Sử dụng phần mềm toán học giải và tạo câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao trong các đề minh họa môn toán

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE

----------

BẢN MÔ TẢ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC
GIẢI VÀ TẠO CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO
TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MÔN TOÁN

Năm học : 2017 - 2018

1


1.Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC GIẢI VÀ TẠO CÁC CÂU TRẮC
NGHIỆM VẬN DỤNG CAO TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MÔN TOÁN
Trần Thanh Liêm – Trường THPT Chuyên Bến Tre
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán.

3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Đề tài này xin đóng góp một số ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán,
tạo câu hỏi trắc nghiệm tạo các câu hỏi tương tự một cách chính xác, nhanh chóng; với
lời giải rõ ràng và hình vẽ minh họa trực quan.
Trong đề minh họa môn toán của Bộ Giáo Dục và các đề thi thử của các tỉnh trong
năm học 2017-2018 có một số thay đổi cơ bản là có khoảng 15 câu hỏi khó, vận dụng
cao mà thí sinh phải giải bằng tự luận một cách nhanh chóng chính xác; học sinh không

thể chỉ dựa vào bấm máy tính để suy luận, dự đoán ra kết quả được. Một số giải pháp đưa
ra trong những năm trước là khai thác các tính năng của máy tính cầm tay để dự đoán kết
quả hoặc tìm ra chính xác kết quả một cách nhanh chóng, nhưng với đề minh họa năm
nay thì ưu thế của máy tính chỉ giải được một số câu nhất định.
Do vậy , để đạt kết quả bài thi với điểm số 8, 9, 10 thì học sinh phải có một nền
tảng kiến thức vững chắc, có sự thông minh, nhạy bén và phải có kỹ năng giải bài toán
nhanh chóng chính xác chứ không phải chỉ dựa vào trí nhớ và sự phỏng đoán hoặc nhờ
sự trợ giúp của máy tính cầm tay.
Đề tài này nhằm giúp giáo viên hiểu rõ vấn đề hơn khi phải giải thích những bài
toán khó, những bài toán vận dụng cao. Nhờ các phần mềm toán học giáo viên có thể tính
toán nhanh chóng, chính xác vẽ được các hình ảnh minh họa trực quan, có những ví dụ và
chứng minh trực quan, thuyết phục.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
Trong SKKN nầy chúng tôi sẽ đề cập đến các vấn đề mà chúng tôi đã thực hiện
thành công và có hiệu quả trong thời gian qua.
Sau đây tôi xin đóng góp một cách xây dựng các câu hỏi khó bằng cách sử dụng
phối hợp các phần mềm như Mathcad, Mathematica, Cabri 3D …để lập một chương trình
cho kết quả tự động một cách chính xác, có lời giải rõ ràng càng tốt; khi đó chỉ cần thay
đổi số liệu ta có ngay kết quả khác từ đó xây dựng phương án nhiễu hoặc tạo bài toán
mới nhanh chóng, chính xác.

2


Cách sử dụng các phần mềm trên đã có nhiều sách hướng dẫn trên thị trường hoặc
trên Internet hoặc đã được Sở Giáo Dục tập huấn trong thời gian trước.

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1) Sử dụng phần mềm Mathcad, Mahematica, Cabri 3D giải một số câu vận dụng
cao :

Trong đề tài này chúng tôi giới thiệu một phương pháp để giải một số câu vận dụng cao
và sử dụng các phần mềm toán học Mathcad, Cabri 3D, Mathematica để tạo các bài toán
tương tự hoặc bài toán mới.
Bài toán 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất
3
của hàm số y = x − 3x + m trên đoạn [ 0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là:

A. 1

B. 2

C. 0

D. 6

(Trích câu 36 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)

Cách giải 1 :
3
Xét hàm số f ( x ) = x − 3x + m trên đoạn [ 0; 2]
2
Ta có: f ' ( x ) = 3x − 3 = 0 ⇒ x = 1

có: f ( 0 ) = m;f ( 1) = m − 2;f ( 2 ) = m + 2
Do đó f ( x ) ∈ [ m − 2; m + 2]
f ( x ) = m + 2 = 3 ⇔ m = 1( loai ) .
Nếu m − 2 ≥ 0 ⇒ Max
[ 0;2]
f ( x ) =m+ 2
 Max

