Tích độ đo và tích phân lặp theo nghĩa lebesgue

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên để gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Lê Thị
Thiên Hương vì những khoảng thời gian mà cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ về mặt
nghiên cứu cũng như niềm tin để hoàn thành khóa luận.
Bên cạnh đó, tôi cũng bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy cô trong tổ bộ môn
Giải tích đã có những nhận xét và góp ý để tôi có cơ hội hoàn thành và bảo vệ khóa
luận tốt nghiệp này.
Tôi cũng xin cảm ơn toàn thể thầy cô khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh, những người đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức
quý báu trong suốt thời gian bốn năm của chương trình Đại học.

Võ Đăng Khoa


2

MỤC LỤC

MỤC LỤC................................................................................................................... 2
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 3
CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 5
1.1. Đại số và  -đại số,  -đại số sinh bởi một họ tập, họ sơ cấp................................. 5
1.2. Độ đo và tiền độ đo................................................................................................ 8
1.3. Độ đo Lebesgue trên  ....................................................................................... 12
1.4. Hàm đo được và tính chất .................................................................................... 13
1.5. Tích phân của một hàm đo được, tích phân Lebesgue .......................................... 16
CHƯƠNG II : TÍCH CÁC ĐỘ ĐO ......................................................................... 21
2.1. Tích các  -đại số ................................................................................................ 21
2.2. Xây dựng tích các độ đo ...................................................................................... 24

2.3. Định nghĩa tích các độ đo và các tính chất ........................................................... 27
2.4. Độ đo Lebesgue trên  n  n  2  ........................................................................... 29
CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN TÍCH ................................. 44
3.1. Tích phân trên các độ đo ...................................................................................... 44
3.2. Định lý Fubini ..................................................................................................... 53
3.3. Tích chập ............................................................................................................. 59
LỜI KẾT ................................................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 64


3

LỜI MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Đo đạc là một hoạt động rất xa xưa của loài người. Ngay từ thời nguyên thủy
con người đã phải đếm số trái cây, số thú vật săn bắt được, số thành viên trong bộ lạc;
phải cân đong ngũ cốc, thức uống… Đến các nền văn mình cổ đại, con người đã biết
đo đạc ruộng đất, đo độ dài, diện tích, thể tích của một vật, tính toán ngày giờ, lập lịch,
dự báo thời tiết. Thời gian cứ trôi đi, công việc đo đạc ngày càngphát triển và trở nên
tinh vi, phức tạp hơn. Lý thuyết đo đạcvà các ứng dụng của nó ngày càng rộng rãi và
sâu sắc.
Độ đo và tích phân là các khái niệm có ý nghĩa quan trọng về vấn đề đo đạc
trong giải tích, cũng như trong nhiều phân môn của Toán học và các ngành khoa học
khác. Ta đã biết định nghĩa, các tính chất của độ đo dương tổng quát và xây dựng được
lý thuyết tích phân trong một không gian độ đo cho trước. Vấn đề đặt ra là: từ một số
không gian độ đo ban đầu, làm thế nào để tạo ra được một độ đo trên không gian tích,
từ đó đưa ra mối liên hệ giữa tích phân trên không gian tích với tích phân trên các
không gian thành phần. Kéo theo đó là một loạt câu hỏi: Tính diện tích một mặt, thể
tích một vật thể từ các độ dài của nó như thế nào? Liệu có định lý Fubini cho phép
chuyển từ tích phân bội sang tích phân lặp trong lý thuyết tích phân tổng quát tương tự

trường hợp hàm nhiều biến hay không? Khóa luận này sẽ đi xem xét, tìm câu trả lời
cho vấn đề trên.

2. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là độ đo tích và định lý Fubini.


4

Sử dụng các kiến thức trong chương trình Đại học và một số kiến thức tham
khảo khác. Quy mô nghiên cứu vừa tầm với một khóa luận tốt nghiệp.

