102 Câu Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Có Đáp Án Và Lời Giải Update

NGUYÊN HÀM
3
Câu 1: (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018). Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x + x là

1 4 1 2
x + x + C.
2
A. x + x + C .
B. 3 x + 1 + C.
C. x + x + C .
D. 4
2x + 1
f ( x) =
( x + 2) 2 trên
Câu 2: (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( −2; +∞ )
4

2

khoảng

2

3

là

1
+ C.
x+2

A.
3
2ln( x + 2) −
+ C.
x+2
C.

1
+ C.
x+2
B.
3
2ln( x + 2) +
+ C.
x+2
D.

2 ln( x + 2) +

2ln( x + 2) −

ln ( 1+ x2 ) + 2017x
x

f ( x) =

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
ln ( x2 + 1) + 1008ln  ln ( x2 + 1) + 1
A.
.

1
ln ( x2 + 1) + 2016ln  ln ( x2 + 1) + 1
C. 2
.

ln ( ex
. 2 + e)


x2 +1




?
ln ( x + 1) + 2016ln  ln ( x2 + 1) + 1
2

B.

.

1
ln ( x2 + 1) + 1008ln  ln ( x2 + 1) + 1
D. 2
.

 4 − x2 
f ( x) = x3 ln 
2÷

 4+ x  ?
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số
 4 − x2 
 x4 − 16   4 − x2 
4
2
x ln 
− 2x
− 2x2

÷ln 
2 ÷
2÷
4   4+ x 
 4+ x 
A.
.
B. 
.
2
4
2
 4− x 
 x − 16   4 − x 
x4 ln 
+ 2x2
+ 2x2

÷ln 
2÷

2 ÷
4   4+ x 
 4+ x 
C.
.
D. 
.
sin x
I =∫
dx
sin x + cos x ?
Câu 5: Tìm
1
I = ( x + ln sin x + cos x ) + C
I = x + ln sin x + cos x + C
2
A.
.
B.
.
1
I = ( x − ln sin x + cos x ) + C
I = x − ln sin x + cos x + C
2
C.
.
D.
.
Câu 6: Tìm

I =∫

cos4 x
dx
sin4 x + cos4 x ?

 2 + sin2x  
1
1
I =  x−
ln 
+C
÷÷
÷
2 
2 2  2 − sin2x ÷


A.
.
 2 + sin2x  
1
1
I =  x+
ln 
+C
÷÷
÷
2 
2 2  2 − sin2x ÷



C.
.
Câu 7: Tìm
A.

Q=∫

I = x−

B.
I = x−

D.

 2 + sin2x 
1
ln 
÷+ C
2 2  2 − sin2x ÷


.

 2 + sin2x 
1
ln 
÷+ C
2 2  2 − sin2x ÷



.

x −1
dx
x+1 ?

Q = x2 − 1 + ln x + x2 − 1 + C

.

B.

Q = x2 − 1 − ln x + x2 − 1 + C

.

Trang 1


C.

Q = ln x + x2 − 1 − x2 − 1 + C
T =∫

Câu 8: Tìm

.

D. Cả đáp án B,C đều đúng.

n

x
dx
x x3
xn
1+ x +
+ + ... +
2! 3!
n! ?
2


x2
xn 
T = x.n!+ n!ln  1+ x + + ... + ÷+ C
2!
n! 

A.
.


x2
xn 
T = x.n!− n!ln  1+ x +
+ ... + ÷+ C
2!

n! 

B.
.


x2
xn 
T = n!ln  1+ x + + ... + ÷+ C
2!
n! 

C.
.


x2
xn 
T = n!ln  1+ x + + ... + ÷− xn.n!+ C
2!
n! 

D.
.

T =∫

Câu 9: Tìm

dx

n

(x

n

+ 1)

1
−
n

Câu 10: Tìm

H=
A.
C.

?
1

 1

T =  n + 1÷ + C
x

A.
H =∫

n+1

 1
n
T =  n + 1÷ + C
x

B.

−

1
n

+C

1

D.

T = ( xn + 1) n + C

.

2

x dx

( x sin x + cos x)

2

?

x
+ tan x + C
cos x ( x sin x + cos x)

−x
H=
+ tan x + C
cos x ( x sin x + cos x)
R=∫

C.

T = ( xn + 1)

H=
.

B.

.

D.

x
− tan x + C
cos x ( x sin x + cos x)

−x
H=
− tan x + C
cos x ( x sin x + cos x)

.
.

1 2− x
dx
x2 2 + x ?

Câu 11: Tìm
tan2t 1 1+ sin2t
1
 x
R=−
+ ln
+C
t = arctan  ÷
2
4 1− sin2t
2
 2 .
A.
với
tan2t 1 1+ sin2t
1
 x
R=−

− ln
+C
t = arctan  ÷
2
4 1− sin2t
2
 2 .
B.
với
C.

R=

tan2t 1 1+ sin2t
+ ln
+C
2
4 1− sin2t

t=

1
 x
arctan  ÷
2
 2 .

với
tan2t 1 1+ sin2t
1

 x
R=
− ln
+C
t = arctan  ÷
2
4 1− sin2t
2
 2 .
D.
với
Câu 12: Tìm

F = ∫ xnexdx

?

n−1
n
F = e  x − nx + n( n − 1) xn−2 + ... + n!( −1) x + n!( −1)  + xn + C


A.
.
n−1
n
x n
n−1
n−2
F = e x − nx + n( n − 1) x + ... + n!( −1) x + n!( −1)  + C



B.
.
x
C. F = n!e + C .
x

D.

n

n−1

F = xn − nxn−1 + n( n − 1) xn−2 + ... + n!( −1)

G=∫

2x + ( 1+ 2ln x) .x + ln x
2

n−1

x + n!( −1) + ex + C
n

.

2

(x

Câu 13: Tìm
−1
1
G=
−
+C
x x + ln x
A.
.

2

+ x ln x)

2

dx

?
B.

G=

1
1
−
+C
x x + ln x

.

Trang 2


C.

G=

1
1
−
+C
x x + ln x
.

D.

G=

1
1
+
+C
x x + ln x
.

( 7x − 1) dx
=∫
2019

( 2x + 1)
?
2017

K

Câu 14: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của
2018
2018
2018
18162( 2x + 1)
+ ( 7x − 1)
1  7x − 1
2018
.
÷
18162( 2x + 1)
18162
2
x
+
1


A.
.
B.
.
2018
2018

2018
2018
−18162( 2x + 1)
+ ( 7x − 1)
18162( 2x + 1)
− ( 7x − 1)
C.

18162( 2x + 1)

18162( 2x + 1)

2018

.

D.
g( x) =

Câu 15: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
− ln2x − x ln2
x
+ ln
+ 1999
x
+
1
x
+
1

A.
.
ln x
x
− ln
+ 2016
x
+
1
x
+
1
C.
.

.

ln x

( x + 1)

2

?
− ln x
x
− ln
+ 1998
x
+

1
x
+
1
B.
.
ln x
x
+ ln
+ 2017
x
+
1
x
+
1
D.
.
h( x) =

Câu 16: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của
1
1
ln x − ln xn + lnn x + 2016
n
A. n
.
1
1
− ln x + ln xn + lnn x + 2016

n
C. n
.

2018

1− ln x
x .ln x.( xn + lnn x)
1− n

?

1
1
ln x + ln xn + lnn x + 2016
n
B. n
.
1
1
− ln x − ln xn + lnn x − 2016
n
D. n
.

f ( x) = x3 − x2 + 2 x
Câu 17: Nguyên hàm của
là:
1 4
4

1 4 1 3 4 3
x − x3 +
x3 + C
x − x +
x +C
3
3
3
A. 4
.
B. 4
.
1 4
2
1
1
2
x − x3 +
x3 + C
x4 − x3 +
x3 + C
3
3
3
C. 4
.
D. 4
.
1
2

f ( x) =
+ 3 +3
x
x
Câu 18: Nguyên hàm của
là:
4
2 x + 3 x2 + 3x + C
3 2
3
A. 2 x + 3 x + 3x + C .
B.
.
1
1
4
x + 33 x2 + 3x + C
x + 3 x2 + 3x + C
3
C. 2
.
D. 2
.
1
dx
− 7x + 6
là:

∫
Câu 19: Nguyên hàm x

2

1 x −1
ln
+C
5
x
−
6
A.
.
1
ln x2 − 7x + 6 + C
5
C.
.

1 x− 6
ln
+C
5
x
−
1
B.
.
1
− ln x2 − 7x + 6 + C
D. 5

.

