Luận văn thác sĩ tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN − TIN

Nguyễn Sĩ Trung

TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

TP. Hồ Chí Minh - 2011


Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Một số thứ tự trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Chuẩn đơn điệu − Chuẩn đơn điệu ngặt . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Một số chuẩn đơn điệu và chuẩn đơn điệu ngặt . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Hàm tăng - Hàm tăng ngặt - Hàm tăng mạnh . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6

Hàm sắp xếp thành phần sort (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.7

Tập mức − Tập mức ngặt − Đường mức . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.8

Tập Rp − bán compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.9

Tập Rp −compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.10 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.11 Hàm Rp −nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.12 Siêu phẳng tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.13 Diện của một tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.14 Định lí đối ngẫu cho bài toán quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . .

8

1.15 Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi Frank− Wolfe . . . . . . . . . .

9

1.16 Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi Rosen, Murtagh − Sargen . . .

10

2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu

12

2.1

Bài toán thực tế−Mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4

Phương án hữu hiệu−Tập các phương án hữu hiệu−Tập các điểm không
bị trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

16


2.5

Một số tính chất về tập các phương án hữu hiệu . . . . . . . . . . . . .

17

2.6

Tập các điểm không bị trội ổn định ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3 Một số bài toán liên quan

21

3.1

Bài toán tối ưu có trọng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.2

Bài toán tối ưu ε−ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.3

Bài toán Benson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.4

Bài toán điểm lí tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.5

Bài toán điểm lí tưởng có trọng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.6

Bài toán tối ưu có thứ tự ưu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.7

Bài toán “thứ tự từ điển” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.8

Bài toán “thứ tự cực đại” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.9

Bài toán thứ tự “lex−max” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

40

4.1

Một số định nghĩa liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.2

Cơ sở tối ưu−Cơ sở hữu hiệu−Hai cơ sở liền kề . . . . . . . . . . . . .

43

4.3

Biến cơ sở không hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.4

Thuật toán tìm cơ sở hữu hiệu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.5

Tính chất hình học của tập các phương án hữu hiệu . . . . . . . . . . .

52

2


Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, em đã cố gắng nỗ lực hết sức
mình. Để hoàn thành tốt luận văn này, em đã nhận được sự động viên, giúp đỡ tận
tình của gia đình, thầy cô và bạn bè. Nhân đây, em xin được gửi lời cảm ơn.
Đầu tiên, em chân thành cảm ơn thầy cô trong Khoa Toán – Tin trường đại học
Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, đã tận tình giảng dạy trong suốt các năm học vừa qua để
em có được kiến thức như ngày hôm nay mà kết quả của luận văn này đã phần nào
thể hiện.
Đặc biệt, em chân thành cảm ơn TS. Trịnh Công Diệu. Thầy là người đã giảng dạy
những kiến thức nền tảng và bước đầu hướng dẫn em nghiên cứu khoa học. Tiếp xúc
với thầy, em học hỏi được cách thức làm việc, tính cẩn thận trong nghiên cứu toán và
những bài học bổ ích trong cuộc sống. Thầy đã gieo cho em niềm thích thú tìm hiểu,
nghiên cứu sâu về bộ môn Toán Ứng Dụng.
Em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn của em đã động viên, khích lệ
tinh thần, giúp em có thêm niềm tin và sức mạnh trong thời gian qua. Tuy nhiên, do
thời gian và điều kiện nghiên cứu có hạn nên dù đã hết sức cố gắng những cũng khó
tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô
và các bạn để luận văn của em được hoàn thiện hơn.

3


Lời nói đầu
Lý thuyết tối ưu là một ngành toán học đang phát triển mạnh, và ngày càng có
nhiều ứng dụng quan trọng trong mọi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ và quản
lý hiện đại. Cuộc cách mạng công nghệ thông tin tạo điều kiện thuận lợi chưa từng
có để ứng dụng tối ưu hóa một cách rộng rãi và thiết thực. Ngược lại nó cũng nêu lên
nhiều vấn đề mới, quan trọng: khoa học kỹ thuật, công nghệ, quản lý, không thể xử lý
tốt nếu không sử dụng công cụ và tư tưởng tối ưu hóa. Quy hoạch tuyến tính là một
bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn của tối ưu hoá. Năm 1939 được
xem là năm đánh dấu sự ra đời của quy hoạch tuyến tính nói riêng và quy hoạch toán

học nói chung. Tuy nhiên trong thực tiễn chúng ta thường gặp những vấn đề, trong đó
cần cân nhắc, so sánh giữa nhiều mục đích khác nhau. Các mục tiêu này thường xung
đột, hạn chế lẫn nhau. Do đó, để có thể tìm được một lựa chọn phù hợp với yêu cầu đề
ra là không đơn giản. Vì vậy, nhu cầu phát triển và nghiên cứu lớp các bài toán tối ưu
đa mục tiêu ra đời. Cùng với sự phát triển của nó, các nhà toán học đã đạt được rất
nhiều kết quả quan trọng và ý nghĩa hết sức to lớn ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong
thực tiễn.
Mục đích của luận văn là trình bày những kiến thức cơ bản nhất về bài toán tối
ưu đa mục tiêu, về một cách nhìn nhận mới về khái niệm tối ưu trong tối ưu đa mục
tiêu. Luận văn bao gồm 4 chương:
•

Chương I: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị.

•

Chương II: Giới thiệu chung về bài toán tối ưu đa mục tiêu thông qua một vài
bài toán thực tiễn và mô hình toán học.

