R t ỡ s t e , . . . , e ừ R
t ỗ Rổ : R M ( e ) =
õ ởt t ợ ồ y = M t õ t
ồ x = e M s (x) = y
ữủ sỷ tỗ t t : R M ồ e , . . . , e ỡ s
t ừ R t := (e ) s ự , . . . , ởt
s ừ M t ởt t ợ ồ y M tỗ t
x R s y = (x) t x ữợ x =
e t
õ y = (x) = ( e ) = (e ) = x M ởt
Rổ ỳ s
: R M ởt t Rổ õ
t ker ởt ổ ỳ s ừ R sỷ x , . . . , x
ởt ỡ õ tự tỹ ừ R y , . . . , y ởt s õ tự tỹ
ừ ker ợ 1 i k t t
ự

1

n
i=1 i i

n

1

n

1

n
i=1

n

n
i=1

i i

n
i=1

n
i=1

n

n

i i

i i

i i

n

n

i

1

i

n

1

n

n
i=1

n

n
i=1

n
i=1

i i

i

n
i=1

i

i i

i i

n

n

n

1

1

n

k

yi = ai1 x1 + ai2 x2 + ã ã ã + ain xn ,

tr õ a R ợ ồ 1 i k 1 j n õ tr tr
A = (a ) M (k ì n, R) ữủ ồ tr q tữỡ ự ợ ỡ s
x , . . . , x ừ R s y , . . . , y ừ ker
x , . . . , x y , . . . , y ữ tr
ờ s ữủ ồ ờ sỡ
ỳ x , . . . , x ờ tr y y tr y , . . . , y
ỳ x , . . . , x t s y , . . . , y s
y , . . . , y , y ay , y , . . . , y ừ ker
ờ tr x x tr x , . . . , x ỳ y , . . . , y
ỡ s x , . . . , x ỡ s x , . . . , x , x ax , x , . . . , x
ỳ y , . . . , y
t ờ sỡ tữỡ ự ợ
ờ sỡ ố ợ ừ tr A ờ sỡ
tữỡ ự ợ ờ sỡ ố ợ ởt ừ tr A
r ởt tỷ ừ R ởt tr y , . . . , y
ij

ij

1

n

n

1

1

1

n

j1

1

n

1

1

k

i

i

1

k

k

k

1

n

1

1

j+1

j

1

j

n

j

i

k

n

1

1

j1

j

i

k

j+1

n

k

1

k


❈❤÷ì♥❣ ✷✳

▼æ✤✉♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤

✷✵

✈➔ x , . . . , x ✭✈➔ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ ❤➺ ❦✐❛✮ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣
t❤ù ❜❛ tr➯♥ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺✿ ♥❤➙♥ ♠ët ❤➔♥❣ ❤♦➦❝ ♠ët ❝ët ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
✈î✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ❝õ❛ R✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙②✳
1

n

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✽✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❊✉❝❧✐❞✳ ●✐↔ sû A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺

t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝ì sð ✭❝â t❤ù tü✮ x1 , . . . , xn ❝õ❛ Rn ✈➔ ❤➺ s✐♥❤ y1 , . . . , yk ❝õ❛
ker(ϕ)✳ ❑❤✐ ✤â ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣ t❛ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥
❤➺ A ✈➲ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺ B ❝â ❞↕♥❣

B=

D 0
0 0

,

tr♦♥❣ ✤â D ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝➜♣ m ≤ n✱



a1 0 · · · 0
 0 a ··· 0
2

D =  ✳✳ ✳✳ ✳ ✳
✳
✳ ✳✳
 ✳ ✳
0 0 · · · am




,


✈î✐ a1 , a2 , . . . , am ∈ R \ {0} ✈➔ a1 | a2 | · · · | am ✳

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✽ t❛ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❜ê ✤➲ s❛✉ ✤➙②✳

❇ê ✤➲ ✷✳✾✳

✭❛✮ ◆➳✉ t❤❛② ✤ê✐ ✈à tr➼ xi , xj tr♦♥❣ ❝ì sð ❝õ❛ Rn ❝❤♦ ♥❤❛✉✱
❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉ ❦❤→❝ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥✱ t❤➻ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ♠❛
tr➟♥ A ✈î✐ ❝→❝ ❝ët t❤ù i ✈➔ t❤ù j ✤ê✐ ❝❤é ❝❤♦ ♥❤❛✉✳