2x3 − 6x2 + 4x + 1
∫ x2 − 3x + 2 dx là:
Câu 20: Nguyên hàm
x −1
1 2
x− 2
1 2
x −1
x− 2
x2 + ln
+C
x2 + ln
+C
x + ln
+C
x + ln
+C
x
−
2
2
x
−
1
2
x
−
2

x
−
1
A.
. B.
. C.
. D.
.
Trang 3


3x + 3
dx
2
− x+ 2
là:
2ln x − 1 − ln x + 2 + C
A.
.
2ln x − 1 + ln x + 2 + C
C.
.
1
∫ x + 1 + x + 2dx
Câu 22: Nguyên hàm
là:

∫
Câu 21: Nguyên hàm − x

3

A.

( x + 2)

C.

( x + 2)

3

+

( x − 1)

3

−

( x − 1)

3

+C

+C

.
.

( sin2x + cosx) dx là:
Câu 23: Nguyên hàm ∫
1
cos2x + sin x + C
A. 2
.
1
− cos2x + sin x + C
C. 2
.
e2x+1 − 2
∫ 3 ex dx
Câu 24: Nguyên hàm
là:
5
x
5
5 3x+1 2 − 3
5 3x+1 2 3x
e − e +C
e + e +C
3
3
A. 3
. B. 3
.

B.
D.

B.
D.

−2ln x − 1 + ln x + 2 + C

−2ln x − 1 − ln x + 2 + C

−

( x + 2)

3

−

( x + 2)

3

+

( x − 1)

3

−

( x − 1)

3

.
.

+C

+C

.
.

B. − cos2x + sin x + C .
D. − cos2x − sin x + C .

5 53x+1 2 x3
e − e +C
3
C. 3
.

5 53x+1 2 − 3x
e + e +C
3
D. 3
.

 sin ( 2x + 3) + cos( 3− 2x)  dx
Câu 25: Nguyên hàm ∫ 
là:

−2cos( 2x + 3) − 2sin ( 3− 2x) + C
−2cos( 2x + 3) + 2sin ( 3− 2x) + C
A.
.
B.
.
2cos( 2x + 3) − 2sin ( 3 − 2x) + C
2cos( 2x + 3) + 2sin ( 3 − 2x) + C
C.
.
D.
.
sin2 ( 3x + 1) + cos xdx
Câu 26: Nguyên hàm ∫ 
là:
1
x − 3sin ( 6x + 2) + sin x + C
x − 3sin ( 6x + 2) + sin x + C
A. 2
.
B.
.
1
1
x − 3sin ( 3x + 1) + sin x + C
x − 3sin ( 6x + 2) − sin x + C
C. 2
.
D. 2
.

1
f ( x) = x + 1 − 2
F ( x)
x . Nguyên hàm của f ( x) biết
Câu 27: Gọi
là nguyên hàm của hàm số
F ( 3) = 6
là:
2
1 1
2
1 1
3
3
F ( x) =
F ( x) =
( x + 1) − +
( x + 1) + +
3
x 3.
3
x 3.
A.
B.
2
1 1
2
1 1
3
3

F ( x) =
F ( x) =
( x + 1) − −
( x + 1) + −
3
x 3.
3
x 3.
C.
D.

f ( x) = 4x3 + 2( m− 1) x + m+ 5
là nguyên hàm của hàm số
, với m là tham số thực.
f ( x)
F ( 1) = 8
F ( 0) = 1
Một nguyên hàm của
biết rằng
và
là:
4
2
F ( x) = x + 2x + 6x + 1
F ( x) = x4 + 6x + 1
A.
B.
.
4
2

F ( x) = x + 2x + 1
C.
.
D. Đáp án A và B.
x
∫ 2 dx
Câu 29: Nguyên hàm của x + 1 là:
Câu 28: Gọi

F ( x)

Trang 4


A.

ln t + C

2
, với t = x + 1

B.

1
ln t + C
2
C. 2
, với t = x + 1.

− ln t + C

2
, với t = x + 1.

1
− ln t + C
2
D. 2
, với t = x + 1.

( sin3 x + cos3 x) dx ?
Câu 30: Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của ∫
3
sin2x ( sin x − cos x) + C
2
2
A. 3cos x.sin x − 3sin x.cos x + C .
B. 2
.
π
π


3 2sin2x sin  x − ÷+ C
3 2sin x.cos x.sin  x − ÷+ C
4
4


C.

.
D.
.
( x → t)
Câu 31: Với phương pháp đổi biến số
1 2
t +C
A. 2
.

∫
, nguyên hàm

2
B. t + C .

ln2x
dx
x
bằng:

2
C. 2t + C .

2
D. 4t + C .

1

( x → t ) , nguyên hàm ∫ x2 + 1dx bằng:

Câu 32: Với phương pháp đổi biến số
1 2
t +C
A. 2
.

1
t+C
B. 2
.

Câu 33: Với phương pháp đổi biến số
A. sint + C .
B. −t + C .

D. t + C .

2
C. t + C .

( x → t)

I =∫

, nguyên hàm
C. − cost + C .

1
− x + 2x + 3
2

dx

bằng:
D. t + C .

I = ∫ ( tan x + cot x) dx
Câu 34: Theo phương pháp đổi biến số với t = cos x, u = sin x , nguyên hàm của
là:
− ln t + ln u + C
ln t − ln u + C
ln t + ln u + C
− ln t − ln u + C
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2sin x + 2cos x
I =∫ 3
dx
x → t)
(
1− sin2x
Câu 35: Theo phương pháp đổi biến số
, nguyên hàm của
là:

3
A. 2 t + C .

3
B. 6 t + C .

3
D. 12 t + C .

3
C. 3 t + C .

I = ∫ x ln xdx
Câu 36: Nguyên hàm của
bằng với:
2
x
ln x − ∫ xdx + C
A. 2
.
1
x2 ln x − ∫ xdx + C
2
C.
.

x2
1
ln x − ∫ xdx + C
2

B. 2
.
D.

x2 ln x − ∫ xdx + C

.

I = ∫ x sin xdx
Câu 37: Nguyên hàm của
bằng với:
x cos x + ∫ cos xdx + C
− x cos x − ∫ cos xdx + C
A.
B.
− x cos x + ∫ cos xdx + C
x cos x − ∫ cos xdx + C
C.
D.

I = ∫ x sin2 xdx
Câu 38: Nguyên hàm của
là:
1
2x2 − x sin2x − cos2x) + C
(
A. 8
.
1 2 1


 x − cos2x − x sin2x ÷+ C
2

C. 4 
.
I = ∫ e dx

1
1
cos2x + ( x2 + x sin2x) + C
4
B. 8
.

D. Đáp án A và C đúng.

x

Câu 39: Họ nguyên hàm của

là:
Trang 5


x
A. 2e + C .

2x
C. e + C .

x
B. e .

x
D. e + C .

∫ e ( 1+ x) dx là:
x

Câu 40: Họ nguyên hàm của
A. I = e + xe + C .
x

x

I = ex +

B.

1 x
xe + C
2
.

I =

C.

1 x
e + xex + C

2
.

x
x
D. I = 2e + xe + C .

I = ∫ x sin x cos2 xdx
Câu 41: Nguyên hàm của
là:
1
2
I 1 = − x cos3 x + t − t3 + C, t = sin x
I 1 = − x cos3 x + t − t3 + C, t = sin x
3
3
A.
.
B.
.
1
2
I 1 = x cos3 x + t − t3 + C, t = sin x
I 1 = x cos3 x + t − t3 + C, t = sin x
3
3
C.
.
D.
.

ln ( cos x)
I =∫
dx
sin2 x
Câu 42: Họ nguyên hàm của
là:

A.
C.

cot x.ln ( cos x) + x + C
cot x.ln ( cos x) − x + C
2

Câu 44:
A. 1.

B.

.

D.

− cot x.ln ( cos x) − x + C

− cot x.ln ( cos x) + x + C

.
.

a 3 b 4
x + x +C
4
có dạng 3
, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
B. 1.
C. 9 .
D. 32 .
 1 3 1+ 3 5 
a 4 b 6
∫  3 x + 5 x ÷÷dx
x + x +C


6
có dạng 12
, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:
36
1+ 3
B. 12 .
C. 5
.
D. Không tồn tại.

(x
Câu 43: ∫
A. 2 .

.

+ 2x3 ) dx

(

∫(

)

2x x2 + 1 + x ln x dx

Câu 45:
hữu tỉ. Giá trị a bằng:
A. 3.

a
có dạng 3

B. 2 .

(

)

3

x2 + 1 +

)

b 2

1
x ln x − x2 + C
6
4
, trong đó a, b là hai số

C. 1.

D. Không tồn tại.

 3
1 1+ 3 
a 4 1 1+ 3
b
x
+
x
+
1
+
+

÷
2
∫
x − +
x+
÷dx
x
2


x
2
3
Câu 46: 
có dạng 4
hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng:

(

)

3

x+1 +C

, trong đó a, b là

C. a, b ∈ ∅
D. 1; 2 .
a ( x+1) 2 b
x2 −5x+ 4
7x −3
e
+ sin2x + C
x
+
1
e
×

e
+
cos2
x
dx
(
)
2
Câu 47: ∫
có dạng 6
, trong đó a, b là hai số hữu
tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng:
A. 2; 1.

