Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn trong hình học 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC 9

Người thực hiện: Mai Thị Thanh Huyền
Chức vụ:
Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Tân -Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


Mc
I.
II
III
IV
I.
II
III
1
2
3
4
IV

MC LC
Ni dung
PHN I: M U
Lớ do chn ti.
Mc ớch nghiờn cu.
i tng nghiờn cu
Phng phỏp nghiờn cu.
PHN II: NI DUNG
C s lớ lun.
Thc trng vn .
Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt vn
Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong
toán chứng minh
Một số loại đờng phụ thờng vẽ
Một số kiến thức liên quan
Một số bài tập ứng dụng
Hiu qu ca sỏng kin
PHN III: KT LUN
Ti liu tham kho.

DANH MC CC CH VIT TT

Trang
1
1
2
2
2
3

3
3
4
4
5
5
7
16
17
18


STT
1
2
3
4
5

Các chữ viết tắt
trong sáng kiến kinh nghiệm
THCS
SGK
THPT
SKKN
Max

Nội dung
Trung học cơ sở
Sách giáo khoa

Trung phổ thông
Sáng kiến kinh nghiệm
Lớn nhất


PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới
không ngừng, các nhà trường ngày càng chú trọng đến chất lượng giáo dục
toàn diện. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều
kiện cho các em học tốt các môn học khác. Việc giảng dạy môn Toán ở nhà
trường không chỉ nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản về
Toán học mà còn trang bị cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới
tự nhiên.
Khi học Toán, đa số các em học sinh đều ngại học Hình học. Bởi vì, để
học tốt Hình học thì đòi hỏi các em phải có khả năng tư duy tốt, tính sáng tạo
cao, trí tưởng tượng phong phú, đặc biệt là thực sự say mê nghiên cứu, tìm tòi
học hỏi.
Đối với giáo viên, để truyền đạt cho học sinh hiểu được một cách chặt
chẽ về một bài Hình học là không đơn giản. Dạy học như thế nào để học sinh
không những nắm được kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phải
nâng cao, phát triển để các em hứng thú, say mê học tập. Đó là vấn đề mà mỗi
giáo viên cần quan tâm, trăn trở.
Trong khi tìm phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽ
thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi
hơn. Thậm chí, có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra được lời giải.
Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào là điều khiến chúng ta phải đầu tư
suy nghĩ. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm
các yếu tố phụ khi giải các bài toán hình học. Việc vẽ hình phụ rất đa dạng,
không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt

trên cơ sở các suy luận. Tuỳ từng bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ
thêm các đường phụ hợp lý để có thể đưa đến những cách giải hay và độc
đáo. Một trong những chuyên đề hình học lớp 9 mà thường xuyên phải vẽ
đường phụ khi làm toán, đó là bài toán về đường tròn. Trong quá trình dạy lớp
9 và ôn thi vào lớp 10 tôi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, bế tắc khi giải
các bài toán về: sự xác định đường tròn, vị trí tương đối của đường thẳng và
đường tròn hoặc của hai đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn,... Vì vậy tôi
đã tìm cách giúp các em tháo gỡ khó khăn, hình thành kỹ năng giải toán, làm
cho các em có hứng thú và niềm tin trong học tập. Tôi mạnh dạn trình bày đề
tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài
toán về đường tròn trong Hình học 9” để các bạn đồng nghiệp tham khảo,
góp ý.

1


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng yếu tố phụ
thường vẽ thêm khi bài toán cho ở dạng nào, nhằm giúp cho học sinh có khả
năng vận dụng tốt dạng toán này.
- Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng tư duy,
năng lực tự học của học sinh. Tạo điều kiện cho các em hứng thú, say mê bộ
môn.
- Thấy được vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán từ đó giúp học
sinh có kĩ năng thành thạo trong việc giải các bài toán về đường tròn.
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được kiến thức vào
thực tiễn cuộc sống.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn
trong Hình học 9.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu qua các tài liệu về phương pháp dạy học Toán và các tài liệu có
liên quan đến nội dung đề tài: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập và
các tài liệu tham khảo khác dành cho giáo viên và học sinh.
- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giải
toán hình học ở bậc THCS. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh
như:
+ Sách giáo khoa.
+ Sách giáo viên.
+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh
*Phương pháp điều tra, khảo sát.
Qua kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh, thu thập được các
số liệu phản ánh thực trạng tiếp thu kiến thức để nghiên cứu.
* Phương pháp thử nghiệm: Nghiên cứu qua các tiết dạy trên lớp, qua việc
thực hành giải toán của học sinh và qua khảo sát.
* Phương pháp tư vấn: Tham khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm
trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trong quyết định số 16/2006/QĐ – BGD&ĐT ngày 05 tháng 5 năm
2006 có đoạn viết: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và
phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo
của tư duy”. Trích: “Quyết định ban hành chương trình giáo dục phổ thông”

