Chương 4 Ứng dụng của đạo hàm.doc

Chương 3: Ứng dụng của đạo hàm
chuong3a – nick yahoo, mail:
.................................................................................................................................................. 1
* Các bdt lồi: ............................................................................................................................ 5
* Bdt Jensen: ........................................................................................................................ 5
*/ BDT về số trung bình: ...................................................................................................... 5
* BDT Holder: ..................................................................................................................... 6
* BDT Minkowski: ............................................................................................................ 7
* Cách tìm tiệm cận 1 số hàm số: ....................................................................................... 8
6/ Điểm kì dị, điểm lùi: ............................................................................................................. 8
7/ Khảo sát đường cong trong tọa độ cực: ............................................................................... 9
8/ Đối xứng trong tọa độ cực: ................................................................................................. 11
9/ Tiếp tuyến của đường cong trong tọa độ cực: ................................................................... 12
10/ Vi phân cung: .................................................................................................................... 12
11/ Độ cong: ........................................................................................................................... 13
* Giải pt f(x) = 0 bằng phương pháp Newton: ...................................................................... 15
* Định lí Weiertrass: .............................................................................................................. 17

Ta nói hàm f(x) tăng trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b ,x x f x f x∀ ∈ < ⇒ ≤
Ta nói hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b ,x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
Định lí 1: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b). Hàm f(x) tăng trên (a, b)
( ) ( )
(
)
( ) ( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
o o
'
o
x 0
o o
o o
o o
'
o
x 0
'
'
2 1 2 1
f x 0, x a,b
f x x f x
Ta có : f x lim 0
x
Vì f x x f x 0, x 0
x 0 f x x f x 0 do ham f x dong bien

f x x f x
f x lim 0
x
Nguoc lai, neu f x 0 tren a,b ,theo dinh lí Larrange ta có :
f x f x f c x x 0
+
+
∆ →
−
−
∆ →
⇔ ≥ ∀ ∈
+ ∆ −
= >
∆
+ ∆ − > ∆ >
∆ < ⇒ + ∆ − <
+ ∆ −
⇒ = >
∆
≥
− = − ≥

Định lí 2: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b). Hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) khi:
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
'
1 1 1 1

1/ f x 0, x a, b
2 / Ko ton tai khoang con a ,b a,b sao cho f x 0 tren a ,b
≥ ∀ ∈
⊂ =
Cho f(x) thỏa 1/ và 2/, vậy theo định lí 1 hàm f(x) tăng trên (a, b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
'
1 2
2
x
2
x ' x '' x
' ' '
Gia su: x , x a,b x x : f x f x f x f x f x
f x 0 tren x ,x trái voi 2/
x
VD1: Cm voi x 0 ta có :e 1 x
2
x
Dat f x e 1 x f x e 1 x, f x e 1 0
2
f x tang tren 0, nhung f 0 0 f x 0 x 0
f x tang tren 0, f x f 0 0
∃ ∈ < = ⇒ = =
⇒ =

> > + +
= − − − ⇒ = − − = − >
⇒ ∞ = ⇒ > ∀ >
⇒ ∞ ⇒ > =
Định lí: Cho f(x) khả vi trong lân cận
( )
'
o o
x và f x 0
=
1/ Nếu
( )
''
o
f x 0<
thì f(x) đạt cực đại tại
o
x
2/ Nếu
( )
''
o
f x 0
>
thì f(x) đạt cực tiểu tại
o
x
Với
( )
'

o
f x 0=
I use Taylor formula với n = 2:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
''
o
2 2
o o
2
''
o
2
o o
2
2
''
o o o
2
f x
f x x f x x o x
2!
o x
f x

f x x f x x
2!
x
o x
Because : 0 khi x 0 nen f x x f x cùng dau voi f x
x
+ ∆ = + ∆ + ∆
 
