TÓM tắt lý THUYẾT và GIẢI NHANH TOÁN 12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TểM TT Lí THUYT V GII NHANH TON 12

fb
.c

PHặN 1. HM S

o

S NG BIN NGHCH BIN CA HM S

m

1. nh nghùa

x1, x 2 K , x 1 x 2 ( K l khoõng hoc on hoc na khoõng).



f x f x y f x nghch bin trờn K th i xung t trỏi sang phõi.
Chỳ ý: + N u f x 0, x a ;b hm s f x ng bi n tr n khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a; b hm s f x nghch bi n trờn khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a ;b hm s f x h ng i trờn khoõng a;b .
+ N u f x ng bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a ;b .
+ Nu f x nghch bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a ;b .

/g

f x 1 f x 2 y f x ng bin trờn K th i lờn t trỏi sang phõi.

2

T
s/

p

u

ro

1

u
ie
iL
a

2. Quy tc v cụng thc tớnh ọo hm





Quy tc tớnh o hm: Cho u u x ; v v x ; C : l hỡng s .

u v.


Tớch: u.v u .v v .u C .u C .u .

Tng, hiu: u v







T
n



O

C
u .v v .u
C .u
,
v

0





v2

u2
u
o hm hm hp: Nu y f u , u u x y x y u .u x .
u
v

Thng:

Bõng cụng thc tớnh ọo hm:
ọo hm ca hm s cỗp
(C l hỡng s).

x .x




u . u


1

1

.u

1
u
2 u 0
u

u

u
u
u0
2 u











cos u u.sin u
Page | 1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

cos x sin x

0

sin u u .cos u

c

sin x cos x



o



1

iH
a

1
1
2 (x 0)
x
x

1
x
x 0
2 x



x .x

iD
h

C 0

ọo hm ca hm hp


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



tan x cos1 x

tan u cosu

cot x sin1 x

cot u sin

e e
a a .ln a
ln x x1

e u.e
a u.a .ln a
ln u uu

log x x ln1 a

u
log u u.ln
a

2

fb

2

.c

x

x

o

x

u

2

u

u

a

ro

/g

m

a

u
u

u

u

x

2

Cụng thc tớnh nhanh o hm hm phõn thc:

u

a b

o hm cp 2 :

T
s/

p


a c

x

d f
ax 2 bx c d e
2

dx ex f
dx 2 ex f

ax b
ad bc
. ;


2
cx d
cx d



x2 2

2

b c
e f

.



+ nh nghùa: f x f x

u
ie
iL
a



+ í nghùa c hc: Gia tc tc thi cỷa chuyn ng s f t tọi thi im t 0 l:





a t0 f t0 .
* Mt s chỳ ý:

Nu hm s f x v g x cựng ng bin (nghch bin) tr n K thỡ hm s





f x g x



O

cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng i vi hiu






K thỡ hm s f x .g x cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th
kh ng ỳng khi cỏc hm s f x , g x kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K.
Cho hm s u u x , xỏc nh vi x a;b v u x c;d . Hm s f u x
cỹng xỏc nh vi x a;b .

Nu hm s f x v g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n

Quy tc xột tớnh n iu ca hm s.

Giõ s hm s f cũ ọo hm trờn K







c

hm s f ng bin trờn K .

Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K

1

thỡ hm s f nghch bin trờn K .

0





Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K thỡ

o

iH
a

iD
h



T
n

f x g x .

Page | 2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Chỳ ý:

fb

* i vi hm phõn thc hu tợ y

ax b
d
x thỡ dỗu " " khi xột dỗu ọo
cx d

c

hm y khụng xõy ra.

.c





o

Giõ s y f x ax 3 bx 2 cx d f x 3ax 2 2bx c.



/g

m

Hm s ng bin trờn

f x 0; x

Hm s nghch bin trờn

a 0

0
a 0 .

b 0

c 0



f x 0; x

u

ro



a 0

0
a 0 .

b 0

c 0

Trỵng hp 2 thỡ h s c khỏc 0 vỡ khi a b c 0 thỡ f x d

p

T
s/

(ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox thỡ kh ng n iu)
* Vi dng toỏn tỡm tham s m hm s c a n iu mt chiu trờn khoõng cũ
di bng l ta giõi nh sau:





Bỵc 1: Tớnh y f x ; m ax 2 bx c.

0

a 0

*

x ; x y 0 cú 2 nghim phõn bit

u
ie
iL
a

Bỵc 2: Hm s n iu trờn

1

2

Bỵc 3: Hm s n iu trờn khoõng cũ di bỡng l



x1 x 2 l x1 x 2





2

4x1x 2 l 2 S2 4P l 2



* *

T
n

O

Bỵc 4: Giõi * v giao vi * * suy ra giỏ tr m cổn tỡm.

CC TR HM S

iD
h

1. nh nghùa
Giõ s hm s f xỏc nh tr n tờp K v x 0 K .



+ x0 l im cc tiu cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a; b cha x 0 sao cho
0

0

0

iH
a

a; b K v f x f x , x a;b \ x .
Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f .



+ x 0 l im cc ọi cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a;b cha x 0 sao cho

a; b K v f x f x , x a;b \ x .
0

0

o

Khi ũ f x 0 ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm s f .

1

0

c

+ im cc ọi v im cc tiu gi chung l im cc tr.
+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu gi chung l cc tr.
+ im cc ọi v im cc tiu ỵc gi chung l im cc tr ca hm s v im
cc tr phõi l mt im trong tờp hp K.

Page | 3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc tr)
ca hm s.





fb

+ Nu x0 l im cc tr cỷa hm s thỡ im x 0 ; f (x 0 ) ỵc gi l im cc tr

ca th hm s f .

.c

2. iu kin cổn hm s ọt cc tr



cũ ọo hm

o

nh lớ 1: Giõ s hm s y f x ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu y f x



m

tọi im x 0 thỡ f x 0 0.
Chỳ ý:



/g



ọo hm f x cú th bỡng 0 tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr tọi

ro

im x0 .