năm 2006. Vì vậy, việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo
con người mới ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật trong đó
Toán học là một bộ môn khoa học được coi là chủ lực. Bởi trước hết, Toán
học hình thành cho các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tư
duy lôgic. Vì thế, nếu chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa
chúng ta đã tiếp cận với nền tri thức hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân
loại.
Cùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa,
phương pháp dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huy
tính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học nhằm nâng cao năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề, hình thành và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn. Bản thân nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mới
phương pháp dạy học nói chung và giảng dạy môn Toán nói riêng, trong
những năm được phân công giảng dạy môn Toán 9 theo chương trình hiện
hành tôi nhận thấy nội dung “vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình
học ” là nội dung quan trọng. Các bài toán hình học có lời giải phải vẽ thêm
đường phụ là dạng toán khó đối với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài
toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi
học sinh cần có một kĩ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để
tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học
giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi
hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự
hóa, đặc biệt hóa, …hay nói cách khác một bài toán phải vẽ thêm đường phụ
là một sáng tạo nhỏ. Vẽ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt
phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kĩ năng, thể hiện các tình
huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó… hay còn gọi là
“quy lạ về quen”. Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng
tạo càng lớn. Do đó, việc học tốt các bài toán có lời giải phải vẽ thêm đường
phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa
học của học sinh.

II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Giải bài toán hình học có vẽ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện
nhiều thao tác tư duy. Vì vậy, phải rèn luyện học sinh về mặt tư duy hình học
thật phát triển. Thực tế, khi chứng minh định lý trong sách giáo khoa (SGK)
việc vẽ đường phụ rất ít đề cập, việc giải các bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm
3


khi có. Tuy nhiên, các bài tập trong SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng, các bài
tập nâng cao lại là những bài toán khi giải cần phải vẽ thêm đường phụ. Các
tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối
với học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Kết quả kiểm tra chương I, môn Toán
lớp 9B năm học 2016-2017 trước khi áp dụng đề tài như sau:
Lớp

Sĩ
số

9B

40

Tỉ
Điểm
lệ
0-<3,0
%

Tỉ
Điểm

lệ
3,0-<5,0
%

Tỉ
Điểm
lệ
5,0-<7,0
%

Tỉ
Điểm
lệ
7,0-< 9,0
%

Tỉ
Điểm
lệ
9.0-10
%

6 15
22 55
11 27,5
1 2,5
0 0
Kết quả trên cho thấy khả năng vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán của
học sinh chưa cao. Qua tìm hiểu tôi nhận thấy đây là dạng khó đối với các em
học sinh lớp 9. Chương trình SGK bậc THCS nói chung và lớp 9 nói riêng

lại đề cập rất ít về chuyên đề này, các bài tập đưa ra chưa đầy đủ và phong
phú, chưa được phân dạng cụ thể cũng như chưa hình thành cách giải biểu
trưng cho từng dạng. Cũng chính vì những nguyên nhân này mà khi giải các
dạng bài tập có liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ học sinh rất lúng túng,
không nắm được các dạng yếu tố phụ cần vẽ, dễ mắc sai lầm trong quá trình
giải.
Từ thực trạng trên tôi luôn trăn trở và cố gắng tìm ra giải pháp để giảng
dạy cho học sinh nội dung này một cách có hiệu quả nhất. Trong năm học
2016 – 2017 tôi nghiên cứu và đưa vào đề tài giải pháp giảng dạy sát với thực
tế và truyền đạt một cách có hệ thống cho học sinh các dạng yếu tố phụ, cách
vẽ thêm yếu tố phụ trong từng trường hợp cũng như các loại yếu tố phụ
thường gặp trong chương trình toán 9. Mong rằng những giải pháp thiết thực
này sẽ giúp các em có kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán một cách
linh hoạt hơn.
Ngoài việc giúp và yêu cầu học sinh nhớ các kiến thức liên quan một
cách có hệ thống, tôi còn chú trọng vào các giải pháp: phân loại thành từng
dạng bài tập, chú trọng rèn luyện kỹ năng vận dụng thông qua các ví dụ và
các bài tập áp dụng, chỉ ra những sai lầm thường gặp nhằm khắc phục những
thiếu sót trong quá trình giải toán. Đó là những biện pháp mang lại hiệu quả
cao cho việc dạy học nội dung này.
Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh lớp 9 vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số
bài toán về đường tròn là việc làm hết sức cần thiết giúp cho học sinh nắm
vững các kĩ năng khi giải toán làm tiền đề cho các em học tốt môn Toán bậc
THPT.
III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ DÙNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cách vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng:
Khi giải một bài toán chứng minh Hình học, trừ một số bài toán dễ, còn
lại phần lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh
được. Vậy vẽ đường phụ thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì? Đó là điều mà
người học cần phải biết đối với mỗi bài toán cụ thể. Không thể có một