•

Chương III: Thông qua những bài toán phụ liên quan, chúng ta có thể hiểu rõ
thêm về bài toán tối ưu đa mục tiêu và sự lựa chọn các phương án.

•

Chương IV: Chương này sẽ đề cập đến một trường hợp đặc biệt và có một vai
trò quan trọng trong lớp các bài toán tối ưu đa mục tiêu. Đó chính là bài toán
tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số thứ tự trên Rn

1. Trong không gian Rn (n ≥ 2), cho hai vectơ x = (x1 , ..., xn ) và y = (y1 , ..., yn )
bất kì. Ta viết:
y nếu xi ≤ yi , ∀i = 1, ..., n.

•

x

•

x ≤ y nếu xi ≤ yi , ∀i = 1, ..., n và tồn tại i0 sao cho xi0 < yi0 .

•

x < y nếu xi < yi , ∀i = 1, ..., n.

•

x ≤lex y nếu x = y hay xk < yk trong đó k = min {1 ≤ i ≤ n : xi = yi }.

•

x ≤M O y nếu max |xi | ≤ max |yi |.
1≤i≤n

1≤i≤n

2. Ta có các kí hiệu sau:

1.2

•

Rn = {x ∈ Rn : x

•

Rn≥ = {x ∈ Rn : x ≥ 0}.

•

Rn> = {x ∈ Rn : x > 0}.

•

Cho X ⊂ Rn , ta kí hiệu X c = Rn \X.

0}.

Bổ đề Zorn

Cho S là một tập được sắp thứ tự. Nếu mọi tập con được sắp thứ tự toàn phần
của S đều có chặn dưới thì S có phần tử tối tiểu.
5


1.3

Chuẩn đơn điệu − Chuẩn đơn điệu ngặt

Trong không gian định chuẩn (Rn , . ), cho x1 = (x11 , ..., x1n ) và x2 = (x21 , ..., x21 ) bất
kì. Ta nói chuẩn . là:
•

Chuẩn đơn điệu nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Nếu |x1k | ≤ |x2k | , ∀k = 1, n thì x1 ≤ x2 .
2. Nếu |x1k | < |x2k | , ∀k = 1, n thì x1 < x2 .

•

Chuẩn đơn điệu ngặt nếu |x1k | ≤ |x2k | , ∀k = 1, n và có i0 để x1i0 ≤ x2i0 thì
x1 < x2 .

1.4

Một số chuẩn đơn điệu và chuẩn đơn điệu ngặt

1. Với 1 ≤ p < +∞, chuẩn lp là chuẩn đơn điệu ngặt:
1
p

n

x

p

|xk | p

=

, ∀x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rp

k=1

2. Chuẩn l∞ là chuẩn đơn điệu:
x

1.5

∞

= max |xk | , ∀x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rp
1≤k≤n

Hàm tăng - Hàm tăng ngặt - Hàm tăng mạnh

Ta nói hàm sR : Rn → R (n ≥ 2) là:
•

Tăng nếu ∀x, y ∈ Rn : x

•

Tăng ngặt nếu ∀x, y ∈ Rn : x < y thì sR (x) < sR (y).

•

Tăng mạnh nếu ∀x, y ∈ Rn : x ≤ y thì sR (x) ≤ sR (y).

y thì sR (x)

6

sR (y).


Hàm sắp xếp thành phần sort (x)

1.6

Cho x (x1 , ..., xn ) ∈ Rn bất kì. Ta định nghĩa hàm sort (x) = (sort1 (x) , ..., sortn (x))
thoả mãn sort1 (x) ≥ ... ≥ sortn (x) và sort1 (x) , ..., sortn (x) ∈ {x1 , ..., xn }.
Từ định nghĩa, ta suy ra sort1 (x) = maxni=1 xi .

Tập mức − Tập mức ngặt − Đường mức

1.7

Cho X ⊂ Rn , f : Rn → R và x0 ∈ X. Ta kí hiệu:
•

L≤ (f (x0 )) = {x ∈ X : f (x) ≤ f (x0 )} là tập mức của hàm f tại x0 .

•

L< (f (x0 )) = {x ∈ X : f (x) < f (x0 )} là tập mức ngặt của hàm f tại x0 .

•

L= (f (x0 )) = {x ∈ X : f (x) = f (x0 )} là đường mức của hàm f tại x0 .

1.8

Tập Rp − bán compact

Tập Y ⊂ Rp được gọi là Rp −bán compact nếu với mọi phủ mở của M có dạng
c

y i − Rp

1.9

: y i ∈ Rp , i ∈ I

ta đều có một phủ con hữu hạn.

Tập Rp −compact

Tập Y ⊂ Rp được gọi là Rp −compact nếu với mọi y ∈ Y , ta đều có y − Rp

Y

là tập compact.

1.10

Hàm nửa liên tục dưới

Cho X ⊂ Rn , f : X → R và x0 ∈ X. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại
x0 ∈ X nếu

lim

f (x) ≥ f (x0 ).

x∈M,x→x0

7


1.11

Hàm Rp −nửa liên tục

Hàm f : Rn → Rp được gọi là Rp −nửa liên tục nếu với mọi y ∈ Rp ta đều có
f −1 y − Rp

là tập đóng.

Bổ đề 1.1. Cho f : Rn → Rp với f = (f1 , ..., fp ). Khi đó, f là Rp −nửa liên tục khi

và chỉ khi fi là hàm nửa liên tục dưới với i = 1, ..., p.

