Phương trình và nội dung dạy học về phương trình trong chương trình toán 8

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ YẾN

PHƯƠNG TRÌNH VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 8

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ YẾN

PHƯƠNG TRÌNH VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 8

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2018


Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến ThS. Dương Thị Luyến - người trực tiếp tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình em làm bài khóa luận
của mình. Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
tổ Đại số và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành
tốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2018
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Yến


Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng
em dưới sự hướng dẫn của cô ThS. Dương Thị Luyến. Trong khi
nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Phương trình và nội dung
dạy học về phương trình trong chương trình toán 8” là kết quả
của việc nghiên cứu và nỗ lực học tập của bản thân, không trùng lặp với
kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2018
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Yến


Mục lục
Lời mở đầu
1 Phương trình
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn . . .
1.3 Phương trình tích . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu . . . .
1.5 Giải bài toán bằng cách lập phương

4

. . .
. . .
. . .
. . .
trình

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

6
6
10
11
11
12

2 Các dạng bài tập về phương trình trong chương trình
toán 8
16
2.1 Các dạng bài tập có cách giải tổng quát . . . . . . . . . 16
2.2 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm

35

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán lớp 8, phương trình được dạy học ở chương
3 gồm 16 tiết chiếm 11.5 phần trăm chương trình toán 8. Nhìn thấy tầm
quan trọng của vấn đề này cùng với mong muốn tìm hiểu sâu về lĩnh vực
này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán học và trong phạm vi của
một khóa luận tốt nghiệp, cùng sự giúp đỡ tận tình của cô giáo - ThS.
Dương Thị Luyến em đã thực hiện đề tài “Phương trình và nội dung
dạy học về phương trình trong chương trình toán 8”.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, đồng thời muốn
đi sâu tìm tòi nghiên cứu, phân tích nội dung chương trình dạy học về
phương trình ở lớp 8 để qua đó có sự lựa chọn phương pháp cách thức
dạy học phù hợp nội dung phương trình ở lớp 8.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu về nội dung phương trình trong chương trình toán 8.
4. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Phương trình.
Trong chương này khóa luận trình bày một số định nghĩa phương trình.
Nội dung phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình

chứa ẩn ở mẫu, giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8.
Chương 2: Các dạng bài tập phương trình toán 8.
Trong chương này đưa ra phân loại các dạng bài tập về phương trình có
4


cách giải tổng quát và một số bài toán hay về phương trình ở lớp 8.
Chương 3: Hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm.
Chương này đưa ra một hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm về phương
trình ở lớp 8 để đánh giá năng lực học sinh.

5


Chương 1
Phương trình
1.1

Định nghĩa

Phương trình là một trong 4 nội dung cơ bản của dạy học toán phổ
thông. Nó là một nội dung kiến thức quan trọng đối với chương trình
toán. Do đó việc dạy nội dung kiến thức về phương trình theo một cách
nào đó để đạt hiệu quả cao nhất của người học là vấn đề cần thiết của
người giáo viên. Để có phương thức dạy học về phương trình một cách
hiệu quả thì ta cần phân tích nội dung, chương trình sách giáo khoa để
có cái nhìn tổng quát và sâu hơn về nội dung bài học.
Định nghĩa 1.1 (Đại sơ cấp, Hoàng Kỳ, trang 92). Cho hai hàm số của
n biến phức x1 , x2 , . . . , xn là f (x1 , x2 , . . . , xn ) và g(x1 , x2 , . . . , xn ).
Ta gọi tập hợp n số phức x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Cn là một điểm trong

không gian phức n chiều Cn . Khi đó các hàm số và được xem là các hàm
một biến f (x), g(x) trong Cn . Giả sử f (x) có miền xác định là D1 ⊂ Cn ,
g(x) có miền xác định là D2 ⊂ Cn .
Ta định nghĩa phương trình f (x) = g(x) (1) là ký hiệu của hàm mệnh
đề “giá trị của hai hàm số f (x) và g(x) là bằng nhau”.
6


