phuong phap giai bai toan rut gon bieu thuc chua can tuyet chieu on thi vao 10

Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

Ph-ơng pháp giải bài toán rút gọn biểu thức chứa căn


...
I. Rút gọn biểu thức:
- Một số hằng đẳng thức hay dùng:

x 1







x 1

x 1 ;





x x 1

x4

x 1 x x 1 ;

x4 x 4





2

x 2 ;x 6



x 2


x 9 x 3
x x 1



x 2

x 1 x x 1
2

A
A
A A
hoặc


B
B
B B

- Nhớ khi đổi dấu:

Một số bài giải mẫu:

2
x 1 x 2
x 1
Bài 1. Rút gọn biểu thức P


:

x
x 2
x 2 2 x x
Bài làm:
Đkxđ: x 0; x 4 (Dòng này để cách ra, rút gọn

Bình luận: Ta nhận thấy ở bài toán này việc phân

xong mới ghi vào cho đầy đủ).

tích mẫu thành nhân tử là đơn giản nh-ng phải đổi

2
x 1 x 2
x 1
P


:

x
x 2
x 2 2 x x

dấu để đ-ợc mẫu chung hợp lí. (dòng thứ 2: vừa kết


2
x 1
P

x 2
x x 2

phân tích thành nhân tử, có lẽ nên tách làm 2 b-ớc)



P

2 x x 1
x

P
x
P
x
P






x 2

x 1
x 2
x 1
x 2



:

x 2



: x 2 x 1

x
x 2







.



x 2 x
x

:

hợp đổi dấu mẫu đồn thời đổi dấu phân thức và

x 2





x 1



x4 x x
x
x





x 2
x 2





x 4

x 1
x 4

x
x2
x 4
x :

Bài 2.Rút gọn biểu thức P

x 1
x 1
1 x
Bài giải:

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

1


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

x
x2
x 4
P
x :


x 1

x 1
1 x
x 2 x x 1

4 x
x



P
:


x 1
x 1
x 1
x 1






P

x 2 x x 4 x x x 1
:
x 1
x 1
x 1





2 x 4 x x x
P
:
x 1
x 1
x 1





2 x
P
:
x 1

Bình luận: ở bài toán này việc phân tích mẫu
dựa vào hằng đẳng thức

x 1







x 1



x 1 và việc đổi dẫu ở

mẫu của ngoặc thứ hai là tiến hành đổi dấu
mẫu đồng thời đổi dấu tử.

4x

x 1 x 1
2 x x 1 x 1
P

.
x 1 2 x 2 x
x 1
x 2
Đkxđ: x 0; x 1; x 4
P

3 x
x
3x 5 x 2 x 1


1
:
4

x
x

2
x

2
x

2

Bài 3. Rút gọn biểu thức P
Bài giải.

P



P


P
P
P

P
P

3 x
x 2
3 x
x 2

3 x



3x 5 x 2 x 1
1
:

4 x x 2
x 2

2 x 1 x 2
x
3x 5 x

:

x 2 ( x 2)( x 2)
x 2

x








x 2 3x 5
x 2 x 2

x 2 x

3x 6 x x 2 x 3x 5 x

x x
x 2
x



x 2



x 2



x 2



x 2



:

.

x 1



x 2



:

x
:

x 1
x 2

x 1
x 2

x 1
x 2
x 2
x 1

x
x 2

Đkxđ: x 0; x 4

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

2


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

x 3
x 2
x 2
x
Bài 4. Rút gọn biểu thức P


:
1




x 2 3 x x 5 x 6
x 1


Bài giải:
Bình luận: Bài toán này đã sử dụng 2 kỹ thuật
x 3
x 2
x 2

x
P


:1


trong việc tách mẫu thành nhân tử kèm theo đổi
x 2 3 x x5 x 6
x 1


dấu mẫu, bên cạnh đó trong quá trình rút gọn tử
x 3
x 1 x cũng sử dụng những hằng đẳng thức quen
x 2
x 2
P


:

x 3 ( x 3).( x 2)
x 1 thuộc. Em hãy tìm xem những bình luận trên
x 2
nằm ở những dòng nào?
P
P
P
P