3. Nội dung chính của khóa luận
Khóa luận trình bày việc xây dựng độ đo trên không gian tích, từ đó đưa ra cách
thiết lập độ đo Lebesgue trên  n , đồng thời xem xét mối liên hệ giữa tích phân trên
không gian tích với tích phân trên các không gian thành phần.
Khoá luận gồm ba chương.
Chương I nhắc lại các kiến thức cơ bản của lý thuyết độ đo-tích phân như:  
đại số, độ đo và các tính chất, hàm đo được, tích phân và các tính chất, làm nền cho các
vấn đề chuyên sâu hơn ở chương II và chương III.
Chương II trình bày cách xây dựng tích độ đo theo trình tự: trước hết tạo ra một
họ sơ cấp là tích Descartes các tập đo được trên từng không gian nhỏ gọi là gian, sau
đó lấy hợp hữu hạn các gian rời nhau được một đại số, lập một tiền độ đo trên đại số
đó, cuối cùng là dùng định lý Hahn để mở rộng tiền độ đo thành độ đo tích tổng quát.
Nhưng độ đo này chưa chắc đã đầy đủ nên muốn có độ đo Lebesgue trên  n thì phải
thêm bước bổ sung đầy đủ nữa. Chương này cũng khảo sát vài tính chất của độ đo
Lebesgue như tính chính quy, bất biến qua phép tịnh tiến, mối liên hệ giữa tập
Lebesgue và tập Borel…
Chương III nêu ra cách đưa tích phân bội trên không gian tích với độ đo mới
được xây dựng về tích phân lặp trên các không gian thành phần. Đây cũng chính là nội

dung củađịnh lý Fubini. Trong quá trình thiết lập công thức, khóa luận đã xem xét một
cách khác để định nghĩa độ đo tích, cách này thường được sử dụng nếu ta quan tâm đến
tích phân hơn là độ đo. Cuối chương có đề cập đến ứng dụng quan trọng là tích chập
của hai hàm số khả tích.


5

CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Đại số và  -đại số,  -đại số sinh bởi một họ tập, họ sơ cấp
1.1.1. Đại số và   đại số
Định nghĩa
Cho Xlà một tập khác rỗng. Một   đại số các tập con của X (hoặc   đại số
trênX ) là một họ khác rỗng M  P  X  đóng với phép hợp đếm được và phép lấy
phần bù, tức là
i) A M thì AC  M ;




ii)  A j   M thì  A j  M .
j 1
j 1

Họ khác rỗng M được gọi là một đại số nếu nó đóng với phép hợp hữu hạn và
phép lấy phần bù, tức là thay ii) bởi ii’)
n

n

ii’)  A j   M thì  A j  M .
j 1
j 1

Tính chất
C

Với các tập Aj ta có  A j    ACj  nên mọi   đại số đều đóng với phép
j
 j

giao đếm được và mọi đại số đều đóng với phép giao hữu hạn.
Cho M là một đại số. Do M   nên tồn tại A M . Từ đó AC  M và
  A  A C  M , X  A  AC  M .


6

Cho M là một   đại số. Nếu A1 , A2 ,..., An  M thì dãy  A j 
n


j 1

, trong đó



A j   với mọi j  n , thuộc M nên  A j   Aj  M . Vậy mọi   đại số đều là đại

j 1

j 1

số.
1.1.2.  - đại số sinh bởi một họ tập
Định nghĩa
Cho E là một họ các tập con của X . Họ các  - đại số chứa E luôn khác rỗng
(vì P  X  là một  - đại số chứa E ) và giao của các  - đại số chứa E là một  - đại
số chứa E . Giao của tất cả các  - đại số chứa E được gọi là  - đại số sinh bởi E , kí
hiệu M  E  .
Tính chất
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra rằng với họ các tập con E và F của X thỏa mãn

E  M  F  thì M  E   M  F  .
1.1.3.  - đại số Borel
Định nghĩa
Cho X là một không gian metric hoặc topo. Ta gọi  - đại số sinh bởi topo trên
X (họ tất cả các tập mở trong X ) là  - đại số Borel trên X, kí hiệu là BX .

Mỗi phần tử thuộc BX được gọi là một tập Borel. Như vậy tập Borel bao gồm
các tập mở, các tập đóng, giao của đếm được các tập mở (kí hiệu là G ), hợp của đếm
được các tập đóng (kí hiệu là F ).