B. 1; 1.

(

)

A. 3; 1.

∫ ( ( 2a + 1) x

3

Câu 48:

∫ ( ( 2a + 1) x

3

B. 1; 3 .

+ bx2 ) dx

+ bx2 ) dx =

A. 1; 3.
(2 + e
Câu 49: Tính ∫

C. 3; 2 .

D. 6; 1.

, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng

3 4
x + x3 + C
4
. Giá trị a, b lần lượt bằng:
1
− ;1
B. 3; 1.
C. 8 .

D. a, b ∈ ∅

3x 2

A.

3x +

) dx

4 3x 1 6x
e + e +C
3
6

B.

4x +

4 3x 5 6x
e + e +C
3
6

Trang 6


4
1
4x + e3x − e6x + C
3
6
C.

dx

Câu 50: Tính
C
A. 1− x

∫

D.

B. −2 1− x + C

F (x) = ∫

f ( x) =

2
+C
1− x

C.

D. 1− x + C

x3
1− x2 là:
1 2
( x + 1) 1− x2 + C
3
B.

1
− ( x2 + 2) 1− x2 + C
D. 3
−

dx
x 2ln x + 1

Câu 52: Tính
A. F (x) = 2 2ln x + 1 + C
C.

4 3x 1 6x
e + e +C
3
6

1− x thu được kết quả là:

Câu 51: Họ nguyên hàm của hàm số
1 2
( x + 2) 1− x2 + C
3
A.
1 2
x + 1) 1− x2 + C
(
C. 3

F (x) =

4x +

1
2ln x + 1 + C
4

B. F (x) = 2ln x + 1 + C
1
F (x) =
2ln x + 1 + C
2
D.

1
f ( x) = x2 – 3x +     
x là
Câu 53: Nguyên hàm của hàm số
4
2
x 3x
x3 3x2
−
− ln x + C
−
+ ln x + C
2
2
A. 4
B. 3

x4 3x2
−
+ ln x + C
2
C. 4

x3 3x2
+
+ ln x + C
2
D. 3
1

; +∞ ÷

 là:
Câu 54: Nguyên hàm của hàm số y = 3x − 1 trên  3
3 2
3 2
2
3
x − x+C
x − x +C
3x − 1) + C
(
A. 2
B. 9
C. 2

1
D. 9

( 3x − 1)

3

+C

x3
F (x) = ∫ 4 dx
x −1
Câu 55: Tính
A.

F (x) =

F (x) = ln x4 − 1 + C

1
ln x4 − 1 + C
4

B.
1
1
F (x) = ln x4 − 1 + C
F (x) = ln x4 − 1 + C
3
2

C.
D.
3
4
x
1 d(x − 1) 1
dx = ∫ 4
= ln x4 − 1 + C
4
∫
x
−
1
4
x
−
1
4
Ta có:
Câu 56: Một nguyên hàm của hàm số y = sin3x
1
− cos3x
A. 3
B. −3cos3x
f (x) =

1
cos3x
D. 3

C. 3cos3x

5+ 2x4
x2
. Khi đó:

Câu 57: Cho hàm số
2x3 5
f
(
x
)
dx
=
− +C
∫
3 x
A.

∫ f (x)dx = 2x
B.

3

−

5
+C
x

Trang 7


C.

∫

f (x)dx =

2x3 5
+ +C
3 x

D.

∫

f (x)dx =

2x3
+ 5lnx2 + C
3

2
Câu 58: Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x 1+ x là:
3
1
1
F (x) =
1+ x2

F (x) =
1+ x2
3
3
A.
B.
2
2
x
1
F (x) =
1+ x2
F (x) =
1+ x2
2
2
C.
D.

)

(

(
(

)

(

)
)

2

2

Câu 59: Họ các nguyên hàm của hàm số y = sin2x là:
1
− cos2x + C
A. − cos2x + C
B. 2
C. cos2x + C

1
cos2x + C
D. 2

π 
f ( x) = 2x − 3cos x, F  ÷ = 3
f ( x)
 2
Câu 60: Tìm nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn điều kiện:
2
2
π
π
F (x) = x2 − 3sin x + 6 +
F (x) = x2 − 3sin x −

4
4
A.
B.

π2
F (x) = x − 3sin x +
4
C.

π2
F (x) = x − 3sin x + 6 −
4
D.
1
π
f (x) = 2x +
F( ) = −1
2
sin x thỏa mãn
4
Câu 61: Một nguyên hàm F(x) của hàm số
là:
2
2
π
π
F(x) = −cotx + x2 −
F(x) = cotx − x2 +
16

16
A.
B.
π2
2
F(
x
)
=
−
c
ot
x
+
x
−
2
16
C. F(x) = −cotx + x
D.
2

Câu 62: Cho hàm số

2

f ( x) = cos3x.cos x

A. 3sin3x + sin x
Câu 63: Họ nguyên hàm

A. cot x − x + C

. Một nguyên hàm của hàm số
sin4x sin2x
sin4x sin2x
+
+
4
4
B. 8
C. 2

f ( x)

f ( x) = cot2 x
của hàm số
là :
−
cot
x
−
x
+
C
cot
x+ x+C
B.
C.

bằng 0 khi x = 0 là:

cos4x cos2x
+
8
4
D.

F ( x)

D. tan x + x + C

x
−x
Câu 64: Hàm số F (x) = e + e + x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?
1
f (x) = ex − e− x + x2
−x
x
2
A. f (x) = e + e + 1
B.
1
f (x) = ex + e− x + x2
x
−x
f
(
x
)
=
e

−
e
+
1
2
C.
D.

22x.3x.7x dx
Câu 65: Tính ∫
84x
22x.3x.7x
+C
+C
A. ln84
B. ln4.ln3.ln7
1
(x2 − 3x + )dx
∫
x
Câu 66: Tính
3
2
A. x − 3x + ln x + C
x3 3 2 1
− x + 2 +C
x
C. 3 2

x

C. 84 + C

x
D. 84 ln84 + C

x3 3 2
− x + ln x + C
B. 3 2
x3 3 2
− x + ln| x| +C
D. 3 2
Trang 8


Câu 67: Một nguyên hàm của hàm số
3
1
(2x − 1) 1− 2x
(2x − 1) 1− 2x
A. 4
B. 3

1
2 là :
3
− (1− 2x) 1− 2x
C. 2

3
(1− 2x) 1− 2x

D. 4

Câu 68: Tính ∫
2x+1
+C
A. ln2

3.2x+1
+C
C. ln2

x+1
D. 2 .ln2 + C

f (x) = 1− 2x, x <

2x+1dx
x+1
B. 2 + C

x
Câu 69: Hàm số F (x) = e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
1
f (x) = ex −
f (x) = ex +
2
sin x
sin2 x
A.

B.


e− x 
f (x) = ex  1+
÷
2
 cos x 
C.

D.

f ( x) = ex +

1
cos2 x

f (x)dx = ex + sin2 x + C
Câu 70: Nếu ∫
thì f (x) là hàm nào ?
x
2
x
x
A. e + cos x
B. e − sin2x
C. e + cos2x

f (x) =

x
D. e + sin2x

x3 − 1
x2 biết F(1) = 0

Câu 71: Tìm một nguyên hàm F(x) của
x2 1 1
x2 1 3
F (x) =
− +
F (x) =
+ +
2 x 2 B.
2 x 2
A.

F (x) =

x2 1 1
− −
2 x 2

C.
D.
Câu 72: Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x – 3x + 2 và F(-1) = 3
F ( x) = x4 – x3 − 2x − 3
F ( x) = x4 – x3+2x + 3
A.
B.

F ( x) = x4 – x3 − 2x + 3
F ( x) = x4 + x3 + 2x + 3
C.
D.
3

Câu 73: Nếu
x
A. e − x

F ( x)

x2 1 3
+ −
2 x 2

F (x) =

2

x
−x
là một nguyên hàm của f (x) = e (1− e ) và F (0) = 3 thì F (x) là ?
x
x
x
B. e − x + 2
C. e − x + C
D. e − x + 1

2
Câu 74: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x x + 1 là:
3
2
3
3
x2 + 1) + C
(
−2 ( x2 + 1) + C
x2 + 1) + C
(
3
A.
B.
C.

−1
D. 3

2
Câu 75: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x 1− x là:
3
1
3
3
1− x2 ) + C
(
− ( 1− x2 ) + C
2 ( 1− x2 ) + C
3

A.
B.
C.
2x
f (x) =
x2 + 1 là:
Câu 76: Họ nguyên hàm của hàm số
1
+C
2
2
2
x
+
1
+
C
2
x
+
1
A.
B.
C. 2 x + 1 + C

D.