P

( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) x 2
1
:
( x 3).( x 2)
x 1
x 9 ( x 4) x 2
( x 3).( x 2)
x9 x4 x 2
( x 3).( x 2)
x 3
( x 3).( x 2)

:

:

1
x 1
1
x 1

.( x 1)

x 1
x 2

ĐKxđ: x 0; x 4; x 9

Bài 5. Rút gọn biểu thức
x 1
x2
x 1
P


x 1 x x 1 x x 1

P
P
P
P
P
P
P
P

x 1



( x 1)( x 1)
1

x2
( x 1)( x x 1)

x2

x 1 ( x 1)( x x 1)





x 1
x x 1

x 1

Bình luận:
ỏ bài toán này có thể nhận thấy những kỹ thuật:
- Phân tích mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân
thức (phân thức đầu tiên)
- Sử dụng hằng đẳng thức
x x 1







x 1 x x 1

x x 1

x x 1 ( x 2) ( x 1)( x 1)
( x 1)( x x 1)
x x 1 x 2 ( x 1)
( x 1)( x x 1)
x 1 x 1
( x 1)( x x 1)
x x
( x 1)( x x 1)
x





x 1

( x 1)( x x 1)
x

x x 1
Đkxđ: x 0; x 1

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

3


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

II. Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn:

Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn chỉ đ-ợc tính điểm khi câu hỏi rút gọn có kết quả chính xác. Chính
vì vậy việc rút gọn đúng là điều đầu tiên phải làm. Hy vọng rằng không ai làm sai câu a. Bây giờ chúng ta
cùng nhau tìm hiểu các câu hỏi sau câu a có thể là những dạng nào?
1. Dạng 1:Tính giá trị của P biết giá trị của x:
Nói chung câu hỏi này các bạn đều làm đúng, có thể chỉ ra một số dạng cho của x:
x 42 3
x

2
2 3





2

3 1 ;x 6 2 5



2 2 3





2 3 2 3

3 5 6 2 5 5 1
x


2
2
4









2

5 1 ;x 7 4 3 2 3

42 3
42 3
43





3 1

2

2

2

L-u ý: Câu hỏi này chỉ cho điểm tối đa khi kết quả của P đã đ-ợc khử mẫu hoặc trục căn thức (Túm lại là
ở mẫu không có căn).

x 1
biết x 4 2 3
x 4

Bài 1. Tính giá trị của P
Bài giải:

x 42 3





3 1

2

Thay vào P ta có:

P

P





3 1
3 1

2

2

1



3 3 5
3 11
3


3 25
3 1 4
3 5

4

3 5 3 3 5 3

22
22
x

Bài 2.Tính giá trị của P
Bài giải:
2
x
42 3
2 3
P

P



42 3





3 1

2

1



x 1



3 1

42 3
3 11



biết x

2
2 3

2

thay vào P ta có:

42 3
3 2

4 2 3 3 2
3 2 3 2

4 3 864 3 2

2
3 4
1

Có thể làm đơn giản và nhanh hơn, em hãy thử xem!

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

4


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com
Bài 3. Tính giá trị của P

x 1
x 2

biết x

3 5
2

Bài giải:
2

3 5 6 2 5 5 1
thay vào P ta có
x


2
2
4


2
2



5 1
5 1



P
1 :
2
2
2

5 1 5 1

5 1 2 5 1 4
P
1 :
2
:
2
2

2
2



5 1 5 5
5 1
2
:

.
2
2
2
5 5

P

5 1

P
P

Bình luận:
Đôi khi cách viết biểu thức cũng quan trọng không
kém. ở bài này ta thấy x có dạng phân thức. Chính
vì thế nên viết theo kiểu Tử : Mẫu để biểu thức
không cồng kềnh giúp chúng ta không bị xoắn!