7

Định lý 1.1

B được sinh bởi một trong các họ tập con sau của  :

a) Họ các khoảng mở E1   a, b  | a  b ;
b) Họ các khoảng đóng E2   a, b  | a  b ;
c) Họ các khoảng nửa mở E3   a, b  | a  b hoặc E4   a, b  | a  b ;
d) Họ các nửa đường thẳng mở E5   a,   | a   hoặc E5   , a  | a   ;
e) Họ các nửa đường thẳng đóng E7   a,   | a   hoặc E8   , a  | a   .

1.1.4. Họ sơ cấp
Định nghĩa
Họ E các tập con của X được gọi là một họ sơ cấp nếu
i)   E ;
ii) A, B  E thì A  B  E ;
iii) A E thì AC bằng hợp hữu hạn của các tập con rời nhau của E .
Định lý 1.2
Nếu E là một họ sơ cấp của tập X thì họ A các hợp hữu hạn của các tập rời
nhau của E là một đại số trên X . Hơn nữa M  E   M  A  .


8

1.2. Độ đo và tiền độ đo
1.2.1. Định nghĩa độ đo
Cho Xlà một tập khác rỗng và một   đại số M trên X . Ta gọi hàm tập

 : M  0,   thỏa các điều kiện sau đậy là một độ đo trên M (hoặc trên  X , M 
hoặc trên X )
i)      0 ;


ii) Nếu  A j 

j 1


 
là một dãy các tập rời nhau trong M thì    Aj      A j  .
 j 1  j 1

Tính chất ii) được gọi là tính chất cộng tính đếm được (hay   cộng tính). Tính
chất sau đâyđược gọi là tính chất cộng tính hữu hạn.
n

n
ii’) Nếu A1 , A2 ,..., An là các tập rời nhau trong M thì    Aj      A j 
 j 1  j 1

Dễ dàng nhận thấy rằng từ i) và ii) suy ra ii’). Nếu  thỏa mãn i) và ii’) nhưng
không thỏa mãn ii) thì  được gọi là một độ đo cộng tính hữu hạn.
Tập X cùng một   đại số M trên X được gọi là một không gian đo được, kí
hiệu là  X , M  . Mỗi A M được gọi là một tập đo được, hay M - đo được.
Nếu  là một độ đo trên  X , M  thì bộ ba  X , M ,   được gọi là không gian
độ đo, M được gọi là miền của độ đo  .
Độ đo  được gọi là hữu hạn nếu   X    .


Độ đo  được gọi là   hữu hạn nếu tồn tại dãy  A j  trong M sao cho
j 1


 A j  X và   A j    với mọi j   * .
j 1

9



Tập A  X được gọi là tập   hữu hạn nếu tồn tại dãy  A j 

j 1

trong M sao



cho  A j  A và   A j    với mọi j   * .
j 1

Độ đo  được gọi là nửa hữu hạn nếu mọi A M ,   A    đều tồn tại

B  M , B  A sao cho 0    B    .
Một độ đo   hữu hạn là nửa hữu hạn nhưng điều ngược lại nói chung không
đúng.
1.2.2. Định nghĩa tiền độ đo
Cho A  P  X  là một đại số. Hàm  : A  0,   được gọi là một tiền độ đo
nếu :
i)      0





ii)  Ai i 1  A là các tập rời nhau và  Ai  A thì    Ai      Ai 
i 1
 i 1  i 1

Các khái niệm về hữu hạn,   hữu hạn, nửa hữu hạn của tiền độ đo có thể định
nghĩa giống như độ đo.
Hiển nhiên một độ đo là một tiền độ đo vì   đại số có thể coi là một đại số.
1.2.3. Tính chất
Định lý 1.3
Giả sử  là một tiền độ đo trên đại số A . Khi đó
a) Nếu A, B  A , B  A thì   B     A  (Tính chất đơn điệu);
b) Nếu A, B  A , B  A,   B    thì   A \ B     A     B  ;
c) Nếu  Aj 




 A và  A j  A thì    Aj      A j  (Tính chất cộng tính dưới);
j 1
j 1
 j 1  j 1




10


 
d) Nếu   Aj   0, j  1, 2,... và  A j  A thì    Aj   0 ;

j 1
 j 1 

e) Nếu A, B  A ,   B   0 thì   A  B     A \ B     A  ;
f) Nếu  Aj 



 A , A1  A2  ... và  A j  A thì    Aj   lim   A j  (Tính chất liên
j 1
j 1
 j 1  j



tục dưới);
g) Nếu  Aj 



 A , A1  A2  ... ,  A j  A và   A1    thì    Aj   lim   A j 
j 1
j 1
 j 1  j



(Tính chất liên tục trên);
Vì độ đo cũng là một tiền độ đo nên nó cũng có các tính chất kể trên.
Định lý 1.4

Độ đo bất biến với phép tịnh tiến. Tức là cho không gian độ đo  X , M ,   thì với mọi
A thuộc M , mọi s thuộc X thì   s  A     A  .