✭❜✮ ❱î✐ ♠å✐ a ∈ R ✈✐➺❝ t❤❛② t❤➳ xj ❜ð✐ xj − axi t↕♦ r❛ ♠ët ❝ì sð ♠î✐ ✭❝â
t❤ù tü✮ x1 , . . . , xj−1 , xj − axi , xj+1 , . . . , xn ❝õ❛ Rn ✱ ✈➔ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥
❤➺ tr♦♥❣ ❝ì sð ♠î✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ A ✈î✐ ❝ët t❤ù i ✤÷ñ❝ t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ ❝ët
t❤ù i ❝ë♥❣ ✈î✐ a ❧➛♥ ❝ët t❤ù j ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✭❛✮ ❚❛ ❝â


❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ ❣✐↔ sû i ≤ j✳

 
y1
a11 x1 + . . . + a1i xi + . . . + a1j xj + . . . + a1n xn

 y2   a21 x1 + . . . + a2i xi + . . . + a2j xj + . . . + a2n xn
 

 ...  = 
...
yk
ak1 x1 + . . . + aki xi + . . . + akj xj + . . . + akn xn







ữỡ

ổ tr




a11 x1 + ã ã ã + a1j xj + ã ã ã + a1i xi + ã ã ã + a1n xn
a21 x1 + ã ã ã + a2j xj + ã ã ã + a2i xi + ã ã ã + a2n xn
.
=


...
ak1 x1 + ã ã ã + akj xj + ã ã ã + aki xi + ã ã ã + akn xn

tr q tữỡ ự ợ s ợ x , . . . , x , . . . , x , . . . , x ừ R
ự ợ s ừ ker ữủ ỳ
1



õ

a11 . . .
a21 . . .

...
ak1 . . .

a1j . . .
a2j . . .
...
akj . . .

a1i
a2i
...
aki

j

...
...
...

...

i

n

n


a1n
a2n
.
...
akn


y1
a11 x1 + ã ã ã + a1i xi + ã ã ã + a1j xj + ã ã ã + a1n xn
y2 a21 x1 + ã ã ã + a2i xi + ã ã ã + a2j xj + ã ã ã + a2n xn


... =
...
yk
ak1 x1 + ã ã ã + aki xi + ã ã ã + akj xj + ã ã ã + akn xn

tr ởt


a11 x1 + ã ã ã + (a1i + aa1j )xi + ã ã ã + a1j (xj axi ) + ã ã ã + a1n xn
a21 x1 + ã ã ã + (a2i + aa2j )xi + ã ã ã + a2j (xj axi ) + ã ã ã + a2n xn
.



...
ak1 x1 + ã ã ã + (aki + aakj )xi + ã ã ã + akj (xj axi ) + ã ã ã + akn xn


ự x , . . . , x , . . . , x , x ax , x , . . . , x ởt ỡ s
ừ R t x , . . . , x ởt ỡ s ừ R ợ ồ x R
tỗ t R s
1

n

i

1

j1

j

i

n

j+1
n

n

n

i

x = 1 x1 + ã ã ã + i xi + ã ã ã + j xj + ã ã ã + n xn
= 1 x1 + ã ã ã + (i + aj )xi + ã ã ã + j (xj axi ) + ã ã ã + n xn .

ự tọ r x , . . . , x , . . . , x ax , . . . , x ởt s ừ
R sỷ tỗ t tỷ R s
1

n

i

j

i

n

i

1 x1 +ã ã ã+i xi +ã ã ã+j1 xj1 +j (xj axi )+j+1 xj+1 +ã ã ã+n xn = 0.

õ t õ

1 x1 + ã ã ã + (i aj )xi + ã ã ã + j xj + ã ã ã + n xn = 0.