5 5







5 5
5 1

55 5 5 5
5 25
5 5

55

10 6 5 5 3 5

20
10

2. Dạng 2:Tìm x biết P = a (a là một giá trị thực)
Bản chất của câu hỏi này là giải ph-ơng trình (chứa căn). Vậy phải chú ý điều gì:
- Qui đồng và bỏ mẫu (vì đây là giải ph-ơng trình) nếu có.
- Đặt x t và đừng quên đặt điều kiện cho t.
- Tìm đ-ợc t thoả mãn điều kiện đã đắt.
- Tìm x thông qua t.
Bài 1. Cho P

x 1
với Đkxđ: x 0; x 1; x 4 .Tìm x biết P x
x 2

Bài giải:

P x

x t

Đặt

x 1
x x 3 x 1 0
x 2
t 0; t 1; t 2

t 3t 1 0
2

3 13
t
2
=13>0, Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
3 13
(loai )
t
2


3 13
3 13
11 3 13
x
x
(tmdk )
2
2
2
11 3 13
Vậy x
2
Với t

Bài 2. Cho P

x 1
Đkxđ: x 0; x 4 . Tìm x biết: P
x 4





x 4 2x

Bài giải:
- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

5


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

P



x 1
x 4



x 4 2x

x 4 2x x 1 2x 2x x 1 0

t 1
Đặt x t t 0; t 2 Pt 2t t 1 0
t 1 (loai)
2

Với t = 1 x 1 x 1(tmdk )
2

3. Dạng 3: Tìm x biết P a; P a; P a; P a (a là một giá trị thực)
Bản chất của câu hỏi này là giải bất ph-ơng trình (chứa căn). Vậy phải chú ý điều gì:
- Khi giải bất ph-ơng trình chỉ đ-ợc phép bỏ mẫu khi xác định đ-ợc dấu của mẫu và chiều của bất ph-ơng
trình.
- Nghiệm tìm đ-ợc phải đ-ợc kết hợp với những điều kiện đã đặt.
Bài 1.Cho P

x 3
, Đkxđ: x 0; x 1; x 4 .Tìm x biết P>1
x 2

Bài giải:
x 3
1
x 2

P 1

x 3

x 3
1 0
x 2



x 2

x 2

0

1
0 x 2 0 x 2 x 4
x 2
0 x 4
Kết hợp điều kiện xác định ta có:
x 1


Bài 2.Cho P

x 1
, Đkxđ: x 0; x 1; x 9 .Tìm x biết P P
x 3

Bài giải:

P P P0

x 1
x 3

0

Ta có x 0 x 0 x 1 1 0
Để

x 1
x 3

0 x 30 x 3 x 9

0 x 9
Kết hợp điều kiện xác định:
x 1
4. Dạng 4: So sánh P với một số a
Ph-ơng pháp: Xét hiệu P - a.
- Nếu P - a > 0 P >a
- Nếu P - a <0 P Bài 1. Cho P

2 x
x 1

Đkxđ: x 0; x 1 . So sánh P với 2

Bài giải:

Xét P 2

2 x
x 1

2 P2

2 x 2



P2

x 1

x 1

2
x 1

Ta có x 0 x 0 x 1 1 0
- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

6


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com
2

P2

0 với mọi x thoả mãn đkxđ

x 1

P 2 với mọi x thoả mãn đkxđ
Vậy P < 2 với mọi x thoả mãn đkxđ.

x x 1

Bài 2. Cho P

Đkxđ: x 0; x 1 . So sánh P với 3

x

Bài giải:
Xét P 3

x x 1
x

Ta có x 0; x 1


P3



x 1

Bài 3. Cho P

x x 1 3 x

3





x



x 2 x 1
x


P3



x 1

2

x

2

x 1 0; x 0

2

0 P3
x
x x 1

x 1

x tmđkxđ

Đkxđ: x 0; x 1 . So sánh P với P
1
2

1
4

Bài giải: Ta có x x 1 x 2 x .