phương pháp chung cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh Hình
4


học, ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác
nhau tùy thuộc vào cách giải bài toán.
* Một số cách vẽ đường phụ:
- Vẽ đường phụ để tạo mối liên hệ giữa các diều kiện đã cho hoặc giữa các
yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau.
- Vẽ thêm đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các
yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau.
- Vẽ đường phụ để tạo nên một hình mới, biến đổi bài toán để bài toán dễ
chứng minh.
- Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng
nhau mà đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lượng cần chứng minh
giúp cho việc chứng minh được dễ dàng.
- Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó.
* Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ:
- Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tùy tiện. Phải nắm thật vững đề
bài, định hướng chứng minh. Từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục
vụ cho mục đích chứng minh của mình.
- Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân thủ theo đúng các phép dựng hình cơ
bản.
- Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng
khác nhau.
Có nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, biết vận dụng linh
hoạt mới biết khai thác dữ liệu của bài toán mà tìm cách vẽ đường phụ thích
hợp để giải toán. Như vậy, vẽ đường phụ cũng là một kĩ năng trong giải toán
Hình học.
2. Một số loại đường phụ thường vẽ:

a) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng
bằng đoạn thẳng cho trước.
b) Vẽ thêm một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước từ một
điểm cho trước.
c) Từ một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường
thẳng xác định.
d) Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
e) Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (đường trung tuyến, đường trung
bình, đường cao, đường phân giác).
f) Vẽ bán kính, đường kính trong đường tròn.
g) Vẽ tiếp tuyến, cát tuyến của đường tròn hoặc tiếp tuyến chung của hai
đường tròn.
h) Vẽ đường tròn mới.
3 Một số kiến thức liên quan:
3.1. Các bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình Toán THCS
a. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng

5


Cho trước đoạn thẳng AB. Để dựng đường trung trực của AB, chúng ta
làm như sau:
- Lấy A và B làm tâm, dựng hai đường
tròn có cùng bán kính sao cho chúng cắt
nhau tại hai điểm.
.
.
A
B
- Nối hai giao điểm của hai đường tròn này

lại chúng ta sẽ có đường trung trực của AB.
b. Dựng trung điểm của một đoạn thẳng
Cho trước đoạn thẳng AB. Để dựng trung
điểm của AB, chúng ta làm như sau:
- Dựng đường trung trực của AB.
- Đường trung trực cắt AB tại điểm M là
trung điểm của AB.
c. Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông
góc với một đường thẳng cho trước
Cho trước đường thẳng ℓ và một điểm A.
Để dựng đường thẳng đi qua A vuông góc
với ℓ, chúng ta làm như sau:
- Lấy A làm tâm dựng một đường tròn sao
cho đường tròn cắt đường thẳng ℓ tại hai
điểm B và C.
- Dựng đường trung trực của BC, đây chính
là đường thẳng đi qua A vuông góc với ℓ.
d. Qua một điểm, dựng đường thẳng song
song với một đường thẳng

.

A

.

M

.

B

Cho trước đường thẳng ℓ và một điểm A.
Để dựng đường thẳng đi qua A song
song với ℓ, chúng ta làm như sau:
- Dựng đường thẳng t đi qua A vuông góc
với ℓ.
- Dựng đường thẳng u đi qua A vuông góc
với t, đường thẳng u chính là đường thẳng
đi qua A song song với ℓ.
e. Dựng đường phân giác của một góc
Cho trước góc xOy, để dựng đường phân
giác của góc này, chúng ta làm như sau:
- Lấy O làm tâm dựng một đường tròn
cắt Ox và Oy tại A và B.
- Dựng đường trung trực của AB, đây chính
là đường phân giác của góc xOy.

6


f. Dựng một góc bằng một góc cho trước
Cho trước góc xOy và tia Aℓ, để dựng đường thẳng qua A hợp
với Aℓ một
góc bằng góc xOy, chúng ta làm như
sau:
- Lấy trên tia Aℓ một điểm B;
- Vẽ (O;AB) cắt Ox và Oy tại D và C;
- Vẽ đường tròn (A; AB) và đường
tròn (B;CD), hai đường tròn này cắt

nhau tại E và F.
- Hai góc EAℓ và FAℓ bằng góc xOy.
g. Dựng tiếp tuyến đến đường tròn
Cho trước một đường tròn
tâm O và một điểm A nằm ở bên ngoài
đường tròn, để dựng đường thẳng
qua A tiếp tuyến với đường tròn (O),
chúng ta làm như sau:
- Dựng trung điểm B của OA;
- Vẽ (B;AB), đường tròn này cắt
(O) tại hai điểm C và D;
- Hai đường thẳng AC và AD chính
là tiếp tuyến của đường tròn (O).
h. Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c
Cho trước một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c. Để dựng
một tam giác bằng tam giác đã cho ta làm như sau:
- Dựng tia Bx;
A
- Dựng đường tròn (B;c). Gọi C là giao
điểm của đường tròn (B;c) với tia Ax;
b
a
- Dựng đường tròn (B;a) và đường tròn
(C;b), gọi A là giao điểm của chúng.
c
C
B
x
Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì
có AB = a; AC = b; BC = c.