Ta gọi x là ẩn của phương trình (1). Nếu coi f và g là hàm của n
biến x1 , x2 , . . . , xn trong không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn
x1 , x2 , . . . , xn . Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số được
gọi là miền xác định của phương trình (1), đó là tập S = D1 ∩ D2 .
Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f (a) = g(a) là một đẳng thức đúng thì a
được gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thoả mãn phương
trình (1) hoặc phương trình (1) được thoả mãn với a.
Đối với một phương trình có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau
đây:
a) Phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này không có giá trị a
nào của S sao cho f (a) và g(a) bằng nhau, tức là f (a) = g(a) là một
mệnh đề sai với mọi a ∈ S. Nói khác đi tập nghiệm M của phương trình
(1) là tập rỗng : M = ∅.
b) Bất kỳ giá trị a nào của x (a ∈ S) cũng thoả mãn phương trình, tức
là M = S. Trong trường hợp này phương trình là hằng đẳng trên S.
c) Có ít nhất một giá trị nhưng không phải là mọi giá trị a ∈ S thoả
mãn phương trình.
Trong hai trường hợp b và c ta nói rằng phương trình có nghiệm.
Giải một phương trình là tìm một tập hợp nghiệm M của nó. Nếu M
được biểu thị bởi một hay nhiều công thức thì chúng được gọi là công
thức nghiệm tổng quát của phương trình. M có thể là một tập hữu hạn
hay vô hạn

Đây là định nghĩa tổng quát chính xác và đầy đủ về phương trình tuy
nhiên với nội dung chương trình lớp 8 học sinh chưa được tìm hiểu về
ánh xạ, hàm mệnh đề, không gian phức thì định nghĩa này là không phù

7


hợp, quá khó và ngoài khả năng để các em học sinh lớp 8 có thể tiếp
thu. Chương trình đại số lớp 8 chỉ dừng ở việc nghiên cứu về phương
trình bậc nhất một ẩn nên việc xét tập xác định là chưa cần thiết phải
đặt ra (đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu cũng chỉ cần đặt điều kiện
ở ẩn để mẫu khác không). Vì vậy Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, Phan
Đức Chính tổng chủ biên, trang 5 có trình bày:
Định nghĩa 1.2. Một phương trình ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong
đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
Theo định nghĩa này khái niệm phương trình rất hẹp, chỉ nói về các
phương trình như x − 2 = 2(x − 4),...Còn với dạng phương trình như:
x = 2 đối với định nghĩa này sẽ không thoả mãn.
Chính vì vậy sách giáo khoa toán 8, Phan Đức Chính tổng chủ biên đã
nêu chú ý
“Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình.
Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó”.
Tuy nhiên yêu cầu về nội dung phần này chỉ là học sinh hiểu được khái
niệm phương trình và các thuật ngữ vế trái, vế phải bước đầu làm quen
với nó. Vì thế tổng thể định nghĩa phương trình một ẩn trên là rõ ràng
dễ hiểu phù hợp với nội dung chương trình lớp 8 yêu cầu.
Trên thực tế học sinh lớp 8 đã được tiếp xúc rất nhiều với phương trình
từ bậc tiểu học thông qua các dạng toán như điền số vào chỗ trống hay
tìm x là các dạng bài toán thường gặp ở bậc tiểu học. Ví dụ như: tìm x:
x + 5 = 10. Như vậy học sinh đã được làm quen về phương trình ngay

từ bậc tiểu học tuy nhiên đến chương trình lớp 8 mới đưa định nghĩa
phương trình để dạy cho học sinh.
8


