Chủ đề TOAN 10: Phương trình đường tròn Phương trình đường elip

TOAN 10: Phương trình đường tròn & Phương trình đường elip
Chủ đề: Phương trình đường tròn
Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn
Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước
Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường
thẳng
Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng
Chủ đề: Phương trình đường elip
Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
Viết phương trình chính tắc của Elip
Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip
Các dạng bài tập khác về đường Elip
Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
A. Phương pháp giải


+ Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và
bán kính R =
+ Phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (1) . Điều kiện để (1) là
phương trình của đường tròn là
A. a2 + b2 - 4c > 0.

B. a2+ b2 - c > 0.

C. a2+ b2 - c2 > 0.

D. a2+ b2 - 2c > 0.

Lời giải
Ta có: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
Tương đương: (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: a2 + b2 - c > 0.
Chọn B.
Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax - by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và
đủ là
A. 2a2 + 2b2 - c > 0.

B. a2 + b2 - 2c > 0.

C. a2 + b2 - 4c > 0.

Lời giải
Ta có:
x2 + y2 - ax - by + c = 0 (1)

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:

D. a2 + b2 + c > 0.


- c > 0 hay a2 + b2 - 4c > 0
Chọn C.

Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I)
x2 +
y2 –
4x
+
15y
12
=
0.
2
2
(II)
x +
y –
3x
+
4y
+
20
=
0.
2
2
(III) 2x + 2y - 4x + 6y + 1 = 0 .
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (III).

D. Chỉ (I) và (III).

Lời giải
Ta xét các phương án:
(I) có: a2 + b2 - c = 4 +

(II) có: a2 + b2 - c =

+ 12 =

+

>0

- 20 = -

<0

(III) tương đương : x2+ y2 – 2x - 3y + 0,5 = 0.

phương trình này có: a2 + b2 - c = 1 +

-

=

>0

Vậy chỉ (I) và (III) là phương trình đường tròn.

Chọn D.
Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? (1) Đường tròn (C 1) : x2+ y2 – 2x + 4y - 4 = 0
có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3. (2) Đường tròn (C 2) x2+ y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có
tâm
I(

;-

) bán kính R = 3.

A. Chỉ (1).
Lời giải

B. Chỉ (2).

C. cả hai D. Không có.


Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =

=3

Vậy (1) đúng

Đường tròn ( C2): a =

,b=-

⇒ I(

;-

); R =

=3

Vậy (2) đúng.
Chọn C.
Ví dụ 5. Đường tròn 3x2 + 3y2 - 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 2,5

B. 3

C. 2

D. 4

Lời giải
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 2x + 3y - 3 = 0
Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 4x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. tâm I( 2; 0)

B. bán kính R = 1

C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm.

D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.

Lời giải
Cho x= 0 ta được : y2 + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy (C) không có điểm chung nào với trục tung.
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x2+ y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. (C) không đi qua điểm O.

B. tâm I( -4 ; -3).


C. bán kính R = 4.

D. (C) đi qua điểm M(-1 ; 0) .

Lời giải
+Ta có a = -4; b = -3 ; c = 9 và a2 + b2 - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0
Suy ra (C) là đường tròn tâm I( -4; -3) và R = 4
Vậy B; C đúng.
+ Thay O vào (C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí . Vậy A đúng.
+ Thay M( -1; 0) vào (C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ( vô lý). Vậy D sai.
Chọn D.
Ví dụ 8. Đường tròn x2 + y2 - 10x - 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
A. 6

B. 2

C. 4

D. √6

Lời giải
Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R =

=6

Chọn A.
Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để
phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1

B. m > 0

C. m ≠ 0

D. m > -1 hoặc m < 2

Lời giải
Phương trình x2+ y2 - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0 hay m2 + (-2)2 - 4 > 0
⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Chọn C.


Ví dụ 10: Cho phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương
trình trên là phương trình đường tròn tâm I(2; 4)?
A. m = 1; n = -2

B. m = 2; n = -2

C. m = 4; n = -4

D. m = -2; n = 2

Lời giải
Phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0 có:
a = m; b = -2n và c = -4
Ta có: a2+ b2 - c = m2 + 4n2 + 4 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(m; -2n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:

Chọn B.
Ví dụ 11. Cho phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã
cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?
A. m = ± 8

B. m = 6

C. m = 10

D. m = ± 4

Lời giải
Phương trình x2 + y2 + 2x - my + 1 = 0 có:
a = -1; b =

và c = 1

Để phương trình trên là phương trình đường tròn nếu: a2+ b2- c > 0
⇔1+

-1>0⇔

> 0 ⇔ m ≠ 0.

Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính
là:


R=
Theo đề bài ta có: R = 2 nên
⇔

=2

( thỏa mãn điều kiện )

Chọn A.
Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một
đường tròn?
A. 4x2 + y2 – 10x - 6y - 22 = 0
C. x2 + 2y2 - 4y - 8y + 1 = 0

B. x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0
D. x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0

Lời giải
Xét phương trình dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a ; b ; c.
Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 - c > 0 .
+ Xét phương án D : có a = 2 ;b = 3 và c = -12

⇒ a2 + b2 - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0
⇒ Phương trình x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn.
+ Các phương trình 4x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0 và x 2 + 2y2- 4x - 8y + 1 = 0 không
có dạng đã nêu loại các đáp án A và C.
+ Phương án x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 - c > 0.
Chọn D.
Ví dụ 13. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 (1) . Tìm điều
kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. m <

B. m ≤

C. m > 1

D. m = 1


Lời giải
Ta có: trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0
⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m2
Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ m2 + ( 1 - m)2 - 2m2 > 0
⇔ m2 + 1 - 2m + m2 - 2m2 > 0
⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m <
Chọn A.
Ví dụ 14. Cho phương trình x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 (1). Tìm điều
kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. đúng mọi m

B. m ∈( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)

C. m ∈ ( -∞; 1] ∪ [2; +∞)

D. Đáp án khác

Lời giải
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 có:
a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m
Để phương trình trên là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 - c > 0.
⇔ m2 + ( 2m - 4)2 - (6 - m) > 0
⇔ m2 + 4m2 – 16m + 16 – 6 + m > 0
⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ ( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng


Câu 1: Đường tròn 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm
sau đây ?
A. (8; -4)

B. ( 4; -2)

C. ( -4; 2)

D. (2; -1 )

Hiển thị lời giải
Đáp án: D
Trả lời:
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0

Ta có:

nên tâm I( 2; -1) .

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một
đường tròn?
A. x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0
C. 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

B. x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0
D. 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Ta xét các phương án:
+Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
+Phương án A : có a = -1 ; b = 2 và c = 9
⇒ a2 + b2 - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0
⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn.
+ Phương án B : có a = 3; b = -2 ; c = 13
⇒ a2 + b2 - c = 9 + 4 - 13 = 0


⇒ loại B.
+ Phương án C:
2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0
Có a = 2; b = 1; c = -3
⇒a2 + b2 - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0
⇒ Đây là phương trình đường tròn

Câu 3: Cho đường cong (C) : x2 + y2 - 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào của m thì
(C) là đường tròn có bán kính bằng 7 ?
A. m = 4

B. m = 8

C. m = -8

D. m = -2

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có a = 4; b = - 5 và c = m.
Bán kính đường tròn là: R =
Để bán kính đường tròn là 7 thì:

=7⇔

= 7.

⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8
Câu 4: Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương trình
đường tròn khi và chỉ khi
A. m < 0

B. m < 1

Hiển thị lời giải
Đáp án: D

Trả lời:

C. m > 1

D. m < - 1 hoặc m > 1.


Ta có:
x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0(1)
⇔ x2 - 2(m + 1)x + (m + 1)2 + y2 - 2(m + 2)y + (m + 2)2 - (m + 1)2 - (m + 2)2 + 6m
+7=0
⇔ [x - (m + 1)]2 + [y - (m + 2)]2 = 2m2 - 2)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m2 - 2 > 0 ⇔
Câu 5: Tìm m để phương trình x2 + y2 - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương
trình đường tròn.
A. m < - 2 hoặc m > 2.