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi áp dụng ta không cần
nêu lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phải
căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm một
7


cách tùy ý.
3.2. Các kĩ năng cơ bản
* Kĩ năng 1:
Trong một đường tròn:
a) Nếu có trung điểm của một dây cung thì lưu ý nối trung điểm đó với tâm.
b) Muốn có trung điểm của một dây, ta cần chú ý hạ đường vuông góc từ tâm
đến dây ấy.
* Kĩ năng 2
a) Những bài tập có tiếp tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với tiếp điểm.
b) Bài toán có hai tiếp tuyến giao nhau ta chú ý nối giao điểm của hai tiếp
tuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm.
* Kĩ năng 3
Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý nối tâm và vẽ thêm dây chung
của chúng.
* Kĩ năng 4
a) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau ta chú ý vẽ đường nối tâm.
b) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài chú ý kẻ thêm tiếp tuyến chung
trong hoặc kẻ thêm đường nối tâm.
4.Một số bài tập ứng dụng:
Bài 1
Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB ≠2R). C làm điểm trên
tia đối của tia AB.
Chứng minh rằng điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R)
Gợi ý

- Cần chứng minh: điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) ⇔ OC >R. Điều này
cho ta nghĩ đến OC > OA.
- Đường phụ OH ⊥ AB (H∈AB) để vận dụng quan hệ giữa đường xiên và
hình chiếu mà có OC > OA
Giải
-Vẽ OH ⊥ AB, H∈AB.
A
H
-Ta có: HC > AB (vì C là điểm trên tia đối của tia
B
C
AB, H thuộc đoạn thẳng AB)
⇒ OC > OA (quan hệ giữa đường xiên và hình
O
chiếu).
Vậy OC > R ⇒ C nằm ngoài đường tròn (O;R)
Bài 2
Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB ≠2R). C làm điểm trên
đoạn AB (C khác A và B).
Chứng minh rằng điểm C nằm trong đường tròn (O;R)
Gợi ý
Từ bài 1, ta nhận ra rằng đường phụ cần vẽ thêm là OH vuông góc với
AB tại H.
8


Giải
Vẽ OH vuông góc với AB tại H. Xét các trường hợp sau:
* C trùng với H:
Ta có: OH < OA (vì OH ⊥ AH) nên OH < R.

⇒ H nằm trong đường tròn (O;R)
A C H
⇒ C nằm trong đường tròn (O;R).
* C nằm trên đoạn AH ( C khác A và H) ta có
O
HC < HA.
⇒ OC < OA (quan hệ giữa đường xiên và hình
chiếu).
Mà OA = R nên OC < R ⇒ C nằm trong đường tròn (O;R).
* C nằm trên đoạn BH ( C khác B và H)
Tương tự ta cũng có C nằm trong đường tròn (O;R).

B

Bài 3
Cho đường tròn (O;R), R= 4cm. Vẽ dây cung AB = 5cm, C là điểm trên
dây cung AB sao cho AC = 2cm. Vẽ CD vuông góc với OA tại D. Tính độ dài
đoạn thẳng AD.
Gợi ý
- Từ giả thiết của bài toán khiến ta nghĩ đến vẽ thêm đường kính AE.
- Hai tam giác ADE và ABE đồng dạng, từ đó tính được AD.
Giải
- Vẽ đường kính AE, có AE = 8cm
B
- Điểm B thuộc đường tròn đường kính AE
A
0
C
⇒ABE = 90
H

.
- Xét ∆ADC và ∆ABE có: DAC chung;
O
ADC = ABE (=900)
Do đó: ∆ADC ∽ ∆ABE
⇒

AD AC
AC. AB
=
⇒ AD =
AB AE
AE

Mà AC = 2cm, AB=5cm; AE = 8cm nên AD =

2.5 5
= (cm)
8
4

Bài 4
Cho đường tròn (O;R), AC và BD là hai đường kính. Xác định vị trí của
hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD là lớn nhất.
Gợi ý
- Ta kí hiệu SABCD là diện tích tứ giác ABCD. Dễ
thấy tứ giác ABCD là hình chữ nhật, do đó:
B
A
SABCD= AB.AD.

- Mặt khác: ∆ABD vuông tại A, có BD không
O
đổi, AH là đường cao, ta có:
H
SABCD = AH.2R
D
C
9