Đến chương trình lớp 10 các em học sinh lại được học một định nghĩa
về phương trình hoàn thiện hơn so với định nghĩa các em được học ở
chương trình lớp 8.
Sách giáo khoa Đại số 10 - Nâng cao, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên trang
66 trình bày như sau:
Định nghĩa 1.3. Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định
lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df ∩ Dg . Mệnh đề chứa biến f (x) = g(x)
được gọi là phương trình một ẩn; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D
gọi là tập xác định của phương trình. Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của
phương trình f (x) = g(x) nếu f (x0 ) = g(x0 ) là mệnh đề đúng.
Đến chương trình lớp 10 học sinh đã được học về mệnh đề, mệnh đề
chứa biến vì vậy các em học sinh được học về khái niệm phương trình
theo hàm mệnh đề. Định nghĩa phương trình như trên áp dụng vào mọi
trường hợp cụ thể. Cả phương trình mà ta phải tìm nghiệm lẫn phương
trình biểu thị những đại lượng vật lý như: s = vt,... cũng như phương
trình biểu diễn đường: y = 3x2 đều có thể hiểu theo nghĩa đó.
Trong nội dung dạy học định nghĩa cần lưu ý đến chú ý về số nghiệm của
một phương trình như sau: “Một phương trình có thể có một nghiệm,
hai nghiệm, ba nghiệm,...nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc
có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương
trình vô nghiệm.”
Tập nghiệm của phương trình được định nghĩa như sau: “Tập hợp tất cả
các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương
trình đó và thường được ký hiệu bởi S”. Thông qua đó đưa đến học sinh
hiểu thế nào là giải phương trình: “Giải phương trình là tìm tất cả các

9


nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó”.
Thông qua tập nghiệm của một phương trình hai phương trình tương
đương được định nghĩa như sau: “Hai phương trình có cùng tập nghiệm
là hai phương trình tương đương”.

1.2

Phương trình bậc nhất một ẩn

Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.7] trình bày:
Định nghĩa 1.4. Phương trình dạng ax + b = 0 với a và b là hai số đã
cho và a = 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Như vậy chương trình lớp 8 đã giới thiệu đến học sinh một cách rõ
ràng chính thức định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn mặc dù ở lớp
dưới các em đã được làm quen khá nhiều về phương trình này nhưng
chưa được giới thiệu một cách chính thống. Định nghĩa này giúp các em
phân biệt rõ phương trình bậc nhất một ẩn với phương trình có dạng
ax + b = 0. Tuy nhiên điều quan trọng trong mục tiêu chương trình yêu
cầu chính là học sinh nắm được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân và vận
dụng thành thạo chúng để giải các phương trình bậc nhất. Để làm được
điều này sách giáo khoa toán 8, đã trình bày 2 quy tắc biến đổi phương
trình như sau:
“Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó”; “Trong một phương trình ta có thể nhân
cả hai vế với cùng một số khác không”; “Trong một phương trình ta có
thể chia cả hai vế cho cùng một số khác không”
Từ 2 quy tắc trên học sinh áp dụng để chuyển phương trình ban đầu về

10


phương trình mới tương đương với phương trình đã cho để giải phương
trình.

1.3

Phương trình tích

Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.15] trình bày:
“Ví dụ 1: Giải phương trình (2x − 3)(x + 1) = 0
Phương trình như trong ví dụ 1 được gọi là phương trình tích”.
Như vậy phương trình tích không được định nghĩa cụ thể mà chỉ được
đưa ra thông qua ví dụ cụ thể. Trong phần này mục tiêu dạy học trọng
tâm vẫn là học sinh nắm được phương pháp giải một phương trình tích
như thế nào. Để giải phương trình tích yêu cầu học sinh phải biết được
mệnh đề “Trong một tích nếu có một thừa số bằng không thì tích đó
bằng không và ngược lại nếu tích bằng không thì ít nhất một trong các
thừa số của tích bằng không”.
Tính chất này được sử dụng từ tính chất của một miền nguyên: a.b = 0
suy ra a = 0 hoặc b = 0. Các vành số Z, Q, R, C đều là miền nguyên.

