Rèn kỹ năng giải một số dạng toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4

I. MỞ ĐẦU.
1. Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm.
Một trong những yếu tố quyết định sự hình thành nhân cách óc sáng tạo,
khả năng tư duy độc lập, sự ham tìm tòi khám phá chính là việc học toán. Có thể
nói học toán là môi trường lí tưởng để học sinh phát huy trí tuệ của mình. Đặc
biệt là thông qua giải toán học sinh hình thành, phát triển khả năng suy luận, lập
luận lôgic, phát huy trí thông minh, tạo cách giải quyết vấn đề có căn cứ, chính
xác và khoa học…Không những thế, học tốt môn toán còn góp phần để các em
học tốt những môn học khác.
Trong thực tế giảng dạy ở lớp 4, tôi nhận thấy: do lượng kiến thức toán ở
lớp 3 quá nhẹ so với lớp 4 nên các em rất hay bị “rối”. Đặc biệt là những bài
toán giải có nội dung phức tạp, nhiều dạng toán giải “na ná” như nhau, khó nhận
dạng. Các em tóm tắt đề thường dùng lời, không hình dung ra cách giải quyết
tổng thể mà thực hiện, giải quyết theo kiểu “gặp đâu làm đó” chưa biết phát huy
phương pháp “sơ đồ đoạn thẳng” đã học ở lớp 2, lớp 3 trong giải toán.
Bên cạnh đó, ngôn ngữ toán học của các em còn rất hạn chế, chưa biết
diễn giải vấn đề một cách mạch lạc.
Chính vì những lí do trên qua quá trình giảng dạy, tìm tòi, nghiên cứu tôi
đã rút ra được một số kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng giải một số dạng toán bằng
sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4” để giúp các em tạo được cảm giác nhẹ
nhàng thoải mái khi giải quyết các bài toán có nội dung phức tạp.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm ra phương pháp rèn kĩ năng giải một số dạng toán cho học sinh lớp 4
bằng sơ đồ đoạn thẳng. Áp dụng thành thạo vào việc giải toán cho học sinh lớp 4
nói riêng và học sinh tiểu học nói chung.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Kĩ năng giải một số dạng toán bằng sơ đồ đoạn thẳng của học sinh lớp 4B
– Trường tiểu học Thiệu Dương – Thành phố Thanh Hóa.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu tài liệu;
Lựa chọn phương pháp dạy;

Phương pháp điều tra;
Phương pháp khảo sát, thực nghiệm.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Giải toán là một trong những nội dung chiếm số lượng lớn và xuyên suốt
chương trình môn toán của bậc tiểu học bởi vì các bài toán có lời văn thường
mang tính chất “tổng hợp” các kiến thức học sinh đã học trước đó.
Thông qua giải toán học sinh được thực hiện các thao tác tư duy như:
Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá…
Qua đó, học sinh thể hiện, bộc lộ những kinh nghiệm, kĩ năng đồng thời
rèn luyện và phát triển năng lực tư duy, phương pháp suy luận…
Một trong những phương pháp sử dụng giải toán có hiệu quả nhất là
phương pháp “sử dụng sơ đồ đoạn thẳng”. Phương pháp này mang tính “chủ

1


đạo” và xuyên suốt cả quá trình tiểu học (Từ lớp 1 đến lớp 5) bởi phương pháp
này vừa đơn giản lại phù hợp với đặc điểm tư duy của học sinh tiểu học.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trên thực tế, đa số học sinh có học lực được đánh giá ở mức hoàn thành
và chưa hoàn thành rất ngại giải toán có lời văn, đặc biệt là các dạng toán phải
dùng đến “sơ đồ đoạn thẳng” bởi vì hầu hết các em chưa biết cách biểu diễn các
yếu tố toán học bằng các đoạn thẳng. Nếu có biểu diễn được thì cách biểu diễn
cũng chưa chính xác và khi nhìn vào sơ đồ không toát lên được nội dung của bài
toán do đó không hình dung ra cách giải. Hơn thế nữa, phương pháp sử dụng “sơ
đồ đoạn thẳng” trong giải toán đã được các em làm quen ngay từ lớp 1, 2, 3
nhưng dưới góc độ “thụ động” nghĩa là các em chỉ “vẽ theo” sự tóm tắt của giáo
viên ở trên bảng và nhìn vào “sơ đồ”, các em chỉ diễn đạt được nội dung hết sức
đơn giản. Lên lớp 4, kiến thức toán mà các em cần tiếp thu rất phức tạp. Các bài

toán có lời văn có nhiều dữ kiện mà nếu không sử dụng “sơ đồ đoạn thẳng” để
biểu diễn thì học sinh không thể hình dung được. Như vậy ta thấy nảy sinh mâu
thuẫn giữa một bên là: Kinh nghiệm về vẽ sơ đồ đoạn thẳng còn quá ít và một
bên là biểu diễn nhiều yếu tố toán học phức tạp thông qua sơ đồ. Mặt khác khả
năng phân tích để thiết lập mối quan hệ, liên hệ giữa các dữ kiện của các em còn
nhiều hạn chế.
Từ thực trạng trên, tôi đã đi sâu nghiên cứu, tìm tòi phương pháp dạy-học
nhằm mục đích giúp học sinh có kĩ năng sử dụng “sơ đồ đoạn thẳng” trong giải
toán có lời văn với hi vọng có thể giúp học sinh giải thuần thục các dạng toán có
lời văn trong chương trình toán 4, nghĩa là: Thông qua phương pháp giải toán
bằng sơ đồ đoạn thẳng các em biết vận dụng kiến thức vào thực hành, biết phân
tích, tổng hợp, suy luận lôgic, biết đưa những yếu tố phức tạp trừu tượng của
toán học về dạng đơn giản, cụ thể. Từ đó giúp các em học tốt môn toán lớp 4 và
làm cơ sở, nền tảng cho lớp học tiếp theo.
* Kết quả khảo sát tình hình thực tế của học sinh lớp 4B – Trường Tiểu học
Thiệu Dương đầu năm học:
Môn Toán