1.2.4. Mở rộng tiền độ đo
Cho A là một đại số trên X ,  là một tiền độ đo trên A . Ta tìm cách mở rộng
tiền độ đo  thành một độ đo  trên   đại số M chứa A .
Định lý 1.5(Định lý Hahn)
Cho A là một đại số trên X ,  là một tiền độ đo trên A . Khi đó tồn tại   đại
số M trên X chứa A và độ đo  trên M là mở rộng của  , cụ thể    * | M với




 * xác định bởi  *  A   inf    A j  |  A j  j 1  A , A   A j  , A  P  X  .
j 1
 j 1


Hơn nữa nếu  là  - hữu hạn thì  là mở rộng duy nhất của  .
Nhận xét


11

Nếu E là họ sơ cấp sinh ra đại số A thì với một dãy  A j 


j 1

 A bất kì trong

kj

kj

A , mỗi phần tử Aj đều bằng  Akj với Akj  E rời nhau theo k và   Aj      Akj 
k 1



1
j

2
j

đồng thời dãy mới A , A ,..., A

kj
j

k 1






j 1

 E chứa A và



kj

   A      A  cho nên
k
j

j

j 1

j 1 k 1





ta có  *  A   inf    Aj  |  Aj   E , A   Aj  , A  P  X  .
j 1
j 1
 j 1


1.2.5. Độ đo đủ
Định nghĩa
Cho  X , M ,   là một không gian độ đo. Tập A M được gọi là tập không nếu

  A  0 . Theo tính chất cộng tính dưới, hợp của đếm được các tập không là tập

không.
Nếu A là tập không, B  A, B  M thì B cũng là tập không do tính chất đơn
điệu. Dĩ nhiên điều này chỉ đúng khi B  M .
Một không gian độ đo được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của một tập không
bất kì đều đo được, tức là nếu A  M ,   A   0 thì mọi B  A sẽ có B  M và khi
đó   B   0 .
Định lý 1.6
Cho  X , M ,   là một không gian độ đo. N   N  M |   N   0 ,
M   A  B | A  M , B  N , N  N  . Khi đó M là một  - đại số và tồn tại duy nhất


12

độ đo  trên M là mở rộng của  ,  là độ đo đầy đủ trên M . Hơn nữa ta có

  A  B     A  , A  M , B  N , N  N .
Độ đo  được gọi là bổ sung đầy đủ của độ đo  ,  - đại số M được gọi là bổ
sung đầy đủcủa  - đại số M tương ứng với độ đo  .

1.3. Độ đo Lebesgue trên 
Trường hợp X

  , ta gọi m là độ đo Lebesgue trên

 và họ các tập đo được

Lebesgue là L . Khi đó ta có các tính chất sau đây
Định lý 1.7
a) B  L tức là tất cả các tập Borel trong  đều đo được Lebesgue;
b) Độ đo Lebesgue là độ đo đủ,   hữu hạn nhưng không hữu hạn;

c) m  I   0 , với mọi I là tập hữu hạn hoặc đếm được. Hơn nữa với a, b  , a  b thì

m   a, b    m   a, b    m   a, b    m   a , b    b  a .
Định lý 1.8
Với A L thì
a) m  A  inf m U  | U  A,U môû
b) m  A   sup m  K  | K  A, K compact
Định lý này nêu lên tính chính quy của độ đo Lebesgue trên  .
Định lý 1.9
Cho A là một tập con của  . Khi đó các điều kiện sau là tương đương
a) A L .
b) A  V \ N1 trong đó V là tập G và m  N1   0 .
c) A  H  N 2 trong đó H là tập F và m  N 2   0 .