T
s/

p

u

Hm s cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
Hm s chợ cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ ọo hm cỷa hm s bỡng 0
hoc tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
3. iu in hm s ọt cc tr
nh lớ 2: Giõ s hm s f ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu hm s f cũ ọo hm tọi






v f x 0 trờn khoõng
x ; x h thỡ x l m t i m cỵc ai cỷa hm s f x .
N u f x 0 trờn khoõng x h; x v f x 0 trờn khoõng x ; x h thỡ
x l m t i m cỵc ti u cỷa hm s f x .


im x 0 thỡ f ' x0 0 . N u f x 0 tr n khoõng x 0 h; x 0
0

0

0

u
ie
iL
a
0

0

Quy tc tỡm cc tr
Quy tc 1:

0


i 1;2;...



Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .



Bc 2: Tỡm cỏc im x i

0

T
n

O

m tọi ũ o hm ca hm s bng 0 hoc

hm s liờn tc nhng khụng cũ o hm.


0



i du khi i

Bc 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f x . Nu f x
qua x i thỡ hm s ọt cc tr tọi x i .


Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s
Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s

iD
h

nh lớ 3: Giõ s y f x cú ọo hm cồ p 2 trong khoõng x 0 h; x 0 h vi h 0.
0

f ọt cc ọi tọi x 0 .

0

0

f ọt cc tiu tọi x 0 .

T nh lớ trờn, ta cũ mt quy tc khỏc tỡm cc tr ca hm s
Quy tc 2:





Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .



Bc 2: Tỡm cỏc nghim x i i 1;2;... cỷa phỵng trỡnh f x 0.

Bc 3: Tớnh f x v tớnh f x i .



ọt cc ọi tọi im x i .

i

ọt cc tiu tọi im xi .

Page | 4

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

i

0





c

Nu f x 0 thỡ hm s f
Nu f x 0 thỡ hm s f



o

iH
a

0


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MT S DNG TON LIấN QUAN N CC TR HM S
I. CC TR CA HM A THC BC BA:

fb

1. Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu tha món honh cho trc





i to n t ng quat: Cho hm s y f x ; m ax 3 bx 2 cx d. Tỡm tham s m hm

.c

s cú cc ọi, cc tiu tọi x 1, x 2 thúa món iu kin K cho trỵc.

/g

m

o

Phng ph p:

c 1:
Tờp xỏc nh: D .
2
2
ọo hm: y 3ax 2bx c Ax Bx C
c 2:
Hm s cú cc tr (hay cú hai cc tr, hai cc tr phõn bit hay cú cc ọi v cc tiu)
y 0 cú hai nghim phõn bit v y i dỗu qua 2 nghim ũ


ro

u

phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit

T
s/

p

A 3a 0
a 0


m D1.
2
y B 2 4AC 4b 2 12ac 0
b 3ac 0





c 3: Gi x 1, x 2 l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y 0.

u
ie
iL
a


B
2b

x 1 x 2 A 3a
.
Khi ũ:

C
c
x .x


1 2 A 3a
c 4: Bi n i i u ki n K v da ng t ng S v ti ch P . T ú giõi ra tỡm ỵc
m D2 .
c 5: K t luồn cỏc giỏ tr m thúa món: m D1 D2 .





* Chỳ ý: Hm s bờc ba: y ax 3 bx 2 cx d a 0 .

O

2
Ta cú: y ' 3ax 2bx c.

Kt lun
Hm s kh ng cũ cc tr.
Hm s cũ hai im cc tr.

T
n

iu kin

b 3ac 0
b 2 3ac 0
2

iu kin hm s cú cc tr cựng du, trỏi du.
Hm s cú 2 cc tr trỏi du
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac 0.


iD
h



Hm s cú hai cc tr cựng du



Hm s cú hai cc tr cựng du dng

iH
a

y 0

phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit cựng dỗu
C
0
P x 1.x 2

A

1

Page | 5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

0

c

o


y 0

B
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim dỵng phồn bit S x 1 x 2 0
A

C
P x .x
0
1 2

A


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm

m

o

.c

fb


 y '  0

B
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm âm phân biệt  S  x 1  x 2    0
A

C
P  x .x 
0
1 2

A
 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x 2 thỏa mãn:
x1    x 2

/g

x1  x 2  

ro



  x1  x 2

Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1    x 2













u

 x1   x 2    0  x1.x 2   x1  x 2   2  0











2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x1  x 2  2


 1
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn   x1  x 2





T
s/



p

Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1  x 2  









u
ie
iL
a

2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x1  x 2  2


 1

PhþĄng trình bêc 3 có 3 nghiệm lêp thành cçp số cộng

khi có 1 nghiệm là x 

b
d
, có 3 nghiệm lêp thành cçp số nhân khi có 1 nghiệm là x   3
.
3a
a

i tri tương đ i giưa 2 điêm vơi đương th ng:





B

B

hai phía so vĄi đþĄng thëng .



iD
h

 
 và đþąng thëng  : ax  by  c  0.
 c ax  by  c   0 thi hai điểm A, B nëm v

Cho 2 đi m A x A; yA , B x B ; yB
N u ax A  byA

T
n

O

2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng





N u ax A  byA  c ax B  byB  c  0 thi hai điểm A, B nëm cu ng
Một số trương hơp đ c biêt:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð cùng dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu

Page | 6

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0

0

c

o

+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð trái dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm trái dçu

iH
a

phía so vĆi đþĄng thîng .


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

c bit:
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa trờn i vi trc Ox

.c

fb

y .y 0
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0

Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa di i vi trc Ox

m

o

y .y 0
.
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0

/g

+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v yC .yCT 0

u

ro

(ỏp dung khi khụng nh m c nghiờm v vit c phng trỡnh ng thng i qua hai
im cc tr ca th hm s)
Hoc: Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox
th cớt trýc Ox tọi 3 im phõn bit



phỵng tri nh honh giao i m f x 0 co 3 nghi m phõn bi t (ỏp dung khi

p

nh m c nghiờm)

T
s/

3. Phng trỡnh ng thng qua c c im cc tr

2c 2b 2
y.y
y .y
bc
hoc g x 9ay
hoc g x y
g x
x d
2
3y
9a
9a
3





u
ie
iL
a

Khoõng cỏch gia hai im cc tr ca th hm s c 3 l

AB

b 2 3ac
4e 16e 3
vi e
a
9a

II. CC TR CA HM BC 4 TRNG PHNG y ax bx c
4

2

a 0

O

MT S KT QU CặN NH
Hm s cú mt cc tr ab 0.
Hm s cú ba cc tr ab 0.