1.12

Siêu phẳng tựa

Cho tập lồi X ⊂ Rn và x0 thuộc biên của X. Ta nói siêu phẳng H = {x ∈ Rn : a, x = b}
là siêu phẳng tựa của X tại x0 nếu {x0 } ∈ H

X, X

H và ta chỉ có một trong hai

điều sau:
•

X ⊂ {x ∈ Rn : a, x ≤ b}.

•

X ⊂ {x ∈ Rn : a, x ≥ b}.

1.13

Diện của một tập lồi đa diện

Cho tập lồi đa diện X ⊂ Rn . Diện của X là giao của X với một siêu phẳng tựa
của X.

1.14

Định lí đối ngẫu cho bài toán quy hoạch tuyến
tính

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính (I) và bài toán đối ngẫu của nó (II)

(I)



 cT x → min

(II)


 x ∈ X = x ∈ Rn : Ax = b



 bT u → max

 u ∈ D = u ∈ Rm : AT u

Định lí 1.1.
1. Đối ngẫu yếu: ∀x ∈ X, ∀u ∈ D :bT u ≤ cT x.
8

c

2. Nếu (I) có hàm mục tiêu không bị chặn thì (II) có tập phương án bằng rỗng và
ngược lại.
3. Đối ngẫu mạnh: Nếu X = ∅ và D = ∅ thì (I) và (II) có phương án tối ưu. Khi
đó, ta còn có giá trị tối ưu của hai bài toán này là bằng nhau.

1.15

Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi Frank−
Wolfe

Cho bài toán quy hoạch lồi có dạng:

(I)





minx∈M f (x)


 M = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}
trong đó A ∈ Mm×n (R), b ∈ Rm cho trước và f : Rn → R là hàm lồi.
Với các giả thiết được nêu bên dưới, bài toán (I) có phương án tối ưu và ta có thể
tìm được phương án tối ưu x∗ này với sai số ε chấp nhận được bằng cách xây dựng
một dãy phương án (xn ) ⊂ M thỏa mãn x∗ ∈ {xn } (nếu dãy phương án là hữu hạn)
và limn→+∞ xn = x∗ (nếu dãy phương án là vô hạn).
1. Hàm f (x) khả vi liên tục trên Rn .
2. Với mỗi x ∈ M cố định, hàm g (z) = f (x) , z bị chặn dưới trong M .
Dữ liệu đầu vào: hàm lồi f : Rn → R , A ∈ Mm×n (R) , b ∈ Rm và ε > 0 là sai số

chấp nhận được.
Giải thuật:
•

Bước 1: tìm x0 ∈ M bằng cách giải hệ phương trình Ax = b. Sang bước 2.

•

Bước 2: giả sử đã có xn (n ≥ 0). Giải bài toán min f (xn ) , x − xn để tìm phương
x∈M

án tối ưu yn . Sang bước 3.
•

Bước 3:
9


– Nếu f (xn ) , yn − xn ≥ 0 hay f (xn ) , xn − yn ≤ ε thì dừng thuật toán.
– Nếu f (xn ) , xn − yn > ε thì tìm λn ∈ [0, 1] để
f [xn + λn (yn − xn )] = min f [xn + λ (yn − xn )]
1≤λ≤1

Đặt xn+1 = xn + λn (yn − xn ). Quay lại bước 2.
Dữ liệu xuất: phương án xn thỏa mãn |f (xn ) − f (x∗ )| ≤ ε.

1.16

Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi Rosen,
Murtagh − Sargen

Cho bài toán quy hoạch lồi sau:

(I)





minx∈M f (x)


 M = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, ∀i = 1, ..., m}
trong đó f (x) , g1 (x) , ..., gm (x) là các hàm lồi.
Với các giả thiết được nêu bên dưới, bài toán (I) có phương án tối ưu và ta có thể
tìm được phương án tối ưu x∗ này với sai số ε chấp nhận được bằng cách xây dựng
một dãy phương án (xn ) ⊂ M thỏa mãn x∗ ∈ {xn } (nếu dãy phương án là hữu hạn)
và lim xn = x∗ (nếu dãy phương án là vô hạn).
n→+∞

1. Các hàm f, g1 , ..., gm khả vi liên tục trên Rn .
2. Điều kiện Slater: tồn tại x0 ∈ M sao cho gi (x0 ) < 0, ∀i = 1, ..., m.
3. M là tập bị chặn.
Dữ liệu đầu vào: các hàm lồi f, g1 , ..., gm .
Giải thuật:
•

Bước 1: tìm phương án x0 thỏa mãn điều kiện Slater và xây dựng một đa diện
lồi Q cố định chứa M .
10

•

Bước 2: giả sử đã có xn (n ≥ 0). Ta thực hiện:
– Xây dựng tập P (xn ) = {x ∈ Rn : g (xn ) , x − xn ≤ −g (xn ) , ∀i = 1, ..., m}.
– Giải bài toán quy hoạch tuyến tính

min
x∈Q

P (xn )

f (xn ) , x − xn để tìm phương

án tối ưu yn . Sang bước 3.
•

Bước 3:
– Nếu f (xn ) , yn − xn ≥ 0 hay f (xn ) , xn − yn ≤ ε thì dừng thuật toán.
– Nếu f (xn ) , xn − yn > ε thì sang bước 4.

•

Bước 4:
– Đặt zn = yn − xn + εn (x0 − xn ) trong đó:
εn = min 1,

f (xn ) , xn − yn
2 | f (xn ) , x0 − yn |

– Giải bài toán min {f (xn + λzn ) : λ ≥ 0, xn + λzn } để tìm λn sao cho:
f (xn + λn zn ) = min {f (xn + λzn ) : λ ≥ 0, xn + λzn }

– Đặt xn+1 = xn + λn zn . Quay lại bước 2.
Dữ liệu xuất: phương án xn thỏa mãn |f (xn ) − f (x∗ )| ≤ ε.