SABCD (max) ⇔ AH (max)
Vậy đường cao AH của ∆ABD là “mấu chốt” của bài toán.
Giải
- Vẽ AH ⊥ BD (H ∈ BD)
Tứ giác ABCD có OA = OC = R, OB = OD = R nên là hình bình hành.
- Mà AC = BD = 2R do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật, suy ra:
SABCD = AB.AD.
- Xét ∆ABE có: Aˆ = 90 0 , AH ⊥ BD nên AB.AD = AH.DB;
Vì AH ≤ AO, DB = 2R nên SABCD ≤ 2R2 (không đổi).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi H ≡ O ⇔ AC ⊥ BD.
Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác
ABCD lớn nhất.
Bài 5:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, CD là một dây cung của nửa
đường tròn (O). Các đường thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lượt cắt
AB tại E và F.
Chứng minh rằng: AE = BF
Gợi ý
- Vì OA = OB = R, để có AE = BF cần chứng minh rằng OE = OF.
- Áp dụng kĩ năng 1b): Vẽ OH ⊥ CD tại H, điểm phụ H sẽ giúp ta giải bài

toán.
Giải
-Vẽ OH ⊥ CD, H ∈ CD, từ đó có CH = HD
(định lí đường kính vuông góc với dây
cung).
-Vì EC, OH, FD cùng vuông góc với CD nên
EC // OH // FD.
-Do đó OH là đường trung bình của hình
thang CDFE ⇒ OE = OF.
Mà OA = OB (= R) nên OA – OE = OB – OF
⇒AE = BF

C

A E

H

.

O

D
F B

Bài 6
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây cung CD. Gọi K, L
lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: CK = DL
Gợi ý

Cũng như bài toán 5, áp dụng kỹ năng 1b): vẽ OI ⊥ CD tại I, ta chứng
minh được I là trung điểm của CD và KL. Từ đó ta tìm được lời giải của bài
toán.
10


Giải
-Vẽ OI ⊥ CD (I ∈ CD).
Ta có: OI ⊥ CD, AK ⊥ CD (gt), BL ⊥ CD (gt)
⇒ OI // AK // BL
Mà OA = OB nên IK = IL
Mặt khác, từ OI ⊥ CD ⇒ IC = ID (định lý
đường kính vuông góc với dây cung)
Do vậy: IK – IC = IL – ID ⇒ CK = DL.

K

C
I

A

.

O

D L
B

Bài 7

B
Cho hình vẽ bên, biết AB = CD.
A M
Chứng minh rằng: MA = MC
O.
Gợi ý
C
Vẽ thêm yếu tố phụ là các đường vuông
góc từ O đến hai dây AB và CD.
D
Giải
- Vẽ OH ⊥ AB (H ∈ AB), OK ⊥ CD ( K∈ CD).
- Ta có: AB = CD (gt), nên OH = OK (định lí liên hệ dây cung và khoảng
cách đến tâm) và H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD (định lí đường kính
vuông góc dây cung)
⇒AH = CK.
B
- Xét hai tam giác vuông OHM và OKM
H
A M
có: OM là cạnh chung và OH = OK
~
⇒ ∆OHM = ∆OKM (cạnh huyền-cạnh góc
O.
C
A
vuông)
K
⇒ MH = MK.
D B

Ta có: MH – AH = MK – CK ⇒ MA = MC
A
Bài 8
Cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm
của cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD.
Chứng minh rằng: OE vuông góc với CD.
Gợi ý
- Bài toán có “trung điểm, trọng tâm’’ gợi ta nghĩ đến đường trung bình của
tam giác.
- Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AD, AC giúp ta tìm được lời giải
của bài toán.
Giải
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, AC; G là giao điểm của CD và OA,
E là giao điểm của DN và CM.

11


- Dễ thấy G là trọng tâm của ∆ABC nên
nên

GC 2
= ; E là trọng tâm của ∆ACD
CD 3

EC 2
= .
CM 3

-Xét ∆CDM có

GC EC 2
=
=
nên theo định lý đảo Talets trong tam giác ta
CD CM 3

suy ra EG //MD.
- Mặt khác OD ⊥ AB (D là điểm giữa của dây cung AB của đường tròn (O))
nên OD ⊥ EG
∆ABC cân tại A, nội tiếp đơờng tròn (O) nên
OA ⊥ BC hay OG ⊥ BC.
Mà DN //BC (DN là đường trung bình của
∆ABC). Do vậy, OG ⊥ DN.
- Xét ∆DGE có GO và OD là hai đường cao cắt
nhau tại O
⇒ O là trực tâm của ∆DGE
Từ đó: OE ⊥ DG hay OE ⊥ CD
Bài 9
Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 4cm, AC = 3cm. Hãy xác định vị trí tương
đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A, bán kính 2,5 cm
Gợi ý
Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng
BC với đường tròn tâm A ta cần tính khoảng cách
từ A đến đường thẳng BC. Vì vậy cần vẽ thêm
A
yếu tố phụ là đường cao AH của ∆ABC.
Giải
H
- Vẽ AH là đường cao của ∆ABC.

B
C
- Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao
nên theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có:
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

⇒

1
1
1
= 2 + 2
2
AH
4
3

2

12
12

⇒ AH =   ⇒ AH =
= 2,4cm
5
5
2

- Vì 2,4 < 2,5 nên đường thẳng BC và đường tròn (A;2,5cm) cắt nhau.
Bài 10
Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O;R). Vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến
AM với đường tròn (O), M là tiếp điểm.
Chứng minh rằng: AB +AC ≥ 2AM
Gợi ý
12


- Vẽ thêm điểm phụ H là trung điểm của BC, tức
M
vẽ thêm OH ⊥ BC để đạt được AB + AC = 2AH.
H
B
C
- Khi đó cần chứng minh: AH ≥ AM.
A
- Sử dụng tính chất về quan hệ giữa các cạnh
O
trong tam giác vuông MAO và HAO ta tìm được
lời giải của bài toán.
Giải
- Vẽ OH ⊥ BC, (H ∈ BC), suy ra: BH = HC định lý đường kính vuông góc
dây cung).

