Ma trận điều hoà

MA TRẬN ĐIỀU HOÀ
Chúng ta ai cũng biết bài toán vui xếp các số từ 1 đến 9 vào ma trận 3*3 sao cho tổng
các hàng, các cột và các đường chéo đều bằng 15. Khi n>3 thuật toán tháp chỉ có thể áp
dụng cho n lẽ. Chúng ta thử tìm một thuật toán khác áp dụng chung cho bất kỳ giá trị
nguyên n ≥ 3 :

Xếp ma trận ban đầu tuần tự theo từng cột 1 cho đến cột n theo thứ tự tăng dần. Bằng
cách xoay các đường chéo, các trục của ma trận một góc nhất định ta được ma trận có tổng
các hàng, các cột đối nghịch một giá trị cố định qua hai trục. Hoán vị mỗi hàng của ma trận
m cặp số qua trục tung, hoán vị mỗi cột của ma trận m’ cặp số qua trục hoành ta sẽ được ma
trận điều hòa. Tùy theo giá trị của n ta có 4 cách xoay như sau :

1) Trường hợp 1 : n = 3, 7, 11, … Đặt : m = (n - 3)/ 4.
B1: Xoay 2 đường chéo của ma trận qua tâm góc : 180
0
B2: Xoay 2 đường chéo và 2 trục của ma trận qua tâm góc : - 45
0
B3: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung
B4: Hoán vị mỗi cột của ma trận m cặp số đối xứng qua trục hoành
VD: n = 15 => m = (15 – 3)/4 = 3
225 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 15
2 209 32 47 62 77 92 107 122 137 152 167 182 29 212
3 18 193 48 63 78 93 108 123 138 153 168 43 198 213
4 19 34 177 64 79 94 109 124 139 154 57 184 199 214
5 20 35 50 161 80 95 110 125 140 71 170 185 200 215
6 21 36 51 66 145 96 111 126 85 156 171 186 201 216
7 22 37 52 67 82 129 112 99 142 157 172 187 202 217
8 23 38 53 68 83 98 113 128 143 158 173 188 203 218
9 24 39 54 69 84 127 114 97 144 159 174 189 204 219
10 25 40 55 70 141 100 115 130 81 160 175 190 205 220
11 26 41 56 155 86 101 116 131 146 65 176 191 206 221

12 27 42 169 72 87 102 117 132 147 162 49 192 207 222
13 28 183 58 73 88 103 118 133 148 163 178 33 208 223
14 197 44 59 74 89 104 119 134 149 164 179 194 17 224
211 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 1
Hình 1.1 : Xoay đường chéo
O : Xoay 2 đường chéo qua tâm góc : 180
0




106 30 45 60 151 136 121 15 91 76 61 180 195 210 218
212 107 44 59 74 137 122 29 92 77 164 179 194 203 2
213 198 108 58 73 88 123 43 93 148 163 178 188 18 3
214 199 184 109 72 87 102 57 132 147 162 173 34 19 4
11 200 185 170 110 86 101 71 131 146 158 50 35 20 221
10 25 186 171 156 111 100 85 130 143 66 51 36 205 220
9 24 39 172 157 142 112 99 128 82 67 52 189 204 219
225 209 193 177 161 145 129 113 97 81 65 49 33 17 1
7 22 37 174 159 144 98 127 114 84 69 54 187 202 217
6 21 190 175 160 83 96 141 126 115 70 55 40 201 216
5 206 191 176 68 80 95 155 125 140 116 56 41 26 215
222 207 192 53 64 79 94 169 124 139 154 117 42 27 12
223 208 38 48 63 78 133 183 103 138 153 168 118 28 13
224 23 32 47 62 149 134 197 104 89 152 167 182 119 14
8 16 31 46 165 150 135 211 105 90 75 166 181 196 120

Hình 1.2 : Xoay các trục và hoán vị các cặp số
O : Xoay 2 đường chéo, 2 trục qua tâm góc : - 45
0
O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung
O : Hoán vị mỗi cột 3 cặp số đối xứng qua trục hoành

