NGHIỆM của đa THỨC và PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
CHƯƠNG TRÌNH CHẤT LƯỢNG CAO VIỆT-PHÁP

Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

Lớp: VP2016/01
GVHD: Lê Thái Thanh
Tp Hồ Chí Minh, ngày 05 tháng 04 năm 2018


CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM

Nguyễn Hữu Hoài Nam

1612119

Đinh Hữu Phúc

1652486

Võ Tân Phú

1612631

Nguyễn Ngọc Duy

1652103

Trần Hữu Anh Đồng

1652154


1.

Các khái niệm và định lý

2.

Phương pháp Hocner

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ
PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

3.

Phương pháp Müller


CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ

 

Xét một đa thức bậc n có dạng:



 



là hệ số của đa thức,

Nghiệm của đa thức là tất cả các giá trị x thỏa mãn P(x)=0


CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ
 

Ví
dụ: lý
Tìm1:tấtNếu
cả các
nghiệm
đa thức
Định
P(x)
là đacủa
thức
bậc n (với n 1) , với các hệ số thực hay phức, thì phương trình P(x)=0 có ít nhất một

nghiệm.
 

Chúng ta dễ dàng thấy .
 Vì thế là một nghiệm của phương trình và là một nhân tử của đa thức. Chia P(x) cho ta được:

 

 

Để xác định nghiệm của , giải phương trình bậc 2 ta được:

 

Vậy P(x) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm:


CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ
Qua ví dụ ta thấy được phương trình bậc 3 có 3 nghiệm riêng biệt. Từ đó ta có hệ quả quan trọng của định lý trên với điều kiện
nó luôn luôn tồn tại trong tất cả các trường hợp, nếu nghiệm của đa thức không phân biệt thì chúng ta có thể tính toán các
nghiệm theo hệ số.
 

Định lý 2: Nếu P(x) là đa thức bậc với các hệ số thực hoặc phức, thì sẽ tồn một tập số duy nhất ( có thể phức) và các số nguyên sao
cho thì:

 

Theo định lý 2, tập nghiệm của đa thức là duy nhất, và nếu như nghiệm trùng nhau thì nó cố bội , một đa thức bậc n thì có chính
xác n nghiệm.


CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ

 

Định lý 3: Giả sử P(x) và Q(x) là các đa thức có cùng bậc n.Nếu với kn, là các số riêng biệt với với i=1, 2, ..., k, thì P(x)=Q(x) với tất cả
các giá trị.

Kết quả chỉ ra rằng hai đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n thì giống nhau


PHƯƠNG PHÁP HORNER

Ta sử dụng phương pháp Newton tính giá trị nghiệm gần đúng của đa thức chúng ta cần phải đánh giá P(x) và P’(x) tại các giá trị xác
định

P(x) và P’(x) là hai đa thức, hiệu quả tính toán yêu cầu các bước thực hiện phải liên tiếp nhau

Honer kết hợp các kĩ thuật lại và kết quả cần có n phép nhân và n số dư để đánh giá bậc của một đa thức tùy ý và tìm ra nghiệm của
đa thức


PHƯƠNG PHÁP HORNER
 

Giả sử hàm f(x) có dạng :
 

Đặt và , với k = n-1, n-2, …, 1,0.

 

Suy ra b0 = P(x0).

Hơn thế nữa, nếu

Suy ra P(x) = (x – x 0).Q(x) + b0

PHƯƠNG PHÁP HORNER
 

Ví dụ: Sử dụng phương pháp Horner để tính giá trị của biểu thức
P(x) = 2x

4

2
3x + 3x – 4 tại x = -2

Ta lập bảng :
2
x0 = -2
2

0
-4
-4

-3
8
5

3
-10
-7

-4
14
10

Vì vậy P(x) = (x + 2)(2x3 4x2 + 5x 7) + 10
Suy ra
 

P(-2) = 10


PHƯƠNG PHÁP HORNER

TH với x = -2 như một giá trị gần đúng ban đầu, ta đã thu được P(-2)
x0 = -2

2

2

0

-3

3

-4

-4

8

-10

14

-4

5

-7

10

3
2
suy ra Q(x) = 2x - 4x + 5x - 7

và

= P(-2)

P'(-2) = Q(-2)