[ 0;2]
Nếu m − 2 < 0 suy ra  Max f ( x ) = 2− m
 [ 0;2]

f ( x ) = m + 2 = 3 ⇔ m = 1 ⇒ 2 − m = 1 < 3 (thỏa)
TH1: Max
[ 0;2]
f ( x ) = 2 − m = 3 ⇔ m = −1 ⇒ m + 2 = 1 < 3 (thỏa)
TH2: Max
[ 0;2]

Vậy m = 1; m = −1 là giá trị cần tìm.
Cách giải 2 :
3
3
Từ đề bài ta suy ra : x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ −3 ≤ x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2]

⇔ − x3 + 3x − 3 ≤ m ≤ − x3 + 3x + 3, ∀x ∈ [ 0; 2 ]
3


⇔ max ( − x 3 + 3x − 3) ≤ m ≤ min (− x 3 + 3x+3) ⇔ −1 ≤ m ≤ 1
x∈[ 0;2]

x∈[ 0;2]

Vì ứng với giá trị lớn nhất nguyên nên m phải là số nguyên , do đó m = −1;0;1
Ở trên chỉ là điều kiện cần, ta phải thử lại chỉ có m =-1 , m =1 là thỏa mãn đề bài.
Nhận xét : Mỗi cách giải đều có ưu điểm riêng, cách giải 1 sẽ phức tạp hơn nhiều nếu
đạo hàm có nhiều nghiệm hơn ; cách giải 2 quen thuộc , dễ hiểu hơn đối với học sinh vì ít

phải biện luận các trường hợp hơn. Dựa vào cách giải 2, ta phân tích giải bài toán bằng
Mathematica và tạo bài toán mới.
Giải bằng Mathematica :
3
3
Từ đề bài ta suy ra : x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ −3 ≤ x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2]

⇔ max(− x 3 + 3x − 3) ≤ m ≤ min (− x3 + 3x+3) ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 ⇒ m = −1; 0;1
x∈[ 0;2]

x∈[ 0;2]

− x 3 + 3x − 3) và min (− x 3 + 3x+3) bằng các lệnh như sau :
Ta tìm xm∈[ ax(
x∈[ 0;2]
0;2]

Vậy −1 ≤ m ≤ 1 suy ra có 3 giá trị nguyên của m là m= -1;0;1
Học sinh có thể thử lại bằng chức năng Table của máy tính cầm tay khi thay lần lượt
m = -1; m = 0 ; m =1. (Thực ra muốn chính xác hơn học sinh phải thế m vào hàm số khảo
sát nhanh ).
Trong Mathematica ta cũng có lệnh Table tương tự trong máy tính cầm tay :

Lệnh này cho giá trị của hàm số trên đoạn 0; 2 với bước nhảy là ¼ , theo kết quả hiện
ra thì giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3. Tương tự :

4


Trong giảng dạy, giáo viên muốn minh họa trực quan hơn để học sinh thấy thuyết phục

hơn, có thể vẽ đồ thị hàm số bằng Mathematica như sau :

Theo đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] bằng 2 nên loại.
Vậy đáp số m = -1; m = 1.
Trên đây là cách giải cụ thể bằng lệnh của Mathematica. Tuy nhiên để sáng tạo bài toán
mới với kết quả nhanh chóng ta có thể lập một lệnh đặc biệt như sau :

Kết quả hiển thị nhanh chóng chính xác, lệnh này giúp giáo viên tạo bài toán mới :

5


Vậy ta có bài toán mới :
Bài toán 1.1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
3
nhất của hàm số y = 2x − 6x + m − 1 trên đoạn [ −2;1] bằng 5. Số phần tử của S là:

A. 1

B. 2

C. 0

Ta chỉ cần thử lại với m =0 , m=1, m=2.

Vậy m =0 nhận vì giá trị lớn nhất bằng 5.

