Dạy học toán trung học phổ thông theo hướng khai thác vẻ đẹp toán học góp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh

B GIO DC V O TO
VIN KHOA HC GIO DC VIT NAM

NGUYN VN TH

DạY HọC TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG
THEO HƯớNG KHAI THáC Vẻ ĐẹP TOáN HọC GóP PHầN
TíCH CựC HóA HOạT ĐộNG HọC TậP CủA HọC SINH

LUN N TIN S KHOA HC GIO DC

H NI, 2019


B GIO DC V O TO
VIN KHOA HC GIO DC VIT NAM

NGUYN VN TH

DạY HọC TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG
THEO HƯớNG KHAI THáC Vẻ ĐẹP TOáN HọC GóP PHầN
TíCH CựC HóA HOạT ĐộNG HọC TậP CủA HọC SINH
Chuyờn ngnh: Lớ lun v Phng phỏp dy hc b mụn Toỏn
Mó s: 9.14.01.11

LUN N TIN S KHOA HC GIO DC

Ngi hng dn khoa hc:
1. TS. NG TH THU THY
2. PGS. TS. NGUYN THNH QUANG

H NI, 2019


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận án là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện dƣới
sự hƣớng dẫn của TS. Đặng Thị Thu Thủy và PGS. TS Nguyễn Thành Quang.
Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, có nguồn trích dẫn. Các kết
quả công bố chung đều đƣợc đồng nghiệp cho phép sử dụng đƣa vào luận án.
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Thà


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận án đƣợc thực hiện và hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của
TS. Đặng Thị Thu Thủy và PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, tại Viện Khoa
học Giáo dục Việt Nam.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đặng Thị Thu Thủy đã
đặt ra đề tài nghiên cứu và hƣớng dẫn tác giả hoàn thành bản luận án này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS Nguyễn Thành Quang đã tận
tình giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và viết luận án.
Tác giả trân trọng cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo thuộc Trung tâm Đào
tạo và Bồi dƣỡng - Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh và thực hiện
luận án.
Xin gửi tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp lời cảm ơn sâu sắc về những

quan tâm, chia sẻ, động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thực
hiện luận án.
Hà Nội, ngày … tháng …năm 2019
Tác giả luận án

Nguyễn Văn Thà


iii

MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan .................................................................................................. i
Lời cảm ơn .................................................................................................... ii
Mục lục ........................................................................................................ iii
Quy ƣớc về các chữ viết tắt sử dụng trong luận án ....................................... vi
Danh mục bảng ........................................................................................... vii
Danh mục biểu đồ ....................................................................................... vii
Danh mục hình ........................................................................................... viii
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ............................................................................. 1
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ...................................................................... 5
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU ......................................................................... 6
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC ..................................................................... 6
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ...................................................................... 6
6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................................................. 6
7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN .......................................................... 7
8. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ .............................................. 8
9. CẤU TRÚC LUẬN ÁN ............................................................................ 8
Chương 1. CƠ SỞ L LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 9

1.1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ............ 9
1.1.1. Tổng quan một số nghiên cứu ngoài nƣớc ....................................... 9
1.1.2. Tổng quan một số nghiên cứu trong nƣớc ...................................... 15
1.2. QUAN NIỆM VỀ VẺ ĐẸP TOÁN HỌC ............................................. 17
1.2.1. Vẻ đẹp toán học ............................................................................. 17
1.2.2. Những thành tố của vẻ đẹp toán học .............................................. 23
1.2.3. Những đặc điểm của vẻ đẹp toán học ............................................. 25


iv

1.2.4. Vẻ đẹp toán học đƣợc thể hiện trong chƣơng trình toán trung học
phổ thông ................................................................................................ 34
1.3. QUAN NIỆM VỀ DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT THEO
HƢỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC ............................................ 45
1.3.1. Thế nào là dạy học toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp?.......................... 46
1.3.2. Những cơ hội và định hƣớng dạy học toán hƣớng khai thác vẻ đẹp ..... 49
1.4. TÌNH HÌNH DẠY HỌC TOÁN THEO HƢỚNG KHAI THÁC VẺ
ĐẸP TOÁN HỌC Ở TRƢỜNG THPT ........................................................ 53
1.4.1. Tình hình dạy và học Toán THPT nói chung từ các nghiên cứu có
liên quan .................................................................................................. 53
1.4.2. Tìm hiểu tình hình dạy và học môn Toán ở trƣờng THPT hiện nay ..... 55
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ........................................................................... 64
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC
NHẰM TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH ..... 65
2.1. ĐỊNH HƢỚNG XÂY DỰNG CÁC BIỆN PHÁP ................................ 65
2.1.1. Định hƣớng 1. Phù hợp với đặc điểm, nguyên tắc dạy học môn Toán ..... 65
2.1.2. Định hƣớng 2. Phù hợp với định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy
học môn Toán, đặc biệt là yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập ............... 66

2.1.3. Định hƣớng 3. Phù hợp với tâm sinh lí của lứa tuổi học sinh trung
học phổ thông ........................................................................................... 66
2.1.4. Định hƣớng 4. Đảm bảo tính khả thi trong điều kiện thực tế dạy
học toán hiện nay ở các trƣờng trung học phổ thông ................................ 67
2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP TRONG DẠY HỌC TOÁN THEO HƢỚNG KHAI
THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ............ 67
2.2.1. Biện pháp 1. Chú trọng khai thác nhiều cách giải hay và sáng tạo
cho mỗi bài toán, tổng hợp và phát triển thành các chùm bài tập ............. 67
2.2.2. Biện pháp 2. Tăng cƣờng khai thác tính thực tiễn của toán học thông
qua các mô hình hóa toán học những bài toán có nội dung thực tế ................ 97


v

2.2.3. Biện pháp 3. Tăng cƣờng cho học sinh tìm hiểu lịch sử của kiến
thức toán học trong SGK ....................................................................... 108
2.3. MỘT SỐ GỢI Ý SƢ PHẠM GIÚP GV SỬ DỤNG HỆ THỐNG
BIỆN PHÁP .............................................................................................. 125
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ......................................................................... 126
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 127
3.1. MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, NHIỆM VỤ, NGUYÊN TẮC VÀ NỘI
DUNG THỰC NGHIỆM .......................................................................... 127
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................. 127
3.1.2. Yêu cầu thực nghiệm ................................................................... 127
3.1.3. Nhiệm vụ thực nghiệm ................................................................ 127
3.1.4. Nguyên tắc tổ chức thực nghiệm .................................................. 128
3.1.5. Nội dung thực nghiệm ................................................................. 128
3.2. THỜI GIAN, ĐỐI TƢỢNG, QUY TRÌNH, PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH
GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .......................................... 129
3.2.1. Thời gian, đối tƣợng TNSP .......................................................... 129