2

3
1 3
x 0
4
2 4

x tm đk xđ

Mà x 0 x 0 x 1 1 0
P

x x 1
x 1

0

P P

5. Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên:
Qua 3 ví dụ sau, các em phần nào sẽ hiểu đ-ợc ph-ơng pháp giải và kiểu của dạng bài th-ờng gặp.
3

Bài 1. Cho P

x 1

Đkxđ: x 0; x 1 . Tìm x Z để P Z

Bài giải:
Ta có P

3
x 1

, để P Z

x 1 Ư(3)={-3;-1;1;3}

Ta có bảng sau:
x 1
x

-3
-4

-1
-2

x





1
0
0

3
2
4

Vậy x{0;4}
3 x 2

Bài 2. Cho P

x 2

Đkxđ: x 0; x 4; x 9 . Tìm x Z để P Z

Bài giải:
Ta có P 3

4
x 2

, để P Z

x 2 Ư(4)={-4;-2;-1;1;2;4}

Ta có bảng sau:
x 2
x

x

-4
-2


-2
0
0
(loại)

-1
1
1

1
3
9
(loại)

2
4
16

4
6
36

Vậy x{1;16;36}

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

7


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com
6. Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
Bài 1. Cho P

3

Đkxđ: x 0; x 4 . Tìm giá trị lớn nhất của P.

x 2

Bài giải:
Ta có
x0 x 0 x 22
1
1


x 2 2
3
3


x 2 2
3
P
2

Pmax

3
3
khi x = 0.Vậy giá trị lớn nhất của P là
khi x = 0.
2
2

Bài 2. Cho P

5 x 13

Đkxđ: x 0; x 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P

x 3

Bài giải:
Ta có P 5

2
x 3

x 0 x 0 x 33
1
1

x 3 3
2
2


x 2 3
2
2
5
5
3
x 2

13
P
3


Pmin

13
13
khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
khi x = 0.
3
3

Bài 3. Cho P

x x 1
x

Đkxđ: x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài giải:
Ta có P x 1
Vì x > 0 nên

1
x

x 0;

x
1
x

1
x

1

0 . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số

x 0;

1
x

0:

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

8


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com
x

1

2

x

1

x

x
1

x

x

1

x.

x

2
1 2 1

P 1

Pmin 1 khi
Bài 4. Cho P

1

x

x

2x

x 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1 khi x = 1.

Đkxđ: x 4

x 2

. Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài giải:
8

Ta có P 2 x 4
Vì x >4 nên 2
2





x 2

x 2

x 2 0;

8

2 2



x 2

2



x 2



2



x 2



2

8
x 2

8
x 2







8

x 2

8
x 2



x 2

8

0 . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số : 2

x 2 .



8
x 2

x 2 0;

8
x 2

0



8
888

P 16

Pmin 16 khi

2





x 2

8

x 2





x 2



2

x 2 2
x 4
x 16
4


x 16
x 0(l)
x 2 2
x 0

. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 16 khi x = 16.
7. Dạng 7: Tìm giá trị của tham số m để P thoả mãn một đẳng thức, một bất đẳng thức:

x 0
2x
Đkxđ:
.

x

4
x 2

P x 2 x m 2x x m 1
Tìm m để có 1 giá trị x thoả mãn:
Bài 1. Cho P



Bài giải

P





x 2 x m 2x x m 1







x 1 2x m 1 0

x 1(tmdk )

m 1
x

2

m 1
2 1
m 3

m

1
0 m 1 . Vậy m < 1 hoặc m=3; hoặc m = 9
Để có 1 giá trị x thì:

2
m 9
m 1

4
2
- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

9


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com
4x
Bài 2. Cho P

kx: x 0 : x 4 ; x 9
x 3
Tỡm m phng trỡnh P m 3 x 2 cú hai nghim phõn bit.
Bài giải.
P m 3 x 2 x m 11 x 3m 6 0 1
t t x t 0; t 2; t 3 pt tr thnh :
2
Pt t m 11 t 3m 6 0 (2)
pt(1) cú hai nghim phõn bit thỡ phng trỡnh (2) cú hai nghim dng phõn bit khỏc 2 v 3
0
b
0
a
iu ny xy ra khi:
c 0
a
t 2; t 3

Gii ra c m>29

3
kx: x 0 : x 4 ; x 9
x 2


Tìm m để với mọi x > 9 ta có: x. P. x 2 2m 1 4x
Bài giải. (Bản chất là tìm m để x>9 là tập con của tập nghiệm BPT trên)
Bài 3. Cho P

x. P.