Vậy m = 1 loại vì giá trị lớn nhất bằng 4.Có thể kiểm bằng đồ thị :

6

D. 3


Vậy m =2 nhận vì giá trị lớn nhất bằng 5.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán.
Không phải lúc nào bài toán dạng trên cũng có nghiệm, Mathematica sẽ cho ta kết quả
tức thì, giáo viên không phải mất công sức để giải bài toán :
Bài toán 1.2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
3
nhất của hàm số y = x − 3x + m trên đoạn [ −1;3] bằng 4. Số phần tử của S là:

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Vậy bài toán trên vô nghiệm. Chọn C.
Ta có thể điều chỉnh đoạn cần xét, giá trị lớn nhất để có số giá trị m như ý muốn.

7


Bài toán 1.2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
3
nhất của hàm số y = x − 3x + m trên đoạn [ 0; 2] bằng 2. Số phần tử của S là:

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Thử lại :

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 nên nhận m =0. Chọn A.
Tương tự cách làm trên ta tạo được một số bài toán tương tự như sau :
Bài toán 1.3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
4
2
nhất của hàm số y = x − 3x + m trên đoạn [ −1; 2] bằng 4. Tổng các phần tử của S là:

A. -2

B. 2

C. 0

D. 3

Thử lại chỉ nhận 2 giá trị m= -2; m =0.
Bài toán 1.4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn
4
2
nhất của hàm số y = x − 3x + m trên đoạn [ −1; 2] bằng 4. Số phần tử của S là:

A. 1

B. 2

C. 0

Chọn m = -1

8

D. 3


Nếu chỉnh lại giá trị lớn nhất là 4, ta có ngay kết quả

Không có m thỏa đề.
Bài toán 2 : Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm
số y = f ( 2 − x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( 1;3)

B. ( 2; +∞ )

C. ( −2;1)

D. ( −∞; −2 )

(Trích câu 39 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)
Cách giải 1 :
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như

sau :

9


Ta có nhận xét đồ thị hàm số y = f ( x ) và đồ thị hàm số y = f ( − x ) đối xứng nhau qua
trục tung nên ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số y = f ( − x ) như sau :

Từ đó suy ra bảng biến thiên của y = f ( 2 − x ) và chọn kết quả.
Cách giải trên khá phức tạp đòi hỏi học sinh phải nắm vững các phép biến đổi đồ thị, dễ
nhầm lẫn, thao tác chậm.
Cách giải 2 :
Ta có f ( 2 − x )  ' = f ' ( 2 − x ) . ( 2 − x ) ' = − f ' ( 2 − x ) > 0 ⇔ f ' ( 2 − x ) < 0
 2 − x < −1
x > 3
⇔
Dựa vào đồ thị của f’ ta có: f ' ( 2 − x ) < 0 ⇔ 
1 < 2 − x < 4
 −2 < x < 1
Vậy hàm số đồng biến trên ( −2;1) . Chọn C
Nhận xét : Cách giải 2 so với cách 1 có nhiều ưu điểm, cách giải đơn giản dễ hiểu. Tuy
nhiên có nhiều học sinh sẽ thắc mắc tại sao dựa vào đồ thị của f’(x) lại suy ra kết quả
cho f’(x-2) ; điều này đối với học sinh giỏi các em có thể hiểu được, đối với học sinh khá
có thể dùng phần mềm Mathematica minh họa bằng đồ thị cho học sinh như sau :
* Ta chọn 1 hàm số thỏa mãn đồ thị y =f ’(x) bằng lệnh :

10


Đây là hàm số bậc 3, ta vẽ đồ thị bằng lệnh :

Đồ thị này thỏa hình vẽ đề bài.
Ta lấy nguyên hàm của hàm số trên để tìm
f(x)

Bây giờ thay biến x bởi 2 – x ta có :

Ta vẽ đồ thị hàm số f(2-x) để suy ra các khoảng đồng biến của nó :

Theo đồ thị, rõ ràng hàm số đồng biến trên 2 khoảng (-2 ;1) và (3; +∞) .
Như vậy cách giải 2 là hoàn toàn chính xác, ngắn gọn được thể hiện qua đồ thị, điều này
giải tỏa được thắc mắc của nhiều học sinh cho ràng kết quả phải khác.
Dựa trên ý tưởng này, ta có thể ra nhiều bài toán cho học sinh rèn luyện.
11