T
n

a 0
.
b 0

a 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú hai cc tiu v mt cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú mt cc tiu v hai cc ọi
.
b 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc tiu

1

0

c

tọo thnh tam giỏc ABC thúa món d kin: ab 0 .

b

b

; ,C ;
2a 4a
2a 4a

o




iH
a

iD
h



4
2
Giõ s hm s y ax bx c cú 3 cc tr: A(0;c), B

Page | 7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MT S CễNG THC GII NHANH
y

.c

fb
o

Tng quỏt:



b 3
cot

2
8a
2

A
O

x

m

B

/g

Cụng thc tha món ab 0

D kin
Tam gi{c ABC vuụng c}n ti A

ro

b 3 8a
b 3 24a
32a 3 (S 0 )2 b 5 0

Tam gi{c ABC u

Tam gi{c ABC cú din tớch S ABC S 0

u

Tam gi{c ABC cú din tớch max (S 0 )

p

S0

T
s/

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ni tip

rABC r0

r

u
ie
iL
a

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ngoi tip

RABC R

C

b5
32a 3

b2

b3

4 a 1 1

8a


R

b 3 8a
8ab

Tam gi{c ABC cú d|i cnh BC m0

am02 2b 0

Tam gi{c ABC cú d|i AB AC n0

16a 2n02 b 4 8ab 0

Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ngoi tip
Tam gi{c ABC cú cnh BC kAB kAC
Trc ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh
hai phn cú din tớch bng nhau

b 2 4 2 ac
b 2 8ac



th hm s C : y ax 4 bx 2 c cớt trýc Ox tọi

b2

36
ac
5

0

phổn tr n v phổn dỵi bỡng nhau.

100
ac
9

c

bx 2 c v trýc honh cũ din tớch

b2

o

4 im phồn bit lờp thnh cỗp s cng
nh tham s hỡnh phợng gii họn bi th
4

iH
a

Tam giỏc ABC cũ im cc tr cỏch u trýc honh

C : y ax

b 2 6ac
b 3 8a 4ac 0
b 2 2ac
b 3 8a 4abc 0
b 3 8a 8abc 0
b 3 .k 2 8a(k 2 4) 0

iD
h

Tam gi{c ABC cựng im O to th|nh hỡnh thoi
Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ni tip

T

n

Tam gi{c ABC cú trng t}m O
Tam gi{c ABC cú trc t}m O

b 2 4ac
b(8a b 3 ) 0

O

Tam gi{c ABC cú cc tr B,C Ox
Tam gi{c ABC cú 3 gúc nhn

Page | 8

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

2

2

c y c
0
b 4a

b 4a

2

2
Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GI TR LN NHầT - GI TR NH NHầT
I. nh nghùa.



f (x ) M , x D
x D, f (x 0 ) M
0



S M gi l giỏ tr ln nht cỷa hm s y f x trờn D nu:

.c

fb

Cho hm s y f x xỏc nh trờn tờp D.

o

Kớ hiu: M max f ( x) .
xD

m

f (x ) m, x D
x D, f (x 0 ) m
0



S m gi l giỏ tr nh nht cỷa hm s y f x trờn D nu:

/g

Kớ hiu: m min f (x ) .
x D

ro

2. Phng phỏp tỡm GTLN,GTNN
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch khõo sỏt trc tip





Bc 1: Tớnh f x v tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n D m tọi ũ f x 0 hoc hm s

u

T
s/

p

kh ng cũ ọo hm.
+ Bc 2: Lờp bõng bin thi n v ri suy ra giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s.
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt oọn
Bc 1:



u
ie
iL
a

Hm s ó cho y f x xỏc nh v liờn týc tr n oọn a;b .







Tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n trờn khoõng a;b , tọi ũ f x 0 hoc f x
kh ng xỏc nh.

Bc 2: Tớnh f a , f x1 , f x 2 ,..., f x n , f b .



Bc 3: Khi ũ:



min f x min f x , f x ,..., f x , f a , f b .

max f x max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b .
1

n

2

T
n

a ,b

O

a ,b

* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt hoõng
Bc 1: Tớnh ọo hm f (x ) .

Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh

iD
h

Bc 2:

f (x ) 0 v tỗt cõ cỏc im i (a;b) lm cho f (x ) kh ng xỏc nh.
Bc 3. Tớnh A lim f (x ) , B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) .
x a

x b

So sỏnh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M max f (x ) , m min f (x ) .
(a ;b )

iH
a

Bc 4.

(a ;b )

Nu giỏ tr ln nht (nhú nht) l A hoc B thỡ kt lun khụng cũ giỏ tr ln nht (nhú nht).

1

Page | 9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

0

c



o






min f x f a
a ;b
+ N u y f x ng bi n trờn a;b thỡ
.
f x f b
max
a ;b
min f (x ) f b
a ;b
.
+ N u y f x nghich bi n trờn a;b thỡ
f (x ) f a

max
a ;b


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

NG TIM CN CA TH HM S

fb

1. ng tim cn ngang
Cho hm s y f (x ) xỏc nh trờn mt khoõng vụ họn (l khoõng dọng

.c

a; , ;b





hoc ; ). ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tim

cờn ngang) cỷa th hm s y f (x ) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau thúa món:

o

lim f (x ) y0, lim f (x ) y0

x

x

/g

m

2. ng tim cn ng
ỵng thợng x x 0 ỵc gi l ỵng tim cn ng (hay tim cờn ng) cỷa
th hm s y f ( x) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau ỵc thúa món:

ro

lim f (x ) , lim f (x ) , lim f ( x) , lim f ( x)

x x 0

x x0

x x 0

Lu ý: Vi th hm phồn thc dọng y

u

c 0; ad bc 0

lu n cũ tim cờn

a

d
v tim cờn ng x .
c
c

T
s/

p

ngang l y

ax b
cx d

x x0

KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S
1. S hõo sỏt hm s



u
ie
iL
a



Cho hm s y f x .