11


Chương 2
Bài toán tối ưu đa mục tiêu
2.1

Bài toán thực tế−Mô hình toán học

Nhằm hiểu rõ hơn về những ứng dụng thực tiễn và quá trình xây dựng bài toán tối
ưu đa mục tiêu, chúng ta sẽ xem xét một vài ví dụ sau:
1. Xây dựng đập nước cho nhà máy điện
Đối với việc xây dựng một đập nước, nhà cung cấp điện quan tâm đến dung
lượng lưu trữ tối đa trong khi đồng thời giảm thiểu mất nước do bay hơi và chi
phí xây dựng. Một quyết định phải được thực hiện vào thời gian tiến hành xây
dựng cũng như là bán kính của hồ, vàcũng phải tôn trọng hạn chế nhất định như
khả năng chịu đựng áp lực nước tối thiểu của đập. Ở đây, các lựa chọn thay thế
(về thiết kế đập có thể) rất đa dạng. Những tiêu chí được xem như là hàm số
của các biến và được quyết định bởi mục đích của nhà cung cấp điện. Rõ ràng
các tiêu chí này chứa đựng những xung đột, chẳng hạn một đập nước với dung
lượng lưu trữ lớn chắc chắn sẽ có cấu trúc phức tạp và chi phí xây dựng không
nhỏ.
2. Phương pháp xạ trị trong điều trị ung thư

Mục đích của phương pháp xạ trị trong điều trị ung thư là tiêu diệt một khối
u bằng việc phá hủy DNA của những tế bào ung thư, phương pháp ấy làm cho
chúng không thể tái tạo lại được. Điều này được làm bằng cách tập trung những
chùm tia có cường độ được điều biến vào bệnh nhân từ nhiều hướng chiếu. Việc
12


điều biến cường độ được thực hiện bởi một thiết bị tên là ống chuẩn trực đa tấm
(multileaf collimator). Về cơ bản, nó cho phép chia nhỏ những chùm tia thành
những chùm con trong một mẫu lưới hình chữ nhật để cho cường độ của mỗi
chùm con có thể được thiết lập một cách độc lập. Với những hướng cho trước
các chùm tia, một bản đồ cường độ định nghĩa cường độ bức xạ mỗi chùm tia
con của tất cả các hướng chiếu. Bản đồ cường độ được quyết định dựa trên một
đơn thuốc điều trị, đơn thuốc đó đưa đến việc hình thành biên thấp và cao của
liều lượng bức xạ được bắn đến khối u cũng như giới hạn trên của liều lượng bức
xạ bắn tới những cấu trúc giới hạn (ví dụ như những cơ quan còn khỏe mạnh)
và các mô bình thường. Liều lượng bức xạ phân bố trong cơ thể phụ thuộc vào
cường độ của chùm bức xạ dưới một dạng tuyến tính. Đặt x ∈ Rn là một vector
mô tả một bản đồ cường độ, trong đó n là tổng số các chùm con. Cơ thể bệnh
nhân được rời rạc hóa thành m điểm định lượng dựa trên ảnh chụp cộng hưởng
từ (MRI) hoặc quét CT (computed tomography) cắt lớp được tính toán trước.
Ax là liều lượng được bắn tới những điểm định lượng, với A là một ma trận cấp
m × n. Giả sử rằng chúng ta có l các cấu trúc giới hạn (critical structures), chúng
ta có thể chia những dòng của A dựa trên tập hợp những điểm định lượng trong
khối u T , trong l cấu trúc giới hạn Si (i = 1, ..., l) hoặc trong N mô bình thường
và do đó hình thành nên những ma trận con AT , ASi , AN . Đặt lT biểu thị cho
liều lượng được chỉ định để điều trị khối u, uT là một biên trên của liều lượng
chiếu vào khối u, uSi là những biên trên của liều lượng chiếu vào cấu trúc giới
hạn i, uN là biên trên của liều lượng chiếu vào mô bình thường. Chúng ta giả sử
rằng những biên này theo thứ tự áp dụng đến mọi điểm định lượng trong khối

u, cấu trúc giới hạn và mô bình thường. Một cách lý tưởng, chúng ta muốn thiết
kế mộy phép trị bệnh chiếu một lượng đồng dạng của lT đến khối u và không có
một lượng nào đến những cấu trúc giới hạn cũng như mô bình thường. Thông
thường, về mặt vật lý điều này là không thể, chúng ta phải chấp nhận vài liều
lượng dưới chỉ định zT trong khối u hay vượt chỉ định zCi (i = 1, ..., l) và zN trong
những cấu trúc giới hạn và mô bình thường. Một điều tất nhiên, các giá trị zT ,
zSi , . . . ., zCi nên được giữ một cách nhỏ nhất có thể.