- Ta có: AB + AC = (AH – BH) + (AH + HC) = 2AH
- Tam giác MAO có AMO = 900, theo định lí Pytago có: AM2 + OM2 = OA2.
- Tam giác HAO có AHO = 900 nên AH2 + OH2 = OA2
mà OB = OM = R; OH ≤ R nên OH ≤ OM. Do đó: OH2 ≤ OM2,
suy ra AH ≥ AM hay 2AH ≥ 2AM.
Từ đó có: AB + AC ≥ 2AM.
Bài 11
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc
với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB).
Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa
đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a) COD = 900.
b) CD = AC + BD
c) Tích AC . BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Gợi ý
a) Áp dụng kĩ năng 2a): ta nối tâm O với tiếp điểm M thì ta có OM ⊥ CD tại
M. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta tìm được lời giải của bài toán.
b) Nhờ tính chất tiếp tuyến dễ dàng có kết quả bài toán.
c)Áp dụng kĩ năng 2a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm lời
giải.
Giải
a) Vẽ đường nối tâm O với tiếp điểm M. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt
nhau, ta có OC, OD lần lượt là tia phân giác của các góc AOM và BOM.
y

1
1
=> Oˆ 1 = Oˆ 2 = AOM; Oˆ 3 = Oˆ 4 = BOM
2

2

Mà AOM và BOM là hai góc kề bù nên
1
Oˆ 2 = Oˆ 3 = ( AOM + BOM)
2
1
2

= .1800 = 900.

D

x
M
C
A

1

g

2 3

4

B

O

13


Hay COD = 900.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
MC = AC và MD = BD
Mà CD = MC + MD nên CD = AC + BD
c) Theo câu b), ta có AC . BD = MC . MD (1)
Xét ∆COD vuông tại O có OM ⊥ CD tại M nên MC.MD = OM2 (trong đó
OM là bán kính của đường tròn tâm O)
Từ (1) và (2) suy ra AC . BD = OM2 =

(2)
AB 2
(không đổi)
4

Vậy tích AC . BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
(O;

AB
).
2

Bài 12
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R), AH là đường cao (H ∈ BC).
Chứng minh: AB.AC = 2R.AH
Gợi ý
Để chứng minh đẳng thức trên ta nghĩ đến việc tìm hai tam giác đồng
dạng có các cạnh bằng độ dài các cạnh AB, AC, AH và đường kính của đường

tròn. Vẽ thêm đường kính AD của (O) ta có lời giải bài toán.
Giải
Vẽ đường kính AD của (O), ta có :
A

0

ACD= 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ∆HBA và ∆CDA có
AHB = ACD = 900; HBA = CDA
tiếp cùng chắn cung AC )
=> ∆HBA ∽ ∆CDA (g.g)
=>

.O

(hai góc nội

B

C

H
D

AH
AB AB
=
=
AC AD 2 R

=> AB.AC = 2R.AH
Bài 13
Cho đường tròn tâm O đường AB. Dây cung MN đi qua trung điểm H
của OB. Kẻ AD vuông góc với MN tại K (D thuộc đường tròn tâm O). Gọi I
là trung điểm của MN, tia BI cắt AD tại C. Chứng minh rằng:
M
a) Tứ giác BNCM là hình bình hành.
b) C là trung điểm của đoạn thẳng AD.
O

g

A

C
B

K

N

H

I

B

c

B 14
D


Gợi ý
a) Để chứng minh tứ giác BNCM là hình bình
hành ta nghĩ đến chứng minh tứ giác có hai đường
chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Biết I là trung điểm của MN, ta sẽ chứng minh I
cũng là trung điểm của BC. Áp dụng kĩ năng 1a)
nối tâm đường tròn với trung điểm của dây cung MN.
b) C là trung điểm của AD khi OC ⊥ AD, do đó đường phụ OC sẽ gợi cho ta
tìm lời giải bài toán.
Giải
a) - Vẽ đường nối O với trung điểm I của đoạn thẳng MN thì ta có OI ⊥ MN
tại I.
- Vì AD ⊥ MN (gt), nên OI // AD (vì cùng vuông góc với MN) => OI // AC
- Xét ∆ABC có OA = OB (vì cùng bằng bán kính) và OI //AC (chứng minh
trên) nên I là trung điểm của CB, suy ra IC = IB.
- Tứ giác BNCM có MN cắt CD tại I; IM = IN (theo giả thiết); IC = IB (theo
chứng minh trên) nên tứ giác BNCM là hình bình hành.
b) - Nối O với C.
- Xét ∆OBC có HO = HB, IC = IB nên HI là đường trung bình của ∆OBC, do
đó ta có HI //OC
(1)
.Mà HI ⊥ AD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra OC vuông góc với AD tại C nên C là trung điểm của đoạn
thẳng AD.
Bài 14