B. m > 2

C. -2 ≤ m ≤ 2

D. m < - 2

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4y + 8 = 0(1)
⇔ x2 - 2mx + m2 + y2 - 2.2.y + 22 - m2 - 22 + 8 = 0 ⇔ (x - m)2 + (y - 2)2 = m2 - 4
Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn:
m2 - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2

Câu
6: Cho
hai
mệnh
đề
2
2
2
(I) (x - a) + (y - b) = R là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.
(II) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b).
Hỏi mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II) đều sai.
Hiển thị lời giải

D. Cả (I) và (II).


Đáp án: A
Trả lời:
(I) đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a2 + b2 - c > 0.
Câu
7: Mệnh
đề
nào
(I) Đường tròn (C1) có tâm I(
(II) Đường tròn (C2) có tâm bán kính R = 3.

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. (I) và (II).

1;

sau
-2) bán

đây
kính

R

đúng?
= 3.

D. Không có.

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =

=3

Vậy (1) đúng

Đường tròn ( C2): a =

,b=-

⇒ I(

;-

); R =

=3

Vậy (2) đúng.
Câu 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ( C) không đi qua điểm O(0 ; 0) .
C. ( C) có bán kính R = 4.
Hiển thị lời giải
Đáp án: D
Trả lời:
Đường tròn ( C)có:

B. ( C) có tâm I( -4 ; -3) .

D. ( C ) đi qua điểm M( -1 ; 0) .


a = -4, b = -3 ⇒ I(-4; -3); R =

= 4. Vậy B; C đúng.

Thay O(0; 0) vào ( C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý).
⇒ đường tròn ( C) không đi qua điểm O . Vậy A đúng.
Thay M( -1; 0) vào ( C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý).
⇒ Đường tròn ( C) không đi qua điểm M( -1; 0) . Vậy D sai.
Câu 9: Cho đường tròn (C)2x2 + 2y2 - 4x + 8y + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. ( C) không cắt trục Oy.
C. ( C) có tâm I (2 ; -4) .

B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.
D. ( C) có bán kính R = √19 .

Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
+ Ta viết lại phương trình đường tròn(C) ⇔ x2 + y2 - 2x + 4y +

⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =
Vậy C; D sai.
+ Cho x = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =

hoặc y =

Do đó ( C) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai
+ Cho y = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =

hoặc y =

Do đó ( C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng

=0


Câu 10: Đường tròn x2 + y2 – 6x - 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 10

B. 25

C. 5

D. √10.

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Đường tròn x2 + y2 - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0
⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0
⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là:
R=

=5.

Câu 11: Đường tròn x2 + y2 – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. √5

B. 25

C.

D.

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Đường tròn có a = 0; b =

và c = 0.

⇒ Bán kính đường tròn là : R =
Câu 12: Đường tròn x2 + y2 +
A. (0;

) B. (-

Hiển thị lời giải

; 0)

=
- √3 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?

C. (√2; √3)

D. (

; 0)


Đáp án: B
Trả lời:

Ta có:

nên tâm I(-

; 0) .

Câu 13: Đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x + 4y - 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm
sau đây?
A. (-2; 1)

B. (8; -4)

C. (-8; 4)

D. (2; -1)

Hiển thị lời giải
Đáp án: D
Trả lời:
Ta có ( C) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x + 2y -

=0

⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I ( 2; -1) .
Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện của m để
phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1

B. m > 0

C. m ≠ 0

D. m > -1 hoặc m < 2

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Phương trình x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0 hay (4m)2 + (-3)2 - 9 > 0
⇔ 16m2 > 0 ⇔ m ≠ 0


Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương
trình trên là phương trình đường tròn tâm I(-6; 8)?
A. m = 1; n = -2

B. m = -2; n = -2

C. m = 4; n = -4

D. m = -2; n = 2

Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
Phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0 có:
a = 3m; b = -4n và c = -1
Ta có: a2 + b2 - c = 9m2 + 16n2 + 1 > 0 với mọi m và n.

⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(3m; -4n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
A. x2 + y2 - x - y + 9 = 0.
C. x2 + y2 - 2xy – 1 = 0

B. x2 + y2 - x = 0
D. x2 - y2 - 2x + 3y - 1 = 0

Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
Loại C vì có số hạng -2xy.
Phương án A: a = b =
đường tròn.

, c = 9 ⇒ a2 + b2 - c < 0 nên không phải phương trình

Phương án D: loại vì có – y2 .


Phương án B: a =

,b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 - c > 0 nên là phương trình đường tròn.

Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m
nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?
A. Không có.