3.2.2. Quy trình, cách thức triển khai nội dung thực nghiệm ................. 130
3.2.3. Phƣơng pháp ĐG kết quả thực nghiệm ........................................ 133
3.3. TIẾN TRÌNH THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ....................................... 136
3.3.1. Thực nghiệm sƣ phạm lần 1 ......................................................... 136
3.3.2. Thực nghiệm sƣ phạm lần 2 ......................................................... 139
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ........................................................................ 155
KẾT LUẬN .............................................................................................. 156
MỘT SỐ CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU SINH
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ĐƢỢC CÔNG BỐ .............................. 157
CÁC HỘI NGHỊ, HỘI THẢO KHOA HỌC TÁC GIẢ ĐÃ THAM
GIA BÁO CÁO HOẶC ĐỒNG BÁO CÁO ........................................... 158
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 159
PHỤ LỤC


vi

QUY ƢỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN
Viết tắt

Viết đầy đủ

BPSP

: Biện pháp sƣ phạm

DH

: Dạy học

ĐG

: Đánh giá

ĐC

: Đối chứng

GD

: Giáo dục

GD & ĐT

: Giáo dục và đào tạo

GDPT

: Giáo dục phổ thông

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

KN

: Kỹ năng

KT

: Kiến thức

NL

: Năng lực

PPDH

: Phƣơng pháp dạy học

SGK

: Sách giáo khoa

TTC

: Tính tích cực

TCH

: Tích cực hóa

THPT

: Trung học phổ thông

TN

: Thực nghiệm

TNSP

: Thực nghiệm sƣ phạm


vii

DANH MỤC BẢNG
Trang
Bảng 3.1. Thống kê các điểm số (Xi) bài kiểm tra đầu vào .....................................143
Bảng 3.2. Thống kê điểm số (Xi) bài kiểm tra (lần 2) .............................................148

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Phân bố điểm kiểm tra đầu vào của hai nhóm ĐC và TN lần 2 .........143
Biểu đồ 3.2. Lũy tích điểm kiểm tra đầu vào của hai nhóm ĐC và TN lần 2 .........144
Biểu đồ 3.3. Phân bố điểm bài kiểm tra số 1 của hai nhóm ĐC và TN lần 2 .........149
Biểu đồ 3.4. Lũy tích điểm kiểm tra số 1 của hai nhóm ĐC và TN lần 2 ...............149


viii

DANH MỤC HÌNH
Trang
Hình 1.1. Sự đối xứng của hoa và lá ............................................................................27
Hình 1.2. Bông tuyết Von Koch.................................................................................28
Hình 1.3. Quy luật sắp xếp thú vị của các con số ......................................................35

Hình 1.4. Năm khối đa diện trong không gian...........................................................35
Hình 1.5. Chứng minh không lời của Bất đẳng thức Cô-si .........................................38
Hình 1.6. Chứng minh không lời của một tổng vô hạn .............................................38
Hình 1.7. Chứng minh không lời của công thức lƣợng giác lớp 10 ..........................39
Hình 1.8. Chứng minh không lời của khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng ..39
Hình 1.9. Mối liên hệ giữa vectơ với thực tiễn ...........................................................42
Hình 1.10. Minh họa đề bài ví dụ 28 .........................................................................47
Hình 1.11. Chứng minh không lời công thức lƣợng giác ví dụ 28............................48
Hình 2.1. Tính tổng bằng phƣơng pháp vẽ hình ........................................................75
Hình 2.2. Minh họa lời giải ví dụ 35 ..........................................................................78
Hình 2.3. Chứng minh không lời Định lí côsin .........................................................83
Hình 2.4. Minh họa chứng minh tổng bằng vẽ hình ..................................................94
Hình 2.5. Minh họa khái niệm tích vô hƣớng ..........................................................101
Hình 2.6. Mô hình quả địa cầu và bóng rổ...............................................................102
Hình 2.7. Minh họa sự phân chia ký sinh trùng Amip..............................................103
Hình 2.8. Bồn nƣớc hình trụ minh họa ....................................................................105
Hình 2.9. Minh họa đề bài và lời giải ......................................................................107
Hình 2.10. Minh họa mối liên hệ giữa lƣợng giác và thực tế ..................................112
Hình 2.11. Vòng quay mặt trời Sun Wheel thuộc Thành Phố Đà Nẵng .................113
Hình 2.12. Năm khối đa diện đều ............................................................................115
Hình 2.13. Minh họa trò chơi “Ai nhanh mắt hơn” .................................................124


1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục sửa đổi, bổ sung năm 2010 xác định: “Mục tiêu giáo dục phổ
thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và
các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con ngƣời Việt Nam xã hội chủ

nghĩa, xây dựng tƣ cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Căn cứ vào bối cảnh tình hình trong và ngoài nƣớc cũng nhƣ yêu cầu phát
triển GD & ĐT, Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng
Cộng sản Việt Nam khóa XI khẳng định: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp
dạy và học theo hƣớng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận
dụng kiến thức, kỹ năng (KN) của ngƣời học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một
chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học,
tạo cơ sở để ngƣời học tự cập nhật và đổi mới tri thức, KN, phát triển năng lực.
Chuyển từ cách học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý
các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công
nghệ thông tin và truyền thông trong dạy học” [5].
Trên cơ sở đó, mục tiêu đổi mới của giáo dục phổ thông (GDPT) đƣợc Nghị
quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội quy định: “Đổi mới chƣơng trình, sách giáo
khoa (SGK) giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất
lƣợng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy ngƣời và định hƣớng
nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền
giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ
và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”.
Cuộc cách mạng 4.0 sẽ tạo ra những biến chuyển rộng lớn trong đời sống,
kinh tế - xã hội và đặt ra nhiều thách thức mới đối với ngành GD & ĐT. Hiện nay,
không chỉ ở Việt Nam mà nhiều nƣớc đang phát triển trong khu vực và thế giới đều
đang phải đối mặt với sự thiếu hụt lao động có trình độ cao và KN chuyên nghiệp. Để
tạo ra nguồn nhân lực chất lƣợng cao đáp ứng đƣợc yêu cầu phát triển đất nƣớc trong
bối cảnh mới, chúng ta cần chuyển đổi cách thức GD. Đối với quá trình DH, cần