13

Định lý 1.10
Cho A L và s   , c   . Kí hiệu

s  A  s  x | x  A , cA  cx | x  A
Khi đó s  A  L , cA  L và m  s  A  m  A  , m  cA  c m  A  .

1.4. Hàm đo được và tính chất
1.4.1. Định nghĩa
Cho một không gian đo được  X , M  và A M .Một hàm số f : X   được
gọi là đo được trên tập A đối với   đại số M ,hoặc ngắn gọn là M  đo được trên A
, nếu với mọi a   thì  x  A, f  x   a  M .
Thường thì trên M có độ đo  , khi đó f cũng gọi là đo được với độ đo  trên A .
Trong trường hợp M là họ các tập đo được theo nghĩa Lebesgue thì f được gọi là đo

được theo nghĩa Lebesgue, hay đo được  L  . Nếu M là họ các tập đo được theo nghĩa
Borel thì f được gọi là đo được theo nghĩa Borel, hay là hàm số Borel.
Điều kiện trong định nghĩa có thể thay bằng một trong các điều kiện sau :
Với mọi a   thì  x  A, f  x   a  M
Với mọi a   thì  x  A, f  x   a  M
Với mọi a   thì  x  A, f  x   a  M


14

1.4.2. Tính chất
Định lý 1.11
Cho A M và hàm số f đo được trên A . Khi đó
a) Với B  A, B  M thì f đo được trên B;
b) Với mọi a   thì  x  A : f  x   a  M ;
c) Nếu f  x   c, x  A thì f đo được trên A;
d) Với k   là hằng số thì k. f đo được trên A.

Định lý 1.12
a) Nếu hàm số f đo được trên A M thì với mọi   0 hàm số f



cũng đo được trên

A;

b) Nếu các hàm số f và g đo được trên A M và hữu hạn thì các hàm số

f  g , f  g , f .g , f / g (nếu g không triệt tiêu), max  f , g  , min  f , g  là đo được

trên A
c) Nếu f n , n  1, 2,... là những hàm số đo được trên A M thì các hàm số
sup f n ,inf f n , lim f n , lim f n , lim f n đo được trên A .
n

n

n 

n 

n 

1.4.3.Hàm đơn giản và cấu trúc hàm đo được
Định nghĩa

0  x  A 
Cho A  X , hàm đặc trưng của A là  A  x   
1  x  A 

 A đo được khi chỉ khi A đo được.


15

Một hàm số f được gọi là hàm đơn giản nếu nó đo được và chỉ nhận hữu hạn các giá
trị hữu hạn. Gọi  i  i  1, 2,..., n  là các giá trị khác nhau của nó và Ai   x | f  x    i 
n

thì các tập Ai đo được, rời nhau và f  x     i  Ai  x  . Ngược lại, nếu f  x  có dạng

i 1

đó và các tập Ai đo được, rời nhau thì f  x  là hàm đơn giản.
Định lý 1.13
Mỗi hàm số f đo được trên tập A đều là giới hạn của dãy hàm đơn giản f n .
Nếu f là hàm số đo được, không âm trên A thì có dãy hàm đơn giản không âm tăng
đến f .

1.4.4. Tính chất hầu khắp nơi
Định nghĩa
Một tính chất P  x  được gọi là thỏa mãn hầu khắp nơi trên A nếu có tập B  A sao
cho   B   0 và tính chất P  x  thỏa mãn với mọi x  A \ B .
Ví dụ : Bằng nhau hầu khắp nơi (tương đương), hội tụ hầu khắp nơi, hữu hạn hầu khắp
nơi, liên tục hầu khắp nơi, khả tích hầu khắp nơi…

1.4.5. Hội tụ theo độ đo


16

Định nghĩa
Cho không gian độ đo  X , M ,   và A là một tập đo được, dãy hàm f n và hàm f đo
được trên A . Ta nói f n hội tụ đến f theo độ đo  trên A nếu với mọi   0 thì





  x  A | f n  x   f  x      0 khi n   .

