Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh lớp 10 thông qua các bài toán vectơ trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

VU THI HƯƠNG GIANG

RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ
CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT
QUA CÁC BÀI TOÁN VECTƠ TRONG MẶT PHĂNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

VU THI HƯƠNG GIANG

RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ
CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT
QUA CÁC BÀI TOÁN VECTƠ TRONG MẶT PHĂNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
Người hướng dẫn khoa học
ThS. PHẠM THẾ QUÂN

HÀ NỘI - 2018


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa
toán, các thầy cô trong tổ phương pháp đã dạy dỗ em tận tình trong suốt thời gian
em học tập tại trường ĐHSP Hà Nội 2.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo ThS. Phạm Thế Quân,
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em tận tình trong suốt thời gian em thực hiện
khóa luận tốt nghiệp này.
Do đây là lần đầu tiên em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, hơn
nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của
các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Hương Giang


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin khẳng định đây là kết quả nghiên cứu của riêng cá nhân tôi với sự
hướng dẫn của thầy giáo ThS. Phạm Thế Quân. Đề tài này chưa từng được công
bố ở đâu và hoàn toàn không trùng với nghiên cứu của tác giả khác.
Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Sinh viên
Vũ Thị Hương Giang

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

.............................................................................................................1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ..............................................................................3
1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán ..............................................................3
1.1.1. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học.............3
1.1.2. Phát triển năng lực trí tuệ ...........................................................................5
1.1.3. Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học 8
1.1.4. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động..11
1.2. Tổng quan về các hoạt động trí tuệ.................................................................12
1.2.1. Hoạt động trí tuệ chung trong môn Toán .................................................12
1.2.2. Hoạt động trí tuệ phổ biến........................................................................20
1.3. Định hướng chung rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh..........................21
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .......................................................................................23
CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH LỚP 10
QUA CÁC BÀI TOÁN VECTƠ Ở TRONG MẶT PHẲNG ...........24
2.1. Nội dung và mục đích dạy học chương vectơ lớp 10 ở THPT .......................24
2.1.1. Nội dung dạy học chương vectơ hình học cơ bản lớp 10 ở THPT ..........24
2.1.2. Mục đích dạy học chương vectơ lớp 10 ở THPT .....................................25
2.1.3. Tiềm năng rèn luyện cho học sinh trong chương vectơ ...........................27
2.2. Rèn luyện hoạt động trí tuệ qua các bài toán vectơ ở trong mặt phẳng .........29
2.2.1. Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ ...............................................29
2.2.2. Dạng 2: Chứng minh hai điểm trùng nhau ...............................................37
2.2.3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước..................40
2.2.4. Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song ....43
2.2.5. Dạng 5: Tìm tập hợp điểm........................................................................48

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .......................................................................................55
KẾT LUẬN ...........................................................................................................56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................57


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
THPT

: Trung học phổ thông

CMR

: Chứng minh rằng

HS

: Học sinh

NXB

: Nhà xuất bản

VT

: Vế trái

VP

: Vế phải

ĐPCM : Điều phải chứng minh


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Trung Ương 2 Khóa VIII, Ban chấp hành Trung Ương Đảng
cộng sản Việt Nam đã chỉ rõ “Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải
hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải
quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở
trường phổ thông…áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng
cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”.
Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy
định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác, tư duy
sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí
vươn lên”. (Chương 1 điều 4)
Trước nhu cầu đó, đáng tiếc là trong tình hình hiện nay, phương pháp
dạy học ở nước ta còn có những nhược điểm phổ biến thầy thuyết trình tràn lan;
kiến thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện; thầy áp đặt,
trò thụ động; thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo
của người học.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của
giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách. Cùng với việc tạo
điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần
thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như
phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa.
Vectơ là một nội dung quan trọng trong môn toán ở trường phổ thông.
Bài tập về vectơ đa dạng và khá khó, đòi hỏi học sinh suy nghĩ, tìm tòi cùng với
việc nắm vững các khái niệm các quy tắc thì mới có thể giải quyết được. Và cũng
do học sinh lớp 10 lần đầu được tiếp xúc với kiến thức vectơ nên còn khá bỡ ngỡ,
lúng túng. Khi đứng trước một bài toán vectơ các em chưa biết phải bắt đầu từ đâu,

suy nghĩ theo hướng nào để tìm ra lời giải.