13


Ta có được mô hình toán học cho vấn đề trên:




















































zT , zS1 , ..., zSl → min
AT x ≤ uT
AT x + zT e ≥ lT
ASi x − zSi e ≤ uSi (i = 1, .., l)
AN x − zN e ≤ uN
zSi ≥ −uSi (i = 1, ..., l)
zN ≥ 0
x

0

3. Kế hoạch phát triển của công ty
Một công ty dự kiến phát triển ba loại sản phẩm mới nhằm thay thế cho ba
sản phẩm cũ đã lỗi thời. Giám đốc cân nhắc đến các mục tiêu chính: lợi nhuận,
vốn đầu tư, chất lượng sản phẩm và nhu cầu lao động có tay nghề. Dù vậy nhưng
lợi nhuận và chất lượng sản phẩm được đặt lên hàng đầu và ưu tiên cần phải đạt
được hoạch định đề ra, hai mục tiêu còn lại có thể thay đổi trong giới hạn cho
phép. Tuy nhiên, rõ ràng hai mục tiêu lợi nhuận và chất lượng sản phẩm chứa
đựng những mâu thuẫn với nhau ví dụ như để chất lượng sản phẩm tốt thì chi
phí sản xuất sẽ cao dẫn đến lợi nhuận thấp và cần nhiều vốn đầu tư.
Qua một vài ví dụ trên, ta thấy cần phải xây dựng một mô hình tổng quát cho
những bài toán thực tế. Mặt khác, cũng từ ba mô tả về các hàm mục tiêu ta nhận ra
có các loại bài toán tối ưu đa mục tiêu quan trọng như sau:
•

Bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm mục tiêu được phân loại, mục đích lựa
chọn các phương án đã xác định tương đối rõ ràng.

•

Bài toán tối ưu đa mục tiêu với mục đích cần sự điều chỉnh phù hợp với thực tế
và sự lựa chọn các phương án phụ thuộc vào người sử dụng.

14


2.2

Giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu

1. Cho n, p ∈ N∗ , X ⊂ Rn và các hàm số f1 , ..., fp : Rn → R . Bài toán tìm:



minf1 (x)



 x∈X
.....





 minfp (x)
x∈X

được gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu.
•

X được gọi là tập các phương án chấp nhận được.

•

f1 , ..., fp được gọi là các hàm mục tiêu.

•

Y = f (X) được gọi là tập giá trị.

•

Để thuận tiện cho việc kí hiệu, ta viết lại bài toán tối ưu đa mục tiêu như
sau: minf (x) với f = (f1 , ..., fp ).
x∈X

2. Phương án x∗ ∈ X được gọi là phương án tối ưu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
nếu fi (x∗ ) ≤ fi (x) , ∀i = 1, ..., p, ∀x ∈ X.
3. Nếu tồn tại ykI = minfk (x) , ∀k = 1, p thì y I = y1I , ..., ypI được gọi là điểm lí
x∈X

tưởng của bài toán tối ưu đa mục tiêu.
=⇒Từ định nghĩa của điểm lí tưởng, ta nhận thấy nếu y I ∈ f (X) thì bài toán
tối ưu đa mục tiêu minf (x) có phương án tối ưu.
x∈X

Sau đây, ta sẽ mở rộng cách nhìn nhận về hàm mục tiêu của bài toán tối ưu đa mục

tiêu. Từ đó, ta sẽ xây dựng được các lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát hơn.

2.3

Lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát

Cho n, p ∈ N∗ , X ⊂ Rn , f : Rn → Rp với f = (f1 , ..., fp ), tập được sắp thứ tự
(Rm , ) và θ : Rp → Rm . Bài toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát là bài toán tìm
minθ (f (x)).
x∈X

15


•

X được gọi là tập phương án.

•

f được gọi là hàm mục tiêu.

•

Phương án x∗ ∈ X được gọi là phương án tối ưu nếu không tồn tại x ∈ X\ {x∗ }
để θ (f (x)) ≺ θ (f (x∗ )).

Tuy nhiên, trong tài liệu này chúng ta đề cập chủ yếu về các quan hệ thứ tự: ≤,
≤lex , ≤M O và θ ≡ Id, m = p. Do sự tồn tại của phương án tối ưu của bài toán tối ưu
đa mục tiêu là không đảm bảo nên tiếp theo sau, ta sẽ được giới thiệu về một cách

nhìn mới về tối ưu trong bài toán tối ưu đa mục tiêu với quan hệ thứ tự ≤ trên Rp và
θ ≡ Id.

2.4

Phương án hữu hiệu−Tập các phương án hữu
hiệu−Tập các điểm không bị trội

1. Phương án x∗ ∈ X được gọi là phương án hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục
tiêu (hay tối ưu Pareto) nếu không tồn tại x ∈ X\ {x∗ } để f (x) ≤ f (x∗ ).
•

f (x∗ ) được gọi là điểm không bị trội.

•

Tập các phương án hữu hiệu kí hiệu là XE .

•

Tập các điểm không bị trội kí hiệu là YN .

2. Với x1 , x2 ∈ X, nếu f (x1 ) ≤ f (x2 ) thì ta nói x1 trội hơn x2 .
3. Sau đây là một số định nghĩa khác về phương án hữu hiệu tương đương với định
nghĩa ban đầu: x∗ ∈ X là phương án hữu hiệu nếu ta có một trong những điều
sau:
(a) Không tồn tại x ∈ X sao cho fk (x) ≤ fk (x∗ ) , ∀k = 1, p và fk0 (x) < fk0 (x∗ )
với 1 ≤ k0 ≤ p nào đó.
(b) Không tồn tại x ∈ X để f (x) − f (x∗ ) ∈ −Rp \ {0}.
(c) ∀x ∈ X, f (x) − f (x∗ ) ∈ Rp \ −Rp \ {0} .

16


f (x∗ ) − Rp

(d) f (X)

= {f (x∗ )}.

(e) Không tồn tại y ∈ Y \ {f (x∗ )} để y ∈ f (x∗ ) − Rp .
f (x∗ ) với x ∈ X nào đó thì f (x) = f (x∗ ).