1.5. Tích phân của một hàm đo được, tích phân Lebesgue
1.5.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm
Định nghĩa
Cho không gian độ đo  X , M ,   và A là một tập đo được. Hàm số f đơn giản không
n

n

âm trên A : f  x     i  Ai  x  với Ai đo được, rời nhau và A   Ai
i 1

i 1

n

Ta gọi số

   A  là tích phân của hàm
i

i

f theo độ đo  trên A và kí hiệu

i 1

n

 f  x  d  . Vậy  f  x  d       A  .
i

i

i 1

A

A

Giá trị tích phân không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm đơn giản.
Dễ thấy

 f  xd    f  x   x d .
A

A

Định lý 1.14

X


17

Nếu hai dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng f n , g n trên A và

lim f n  x   lim g n  x  thì lim  f n  x  d   lim  g n  x  d  .
n 

n 

n 

n 

A

A

1.5.2. Tích phân của hàm đo được không âm
Định nghĩa
Cho hàm đo được không âm f trên A đo được thì có dãy hàm đơn giản không âm f n
tăng tới f . Ta gọi tích phân của hàm f trên tập A đối với độ đo  là số (hữu hạn hay
vô cực)

 f  x  d   lim  f  x  d  . Tích phân này xác định duy nhất do định lý 1.14.
A

n 

n

A

1.5.3. Tích phân của hàm đo được bất kì
Định nghĩa
Cho hàm số f đo được có dấu bất kì trên A đo được. Đặt f  f   f  với

f   max  f ,0  0, f   max  f ,0  0 . Nếu hiệu số





 f  x d    f  x d 
A

có

A

nghĩa (tức là không có dạng    ) thì ta gọi nó là tích phân của hàm f trên tập A
đối với độ đo  . Vậy





 f  x d    f  x d    f  x d  .
A

A

A

Nếu tích phân này hữu hạn thì ta nói f khả tích trên A .

1.5.4. Tích phân Lebesgue
Định nghĩa

18

Nếu X   n , M  L n ,   m n (độ đo Lebesgue) thì tích phân định nghĩa như trên gọi
là tích phân Lebesgue và kí hiệu  f  x  dm n , hoặc  f  x  d   x  , hoặc  L   f  x  dx .
A

A

A

1.5.5. Tính chất của tích phân
Định lý 1.15
Cho không gian độ đo  X , M ,   và A, B, Bi  M . Ta có :
a)

 cd   c  A ,    x  d    
B

A

A

n

B A

 x  d     B  A 

A

n

n

   i  Bi  x d      i  Bi  A  x d    i   Bi  A
A i 1

A i 1

i 1

b) Nếu   A  0 và f đo được thì

 f  x  d   0;
A

c) Nếu   A    , f đo được và bị chặn trên A thì f khả tích trên A .
Định lý 1.16 (Các tính chất sơ cấp)
Dưới đây ta luôn giả thiết các hàm số và các tập được nói đến là đo được.
a) Cộng tính : Nếu A  B   thì

 f  x d    f  x d    f  x d 
A B

A

miễn là vế trái

B

hoặc vế phải của đẳng thức này có nghĩa.
Nếu B  A và

 f  x d 

tồn tại thì

A

 f  x d 

cũng tồn tại; nếu f khả tích trên A thì

B

sẽ khả tích trên B .
Nếu   B   0 thì

 f  x  d    f  x  d .
A B

A

b) Bảo toàn thứ tự :
Nếu f  g ( f  g h.k.n) trên A thì

 f  x  d    g  x  d .
A

A


19

Nếu f  g trên A thì

 f  x  d    g  x  d .
A

A

Nếu f khả tích trên A thì f hữu hạn hầu khắp nơi trên A .
Nếu f  0 trên A và

 f  x  d   0 thì

f  0 hầu khắp nơi trên A .

A

c) Tuyến tính :

 cf  x  d   c  f  x  d 
A

( c là hằng số).

A

  f  x   g  x  d    f  x  d    g  x  d 
A

A

miễn là vế phải có nghĩa.

A

d) Khả tích :
Nếu

 f  x d 
A

có nghĩa thì

 f  x  d    f  x  d .
A

A

f khả tích khi và chỉ khi f khả tích.
Nếu f  g hầu khắp nơi trên A và g khả tích thì f cũng khả tích.
Nếu f , g khả tích thì f  g khả tích.
Nếu f khả tích, g bị chặn thì f .g cũng khả tích.