−

2

3

(x

2

+ 1) + C
3

( 1− x )

2 3

+C

2
D. 4 x + 1 + C

3
Câu 77: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x 1− 2x là:

A.

−

33 ( 1− 2x)

+

6

33 ( 1− 2x)
C.

3

6

3

−

33 ( 1− 2x)
12

33 ( 1− 2x)
12

6

+C

B.
D.

4

+

8

33 ( 1− 2x)

6

+C

−

33 ( 1− 2x)

8

4

−

33 ( 1− 2x)
14

33 ( 1− 2x)
14

7

+C

7

+C

Trang 9


f (x) =

Câu 78: Họ nguyên hàm của hàm số
ln x2 + 4
2
+C
2ln x + 4 + C
2
A.
B.

2x
x + 4 là:
2

C.

ln x2 + 4 + C

D.

3x2
x3 + 4 là:
Câu 79: Họ nguyên hàm của hàm số
3ln x3 + 4 + C
−3ln x3 + 4 + C

ln x3 + 4 + C
A.
B.
C.
sin x
f (x) =
cos x − 3 là:
Câu 80: Họ nguyên hàm của hàm số
ln cos x − 3
−
+C
− ln cos x − 3 + C
2ln cos x − 3 + C
2
A.
B.
C.

4ln x2 + 4 + C

f (x) =

Câu 81: Họ nguyên hàm của hàm số
x
A. −e − 3+ C

f (x) =

Câu 82: Họ nguyên hàm của hàm số

C.

4ln cos x − 3 + C

−2ln ex + 3 + C

D.

ln ex + 3 + C

ln x
x là:

ln2 x
+C
C. 2

B. ln x + C

A. ln x + C
2

D.

− ln x3 + 4 + C

ex
ex + 3 là:

x

B. 3e + 9 + C

f (x) =

D.

x2

Câu 83: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x2
1
1 x2
+C
.2 + C
x2
A. ln2.2
B. ln2

ln x
+C
D. 2

là:

ln2
2

x
C. 2

+C

2

x
D. ln2.2 + C

2x
ln(x2 + 1)
2
x
+
1
Câu 84: Họ nguyên hàm của hàm số
là:
1 2 2
1 2 2
ln (x + 1) + C
ln (x + 1) + C
2
ln(
x
+
1)
+
C
A. 2
B.
C. 2
f (x) =

1 2 2
ln (x + 1) + C
D. 2

f (x)dx = F (x) + C.
f (a x + b)dx
Câu 85: Cho ∫
Khi đó với a ≠ 0, ta có ∫
bằng:
1
1
F (a x + b) + C
F (a x + b) + C
A. 2a
B. a.F (a x + b) + C
C. a
D. F (a x + b) + C
2
Câu 86: Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x 1+ x là:
3
1
1
F (x) =
1+ x2
F (x) =
1+ x2
3
3
A.
B.

2
2
x
1
F (x) =
1+ x2
F (x) =
1+ x2
2
2
C.
D.

)

(

)

(

x ( x + 1)
Câu 87: Tính ∫

( x + 1)
A.

5

5

(
(

( x + 1)
+
4

3

dx

)
)

2

2

là :

( x + 1)

4

+C

x5 3x4
x2
3

+
+ x − +C
4
2
C. 5
2x
∫ x2 + 9 4 dx
(
)
Câu 88: Tính
là:

B.

5

5

( x + 1)
−
4

4

+C

x5 3x4
x2
3
+

−x +
+C
4
2
D. 5

Trang 10


−

A.

1

5( x2 + 9)

5

+C

−

B.

1

3( x2 + 9)

3

+C

−

C.

(x

2

4

+ 9)

5

+C

2
Câu 89: Hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) = x. x + 5 ?
3
3
3
1 2
1 2
2
2
2
F

(
x
)
=
(
x
+
5)
F
(
x
)
=
(
x
+
5)
F ( x) = (x + 5)2
3
2
A.
B.
C.

cos x.sin2 x.dx
Câu 90: Tính ∫
3sin x − sin3x
3cos x − cos3x
sin3 x
+C

+C
+C
12
12
A.
B.
C. 3
dx
∫
Câu 91: Tính x.ln x
A. ln x + C
B. ln| x| +C
C. ln(lnx) + C

f ( x) =

Câu 93: Họ nguyên hàm của hàm số
x
x
ln cot + C
ln tan + C
2
2
A.
B.

ln cosx + C

B.

Câu 97: Kết quả của
A. x ln x + x + C
Câu 98: Tìm

+ 9)

3

+C

3

2
2
D. F (x) = 3(x + 5)

2
D. sinx.cos x + C

D. ln| lnx| + C

C.

f ( x) = tan x

f ( x) = xex

2
D. ln(x + 1)

1
sin x là:
− ln tan

x
+C
2

D.

ln sin x + C

là:
tan2 x
+C
C. 2

D.

x2 x
e +C
C. 2

x
x
D. xe − e + C

C. x ln x + C

D. x ln x − x + C

C. x ln x + C

D. x ln x − x + C

ln ( cosx) + C

là:

x
B. e + C

x
x
A. xe + e + C

Câu 96: Kết quả của
A. x ln x + x + C

1
ln(x2 + 1)
C. 2

− ln cosx + C

Câu 95: Nguyên hàm của hàm số

2

2

Câu 92: Một nguyên hàm của
1
ln x + 1
2ln ( x2 + 1)
A. 2
B.

A.

D.

(x

1

x
x + 1 là:

f (x) =

Câu 94: Họ nguyên hàm của hàm số

−

∫ ln xdx là:
B. Đáp án khác

∫ xln xdx là:
B. Đáp án khác

∫ x sin2xdx ta thu được kết quả nào sau đây?
1
1
x sin2x − cos2x + C
2
B. 4
1
1
x sin2x − cos2x
2
D. 4

A. x sin x + cos x + C
C. x sin x + cos x
x
cos2 x là :
Câu 99: Một nguyên hàm của
x tan x − ln cosx
x tan x + ln ( cosx)
A.
B.
x
f ( x) =
sin2 x là :
Câu 100: Một nguyên hàm của
f ( x) =

C.

x tan x + ln cosx

D.

x tan x − ln sin x

Trang 11


A.

x cot x − ln sinx

B.

− x cot x + ln ( sin x)

x tan x − ln sin x
D.
ex ( 3x − 2) + x − 1
I =∫
dx
x − 1 ex. x − 1 + 1
Câu 101: Tìm
?
x
I = x + ln e . x − 1 + 1 + C
I = x − ln ex. x − 1 + 1 + C
A.
.

B.
.
x
x
I = ln e . x − 1 + 1 + C
I = ln e . x − 1 − 1 + C
C.
.
D.
.
C.

− x tan x + ln cosx

(

(

(

)

)

)

(

(

)

)

J = ∫ ex .sinxdx

Câu 102: Tìm
?
x
e
J = ( cos x − sin x) + C
2
A.
.
C.

J =

ex
J = ( sin x + cos x) + C
2
B.
.
x
e
J = ( sin x + cos x + 1) + C
2
D.
.

ex
( sin x − cos x) + C
2
.

----------------------------------------------ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1: Chọn D
Hướng dẫn:
Câu 2: Chọn D
Hướng dẫn:

2x + 1
( x + 2) 2
Đặt t = x + 2 ⇒ dt = dx
2x + 1
2(t − 2) + 1
2t − 3
2 3 
∫ f ( x)dx = ∫ ( x + 2)2 dx = ∫ t 2 dt = ∫ t 2 dt = ∫  t − t 2 ÷dt
3
3
3
= 2ln t + + C = 2 ln x + 2 +
+ C = 2 ln ( x + 2 ) +
+C
t
x+2
x+2
(Do x+2 > 0)
f ( x) =

Câu 3:
Hướng dẫn:
I =∫

Đặt

(

ln 1+ x2

x

+ 2017x

x2 + 1 

ln  ex
. 2+e



(

I =∫

+Ta có :
+ Đặt :

)

)

(

ln 1+ x2

)

x

dx

+ 2017x

x2 +1 

ln  ex
. 2+e



(

(

)

)

t = ln 1+ x2 + 1⇒ dt =

x  ln ( 1+ x ) + 2017
(
)
 dx
dx = ∫
dx = ∫ 



( x + 1) ln ( 1+ x ) + lne
( x + 1) ln ( 1+ x ) + 1
2

xln 1+ x2 + 2017x

2

2

2

2

2x
dx
1+ x2

t + 2016

1 
2016 
1
dt = ∫  1+
÷dt = t + 1008ln t + C
2t
2 
t 
2
1
1
1
⇔ I = ln x2 + 1 + + 1008ln ln x2 + 1 + 1 + C = ln x2 + 1 + 1008ln ln x2 + 1 + 1 + C




2
2
2

⇒I =∫

(

)

(

)

(

)

(

)

Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Câu 4:
Hướng dẫn:
Trang 12


x

 4 − x 2  du = 16
4

u = ln 

x − 16
2 ÷

 4+ x ⇒ 
4
4

v = x − 4 = x − 16

3
 dv = x dx

4
4
Đặt :
 4 − x2 
 x 4 − 16   4 − x 2 
 x 4 − 16   4 − x 2 
⇒ ∫ x 4 ln 
dx
=
ln
−
4
xdx
=
− 2 x2 + C
÷

÷

÷

÷ln 
2
2
2 ÷
∫
 4+ x 

 4   4+ x 
 4   4+ x 
Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 5:
Hướng dẫn:
cos x
T =∫
dx
sin x + cos x
Đặt :
sin x
cos x
sin x + cos x
⇒ I +T = ∫
dx + ∫
dx = ∫
dx = x + C1
( 1)
sin x + cos x
sin x + cos x
sin x + cos x
Ta lại có :
sin x
cos x
sin x − cos x
I −T = ∫
dx − ∫
dx = ∫
dx =
sin x + cos x

sin x + cos x
sin x + cos x
d ( sin x + cos x )
⇔ I − T = −∫
= − ln sin x + cos x + C2
( 2)
sin x + cos x
1

 I = 2 ( x − ln sin x + cos x ) + C
 I + T = x + C1
⇒

 I − T = − ln sin x + cos x + C2
T = 1 ( x + ln sin x + cos x ) + C
1) ; ( 2 )
(

2
Từ
ta có hệ:
Vậy đáp án đúng là đáp án D .
Câu 6:
Hướng dẫn:
Đặt :

T=∫

⇒ I +T = ∫

sin4 x
dx
sin4 x + cos4 x
cos4 x
sin4 x
sin4 x + cos4 x
dx + ∫
dx = ∫
dx = x + C1
4
4
4
sin x + cos x
sin x + cos x
sin4 x + cos4 x
4

( 1)

Mặt khác :
cos4 x
sin4 x
cos4 x − sin4 x
dx
−
dx
=
∫ sin4 x + cos4 x ∫ sin4 x + cos4 xdx
sin4 x + cos4 x
cos2 x − sin2 x

cos2x
⇔ I −T = ∫
dx = ∫
dx
2
2
1 2
1− 2sin x.cos x
1− sin x
2
 2 + sin2x 
2cos2x
1
⇔ I −T = ∫
dx =
ln 
÷+ C2
( 2)
2
2 − sin 2x
2 2  2 − sin2x ÷



1
1
I =  x +
ln 
 I + T = x + C1


2 2 

 2 
 2 + sin2x 
⇒
1

ln 
÷+ C
I − T =
 2 − sin2x ÷ 2 T = 1 x − 1 ln 
2
2






2 
2
2
1) ; ( 2 )
(



Từ
ta có hệ :
I −T = ∫

2 + sin2x  
÷÷ + C
÷
2 − sin2x ÷

2 + sin2x  
÷÷ + C
÷
2 − sin2x ÷


Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Câu 7:
Hướng dẫn:
x ≥ 1
x− 1
≥ 0⇔ 
x+ 1
 x < −1

Điều kiện :
Trường hợp 1 : Nếu x ≥ 1 thì

Trang 13


x− 1
x− 1
x

1
dx = ∫
dx = ∫
dx − ∫
dx = x2 − 1 − ln x + x2 − 1 + C
2
2
2
x+ 1
x −1
x −1
x −1
Trường hợp 2: Nếu x < −1 thì
Q=∫

x− 1
1− x
1
x
dx = ∫
dx = ∫
dx − ∫
dx = ln x + x2 − 1 − x2 − 1 + C
2
2
2
x+ 1
x −1
x −1
x −1

Q=∫

Vậy đáp án đúng là đáp án D.
Câu 8:
Hướng dẫn:
Đặt

x2 x3 x4
xn
x2 x3
xn−1
+
+
+ ... +
⇒ g′ ( x) = 1+ x +
+
+ ... +
2! 3! 4!
n!
2! 3!
( n − 1) !

g( x) = 1+ x +

g( x) − g′ ( x) =

Ta có :
⇒T = ∫

xn
⇒ xn = n! g( x) − g′ ( x)
n!

(

n!. g( x) − g′ (

) 

g( x)

)

 g′ ( x) 

x2
xn 
dx = n!∫ 1−
dx = n!.x − n!ln = n!x − n!ln  1+ x + + ... + ÷+ C
2!
n! 
g( x) 



Vậy đáp án đúng là đáp án B .
Câu 9:
Hướng dẫn:
T=∫

dx
n

(x

n

)

+1

n+ 1

=∫

Ta có :
Đặt :

t=

x− n−1

dx
n+ 1

 1

xn+1.n  n + 1÷
x



−1−

 1

=∫
dx = ∫ x− n−1  n + 1÷
1
1+
x

 1
 n
 n + 1÷
x


1
n

dx

1
n
+ 1⇒ dt = − n+1 = −nx− n−1
n
x
x
−1

−1
 1
n
1 −1− 1
⇒ T = − ∫ t ndt = t n + C =  n + 1÷ + C
n
x


Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Câu 10 :
Hướng dẫn:
Ta có :

H=∫

x2

( xsin x + cos x)

2

dx = ∫

xcos x

( xsin x + cos x)

2

.

x
dx
cos x


x

xsin x + cosx
u = cos x
du =
dx

2


cos
x

d( xsin x + cosx) ⇒ 
xcos x
1
dv =
v = −
dx
=
2
2



xsin x + cos x
( xsin x + cosx)
( xsin x + cos x) 
Đặt 
x
1
1
−x
⇒H =−
.
+∫
dx =
+ tan x + C
2
cos x xsin x + cosx
cos x( xsin x + cos x)
cos x

Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Câu 11:
Hướng dẫn:
 π
t ∈  0; ÷
x = 2cos2t
 2
Đặt
với
dx = −4sin2t.dt


 2− x
2 − 2sin2t
=
=

2 + 2cos2t
Ta có :  2 + x

4sin2 t sin t
=
4cos2 t cost

Trang 14


1
sin t
2sin2 t
1− cos2t
.
.4sin2
t
.
dt
=
−
dt = − ∫
dt
∫

2
2
4cos 2t cost
cos 2t
cos2 2t
1
1
tan2t 1 1+ sin2t
⇔ R = −∫
dt + ∫
dt = −
+ ln
+C
2
cos2t
2
4 1− sin2t
cos 2t

⇒ R = −∫

Vậy đáp án đúng là đáp án A .
Câu 12 :
 ex f ( x) ′ = ex . f ( x) + ex . f ′ ( x) + C = ex  f ( x) + f ′ ( x)  + C





Lưu ý : ta luôn có điều sau

Hướng dẫn:

(

) (

)

(

)

F = ∫ ex  xn + n.xn−1 − n xn−1 + ( n − 1) xn− 2 + n( n − 1) xn− 2 + ( n − 2) xn− 3 + ... + n!( −1)

⇔ F = ex  xn − nxn−1 + n( n − 1) xn− 2 + ... + n!( −1)


n−1

n−1

( x + 1) + n!( −1)

n

dx


n
x + n!( −1) 



Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 13:
Hướng dẫn:
Ta có :
G= ∫

2x2 + ( 1+ 2ln x) .x + ln2 x

(x

2

)

+ xln x

2

2
 x2 + 2xln x + ln2 x + x + x2
x + ln x) + x( x + 1)
(


dx = ∫
dx = ∫
dx
2

2
x2 ( x + ln x)
x2 ( x + ln x)

 1
x + 1 ÷
1
x+ 1
−1
⇔ G = ∫ 2 +
dx = − + ∫
dx =
+J
2
2
 x x( x + ln x) ÷
x
x
x
x
+
ln
x
(
)


x+ 1
J=∫
dx

2
x( x + ln x)



x+ 1
J =
dx
∫ x x + ln x 2 ÷÷

(
) 


Xét nguyên hàm :
+ Đặt :

t = x + ln x ⇒ dt = 1+

1 x+ 1
=
x
x

1
−1
−1
dt =
+C =
+C

2
t
x + ln x
t
−1
−1
1
G=
+J=
−
+C
x
x x + ln x
Do đó :
⇒J =∫

Vậy đáp án đúng là đáp án A .
Câu 14:
Hướng dẫn:

( 7x − 1)
K=∫
( 2x + 1)
Ta có :
t=

Đặt

2017

2017

 7x − 1
dx = ∫ 
÷
2019
 2x + 1

.