Bài toán 2.1 : Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm
số y = f ( 3 − x ) đồng biến, nghịch biến trên những khoảng nào?
Cách giải :
Hàm số đồng biến :
f ( 1 − 2x )  ' = f ' ( 1 − 2x ) . ( 1 − 2x ) ' = − 2f ' ( 1 − 2x ) > 0 ⇒ f ' ( 1 − 2x ) < 0

Dựa vào đồ thị của f’ ta có:

f ' ( 1 − 2x ) < 0 ⇔ 1 − 2x < −1 ⇔ x > 1
Khoảng đồng biến : ( 1; +∞ )
Hàm số nghịch biến :
f ( 1 − 2x )  ' = f ' ( 1 − 2x ) . ( 1 − 2x ) ' = − 2f ' ( 1 − 2x ) < 0 ⇒ f ' ( 1 − 2x ) > 0

Dựa vào đồ thị của f’ ta có:

f ' ( 1 − 2x ) > 0 ⇔ 1 − 2x > −1 ⇔ x < 1
Khoảng nghịch biến : ( 1; +∞ )
Thử lại :

Tìm hàm f(1-2x) : thay x bởi 1- 2x vào biểu thức f(x) :
12


Vậy kết quả trên chính xác.
Ta có thể tạo bài toán phức tạp hơn như sau :

Bài toán 2.2 : Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm
2
số y = f ( x − 2 ) đồng biến, những khoảng nào?

Cách giải :
Hàm số đồng biến :
f ( x 2 − 2 )  ' = f ' ( x 2 − 2 ) . ( x 2 − 2 ) ' = 2x f ' ( x 2 − 2 ) > 0


Trường hợp 1 : Nếu x > 0
2
Ta phải có f ' ( x − 2 ) > 0

Dựa vào đồ thị của f ’ ta có:

 x 2 − 2 > −1  x 2 > 1
f '( x − 2) > 0 ⇔ 
⇔
⇒ x >1

x > 0
x > 0
2

Trường hợp 2 : Nếu x < 0
13


2
Ta phải có f ' ( x − 2 ) < 0

Dựa vào đồ thị của f ’ ta có:

 x 2 − 2 < −1  x 2 < 1
f ' ( x 2 − 2) < 0 ⇔ 
⇔
⇒ −1 < x < 0
x
<
0
x
<
0


Vậy hàm số đồng biến trên 2 khoảng : ( −1; 0 ) , ( 1; +∞ )
Kiểm tra bằng đồ thị :

Kết quả tìm được là chính xác.
Tương tự, ta tạo các bài toán mới :

Bài toán 2.2 : Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị
 1 
như hình bên. Hỏi hàm số y = f 
÷ đồng biến, những
 x +1

khoảng nào?
Cách giải :
14


Hàm số đồng biến :
  1 
1
 1  1 
 1 
f '
÷> 0
2
f  x + 1 ÷ ' = f '  x + 1 ÷.  x + 1 ÷' = −




 
( x + 1)  x + 1 
 1 
Ta phải có f ' 
÷< 0
 x +1 

Dựa vào đồ thị của f ’ ta có:
 1
 x + 1 < −2
 1 
f '
⇔
÷< 0 ⇔ 
 x +1 
1 < 1 < 2
 x + 1
 3
  1

Vậy hàm số đồng biến trên 2 khoảng : ( −∞; −2) ,  − ; −1÷,  − ; +∞ ÷
 2
  2


Có thể kiểm tra bằng đồ thị.