1.4

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là dạng phương trình mà ở mẫu thức có
chứa ẩn. Đây là dạng phương trình yêu cầu học sinh phải tìm điều kiện
xác định của phương trình ở bước đầu tiên khi giải phương trình để loại

đi các nghiệm mà tại đó ít nhất một mẫu thức trong phương trình nhận
giá trị bằng 0.
Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.19-20] trình bày:
11


“Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, các giá trị của ẩn mà tại đó ít nhất
một mẫu thức trong phương trình nhận giá trị bằng 0 chắc chắn không
thể là nghiệm của phương trình. Để ghi nhớ điều đó người ta thường đặt
điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 và gọi
đó là điều kiện xác định của phương trình”. Đây cũng chính là cách tìm
điều kiện xác định của phương trình. Như vậy mục tiêu học sinh nắm
vững khái niệm điều kiện xác định của một phương trình, cách tìm điều
kiện xác định của phương trình đã được cụ thể hoá.
Mục tiêu nội dung chương trình toán 8 phần phương trình chứa ẩn ở
mẫu còn có một mục tiêu trọng tâm đó là học sinh nắm được cách giải
các phương trình chứa ẩn ở mẫu, cách trình bày bài hợp lí, đặc biệt là
bước tìm điều kiện xác định của phương trình và bước đối chiếu với điều
kiện xác định của phương trình để nhận nghiệm. Vì vậy Sách giáo khoa
đại số 8 tập 2,[[2], tr.21] trình bày:
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận)Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá
trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình
đã cho.

1.5

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.25] có trình bày các bước giải bài
toán bằng cách lập phương trình như sau:
12


“Bước 1:Lập phương trình
• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình nghiệm
nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn rồi kết luận”.
Như vậy mục tiêu của phần này chính là học sinh nắm được các bước
giải bài toán bằng cách lập phương trình. Chương trình lớp 8 chú trọng
cho học sinh cách giải các bài toán bằng cách lập phương trình thông
qua đó để các em áp dụng vào các bài toàn thực tế.
Đặc trưng của loại toán này có đề bài bằng lời văn và thường được xen
trộn nhiều dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học,
ngôn ngữ vật lý,...). Hầu hết các bài toán có dữ liệu ràng buộc nhau ẩn
ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được
sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập phương trình mà thực
chất vấn đề ở đây là giải phương trình. Một đặc thù riêng của loại toán
này là các bài toán đều được gắn với nội dung thực tế. Chính vì vậy việc
chọn ẩn thường là những số liệu liên quan thực tế. Do đó khi giải toán
học sinh thường mắc sai lầm thoát ly thực tế dẫn đến quên điều kiện,
điều kiện sai, thiếu; học sinh không khai thác hết được những mối liên
hệ ràng buộc của thực tế. Vì vậy học sinh rất sợ và ngại làm loại toán
này. Chính vì vậy muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình thì

quan trọng là phải biết cách diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài
13


thành những mối quan hệ toán học.
Như vậy, nội dung dạy học về phương trình trong chương trình toán 8
đã trình bày các nội dung sau đây để giảng dạy cho học sinh:
+ Định nghĩa phương trình một ẩn, tập nghiệm của một phương trình,
thế nào là giải phương trình, hai phương trình tương đương.
+ Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn, hai quy tắc biến đổi phương
trình, cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, cách giải phương trình
đưa được về dạng ax + b = 0.
+ Phương trình tích và cách giải.
+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện xác định của một phương
trình, cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
+ Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Các nội dung về phương trình được đưa vào giảng dạy một cách mạch
lạc, logic, dễ hiểu:
+ Mở đầu học sinh được giới thiệu về định nghĩa phương trình một ẩn
và các vấn đề liên quan như giải phương trình và phương trình tương
đương để từ đó có cái nhìn tổng quát về phương trình. Sau đó học sinh
được học cụ thể các dạng phương trình là phương trình bậc nhất một
ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa
ẩn ở mẫu và cuối cùng học sinh được học về ứng dụng thực tiễn của
phương trình thông qua nội dung giải bài toàn bằng cách lập phương
trình.
+ Dẫn dắt học sinh từ tập nghiệm của phương trình sang thế nào là giải
phương trình, thế nào là hai phương trình tương đương.
+ Dẫn dắt học sinh từ hai quy tắc biến đổi phương trình đến ứng dụng

14


của nó để đưa một phương trình về phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Dẫn dắt học sinh từ tính chất của 1 miền nguyên: a.b = 0 suy ra a = 0
hoặc b = 0 sang cách giải phương trình tích.
+ Dẫn dắt học sinh từ điều kiện xác định của phương trình sang việc
loại nghiệm trong giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