2

chuyển từ truyền thụ KT sang hình thành phẩm chất và phát triển NL cho ngƣời học

với quan niệm thực học, thực nghiệp; chuyển từ quan niệm cứ có KT là có NL sang
quan niệm KT chỉ là một yếu tố quan trọng của NL. Còn với việc học, cần chuyển từ
học thuộc, nhớ nhiều sang hình thành NL vận dụng, thích nghi, giải quyết vấn đề, tƣ
duy độc lập. Không chỉ học trong sách vở, mà còn phải học qua nhiều hình thức
khác. Đặc biệt, với HS và sinh viên là ngƣời lao động chính trong tƣơng lai cần thay
đổi suy nghĩ học một lần cho cả đời bằng việc học cả đời để làm việc cả đời (xem
[8]).
Nền GDPT của mọi quốc gia trên thế giới đều coi toán học là một môn học
bắt buộc, có tầm quan trọng bậc nhất. Toán học đƣợc xem là một yếu tố không thể
thiếu trong học vấn phổ thông của mỗi công dân. Theo [8], “Giáo dục toán học
hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và
năng lực toán học với các thành tố cốt lõi là: năng lực tư duy và lập luận toán học,
năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao
tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển
kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng
toán học vào đời sống thực tiễn. Giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý
tưởng toán học, giữa Toán học với các môn học khác và giữa Toán học với đời
sống thực tiễn”. Do đó, GD toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong
nhà trƣờng.
Ở nƣớc ta, việc đầu tƣ của xã hội cho bộ môn Toán trong các nhà trƣờng
ngày càng đƣợc chú trọng và quan tâm hơn, với lý do chủ yếu là giáo dục toán học
sẽ giúp HS phát triển tƣ duy toàn diện, giúp các em trở nên thông minh, tự tin và
năng động, từ đó biết cách giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Học toán là một
trong những cách tốt nhất để phát triển tƣ duy, mở mang tri thức cho con ngƣời lao
động sáng tạo. Sự quan tâm và hỗ trợ của Đảng và Nhà nƣớc đối với khoa học cơ
bản trong đó có toán học đã thực sự có tác dụng tích cực trong việc bồi dƣỡng đội
ngũ giảng viên, GV trong nghiên cứu, giảng dạy và ứng dụng toán học.
Trả lời phỏng vấn báo Le Figaro ngày 07/12/2004, Lafforgue cho rằng:
“Trình độ toán học của học sinh Pháp đang giảm đi một cách đáng lo ngại trong

3

những năm gần đây. Lý do vì chính sách “giảm tải” môn Toán trong chƣơng trình:
Ngƣời ta để học sinh biết các định lí mà không hiểu các chứng minh của chúng, các
định nghĩa, khái niệm trình bày thiếu chính xác hơn trƣớc và kết quả là học sinh học
thuộc công thức, định lí mà không nắm vững đƣợc lôgic nội tại, điều quan trọng
hàng đầu trong việc học toán” (xem [60, tr. 214]).
Theo Nguyễn Bá Kim [58]: “Thuật ngữ dạy học đƣợc hiểu theo nghĩa rộng:
nó không chỉ có nghĩa là dạy cho HS chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo,
phát triển năng lực mà còn bao hàm cả việc hình thành thế giới quan, nhân sinh
quan, phẩm chất đạo đức, khả năng thẩm mỹ,…”. Cũng theo ông: “Toán học góp
phần phát triển năng lực sáng tạo và tƣ duy hình tƣợng, cho nên môn Toán có tác
dụng giáo dục thẩm mỹ”. Vì vậy, GD thẩm mỹ nói chung và GD thẩm mỹ toán học
nói riêng là một phần quan trọng của GD toán học. Chúng đƣợc thâm nhập vào
giảng dạy toán học theo nhiều cách khác nhau. Không chỉ giúp HS thiết lập một
quan điểm đúng đắn về học tập và cuộc sống mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn
diện và cải thiện suy nghĩ, niềm đam mê của HS về toán học.
Nguyễn Thị Mỹ Lộc [62] cho rằng: Lớp học không chỉ là một không gian vật
chất mà còn là một không gian tâm lý mang nặng dấu ấn của ngƣời dạy và ngƣời
học. Cảm xúc khu trú tại vùng limbic tác động đến hành vi của ngƣời học và của
ngƣời dạy trong DH. Hệ limbic có nhiệm vụ phân tích đối tƣợng kiến thức thu nhận
đƣợc và ĐG ích lợi của chúng. Nếu thấy cần thiết, vùng limbic khơi dậy hứng thú
tiếp thu, ngƣợc lại nó sẽ thờ ơ, hoặc từ bỏ. Ví dụ, thầy luôn làm cho HS thấy rõ sự
cần thiết và vẻ đẹp của toán học trong cuộc sống hàng ngày thì HS sẽ biểu lộ hứng
thú của mình đối với môn Toán (vùng limbic đã thấy đƣợc ích lợi của đối tƣợng
kiến thức).
Thông qua cuốn sách Toán học và nghệ thuật [23], Nguyễn Tiến Dũng nhấn
mạnh: “Các thầy cô giáo ở trƣờng phổ thông, nếu đƣa đƣợc thêm nghệ thuật vào lớp
học, và đƣa đƣợc các ví dụ về nghệ thuật vào trong môn Toán, thì sẽ là điều may mắn

lớn cho các em học sinh. Ở nhiều nơi trên thế giới ngƣời ta đã và đang làm nhƣ vậy”.
Tại hội thảo khoa học “Phát triển tƣ duy toán học trong lớp học” tổ chức vào
năm 2017 tại Hà Nội. Khi bàn về thái độ học tập môn Toán của HS Việt Nam, ông