1

( 2x + 1)

2

dx

7x − 1
9
dt
1
⇒ dt =
dx ⇔ =
dx
2
2x + 1
9 ( 98x + 1) 2
( 2x + 1)

2018

1 2017
t 2018
1  7 x −1 
t
dt
=
+C =
.
÷
∫
9
18162
18162  2 x + 1 
Vậy đáp án cần chọn là đáp án D.
Câu 15:
Hướng dẫn:
⇒K =

+C

Trang 15



1
u = ln x
du = x dx


1
⇒
dv =
dx 
2

 v = −1
x
+
1
(
)

x+ 1


Đặt

⇒S=

− ln x
1
− ln x  1
1 
− lnx
1
dx
+∫
dx =
+ ∫ −

+ + ∫ dx − ∫
÷dx =
x+ 1
x+ 1
x+ 1
x
x+ 1
x( x + 1)
 x x + 1

⇔ S=

− ln x
− ln x
x
+ ln x − ln x + 1 + C =
+ ln
+C
x+ 1
x+ 1
x+ 1

(

)

.

Vậy đáp án đúng là đáp án A.
Câu 16:

Hướng dẫn:
L=∫

1− ln x

(

1− n

n

Ta có :

Đặt :

t=

⇒L=∫

)

x .ln x. x + ln x
n

dx = ∫

1− ln x
1
1− ln x
1

. − n−1
dx = ∫
.
dx
2
2
n
n
x
x
ln x 
lnn x 
x .ln x. x + ln x
 1+ n ÷
x 
x 

(

)

ln x
1− ln x
⇒ dt =
dx
x
x2

(

dt

=∫

)

t tn + 1

tn−1dt

(

)

tn t n + 1

n
. n−1dt
+ Đặt u = t + 1⇒ du = nt

⇒L=

1
du
1  1
1
1
1
u−1
=

− ÷du = .ln u − 1 − ln u  + C = .ln
+C

n ∫ u( u − 1) n ∫  u − 1 u 
n
n
u

lnn x
n
1
t
1
1
lnn x
⇔ L = .ln n
+ C = .ln nx
+ C = .ln n
+C
n
n
n
t +1
ln x
ln x + xn
+1
xn
n

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 17:
Phân tích:
Ta có:

∫( x

3

)

− x2 + 2 x dx =

1 4 1 3 4 3
x − x +
x +C
4
3
3
.

Đáp án đúng là A.
Câu 18:
Phân tích:
Ta có:
1
2
1
 − 12

−

 1

2
3
3
2
+
+
3
dx
=
x
+
2
x
+
3
dx
=
2
x
+
3
x
+ 3x + C = 2 x + 33 x2 + 3x + C

÷
∫  x 3 x ÷ ∫ 
÷



.

Đáp án đúng là A.
Câu 19:
Phân tích:
Ta có:

∫x

2

1
1
1  1
1 
1
1 x− 6
dx = ∫
dx = ∫ 
−
+C
÷dx = ln x − 6 − ln x − 1 + C = ln
5  x − 6 x − 1
5
5 x− 1
− 7x + 6
( x − 1) ( x − 6)
.

(

)

Đáp án đúng là B.
Trang 16


Câu 20:
Phân tích:
Ta có:
2x3 − 6x2 + 4x + 1

1


1
1 
x− 2
2
∫ x2 − 3x + 2 dx = ∫  2x + x2 − 3x + 2÷ dx = ∫  2x + x − 2 − x − 1÷ dx = x + ln x − 1 + C

Đáp án đúng là D.
Câu 21:
Phân tích:
Ta có:
 2
3x + 3
3x + 3
1 

dx = ∫
dx = ∫ 
−
÷dx = −2ln x − 1 − ln x + 2 + C
2
− x+ 2
( 1− x) ( x + 2)
 1− x x + 2 

∫ −x

Đáp án đúng là B.
Câu 22:
Phân tích:
Ta có:
1

∫

dx = ∫
x + 1+ x + 2

(

)

x + 2 − x + 1 dx =

( x + 2)

3

−

( x − 1)

3

.

+C

.

Đáp án đúng là C.
Câu 23:
Phân tích:
Ta có:
1

∫ ( sin2x + cos x) dx = − 2cos2x + sin x + C .
Đáp án đúng là C.
Câu 24:
Phân tích:
Ta có:
 2x+ 1

x
x
x

5
x


 5

e2x+1 − 2
 e − 2 ÷dx =  e2x+1− 3 − 2e− 3 ÷dx =  e3x+ 1 − 2e− 3 ÷dx = 5 e3x+1 + 2 e− 3 + C
dx
=
∫ 3 ex
∫ x x ÷ ∫
∫
÷
÷
3
3




3
3
e 
 e

.

Đáp án đúng là D.
Câu 25:

Phân tích:
Ta có:

∫ sin ( 2x + 3) + cos( 3 − 2x)  dx = −2cos( 2x + 3) − 2sin ( 3 − 2x) + C .

Đáp án đúng là A.
Câu 26:
Phân tích:
Ta có:

 1− cos( 6x + 2)

∫ sin ( 3x + 1) + cos xdx = ∫ 
2

2




1 1

1
+ cos xdx = ∫  − cos( 6x + 2) + cos xdx = x − 3sin ( 6x + 2) + sin x +
2
2 2



Đáp án đúng là A.

Câu 27:
Phân tích:
Ta có:


∫ 

x + 1−

1
2
dx =
2÷
3
x 

Theo đề bài, ta lại có:
F ( x) =

2
3

( x + 1)

3

+

( x + 1)

3

+

1
+C
x
.

F ( 3) = 6 ⇔

2
3

( 3+ 1)

3

+

1
1
+ C = 6⇔ C =
3
3.

1 1
+
x 3.

Trang 17


Đáp án đúng là B.
Câu 28:
Phân tích:
Ta có:

∫ 4x

3

+ 2( m− 1) x + m+ 5dx = x4 + ( m− 1) x2 + ( m+ 5) x + C

.

Lại có:

 F ( 0) = 1 C = 1
C = 1
⇔
⇔

 F ( 1) = 8 1+ m− 1+ m+ 5 + C = 8 m= 1
F ( x) = x4 + 6x + 1

Vậy
Đáp án đúng là B.
Câu 29:
Phân tích:

.

2
Đặt t = x + 1⇒ dt = 2xdx .

⇒∫

x
1 1
1
dx = ... = ∫ dt = ln t + C
2 t
2
x +1
.
2

Đáp án đúng là C.
Câu 30:
Phân tích:
Ta có:

∫ ( sin

3


3
3 2

π
x + cos3 x dx = 3cos x.sin2 x − 3sin x.cos2 x + C = sin2x( sin x − cos x) + C =
sin2xsin  x − ÷+ C
2
2
4


)

.
Đáp án đúng là C.
Câu 31:
Phân tích:
1
1
dx ⇒ dt = dx
2x
x .
Đặt
ln2x
1
⇒∫
dx = ... = ∫ tdt = t2 + C
x
2
.
t = ln2x ⇒ dt = 2.

Đáp án đúng là A.

Câu 32:
Phân tích:
 π π
1
x = tan t,t ∈  − ; ÷⇒ dx =
dt
2
2
2
cos
t


Ta đặt :
.
⇒∫

1
dx = ... = ∫ dt = t + C
x +1
.
2

Đáp án đúng là D.
Câu 33:
Phân tích:
I =∫

Ta biến đổi:

1
4 − ( x − 1)

2

dx

.

 π π
x − 1 = 2sin t,t ∈  − ,  ⇒ dx = 2costdt
 2 2
Đặt
.
⇒ I = ∫ dt = t + C

.
Đáp án đúng là D.
Câu 34:
Phân tích:

Trang 18


sin x

cos x

∫ ( tan x + cot x) dx = ∫ cosx dx + ∫ sin x dx .
Ta có:

Xét

I1 = ∫

sin x
1
dx
t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I 1 = − ∫ dt = − ln t + C1
cos x . Đặt
t
.

Xét

I2 = ∫

cos x
1
dx
u = sin x ⇒ du = cos xdx ⇒ I 2 = ∫ du = ln u + C2
sin x . Đặt
u
.

⇒ I = I 1 + I 2 = − ln t + ln u + C

Đáp án đúng là A.
Câu 35:
Phân tích:
Ta có:

I =∫

Đặt

2( sin x + cos x)
2sin x + 2cos x
dx = ∫
dx
3
2
1− sin2x
3
( sin x − cosx)

t = sin x − cos x ⇒ dt = ( sin x + cos x) dx

⇒I=∫

2
3

t

2

dt = 2.

.

.

1
3

1
t + C = 63 t + C
 2
1+  − ÷
 3
.

Đáp án đúng là B.
Câu 36:
Phân tích:
Ta đặt:

1
du = x dx
u = ln x
⇒

2
dv = xdx v = x

2
.

⇒ I = ∫ xln xdx =

x2

1
ln x − ∫ xdx
2
2
.

Đáp án đúng là B.
Câu 37:
Phân tích:
Ta đặt:
u = x
du = dx
⇒

dv = sin xdx v = − cos x .
⇒ I = ∫ xsin xdx = − xcos x + ∫ cos xdx

.