2) Trường hợp 2 : n = 5, 9, 13, … Đặt : m = (n – 5)/ 4.
B1: Xoay đường chéo 1 và trục hoành của ma trận qua tâm góc : 180
0
B2: Xoay 2 đường chéo và 2 trục của ma trận qua tâm góc : - 45
0
B3: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung
B4: Hoán vị mỗi cột của ma trận (m + 1) cặp số đối xứng qua trục hoành

VD : n = 17 => m = (17 – 5)/ 4 = 3
289 18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 222 239 256 273
2 271 36 53 70 87 104 121 138 155 172 189 206 223 240 257 274
3 20 253 54 71 88 105 122 139 156 173 190 207 224 241 258 275
4 21 38 235 72 89 106 123 140 157 174 191 208 225 242 259 276
5 22 39 56 217 90 107 124 141 158 175 192 209 226 243 260 277
6 23 40 57 74 199 108 125 142 159 176 193 210 227 244 261 278
7 24 41 58 75 92 181 126 143 160 177 194 211 228 245 262 279
8 25 42 59 76 93 110 163 144 161 178 195 212 229 246 263 280
281 264 247 230 213 196 179 162 145 128 111 94 77 60 43 26

10 27 44 61 78 95 112 129 146 127 180 197 214 231 248 265 282
11 28 45 62 79 96 113 130 147 164 109 198 215 232 249 266 283
12 29 46 63 80 97 114 131 148 165 182 91 216 233 250 267 284
13 30 47 64 81 98 115 132 149 166 183 200 73 234 251 268 285
14 31 48 65 82 99 116 133 150 167 184 201 218 55 252 269 286
15 32 49 66 83 100 117 134 151 168 185 202 219 236 37 270 287
16 33 50 67 84 101 118 135 152 169 186 203 220 237 254 19 288
17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272
Hình 2.1 : Xoay đường chéo và trục hoành
O : Xoay đường chéo 1 và trục hoành qua tâm góc : 180
0

137 34 51 68 85 188 171 154 273 120 103 86 221 238 255 272
274 138 50 67 84 101 172 155 257 121 104 203 220 237 254 26
275 258 139 66 83 100 117 156 241 122 185 202 219 236 43 20
276 259 242 140 82 99 116 133 225 167 184 201 218 60 38 21
13 260 243 226 141 98 115 132 209 166 183 200 77 56 39 22 285
12 29 244 227 210 142 114 131 193 165 182 94 74 57 40 267 284
11 28 45 228 211 194 143 130 177 164 111 92 75 58 249 266 283
10 27 44 61 212 195 178 144 161 128 110 93 76 231 248 265 282
289 271 253 235 217 199 181 163 145 127 109 91 73 55 37 19
8 25 42 59 214 197 180 162 129 146 112 95 78 229 246 263 280
7 24 41 232 215 198 179 126 113 160 147 96 79 62 245 262 279
6 23 250 233 216 196 108 125 97 159 176 148 80 63 46 261 278
5 268 251 234 213 90 107 124 81 158 175 192 149 64 47 30 277
286 269 252 230 72 89 106 123 65 157 174 191 208 150 48 31 14
287 270 247 54 71 88 105 168 49 134 173 190 207 224 151 32 15
288 264 36 53 70 87 186 169 33 135 118 189 206 223 240 152 16
281 18 35 52 69 204 187 170 17 136 119 102 205 222 239 256 153
Hình 2.2 : Xoay các trục và hoán vị các cặp số

O : Xoay 2 đường chéo, 2 trục qua tâm góc : - 45
0
O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung
O : Hoán vị mỗi cột 4 cặp số đối xứng qua trục hoành

3) Trường hợp 3 : n = 4, 8, 12, … Đặt : m = (n – 4)/ 4.
B1: Xoay 2 đường chéo của ma trận qua tâm góc : 180
0
B2: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung
B3: Hoán vị mỗi cột của ma trận m cặp số đối xứng qua trục hoành

VD : n = 16 => m = (n – 4)/ 4 = 3