(f) Nếu f (x)

Với định nghĩa nêu, ta thấy rõ khả năng tồn tại các phương án hữu hiệu là cao hơn
hẳn sự tồn tại của phương án tối ưu. Vì vậy khả năng áp dụng vào việc xây dựng mô
hình cho các bài toán thực tiễn sẽ tốt hơn. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số tính
chất về hai tập hợp XE và YN .

2.5

Một số tính chất về tập các phương án hữu hiệu

Định lí 2.1. Cho x∗ ∈ X và yk∗ = fk (x∗ ) , ∀k = 1, p. Khi đó:
p
∗

p

L≤ (yk∗ )

x ∈ XE ⇐⇒
k=1

L= (yk∗ )

=
k=1

Chứng minh. x∗ ∈ XE
⇐⇒ không tồn tại x∈ X\ {x∗ } để fk (x) ≤ fk (x∗ ) ,∀k = 1, p có 1 ≤ i ≤ p để
fi (x) < fi (x∗ ).
⇐⇒ không tồn tại x∈ X\ {x∗ } để fk (x) ≤ fk (x∗ ) ,∀k = 1, p có 1 ≤ i ≤ p để
fi (x) < fi (x∗ ).

p
∗

L≤ (yk∗ ) có 1 ≤ i ≤ p để x ∈ L< (yi∗ ).

⇐⇒ không tồn tại x∈ X\ {x } để x ∈
p

⇐⇒

k=1

p

L≤ (yk∗ ) =

k=1

L= (yk∗ ).
k=1

Định lí 2.2. Cho Y = ∅ và quan hệ thứ tự
y 0 ∈ Y để Y 0 = {y ∈ Y : y

thông thường trên Rp . Giả sử tồn tại

y 0 } là tập compact. Khi đó, YN = ∅.

Chứng minh.
Ý tưởng chính là dựa vào Bổ Đề Zorn mục 1.2 để chứng minh sự tồn tại phần
tử tối tiểu y ∗ ∈ Y 0 và chứng minh y ∗ ∈ YN . Thật vậy, lấy Y I = {y i : i ∈ I} là một
tập con được sắp thứ tự toàn phần bất kì của Y 0 và đặt
Y i = y i − Rp

Y 0 , ∀i ∈ I.
17

:= {J ⊂ I : |J| < +∞},


Với J ∈

bất kì, tồn tại y J = inf {y i : i ∈ J} ∈ Y J vì Y I là tập được sắp thứ tự

toàn phần và J ⊂ I là tập hữu hạn. Suy ra

i∈J

Y i = ∅. Mặt khác, với mọi i ∈ J, Y i

là tập con đóng của tập compact Y 0 nên Y i là tập compact. Vì vậy, ta có
có nghĩa là tồn tại y ∈

i∈I

Y i = ∅. Điều này cho thấy y

i∈I

Y i = ∅,

y i , ∀i ∈ I có nghĩa là y là

một chặn dưới của Y I . Do đó, theo Bổ Đề Zorn mục 1.2 tồn tại y ∗ là phần tử tối tiểu
của Y 0 .
Ta sẽ chứng minh y ∗ ∈ YN . Giả sử phản chứng: y ∗ ∈
/ YN , có nghĩa là tồn tại y ∈ Y
để y ≤ y ∗ . Khi đó, ta có:
y ∈ y ∗ − Rp

Y

⊂

Y − Rp

y 0 − Rp

Y

Y − Rp = Y 0 − Rp

⊂ y 0 − Rp

Từ đó suy ra y ∈ Y 0 và y ≤ y ∗ (mâu thuẫn với tính tối tiểu của y ∗ ). Vậy ta có
điều cần chứng minh: y ∗ ∈ YN nên YN = ∅.
Định lí 2.3. Cho Y = ∅ và là Rp −bán compact. Khi đó, YN = ∅.
Chứng minh.
Ý tưởng chính là dựa vào Bổ Đề Zorn mục 1.2 để chứng minh sự tồn tại phần
tử tối tiểu y ∗ của Y . Khi đó, ta sẽ có ngay y ∗ ∈ YN . Giả sử phản chứng: tồn tại
Y = {y i : i ∈ I} là một tập con được sắp thứ tự toàn phần của Y mà không có chặn
dưới.
y i − Rp

Y

=∅

i∈I

Do đó với mỗi y ∈ Y , tồn tại y i ∈ Y để y ∈
/ y i − Rp

y i − Rp

nên

c

:i∈I

là một phủ mở của Y . Do Y là Rp −bán compact nên tồn tại một tập con hữu hạn
J ⊂ I để Y ⊂

i∈J

c

y i − Rp

.

Mặt khác, do Y là tập được sắp thứ tự toàn phần và J ⊂ I là tập hữu hạn nên
∃y 0 = inf {y i : i ∈ J} ∈ Y . Khi đó, ta có y 0 − Rp
Suy ra Y ⊂

y 0 − Rp

c

cho nên y 0

c

⊂ y i − Rp

c

.

y i , ∀i ∈ I và y 0 ∈
/ Y (mâu thuẫn với

y 0 ∈ Y ⊂ Y ). Vậy ta suy ra mọi tập con được sắp thứ tự của Y đều có chặn dưới
nên theo Bổ Đề Zorn mục 1.2, tồn tại phần tử tối tiểu y ∗ của Y . Điều này có nghĩa là
y∗

y,∀y ∈ Y hay YN = ∅.
18


Định lí 2.4. Cho Y là Rp −compact. Khi đó, ta có Y là Rp −bán compact.
Chứng minh.
Lấy
ta có

y i − Rp
y i − Rp

c

c

: y i ∈ Y, i ∈ I

: y i ∈ Y, i ∈ I\ {i0 } là một phủ mở của y i0 − Rp

thiết, ta có y i0 − Rp
để y i0 − Rp

là một phủ mở bất kì của Y. Chọn i0 ∈ I bất kì,
Y . Theo giả

Y là tập compact nên suy ra tồn tại tập J ⊂ I\ {i0 } hữu hạn

Y ⊂

c

y i − Rp

i∈J

. Từ đó suy ra

i∈J

{i0 }

c

y i − Rp

là một phủ

con hữu hạn của Y. Vậy Y là Rp −bán compact.