x 2 2m 1 4x x 2m 1 1


2m 1 0
2m 1 0
2m 1 0
2m 1 0

1




1
1
10 18m
Để bpt đúng với mọi x>9 x
2m

1

9

9

0

2m 1
2m 1
2m 1 0
x 9

1

m

2m 1 0
1

2


m
2
10 18m 0
m 5

9
Bài 4. Cho P 1 x kx: x 0 : x 4
Tìm m để có x thoả mãn

Bài giải.







x 1 .P x m



2

1 5

x 1 .P x m x x m 1 0 x m 0
2 4

2

1
5

x m
2 4


(1)

Ta có
2

1 1
1
1

x 0 x 0 x x (2)
2 2
2 4

5
1
Từ (1) và (2): m m 1
4
4
- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

10


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

Rút gọn biểu thức trong đề thi
(Trớch trong cỏc thi mụn Toỏn vo lp 10 TP. H Ni
v mt s thi vo THPT Chuyờn Ngoi Ng HQG H Ni)



1

x

x

Bài 1 (2008). P

:
x 1 x x
x
a. Rút gọn P.

b.Tính giá trị của P khi x = 4
x
3
6 x 4


x 1
x 1
x 1

Bài 2 (2007). P

Bài 3 (2006). P



a. Rút gọn P

Bài 4 (2005). P






13
3

b. Tìm x để P

a. Rút gọn P

1
2


a a 1
1

:


a 1 a 1
a 1
a 1

a3 a 2
a 2

c. Tìm x để P=



1
a 1

1
P
8
1
5 x 4 2 x
x


:

x 2 2 x x
x
x 2

b. Tìm a để

b. Tính giá trị của P biết x

a. Rút gọn P.

3 5
2

c. Tìm m để có x thỏa mãn: P mx x 2mx 1


Bài 5 (2004). P x


1
x

x 1 1 x


:
x x
x

b. Tính P biết x

a. Rút gọn P.

2
2 3

c. Tìm x thỏa mãn: P x 6 x 3 x 4
4 x

8x

x 1

2



Bài 6 (2003). P
:

x
2 x 4x x 2 x
a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của x để P = -1
c. Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m x 3 P x 1





Bài 7 (2002). P x




x2 x
x 4


:
x 1 x 1 1 x

a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị của x thỏa mãn P < 0
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.


x 4
3 x 2
x

Bài 8 (2001). P

:


x x 2
x 2
x
x 2







a. Rút gọn P.
b. Tính các giá trị của P biết x 6 2 5
c. Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn: x 1 P x n

x

1



1



2



Bài 9 (2000). P
:

x 1 x x x 1 x 1
a. Rút gọn P.
b. Tìm x để P > 0.
- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

11


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

c. Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn: P. x m x
2x 1

Bài 10 (1999). P

3
x 1

a. Rút gọn P.

1
x 4
: 1

x 1 x x 1



b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d-ơng.

x x 26 x 19 2 x
x 3


x 2 x 3
x 1
x 3
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x 7 4 3

Bài 11 (1998). P

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2a 4
a 2
2


a a 1 a a 1
a 1
a. Rút gọn P
b. Tính P khi a 3 2 2
x 1
x 1
1
Bài 13 (1996). Cho A 2 4 : 5 4
x 1 x 1 x x x 1

Bài 12 (1997) P

a. Rút gọn A để chứng minh rằng A = x 2 - x - 2 .
c. Tìm GTNN của A

b. Tìm x để A= 4.

a a a a
1 :
1

a

1
a

1




Bài 14 (1995). Cho B

a. Rút gọn B.
b. Tìm a để B < 1
c. Tìm a để B nguyên và tính B theo a vừa tìm đ-ợc.
Bài 15 (1994). Cho P
2



a b
a b

a. Rút gọn P.



2

b a

a b





ab
ba

b. Tính P biết a =2, b= 8
1

Bài 16 (1993). P

x x 1

a. Rút gọn P



1
x x 1



x3 x
1 x

b. Tìm x để P > 0
a b 2

a
a
b


:
ab 1 1 ab
ab 1
ab 1


Bài 17 (1992). P

a. Rút gọn P
b. Cho a b 6 . Tìm a, b để P đạt GTNN và GTNN đó là bao nhiêu ?
Bài 18 (Ams 2005). Cho P
a. Rút gọn P.

x x 1 x x 1 x 1


x x
x x
x
9
b. Tìm x để P
2

x 1
x 1 1

x
Bài 19 (Ams 2004). Cho P




2
x 1
x 1
2 x
P
2
a. Rút gọn P.
b. Tìm x để
x

Bài 20 (Ams 2003). Cho P
a. Rút gọn P.