4

Isoda Masami, Giám đốc Viện Hợp tác Quốc tế về Phát triển GD thuộc Trƣờng Đại
học Tsukuba (Nhật Bản) cho rằng: thái độ của ngƣời học toán rất quan trọng, ảnh
hƣởng đến quá trình tiếp thu và kết quả học tập. Ngƣời dạy toán cần cho ngƣời học
thấy “Vẻ đẹp toán học” và hứng thú với lĩnh vực này.
Theoni Papas [94, tr. 12] đã chỉ rõ: “Toán học không chỉ là việc thực hiện
các phép tính, giải phƣơng trình, chứng minh các định lí, nghiên cứu đại số, hình
học hay vi phân và tích phân; cũng không chỉ là một cách suy luận…. Tuy nhiên khi
toán học đƣợc nhìn nhận một cách tổng thể, tính sáng tạo và vẻ đẹp toán học của nó
mới hiện ra rõ ràng”.
Đồng quan điểm, Alfred S. Posamentier [4] cho rằng, để thuyết phục mọi
ngƣời (đặc biệt là các bạn trẻ) học toán, tìm hiểu về toán ta nên nhấn mạnh vào vẻ
đẹp của toán học thay vì sự hữu ích của nó. Trẻ em cũng nhƣ ngƣời lớn yêu thích
cái gì, tò mò muốn biết cái gì, thì sẽ học cái đó rất nhanh. Muốn cho một bé học giỏi
toán, thì điểm quan trọng đầu tiên là phải làm cho bé yêu toán.
Với quan điểm học toán là phải tìm thấy vẻ đẹp đích thực của toán học, phải
khuyến khích và nuôi dƣỡng niềm say mê toán học ở con trẻ khi còn nhỏ thay vì
luôn luôn đặt câu hỏi đầy “thực dụng” là học toán để làm gì. Để nuôi dƣỡng sự học
ở mỗi ngƣời và toàn xã hội, chúng ta cần đặt mục tiêu khám phá, tìm hiểu vẻ đẹp
thật sự của khoa học chứ không thể coi KT là công cụ hay phƣơng tiện (xem [143]).
Toán học có một vẻ đẹp rất đặc sắc thể hiện ở tính lôgic, chính xác của nó.
Cùng với tri thức của khoa học, môn Toán có tiềm tàng những khả năng để giáo dục
thẩm mỹ cho HS. Tuy nhiên, dƣới nhãn quan của khá nhiều ngƣời, toán học trong
nhà trƣờng hiện nay bị coi là một môn học khô khan, chỉ giới hạn trong những bài

tập, những công thức và con số (xem [94, tr. 6]). Để góp phần khắc phục thực trạng
này, khai thác vẻ đẹp toán học trong DH môn Toán là một đề tài đã thu hút đƣợc
nhiều nhà khoa học và nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu dƣới nhiều góc độ và
quan điểm khác nhau.
Bên cạnh đó, những hạn chế khá phổ biến trong giảng dạy môn Toán ở các
trƣờng THPT dẫn tới hệ quả là tồn tại các thực trạng: Thầy đọc trò chép trong dạy


5

và học, công tác ĐG chƣa thật sự khách quan; HS phàn nàn phải học toán quá
nhiều và khó; GV phản ánh HS lƣời học toán; nhà quản lý ĐG hiệu quả và chất
lƣợng DH môn Toán chƣa cao; cha mẹ HS lo lắng cho con em của họ học toán bị
nhiều áp lực. Nguyên nhân của sự hạn chế có thể đến từ rất nhiều lý do: Áp lực về
điểm số, thi cử và thành tích ảo từ phía ngƣời dạy, ngƣời học và phụ huynh; thiên
về dạy toán vì toán, mà chƣa chú trọng phát triển phẩm chất và NL đƣợc hình thành
thông qua học toán; chƣa khơi dậy đƣợc khát vọng học tập, sáng tạo; chƣa khơi gợi
đƣợc niềm vui và niềm say mê khám phá của HS,...
Tiếp cận từ quan điểm của các tác giả Alfred S. Posamentier, Nguyễn Bá
Kim, Theoni Papas, Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Nguyễn Tiến Dũng, Isoda Masami và
thực tế dạy học môn Toán ở trƣờng THPT hiện nay, chúng tôi nhận thấy sự cần
thiết giáo dục vẻ đẹp toán học trong DH môn Toán ở nhà trƣờng THPT.
Thu thập tài liệu nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy rằng chƣa có công trình nào
nghiên cứu một cách đầy đủ, có hệ thống về khai thác vẻ đẹp của toán học và tìm tòi
các ứng dụng của chúng trong DH toán, nhằm TCH hoạt động học tập cho HS THPT.
Nhƣ vậy, nội hàm của khái niệm này xem nhƣ vẫn còn yếu tố mới. Chúng ta có thể
đặt vấn đề nghiên cứu làm sáng tỏ nội hàm của nó cũng nhƣ minh chứng khả năng
cần và có thể bồi dƣỡng PPDH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học trong DH
toán ở các lớp bậc THPT. Điều đó kích thích, thôi thúc chúng tôi mạnh dạn đi sâu
nghiên cứu theo hƣớng đặt ra của đề tài với mong muốn giúp HS cảm nhận vẻ đẹp

toán học qua đó tạo cho HS niềm hứng thú, say mê học toán, góp phần nâng cao hiệu
quả dạy học môn Toán ở trƣờng THPT.
Từ những lý do nhƣ đã phân tích ở trên, chúng tôi quyết định lựa chọn và
thực hiện đề tài nghiên cứu: “Dạy học toán trung học phổ thông theo hướng khai
thác vẻ đẹp toán học góp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh”.
2. MỤC Đ CH NGHIÊN CỨU
Thiết kế các biện pháp DH môn Toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp của
toán học góp phần TCH hoạt động học tập của HS, qua đó góp phần nâng cao
hiệu quả DH môn Toán ở trƣờng THPT.


6

3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Vẻ đẹp toán học và biểu hiện trong chƣơng trình toán THPT;
- Biện pháp sƣ phạm trong DH toán THPT theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán
học nhằm TCH hoạt động học tập cho HS (minh họa thông qua DH các chủ đề Đại
số, Giải tích và Hình học thuộc chƣơng trình môn Toán THPT Việt Nam).
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu tổ chức tốt việc DH môn Toán ở trƣờng THPT theo hƣớng khai thác vẻ
đẹp toán học thì sẽ TCH đƣợc hoạt động học tập của HS, từ đó góp phần nâng cao
chất lƣợng DH môn Toán.
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
5.1. Tổng quan cơ sở lý luận và thực tiễn về vẻ đẹp toán học và nghiên cứu
các cơ sở và thành tựu mới về DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học.
5.2. Đƣa ra quan niệm về vẻ đẹp toán học (nội dung, đặc điểm và biểu hiện),
DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học.
5.3. Đề xuất một số biện pháp DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học.
5.4. Tổ chức TNSP để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp
DH và các phƣơng án ĐG đã đề xuất.