Khảo sát đầu năm

Tổng số
HS
38

Hoàn thành tốt

Hoàn thành

SL

TL

SL

TL

06

15,8%

22

57,9%

Chưa hoàn
thành
SL
TL
10

26,3%

Với chất lượng học sinh như vậy, tôi đã phân tích, nghiên cứu tìm hiểu
qua SGK, SGV, một số tài liệu tham khảo khác, qua dự giờ dạy của các bạn
đồng nghiệp và hơn cả là qua quá trình giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm từ thực
tế. Tôi đã mạnh dạn đưa ra một số giải pháp để rèn kĩ năng giải một số dạng
toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Ở lớp 4 có rất nhiều dạng toán điển hình cần sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để
giải:

2


- Giải các bài toán hợp: “Dạng hơn kém và chia tỷ lệ”
- Dạng toán: “Tìm số trung bình cộng”
- Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó”
- Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”
- Dạng toán: “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”
Tuy nhiên những dạng toán nói trên không chỉ đơn thuần áp dụng tính một
cách máy móc và tồn tại độc lập mà nội dung của chúng được thể hiện lồng
ghép với các dạng toán khác với nội dung phức tạp đòi hỏi người học vừa phải
nắm vững đặc điểm riêng của từng dạng vừa phải vận dụng linh hoạt mới tìm ra
cách giải bài toán.
Để giải được bài toán có lời văn, trước hết học sinh phải nắm vững nội
dung của bài toán đồng thời tóm tắt được nội dung của bài toán đó. Trên thực tế,
các bài toán có lời văn ở lớp 4 phức tạp hơn rất nhiều so với ở lớp 3 nên việc
nắm nội dung đối với các em ở đầu lớp 4 là hết sức khó khăn bởi vậy muốn học
sinh giải được các dạng toán nói trên giáo viên cần cho học sinh đọc kĩ đầu bài
(chủ yếu là đọc thầm). Nhờ đọc kĩ đầu bài mà nội dung bài toán “ thấm dần” vào
não một cách tự nhiên, từ đó nảy sinh hoạt động trí tuệ, xuất hiện tư duy lôgic,
óc tưởng tượng. Sau khi học sinh đọc kĩ bài toán và nắm được nội dung, giáo
viên yêu cầu các em tóm tắt. Tuy nhiên, đây là bước đầu để hình thành kĩ năng
tóm tắt bằng sơ đồ cho các em nên trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh tóm
tắt bằng lời: Các dữ kiện đã cho - cái đã biết, các đại lượng cần tìm thông qua
câu hỏi: Bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì? Bước tiếp theo là yêu cầu các em
chuyển từ dạng lời nói sang biểu thị bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Cụ thể là: Sau khi đọc kĩ đề toán học sinh xác định xem: Bài toán đã cho
biết những gì? Nghĩa là các em phải phân tích đề bài, gạt bỏ các yếu tố, tình tiết
không liên quan đến các yếu tố chính trong bài. Từ đó thiết lập mối quan hệ, liên

hệ phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán. Dùng các đoạn thẳng để biểu
diễn mối liên hệ phụ thuộc đó (cái phải biết, cái phải tìm) và sắp xếp chúng theo
thứ tự nhằm làm nổi bật nội dung của bài toán cũng như minh họa cho mối liên
hệ trên.
Khi dùng các đoạn thẳng để minh họa, giáo viên cần hướng dẫn cho học
sinh lựa chọn độ dài phù hợp và chú ý tới sự biểu diễn “hơn”, “kém”, “tỷ lệ”, sơ
đồ phải dễ quan sát (nhìn vào sơ đồ là có thể nêu được nội dung của bài toán) ;
các số liệu cụ thể thì dùng nét liền, các số liệu trừu tượng thì dùng nét đứt; số
lớn biểu diễn bằng đoạn thẳng dài, số bé biểu diễn bằng đoạn thẳng ngắn.
Dựa vào sơ đồ tóm tắt học sinh không những đọc được đề toán mà còn
nhìn rõ mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lượng để từ đó tìm ra cách giải.
Sau bước vẽ sơ đồ là bước thiết lập kế hoạch giải. Đối với những bài toán
có nội dung phức tạp ta giúp học sinh phân tích ngược tức là đi từ câu hỏi
“chính “ của bài toán, tìm ra các câu hỏi “phụ” có liên quan lôgic đến câu hỏi
chính. Nhờ phân tích như vậy các em thành lập một qui trình giải. Tức là để trả
lời được câu hỏi chính của bài toán cần phải tìm cái gì trước? Muốn tìm được
cần phải dựa vào yếu tố nào? Tóm lại, muốn giải được bài toán này cần phải tìm
cái gì trước? Cái gì sau? Khi lập được kế hoạch giải như trên, giáo viên hướng
dẫn học sinh thực hiện kế hoạch giải. Ở bước này cần lưu ý các em trình bày lời