Tỡm tp xỏc nh ca hm s.
S bin thi n
Chiu bin thi n.
i. Tớnh y ' .

ii. Tỡm cỏc nghim cỷa phỵng trỡnh y ' 0 v cỏc im tọi ũ y ' khụng

kh ng xỏc nh.
Tỡm cỏc ỵng tim cờn cỷa hm s (nu cũ).
Lờp bõng bin thi n.
th.
Lit k cỏc im c bit ( im cc ọi, im cc tiu, tồm i xng,)
Xỏc nh giao im cỷa (C) vi Ox, Oy (nu cũ).
V th.

1

0

c

o

iH
a

iD
h

Tỡm cc tr (nu cũ).
Tỡm cỏc gii v cc; cỏc gii họn tọi , v tọi cỏc im m hm s

T
n




O

xỏc nh.
iii. Xột dỗu y ' v suy ra cỏc khoõng bin thi n cỷa hm s.

Page | 10

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2. KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC:

a  0

a) HÀM SỐ BẬC BA y  ax 3  bx 2  cx  d

fb

TRƯỜNG HỢP

a0

a 0

Phương trình y  0 có
/

y

y

.c

2 nghiệm ph n iệt

1
1

o

O

x

1

m

1

O

/g

/
Phương trình y  0 có

1

O

x

1

p

O

x

y

y

u
ie

iL
a

T
s/

nghiệm

1

1

u
Phương trình y /  0 vô

y

y

ro

nghiệm kép

x

1
1

O

x

1

1

O

x

O

TRƯỜNG HỢP
Phương trình y  0 có
/

a  0

a 0
y

T
n

b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y  ax 4  bx 2  c

a0
y

1

1

O

x

1

iH
a

iD
h

3 nghiệm ph n iệt

1

O

x

1

0

c

o

Page | 11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Phng trỡnh y / 0 cú

y

y

1 nghim.

fb

1

.c

1
1

O

x

1

/g

m

o

O

c) HM S NHầT BIN y

ax b
cx d

x

c 0, ad bc 0
D ad bc 0

u
ie
iL
a

T
s/

p

u

ro

D ad bc 0

MT S PHẫP BIN I TH

Dọng 1:
Ta cú



f x
y f x
f x









T th C : y f x suy ra th C : y f x .

khi x 0
khi x 0

* Cỏch v C t C :

T
n

O

l hm chn n n th C nhờn Oy lm trýc i xng.

v y f x





+ Gi nguyờn phổn th b n phõi Oy cỷa th C : y f x .



iD
h

+ Bú phổn th bờn trỏi Oy cỷa C , lỗy i xng phổn th c gi qua Oy.



suy ra th C : y x 3 x .
Bin i C :
+ Bú phổn th cỷa C bờn trỏi

Oy, gi nguyờn C bờn phõi Oy.

Vớ d: T th C : y f x x 3 3x

y

2

3

3

iH
a

1

O

-1

C : y x

3x

x

-2

C : y x

y

-1

1

O

x

Page | 12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

-2

0

+ Lỗy i xng phổn th ỵc
gi qua Oy .

3x

c

o

3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 

Däng 2:



 
f x   0
f x   0

 

Tÿ đồ thð C : y  f x suy ra đồ thð C  : y  f x .

fb

Nội dung:

.c

 





f x
y f x 
f x





Ta có:

 

khi
khi

* Cách vẽ C  từ C :

 

o

+ Giữ nguyên phæn đồ thð phía tr n Ox cûa đồ thð (C): y  f x .

m

+ Bó phæn đồ thð phía dþĆi Ox cûa (C), lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.

 

 

/g

Ví dụ: Tÿ đồ thð C : y  f x  x3  3x

y

C  : y  x

2

suy ra đồ thð y  x  3x .

 

3

 3x

1

ro

Biến đổi C :

3

-1

  dþĆi

+ Bó phæn đồ thð cûa C

u

 

O

x

-2

p

Ox , giĂ nguyên C phía trên Ox.
y

T
s/

+ Lçy đối xĀng phæn đồ thð bð bó
qua Ox .

C  : y  x

2

u

ie
iL
a

-1

O

1

3

 3x

x

  ta læn lþợt biến đổi 2 đồ thð y  f  x  và y  f x 

Chú ý vĆi däng: y  f x
Ví dụ: Tÿ đồ thð

C  : y  f x   x

3

 3 x . Biến đổi

T
n

3

3

 3 x ta đþợc đồ thð

-1

O

1

x

iD
h

3

2

3

x 3x

O

 

y  x  3 x . Biến đổi C để đþợc đồ

 
C  : y  x
C  : y  x

C  : y 

 3x suy ra đồ thð

3

thð C  : y  x

y

3x .

 
  
 
   

khi u x   0
u x  .v x   f x 
Ta có: y  u  x  .v x   
u x .v x  f x  khi u x   0

    
* Cách vẽ C   từ  C  :
+ Giữ nguyên phæn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa đồ thð C  : y  f x  .

+ Bó phæn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa C  , lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.
Däng 3:

Tÿ đồ thð C : y  u x .v x suy ra đồ thð C  : y  u x .v x .

1

0

c

o

iH
a

Page | 13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Vớ d



suy ra th C : y x 1 2x

a) T th C : y f x 2x 3 3x 2 1

.c

fb

2








m

o


f x
y x 1 2x 2 x 1
f x





x 1

khi x 1
khi x 1

y





ra th C : y

1

x 1

x


y
x 1
x 1 x

x 1


khi x ;1

khi x 1;

th (C):

.

vi x 1 ,

+ Bú phổn th cỷa C

vi

gi nguy n C

x 1.