PHƯƠNG PHÁP HORNER
 

Vì thế P'(-2) có thể tìm ra được bằng Q(-2) cách trên:
x = -2

2

2

-4

5

-7

-4

16

-42

-8

21

-49

= Q(-2) = P'(-2)

lặp lại quá trình trên để tìm x2

2

0

-3

3

-4

0

-3.592

6.451

-6.197

5.742

2

-3.592

3.451

-3.197

1.742 = P(x1)

-3.592

12.902

-29.368

16.353

-32.565

-1.796

-7.184

= Q(x1)

= P’(x1)


PHƯƠNG PHÁP HORNER

 Suy

ra:

Tương tự các bước trên, ta tìm ra x3 = 1.73897


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER
Phương pháp dây cung dùng 2 điểm p0 , p1 ban đầu ,sau đó
xác định đường thẳng đi qua 2 điểm
(p0, f(p0)), (p1,f(p2)) ,giao với trục x để xác định “Điểm
tương đương “ tiếp theo p2 ,

Phương pháp dùng 3 điểm p0, p1, p2 xác định điểm p3,
bằng cách giao trục x với đường parabol đi qua 3 điểm
(p0, f (p0)), (p2,f(p2)), (p2,f(p2))


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

P ( x ) = a ( x − p2 ) 2 + b ( x − p 2 ) + c

Xét đa thức bậc 2

đi qua các điểm ( p0, f(p0)) , ( p1, f(p1)), ( p2, f(p2))

f ( p0 ) = a ( p0 − p2 ) 2 + b( p0 − p2 ) + c
f ( p1 ) = a ( p1 − p2 ) 2 + b( p1 − p2 ) + c
f ( p2 ) = a ×0 2 + b ×0 + c = c
Suy ra

f ( p0 ) − f ( p2 ) = a( p0 − p2 ) 2 + b( p0 − p2 )
f ( p1 ) − f ( p2 ) = a ( p1 − p2 )2 + b( p1 − p2 )


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

f ( p0 ) − f ( p2 )
= a( p0 − p2 ) + b
( p0 − p2 )

f ( p1 ) − f ( p2 )

= a( p1 − p2 ) + b
( p1 − p2 )

f ( p0 ) − f ( p2 ) f ( p1 ) − f ( p2 )
−
= a( p0 − p1 )
( p0 − p2 )
( p1 − p2 )
a=

( p1 − p2 )[ f ( p0 ) − f ( p2 )] − ( p0 − p2 )[ f ( p1 ) − f ( p2 )]
( p0 − p2 )( p1 − p2 )( p0 − p1 )

f ( p0 ) − f ( p2 )
b=
− a( p0 − p2 )
( p0 − p2 )


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER
Vậy

( p0 − p2 ) 2 [ f ( p1 ) − f ( p2 )] − ( p1 − p2 ) 2 [ f ( p0 ) − f ( p2 )]
b=
( p0 − p2 )( p1 − p2 )( p0 − p1 )

( p1 − p2 )[ f ( p0 ) − f ( p2 )] − ( p0 − p2 )[ f ( p1 ) − f ( p2 )]
a=
( p0 − p2 )( p1 − p2 )( p0 − p1 )
Để xác định p3, ta áp dụng phương trình P(x) =0

−b ± b 2 − 4ac
b 2 − (b 2 − 4ac )
−2c
p3 − p2 =
=
=
2a
2a (−b ± b 2 − 4ac ) b ± b 2 − 4ac


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

p3 − p2 =

−2c
b ± b 2 − 4ac

Với công thức này ta xác định được 2 giá trị p3 .Trong phương pháp Muller thì dấu được lấy theo dấu của b

p3 = p2 −

2c
b + sgn(b) b 2 − 4ac

Ta thu đươc p3. Tương tự để thu được p4, thay p0, p1, p2, bằng p1, p2, p3. Phương pháp được tiếp tục, cho tới khi thu được kết quả đạt yêu cầu

Với mỗi vòng lặp, phương pháp có đính tới ∆, khi ∆ < 0, thì ta có nghiệm phức

PHƯƠNG PHÁP MÜLLER
Để giải phường trình f(x) = 0 với 3 điểm cho trước p0, p1, p2.
INPUT : p0 , p1 ,p2
OUTPUT : nghiệm p
Bước 1 : Đặt

h1 = p1 − p0
h2 = p2 − p1
f ( p1 ) − f ( p0 )
δ1 =
h1
f ( p2 ) − f ( p1 )
δ2 =
h2