∆
 
⇒ + ∆ − = ∆ +
 
∆
 
 
∆
→ ∆ → + ∆ −
∆
Định nghĩa: Hàm f(x) xác định và liên tục trên (a, b) được gọi là lõm trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b , c 0,1 f cx 1 c x cf x 1 c f x∀ ∈ ∈ ⇒ + − ≤ + −
Xét ý nghĩa hình học của hàm lõm:
Xét đồ thị cùa hàm số y = f(x) và 2 điểm
( )
( )
( )
( )

1 1 1 2 2 2
A x ,f x , A x ,f x
trên đồ thị.
2
( )
( )
1 2
f cx 1 c x+ −
là tung độ của điểm
( )
( )
o o o
A x ,f x
trên đồ thị với
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 o 2 o 1 2
1 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 2
x x x x cx 1 c x voi c 0,1
x cx 1 c x 1 c x 1 c x x x Vì 1 c 0
cx 1 c x x cx cx x x Vì c 0
< < ⇒ = + − ∈
< + − ⇔ − < − ⇔ < − ≠
+ − < ⇔ < ⇔ < ≠
Còn
( ) ( ) ( )
1 2
cf x 1 c f x+ −

là tung độ của điểm B nằm trên dây trương cung
1 2
A A
(đoạn thẳng
1 2
A A
)
Vậy hàm lõm trên (a, b) nếu điểm
o
A
nằm dưới điểm B hay cung
1 2
A A
nằm dưới dây
trương cung
1 2
A A
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1
1 1

1 2
2 1 2 1
1 2 1
2 1 1 2 1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 1 2
o B 1 2 o
A A x x ,f x f x x x ,y y
A x ,y parametric equation of line segment
x x x x t
x x y y
A A :
x x y y
y y y y t
y y x x y y y x x y x x
x y y y x x x y x y 0 1
B x ,y , B A A x
= − − = − −
= ⇒
= + −

− −

⇒ =

− −
= + −


⇔ − − − = − − −
⇔ − − − + − =

= ∈ =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 o
1 2 2 2 1 2 1 1 2 B 2 1
1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 B 2 1
1 2 1 2 2 2 1 2 B 2 1 B 1 2
cx 1 c x voi c 0,1 The x vào 1 :
cx x cx y y x y x y y x x
cx y x y cx y cx y x y cx y x y x y y x x
x cy cy y x cy cy y y x x y cy 1 c y
+ − ∈
+ − − + − = −
⇔ + − − − + + − = −
⇔ − − − − − = − ⇔ = + −
Parametric equation: pt tham số. line segment: đoạn thẳng.
Hàm được gọi là lồi trên (a, b) nếu
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f cx 1 c x cf x 1 c f x+ − ≥ + −
Nói cách khác hàm f(x) lồi nếu hàm – f(x) lõm
Định lí dấu hiệu lồi, lõm: Cho f(x) khả vi đến cấp 2 trên (a, b). Khi ấy hàm số lõm trên (a,
b)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
''
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 2 1
1 2
1 2
2 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 2
f x 0 tren a,b
Ki hieu : x cx 1 c x voi c 0,1 y f x y f x y f x
Khi ay f cx 1 c x cf x 1 c f x y cy y 1 c 1
x x cx 1 c x x x x 1 c
y y y y
x x x x
x x cx 1 c x x c x x
y y y y
c y
x x c 1 c x x
⇔ ≥
= + − ∈ = = =
+ − ≤ + − ⇔ ≤ + −
− = + − − = − − 
− −
⇔ ≤

 
 
− −
− = + − − = −
 
− −
⇔ ≤ ⇔ −
− − −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2 2 1 2
y c 1 y y
cy y y cy y cy y 1 c ta có lai 1
≤ − −
⇔ − ≤ − − ⇔ ≤ + −
3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2

1 1 2
'
1 1
x x
1 1 2
1
2 1 2
'
2 2
x x
2 1 2
2
1 2
' ' ' ''
1 2 1 2
1 2
''
f x f x f x f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x
f x f x x x f x dong bien f x 0
x x
f x loi neu f x 0
→