15


Chương 2
Các dạng bài tập về phương trình
trong chương trình toán 8
2.1

Các dạng bài tập có cách giải tổng quát

Dạng 1. Chứng minh một số là nghiệm của phương trình
Phương pháp giải. Dùng mệnh đề sau:
• x0 là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) ⇔ A(x0 ) = B(x0 ).
• x0 là không nghiệm của phương trình A(x) = B(x) ⇔ A(x0 ) =
B(x0 ).
Ví dụ 2.1.1. Xét xem x0 = −2 có là nghiệm của phương trình sau
không?
3.(2 − x) + 2 = 4 − 5x.
Giải: Thay x0 = −2 vào phương trình 3.(2 − x) + 2 = 4 − 5x ta có:
3.(2 − (−2)) + 2 = 4 − 5.(−2)
⇔ 3.4 + 2 = 4 + 10 ⇔ 14 = 14.

16


Vậy x0 = −2 là nghiệm của phương trình trên.
Các bài tập tương tự.
Bài 1. Xét xem x0 có là nghiệm của các phương trình sau hay không?
a) 3x − 5 = 5x − 1 với x0 = 2.
b) 5x − 3 = 4x với x0 = 3.
5
c) 5x − 2 = 3x + 3 với x0 = .
2
Dạng 2. Số nghiệm của một phương trình
Phương pháp giải. Dùng mệnh đề sau:
• Phương trình A(x) = B(x) vô nghiệm khi và chỉ khi A(x) =
B(x) ∀x.
• Phương trình A(x) = B(x) có vô số nghiệm khi và chỉ khi A(x) =
B(x) ∀x.
Ví dụ 2.1.2. Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm:
|x − 2| = −1.
Giải: Ta thấy vế trái là −1 < 0, vế phải là |x − 2| > 0 ∀x.
Suy ra |x − 2| = −1 ∀x.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Các bài tập tương tự.
Bài 1. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm:
a) 2x + 5 = 4(x − 5) − 2(x − 3).
17


b) 3x − 3 = 3(x − 3).
c) x2 − 4x + 6 = 0.

Bài 2. Chứng tỏ các phương trình sau có vô số nghiệm:
a) 4(x − 2) − 2x = 2x − 8.
b) 2(x − 3) = 2x − 6.
c) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4.
d) 4(x − 3) + 20 = 4(2 + 4x).
Dạng 3. Chứng minh hai phương trình tương đương
Phương pháp giải:
i) Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.
ii) Sử dụng các phép biến đổi tương đương biến đổi phương trình này
thành phương trình kia.
Ví dụ 2.1.3. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
3x − 3 = 0 và x − 1 = 0.
Giải: Ta có: 3x − 3 = 0 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1.
Tập nghiệm của phương trình là S = {1}.
Phương trình x − 1 = 0 ⇔ x = 1.
Tập nghiệm của phương trình là S = {1}.
Vậy hai phương trình 3x − 3 = 0 và x − 1 = 0 là hai phương trình tương
đương.
Các bài tập tương tự.
Bài 1. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
18


a) x − 2 = 0 và (x − 2)(x + 1) = 0.
b) x + 2 = 0 và 3x + 6 = 0.
c) x + 1 = x và x2 + 1 = 0.
d) x + 2 = 0 và x.(x + 2) = 0.
Dạng 4. Giải phương trình bậc nhất và phương trình đưa được
về phương trình bậc nhất.
Phương pháp giải. Để đưa 1 phương trình về 1 phương trình bậc nhất

ta cần sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình để chuyển các hạng tử
chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
Ví dụ 2.1.4. Giải phương trình
2x − (5 − 4x) = 3(x + 2).
Giải: Ta có
2x − (5 − 4x) = 3(x + 2)
⇔ 2x − 5 + 4x = 3x + 6
⇔ 6x − 5 = 3x + 6
⇔ 3x = 11 ⇔ x =