Bài toán 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = 3x − 4x − 12x 2 + m có 7 điểm cực trị?
4

3

A. 3

B. 5

C. 6

(Trích câu 43 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)
Cách giải 1 :
15

D. 4


Xét

hàm

y = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + m

số

có

x = 0
y ' = 12x − 12x − 24x = 0 ⇔ 12x x − x − 2 = 0 ⇔  x = −1
 x = 2
3

2

(

2

)

Lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số f ( x ) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + m ta có :
f ' ( x ) = 12x 3 − 12x 2 − 24x = 12x(x 2 − x − 2)

4
3
2
Đồ thị hàm số y = 3x − 4x − 12x + m được vẽ bằng cách :

+) Lấy đối xúng phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox.
4
3
2
+) Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox.Do đó để đồ thị hàm số y = 3x − 4x − 12x + m

f ( 0 ) > 0
m > 0


f ( −1) < 0 ⇔ −5 + m < 0 ⇔ 0 < m < 5
có 7 điểm cực trị thì : 

 −32 + m < 0
f ( 2 ) < 0
m ∈ Z ⇒ m ∈ { 1; 2;3; 4}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Cách giải 2 :
4
3
2
3
2
Đặt f ( x ) = 3x − 4x − 12x → f ' ( x ) = 12x − 12x − 24x; ∀x ∈ ¡ .

y = f (x ) =

f 2 (x ) ⇒ y ' =

f '(x ). f (x )
f 2 (x )

16


f ' ( x ) = 0
Phương trình y ' = 0 ⇔ 
f ( x ) = − m

12x 3 − 12x 2 − 24x = 0
⇔
( *) f ( x ) = − m ( *)

y = f (x ) có 7 điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có 7 nghiệm phân biệt

Mà f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x = -1, x = 0, x=2

Nên f ( x ) = − m phải có 4 nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 0, x=2
Lập bảng biến thiên của hàm số f ( x ) .

Theo bảng biên thiên (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ −5 < − m < 0 ⇔ m ∈ ( 0;5 ) .
Kết hợp với m ∈ ¢ suy ra có tất cả 4 nghiệm nguyên m ∈ { 1; 2; 3; 4}
Có thể kiểm tra kết quả trên bằng cách cho Mathematica vẽ đồ thị :

17


Với m =1 : đồ thị hàm số như sau

Với m =2 : đồ thị hàm số như sau

Với m =3 : đồ thị hàm số như sau

Với m =4 : đồ thị hàm số như sau

Với 4 trường hợp trên ta thấy hàm số có 7 điểm cực trị. Thử vẽ đồ thị với m = 0, m =5
ta thấy chỉ có 5 điểm cực trị .
18


Với m =0 : đồ thị hàm số như sau

Với m =5 : đồ thị hàm số như sau

Nhận xét : hai cách giải trên đều có những lợi thế riêng, ở đây ta chọn cách 2 để sáng
tạo bài toán mới như sau :
Bước 1 : Tạo 1 hàm số fp(x) có 3 điểm cực trị, chẳng hạn

Bước 2 : Tìm 1 nguyên hàm của hàm số fp(x) đặt là hàm f

Ta đặt bài toán :

Bài toán 3.1:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = 3x − 8x − 6x + 24x + m có 7 điểm cực trị?
4

3

A. 3

2

B. 5

C. 6

Ta có lời giải như sau :
4
3
2
3
2
Đặt f ( x ) = 3x − 8x − 6x + 24x → f ' ( x ) = 12x − 24x − 12x + 24

y = f (x ) =

f 2 (x ) ⇒ y ' =

f '(x ). f (x )
f 2 (x )

19

D. 4


f ' ( x ) = 0
Phương trình y ' = 0 ⇔ 
 f ( x ) = − m

12x 3 − 24x 2 − 12x + 24 = 0
⇔
( *) f ( x ) = − m ( *)

y = f (x ) có 7 điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có 7 nghiệm phân biệt

Mà f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x = -1, x = 1, x=2
Nên f ( x ) = − m phải có 4 nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 1, x=2
Thay vì lập bảng biến thiên của hàm số f ( x ) , giáo viên có thể dùng Mathematica vẽ
nhanh đồ thị của f(x)

Theo bảng biên thiên (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 8 < − m < 13 ⇔ m ∈ ( −13; −8 ) .
Kết hợp với m ∈ ¢ suy ra có tất cả 4 nghiệm nguyên m ∈ { −12; −11; −10; −9}
Có thể kiểm tra kết quả trên bằng cách cho Mathematica vẽ đồ thị để xác nhận kết quả

đúng, chẳng hạn :

20


Có 7 điểm cực trị. Trong khi với m =-13 chỉ có 5 điểm cực trị

Tương tự cách làm trên, ta có thể tạo ra bài toán khó hơn :

Bài toán 3.2:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = 12x 5 − 30x 4 − 20x 3 + 60x 2 + m có 9 điểm cực trị?