2

x2 x
2x x 2(x 1)


x x 1
x
x 1

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c. Tìm x để Q

2 x
nhận giá trị
P

nguyên.
Bài 21 (Ams 2002). Cho P

x 1
x2
x 1


x 1 x x 1 x x 1

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

12


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com
2
a. Rút gọn P. b. Tìm Max Q x
P

x 2
x 3
x 2

x
Bài 22 (Ams 2001). Cho P


: 2

x 3
x 1
x 5 x 6 2 x
1
5
a. Rút gọn P.
b. Tìm x để
P
2
2x 2 x x 1 x x 1


Bài 23 (Ams 2000). Cho P
x
x x
x x

a. Rút gọn P.

b. So sánh P với 5.

c. Với mọi giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

8

chỉ nhận đúng một giá trị
P

nguyên.
x 3

x 2

x 2



x

Bài 24 (Ams 1999). Cho P


: 1

x 1
x 2 3 x x 5 x 6
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
P
x 1

xy x
xy x
x 1
Bài 25 (Ams 1998). Cho P

1 : 1


xy 1
xy 1
xy 1 1 xy

1
1
a. Rút gọn P.
b. Cho

6 . Tìm giá trị lớn nhất của A.
x
y

a. Rút gọn P.

b. Tìm x để P <0

Bài 26 (Ams 1997). Cho P



3 x x 3

a. Rút gọn P.

x x 2

x 3

x 2
15
b. Tìm x để P
4

Bài 27 (HN 2009). Cho biu thc: A
a) Rỳt gn A



c. Với giá trị nào của x thì

x

x4

x 2



1
x 2

x 1

1

x 2

b) Tớnh giỏ tr ca A khi x = 25

Bài 28 (HN 2010).Cho biu thc A
a) Rỳt gn biu thc A.

x
x 3





x

3 x



1
3

2x x 1
2

:

9 x x 3 x
x

b)Tỡm giỏ tr ca x P

a)Tỡm iu kin ca x P cú ngha v rỳt gn P.
8 x
23 x

1
3



b) Tỡm giỏ tr ca x A

Bài 29 (CN 2010) Cho biu thc P

c) Tỡm x A

3x 9
vi x 0;x 9
x 3 x 9

2 x

c) Tỡm giỏ tr ln nht ca A.

Bài 30 (CN 2009) A

vi x 0 v x 4

4
3

3

x 2 3
23 x 3 x 2 4
x

:2

3 2
3
3


3
2

x
x

2
x 2 x



Với x 8; x -8; x 0. Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x.

1 1 x
1 1 x


Bài 31 (CN 2007) : P

1 x 1 x 1 x 1 x

2

x2 1
1
.
2

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

13


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.


x

1

2

2

b. Tìm x để P



2 x

:

Bài 32 (CN 2006) : P 1
x 1 x x x x 1 1
x

1



a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q = P - x nhận giá trị nguyên.

2x x x x x x
x 1
x




x 1 2x x 1 2 x 1
x x 1

Bài 33 (CN 2005) : M

a. Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
b. Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của
M?
Bài 34 (CN 2004) A

x2
x 1
1


x x 1 x x 1
x 1

a. Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.
1
3
3x 9 x 3
Bài 35 (CN 2002) : P

x

x

2

b. Tính A với x = 33 - 8 2

c. Chứng minh rằng A <

1
x 1



1
2 :
x 2
x 1
1

a. Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P.
1
là số tự nhiên? c. Tính giá trị của P với x = 4 - 2 3
P
3
3
1
1
2
1 1 x y xx y y
Bài 36 (CN 2011) : A