1.5.6. Qua giới hạn dưới dấu tích phân
Định lý 1.17(Hội tụ đơn điệu)
Nếu dãy hàm không âm f n tăng đến f trên A thì lim  f n  x  d    f  x  d  .

n 

A

A

Hệ quả


a) Nếu dãy hàm đo được f n không âm trên A thì


A n 1



f n  x d     f n  x  d 
n 1 A


20





b) Nếu dãy hàm đo đươc f n không âm trên A và   f n  x  d    thì  f n  x    hầu
n 1

n 1 A



khắp nơi trên A và f  x    f n  x  khả tích trên A .
n 1

Định lý 1.18
Nếu dãy hàm đo được f n tăng đến f đo được trên A và f1 khả tích trên A thì
lim  f n  x  d    f  x  d 
n 

A

A

Định lý 1.19 (Hội tụ bị chặn)
Nếu f n , g đo được trên A thỏa mãn f n  g , g khả tích và f n hội tụ đến f (hầu khắp
nơi hoặc theo độ đo) trên A thì lim  f n  x  d    f  x  d  .
n 

A

A

1.5.7. Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
Định lý 1.20
Cho f là hàm bị chặn trên  a, b  . Khi đó :
b

a) f khả tích Riemann thì đo được Lebesgue và  f  x  dx   L 

a

 f  x  dx.

 a ,b 

b) f khả tích Riemann khi và chỉ khi f liên tục hầu khắp nơi trên A .


21

CHƯƠNG II : TÍCH CÁC ĐỘ ĐO
Cho hữu hạn các không gian và các độ đo trên chúng. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để
xây dựng độ đo trên không gian tích, dựa và độ đo trên các không gian thành phần?

2.1.Tích các  -đại số
Định nghĩa
Cho  X  I là một họ các tập khác rỗng. Tích Descartes X   X  và
 I

  : X  X  là ánh xạ tọa độ thứ  . Với mỗi  , cho M là một  - đại số trên X  .
Ta gọi  - đại số trên X sinh bởi họ E    1  A  | A  M ,  I  là  - đại
số tích của các  - đại số M .
Ta kí hiệu  - đại số này là  M .
 I

n

Nếu I  1,2,..., n thì ta kí hiệu là  Mi hoặc M1  M2  ...  Mn .
i1

Định lý 2.1



Nếu I là tập đếm được thì  M là  - đại số sinh bởi E '   A | A  M  ,
 I
 I

tức là M  E   M  E ' .
Chứng minh


M  E   M  E '
  I , A  M :   1  A    A  A  X  ,    
 I

Do X   M ,    nên   1  A   E '


22

 E  E '  M  E '  M  E   M  E '


M  E '  M  E 

A



    1  A   M  E   E '  M  E   M  E '  M  E 
 I

 I



Vậy  M  M   A | A  M  
 I

  I
Định lý 2.2
Nếu M sinh bởi E ,   I thì  M sinh bởi F1    1  A  | A  E ,  I  .
 I



Nếu I đếm được và X   E với mọi  thì  M sinh bởi F2   A | A  E  .
 I
I

Chứng minh
Hiển nhiên M  F1    M .
 I

Ta chứng minh E  M  F1  tức là   1  A   M  F1  ,   I , A  M .
Thật vậy, xét họ B   A  X  |   1  A   M  F1  khác rỗng do mọi A  E
đều thuộc B và họ này là một  - đại số trên X  .
Ta có





 Ai 1

 B    1  Ai   M  F1  , i



  1   Ai      1  Ai   M  F1 
 i 1  i 1


Suy ra  Ai  B
i 1



A  B    1  A   M  F1 
C

  1  AC     1  A    M  F1 
Suy ra AC  B


23

Vậy B là một  - đại số trên X  chứa E . Suy ra B  M
Do đó E  M  F1  và ta có  M  M  F1  .