→
− −
≤
− −
− −
→ ⇒ = ≤
− −
− −
→ ⇒ = ≥
− −
−
⇒ ≤ ≤ < ⇒ ⇒ ≥
−
≤
Ngược lại, cho
( ) ( ) ( )
''
1 2
f x 0 tren a,b . Lay x x ,x≥ ∈
theo định lí Larrange ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
' '
1 2
1 2

'' '
1 1 2 2
' '
1 2
f x f x f x f x
f c f c
x x x x
Voi x c x c x . Vì f x 0 nen f x dong bien
f c f c
− −
= =
− −
< < < < ≥
⇒ ≤
* Cho f là 1 hàm số xác định và liên tục trong [a, b] and
[ ]
''
f 0 trong a,b
>
khi đó hàm số
f lồi trong [a, b]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
set dat : g t t.f a 1 t f b f t.a 1 t b= + − − + −
muốn cm f lồi trong đoạn [a, b], ta
cm f(x) thỏa bdt lồi, nghĩa là cm:
( )
[ ]
g t 0 voi moi t 0,1≥ ∈
, từ biểu thức định nghĩa, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
' '
o o o
'
'
' '
o o
g t f a f b a b .f t.a 1 t b
theo cong thuc Larrange,ton tai c t .a 1 t b, t 0,1
sao cho a c b and f a f b a b f c
the giá tri cua f a f b vào bieu thuc cua g t , ta dc:
g t a b t .a 1 t b f t.a 1 t b
= − − − + −
= + − ∈
< < − = −
−
 
= − + − − + −
 
( ) ( ) ( )

( )
( )
( )
( )
( )
[ ] [ ]
( ) ( )
( )
[ ]
'' '
o
' ' ' '
o o o o o
o o
theo gia thiet: f 0 f tang, a b 0
and t.a 1 t b t. a b b t . a b b
khi t t , ta có g t g t 0 if t t , g t g t 0 if t t
g t tang trong 0, t and giam trong t ,1 , because g 0 g 1 0
g t 0 with t 0,1
> ⇒ − <
+ − = − + < − +
≥ ≥ = ≤ ≤ = ≥
⇒ = =
⇒ > ∈
Điểm uốn: điểm
( )
( )
o o
M x ,f x
được gọi là điểm uốn nếu nó phân cách cung lồi và cung

lõm của đường cong f(x).
4
Định lí: Cho hàm f(x) có đạo hàm
( )
''
f x
trong lân cận điểm
o
x
, nếu khi qua
o
x
đạo hàm
cấp 2
( )
''
f x
đổi dấu thì điểm
( )
( )
o o
M x ,f x
là điểm uốn
* Các bdt lồi:
* Bdt Jensen:
( )
[ ]
( )
1 2 n 1 2 n
n n n

k k k k k
k 1 k 1 k 1
n
k k
k 1
Cho f là 1 hàm so loi trên D a,b , with x ,x ,...x D and a ,a ,...a 0,1
sao cho a 1, ta có : f a .x a .f x
Cm : with n 2, do la dn tính loi cua f , bay gio ta se quy nap theo n :
gia su bdt dung voi so nguyen n 2 : f a .x
= = =
=
= ∈ ∈
 
= ≤
 
 
 
=
>
∑ ∑ ∑
( )
[ ]
( )
n
k k
k 1
1 2 n n 1 1 2 n n 1
n 1
k i
k 1

a .f x
ta cm nó cung dung voi n 1: lay x ,x ,...x ,x D and a ,a ,...a ,a 0,1
sao cho a 1 gia su a , i 1,n ko dong thoi 0, dat set :
=
+ +
+
=
 
≤
 
 
 
+ ∈ ∈
= = =
∑ ∑
∑
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
k n 1 n 1 k k
k 1 k 1
n 1
k k n 1
k 1
n 1 n 1 n 1
n n
k k
k k

k 1 k 1
n
k k
k 1
1
c a 1 a 0 a 1 c, and y a .x
c
dùng dn hàm loi, ta có:
f a .x f c.y 1 c x
c.f y 1 c f x c.f y a .f x
a .x 1
dùng gia thiet quy nap, ta dc: f y f a .f x
c c
f a .x
+ +
= =
+
+
=
+ + +
= =
=
= = − > ⇒ = − =
 