1


Chính vì các lý do trên nên đề tài khoá luận tốt nghiệp được chọn là
“Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh lớp 10 thông qua các bài toán
vectơ trong mặt phẳng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh thông qua
giảng dạy chương vectơ trong chương trình hình học lớp 10.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận và một số biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ của học
sinh trong giảng dạy môn toán.
Trên cơ sở lý luận và một số biện pháp đã được xác định, đề xuất phương án
rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán vectơ.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Phương pháp quan sát – điều tra.
Phương pháp thực nghiệm giáo dục.
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm 2
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận
Chương 2: Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh lớp 10 qua các bài
toán vectơ ở trong mặt phẳng.


CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán
1.1.1. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học
Môn Toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương
pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực. (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26)
Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các
mục tiêu về các phương diện khác. Để đạt được mục tiêu quan trọng này, môn Toán
cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương
pháp toán học phổ đồng thời bồi dưỡng cho họ khả năng vận dụng những hiểu biết
toán học vào việc học tập các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo
tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật.
Việc thực hiện mục tiêu này được cụ thể hóa như sau:
Thứ nhất, cần tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những dạng tri thức khác
nhau. Người ta thường phân biệt 4 dạng tri thức:





Tri thức sự vật;
Tri thức phương pháp;
Tri thức chuẩn;
Tri thức giá trị.

Tri thức sự vật trong môn Toán thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm
vectơ), một định lý (chẳng hạn định lý hàm số sin), cũng có khi là một yếu tố lịch
sử, một ứng dụng toán học.
Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất :
những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc hai) và
những phương pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn phương pháp tổng quát của

Polya để giải bài tập toán học).
Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn
quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần đúng.


Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá chẳng hạn “Toán học
có vai trò quan trọng trong khoa học và công nghệ cũng như trong đời sống”, “Khái
quát hóa là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”.
Trong dạy học Toán, người thầy giáo cần coi trọng đúng mức các dạng tri
thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc biệt, tri thức
phương pháp ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức giá trị liên hệ
mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thế giới quan.
Thứ hai, do sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần
rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những kĩ năng trên những bình diện khác
nhau :
 Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;
 Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau;
 Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống.
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức
toán học. Không thể hình dung một người hiểu những tri thức toán học mà lại
không biết vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện công cụ thứ hai thể hiện vai trò công
cụ của toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ
liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên dạy Toán
cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán. Nó
cũng cho học sinh thấy rõ mối quan hệ giữa toán học và đời sống.
Thứ ba, dựa vào sự phân tích các mục tiêu dạy học của Benjamin Bloom và
các cộng sự [7, tr.53], cần có ý thức để học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và
rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên cao:

 Biết: ghi nhớ và tái hiện thông tin;
 Thông hiểu: giao tiếp sử dụng các thông tin đã có;
 Vận dụng: áp dụng các thông tin (quy tắc, phương pháp, khái niệm,…) vào
tình huống mới mà không cần sự gợi ý;


 Phân tích: chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa chúng;
 Tổng hợp: cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên
mẫu mới;
 Đánh giá: phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào
đó.
Thứ tư, cần làm nổi bật những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương trình,
chẳng hạn:









Các tập hợp số;
Các phép biến đổi đồng nhất;
Phương trình và bất phương trình;
Hàm số và đồ thị;
Những yếu tố của phép tính vi tích phân;
Vectơ và tọa độ;
Những yếu tố tổ hợp và xác suất;

Định nghĩa và chứng minh toán học.