Hệ quả 2.4.1. Nếu Y = ∅ và là Rp −compact thì YN = ∅.
Chứng minh. Đây là kết quả thu được từ Định lí 2.3 và Định lí 2.4.
Mệnh đề 2.1. Cho X = ∅ là tập compact và f là Rp −nửa liên tục. Khi đó XE = ∅.
Chứng minh.
Ý tưởng chính là chứng minh Y là Rp −bán compact và áp dụng Định lí 2.3.
y i − Rp

Thật vậy, lấy một phủ mở bất kì của Y có dạng
Rp −nửa liên tục nên

f −1

y i − Rp

c

: y i ∈ Y, i ∈ I . Do f là

c

là một phủ mở của X. Mặt khác, X là

i∈I,y i ∈Y

f −1

tập compact nên tồn tại tập hữu hạn J ⊂ I để

y i − Rp

c

là phủ mở

i∈J,y i ∈Y

của X. Từ đó suy ra là

y i − Rp

c

: y i ∈ Y, i ∈ J

một phủ con hữu hạn của Y .

Mà X = ∅ nên Y = ∅. Áp dụng Định lí 2.3, ta có được YN = ∅, có nghĩa là
XE = ∅.

2.6

Tập các điểm không bị trội ổn định ngoài

Tập YN được gọi là ổn định ngoài nếu ∀y ∈ Y \YN , ∃y ∗ ∈ YN : y ∈ y ∗ + Rp .
=⇒Nếu YN là ổn định ngoài thì ∀y ∈ Y \YN , ∃y ∗ ∈ YN : y ∗ ≤ y.
Định lí 2.5. Cho Y = ∅ và là Rp −compact. Khi đó, YN là ổn định ngoài.
Chứng minh.
YN = ∅ với Y = y − Rp

Lấy y ∈ Y bất kì, ta sẽ chứng minh Y

Y = ∅. Do

đó, ta chỉ cần chứng minh YN = ∅ và YN ⊂ YN . Thật vậy, vì Y là Rp −compact và
19


Y ⊂ Y đóng nên Y là tập compact. Khi đó, với mỗi y ∈ Y : y − Rp

Y cũng là

tập compact nên Y là Rp −compact. Theo Hệ quả 2.4.1, ta có YN = ∅.
Giả sử ∃y 0 ∈YN \YN . Khi đó, ∃y 1 ∈ Y : y 1 ≤ y 0 . Từ đó suy ra y 1 ≤ y 0 ≤ y, có nghĩa
là y 1 ∈ Y (mâu thuẫn với tính không bị trội của y 0 ∈ Y ). Do đó, YN ⊂ YN .
Vậy ta có điều phải chứng minh.

20


Chương 3
Một số bài toán liên quan
Cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với quan hệ thứ tự ≤ trên Rp , θ ≡ Id, tập các
phương án X và hàm mục tiêu f : Rn → Rp trong đó f = (f1 , ..., fp ). Do việc tồn tại
phương án tối ưu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu bất kì đòi hỏi những điều kiện
khó khăn và nếu phương án tối ưu này tồn tại thì để xác định nó không phải là đơn
giản. Vì vậy, trong tài liệu này chúng ta sẽ giải bài toán tối ưu đa mục tiêu theo quan
điểm tối ưu Pareto. Những bài toán và tính chất được phát biểu trong chương này sẽ
cho chúng ta một vài phương pháp để xác định phương án hũu hiệu. Thông qua đó,
chúng ta có thể hiểu rõ thêm về sự tồn tại phương án hữu hiệu của bài toán tối ưu đa
mục tiêu.

3.1

Bài toán tối ưu có trọng số
p

λk fk (x) với λ = (λ1 , ..., λp ) ∈ Rp

Bài toán tối ưu có trọng số là bài toán tìm min
x∈X

k=1

cho trước
Với Y = f (X) và λ ∈ Rp cho trước, ta có các kí hiệu sau:
•

•

S (λ, Y ) =

y ∗ ∈ Y : λ, y ∗ = min λ, y

S (Y ) =

S (λ, Y ).

y∈Y

λ∈Rp>

Mệnh đề 3.1. S (Y ) ⊂ YN .
21

.


Chứng minh. Lấy y ∗ ∈ S (Y ) bất kì, tồn tại λ ∈ Rp> sao cho λ, y ∗ ≤ λ, y , ∀y ∈ Y .
Giả sử y ∗ ∈
/ YN . Khi đó, tồn tại y ∈ Y \ {y ∗ } để y ≤ y ∗ . Suy ra λ, y < λ, y ∗ vì
λ ∈ Rp> (mâu thuẫn với y ∗ ∈ S (Y )). Vậy S (Y ) ⊂ YN .
Mệnh đề 3.2. Nếu S (λ, Y ) = {y ∗ } thì y ∗ ∈ YN .
Chứng minh. Giả sử có λ ∈ Rp sao cho S (λ, Y ) = {y ∗ } và y ∗ ∈
/ YN . Suy ra, tồn tại
y ∈ Y \ {y ∗ } để y ≤ y ∗ . Do đó, λ, y < λ, y ∗ vì λ ∈ Rp . Mà S (λ, Y ) = {y ∗ } nên ta
có y = y ∗ (mâu thuẫn với y ≤ y ∗ ). Vậy y ∗ ∈
/ YN .
Ví dụ 3.1. Trong không gian R2 , cho bài toán tối ưu sau:

(I)



 f (x, y) = (x − y, x2 + y 2 ) → min

 x4 + 4x3 + 4x2 + 1 ≤ y ≤ 10

Với λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 , xét bài toán tối ưu có trọng số sau:

(II)



 λ1 (x − y) + λ2 (x2 + y 2 ) → min

 x4 + 4x3 + 4x2 + 1 ≤ y ≤ 10

Giải bài toán (II) với λ = (1, 0) và λ = (2, 1).
1. Với λ = (0, 1), (II) trở thành:

(II)



 (x − y) → min

 x4 + 4x3 + 4x2 + 1 ≤ y ≤ 10

Khi đó, từ điều kiện x4 + 4x3 + 4x2 + 1 ≤ y ≤ 10 ta có: x ≥ −3 và y ≤ 10. Vì vậy
(II) có giá trị tối ưu là −13 và phương án tối ưu duy nhất là (x, y) = (−3, 10).
Theo Mệnh đề 3.2 ta tìm được một phương án hữu hiệu của (I) là (−3, 10).
2. Với λ = (2, 1), (II) trở thành:

(II)



 x2 + 2x + y 2 − 2y → min

 x4 + 4x3 + 4x2 + 1 ≤ y ≤ 10

22


Hình 3.1: Biểu diễn hình học các yếu tố trong(II)
Suy ra việc giải (II) tương đương với việc tìm trên một phần đường cong (C) :
y = x4 + 4x3 + 4x2 + 1 với −3 ≤ x ≤ 1 điểm M sao cho bình phương khoảng
cách từ M đến A (−1, 1) là nhỏ nhất, có nghĩa là giá trị nhỏ nhất của hàm số
g (x) = x4 (x + 2)4 + (x + 1)2 với x ∈ [−3, 1]. Bằng cách đặt t = (x + 1)2 ∈ [0, 4]
và khảo sát hàm số h (t) = t + (t − 1)4 ta tìm được giá trị tối ưu của (II) là
√
√
4 3 4 − 3 /4 3 4 và có hai phương án tối ưu. Vậy ta tìm được hai phương án hữu
hiệu của (I) theo Mệnh đề 3.1.

3.2

Bài toán tối ưu ε−ràng buộc

Với mỗi k ∈ {1, ..., p}, bài toán tối ưu ε− ràng buộc thứ k là bài toán sau:




fk (x) → min



(εCk )
fi (x) ≤ εi , ∀i ∈ {1, ..., p} \ {k}






 x∈X
trong đó εi , ≥ 0 (i = k) là các số thực cho trước.
23


Mệnh đề 3.3. Nếu x∗ là phương án tối ưu duy nhất của (εCk ) với ε = (ε1 , ..., εp ) và
1 ≤ k ≤ p nào đó thì x∗ ∈ XE .
Chứng minh. Giả sử x∗ là phương án tối ưu duy nhất của (εCk ) với ε = (ε1 , ..., εp ) và
1 ≤ k ≤ p và x∗ ∈
/ XE . Suy ra tồn tại x ∈ X\ {x∗ } thỏa mãn f (x) ≤ f (x∗ ). Do đó,
x cũng là phương án chấp nhận được của bài toán (εCk ) và fk (x) ≤ fk (x∗ ) nên x là
phương án tối ưu của (εCk ). Suy ra x = x∗ (mâu thuẫn với x = x∗ ).
Vậy ta có điều cần chứng minh..
Định lí 3.1. x∗ ∈ X là phương án hữu hiệu khi và chỉ khi tồn tại ε ∈ Rp sao cho x∗
là phương án tối ưu của (εCk ) với mọi k ∈ {1, ..., p}.
Chứng minh.
(=⇒) Giả sử x∗ là phương án hữu hiệu. Ta sẽ chứng minh với ε = f (x∗ ), x∗ là
phương án tối ưu của của (εCk ) với mọi k = 1, ..., p. Thật vậy, giả sử có 1 ≤ k ≤ p để
tồn tại x ∈ X\ {x∗ } sao cho fj (x) ≤ εj = fj (x∗ ) , ∀j = k và fk (x) < fk (x∗ ). Từ đó
suy ra f (x) ≤ f (x∗ ) (mâu thuẫn với x∗ ∈ XE ). Vậy ta có điều cần chứng minh.
(⇐=) Giả sử tồn tại ε ∈ Rp sao cho x∗ là phương án tối ưu của (εCk ) với mọi
k ∈ {1, ..., p}.
Nếu x∗ ∈
/ XE thì tồn tại x ∈ X\ {x∗ } sao cho f (x) ≤ f (x∗ ). Điều này cho biết có
1 ≤ k ≤ p để fk (x) < fk (x∗ ) và fj (x) ≤ fj (x∗ ) , ∀j = k. Suy ra x∗ không là phương
án tối ưu của bài toán (εCk ) (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy x∗ ∈ XE .
Định lí 3.2. Cho λ = (λ1 , ..., λp ) ∈ Rp> . x∗ ∈ X là phương án hữu hiệu khi và chỉ khi
x∗ là phương án tối ưu của bài toán sau:

(I)










p

λk fk (x) → min
k=1

f (x) f (x∗ )






 x∈X

Chứng minh.

24