Đáp án đúng là C.
Câu 38:
Phân tích:

Ta biến đổi:

 1− cos2x 
1
1
1 2 1
I = ∫ xsin2 xdx = ∫ x

÷dx = ∫ xdx − ∫ xcos2xdx = x − ∫ x cos2xdx + C1
2
2
2
4
21 4 2 4 3



I 1 = ∫ xcos2xdx

I1

.

du = dx
u = x

⇒


1
dv = cos2x v = sin2x

2
Đặt
.
⇒ I 1 = ∫ xcos2xdx =

1

1
1
1
xsin2x − ∫ sin2xdx = xsin2x + cos2x + C
2
2
2
4
.

Trang 19


1
1

1
1
1
⇒ I =  x2 − cos2x − xsin2x÷+ C = 2x2 − 2xsin2x − cos2x + C = − cos2x + x2 + xsin2x + C
4
2
8
8
4

.

(

)

(

)

Đáp án đúng là C.
Câu 39:
Phân tích:
Ta có:
I = ∫ exdx = ex + C

.
Đáp án đúng là D.
Câu 40:
Phân tích:
Ta có:

I = ∫ ex ( 1+ x) dx = ∫ exdx + ∫ ex xdx = ex + C1 + ∫ xexdx
1 2 43
I1

Xét

I 1 = ∫ e xdx

Đặt

u = x
du = x

⇒

x
x
dv = e dx v = e

.

x

.
.

⇒ I 1 = xex − ∫ xexdx ⇒ I 1 =

1 x
xe + C2
2
.

1
⇒ I = ex + xex + C
2
.

Đáp án đúng là B.
Câu 41:
Phân tích:
Ta đặt:
u = x

du = dx
⇒

2
3
du = sin xcos x u = − cos xdx .
⇒ I = ∫ xsin xcos2 xdx = − xcos3 x + ∫ cos3 xdx + C1
14 2 43
I1

(

∫
Xét 1 ∫
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx .

)

I = cos xdx = cos x 1− sin x dx
3

2

.

.

1
⇒ I 1 = ∫ 1− t2 dt = t − t3 + C2
3

.

(

)

1
⇒ I = − xcos3 x + I 1 = − xcos3 x + t − t3 + C
3
.

Đáp án đúng là A.
Câu 42:
Phân tích:
Ta đặt:

u = ln ( cos x)
du = − tan xdx

⇒

dx
v = − cot x
dv =
sin2 x

.

⇒ I = − cot x.ln ( cos x) − ∫ dx = − cot x.ln ( cos x) − x + C

.

Đáp án đúng là B.
Câu 43.
Phân tích:
Cách 1:
Trang 20


∫( x

2

Theo đề, ta cần tìm
Ta có:

∫( x

2

)

+ 2x3 dx

. Sau đó, ta xác định giá trị của a .

1
1
+ 2x3 dx = x3 + x4 + C
3

2
.

)

∫( x

2

)

+ x3 dx

a 3 b 4
x + x +C
a = 1, b = 2.
4
có dạng 3
thì

Suy ra để
Vậy đáp án chính xác là đáp án B.
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.

a 3 b 4
x + x +C
4
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 3
. Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm
a 3 b 4

x + x +C
4
của 3
.

Ví dụ:
a 3 b 4
2 3 b 4
2 3 b 4
x + x +C
x + x +C
x + x +C
a=
2
3
4
3
4
4
A.Thay
vào
ta được
. Lấy đạo hàm của 3
:
2 3 b 4
′
2
3
 x + x + C ÷ = 2x + bx
x2 + 2x3 = 2x2 + bx3 ,∀x∈ ¡

4
3

, vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho
nên ta loại

đáp án A.
a 3 b 4
1 3 b 4
1 3 b 4
x + x +C
x + x +C
x + x +C
4
4
4
B.Thay a= 1 vào 3
ta được 3
. Lấy đạo hàm của 3
:
1 3 b 4
′
2
3
 x + x + C ÷ = x + bx
x2 + 2x3 = 2x2 + bx3 ,∀x∈ ¡
4
3

, vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho

( cụ thể b= 2∈ ¤ )

nên ta nhận đáp án B.
a 3 b 4
b
b
x + x +C
3x3 + x4 + C
3x3 + x4 + C
4
4
4
C.Thay a= 9 vào 3
ta được
. Lấy đạo hàm của
:
′
 3 b 4

2
3
 3x + x + C ÷ = 9x + bx
9x2 + 2x3 = 2x2 + bx3 ,∀x∈ ¡
4


, vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho
nên ta loại

đáp án C.

a 3 b 4
32 3 b 4
32 3 b 4
x + x +C
x + x +C
x + x +C
4
4
4
D.Thay a= 32 vào 3
ta được 3
. Lấy đạo hàm của 3
:
 32 3 b 4
′
2
3
x
+
x
+
C

÷ = 32x + bx
32x2 + 2x3 = 2x2 + bx3 ,∀x∈ ¡
3
4


, vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho

nên ta

loại
đáp án D.
Chú ý:
2
2
3
2
3
2
3
2
3
Ta chỉ cần so sánh hệ số của x ở 2 vế của đẳng thức x + 2x = 2x + bx ; 9x + 2x = 2x + bx ;

32x2 + 2x3 = 2x2 + bx3 và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D.

Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp án A.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:

∫( x

2

)

+ 2x3 dx = 3x3 + 8x4 + C

∫( x

2

)

.

+ 2x3 dx = 3x3 + 8x4 + C

Vì thế, a= 9 để
Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.

a 3 b 4
x + x +C
4
có dạng 3
.

Trang 21


Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:

∫( x

2

)

+ 2x3 dx = 3x3 + 8x4 + C

.
Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b .

∫( x

2

)

+ 2x3 dx

a 3 b 4
x + x +C
4
có dạng 3
thì b= 32 .

Để
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm.
Câu 44.
Phân tích:
Cách 1:
1

∫  3 x

Theo đề, ta cần tìm 
Ta có:

3

+

1+ 3 5 
x ÷dx
÷
5
 . Sau đó, ta xác định giá trị của a .

 1 3 1+ 3 5 
1 4 1+ 3 6
∫  3 x + 5 x ÷÷dx = 12 x + 30 x + C


.
1

∫  3 x

3

+

1+ 3 5 
1+ 3

a 4 b 6
x ÷dx
a = 1∈ ¤ , b =
∉¤.
x + x +C
÷
5

5
6
có dạng 12
thì

Suy ra để 
Vậy đáp án chính xác là đáp án D.
Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ.

a 4 b 6
x + x +C
a
12
6
Ta thay giá trị của ở các đáp án vào
. Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta lấy đạo hàm
a 4 b 6
x + x +C
6
của 12
.

Ví dụ:
a 4 b 6
1 4 b 6
1 4 b 6
x + x +C
x + x +C
x + x +C
6
6
6
A.Thay a= 1 vào 12
ta được 12
. Lấy đạo hàm của 12
:
 1 4 b 6
′ 1 3
5
1 3 1+ 3 5 1 3
 x + x + C ÷ = x + bx
x +
x = x + bx5 ,∀x ∈ ¡
6
 12
 3
b
3
5
3
, vì không tồn tại số hữu tỉ
sao cho

nên ta
loại đáp án A.
a 4 b 6
b
b
x + x +C
x4 + x6 + C
x4 + x6 + C
a=
12
12
6
6
6
B.Thay
vào
ta được
. Lấy đạo hàm của
:
 4 b 6
′
3
5
1 3 1+ 3 5
x
+
x
+
C


÷ = 4x + bx
x +
x = 4x3 + bx5 ,∀x∈ ¡
6


5
, vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3
nên ta

loại đáp án B.
C. Loại đáp án C.

(

)

36
1+ 3 ∉ ¤
Ta có thể loại nhanh đáp án C vì 5
và a∈ ¤ .

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.
Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( không tìm giá trị của b ).Học sinh
khoanh đáp án A và đã sai lầm.
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau:

(

)

6 1+ 3
 1 3 1+ 3 5 
1 4
1+ 3 6
4
x
+
x
dx
=
3
×
x
+
6
×
x
+
C
=
x
+
x6 + C

÷

∫ 3
÷
5
3
5
5


.

Trang 22


(

)

6 1+ 3
 1 3 1+ 3 5 
4
a 4 b 6
x
+
x
dx
=
x
+
x6 + C


÷
∫ 3
x + x +C
÷
5
5

6
Vì thế, a= 12 để 
có dạng 12
.

Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của b do không đọc kĩ yêu
cầu bài toán:

(

)

6 1+ 3
 1 3 1+ 3 5 
1 4
1+ 3 6
4
x
+
x
dx

=
3
×
x
+
6
×
x
+
C
=
x
+
x6 + C

÷
∫ 3
÷
5
3
5
5


.

(

(

)

6 1+ 3
 1 3 1+ 3 5 
4
a 4 b 6
x
+
x
dx
=
x
+
x6 + C

÷
∫ 3
x + x +C
÷
5
5


6
có dạng 12
.