Cách làm này giúp học sinh thấy được cái bộ phận trong cái toàn thể, tránh
tình trạng thấy cây mà không thấy rừng.
1.1.2. Phát triển năng lực trí tuệ
Môn Toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình
thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống. (Chương
trình 2002, tr.2 và trang 26)
Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, một cách có hệ thống, có kế
hoạch chứ không phải là tự phát. Muốn vậy người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về
các mặt sau đây:
Thứ nhất, rèn luyện tư duy và ngôn ngữ chính xác.
Do đặc điểm của khoa học toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có
thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách


rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao
đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư
duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính
xác.
Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn toán
có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:
 Làm cho học sinh nắm vững hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết
logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,...
 Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.
 Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập
tiến hành chứng minh.
Thứ hai, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng.
Tác dụng phát triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn

luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn
khai thác khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:
 Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như
xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen,... Những suy đoán có thể rất táo bạo,
nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không
phải là đoán mò càng không phải là nghĩ liều.
 Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan
hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những
hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành,
sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống.
Thứ ba, là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi học
sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích,
tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa v.v… do đó có tác dụng rèn luyện cho học
sinh những hoạt động trí tuệ này.
Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật
thành những bộ phận riêng lẻ.


Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết
nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái
ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt
động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra
trên nền tảng phân tích và tổng hợp.
Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không
bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý
nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn
chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật lên một số đặc điểm chung của các phần tử
trong tập hợp xuất phát. Như vậy, ta thấy ngay rằng trừu tượng hóa là một điều kiện
cần của khái quát hóa.

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong môn Toán,
học sinh còn thường phải thường xuyên thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh,
… do đó có điều kiện rèn luyện những hoạt động trí tuệ này.
Thứ tư, hình thành những phẩm chất trí tuệ. Việc rèn luyện cho học sinh
những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong
cuộc sống. Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng.
– Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng
quá trình tư duy. Trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá
trình tư duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá
trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình
mới.
– Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện
vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và
hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư
duy. Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ và tư
tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết
đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?”v.v… đúng chỗ, đúng lúc.


– Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều
kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của
tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới:
phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới
không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ,
nhưng vấn đề là ở chỗ nhìn cách cũ như thế nào. Tính sáng tạo có thể dẫn tới những
suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận.
1.1.3. Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học
Môn Toán cần góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách
lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường
xuyên. (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26)

Để thực hiện mục tiêu này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần bồi
dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họ những phẩm
chất và phong cách lao động khoa học của người lao động mới trong học tập và sản
xuất như làm việc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn
thận, chính xác, kỷ luật, tiết kiệm, sáng tạo, dám nghĩ dám làm, biết hợp tác lao
động, có ý chí và thói quen tự học, có óc thẩm mĩ, có sức khỏe, dũng cảm bảo vệ
chân lí, xây dựng và bảo vệ tổ quốc.
Cũng như ở các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán phải là một quá
trình thống nhất giữa dạy chữ và dạy người. Để làm được việc này, người thầy giáo
Toán một mặt phải thực hiện phần nhiệm vụ chung giống như giáo viên các bộ môn
khác: phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể học sinh, phối
hợp với giáo viên chủ nhiệm,… nhưng mặt khác còn cần khai thác tiềm năng của
nội dung môn Toán để đóng góp phần riêng của bộ môn vào việc thực hiện mục tiêu
này.
Nhìn chung, cần chống hai khuynh hướng:
 Khuynh hướng thứ nhất phủ nhận nhiệm vụ giáo dục tư thưởng chính trị
của môn Toán, hay nhẹ hơn một chút là chỉ hạn chế tác dụng giáo dục của môn này
ở chỗ ra một số bài tập ứng dụng.


 Khuynh hướng thứ hai muốn ôm đồm thực hiện tất cả các nhiệm vụ giáo
dục toàn diện của nhà trường mà không căn cứ vào đặc điểm bộ môn.
Vấn đề đặt ra là phải khai thác tiềm năng đặc thù của nội dung môn Toán với
tư cách là một thành phần trong tất cả các môn học, góp phần giáo dục chính trị tư
tưởng, phẩm chất đạo đức, phong cách lao động khoa học và thẩm mĩ.
Thứ nhất, cần giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội. Trong phạm vi
môn Toán, có thể thực hiện mục tiêu này theo các cách sau:
 Đưa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào những đề
toán trong những trường hợp có thể được, chẳng hạn những bài toán có nội dung
thực tế giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