6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
- Tìm hiểu cơ sở triết học, tâm lý học về các hoạt động của GV và HS trong
dạy và học toán ở trƣờng THPT theo hƣớng khai thác vẻ đẹp của toán học.
- Phân tích và chọn lựa một số nội dung có thể khai thác vẻ đẹp toán học
trong SGK toán THPT hiện hành của Việt Nam.
- Tìm hiểu các ý tƣởng và nội dung khai thác vẻ đẹp toán học thể hiện trong
SGK toán của một số nƣớc trên thế giới.
- Phân tích, ĐG và lựa chọn các nội dung phù hợp với đề tài của luận án
trong các tài liệu về hƣớng dẫn giảng dạy toán cho GV THPT.
6.2. Phƣơng pháp điều tra, quan sát
- Kết hợp cả hai loại quan sát khoa học là quan sát trực tiếp và quan sát gián
tiếp. Đối tƣợng chủ yếu trong quan sát là GV và HS trong dạy và học toán theo chủ
đề đã nêu ở các trƣờng THPT.


7

- Thu thập phiếu hỏi, phiếu quan sát, thông tin phản hồi về các vấn đề liên
quan của luận án từ các đối tƣợng GV, HS, nhà khoa học, nhà GD.
6.3. Phƣơng pháp chuyên gia
Sử dụng trí tuệ của đội ngũ chuyên gia để xem xét nhận định bản chất của
đối tƣợng nghiên cứu, tìm ra giải pháp tối ƣu. Cụ thể:
- Phỏng vấn, xin ý kiến các chuyên gia đầu ngành, GV và HS về lĩnh vực liên quan.
- Liên hệ trao đổi với các nhà khoa học, nhà giáo đã, đang và sẽ tham gia viết
chƣơng trình và SGK của Việt Nam tại các trƣờng đại học sƣ phạm, Viện Khoa học
Giáo dục, Viện Toán học, Viện nghiên cứu Cao cấp về Toán, các sở Giáo dục và
Đào tạo, các trƣờng THPT,...
- Tham dự các hội nghị, hội thảo khoa học trong và ngoài nƣớc để lắng nghe,
tiếp thu, trình bày báo cáo các nội dung có liên quan.

6.4. Phƣơng pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm
Nghiên cứu và xem xét lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra
kết luận bổ ích cho thực tiễn và khoa học. Cụ thể là, tổ chức các TNSP để tìm ra
những khó khăn, chƣớng ngại và bất cập của SGK, của thầy và của trò trong việc
triển khai dạy và học theo các biện pháp sƣ phạm mà luận án đã chỉ ra.
6.5. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
- Tổ chức các TNSP theo các đề xuất của đề tài.
- Tổ chức các TNSP để ĐG tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sƣ
phạm đề ra.
6.6. Phƣơng pháp thống kê
Tính toán và xử lý những số liệu thu thập đƣợc trong thực tế và tài liệu lý
thuyết bằng công cụ và phƣơng pháp thống kê toán học.
6.7. Phƣơng pháp nghiên cứu trƣờng hợp
Đƣợc sử dụng trong TNSP lần 1 nhằm điều chỉnh và hoàn thiện các BPSP đã
đề xuất.
7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
a) Về mặt lí luận
- Quan niệm về vẻ đẹp toán học và DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp
toán học.


8

- Làm rõ yêu cầu và cơ hội khai thác vẻ đẹp toán học trong quá trình dạy và
học môn Toán ở trƣờng THPT của GV và HS.
b) Về mặt thực tiễn
- Những biện pháp DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học góp phần
tích cực hóa hoạt động học toán cho HS.
- Gợi ý sử dụng các biện pháp và những ví dụ minh họa trong DH khái niệm,
định lí, bài tập, ôn tập trong chủ đề Đại số, Giải tích và Hình học ở trƣờng THPT.

- Kết quả nghiên cứu có thể làm tài liệu tham khảo cho GV và HS.
8. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ
- Quan niệm về vẻ đẹp toán học và DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp
toán học ở trƣờng THPT.
- Những biện pháp DH Toán THPT theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học đã
đề xuất có tính khả thi và hiệu quả, góp phần giáo dục vẻ đẹp toán học cho HS và
tích cực hóa hoạt động học tập môn Toán của HS.
9. CẤU TRÖC LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, các công trình đã công bố, tài liệu tham khảo
và phần phụ lục. Bố cục nội dung chính của Luận án gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn;
Chƣơng 2. Một số biện pháp dạy học toán trung học phổ thông theo hƣớng
khai thác vẻ đẹp toán học;
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.


9

Chương 1
CƠ SỞ L LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
1.1.1. Tổng quan một số nghiên cứu ngoài nƣớc
Từ đầu thế kỷ XVIII, đã có nhiều công bố về các phƣơng pháp tiếp cận lý
thuyết thẩm mỹ một cách đầy đủ của vẻ đẹp trong khoa học và toán học. Năm 1735,
A. G. Baumgarten đã giới thiệu thuật ngữ thẩm mỹ để miêu tả những vấn đề liên
quan đến cái đẹp mà bây giờ chúng ta coi là cách tiếp cận triết học về vẻ đẹp và
nghệ thuật. Sự kiện này đã đánh dấu cho sự ra đời của thẩm mỹ học hiện đại.
Shaftesbury và Hutchenson là hai đại diện của trƣờng phái thẩm mỹ lúc bấy giờ đã
cho rằng toán học có vẻ đẹp đặc sắc (xem [135]).
Nhà triết học ngƣời Scotland, Francis Hutcheson (1694-1785), có công trình

nghiên cứu về nguồn gốc của những ý tƣởng về vẻ đẹp và đức hạnh. Ông đã xác
định các đặc điểm sau của vẻ đẹp thẩm mỹ trong khoa học (xem [135]), đó là:
- Thống nhất trong đa dạng;
- Lý tƣởng về sự phổ quát của các sự thật khoa học;
- Tìm ra sự thật không bị chệch hƣớng, phán đoán về những gì cần phải
chứng minh.
Nhà toán học Pháp H. Poincaré (1854-1912) nói: “Nhà khoa học không
nghiên cứu tự nhiên vì mục đích vị lợi. Ông ta nghiên cứu vì tìm thấy trong công
việc sự thích thú và tìm thấy sự thích thú bởi tự nhiên rất đẹp. Nếu tự nhiên không
đẹp thì nó không đáng đƣợc nghiên cứu, và cuộc sống cũng không đáng để sống
nữa”. Poincaré còn bổ sung cho định nghĩa về cái đẹp khoa học nhƣ sau: “Tôi nói
đến cái đẹp thầm kín nảy sinh từ sự hài hòa giữa các bộ phận mà một trí tuệ thuần
khiết có thể cảm nhận được” (xem [4]).
Albert Einstein (1879-1955) cũng đã viết ở đoạn cuối bài báo về Thuyết
tƣơng đối rộng rằng: “Tất cả những ai hiểu về lý thuyết này sẽ không thoát khỏi ma
lực của nó”. “Trật tự hài hòa”, “Tính đơn giản”, “Sự nhất quán”, “Ma lực”. Đó tất
cả những gì để định nghĩa “cái đẹp” trong khoa học (xem [100]). Vẫn theo Einstein,
khoa học ở mức độ cao nhất phải dựa trên sự đơn giản và đẹp.