A. 10

B. 1 5

C. 19

D. 22

Bài toán này sẽ gây nhiều khó khăn cho học sinh chọn các giải bằng phép lấy đối xứng,
tịnh tiến đồ thị y = 12x 5 − 30x 4 − 20x 3 + 60x 2 , nếu giải bằng cách 2 thì học sinh sẽ tiết kiệm
thời gian hơn rất nhiều.
21


Với cách giải 2 ta có kết quả : phương trình f’(x) =0 có 4 nghiệm nên phương trình

f(x) = - m phải có 5 nghiệm, lập bảng biến thiên ( trong bài này sẽ dễ hơn ), ở đây vẽ
nhanh đồ thị bằng Mathematica để dễ thấy ảnh, minh họa trực quan hơn.

−m ∈ { 1, 2, ...,19} ⇒ m ∈ { −1, −2, ..., −19}

Chẳng hạn :

22


Tương tự ta sẽ tạo được vô số bài toán mới.

Bài toán 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;1; 2 ) . Hỏi có bao nhiêu
mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A, B, C
sao cho OA = OB = OC ≠ 0 ?
A. 3

B. 1

C. 4

D. 8

(Trích câu 41 đề minh họa của Bộ Giáo Dục 2017-2018)
Giải : Đáp án A
Phương trình mặt phẳng ( P ) với

x y z
+ + = 1, với A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c ) .
a b c

1
a

1
b

2
c

Ta có OA = OB = OC ⇔ a = b = c và M ∈ ( P ) ⇒ + + = 1 ( *) .
Ta có 8 trường hợp :

Nhưng 4 trường hợp dưới trùng với 4 trường hợp trên. Ta xét 4 trường hợp :
a = b = c

 a = b = −c

, mà a = b = −c không thỏa mãn điều kiện (*).
Suy ra 
và 
a = − b = c
 a = − b = −c

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bằng Mathcad ta có thể lập một chương trình giải tự động như sau :

23


Vô nghiệm

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa đề như trên.
Tương tự ta tạo được các bài toán :
24


Bài toán 4.1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1; −1; −2 ) . Hỏi có bao
nhiêu mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
B, C sao cho OA = OB = OC ≠ 0 ?
A. 3

B. 1

C. 4

D. 8

Bài toán 4.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1; 2; 2 ) . Hỏi có bao
nhiêu mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
B, C sao cho OA = OB = OC ≠ 0 ?
A. 3

B. 1

C. 4

D. 8

Mở rộng hơn, phương pháp giải tương tự :
Bài toán 4.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;1; 2 ) . Hỏi có bao

nhiêu mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
B, C sao cho OA = 2OB = 3OC ≠ 0 ?
A. 3

B. 1

C. 4

D. 8

Bài toán 4.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;9; 4 ) . Hỏi có bao
nhiêu mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,
B, C sao cho 8OA = 12OB + 16 = 37OC , xA > 0, zC < 0. ?
A. 3

B. 1

C. 4

D. 8

3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
- Giáo viên có thể áp dụng phương pháp nầy để giải và sáng tạo các bài toán mới cho
học sinh rèn luyện trước các kì thi.
- Điểm sáng tạo của giải pháp này là kết hợp được một số lệnh trong Mathmatica,
Mathcad để giải bài toán thi tốt nghiệp với kết quả nhanh chóng, chính xác. Khi thay đổi
dữ liệu ban đầu của bài toán thì kết quả sẽ lập tức được cập nhật một cách chính xác và
nhanh chóng.
- Sử dụng các giải pháp trong đề tài trên giáo viên có thể giảng dạy cho lớp 12 để ôn thi
tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia.

25