 Khai thác một số sự kiện về lịch sử toán học liên quan tới truyền thống dân
tộc, chẳng hạn việc tính gần đúng số pi theo quy tắc: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ,
quân nhị”.
 Giáo dục lòng tự hào về tiềm năng toán học của dân tộc ta. Tiềm năng này
bộc lộ rõ ràng đến mức thế giới đã thừa nhận rằng có một nền toán học Việt Nam.
Việc dùng tiếng mẹ đẻ trong dạy học và nghiên cứu Toán cũng là một niềm tự hào
dân tộc.
Thứ hai, cần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng. Môn
Toán có nhiều tiềm năng có thể khai thác để thực hiện mục tiêu này, điều đó được
cụ thể hóa như sau:
 Làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tế, cụ thể là thấy
rõ toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, thấy rõ nguồn gốc, đối tượng
và công cụ của toán học, qua đó hiểu được bản chất của những sự trừu tượng toán
học.
 Làm cho học sinh ý thức được những yếu tố của phép biện chứng, chẳng hạn
sự tương quan và vận động của các sự vật và hiện tượng, sự thống nhất và đấu tranh
của các mặt đối lập, sự chuyển hóa từ thay đổi số lượng sang chất lượng, sự biện
chứng của cái chung và cái riêng, của cái cụ thể và cái trừu tượng, của tất nhiên và
ngẫu nhiên v.v…


Cần chú ý là ta thực hiện những điều này thông qua việc dạy học Toán chứ
không phải là dạy môn triết học trong môn Toán.
Thứ ba, cần rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách lao động khoa học cho
học sinh. Môn Toán có tiềm năng rất lớn đối với việc bồi dưỡng cho học sinh những
phẩm chất đạo đức và phong cách lao động khoa học của con người mới, bởi vì bản
thân lao động toán học cũng đòi hỏi những phẩm chất và phong cách như thế.
Những phẩm chất và phong cách này thể hiện ở tính cẩn thận, chính xác, tính kế
hoạch, kỉ luật, tính kiên trì, vượt khó, ý chí tiến công, tinh thần trách nhiệm, khả
năng hợp tác lao động, ý chí và thói quen học hỏi, rút kinh nghiệm, thái độ phê

phán, thói quen tự kiểm tra v.v…
Trong khi việc giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, việc bồi dưỡng
thế giới quan duy vật biện chứng chỉ có thể thực hiện ở những cơ hội nhất định thì
việc rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách khoa học cho học sinh diễn ra hàng
ngày, hàng giờ trong môn Toán. Điều quan trọng là thầy giáo không nên vì thế mà
ôm đồm, muốn bồi dưỡng cho học sinh quá nhiều phẩm chất, phong cách một cách
dàn trải trong cùng một tiết học. Phải căn cứ vào đặc thù của nội dung, vào tình
hình cụ thể của học sinh về mặt đạo đức mà lúc thì tập trung vào phẩm chất, phong
cách kia một cách có trọng tâm, trọng điểm. Như vậy mới có thể đạt được hiệu quả
giáo dục mong muốn.
Thứ tư, là việc giáo dục thẩm mĩ qua môn Toán. Để giáo dục văn hóa thẩm mĩ
cho học sinh, cần chú ý phát triển đồng thời các thành tố: tri thức và tầm nhìn thẩm
mĩ, quan niệm và thị hiếu thẩm mĩ, tình cảm và năng lực thẩm mĩ. Môn Toán cũng
có thể đóng góp phần mình vào giáo dục thẩm mĩ cho học sinh về một số phương
diện như sau:
Môn Toán có những cơ hội để học sinh cảm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa
thông thường trong đời sống. Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, cách trình
bày bảng sáng sủa của thầy, cô giáo, những trang hình màu sắc hòa hợp trên máy vi
tính, những hình cân đối, hài hòa mà nhiều khi đã được người ta sử dụng trong kiến
trúc và trong nghệ thuật tạo hình v.v… có tác dụng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho


học sinh biết thưởng thức cái đẹp. Việc yêu cầu học sinh giữ vở sạch, viết chữ đẹp,
vẽ hình rõ ràng, sáng sủa, vẽ đồ thị với đường nét trơn tru, trình bày những phép
tính ngắn gọn, chặt chẽ, chính xác,… sẽ góp phần giáo dục họ biết thể hiện và sáng
tạo cái đẹp.
Toán học có một vẻ đẹp rất đặc sắc thể hiện ở tính logic, chính xác của nó. Nhà
bác học Nga N.E.Giucopxki (1847-1921) đã nhận xét: “Toán học cũng có vẻ đẹp
riêng giống như hội họa và thi ca. Vẻ đẹp này thường hiện ra qua những tư tưởng
rõ ràng, khi mọi chi tiết của các suy lí như bày ra trước mắt ta, nhưng có khi nó làm

ta phải sửng sốt vì những ý đồ rộng lớn chứa điều gì đó chưa được nói ra hết nhưng
đầy hứa hẹn” [3]. Như vậy, cùng với tri thức toán học quy định trong chương trình,
môn Toán còn có tiềm tàng những khả năng không nhỏ để giáo dục thẩm mĩ. Giáo
viên có thể dạy cho học sinh thưởng thức và thể hiện cái đẹp trong lập luận logic
chặt chẽ, trong cách trình bày rõ ràng, mạch lạc, trong ngôn ngữ kí hiệu ngắn gọn,
chính xác, trong những lời giải bất ngờ, độc đáo, trong những ứng dụng phong phú
đa dạng,… của toán học và đời sống.
Toán học có tác dụng phát triển ở người học nhiều phẩm chất, giúp họ biết
thưởng thức và sáng tạo cái đẹp. Một công trình nghệ thuật giá trị nào mà không có
sự sáng tạo. Con người phải có óc sáng tạo thì mới tạo ra được cái đẹp. Như vậy, óc
thẩm mĩ gắn liền với óc sáng tạo. Việc thưởng thức và tạo ra cái đẹp cũng thường
liên hệ với tư duy hình tượng. Toán học góp phần phát triển năng lực sáng tạo và tư
duy hình tượng, cho nên môn Toán có tác dụng giáo dục thẩm mĩ.
1.1.4. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động
Môn Toán cần tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học
chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng phân
ban: ban Khoa học tự nhiên và ban Khoa học xã hội và nhân văn. (Chương trình
2002, tr.2 và tr.26)
Để đạt được mục tiêu này, các yếu tố nhân cách nêu trong các mục đích thành
phần phải được hình thành và củng cố tạo nên tiềm lực để người học có thể thích
ứng với những con đường sự nghiệp khác nhau, với những hoàn cảnh khác nhau, và


có thể thực hiện giáo dục suốt đời dựa trên bốn trụ cột có rất nhiều mối quan hệ,
liên hệ, tác động giữa chúng với nhau và làm thành một thể thống nhất [12, tr.71 và
tr.82]:
 Học để biết là nắm được những công cụ để “hiểu”;
 Học để làm là phải có khả năng hoạt động sáng tạo tác động vào môi trường
của mình;
 Học để cùng chung sống là tham gia và hợp tác với những người khác trong

mọi hoạt động của con người;
 Học để làm người là sự tiến triển quan trọng nảy sinh từ ba loại hình học tập
trên, nhằm phát huy tốt hơn nhân cách của mình và sẵn sàng hành động với một khả
năng ngày càng gia tăng về các mặt tự chủ, suy xét và về trách nhiệm cá nhân.
1.2. Tổng quan về các hoạt động trí tuệ
1.2.1. Hoạt động trí tuệ chung trong môn Toán
Theo Nguyễn Bá Kim thì nội dung dạy học môn Toán có mối liên hệ chặt chẽ
với các hoạt động của học sinh. Mỗi nội dung môn học đều liên hệ với những hoạt
động nhất định, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành
hoặc vận dụng nội dung đó [9].
Dạy học là một quá trình phức tạp nên ta cần xem xét những hoạt động trên
những bình diện khác nhau liên hệ với những nội dung dạy học. Nội dung môn
Toán ở trường phổ thông liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động. Trong đó có
các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát
hóa đặc biệt hóa, trừu tượng hóa cụ thể hóa.
a) Phân tích và tổng hợp:
Phân tích là dùng trí não để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt
của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Trái lại, tổng hợp là dùng
trí não để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể
hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.


Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai
mặt của một quá trình thống nhất.
Ví dụ 1.1
Bài toán 1.1. Cho 4 điểm A,B, C, D. Chứng minh rằng ⃗�⃗�⃗ + ⃗�⃗�⃗ = ⃗�⃗�⃗ +
�⃗�⃗
Phân tích:
Để chứng minh 2 vế của đẳng thức bằng nhau ta có nhiều hướng giải quyết
biến đổi VT thành VP, VP thành VT hoặc biến đổi cả hai vế.

Nếu làm theo hướng thứ nhất ta phải làm xuất hiện ⃗�⃗�⃗ , �⃗�⃗

ta sẽ chèn

thêm điểm D vào ⃗�⃗�⃗ , chèn điểm B vào ⃗�⃗�⃗ . Hướng thứ hai biến đổi VT thành
VP ta cũng có ý tưởng giải quyết theo hướng thứ nhất.
Hướng thứ ba biến đổi cả hai vế, ta sẽ chuyển ⃗�⃗�⃗ , ⃗�⃗�⃗
⃗�⃗�⃗ về 1 vế sau đó dùng quy tắc trừ sẽ ra điều phải chứng minh.
Tổng hợp:
Cách 1:
VT= ⃗�⃗�⃗ +
⃗�⃗�⃗ =
Cách 2:

⃗�⃗�⃗ +
�⃗
⃗�⃗ + ⃗�⃗�⃗ +
�⃗
⃗�⃗ = ⃗�⃗�⃗ + �⃗�⃗ =VP(đpcm)

⃗ ⃗�⃗ = �
⃗ ⃗�⃗ +
VP=⃗�⃗�⃗ + �
⃗
�⃗
⃗�⃗ + ⃗�⃗�⃗ +
�⃗⃗
⃗�⃗ = ⃗�⃗�⃗ + ⃗�⃗�⃗ =  �(đpcm)
Cách 3:
⃗�⃗�⃗ + ⃗�⃗�⃗ = ⃗�⃗�⃗ + �⃗�⃗ ⃗�⃗�⃗ − ⃗�⃗�⃗ = ⃗�⃗�⃗ −

�⃗
⃗�⃗

�⃗⃗
⃗�⃗ =
�⃗⃗
⃗�⃗ (đpcm)

về 1 vế ⃗�⃗�⃗ ,


b) So sánh:
So sánh là sự xác định giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng.
Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của
chúng, đối chiếu các dấu hiệu của chúng, đối chiếu các dấu hiệu thuộc tính đó với
nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) đó có gì giống và khác nhau.
Ví dụ 1.2
Bài toán 1.2.1. Cho tam giác ABC; M, N, P là các điểm thỏa mãn
�⃗�⃗ = 
�⃗
⃗�⃗ , ⃗�⃗�⃗ = 
⃗�⃗
⃗�⃗ , ⃗�⃗�⃗ =  �⃗�⃗ (, ,  ≠ 0, ≠ -1). Chứng minh rằng M, N, P
thẳng hàng khi và chỉ khi  =1.


Giải
A
N
P

M

C

Hình 1.1
 �⃗�⃗ =
 �⃗
⃗�⃗  ⃗�⃗�⃗ −
�⃗
⃗�⃗ =
(�⃗
⃗�⃗ −
�⃗
⃗�⃗ )
 (1 −
)�⃗
⃗�⃗ = ⃗�⃗�⃗ −
�⃗
⃗�⃗ (1)
 ⃗�⃗�⃗ = 
⃗�⃗
⃗�⃗ 
�⃗
⃗�⃗ −
⃗�⃗
⃗�⃗ =
⃗ ⃗
�
⃗�⃗


�⃗
⃗�⃗ = (1 −
)⃗�⃗
⃗�⃗

(2)

 ⃗�⃗�⃗ =  �⃗�⃗ ⃗�⃗�⃗ = (⃗�⃗�⃗ − ⃗�⃗�⃗ )