Ox.
y

T
s/

O

x

x

p

1

x
suy
x 1

+ Lỗy i xng phổn th b bú qua

u

(C')

ro

/g

th (C):
+ Gi nguy n (C) vi x 1 .
+ Bú (C) vi x 1 . Lỗy i xng phn
th ú qua Ox.



b) T th C : y f x

1

x

u
ie
iL
a

(C)

Nhờn xột: Trong quỏ trỡnh thc hin phộp
suy th n n ly i xng cỏc im c
it cỷa (C): giao im vi Ox, Oy, C, CT

O
1

x

O

Nhờn xột: i vi hm phồn thc thỡ n n
ly i xng cỏc ng tim cn thc
hin phộp suy th mt cỏch tỵng i
chớnh xỏc.

TIP TUYN



T
n

1. Tip tuyn : Cho hm s y f x , cũ th (C). Tip tuyn cỷa



x x y .
Trong ũ: im M x ; y (C ) ỵc gi l tip im. ( vi y f x ).

k f ' x l h s gúc cỷa tip tuyn.
2. iu in tip xỳc: Cho hai hm s C : y f x v C ' : y g x
f x g x
th C v C tip xỳc nhau khi chợ khi h phỵng trỡnh:
cũ nghim.
f x g x
th (C) tọi im M 0 x 0 ; y0 (C ) cũ dọng: y y x 0
0

0

iD
h

0

0

0

0

0

0

iH
a

/

/

y

l f (x ) g(x ) 1 . Khi ũ:

Page | 14

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

x

1



x0 O

0

Phỵng trỡnh honh giao im cỷa (C 1 ) v (C2 )

y0

c

Cho hm s y f (x ) cũ th (C 1 ) v y g(x ) cũ th (C2 ) .

o

TNG GIAO TH


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

S giao im cỷa (C1 ) v (C 2 ) bỡng vi s nghim

cỷa phỵng trỡnh 1 .

fb



Nghim x 0 cỷa phỵng trỡnh 1 chớnh l

.c

honh x 0 cỷa giao im.
tớnh tung y 0 cỷa giao im, ta thay honh x 0 vo



o



y f x hoc y g x .

m

im M x0 ; y0 l giao im cỷa (C 1 ) v (C 2 ) .

/g

Bi toỏn tỡm im c nh ca h ng cong
Xột h ỵng cong (C m ) cũ phỵng trỡnh y f (x, m) , trong ũ f l hm a thc theo

ro

1.

IM C BIT CA H NG CONG

T
s/

p

u

bin x vi m l tham s sao cho bờc cỷa m khụng quỏ 2. Tỡm nhng im c nh thuc h
ỵng cong khi m thay i?
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: ỵa phỵng trỡnh y f ( x, m) v dọng phỵng trỡnh
theo ốn m cũ dọng sau: Am B 0 hoc Am2 Bm C 0 .
+ Bc 2: Cho cỏc h s bỡng 0 , ta thu ỵc h phỵng trỡnh v giõi h phỵng trỡnh:

u
ie

iL
a

A 0
A 0

hoc B 0 .

B 0
C 0


+ Bc 3: Kt luờn:
- Nu h v nghim thỡ h ỵng cong (C m ) kh ng cũ im c nh.
- Nu h cũ nghim thỡ nghim ũ l im c nh cỷa (C m ) .
Bi toỏn tỡm im cũ ta nguy n:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) (hm phồn thc). Hóy tỡm nhng im

T
n

O

2.

im, qua ỵng thợng.

iH
a

iD
h

cũ ta nguy n cỷa ỵng cong?
Nhng im cũ ta nguyờn l nhng im sao cho cõ honh v tung ca
im ũ u l s nguyờn.
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: Thc hin phộp chia a thc chia t s cho mộu s.
+ Bc 2: Lờp luờn giõi bi toỏn.
3. Bi toỏn tỡm im cũ tớnh chỗt i xng:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) . Tỡm nhng im i xng nhau qua mt





Bi toỏn 1: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C
Phng phỏp giõi:



l hai im tr n C i

1

xng nhau qua im I .

0

+ Gi M a; Aa 3 Ba 2 Ca D , N b; Ab 3 Bb 2 Cb D

c



o

i xng nhau qua im I (x I , yI ) .

tỡm nhng cp im

Page | 15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


a b 2x I
.
A(a 3 b 3 ) B a 2 b 2 C a b 2D 2yI


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M, N.
+ Ta cú

fb

tỡm

l hai im tr n

C

.c

Trng hp c bit : Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D . Trờn th C

o

nhng cp im i xng nhau qua gc ta .
Phng phỏp giõi:

Gi M a, Aa 3 Ba 2 Ca D , N b, Ab 3 Bb 2 Cb D

m





/g

i xng nhau qua gc ta .


a b 0
.
3
3
2
2
A
(
a

b
)

B
a

b

C
a

b

2
D

0


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M , N .
Ta cú



ro

u

Bi toỏn 3: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C

tỡm nhng cp im

Phng phỏp giõi:





T
s/

p

i xng nhau qua ng thng d : y A1x B1 .



Gi M a; Aa3 Ba2 Ca D , N b; Ab3 Bb2 Cb D



C

l hai im tr n

i

xng nhau qua ỵng thợng d .

4.

Bi toỏn tỡm im c bit, hoõng cỏch
Lý thuyt:





Cho im M x 0 ; y0

A B

2

.

y
2

2

y1

2

ax b
tip tuyn tọi M cớt TC, TCN A v B thỡ M l trung
cx d

2
ad bc .
c2

Cỏc bi toỏn thng gp:

Bi toỏn 1: Cho hm s y

ax b
cx d

iH
a

Din tớch tam giỏc IAB kh ng i: SIAB


2

x1

iD
h

+ Cho hm phồn thc: y
im cỷa AB.

x

v ỵng thợng d : Ax By C 0 , thỡ khoõng cỏch t M n d l

Ax 0 By0 C
2

AB

T
n



h M ;d





O

+ Cho hai im A x1; y1 ; B x 2 ; y2



u
ie
iL
a

I d
(1)
(vi I l trung im cỷa MN v u d l vect chợ phỵng
MN .u d 0 (2)
cỷa ỵng thợng d ). Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc M, N.
Ta cú:



c 0, ad bc 0 cũ th C . Hóy tỡm trờn (C )

C cũ tim cờn ng x dc

do tớnh chỗt cỷa hm phồn thc, th nỡm v hai phớa

Page | 16

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

cỷa tim cờn ng. N n gi hai s , l hai s dỵng.