3


giải sao cho phù hợp và cuối cùng yêu cầu học sinh kiểm tra lại kết quả của từng
phép tính xem đã đúng chưa? Nếu sai thì sai chỗ nào để kịp thời sửa chữa. Sau
đó giáo viên mới nhận xét chung và khuyến khích những em có cách giải hay,
độc đáo hoặc giải bằng nhiều cách.
Ví dụ trong phần ôn tập bốn phép tính trong phạm vi 1000, ngoài việc
hướng dẫn học sinh giải các bài toán có lời văn về phép cộng, phép trừ, phép
nhân, phép chia bằng "sơ đồ đoạn thẳng" thì phải đặc biệt chú trọng đến việc

hướng dẫn các em sử dụng sơ đồ để giải các bài toán hợp. Mặc dù phần này là
phần ôn tập kiến thức lớp 3 nhưng nội dung các bài toán lại phức tạp. Hơn thế
nữa, muốn học sinh thuần thục về kĩ năng vẽ sơ đồ thì các em phải được rèn
luyện thường xuyên ngay từ những bài toán đơn giản.
3.1. Giải các bài toán hợp: Dạng hơn kém và chia tỷ lệ.
Ví dụ 1: Dạng toán hợp
Trong kho mỗi thùng dầu đều có số lít dầu như nhau. Nếu lấy 3 thùng thì
được 594 lít dầu. Hỏi lấy 5 thùng thì được bao nhiêu lít dầu?
+ Phân tích nội dung bài toán:
Sau khi học sinh đọc kĩ đề bài giáo viên nêu các câu hỏi sau để học sinh
nắm nội dung đề toán:
- Bài toán cho biết gì ? (3 thùng chứa 594 lít dầu)
- Bài toán hỏi gì? (Bài toán yêu cầu tính số dầu trong 5 thùng)
+ Tóm tắt bài toán bằng lời:
3 thùng: 594l
5 thùng : ? l
+ Giáo viên gợi ý để học sinh tóm tắt bằng sơ đồ:
594l

?l
Rõ ràng hai cách tóm tắt trên ta nhận thấy cách tóm tắt bằng sơ đồ sẽ giúp
các em dễ nhận ra số lít dầu của một thùng = 1/3 của 594 lít.
- Sau khi học sinh tóm tắt giáo viên yêu cầu học sinh “đọc” lại đề toán dựa vào
tóm tắt trên.
+ Lập kế hoạch giải.
Giáo viên dùng những câu hỏi sau:
- Muốn tìm số lít dầu ở 5 thùng trước hết ta phải tìm gì trước?
(Tìm số lít dầu ở 1 thùng).
- Muốn tìm số lít dầu ở 1 thùng ta phải làm tính gì?
(Làm tính chia)

Thông qua gợi ý trên học sinh đã thiết lập được trình tự giải bài toán như
sau:

4


Cách 1:
Bài giải
Số lít dầu trong một thùng là:
594 : 3 =198 (l)
Số lít dầu chứa trong 5 thùng là:
198 × 5 = 990 (l)
Đáp số: 990 lít dầu
Cách 2 :
Bài giải :
5 thùng chứa số lít dầu là:
(594 : 3) × 5 = 990 (l)
Đáp số: 990 lít dầu.
+ Học sinh kiểm tra lại kết quả.
Qua ví dụ trên tôi nhận thấy mặc dù đây là dạng toán ôn tập và các em đã
được làm quen với sơ đồ đoạn thẳng ở lớp 3 nhưng nếu giáo viên không gợi ý
thì những học sinh chưa hoàn thành không thể tóm tắt bài toán bằng sơ đồ được.
Mặt khác khi đã tóm tắt bài toán trên bằng sơ đồ thì các em dễ dàng giải được
bài toán.
Bên cạnh dạng toán quen thuộc trên tôi còn đưa thêm một vài bài toán nâng
cao để học sinh có thể linh hoạt thể hiện nội dung của bài toán bằng sơ đồ và
sáng tạo trong cách giải.
Ví dụ 2: Có hai kho thóc A và B. Biết số thóc của kho B bằng một nửa số thóc
của kho A. Nếu kho B có thêm 200 tấn thóc, kho A có thêm 1600 tấn thóc thì lúc
đó số thóc của kho A gấp 3 lần số thóc của kho B. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao

nhiêu tấn thóc.
Đây là một bài toán trừu tượng, phức tạp nhưng nếu học sinh đưa về dạng
sơ đồ thì bài toán lại trở về dạng đơn giản và dễ dàng giải được, chính vì vậy tôi
đã hướng dẫn học sinh như sau:
Bước 1: Học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số thóc của kho A và kho B lúc đầu :
Kho A lúc đầu :
Kho B lúc đầu :
Bước 2: Vẽ sơ đồ số thóc của kho A và kho B sau khi đã thêm.
Gợi ý: Kho A thêm 1600 tấn
Kho B thêm 200 tấn

thì kho A có số thóc
gấp 3 lần kho B

Như vậy: 1600 tấn = 200 tấn + 200 tấn + 200 tấn + số thóc kho B lúc đầu
= 200 tấn × 3 + số thóc kho B lúc đầu
Dựa vào gợi ý trên học sinh vẽ sơ đồ số thóc của kho A và kho B lúc sau và
giải bài toán như sau:

5


Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ đồ:
? tấn
Kho A lúc đầu :
Kho B lúc đầu :
? tấn
1600 tấn
Kho A lúc sau :

200 tấn × 3

Kho B lúc sau
200 tấn

Nhìn vào sơ đồ ta có:
Số thóc của kho B lúc đầu là:
1600 – 200 × 3=1000 (tấn)
Số thóc của kho A lúc đầu là:
1000 × 2 = 2000 (tấn)
Đáp số: Kho A: 2000 tấn
Kho B: 1000 tấn
Như vậy mặc dù bài toán trừu tượng phức tạp nhưng nhờ sử dụng sơ đồ
đoạn thẳng, chuyển những điều phức tạp thành những điều đơn giản dễ hiểu để
hầu hết các em đều có thể giải được bài toán một cách dễ dàng.
3.2. Dạng toán: “Tìm số trung bình cộng”.
Đối với dạng toán này khi đã làm thuần thục hầu hết các em chỉ áp dụng
công thức để tính. Tuy nhiên tôi vẫn luôn yêu cầu các em tóm tắt đề bài bằng sơ
đồ đoạn thẳng, một mặt để các em rèn luyện kĩ năng tóm tắt bài toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng, mặt khác giúp các em nắm được bản chất của tìm số trung bình
cộng và linh hoạt trong cách giải.
Ví dụ 1: (Bài 2 trang 28 - SGK toán 4).
Số dân của một xã trong 3 năm liền tăng thêm lần lượt là: 96 người, 82
người, 71 người. Hỏi trung bình mỗi năm số dân của xã đó tăng thêm bao nhiêu
người?
Như vậy với bài toán này, các em chỉ cần áp dụng công thức là có thể tính
được một cách dễ dàng nhưng tôi vẫn yêu cầu các em vẽ sơ đồ để rèn luyện kĩ
năg, thói quen sử dụng sơ đồ đoạn thẳng:
Ứng với số dân tăng thêm của mỗi năm ta biểu diễn bằng một sơ đồ đoạn
thẳng, số dân tăng ít dùng đoạn thẳng ngắn, 3 đoạn này đặt liên tiếp nhau trên