❈❤÷ì♥❣ ✷✳

▼æ✤✉♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤

✷✷

❱➻ x , . . . , x ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ R ♥➯♥ β = · · · = β − aβ = · · · = β =
· · · = β = 0✱ ❞♦ ✤â β = 0 ✈î✐ ♠å✐ 1 ≤ i ≤ n✳ ❱➟② ❤➺ x , . . . , x , . . . , x −
ax , . . . , x ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ R ✳
▼❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝ì sð ♠î✐ ♥➔② ✈➔ ù♥❣ ✈î✐ ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛
ker ϕ ✤÷ñ❝ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ ❧➔
1

n

n

n

i

1

i

j

i

1

j

i

j

n

n



a11 . . . a1i + aaj . . .
 a21 . . . a2i + aaj . . .

 ...
...
ak1 . . . aki + aaj . . .

❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

a1j
a2j
...
akj

...
...
...
...


a1n
a2n 
.
... 
akn

❇ê ✤➲ ✷✳✶✵✳

✭❛✮ ❑❤✐ ✤ê✐ ✈à tr➼ yi ✈➔ yj ❝❤♦ ♥❤❛✉✱ ❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉ ❦❤→❝ ❣✐ú
♥❣✉②➯♥✱ t❤➻ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜➡♥❣ ♠❛ tr➟♥ A ✈î✐ ❤❛✐ ❤➔♥❣
t❤ù i ✈➔ t❤ù j ✤ê✐ ❝❤é ❝❤♦ ♥❤❛✉✳

✭❜✮ ❱î✐ ♠å✐ a ∈ R✱ ❦❤✐ t❤❛② yi ❜ð✐ yj − ayi t❤➻ y1 , . . . , yi , . . . , yj −
ayi , . . . , yk ✈➝♥ ❧➔ ♠ët ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛ kerϕ ✈➔ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣
ù♥❣ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ A ✈î✐ ❤➔♥❣ t❤ù j ❝õ❛ ✤÷ñ❝ t❤❛② ❜➡♥❣ ❤➔♥❣ t❤ù j trø
✤✐ a ❧➛♥ ❤➔♥❣ t❤ù i✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❛✮ ❚❛ ❝â












y1
...
yi
...
yj
...
yk



y1
...
yj
...
yi
...
yk





 
 
 
 
 
=
 
 
 
 

a11 x1 + · · · + a1n xn
...
ai1 x1 + · · · + ain xn
...
aj1 x1 + · · · + ajn xn
...
ak1 x1 + · · · + akn xn



a11 x1 + · · · + a1n xn
...
aj1 x1 + · · · + ajn xn
...

ai1 x1 + · · · + ain xn
...
ak1 x1 + · · · + akn xn








.





✣ê✐ ✈à tr➼ y ✈➔ y ✈î✐ ♥❤❛✉ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
i

j
















 
 
 
 
 
=
 
 
 
 













❈❤÷ì♥❣ ✷✳

▼æ✤✉♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝❤➼♥❤

✷✸

❉♦ ✤â ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝ì sð x , . . . , x ❝õ❛ R ✈➔ ❤➺ s✐♥❤
♠î✐ y , . . . , y , . . . , y , . . . , y❧➔

1

1

j

i

k












a11

...
aj1
...
ai1
...
ak1

...
...
...
...
...
...
...

❜✮ ❳➨t ❤➺ s✐♥❤
♠î✐ y , . . . , y , . . . , y
 
1












y1
...
yi
...
yj − ayi
...
yk

 
 
 
 
 
=
 
 
 
 






=





i

a1n
...
ajn
...
ain
...
akn

j






.





− ayi , . . . , yk

i

j

i












t❛ ❝â

a11 x1 + · · · + a1n xn
...
ai1 x1 + · · · + ain xn
...
aj1 x1 + · · · + ajn xn − a(ai1 x1 + . . . + ain xn )
...
ak1 x1 + · · · + akn xn

a11 x1 + · · · + a1n xn

...


ai1 x1 + · · · + ain xn



...
.

(aj1 − aai1 )x1 + · · · + (ajn − aain )xn 


...
ak1 x1 + · · · + akn xn

▼❛ tr➟♥ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❝ì sð
y , . . . , y , . . . , y − ay , . . . , y ❧➔

1

n

n

x1 , . . . , xn

k

a11
...
ai1
...
aj1 − aai1
...
ak1

❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

...
a1n
...
...
...
ain
...
...
. . . ajn − aain
...
...
...
akn







.


















✈➔ ❤➺ s✐♥❤ ♠î✐