0

+

c

o

hai im A v B thuc hai nhỏnh th hm s sao cho khoõng cỏch AB ngn nht.
Phng phỏp giõi:


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

d
d
d
x A ; yA f (x A ) .
c
c
c
d
d
d
Nu B thuc nhỏnh phõi: x B x B ; yB f (x B ) .
c
c
c

Nu A thuc nhỏnh trỏi: x A



fb




y
2



2





p dýng bỗt ợng thc Cauchy s tỡm ra kt quõ.

o

.c

Sau ũ tớnh: AB 2 x B x A

B

m

Bi toỏn 2: Cho th hm s C

yA





2





2

a a yB yA .





cũ phng trỡnh y f (x ) . Tỡm ta im M

thuc (C ) tng khoõng cỏch t M n hai trc ta nhú nht.
Phng phỏp giõi:

/g





Gi M x ; y v tng khoõng cỏch t M n hai trýc ta l d thỡ d x y .

ro

Xột cỏc khoõng cỏch t M n hai trýc ta khi M nỡm cỏc v trớ c bit:
Tr n trýc honh, tr n trýc tung.
Sau ũ xột tng quỏt, nhng im M cũ honh , hoc tung ln hn honh
hoc tung cỷa M khi nỡm tr n hai trýc thỡ loọi i kh ng xột n.
Nhng im củn lọi ta ỵa v tỡm giỏ tr nhú nhỗt cỷa thi hm s da vo ọo
hm ri tỡm ỵc giỏ tr nhú nhỗt cỷa d .
Bi toỏn 3: Cho th (C ) cũ phng trỡnh y f ( x) . Tỡm im M trờn (C ) sao cho


T
s/

p

u

khoõng cỏch t M n Ox ng k ln khoõng cỏch t M n trcOy .
Phng phỏp giõi:

u
ie
iL
a






f x kx
.

f x kx
y kx
(C )

th
hm
s
y kx

Theo ổu bi ta cũ y k x
Bi

y f ( x)

toỏn

4:

Cho

iD
h

T
n

d
a
; tim cờn ngang y .
c
c
d a
; cỷa hai tim cờn.
Ta tỡm ỵc ta giao im I
c c
Tim cờn ng x

2



2


d
a

Gi M x M ; yM l im cổn tỡm. Khi ũ: IM x M yM g x M
c
c

S dýng phỵng phỏp tỡm GTLN - GTNN cho hm s g thu ỵc kt quõ.
2

iH
a



trỡnh

O



phng

ax b
c 0, ad bc 0 . Tỡm ta im M trờn (C ) sao cho di MI ngn
cx d

nht (vi I l giao im hai tim cn).
Phng phỏp giõi:


cũ

Bi toỏn 5: Cho th hm s (C ) cũ phng trỡnh y f (x ) v ng thng

d : Ax By C 0 . Tỡm im I trờn (C ) sao cho khoõng cỏch t I n d l ngn nht.


Phng phỏp giõi:





A2 B 2

Page | 17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

Khõo sỏt hm s y g(x ) tỡm ra im I thúa món y u cổu.

0

Ax 0 By 0 C

c



Khoõng cỏch t I n d l g(x 0 ) h I ; d

o

Gi I thuc (C ) I x 0 ; y0 ; y0 f (x 0 ) .


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

PHặN II. M V LOGARIT

fb

LY THA V HM S LY THA.

m

o

.c

1. KHI NIM LY THA.
Ly tha vi s m nguyờn.
Cho n l mt s nguy n dỵng.
Vi a l s thc tựy ý, lỹy tha bờc n cỷa a l tớch cỷa n tha s a .
a n a.a......a ( n tha s).
n

/g

Vi a 0.

a n

ro

a0 1

1
an

Ta gi a l c s, m l mỹ s. V chỳ ý 00 v 0 n kh ng cũ nghùa.

a
a ; (a ) a . ; (ab) a b ;
a


T
s/

a a a ;

p

u

+ Mt s tớnh cht ca ly tha
Giõ thuyt rỡng mi biu thc ỵc xột u cũ nghùa:

u
ie
iL
a

a
b
a a

;






b
b
b


a


Nu a 1 thỡ a a ;


Nu 0 a 1 thỡ a a .

O

Vi mi 0 a b , ta cú: a m bm m 0 ; a m bm m 0
Chỳ ý:
+ Cỏc tớnh chỗt tr n ỳng trong trỵng hp s mỹ nguy n hoc kh ng nguy n.
+ Khi xột lỹy tha vi s mỹ 0 v s mỹ nguy n ồm thỡ c s a phõi khỏc 0 .
+ Khi xột lỹy tha vi s mỹ kh ng nguy n thỡ c s a phõi dỵng.
Phng trỡnh x n b.

iD
h

T
n

Ta cú kt quõ bin luờn s nghim cỷa phỵng trỡnh xn b nhỵ sau:
Trỵng hp n l:
Vi mi s thc b , phỵng trỡnh cũ nghim duy nhỗt.
Trỵng hp n chùn:
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh v nghim.
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ mt nghim x 0.

+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ hai nghim trỏi dỗu, kớ hiu giỏ tr dỵng l
n

Mt s tớnh chỗt ca cn bc n
Vi a,b ;n

2n

ab 2n
a 2n
b , ab 0 ;

a
, ab 0,b 0 ;
2n

b

+

2n 1

a 2n 1 a a .

2n 1

ab 2n 1 a 2n 1 b a,b .

2n

+ 2n 1

a

b

Page | 18

2n 1

a

2n 1

b

a, b 0 .

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

a

b

+

0

+ 2n

a 2n
a a ;

c

+

2n

, ta cú:

o

+

*

b , cũn

iH
a

giỏ tr õm l b .

n


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

+

n

a  nm a , a  0 , n , m nguy n dþĄng.

Nếu

p q
thì

n m

.c

+

m

n m

fb
+

a m   n a  , a  0 , n nguy n dþĄng, m nguyên.