một đường thẳng. Muốn tính số dân tăng trung bình của mỗi năm tức là tính 1/3
tổng của 3 đoạn thẳng đó.
Qua gợi ý hướng dẫn, phân tích trên học sinh đã tóm tắt bài toán như sau:
82
?

71
?

96
?
6


Từ sơ đồ trên học sinh nhận thấy muốn tìm số trung bình cộng phải tính
được đoạn thẳng tổng (bằng tổng các đoạn thẳng ngắn) rồi lấy tổng đó chia cho
3 và các em đã giải như sau:
Bài giải:
Tổng số dân của xã đó tăng trong 3 năm là:
82 + 71 + 96 = 249 (người)
Trung bình mỗi năm số dân tăng là:
249 : 3 = 83 (người)
Đáp số: 83 người
Ví dụ 2: (Bài 5, trang 28 - SGK toán 4)
Số trung bình cộng của hai số bằng 28. Biết một trong hai số bằng 30, tìm
số kia?
Đây thực chất là dạng toán có yêu cầu ngược lại với dạng toán trên nên
khi hướng dẫn học sinh tóm tắt phải bám vào tính chất của số trung bình cộng.
- Trước hết yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị trung bình cộng của
hai số bằng 28. Như vậy đoạn thẳng biểu thị tổng của hai số phải được tạo bởi 2

đoạn thẳng bằng nhau.
- Bước tiếp theo các em vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị hai số cần tìm có độ dài
bằng đoạn thẳng tổng nói trên đồng thời biểu thị số đã biết (30).
Thông qua gợi ý bằng các câu hỏi và phân tích nêu trên, học sinh đã tóm tắt
bài toán và giải như sau:
28
28

30

?

Nhìn vào sơ đồ học sinh nhận thấy:
Tổng của hai số đó là:
28 × 2 = 56
Như vậy tổng của hai số đó là 56. Muốn tìm số hạng kia thì lấy tổng trừ đi
số đã biết.
Bài giải :
Tổng của hai số là:
28 × 2 = 56
Số phải tìm là:
56 – 30 = 26
Đáp số: Số phải tìm là 26
Ví dụ 3: Tổ một thu được 95 kg rau xanh, tổ hai thu được nhiều hơn tổ một 30
kg rau xanh, nhưng lại ít hơn tổ ba là 15 kg. Hỏi trung bình mỗi tổ thu được bao
nhiêu ki-lô-gam rau xanh?
So sánh với hai bài toán trên thì bài toán này phức tạp hơn niều. Bài toán
không chỉ đơn giản là tìm số trung bình cộng mà còn tìm các đại lượng chưa biết
dựa vào các yếu tố hơn và kém. Do vậy khi tóm tắt bài toán này tôi yêu cầu học

7


sinh nhận xét xem giữa 2 cách tóm tắt (bằng sơ đồ và bằng lời) thì cách tóm tắt
nào thể hiện rõ sự hơn và kém giữa các tổ.
+ Các em đã nhận xét: Đối với bài toán này thì nên tóm tắt bằng sơ đồ đoạn
thẳng và các đoạn thẳng biểu thị số ki-lô-gam rau của các tổ phải được đặt thẳng
hàng với nhau chứ không nên đặt kế tiếp nhau như các ví dụ trên.
+ Qua sự gợi ý phân tích trên các em đã vẽ sơ đồ bài toán như sau:
95 kg
Tổ 1 :
Tổ 2 :
Tổ 3 :

30kg
15kg

Hỏi trung bình mỗi tổ thu được bao nhiêu ki-lô-gam rau xanh?
+ Để tất cả các em nắm được nội dung của bài toán tôi yêu cầu một số học sinh
diễn đạt nội dung của bài toán dựa vào sơ đồ theo ngôn ngữ và cách hiểu của các
em.
+ Để học sinh lập được kế hoạch giải tôi đã cho các em quan sát sơ đồ và nêu
câu hỏi:
- Muốn tính được trung bình mỗi tổ thu được bao hiêu kg rau ta phải biết những
gì? (HS: số kg rau của tổ 2 và tổ 3).
- Để tìm được số kg rau của tổ 2, tổ 3 ta phải dựa vào yếu tố nào?
( HS: Dựa vào số kg rau đã biết của tổ một).
+ Qua cách gợi ý dẫn dắt trên, hầu hết các em (cả học sinh chưa hoàn thành) đều
đã lập được kế hoạch giải bài toán như sau :
Bài giải :

Tổ hai thu được số ki-lô-gam rau xanh là:
95 + 30 = 125 (kg)
Tổ ba thu được số ki-lô-gam rau xanh là:
125 + 15 = 140 (kg)
Trung bình mỗi tổ thu được số ki-lô-gam rau xanh là:
(95 + 125 + 140) : 3 = 120 (kg)
Đáp số: 120 kg
Đây là phần toán luyện tập nên các em đã nắm vững bản chất của số trung
bình cộng. Do đó để phát huy được ưu thế của sơ đồ đoạn thẳng và sự thông
minh sáng tạo của học sinh, tôi đã yêu cầu các em dựa vào sơ đồ để giải bài toán
bằng nhiều cách và tìm cách giải ngắn gọn nhất và các em đã giải được một số
cách sau:
Cách 1:
Bài giải :
Tổ hai và tổ ba thu được số ki-lô-gam rau xanh là:
(95 + 30) × 2 + 15 = 265 (kg)
Trung bình mỗi tổ thu được số ki-lô-gam rau xanh là:
(95 + 265) : 3 = 120 (kg)
Đáp số: 120 kg