B


 ⃗�⃗�⃗ = ( − 1)⃗�⃗�⃗
(3) Từ (1), (2), (3) rút ra:
(1 −

)�⃗
⃗�⃗ =

− 1

⃗�⃗�⃗ − (1 −

)⃗�⃗
⃗�⃗



M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi:
1−

=

−1
− (1 − )  −  =  − 1 −  +    = 1


Bài toán 1.2.2. Cho tam giác ABC. Ba điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các đường
thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi:
� �̅ �̅�̅
̅� �̅
.
�̅�̅
Giải

�̅

.
=1
̅�̅ �̅�̅

(1)

Giả sử M, N, P thẳng hàng. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt
đường thẳng qua M, N, P tại D. Áp dụng định lí Ta lét, ta có:
� �̅ �̅
�̅ �̅ �̅�̅
̅� �̅ �̅
�̅ ̅�̅
.
�̅�̅

�̅
.
=
̅�̅ �̅�̅
�̅
.
.
=1
̅�̅ �̅�̅ �̅�̅
Ngược lại, giả sử có hệ thức (1). Gọi P’ là giao điểm của các đường thẳng MN
và AB. Vì M, N, P’ thẳng hàng nên theo chứng minh trên:


� �̅ �̅′̅�̅
̅� �̅
.
�̅�̅
Từ (1), (2) rút ra:

�̅
̅�̅

.

�̅
=1
̅′̅�̅
P̅A
̅B̅

=

(2)

P̅′̅A̅
P̅′̅B̅

P̅
 P trùng P′

Vậy M, N, P thẳng hàng.
Ta thấy hai ví dụ đều là định lý Mê–nê-la-uýt nhưng được viết dưới dạng
khác nhau, ví dụ 1 là dạng vectơ của định lý còn ví dụ 2 là dạng thông thường của
định lí.
Bằng so sánh ta có thể thấy cùng chứng minh 1 định lý nhưng có các chứng
minh khác nhau, học sinh có thể chọn cách chứng minh phù hợp.
c) Tương tự:
Theo Polya: Hai hệ được gọi là tương tự nhau nếu chúng phù hợp với nhau
trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa các bộ phận tương ứng.
Kết luận dựa theo sự tương tự có thể mô tả như sau:
A có tính chất a, b, c
B có tính chất a, b
Thế thì B có tính chất c.
Người ta thường xét sự tương tự trong toán học theo các khía cạnh sau:
– Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là
giống nhau.
– Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò
của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng có
quan hệ giống nhau.
– Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính

của hai hình tương tự. Chẳng hạn:


Tam giác trong hình học phẳng được xem tương tự với tứ diện trong hình học
không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn được giới hạn bởi một số đường


thẳng tối thiểu, còn tứ diện là hình có thể tích hữu hạn được giới hạn bởi một số mặt
phẳng tối thiểu.
Tính chất đường cao của tam giác tương tự với các tính chất các đường cao
của đường tứ diện. Với ý nghĩa đó từ các đường cao, đường trung tuyến, đường
phân giác của tam giác có thể đề xuất và chứng minh các tính chất tương tự của
đường cao, mặt phẳng trung trực, mặt phẳng phân giác của tứ diện.
Từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông có thể xây dựng các hệ thức tương
tự trong tứ diện vuông.
Vai trò của tương tự trong nghiên cứu trong nghiên cứu khoa học đã đưa
G.Polya nhận định: “Phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh”. [13]
Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tưởng, giả thuyết có được
nhờ sự tương tự với một kết quả đã được công nhận trước đó. Đối với học sinh,
tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo của người
học. Để giải một một bài toán, chúng ta thường nghĩ về một bài toán tương tự dễ
hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài
toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình.
Ví dụ 1.3
Bài toán 1.3.1. Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. CMR: ⃗�⃗�⃗ +
�⃗
⃗�⃗ = 0⃗
Giải
Vì O là trung điểm của AB nên ta có:
�� = ��

{⃗
��, �� �ù�
�
⃗��ℎươ���, �ượ� ℎướ�
�

 ⃗�⃗�⃗ +
�⃗
⃗�⃗ = 0⃗ (đpcm)

Bài toán 1.3.2. (Trang 21, Bài 1.11, Bài tập Hình học 10)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
�⃗
⃗�⃗ + �⃗�⃗ +
�⃗
⃗�⃗ = 0⃗ .
Giải