Đðc biệt:

n

n

a p  m a q , a  0, m, n nguy n dþĄng p, q nguyên.

a  mn a m .

o

m

2. HÀM SỐ LŨY THỪA.
 Khái niệm.

/g


Xét hàm số y  x , vĆi  là số thăc cho trþĆc.

Hàm số y  x , vĆi  

ro

Chú ý.

, đþợc gọi là hàm số lüy thÿa.


Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y  x tùy thuộc vào giá trð cûa  . Cý thể.

u

 VĆi  nguy n dþĄng, têp xác đðnh là

.

p

 VĆi  nguyên âm hoðc bìng 0 , têp xác đðnh là



\0 .



T
s/

 VĆi  không nguyên, têp xác đðnh 0;  .
 Khảo sát hàm số lũy thừa.




 Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y  x luôn chĀa khoâng 0; 

y  x  ,   0.





1. Têp xác đðnh: 0;  .
2. Să biến thiên
 1

u
ie
iL
a


. Trong trþąng hợp tổng quát, ta khâo sát hàm số y  x trên khoâng này.

vĆi mọi  

y '   .x

x  0.

y '   .x  1  0

lim x   , lim x  0.

lim x  .

x 

x 0

Tiệm cên: không có.
3. Bâng biến thiên.
y’
y



Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
Oy là tiệm cên đĀng.
3. Bâng biến thiên.

x


x 

0







0

1

0

c

o

iH

a

y’
y

0

iD
h



0

x  0.

GiĆi hän đðc biệt:



T
n

x 0



2. Să biến thiên

0

lim x  0,



O



y  x  ,   0.

1. Têp xác đðnh: 0;  .

GiĆi hän đðc biệt:

x



Page | 19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Đồ thð của hàm số.

ro

/g

m

o

.c

fb
 

p

u

Đồ thð cûa hàm số lüy thÿa y  x lu n đi qua điểm I 1;1 .

T
s/

 Khâo sát hàm số mü y  ax ,



 a  0, a  1 .



y  ax ,  a  1

y  ax , a  1

y '  ax ln a  0, x.
lim a  0,

x 

GiĆi hän đðc biệt:

lim a  .

x 

1

x





y'


0

1

y

0

Đồ thð nhþ hình sau.





1

iD
h

y





a

1



T
n



lim a x  0.

x 

Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.

0



y'

lim a x  ,

x 

O

Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.

0

x

.

y '  a x ln a  0, x

GiĆi hän đðc biệt:
x

1. Têp xác đðnh:
2. Să biến thiên.

u
ie
iL
a

1. Têp xác đðnh: .
2. Să biến thiên.

a

Đồ thð nhþ hình sau.

1

0

c

o

iH
a

Page | 20

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

LOGARIT V HM S LOGARIT
Cho hai s dỵng a, b vi a 1 . S thúa món ợng thc a b ỵc gi l logarit c s

a cỷa b v ỵc kớ hiu l loga b .

.c

fb

1. KHI NIM TNH CHầT V QUY TT TNH LOGARIT.
Khỏi nim Logarit.

o

log a b a b.

m

Khụng cũ logarit ca s m v s 0.
Bõng túm tt cụng thc M-loarrit thng gp:

/g

a 0 1, a 0 .

a







a
a



a .b a



a . b



a

b

a

a













a.b





a
,b 0
b

*



1

, 0 a 1



log a b .log a b, a, b 0, a 1
loga b

1

.log b

a

log a b .log a b




loga b loga c loga bc

b
c

loga b loga c loga
loga b



a

iD
h

2. BầT PHNG TRèNH M V LOGARIT.
Bt phng trỡnh m c bn.

1
.
logb a

T
n

O

a ,
a a
a b log b
a



a

u
ie
iL
a





T
s/





a

log a a

p









a



u

1
a






ro



1

log a 1, 0 a 1
log a , 0 a 1

loga 1 0, 0 a 1

x
x
x
Bỗt phỵng trỡnh mỹ c bõn cú dọng a x b (hoc a b, a b, a b ) vi a 0, a 1.

Ta xột bỗt phỵng trỡnh cũ dọng a x b.
Nu b 0 , tờp nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l

x
, vỡ a b, x . .

Vi a 1 , nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l x loga b.
Vi 0 a 1 , nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l x loga b.

loga b

.

1

0

c

o

iH
a

Nu b 0 thỡ bỗt phỵng trỡnh tỵng ỵng vi a x a

Page | 21
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ta minh họa bìng đồ thð sau:
 VĆi a  1 , ta cò đồ thð

/g

m

o

.c

fb
u
ie
iL

a

T
s/

p

u

ro

 VĆi 0  a  1 , ta cò đồ thð

 Bất phương trình logarit cơ bản.
Bçt phþĄng trình logarit cĄ bân có däng log a x  b (hoðc log a x  b,log a x  b,log a x  b )
vĆi a  0, a  1.

Xét bçt phþĄng trình loga x  b.

O

 Trþąng hợp a  1 , ta có: loga x  b  x  a b .

 Trþąng hợp 0  a  1 , ta có: log a x  b  0  x  ab .

iD
h

 VĆi 0  a  1 , ta cò đồ thð sau.

T
n

Ta minh họa bìng đồ thð nhþ sau.
 VĆi a  1 , ta cò đồ thð sau.

Quan sát đồ thð, ta thçy rìng:
 Trþąng hợp a  1 : log a x  b

1

0

c

o

iH
a

khi và chî khi x  ab .
 Trþąng hợp 0  a  1 :
loga x  b khi và chî khi 0  x  ab .