. :
y x y x y
x

xy 3 x 3 y

b. Tìm các số tự nhiên x để

a)Rút gọn A
Bài 37 (HN 2011) : A
a. Rút gọn A

b) Tìm x ; y biết xy

1
;A 5
36

x
10 x
5


vi x 0;x 25
x 5 x 25
x 5

b.Tớnh giỏ tr ca A khi x = 9

c.Tỡm x A

1
3

Bài 38 (HN 2012) :
a) Cho biu thc A

x 4
. Tớnh giỏ tr biu thc A khi x = 36
x 2



x
4 x 16

(vi x 0; x 16 )
:
x

4
x

4

x 2

b) Rỳt gn biu thc B

c) Vi cỏc biu thc A, B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x giỏ tr ca biu thc
B.(A-1) l s nguyờn.
Bài 39 (HN 2013) : Vi x>0, cho hai biu thc A

x 1 2 x 1

2 x
v B

x
x x
x

1) Tớnh giỏ tr ca biu thc A khi x= 64.
2) Rỳt gn biu thc B.

3) Tỡm x

A 3

B 2

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

14


Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

Bài 40 (HN 2014) :
1) Tớnh giỏ tr ca biu thc A

x 1
khi x= 9.
x 1

1 x 1
x2
vi x x 0; x 1

.
x 2 x 1
x2 x

2) Cho biu thc P

a) Chng minh rng P
Bài 41 (HN 2015) : Cho P

x 1
x

b) Tỡm x 2P 2 x 5

x3
x 1 5 x 2
;Q

x4
x 2
x 2

x 0; x 4

1) Tớnh giỏ tr ca P khi x = 9
2) Rỳt gn Q

P
t giỏ tr nh nht
Q

x x 2
x
Bài 42 (CN 2015) :Cho P

x 2
x x 8

3) Tỡm x biu thc



.

x

2 . Tỡm iu kin ca x A

x 2



cú ngha v rỳt gn A.
Bài 43. Cho:

2x x 1 2x x x x x x

.
A 1

2 x 1
1

x
1

x
x



a. Tìm điều kiện để A có nghĩa.
c. Chứng tỏ rằng A
Bài 44.Cho M

b. Tính x nếu A

6 6
5

2
là bất đẳng thức sai.
3

a2 a
a2 a

a a 1 a a 1

M a 1 1

Rút gọn biểu thức: P =

2 xy x 2 xy y 2 xy
2 xy
:

x xy y xy
x y




Bài 45.Cho biểu thức: A 1
1. Rút gọn A.

2. Tìm m để ph-ơng trình A = m - 1 có nghiệm x, y thoả mãn
Bài 46 .Cho biểu thức: P

x y 6

1 x
1
:
x x x x
x x2

1. Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn P.
P 2x 2
2. Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q
cũng là số nguyên.
x 1
2 x 1 x 2 x x x x ( x x )(1 x )


Bài 47.Cho biểu thức: M 1


1

x
1

x
x
2 x 1




1. Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2000 - M) khi x 4
3. Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên.
- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

15

Biờn son ni dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com

3x 9 x 3

1



1

1

Bài 48.Cho biểu thức: P


2 :
x

x

2
x

1
x

2

x 1

a. Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P.
b. Tìm các số tự nhiên x để

1
là số tự nhiên?
P

c. Tính giá trị của P với x = 4 - 2 3
Bài 49.Cho biểu thức A

x2
x 1
1


x x 1 x x 1
x 1

1. Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.
2. Tính A với x = 33 - 8 2
3. Chứng minh rằng A <

1
3

2x x x x x x
x 1
x

x 1 2x x 1 2 x 1
x x 1


Bài 50.Cho biểu thức: M

a. Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
b. Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của
M?


x

1

2 x



:

Bài 51.Cho biểu thức: P 1
x 1 x x x x 1 1
x

1

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q = P - x nhận giá trị nguyên.
1 1 x
1 1 x

Bài 52.Cho biểu thức: P


1

x

1

x
1

x

1

x



2

x2 1
1

.
2

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
2. Tìm x để P

2
2

Bài 53. cho biểu thức
A

8 x
23 x

3

x 2 3
23 x 3 x 2 4
x

:2

3 2
3
3


3
2

x
x

2
x 2 x



Với x 8; x -8; x 0. Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x.

- Truy cp trang ụn luyn thi vo 10 Toỏn Vn Anh tt nht!

16