8


Cách 2:
Bài giải :
Cả ba tổ thu được số số ki-lô-gam rau xanh là:
95 × 3 + 30 × 2 + 15 = 360 (kg)
Trung bình mỗi tổ thu được số ki-lô-gam rau xanh là:
360 : 3 = 120 (kg)
Đáp số : 120 kg

Cách 3:
Bài giải :
Trung bình mỗi tổ thu được số ki-lô-gam rau xanh là :
95 + (30 + 30 + 15) : 3 = 120 (kg)
Đáp số: 120 kg
Qua ví dụ trên ta thấy rõ ràng nếu không biểu diễn bằng sơ đồ đoạn thẳng
thì học sinh không thể nhanh chóng suy luận được mối quan hệ giữa tổ ba với tổ
một và cũng không tìm ra nhiều cách giải hay, độc đáo được như vậy.
Tóm lại với dạng toán tìm số trung bình cộng ngoài việc áp dụng qui tắc
để tính thì ta còn hướng cho học sinh sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải nhằm rèn
luyện kĩ năng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng, đồng thời qua đó giúp các em dễ dàng
hiểu và nắm bắt nội dung bài toán để có nhiều tìm tòi, sáng tạo trong cách giải.
3.3. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó ”.
Dạng toán này học sinh thường có quan niệm là dễ bởi lẽ các em chỉ cần
nắm được cách tính.
Cách tính thứ nhất:
Số bé = (Tổng - hiệu) : 2
Cách tính thứ hai:
Số lớn = (Tổng + hiệu) : 2
Các bài toán dạng này thông thường đều cho biết tổng và hiệu hai số.
Những học sinh hoàn thành, chưa hoàn thành thường ghi nhớ một cách máy móc
nên khi gặp những bài toán dạng này nhưng không có từ tổng hai số và hiệu hai
số thì lập tức các em bị rối và bí, không nhận ra dạng toán mà mình đã học. Vì
vậy khi dạy bài toán mẫu giáo viên phải giúp các em nắm vững "bản chất" của
việc tìm số lớn hoặc tìm số bé. Bên cạnh đó khi giải các bài toán không nêu rõ
tổng và hiệu thì yêu cầu học sinh nhất thiết phải xác định được tổng và hiệu của
hai số đó trước khi vẽ sơ đồ.
Để thấy rõ tổng và hiệu của hai số thì bắt buộc các em phải vẽ sơ đồ đoạn
thẳng. Khi hướng dẫn học sinh vẽ giáo viên lưu ý các em biểu thị số bé, số lớn,
tổng và hiệu hai số. Tránh tình trạng sơ đồ vẽ rườm rà mà không nêu bật được

các yếu tố cơ bản của bài toán.
Ví dụ 1: Bài 1(trang 47) – SGK toán 4.
Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao
nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi ?
+ Bước đầu tiên cho các em đọc kĩ đề, phân tích và xác định: Đâu là hiệu của hai
số, tìm 2 số nào?
+ Khi đã xác định được các yếu tố nêu trên, các em tiến hành tóm tắt bài toán
bằng sơ đồ đoạn thẳng. Lưu ý học sinh sơ đồ biểu thị tuổi bố và tuổi con.

9


Qua phân tích trên học sinh đã vẽ 2 sơ đồ sau :
- Sơ đồ (1) biểu thị tuổi bố hơn tuổi con:
? tuổi
Tuổi bố :
58 tuổi
Tuổi con :

38 tuổi
? tuổi

- Sơ đồ (2) biểu thị tuổi con kém tuổi bố:
? tuổi
Tuổi bố :
38 tuổi

58 tuổi

Tuổi con :

? tuổi
Khi các em đã vẽ được một trong hai sơ đồ trên (hoặc cả hai sơ đồ trên)
thì các em có thể giải ngay bài toán.
+ Nhìn vào sơ đồ (1) các em nhận thấy ngay : Nếu lấy tổng trừ đi hiệu thì còn lại
2 số bé ( 2 lần tuổi con) như vậy;
Hai lần tuổi con là:
58 – 38 = 20 (tuổi)
Tuổi của con là:
20 : 2 = 10 (tuổi)
Tuổi của bố là:
10 + 38 = 48 (tuổi)
Đáp số: Con: 10 tuổi
Bố: 48 tuổi
+ Nhìn vào sơ đồ (2 ) các em đưa ra nhận xét : Nếu cộng thêm hiệu vào tổng thì
sẽ có 2 lần số lớn ( 2 lần tuổi bố ). Vậy:
Hai lần tuổi bố là:
58 + 38 = 96 (tuổi)
Tuổi của bố là:
96 : 2 = 48 (tuổi)
Tuổi của con là:
48 – 38 = 10 (tuổi)
Đáp số: Bố: 48 tuổi
Con: 10 tuổi
Như vậy dù tóm tắt bằng sơ đồ (1) hay (2) thì các em cũng đều giải được
bài toán và nắm vững cách giải dạng toán này. Tuy nhiên giáo viên cần khuyến
khích để các em có thể giải bài toán bằng hai cách. Bên cạnh việc đưa những từ
ngữ đơn giản dễ hiểu như ví dụ nêu trên, giáo viên nên yêu cầu, khuyến khích
học sinh dựa vào sơ đồ tóm tắt để tự đặt đề toán rồi giải.
Ví dụ: Căn cứ vào phần tóm tắt dưới đây hãy đặt một đề toán rồi giải.