 I

Nếu I đếm được và X   E với mọi  chứng minh tương tựđịnh lý trên.
Định lý 2.3
n

Cho X 1 , X 2 ,..., X n là các không gian metric và X   X i là không gian metric
i 1

n

n

tích. Khi đó  BX i  BX . Nếu tất cả các không gian X i khả ly thì  BX i  BX .
i1

i1

Chứng minh
n

Theo định lý 2.2 ta có  BX i sinh bởi các tập  i1 U i  ,1  i  n , U i mở trong X i
i1

n

Vì các ánh xạ chiếu liên tục nên các tập này mở trong X. Do đó  BX i  BX .
i1



 

Nếu các không gian X i đều khả ly thì tồn tại Di  xik

k 1

đếm được trù mật

trong X i , 1  i  n . Giả sử Si là họ các hình cầu tâm xik bán kính hữu tỉ trong X i .
Ta thấy Si là cơ sở của topo  i trên X i . Mỗi tập mở trong X i đều có thể viết
thành hợp đếm được của một số tập thuộc Si vì Si đếm được. Vì vậy BX i sinh bởi Si .
Tập các điểm trong X nhận xik làm tọa độ thứ i là trù mật trong X , topo 
trong X nhận họ S  B1  ...  Bn | Bi  Si  làm cơ sở. Mỗi tập mở trong X đều có thể
viết thành hợp đếm được của một số tập thuộc S vì S đếm được. Vì vậy BX sinh bởi
n

n

S . Suy ra  BX i  BX do  BX i  S .
i1
n

Vậy  BX i  BX .
i1

i1


24

Hệ quả
n

Vì  n là không gian khả ly nên  B  Bn .
i1

2.2. Xây dựng tích các độ đo
Cho các không gian độ đo  X i , Mi , i  , i  1,2,..., n

 n  2  .Vấn đề đặt ra là

n

xây dựng độ đo trên  Mi dựa vào các  i như thế nào? Ta thực hiện các bước sau đây
i1

2.2.1. Xây dựng một đại số
Định nghĩa
Cho các không gian độ đo  X i , Mi , i  với  i là  - hữu hạn, i  1, 2,..., n . Đặt

X  X 1  X 2  ...  X n . Ta gọi n-gian (tập chữ nhật hay tập chữ nhật đo được) trong X
là các tập G dạng A1  A2  ...  An trong đó Ai  Mi gọi là các cạnhcủa gian.
Bổ đề
Gọi E là họ tất cả các n-gian. Ta có E là một họ sơ cấp.
Chứng minh
i) Do   Mi , i  1, 2,..., n nên     ...      E
ii) Với G , H bất kì thuộc E thì tồn tại Ai , Bi  Mi sao cho G  A1  A2  ...  An ,

H  B1  B2  ...  Bn .Ta có :

G  H   A1  A2  ...  An    B1  B2  ...  Bn 
  A1  B1    A2  B2   ...   An  Bn   E

iii) Với G bất kì thuộc E thì tồn tại Ai  Mi sao cho G  A1  A2  ...  An . Ta chứng minh

GC là hợp hữu hạn các n-gian rời nhau.
Đặt Ei  X 1  ...  X i 1  AiC  X i 1  ...  X n  E , i  1, 2,..., n
n

Ta có G C   Ei
i 1


25

Đặt Fi  A1  ...  Ai 1  AiC  X i 1  ...  X n  E , i  1, 2,..., n
Giả sử j  i thì

Fi  Fj
  A1  ...  Ai 1  AiC  X i 1  ...  X n    A1  ...  A j 1  ACj  X j 1  ...  X n 
 A1  ...  Ai 1   AiC  Ai   ...

 do A

C
i



 Ai   

n

n

Ta chứng minh  Ei   Fi
i 1

i 1

n

n

Dễ thấy Fi  Ei nên  Fi   Ei
i 1

i 1

n

x   Ei , k  ,1  k  n : x  Ek hay x   x1 , x2 ,..., xn   G C
i 1

Nếu x1  A1C thì x  F1
Nếu x1  A1 thì xét x2
Nếu x1  A1C thì x  F2
Nếu x2  A2 thì xét x3
…
Nếu xn1  AnC1 thì x  Fn 1
Nếu xn1  An1 thì xét xn

Nếu xn  AnC thì x  Fn
Nếu xn  An thì x  G (Mâu thuẫn với giả thiết)
n

n

n

Suy ra x   Fi hay  Ei   Fi .
i 1

i 1

i 1

Do đó GC là hợp hữu hạn của các n-gian rời nhau.
Vậy E là một họ sơ cấp.
Gọi A là họ các hợp hữu hạn các n-gian rời nhau thì A là một đại số.