Page | 22

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

BI TON LI SUầT NGN HNG

.c

fb

1. Lói n: l s tin lói chợ tớnh trờn s tin gc m khụng tớnh trờn s tin lói do s tin
gc sinh ra, tc l tin lói cỷa kỡ họn trỵc kh ng ỵc tớnh vo vn tớnh lói cho kỡ họn
k tip, cho dự n kỡ họn ngỵi gi kh ng n gi tin ra.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói n r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:

o



m

Sn A nAr A 1 nr



u

ro

/g

2. Lói kộp: tin lói cỷa kỡ họn trỵc nu ngỵi gi kh ng rỳt ra thỡ ỵc tớnh vo vn

tớnh lói cho kỡ họn sau.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói kộp r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:

n



r%

A

n

Sn
A





1

Sn

1 r

n

u

ie
iL
a

T
s/



p



Sn A 1 r

S
n log1r n
A


3. Tin gi hng thỏng: Mi thỏng gi ỳng cựng mt s tin vo 1 thi gian c nh.
a) C ng thc tớnh: ổu mi thỏng khỏch hng gi vo ngồn hng s tin A ng vi lói
kộp r% /thỏng thỡ s tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n thỏng ( n * ) (
nhờn tin cui thỏng, khi ngồn hng ó tớnh lói) l S n .





1 1 r

A





T
n



n

O

A
Sn 1 r
r

S .r

n
n log1r
1

A 1r




Sn .r

1 r 1 r

n

iD
h

1


1 r
X

n



Sn A 1 r



n

r

1





X A 1 r




n

iH
a

4. Gi ngồn hng v rỳt tin gi hng thỏng:
a) C ng thc tớnh: Gi ngồn hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Mi thỏng vo
ngy ngồn hng tớnh lói, rỳt ra s tin l X ng. Tớnh s tin củn lọi sau n thỏng l bao
nhiờu?

r
Sn
n

1r 1

o

1

0

c

5. Vay vn trõ gũp: Vay ngồn hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Sau ỳng mt
thỏng k t ngy vay, bớt ổu hon n; hai lổn hon n cỏch nhau ỳng mt thỏng, mi
hon n s tin l X ng v trõ ht tin n sau ỳng n thỏng.
a) C ng thc tớnh: Cỏch tớnh s tin củn lọi sau n thỏng ging hon ton c ng thc tớnh
gi ngồn hng v rỳt tin hng thỏng n n ta cũ

Page | 23
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1 r
X

n

Sn A 1 r



n

1

fb

r

sau ỳng n thỏng trõ ht n thỡ Sn 0 nờn

1 r
X

.c

n



A 1r

m

o

n

1

r

X



A 1r

/g

1 r

n



n

0

.r

1

ro

6. Bi toỏn tng lng: Mt ngỵi ỵc lónh lỵng khi im l A ng/thỏng. C sau n
thỏng thỡ lỵng ngỵi ũ ỵc tởng th m r% /thỏng. Húi sau kn thỏng ngỵi ũ lùnh ỵc
tỗt cõ l bao nhiờu tin?

1 r
Ak

u

k

1

r

p

C ng thc tớnh: Tng s tin nhờn ỵc sau kn thỏng l Skn

T
s/

7. Bi toỏn tng trng dồn s:
C ng thc tớnh tởng trỵng dồn s



Xm Xn 1 r

m n



, m, n

u
ie
iL
a

Trong ũ:





,m n



r % l tợ l tởng dồn s t nởm n n nởm m
X m dồn s nởm m

X n dồn s nởm n

T ũ ta cũ c ng thc tớnh tợ l tởng dồn s l r %

O

8.

m n

Xm
Xn

1

n nởm

n l: S
*

n



A 1r

n

. Giõ s ta chia mi nởm thnh m kỡ họn tớnh

r
% thỡ s tin thu ỵc sau n nởm l:
m
m .n

iD

h

lói v lói suỗt mi kỡ họn l



T
n

Lói ộp li n tc:
Gi vo ngồn hng A ng vi lói kộp r% /nởm thỡ s tin nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau

iH
a


r
Sn A 1
m

Khi tởng s kỡ họn cỷa mi nởm l n v cc, tc l m , gi l hỡnh thc lói kộp ti n
týc thỡ ngỵi ta chng minh ỵc s tin nhờn ỵc cõ gc lộn lói l:

S Ae n .r ( c ng thc tởng trỵng mỹ)

1

0

c

o

Page | 24

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

PHặN III.

fb

NGUYấN HM - TCH PHN - NG DNG TCH PHN

.c

I. NGUYấN HM
1. Nguyờn hm



nh nghùa: Cho hm s f x

xỏc nh tr n K ( K l khoõng, oọn hay na khoõng).

o

ỵc gi l nguy n hm cỷa hm s f x trờn K

x K . Kớ hiu: f x dx F x C .

Hm s F x



vi mi

nu F ' x f x

/g

m

nh lớ:



trờn K thỡ vi mi hỡng s C , hm s
G x F x C cỹng l mt nguy n hm cỷa f x trờn K .
2) Nu F x l mt nguy n hm cỷa hm s f x trờn K thỡ mi nguy n hm cỷa
f x trờn K u cũ dọng F x C , vi C l mt hỡng s.
Do ũ F x C ,C l h tỗt cõ cỏc nguy n hm cỷa f x trờn K .
1) Nu F x

l mt nguy n hm cỷa f x

T
s/

p

u

ro

2. Tớnh chỗt ca nguy n hm

f x dx f x v f ' x dx f x C ; d f x dx f x dx

Nu F(x) cũ ọo hm thỡ:

u
ie
iL
a



d F(x ) F(x ) C

kf x dx k f x dx vi k l hỡng s khỏc 0 .
f x g x dx f x dx g x dx

Cụng thc i bin s: Cho y f u v u g x .

f (x )dx F(x ) C

thỡ

f g(x ) g '(x )dx f (u)du

O

Nu

T
n

3. S tn tọi ca nguy n hm

F (u) C



nh lớ: Mi hm s f x li n týc tr n K u cũ nguy n hm trờn K .

1. 0dx C
3. x dx



1

C
x

x

5.

x dx ln x

2

dx

1

C

Page | 25
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

ax
C
ln a

0

7. a xdx

c

6. e xdx e x C

3x 2 x 3 x
dx

x
dx
1
ln ax b c
18.
ax b a
1
19. eax bdx eax b C
a
1 a kx b
C
20. a kx bdx
k ln a

17.

c , 1

o

4.

1

1 ax b
16. ax b dx

a 1


iH
a

1

1
x 1 C 1
1

iD
h

Bõng nguy n hm cỏc hm s thng gp
2. dx x C