10

Trong cuốn sách có tựa đề “Vẻ đẹp toán học”, nhà toán học Trung Quốc Ngô
Quân [139] cho rằng: Thẩm mỹ là một sản phẩm của việc thực hành sáng tạo do con
ngƣời tạo ra, là động lực tinh thần cho quá trình làm việc của con ngƣời. Thông
thƣờng những gì chúng ta gọi là thẩm mỹ thì nó đƣợc tồn tại trong vẻ đẹp tự nhiên,
vẻ đẹp xã hội và vẻ đẹp nghệ thuật trên cơ sở các hình thức khoa học về cái đẹp.
Vẫn theo Ngô Quân [139]: “Vẻ đẹp của toán học là một sự phản ánh khách quan
của vẻ đẹp tự nhiên, là cốt lõi của vẻ đẹp khoa học”.
Nhƣ vậy, hầu hết các nhà khoa học nói trên đã khẳng định rằng khoa học có

một vẻ đẹp nhất định và vẻ đẹp trong khoa học chính là sự tiếp thu kiến thức mới,
trong việc khám phá những sự thật mới có tính khách quan, khám phá sự hài hòa và
trật tự, làm giảm sự phức tạp để trở nên đơn giản. Đặc trƣng của vẻ đẹp trong khoa
học là sự di chuyển liên tục về phía trƣớc, hay đúng hơn là hƣớng lên tầm cao mới
của sự thật và tính đúng đắn có tính phổ quát.
Trong nghiên cứu, một số nhà toán học thƣờng hay sử dụng những từ nhƣ
“vẻ đẹp” và sự “thanh lịch” để nói về toán học, đôi khi họ cũng có những ĐG về các
phƣơng pháp chứng minh nhƣ là “tao nhã” hay “đẹp”… Hầu hết các nhà toán học
nhận thấy niềm vui sẽ đến từ tính thẩm mỹ trong công việc của họ và toán học nói
chung. Họ mô tả toán học là đẹp để diễn tả niềm vui này, là một hình thức của nghệ
thuật, hoặc đôi khi là một hoạt động sáng tạo. Bên cạnh đó âm nhạc và thơ ca cũng
thƣờng đƣợc sử dụng vào việc so sánh với vẻ đẹp toán học.
Thuật ngữ thẩm mỹ toán học (tiếng Anh: mathematical aesthetic) và vẻ đẹp
toán học (tiếng Anh: mathematical beauty) đã đƣợc các nhà triết học, nhà khoa học,
nhà toán học thời Hy Lạp cổ đại nhƣ Plato, Aristotle, Euclid, Ptolemy, Apolonius,
Boethius, Pythagore, Gauss, Jacobi, Albert Einstein, ... đề cập nhiều trong các công
trình nghiên cứu về triết học và toán học.
Trên cơ sở nghiên cứu các tác phẩm của Euclid, Ptolemy và kế thừa quan
điểm của Plato, nhà triết học Boethius cho rằng có một liên kết rất tự nhiên giữa vẻ
đẹp và toán học. Do đó, không cần phải giải thích thêm về thuật ngữ vẻ đẹp toán
học [135, pp. xi].
Các trƣờng phái Pythagore đã đề cập đến mối quan hệ giữa toán học và thẩm
mỹ và quan niệm rằng: “Vẻ đẹp toán học chính là sự hài hòa và tỉ lệ”.


11

Galileo – ngƣời đã có những đóng góp cơ bản cho khoa học về chuyển động
bằng cách kết hợp một cách sáng tạo giữa toán học và tự nhiên, cho rằng “Tự nhiên
là cuốn sách đƣợc viết bởi ngôn ngữ toán học, ký tự của nó là những hình tam giác,

hình tròn, và các đƣờng hình học khác...” (xem [117]).
Tiếp đến, vẻ đẹp toán học đã đƣợc nhiều tác giả trên thế giới quan tâm
nghiên cứu. Có thể kể đến các bài báo và các dòng sách về vẻ đẹp toán học của các
tác giả tiêu biểu: G. C. Rota ([134]), I. Kant ([128]), Serge Lang ([129], [130]),
Ulianov Montano ([135]); G. H. Hardy ([123]), Norbert Herrmann ([124]); M.
Erickson ([121]); J. W. McAlliste ([131]), Nathalie Sinclair ([132]), G. Birkhoff
[115], Alfred S. Posamentier ([4]); Theoni Pappas ([91], [92], [93], [94]); Carlo
Cellucci ([116]);...
Trên cơ sở tiếp cận thẩm mỹ trong DH toán, Nathalie Sinclair [132], trong
cuốn sách Toán học và vẻ đẹp (Mathematics and beauty) đã dựa trên cả hai lĩnh vực
triết học và TN để làm nền tảng nghiên cứu mối quan hệ đan xen cơ bản của các
khía cạnh nhận thức, cảm xúc và thẩm mỹ thông qua trải nghiệm của con ngƣời. Từ
đó tác giả phân tích, tổng hợp các lý thuyết về thẩm mỹ toán học và chỉ ra, khai thác
vẻ đẹp toán học trong một số tình huống cụ thể của toán học nhằm khơi gợi xúc
cảm thẩm mỹ và phát triển khả năng ĐG thẩm mỹ cho HS.
Để ĐG và đo lƣờng giá trị thẩm mỹ của một đối tƣợng toán học, G. Birkhoff
[115] đã đề xuất công thức M 

O
, trong đó M giá trị thẩm mỹ của đối tƣợng, O là
C

thƣớc đo trật tự và hài hòa, C là thƣớc đo độ phức tạp. Từ công thức, nếu tăng trật tự và
sự hài hòa sẽ làm tăng giá trị thẩm mỹ và nếu tăng độ phức tạp thì sẽ làm giảm đi giá trị
thẩm mỹ của đối tƣợng. Theo Nathalie Sinclair [132, pp. 180], sự khó khăn trong việc
đo O và C đã làm cho công thức này không phát huy tốt tác dụng trên thực tế.
Một cách tiếp cận khác để ĐG thẩm mỹ của một đối tƣợng toán học đã đƣợc
đề xuất bởi nhà toán học ngƣời Nga V. G. Boltyanskii (xem [115]). Công thức đề
xuất bao gồm một đẳng cấu giữa một đối tƣợng toán học và mô hình trực quan của
nó, tính đơn giản của mô hình và sự xuất hiện bất ngờ của mô hình. Theo tác giả

này: “Vẻ đẹp chính bằng sự tìm kiếm cộng với tính bất ngờ”.