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ tiếp
tuyến chung ngoài BC của (O) và (O’) (B thuộc đường tròn (O), C thuộc
đường tròn (O’)).
Chứng minh rằng: góc BAC vuông.
Gợi ý
- Dễ thấy, nếu M là trung điểm của BC
B
M
thì phải có: MB = MA = MC.
C
- Áp dụng kĩ năng 4b), từ đó phát hiện
ra rằng M là giao điểm của tiếp tuyến
.
.
chung của (O) và (O’) với BC. Điểm
A
O
O’
phụ M giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
Giải
- Giả sử tiếp tuyến chung của (O) và
(O’) tại A cắt BC tại M.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có: MA = MB, MA = MC

15


- Do đó: ∆ABC có AM là đường trung tuyến và AM =

BC

nên ∆ABC vuông
2

tại đỉnh A, suy ra: BAC = 900.
Bài 15
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại S. Kẻ các tiếp tuyến
chung ngoài AB, CD; với A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’).
Chứng minh rằng: AB + CD = AC + BD.
Gợi ý
Vận dụng kỹ năng 4b) ta vẽ thêm tiếp tuyến chung tại S của hai đường
tròn để từ đó tìm được lời giải bài toán.
Giải
- Vẽ tiếp tuyến chung tại S, lần lượt cắt AB, CD ở M, N.
A
- Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
M
B
AM = SM = BM, CN = SN = DN.
Do đó: AB + CD = 2MN (1)
.
- Mặt khác OO’ là trục đối xứng của
.’
S
O
O
hình nên C đối xứng với A qua OO’,
D đối xứng với B qua OO’nên AC ⊥
D
OO’, BD ⊥ OO’.
N

C
Do đó: AC // BD => ABDC là hình thang.
- Vì M, N lần lượt là chung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình
của hình thang ABDC => AC + BD = 2MN.
(2)
- Từ (1) và (2) có: AB + CD = AC + BD.
Bài 16
Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r (R > r). A và M là
hai điểm thuộc đường tròn nhỏ. Qua điểm M, ta vẽ dây BC của đường tròn
lớn sao cho BC vuông góc với AM.
Tính MA2 + MB2 + MC2 theo R và r?
Gợi ý
- Từ đề bài khiến ta nghĩ đến định lý Pytago để xuất hiện “bình phương”.
- Vẽ điểm phụ D là giao điểm của BC với đường tròn nhỏ, H là hình chiếu của
O trên BC. Từ đây giúp ta tìm ra lời giải của bài toán.
Giải
- Gọi D là giao điểm của BC và đường
tròn nhỏ,
M
D
B
C
H là hình chiếu của O trên BC.
H
- Ta có: OH ⊥BC => H là trung điểm
.
BC và MD (định lý đường kính
O
vuông góc dây cung)
Vậy BH = HC =

BC
; MH = HD = =
2

A

16


MD
.
2

- Vì OH là đường trung bình của tam giác MAD nên OH =

1
MA
2

=> MA = 2OH.
- Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (HC + HD)2
- Vì OH là đường trung bình của tam giác MAD nên
OH =

1
MA => MA = 2OH.
2

- Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (HC + HD)2

= (BH – MH)2 + (BH +MH)2 = 2(BH2 + MH2) = 2BH2 + 2MH2.
- Vì ∆HBO vuông tại H, theo định lí Pytago ta có: OH2 + BH2 = OB2 = R2.
- Vì ∆HMO vuông tại H, theo định lí Pytago ta có: OH2 + MH2 = OM2 = r2.
Do đó: MA2 + MB2 + MC2 = 4OH2 + 2BH2 + 2MH2
= 2(OH2 + BH2) + 2(OH2 + MH2) = 2R2 + 2r2.
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 2R2 + 2r2.
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN:
Sau khi áp dụng sáng kiến này vào quá trình dạy học tôi thấy các em học
sinh có hứng thú hơn với phân môn Hình học, các em đã chủ động giải các
bài toán về đường tròn. Nhiều lời giải các em trình bày ngắn gọn, chính xác
và rất tự tin khi nêu ra ý kiến của mình, nhiều bài trong đề cương ôn thi vào
lớp 10 được các em giải hoàn chỉnh. Kết quả, chất lượng học sinh đậu vào lớp
10 THPT của trường tôi đạt tỉ lệ khá cao so với các trường trong huyện. Cụ
thể, bài kiểm tra chuyên đề đường tròn sau đợt ôn thi vào lớp 10 năm học
2016 - 2017 như sau:
Lớp