)

36

b=
1+ 3
5
Vì thế,
để

Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 45.
Phân tích:
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
Ta có:

∫ ( 2x

∫ ( 2x

)

x2 + 1 + x ln x dx

)

. Sau đó, ta xác định giá trị của a .

x2 + 1 + xln x dx = ∫ 2x x2 + 1dx + ∫ xln xdx

Để tìm

∫ ( 2x

)

x + 1 + xln x dx
2

.

I 1 = ∫ 2x x + 1dx
2

ta đặt

và

I 2 = ∫ xln xdx

và tìm I 1 , I 2 .

* 1 ∫
.
Dùng phương pháp đổi biến.
I = 2x x2 + 1dx

2
t2 = x2 + 1, xdx = tdt
Đặt t = x + 1, t ≥ 1 ta được
.
Suy ra:

2
2
I 1 = ∫ 2x x2 + 1dx = ∫ 2t2dt = t3 + C1 =
3
3

)

(

3

x2 + 1 + C1

, trong đó C1 là 1 hằng số.

* 2 ∫
.
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.
I = xln xdx


1
du = x dx
u = ln x
⇒

dv = xdx v = 1 x2

2

Đặt
, ta được:
1
1
1
1
1
1
1
I 2 = ∫ xln xdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x2 ln x − ∫ x2 × dx = x2 ln x − ∫ xdx = x2 ln x − x2 + C2
2
2
x
2
2
2
4
.

2
1
1
2
1
1
∫ ( 2x x + 1 + xln x) dx = I + I = 3( x + 1) + C + 2 x ln x − 4 x + C = 3( x + 1) + 2 x ln x − 4 x + C .
a
b
1
x + 1) + x ln x − x + C

2x x + 1 + xln x) dx
(
(
∫
6
4
Suy ra để
có dạng 3
thì a = 2∈ ¤ , b = 3∈ ¤ .
2

3

2

1

2

2

2

1

Vậy đáp án chính xác là đáp án B.
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.

(

3

2

2

2

3

2

2

2

2

2

)

3
a
b
1
x2 + 1 + x2 ln x − x2 + C
2
4
Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào 3

. Sau đó, với mỗi a của các đáp
3
a
b
1
x2 + 1 + x2 ln x − x2 + C
2
4
án ta lấy đạo hàm của 3
.

(

)

Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo
hàm trở nên khó khăn.
Trang 23


Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
I 1 = ∫ 2x x2 + 1dx

*
.
Dùng phương pháp đổi biến.

2
t2 = x2 + 1, tdt = 2xdx
Đặt t = x + 1, t ≥ 1 ta được
.
Suy ra:

1
1
I 1 = ∫ 2x x2 + 1dx = ∫ t2dt = t3 + C1 =
3
3

(

)

3

x2 + 1 + C1

, trong đó C1 là 1 hằng số.

1 2
1
x ln x − x2 + C2
2
4
Học sinh tìm đúng
theo phân tích ở trên.
3

1
1
1
1
2
2
2
x
x
+
1
+
x
ln
x
dx
=
I
+
I
=
x
+
1
+ C1 + x2 ln x − x2 + C2 =
1
2
∫
3
2

4
3
I2 =

)

(

(

)

(

)

a
có dạng 3

(

Suy ra để ∫
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
D. Đáp án D sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
2x x2 + 1 + xln x dx

(

)

3

x2 + 1 +

)

1 2
1
x ln x − x2 + C
2
4
.

3
b
1
x2 + 1 + x2 ln x − x2 + C
a = 1, b = 3
6
4
thì
.

I 1 = ∫ 2x x2 + 1dx

*
.
Dùng phương pháp đổi biến.
2

t2 = x2 + 1, tdt = 2xdx
Đặt t = x + 1, t ≥ 1 ta được
.
Suy ra:

1
1
I 1 = ∫ 2x x2 + 1dx = ∫ t2dt = t3 + C1 =
3
3

(

)

3

x2 + 1 + C1

, trong đó C1 là 1 hằng số.

1 2
1
x ln x − x2 + C2
2
4
Học sinh tìm đúng
theo phân tích ở trên.
3
1

1 2
1 2
1
2
2
∫ 2x x + 1 + xln x dx = I 1 + I 2 = 3 x + 1 + C1 + 2 x ln x − 4 x + C2 = 3
I2 =

)

(

(

)

a
∫ ( 2x x + 1 + xln x) dx có dạng 3(

(

)

3

x2 + 1 +

)

1 2

1
x ln x − x2 + C
2
4
.

3
b
1
1
x2 + 1 + x2 ln x − x2 + C
a = 1∈ ¤ , b = ∉ ¤
6
4
3
Suy ra để
thì
.
b
Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của .
2

Câu 46.
Phân tích:
Cách 1:


∫  x

Theo đề, ta cần tìm 

Ta có:


∫  x


3

+ x + 1+

3

+ x+ 1+

1 1+ 3 
+
÷dx
2 ÷
x2
 . Sau đó, ta xác định giá trị của a .

 3 1 1+ 3 
1 1+ 3 
+
dx
=
x + 2+
÷

÷dx + ∫ x + 1dx

∫

2 ÷
2 ÷
x2
x



.


1 1+ 3 
I 1 = ∫  x3 + 2 +
÷dx
2x x + 1 + xln x dx

I =
x + 1dx
2 ÷
x
∫


Để tìm
ta đặt
và 2 ∫
và tìm I 1 , I 2 .

1 1+ 3 

I 1 = ∫  x3 + 2 +
÷dx

2 ÷
x

 .
*Tìm

(

2

)

Trang 24



1 1+ 3 
1 4 1 1+ 3
I 1 = ∫  x3 + 2 +
x + C1
÷dx = x − +

÷
2 
4
x
2

x

, trong đó C1 là 1 hằng số.
I 2 = ∫ x + 1dx

*Tìm
.
Dùng phương pháp đổi biến.

2
Đặt t = x + 1,t ≥ 0 ta được t = x + 1, 2tdt = dx .

(

)

3
2
2
I 2 = ∫ x + 1dx = ∫ 2t2dt = t3 + C2 =
x + 1 + C2
3
3
Suy ra
.
3
 3
1 1+ 3 
1 4 1 1+ 3
2

1
1 1+ 3
2
x
+
x
+
1
+
+
dx
=
I
+
I
=
x
−
+
x
+
C
+
x
+
1
+ C2 = x4 − +
x+
x+ 1


÷
1
2
1
∫
2
÷
2 
4
x
2
3
4
x
2
3
x

 3
1 1+ 3 
3
a 4 1 1+ 3
b
∫  x + x + 1 + x2 + 2 ÷÷dx
x − +
x+
x+ 1 + C


x

2
3
Suy ra để
có dạng 4
thì
a = 1∈ ¤ , b = 2∈ ¤ .

(

)

(

(

)

3

)

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ.

(

)

3
a 4 1 1+ 3

b
x − +
x+
x+ 1 + C
a, b
x
2
3
Ta thay giá trị của
ở các đáp án vào 4
. Sau đó, với mỗi
ở các
3
a
b
1
x2 + 1 + x2 ln x − x2 + C
2
4
đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của 3
.

a, b

)

(

Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai.

Một số học sinh không chú ý đến thứ tự
B. Đáp án B sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:

b, a

nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm.

*Tìm 2 ∫
.
Dùng phương pháp đổi biến.
I =

x + 1dx

2
Đặt t = x + 1,t ≥ 0 ta được t = x + 1, tdt = dx .

(

)

3
1
1
I 2 = ∫ x + 1dx = ∫ t2dt = t3 + C2 =
x + 1 + C2
3
3
Suy ra

.
3
 3
1 1+ 3 
1 4 1 1+ 3
1
1 4 1 1+ 3
1
∫  x + x + 1 + x2 + 2 ÷÷dx = I 1 + I 2 = 4 x − x + 2 x + C1 + 3 x + 1 + C2 = 4 x − x + 2 x + 3 x + 1


 3
1 1+ 3 
3
a 4 1 1+ 3
b
∫  x + x + 1 + x2 + 2 ÷÷dx
x − +
x+
x+ 1 + C


x
2
3
Suy ra để
có dạng 4
thì
a = 1∈ ¤ , b = 1∈ ¤ .

(

)

(

(

)

)

Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm.
C. Đáp án C sai.
Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:
*Tìm

I 2 = ∫ x + 1dx

I 2 = ∫ x + 1dx =


∫  x

Suy ra 

3

.

1
2 x+ 1

+ x+ 1+

a,b

+ C2

.

1 1+ 3 
a 4 1 1+ 3
b
+
÷dx
x − +
x+
2 ÷
x2

x
2
3
không thể có dạng 4

(

)

3

x+ 1 + C

, với

a, b∈¤

.

Nên không tồn tại
thỏa yêu cầu bài toán.
Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.
Câu 47.
Trang 25

3