12

Trong một bài giảng năm 1933 tại Đại học Oxford, Einstein cho biết vẻ đẹp
toán học dẫn đƣờng cho ông trong công việc của một nhà Vật lý lý thuyết. Theo
Einstein: Khoa học ở mức độ cao nhất phải dựa trên sự đơn giản và đẹp. Cái đẹp là
trƣờng tồn. Các phƣơng trình đẹp cũng vậy, chúng luôn đúng vì phản ánh những gì
vốn có của thế giới tự nhiên, chỉ có điều có thể trƣớc đó bị ẩn đi.
Theo Ulianov Montano [135] những nghiên cứu sâu sắc về khám phá và cảm
thụ vẻ đẹp toán học ở thế kỉ XVIII nổi lên có hai quan điểm với hai xu hƣớng tiếp
cận khác nhau:
- Shaftesbury và Hutchenson đại diện cho quan điểm thứ nhất cho rằng: Vẻ
đẹp toán học bao gồm các tính chất nội tại của một số khái niệm toán học, và do đó
nó độc lập với ngƣời tiếp cận và thời gian phát triển của lịch sử.
- G. C. Rota đại diện cho quan điểm thứ hai cho rằng: Vẻ đẹp toán học là một
sự chủ quan của ngƣời tiếp cận. Nếu các khái niệm toán học nhất định thể hiện
những giá trị theo các tiêu chí thẩm mỹ khác nhau của ngƣời tiếp cận thì việc cảm
nhận và ĐG vẻ đẹp toán học sẽ khác nhau. Vì vậy, vẻ đẹp toán học phụ thuộc phần
lớn vào ngƣời tiếp cận và thời gian của lịch sử.
Trong bài báo đƣợc đăng tải năm 1997 có tựa đề “Hiện tượng của vẻ đẹp toán
học” G. C. Rota [134] đã công bố nhiều kết quả quan trọng xung quanh việc nghiên cứu
những vấn đề liên quan đến vẻ đẹp toán học. Trong bài báo này, G. C. Rota đã đƣa ra
những phân tích chặt chẽ về vẻ đẹp toán học thay cho những lí luận mà ông cho là nhàm
chán và vô căn cứ trong những tài liệu liên quan trƣớc đó. G. C. Rota đã cố gắng tìm ra
những minh chứng thích hợp cho việc sử dụng cụm từ “vẻ đẹp toán học” trên cơ sở
nhiều lý thuyết về thực tiễn toán học. Ông kết luận rằng: “Chúng ta nghĩ những trường
hợp của vẻ đẹp toán học như thể chúng ta được lĩnh hội bởi sự nhận biết tức thì trong
khoảnh khắc của sự thật, giống như một bóng đèn bật sáng. Tất cả nỗ lực để hiểu được

phép chứng minh nếu cách phát biểu này có ý nghĩa nào đó, với mọi khó khăn chúng ta
gặp khi theo đuổi một kết quả phức tạp của các suy luận lôgic, tất cả những đặc điểm
này sẽ biến mất ngay khi chúng ta nhận biết vẻ đẹp của một định lí toán học và những gì
sẽ còn lưu lại trong trí nhớ của quá trình học tập của chúng ta là hình ảnh của một ánh
chớp suy nghĩ của nội tâm, của một tia sáng bất chợt”.


13

Một quan điểm khác, theo Carlo Cellucci [116], cách tiếp cận của G. C. Rota
đối với vẻ đẹp toán học có một số hạn chế về mặt chủ quan của ngƣời tiếp cận.
Carlo Cellucci cho rằng, vẻ đẹp đóng một vai trò tích cực trong sự phát triển của
toán học vì thiếu đi vẻ đẹp trong một mảng của toán học là thiếu đi một động lực
mạnh mẽ cho việc nghiên cứu toán học. Nhƣng đôi khi việc tìm kiếm vẻ đẹp có thể
là một trở ngại cho sự phát triển của khoa học.
Serge Lang nhà toán học thiên tài và là nhà sƣ phạm lỗi lạc ngƣời Mỹ cũng
là một tác giả nghiên cứu về vẻ đẹp toán học. Năm 1985, ông đã xuất bản cuốn sách
với tựa đề The Beauty of Doing Mathematics (Vẻ đẹp của làm toán) dƣới dạng đối
thoại (xem [129]). Bằng phƣơng pháp trực quan toán học sinh động của mình, Serge
Lang đã chỉ ra cho bạn đọc cả một chân trời mới về các cấu trúc toán học giống
nhau đằng sau các lý thuyết toán học khác nhau.
Andrew Wiles (xem [1]) khi sửa đƣợc sai sót và hoàn thiện chứng minh Định
lí cuối cùng của Fermat đã có cảm xúc: “Đột nhiên, hoàn toàn bất ngờ, tôi đã có
được sự phát hiện huyền diệu đó. Nó đẹp đến mức không sao mô tả nổi, mà lại đơn
giản và tao nhã nữa...”.
Alfred S. Posamentier [4] đã xuất bản cuốn sách với tựa đề “Vẻ đẹp toán
học”. Trong cuốn sách này (đã đƣợc dịch ra tiếng Việt gần đây), ông đã nỗ lực chỉ
ra và khơi dậy vẻ đẹp toán học thông qua việc khai thác: phƣơng pháp số học thông
minh; vẻ đẹp trong các con số; các qui luật và mối quan hệ đẹp giữa các con số;
những con số kỳ lạ (số  , số e , số hình học, tỉ lệ vàng, số Phi-bô-na-xi); bài toán

về sự sinh sôi của loài thỏ;… Tiếp đến là những hình dạng vô cùng phong phú của
các đƣờng cong đối xứng, mỗi đƣờng cong bộc lộ những nét đẹp riêng tiềm ẩn bên
trong, vẻ đẹp của mối quan hệ giữa các đƣờng cong và phƣơng trình của nó, giữa
hình học và đại số mà theo ông đây là mối quan hệ mang vẻ đẹp sâu sắc. Bên cạnh
đó, điều bất ngờ nhất có lẽ ở chỗ thông qua những phần mềm máy tính các mối
quan hệ bất biến trong hình học đƣợc thể hiện rõ nhất và tất cả đều cho thấy vẻ đẹp
hài hòa, đơn giản, bất ngờ và độc đáo của toán học.
Các tác phẩm của Theoni Pappas về dòng sách khám phá và thƣởng thức vẻ
đẹp toán học đã đƣợc dịch ra nhiều thứ tiếng: Nhật, Phần Lan, Slovakia, Séc, Hàn