10


?m
28 m

118 m

?m
Ở mức độ cao hơn nữa có thể yêu cầu học sinh tự vẽ sơ đồ tóm tắt rồi
đặt đề toán tương ứng và giải. Loại toán mà không những củng cố khắc sâu kiến
thức đã học, rèn luyện kĩ năng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng mà còn làm cho học
sinh phát huy được ngôn ngữ toán học, óc tưởng tượng, khái quát tư duy lôgic.
Ví dụ 2:
Một hình chữ nhật có tổng chiều dài và chiều rộng là 196m, chiều dài
hơn chiều rộng 46m.
a. Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật.
b. Làm thế nào để tính chu vi một cách nhanh nhất.
Để giải đươc bài toán này trong quá trình dạy về chu vi của hình chữ
nhật tôi thường xuyên đưa ra các yếu tố chiều dài, chiều rộng và chu vi hình chữ
nhật dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng. Ví dụ:
Chiều dài:

Nửa chu vi
P:2

Chiều rộng :
Qua quá trình học sinh được củng cố kiến thức cũ, làm quen với dạng
mới các em đã hình thành kĩ năng sử dụng “sơ đồ” nên đối với bài này các em
đã tóm tắt như sau :

?m
Chiều dài:
46 m

196 m

Chiều rộng :
?m
+ Trước khi giải tôi yêu cầu các em nhận xét xem đây là dạng toán gì?
( HS: Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của 2 số đó).
+ Bước tiếp theo các em xác định xem đâu là tổng, đâu là hiệu của 2 số và các
em đã giải câu a của bài toán một cách nhanh chóng vì đây là dạng toán quen
thuộc.
Chiều rộng của hình chữ nhật là :
(196 - 46) : 2 = 75 (m)
Chiều dài hình chữ nhật là
75 + 46 = 121 ( m)
+ Đối với câu b do học sinh đã làm quen với sơ đồ (nêu ở phần đầu ví dụ 2)
dạng :
Chiều dài:
Nửa chu vi
P:2
Chiều rộng :

11


Các em đã tính chu vi của hình chữ nhật một cách nhanh nhất mà không
cần phải áp dụng công thức tính chu vi một cách máy móc.
Chu vi hình chữ nhật là:

196 × 2 = 392 (m)
3.4. Dạng toán: “ Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”.
Dạng toán này thường cho biết tổng và tỉ số giữa hai số phải tìm. Tỉ số
của hai số thường được nêu ở dạng số lớn gấp... lần số bé hoặc ngược lại số bé
bằng 1/n số lớn. Ngoài ra tỉ số còn được nêu ở một số dạng khác ví dụ: Tỉ số của
hai số bằng thương giữa số lớn nhất có hai chữ số với số lẻ nhỏ nhất có hai chữ
số như vậy tỷ số giữa hai số là 99/11= 9 ( tức là số bé bằng 1/9 số lớn).
Đối với dạng toán này giáo viên yêu cầu học sinh phải xác định được tổng
và tỷ số cụ thể của bài toán. Khi hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ tóm tắt cần lưu ý
học sinh nên vẽ số bé trước để từ đó khi gấp lên một số lần theo tỷ số đã cho ta
được số lớn.
Khi học sinh đã vẽ sơ đồ tóm tắt nên yêu cầu học sinh dựa vào sơ đồ để
nêu nội dung của bài bài toán theo cách diễn đạt của các em: Có thể so sánh số
lớn với số bé hoặc số bé với số lớn.
Ví dụ 1: Một cửa hàng gạo bán 3250 kg gạo, trong đó khối lượng gạo loại I
bằng 1/4 khối lượng gạo loại II. Tính số kg gạo mỗi loại.
- Trước tiên yêu cầu học sinh phân tích đề và tóm tắt bài toán bằng câu hỏi:
+ Bài toán cho biết gì ? (Tổng số gạo 2 loại là 3250 kg và gạo loại I bằng 1/4
khối lượng gạo loại II).
+ Bài toán hỏi gì? (Tính số kg gạo mỗi loại).
- Bước tiếp theo hướng dẫn học sinh tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng:
+ Đoạn thẳng ngắn biểu thị số kg gạo loại I. Vậy đoạn thẳng biểu thị số kg gạo
loại II dài gấp mấy lần? (gấp 4 lần).
Các em đã tóm tắt bài toán như sau:
? kg
Gạo loại I :
3250kg
Gạo loại II :
? kg
Sau khi học sinh tóm tắt xong yêu cầu các em dựa vào tóm tắt để nêu nội

dung bài toán và nhận xét 3250 kg gạo được chia làm mấy phần bằng nhau? Gạo
loại II chiếm mấy phần?
Qua gợi ý trên và dựa vào sơ đồ các em đã lập được kế hoạch giải bài toán
như sau:
Bài giải:
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
1 + 4 = 5 ( phần)
Số kg gạo loại I là:
3250 : 5 = 650 (kg)
Số kg gạo loại II là:
650 × 4 = 2500 (kg)
Đáp số: Gạo loại I: 650 kg; Gạo loại II: 2500 kg

12


Ngoài dạng thông thường của loại toán này người ta còn đưa ra những bài
toán mà không cho biết cụ thể tỷ số của các số. Do đó giáo viên cần hướng dẫn
để học sinh xác định được tỷ số cũng như số phần của mỗi số.
Ví dụ 2: Bài toán nâng cao
Có 3 máy dệt A, B, C sau một ngày dệt được tất cả 2925m vải. Biết rằng
cứ máy A dệt được 1m thì máy B dệt được 2m; máy C dệt dược 6m thì máy A
dệt được 4 m. Hỏi một ngày mỗi máy dệt được bao nhiêu mét vải?
Hướng dẫn học sinh phân tích để xác định tỷ số.
- Cứ máy A dệt được 1m thì máy B dệt được 2m; như vậy so với máy A thì máy
B dệt được nhiều gấp mấy lần? (gấp 2 lần)
- Cứ máy C dệt được 6m thì máy A dệt được 4m; như vậy máy C dệt gấp mấy
lần máy A ? (gấp rưỡi máy A)
Sau khi xác định được "tỷ số" giữa các máy các em đã tóm tắt bài toán đó
như sau:

Máy A
Máy B
2925m
Máy C
Tuy nhiên nếu dựa vào sơ đồ trên thì các em vẫn chưa thể giải được vì các
"phần" chưa bằng nhau. Bởi vậy tôi yêu cầu các em đưa dạng tóm tắt bài toán
trên về dạng sơ đồ có các phần bằng nhau và giải:
Bài giải:
Để có các phần bằng nhau ta có thể vẽ sơ đồ như sau:
Máy A
Máy B
2925m
Máy C
Nhìn vào sơ đồ số vải 2925m được chia làm 9 phần bằng nhau:
(2 + 4 + 3) = 9 (phần)
Số mét vải của mỗi phần là:
2925 : 9 = 325 (m)
Số mét vải của máy A dệt được là:
325 × 2 = 650 (m)
Số mét vải máy B dệt được là:
325 × 4 = 1300 (m)
Số mét vải máy C dệt được là:
325 × 3 = 975 (m)
Đáp số: Máy A: 650m
Máy B: 1300m
Máy C: 975m
Như vậy mặc dù bài toán trừu tượng, phức tạp nhưng khi đưa về dạng sơ
đồ đoạn thẳng thì các em thấy rất đơn giản và nhanh chóng tìm ra cách giải.
Tóm lại đối với dạng toán " Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó"
thì bước quan trọng nhất là xác định được tỷ số giữa các đại lượng và biểu thị

13


các đại lượng đó bằng sơ đồ đoạn thẳng. Sau đó phải xác định được" tổng số
phần bằng nhau" và lập kế hoạch giải.
Dạng toán này phải thực hiện theo các bước sau:
B1: Xác định tỷ số giữa các đại lượng và tổng của chúng
B2: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng
B3: Tính tổng số phần bằng nhau
B4: Tính giá trị của mỗi phần (bằng cách lấy tổng chia cho tổng số phần bằng
nhau)
B5: Tính giá trị của từng đại lượng (Từng số phải tìm)
B6: Thử lại
3.5. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó”.
Dạng toán này cách hướng dẫn cũng tương tự như cách hướng dẫn dạng
toán " tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của chúng" nghĩa là : Các em cũng phải
đọc kỹ đề bài xác định được "hiệu" và tỷ số giữa các số đã cho và biểu diễn
chúng bằng sơ đồ đoạn thẳng. Thay cho việc tìm tổng số phần thì các em phải
tìm"hiệu số phần". Như vậy các bước giải dạng toán này có thể tóm tắt như sau:
B1: Xác định hiệu của 2 số và tỷ số của chúng
B2: Tóm tắt bài toán trên sơ đồ đoạn thẳng
B3: Tìm hiệu số phần bằng nhau
B4: Tính giá trị của mỗi phần (bằng cách lấy hiệu 2 số chia cho hiệu số phần
bằng nhau)
B5: Tính giá trị của từng đại lượng (từng số phải tìm)
B6: Thử lại
2
Ví dụ 1: Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng
tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi

7
người (SGK toán 4 - 151)
Phân tích: Bài toán cho biết hiệu giữa tuổi mẹ và con là 25, tuổi con bằng
2
tuổi mẹ. Đây là bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
7
đó. Ta sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Nếu biểu diễn số tuổi của con
bằng 2 phần bằng nhau, thì tuổi mẹ gồm 7 phần bằng nhau. Biểu thị các dữ liệu
trên sơ đồ. Từ đó ta tìm lời giải của bài toán.
Bài giải
Ta có sơ đồ sau:
? tuổi
Tuổi con :

25 tuổi

Tuổi mẹ :
? tuổi

14


Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
7 – 2 = 5 (phần)
Tuổi con là:
25 : 5 × 2 = 10 (tuổi)
Tuổi mẹ là:
10 + 25 = 35 (tuổi)
Đáp số: Mẹ: 35 tuổi
Con: 10 tuổi.

Ví dụ 2: Mẹ hơn con 27 tuổi. Sau 3 năm nữa tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con. Tính
tuổi của mỗi người hiện nay. (SGK - Toán lớp 4 - trang 176)
Phân tích: Bài toán cho mẹ hơn con 27 tuổi. Mỗi năm mẹ tăng thêm 1
tuổi và con cũng tăng thêm 1 tuổi. Do đó số tuổi của mẹ hơn con không thay đổi
theo thời gian. Sau 3 năm tuổi mẹ vẫn hơn tuổi con là 27 tuổi, mặt khác đề bài
1
còn cho biết sau 3 năm nữa tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tức là tuổi con bằng
4
tuổi mẹ. Từ đó tính được tuổi con hoặc tuổi mẹ sau 3 năm và tính được tuổi con,
tuổi mẹ hiện nay.
Bài giải
Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm 1 tuổi nên hiệu số tuổi giữa mẹ và con
không đổi theo thời gian.
Ta có sơ đồ sau 3 năm:
? tuổi
Tuổi con :
27 tuổi
Tuổi mẹ :
? tuổi
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
4 – 1= 3 (phần)
Tuổi của con sau 3 năm nữa là:
27 : 3 × 1 = 9 (tuổi)
Tuổi của con hiện nay là:
9 – 3 = 6 (tuổi)
Tuổi mẹ hiện nay là:
6 + 27 = 33 (tuổi)
Đáp số: Con: 6 tuổi
Mẹ: 33 tuổi
Sau khi giải xong yêu cầu học sinh thử lại. Đối với dạng toán tính tuổi,

giáo viên nhắc nhở để học sinh chú ý bám vào đề bài để vẽ sơ đồ vì có thể xảy
ra 3 trường hợp:

15


- Sơ đồ tóm tắt vẽ tuổi hiện nay của mỗi người.
- Sơ đồ tóm tắt sau "a" năm.
- Sơ đồ tóm tắt "a" năm trước đây.
* Đối với dạng toán tìm hai số khi biết tổng (hay hiệu) và tỷ số của hai số đó
ngoài việc hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ nêu trên, giáo viên
cũng nên đưa thêm một số dạng bài toán tóm tắt bằng sơ đồ rồi yêu cầu học sinh
nhận dạng bài toán, tự đặt đề bài và tìm cách giải để giúp học sinh củng cố kiến
thức đã học, phân biệt được sự khác nhau giữa các dạng toán để không bị nhầm
lẫn trong khi giải. Hơn thế nữa, còn giúp các em phát triển ngôn ngữ tư duy
lôgic, óc tưởng tượng.
Ví dụ:
Em hãy dựa vào tóm tắt sau để đặt một đề toán và giải.
?m
20m
?m
Đối với sơ đồ trên học sinh có thể đặt được những đề toán hay ví dụ:
"Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 20m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó
biết chiều rộng bằng 2/3 chiều dài."
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi áp dụng các giải pháp trên, tôi đã nhận thấy sự tiến bộ rõ rệt ở học
sinh lớp tôi chủ nhiệm trong việc giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Với bất kì đối
tượng học sinh nào, khi đã xác định được đúng những bước đi như vậy các em
cũng sẽ không còn lúng túng, ngỡ ngàng trước một bài toán giải mới.

Kết quả đạt được như sau:
Môn Toán
Khảo sát đầu năm
Cuối học kì I

Tổng số
HS
38
38

Hoàn thành tốt
SL
06
17

TL
15,8%
44,7%

Hoàn thành
SL
22
21

TL
57,9%
55,3%

Chưa hoàn
thành

SL
TL
10 26,3%
0
0

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
1. Kết luận.
Có thể nói giải toán bằng phương pháp "Sơ đồ đoạn thẳng" là phương
pháp mang tính "chủ đạo" không chỉ đối với toán lớp 4 mà đối với cả chương
trình toán tiểu học. Phương pháp này vừa khoa học lại có tính chính xác cao,
phù hợp với việc dạy- học lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên chỉ là người
hướng dẫn. Học sinh thực sự chủ động, tự giác tích cực và sáng tạo trong học
tập. Bên cạnh đó, các em còn phát triển mạnh về ngôn ngữ đặc biệt là ngôn ngữ
toán học gắn liền với thực tế đời sống "học đi đôi với hành". Qua đó tạo điều

16


kiện cho tư duy trừu tượng phát triển một cách mạnh mẽ phù hợp với đặc điểm
tâm sinh lí của các em.
Qua quá trình thực hiện phương pháp dạy học toán nói trên tôi nhận thấy
hầu hết học sinh đều được nâng lên về khả năng học toán, nói năng lưu loát, tự
tin, có kỹ năng sử dụng sơ đồ trong giải toán, chất lượng đại trà của lớp được
nâng lên. Bên cạnh đó tôi vẫn có điều kiện thực hiện cụ thể hoá, triệt để đến
từng học sinh. Nghĩa là những học sinh chưa hoàn thành vẫn có điều kiện tham
gia tích cực vào quá trình học tập và thể hiện được mình. Còn những học sinh
hoàn thành tốt có điều kiện sáng tạo phát huy tối đa năng lực học toán của bản
thân. Những học sinh hoàn thành cũng luôn tự cố gắng vươn lên.
2. Kiến nghị.

2.1. Phòng giáo dục.
Phòng giáo dục và đào tạo nên tạo điều kiện tổ chức những buổi hội thảo,
trao đổi kinh nghiệm với những chuyên đề thiết thực để bổ trợ cho giáo viên vốn
kinh nghiệm về chuyên môn góp phần nâng cao chất lượng dạy học theo tinh
thần đổi mới.
2.2. Nhà trường.
Trang bị thêm sách tham khảo, tài liệu, phòng học, bàn ghế đảm bảo chất
lượng, kích cỡ để học sinh ngồi học đạt hiệu quả cao.
2.3. Giáo viên.
- Giáo viên cần quan tâm đến mọi đối tượng học sinh trong lớp đặc biệt là đối
với những em nhận thức chậm, rỗng kiến thức.
- Giáo viên không ngừng học tập nâng cao trình độ chuyên môn, bồi dưỡng
thường xuyên cách tổ chức hoạt động cho học sinh trong mọi giờ học.
- Kết hợp với phụ huynh học sinh có kế hoạch bồi dưỡng học sinh hoàn thành
tốt, giúp đỡ học sinh chưa hoàn thành tiến bộ.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã vận dụng vào giảng dạy trong
năm học vừa qua. Với phạm vi thực hiện còn hạn hẹp, thời gian nghiên cứu chưa
nhiều tôi nghĩ rằng sáng kiến nhỏ của tôi vẫn còn nhiều khiếm khuyết, rất mong
Hội đồng khoa học, các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến của tôi
được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 3 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Nguyễn Thị Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

17


Stt
1

Tên tài liệu
Sách giáo khoa Toán 4

2

Các bài toán nâng cao
lớp 4

Tác giả
Đỗ Đình Hoan
Nguyễn Áng
Vũ Quốc Chung
Đỗ Tiến Đạt
Đỗ Trung Hiệu
Trần Diên Hiển
Đào Thái Lai
Phạm Thanh Tâm
Kiều Đức Thành
Lê Tiến Thành
Vũ Dương Thụy
Tham khảo trên mạng
Internet

Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam –
Bộ GD&ĐT

18