= + − ≤
 
 
 
+ − = +
 

= ≤
 
 
 
⇒
∑ ∑
∑
∑ ∑
( )
1 n 1
k k
k 1
a .f x
+ +
=
 
≤
 
 
 
∑ ∑
*/ BDT về số trung bình:
5
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
1
n
n
n
i k k

k 1
k 1
''
2
n
k i
k 1
1
Cho a 0; i 1,n set : A a , B a khi do : B A
n
1
Cm : Xét hàm f x ln x, x 1, , f x 0 f x loi
x
do dó có the dùng bdt Jensen và dc, with b 1, b 0,1 , i 1,n
=
=
=
 
≥ = = = ≤
 
 
 
= − ∈ ∞ = > ⇒
= ∈ =
∑
∏
∑
( )
n n n n
b

k
k k k k k k
k
k 1 k 1 k 1 k 1
1
n n
n
i k k
k 1 k 1
ln b .a b . lna b .a a ,
1 1
khi b , i 1,n so: a a
2 n
= = = =
= =
   
⇒ − ≤ − ⇔ ≥
   
   
   
 
= = ≥
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∏
∑ ∏
* BDT Holder:
n n
b

k
k k
k
k 1 k 1
p q
p
1 2 q 1 2
1 1
n n
p q
p q
k k
k 1 k 1
1 1
Cho p 1, q 1 sao cho 1. khi do :
p q
Cho x 0, y 0, use BDT b .a a
1 1 x y
with n 2, a x , a y , b , b , ta dc: x.y
p q p q
BDT van dung khi x or y=0.
Put: a x , b y with a.b 0
= =
= =
> > + =
 
> > ≥
 
 
 

= = = = = ≤ +
   
= = ≠
   
   
   
∑ ∏
∑ ∑
6
p q
p q
k k k k k k
p q
n n n
p q
k k k k
p q
k 1 k 1 k 1
p q
p q
1 1
n n n
p q
p q
k k k k
k 1 k 1 k 1
x y x .y x y
x y 1 1
x , y , x.y . . , k 1,n
a b p q ab p q

a b
1 1 1
x .y x y
ab
p.a q.b
1 1 1 1
.a .b 1
p q
p.a q.b
x .y ab x . y
= = =
= = =
= = ≤ + ⇒ ≤ + =
⇒ ≤ +
= + = + =
   
⇒ ≤ =
   
   
   
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
( )
(
)
(
)
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2

n n n
p p 1 p 1
k k k k k k k k
k 1 k 1 k 1
khi p q 2, bdt tren dc goi là bdt Cauchy-schwartz:
x .y x .y x y x y
ta cung có : x y x x y y x y
p 1, q 1 p
− −
= = =
= =
+ ≤ + +
+ ≤ + + +
= = −
∑ ∑ ∑
* BDT Minkowski:
1 1 1
n n n
p p p
p p p
k k k k
k 1 k 1 k 1
x y x y
= = =
     
+ ≤ +
     
     
     
∑ ∑ ∑

4/ Đường tiệm cận:
1/ Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa 1
trong 2 điều kiện:
( ) ( )
x a x a
lim f x lim f x
− +
→ →
= ∞ = ∞
2/ Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa 1
trong 2 điều kiện:
( ) ( )
x x
lim f x b lim f x b
→+∞ →−∞
= =
3/ Đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
( )
( )
x
lim f x ax b 0
→∞
− − =
Cách tìm các hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax + b
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
x x x
x x
lim f x ax b 0 lim f x ax lim f x ax b b 0 b
f x f x ax b
b
lim lim a a
x x x
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
− − = ⇒ − = − − + = +
− − 
= + + =
 
 
7