B. 6

C. 7

D. Vô số

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Phương trình : x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 có : a = 1;b = -m và c = 10
Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:
a2 + b2 - c > 0 ⇔ 1 + m2 - 10 > 0
⇔ m2 - 9 > 0 ⇔
⇒Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của
đường tròn là : m ∈ { 4; 5; 6; 7; … ; 10}
Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 (1). Với giá trị nào của
m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
A. m = 2

B. m = -1

C. m = 1

D. m = -2

Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 có hệ số:
a = m + 1; b = - 2 và c = -1

Để (1) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 - c > 0


⇔ (m + 1)2 + 4 + 1 > 0 ⇔(m + 1)2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)3 ≥0
Vậy với mọi m ( 1) luôn là phương trình đường tròn có bán kính :
R=
⇒ Rmin khi và chỉ khi (m + 1)2 + 5 min
⇔ m + 1 = 0 hay m = -1
Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
A. Phương pháp giải
+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
+ Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường
kính AB ta làm như sau:
- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.
- Bước 2: Tính IA.
- Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.
+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A
⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có
phương trình là
A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0.
C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0.
Lời giải

B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0.

D. Tất cả sai

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) .
Bán kính R =

AB =

= 4√2

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32
Hay x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương
trình là
A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0.

B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0.

D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0.

Lời giải
Ta có: MA→(x + 4;y - 2); MB→(x - 2; y + 3)
Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31
Tương đương : ( x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31
Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là
A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2

B. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4

C. ( x + 3)2 + (y - 2)2 = 4

D. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4

Lời giải
Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là:
(x - 3)2 + (y + 2)2 = 4
Chọn B.


Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0.

B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0.

D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0.

Hướng dẫn giải
Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là:
R = IM =

= √10

Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 10
Hay x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.
Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có
phương trình là
A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0.

B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0

C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0

D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0

Hướng dẫn giải
Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) .
Bán kính

AB =

= 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:
(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0
Chọn B.
Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm
trên trục hoành?
A.(x - 1)2 + y2 = 16

B. (x - 10)2 + y2 = 50


C. (x + 1)2 + y2 = 17

D. (x - 10)2 + y2 = 50

Lời giải
+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0).
⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x - a)2 + y2 = R2.
+ Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)2 + 12 = R2 (1).
+ Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 - a)2 + 52 = R2 ( 2).
Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0
⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10
Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50.
Vậy phương trình đường tròn ( C): (x - 10)2 + y2 = 50
Chọn D.
Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm
trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?
A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0
C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0

B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0

D. Tất cả sai

Lời giải
Giả sử phương trình đường tròn ( C): x 2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a 2 + b2 - c >
0)
Là đường tròn có tâm I(a; b).
+ Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1)
+ Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2)
+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).

Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình :

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:
x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là
A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4.

B. (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4.

C. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4.

D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.

Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là:
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 4
Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0

B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0

D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A
Trả lời:
+ Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là:


R = IM =

= √10

+ Khi đó đường tròn có phương trình là:
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0
Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là
A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5

B. (x - 1)2 + (y - 4)2 = √5

C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5

D. (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5

Hiển thị lời giải
Đáp án: D
Trả lời:
Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là:
R = IB =

= √5

Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5
Câu 4: Cho điểm M( x ; y) có

. Tập hợp điểm M là

A. Đường tròn tâm I (-1 ;2) và R = 3.

B. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 2.

C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 4.

D. Đường tròn tâm I(1; -2) và R = 4.

Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:

Ta có: M
⇒ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4(sin2t + cos2t)


⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4
Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I ( -1; 2) , bán kính R = 2.
Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có
phương trình là
A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0
C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0

B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0

D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0

Hiển thị lời giải
Đáp án: A
Trả lời:
Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB

⇒ Tọa độ điểm I :
Bán kính R =

⇒ I( 1; 3)

AB =

= 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:
(x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0
Câu 6: Cho hai điểm A( - 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
MA2 + MB2 = 31 có phương trình là
A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0

B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0

D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

Hiển thị lời giải
Đáp án: D
Trả lời:

Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y - 2)2 và MB2 = ( x - 2)2 + (y + 3)2
Để MA2 + MB2 = 31
⇔ (x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm
trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0?
A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0
C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0

B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0
D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0

Hiển thị lời giải
Đáp án: A
Trả lời:
+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x 2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a 2 + b2 - c
> 0).
Đường tròn này có tâm I(a;b).
+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1).
+ Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên:
1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2)
+ Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên :
4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3)
Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:
x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0