Vậy phương trình có tập nghiệm S =
Các bài tập tương tự
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2(x + 2) = 2(x − 4) + 10.
19

11
.
3

11
.
3


b)

5x − 2
1 − 5x
+x=2+

.
3
2

c) 2 x −

1
2

1
+4 1− x
2

= 1.

d) (3x − 1)(x + 3) = (2 − x)(5 − 3x).
x 5x 15x x
−
−
= − 5.
3
6
12
4
2x − 1 x − 2 x + 7
−
=
.
g)
5

3
15
e)

Dạng 5. Dạng phương trình tích đơn giản
Ví dụ 2.1.5. Giải phương trình
(x + 1)(x + 4) = (2 − x)(2 + x).
Giải: Ta có
(x + 1)(x + 4) = (2 − x)(2 + x)
⇔ (x + 1)(x + 4) − (2 − x)(2 + x) = 0
⇔ x2 + 4x + x + 4 − 22 + x2 = 0
⇔ 2x2 + 5x = 0
⇔ x(2x + 5) = 0


x=0
x=0


⇔
⇔
5 .
x=−
2x + 5 = 0
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
Các bài tập tương tự.
Bài 1. Giải phương trình:
20

0; −

5
.
2


a)

3
1
x − 1 = x(3x − 7).
7
7

b) x2 − 2x + 1 − 4 = 0.
c) (x − 1)2 + 2(x − 1)(x + 2) + (x + 2)2 = 0.
d)

√

√
√
3 − x 5 . 2x 2 + 1 = 0.

Dạng 6. Phương trình đưa về dạng phương trình tích
Ví dụ 2.1.6. Giải phương trình
x3 + 3x2 + 2x = 0.
Giải: Ta có:
x3 + 3x2 + 2x = 0

⇔ x x2 + 3x + 2 = 0
⇔ x x2 + x + 2x + 2 = 0
⇔ x [x(x + 1) + 2(x + 1)] = 0
⇔ x(x + 1)(x + 2) = 0


x=0
x=0




⇔  x + 1 = 0 ⇔  x = −1 .


x = −2
x+2=0
Vậy nghiệm của phương trình là S = {0; −1; −2}.

Ví dụ 2.1.7. Giải phương trình
x4 − 13x2 + 36 = 0.
21

(1)


Giải: Đặt x2 = t, t ≥ 0.
Phương trình (1) trở thành
t2 − 13t + 36 = 0
⇔ t2 − 4t − 9t + 36 = 0

⇔ (t2 − 4t) − (9t − 36) = 0
⇔ t(t − 4) − t(t − 4) = 0
⇔ (t − 4)(t − 9) = 0

t = 4 (thỏa mãn)
.
⇔ 
t = 9 (thỏa mãn)
Với t = 4 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2.
Với t = 9 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ±3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−3; −2; 2; 3}.
Các bài tập tương tự
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) x3 − 19x − 30 = 0.
b) 3x2 + 5x − 2 = 0.
c) 4x3 + 14x2 + 6x = 0.
d) x2 + 5x + 4 = 0.
e) x2 + x − 6 = 0.
Bài 2. Giải phương trình:
a) 2x4 + 5x2 + 2 = 0.
22


b) 9x4 + 6x2 + 1 = 0.
c) 2x4 + 7x2 − 4 = 0.
d) 2x4 − 20x2 + 18 = 0.
Dạng 7. Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ 2.1.8. Giải phương trình
2x + 3
x+2

=
.
x
2(x − 2)
Giải: Điều kiện xác định: x = 0 và x = 2.
x+2
2x + 3
=
x
2(x − 2)
2(x − 2)(x + 2) x(2x + 3)
=
⇔
2x(x − 2)
2x(x − 2)
⇒ 2(x − 2)(x + 2) = x(2x + 3)
⇔ 2(x2 − 4) = 2x2 + 3x
⇔ 2x2 − 8 = 2x2 + 3x
⇔ 3x = −8
8
⇔x=− .
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

−

8
.
3

Ví dụ 2.1.9. Giải phương trình
x+2 1
2
− =
.
x − 2 x x(x − 2)
23

(2)