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

Bước 2 : Tìm a ,b ,c

c = f ( p2 )

δ 2 − δ1
a=
h2 + h1

Bước 3 : Tìm p3

p3 = p2 −

2c
b
b+(
) b 2 − 4ac
abs (b)

b = δ 2 + h2 a


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER
3
2
VD :Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x -2x -5
2

f '(x) = 3 x − 4 x
f '( x) = 0 ⇔ x =0 và x = 4/3

x

+

f’(x)

0

-

0

-5

f(x)

-∞

+∞

4/3

0

-∞

+

+∞

-167/27


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER
Chọn p0 =1 , p1 =2, p2 =3, thì tính f( p0 )= -6 , f(p1 ) = -5, f(p2)=4

h1 = p1 − p0 = 1
h2 = p2 − p1 = 1
f ( p1 ) − f ( p0 ) −5 − (−6)
δ1 =
=
=1

h1
1
f ( p2 ) − f ( p1 ) 4 − (−5)
δ2 =
=
=9
h2
1
Bước 1 : Đặt

Bước 3 : Tìm p3

p3 = p2 −

2c
b
b+(
) b 2 − 4ac
abs (b)

Bước 2 : Tìm a ,b ,c

δ 2 − δ1 9 − 1
a=
=
=4
h2 + h1 1 + 1
b = δ 2 + h2 a = 9 + 1× 4 = 13
c = f ( p2 ) = 4

= 3−

2× 4
13 + 13 − 4 × 4 × 4
2

= 2.655869


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER

Vậy nghiệm của phương trình là:

x ≈ 2.690647


PHƯƠNG PHÁP MÜLLER
Chọn p0 =1 , p1 =0, p2 =-1, thì tính f( p0 )=-6, f(p1 ) =-5, f(p2)=-8

h1 = p1 − p0 = −1
h2 = p2 − p1 = −1
f ( p1 ) − f ( p0 ) −5 − (−6)
δ1 =
=
= −1
h1
−1
f ( p2 ) − f ( p1 ) −8 − ( −5)
δ2 =
=

=3
h2
−1
Bước 1 : Đặt

Bước 3 : Tìm p3

p3 = p2 −

2c
b
b+(
abs (b)

Bước 2 : Tìm a ,b ,c

δ 2 − δ1 3 − (−1)
a=
=
= −2
h2 + h1
−1 − 1
b = δ 2 + h2 a = 3 + (−1) × (−2) = 5
c = f ( p2 ) = −8

2 × ( −8)

1
39
= −1 −

=− +
*i
2
4
4
5 + 5 − 4 × (−2) × (−8)
) b 2 − 4ac


p0=1;

p1=0;

p3=-1

pi

f(pi)

3

0.2499999999+1.561249500*I

-2.062499998-5.074060876*I

4

-0.7557305521+1.394130319*I

1.719834196+3.893400099*I

5

-0.3626007847+1.108706611*I

-1.515012800+.6825317383*I

6

-0.1684383843+1.274997274*I

-0.988836297-1.105103943*I

7

-0.3223749544+1.425456584*I

0.787625322-.613872624*I

8

-0.4093327430+1.327656305*I

0.286208081+.500950734*I

9

-0.3519282125+1.276170799*I

-0.314607214+.192269606*I

10

-0.3163009245+1.313390996*I

-0.144892059-.209687320*I

11

-0.3419729938+1.337587586*I

0.139911082-0.94182203e-1*I

12

-0.3574902977+1.320731902*I

0.58125983e-1+0.91165332e-1*I

13

-0.3466652063+1.310719735*I

-0.59344041e-1+0.38279435e-1*I

14

-0.3400340941+1.317811897*I

-0.25767417e-1-0.39036572e-1*I

15

-0.3447286150+1.322190801*I

0.25686411e-1-0.16871949e-1*I

16

-0.3475887661+1.319110583*I

0.10942942e-1+0.16826819e-1*I

17

-0.3455763697+1.317240176*I

-0.11021313e-1+0.7182752e-2*I