Sĩ
số

9B

40

Tỉ
Điểm
lệ
0-<3,0
%

0

0

Tỉ
Điểm
lệ
3,0-<5,0
%

5

12,5

Tỉ
Điểm
lệ
5,0-<7,0
%

24 60

Điểm
7,0-< 9,0

Tỉ
lệ
%

9

22,5

Tỉ
Điểm
lệ
9.0-10
%

2

17

5


PHẦN III. KẾT LUẬN
Các cách giải toán hình rất nhiều, các cách chứng minh cũng rất đa dạng,
người học muốn làm được bài tập phải biết cách suy xét vấn đề, phân tích các
mối liên hệ, tìm ra mấu chốt của vấn đề để tháo gỡ, đây là một trở ngại đối
với học sinh. Do vậy, giáo viên cần có sự định hướng, cung cấp cho học sinh
những quy tắc, phương pháp làm bài tập đồng thời phát huy ở học sinh năng
lực sáng tạo, vận dụng linh hoạt các định lý và các phương pháp chứng minh.
Một trong những khó khăn đối với học sinh khi chứng minh hình học là
khi gặp những bài toán có vẽ thêm đường phụ. Do vậy, việc rèn luyện cho học
sinh kĩ năng, cung cấp cho học sinh các bài toán cơ bản nhằm giúp cho học
sinh có định hướng đúng trong việc vẽ đường phụ như trong đề tài đã nêu là
điều thực sự cần thiết. Nắm được mục đích, biết được các loại đường phụ cần
vẽ sẽ giúp học sinh có được tư duy hợp lý, biết cách suy xét bài toán và tìm ra
cách giải quyết các bài toán có vẽ thêm đường phụ, tránh được những sai lầm.

Qua đó tạo cho học sinh sự tự tin, say mê, yêu thích môn học.
Sau khi áp dụng sáng kiến trên đã mang lại hiệu quả rõ rệt. Nhiều học sinh
đã chủ động tìm tòi, định hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải không cần sự
gợi ý của giáo viên. Vậy nên mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói
riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của từng đối tượng học sinh để đưa ra
các bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp, giúp các em làm được và
sáng tạo các cách giải gây hứng thú, từ đó dần dần nâng cao kiến thức từ dễ
đến khó. Để làm được như vậy, tôi luôn tìm tòi, tham khảo nhiều tài liệu để
tìm ra các bài toán hay, với nhiều cách giải khác nhau. Thông qua phương
pháp dạy học, giáo dục cho các em năng lực tư duy độc lập, tính sáng tạo, tinh
thần tự giác trong học tập, phương pháp giải toán nhanh, kĩ năng giải toán
thành thạo.
Trên đây là một kinh nghệm nhỏ của tôi về việc dạy học sinh lớp 9 và ôn
tập thi vào lớp 10, đã áp dụng có hiệu quả khá tốt. Rất mong được bạn bè,
đồng nghiệp góp ý để tôi có nhiều kinh nghiệm tốt hơn trong công tác giảng
dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thọ Xuân, ngày 18 tháng 3 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
bản thân, không copy, không sao chép
của người khác.
Người viết

Mai Thị Thanh Huyền

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS - Trần Văn Tấn
NXB giáo dục năm 2002
2. Nâng cao và phát triển Toán 9. Tập 1 - Vũ Hữu Bình
NXB giáo dục năm 2005
3. Thực hành giải toán. Tập 2 - Hoàng Chúng
NXB ĐHSP Hà Nội năm 1995
4. 500 bài toán chọn lọc Toán 9 - Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Quang Hanh Ngô Long Hậu. NXB ĐHSP Hà Nội năm 2005
5. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán Hình học 9 - Nguyến Đức Tấn
NXB giáo dục TP.HCM năm 2005

19


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ
XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
MAI THỊ THANH HUYỀN
Chức vụ và đơn vị công tác: Hiệu trưởng - Trường THCS Xuân Tân - Thọ Xuân

TT

1
2
3
4
5

6
7

8

Tên đề tài SKKN
Phương pháp dạy học sinh lớp 8 chứng
minh định lí Hình học
Phương pháp dạy học sinh giải bài toán
chứng minh Hình học 7
Phương pháp dạy học sinh chứng minh bài
toán bất đẳng thức lớp 8
Phương pháp dạy học sinh giải bài toán cực
trị Hình Học lớp 9
Phương pháp suy luận phân tích để giải bài
toán Hình học 7
Phương pháp suy luận phân tích để giải bài
toán Hình học 7
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vẽ
thêm yếu tố phụ để giải một số bài
toán về hệ thức lượng trong tam giác
vuông.
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm
yếu tố phụ để giải một số bài toán
về đường tròn trong Hình học 9

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại (A,
B, hoặc C)

Năm học
đánh
giá
xếp
loại

Cấp Huyện

C

2002-2003

Cấp Huyện

C

2003-2004

Cấp Huyện

C

2006-2007

Cấp Huyện

C

2008-2009

Cấp Huyện

B

2011-2012

Cấp Tỉnh

C

2011-2012

Cấp Huyện

C

2015-2016

Cấp Huyện

B

2017-2018

20