14

Quốc, Thổ Nhĩ Kỳ, Trung Quốc, Bồ Đào Nha, Ý, Tây Ban Nha, Việt Nam (xem
[91, 92, 93,94]). Nội dung trong những cuốn sách của bà chính là một bộ sƣu tập
những thảo luận đa dạng, súc tích, sâu sắc về các chủ đề toán học và mối quan hệ
của toán học với thế giới xung quanh. Trong đó những ý tƣởng toán học tƣởng
chừng nhƣ vô cùng khó hiểu lại đƣợc tác giả đơn giản hóa bằng những hình ảnh
minh họa và biểu đồ cụ thể. Tác giả đã khéo léo tiếp cận những khía cạnh hấp dẫn
của toán học mà không dùng đến những lập luận lôgic phức tạp, đồng thời gắn kết
nó với cuộc sống xung quanh và khai thác vẻ đẹp sinh động của toán học thông qua
các nội dung về: lịch sử toán học; vẻ đẹp của toán học trong tự nhiên, trong kiến
trúc và trong nghệ thuật (xem [93, tr.4]).
Công trình nghiên cứu về sự tác động của vẻ đẹp của toán học lên não bộ
đƣợc công bố năm 2014 với tựa đề: “TN về vẻ đẹp toán học và các tƣơng quan với
hệ thần kinh” của đồng tác giả Semir Zeki1, John Paul Romaya, Dionigi M. T.
Benincasa, Michael F. Atiyah [137]. Trong công trình này, các tác giả đã sử dụng
hình ảnh cộng hƣởng từ chức năng (fMRI) để quét não và mô tả hoạt động trong
não của 15 nhà toán học khi cho họ xem các công thức toán học mà họ ĐG là đẹp,
không quan tâm hoặc xấu xí. Một TN đƣợc tiến hành gồm các nhà toán học đƣợc

tuyển chọn từ nhiều trƣờng đại học, cao đẳng ở Luân Đôn, có độ tuổi từ 22 đến 32,
trong số này có cả nam lẫn nữ với trình độ thạc sĩ hoặc tiến sĩ. Kết quả cho thấy
cảm nhận vẻ đẹp toán học tƣơng quan tỉ lệ thuận với hoạt động trong cùng một phần
cảm xúc của não bộ, đó là khu vực A1 của vỏ não trƣớc viền trung tâm (mOFC).
Điều này làm căn cứ cho cơ sở kết luận rằng: Vẻ đẹp xuất phát từ một nguồn tri
thức và trừu tƣợng nhƣ toán học tƣơng ứng với hoạt động trong cùng một bộ phận
của bộ não cảm xúc giống nhƣ có nguồn gốc từ nhiều nguồn cảm quan khác nhƣ thị
giác hoặc âm nhạc.
Trong cuốn sách “Lời bào chữa của một nhà toán học” (A Mathematician's
Apology), G. H. Hardy [123] cho rằng: Chính những lý do về mặt thẩm mỹ đủ để
biện minh cho việc nghiên cứu toán học thuần túy. Ông nhận thấy những tiêu chuẩn
sau đây đóng góp vào một vẻ đẹp toán học: Tầm quan trọng, tính không lƣờng trƣớc
đƣợc, tính không thể tránh đƣợc, và sự ngắn gọn. Sự phổ biến của toán học vì mục


15

đích giải trí là một dấu hiệu khác cho thấy nhiều ngƣời tìm thấy sự sảng khoái trong
việc giải toán.
Shing – Tung Yau (nhà toán học gốc Trung Quốc đầu tiên đƣợc tặng Giải
thƣởng Fields 1982) nói rằng: Tôi làm toán không phải vì để nhận giải thƣởng hay
đƣợc tôn vinh mà vì thật tuyệt vời khi thấy trí tuệ con ngƣời có thể đạt đến mức
hiểu đƣợc tự nhiên. Vẻ đẹp của tự nhiên xét từ quan điểm hình học là vẻ đẹp vĩnh
hằng (xem [60]).
Trong cuốn sách “Vẻ đẹp thường ngày của Toán học” [124], tác giả N.
Herrmann đã phân tích một số tình huống thông qua các bài toán thực tế: các mô
hình toán học; các giải pháp tối ƣu cho sản xuất, vận tải; bài toán liên quan đến thiết
kế, xây dựng, … làm toát lên vẻ đẹp sâu sắc và bất ngờ của toán học.
Tóm lại, đa số các tác giả trên thế giới đã có những nghiên cứu đa dạng và
phong phú với nhiều hƣớng tiếp cận và trên nhiều bình diện khác nhau về vẻ đẹp

toán học: Thẩm mỹ trong toán học; vẻ đẹp của việc làm toán; các ứng dụng khác
nhau của toán học vào thực tiễn; mối liên hệ giữa sáng tạo và vẻ đẹp toán học; toán
học và cuộc sống; liên hệ giữa vẻ đẹp toán học với thần kinh và tâm lý của con
ngƣời; toán học và nghệ thuật; niềm vui và sự hứng khởi toán học; giải trí toán học.
1.1.2. Tổng quan một số nghiên cứu trong nƣớc
Theo Trịnh Xuân Thuận [99]: “Đã từ nhiều thế kỷ trƣớc, ngƣời ta thƣờng có
một định kiến hết sức nông nổi cho rằng khoa học và thơ ca (hay nghệ thuật nói
chung) là một ngôn ngữ hoàn toàn khác biệt. Một bên đòi hỏi những phƣơng trình
chính xác nhƣng khô khan, một bên mở cửa cho óc tƣởng tƣởng bay bổng nhƣng
mông lung vô định. Thật là một định kiến tai hại. Các nhà khoa học nòi chƣa từng
bao giờ đối lập khoa học với mỹ học. Các nhà Vật lý vĩ đại nhƣ Einstein và Dirac
đều rất nhạy cảm với vẻ đẹp trong lý thuyết của họ. Họ để cho mỹ học dẫn dắt trực
giác và sự lựa chọn của mình. Dirac thậm chí còn nói rằng nếu một thí nghiệm trái
với một lý thuyết đẹp thì cái sai là TN chứ không phải là lý thuyết”.
Bàn về toán học, trong bức thƣ gửi các bạn trẻ yêu toán, cố Thủ tƣớng Phạm
Văn Đồng đã viết: “Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí nổi
bật. Nó có tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác, đối với kỹ thuật, đối với