Một số lỗi thường gặp của học sinh lớp 10 trong giải phương trình và biện pháp khắc phục

MỘT SỐ LỖI THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH LỚP 10 TRONG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời mở đầu.
Trong trường phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan
trọng. Trước hết, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu
chung của giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển tư duy sáng tạo
cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh lĩnh hội những kiến thức và rèn luyện
kĩ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng
lực trí tuệ chung như: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...Rèn
luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như: tính cẩn thận,
chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán và óc thẫm mĩ. Đồng thời, môn Toán còn
cung cấp vốn văn hóa toán học phổ thông một cách có hệ thống và tương đối
hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kĩ năng và tư duy. Mặt khác, môn Toán còn là
công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học khác.
Do tính trừu tượng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng. Những
tri thức và kĩ năng Toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán
học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác trong nhà trường,
là công cụ nhiều ngành khoa học khác, là công cụ để hoạt động trong đời
sống, thực tế và vì vậy là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn
hóa phổ thông của con người mới.
Là một giáo viên dạy học Toán, trong mỗi giờ lên lớp, giáo viên đều phải
chuẩn bị chu đáo, bắt đầu từ giáo án, phương án lên lớp cho một giờ học. Việc
truyền thụ kiến thức cho học sinh mỗi giáo viên Toán là chọn hướng đi khác
nhau. Song, các giáo viên phải đạt được là kiến thức và các yêu cầu, ý đồ của
sách giáo khoa, tất cả gộp lại đưa đến cho học sinh một cách hiểu, nắm bắt kiến
thức, vận dụng kiến thức một cách nhuần nhuyễn, thành thạo nhất.
Trong quá trình học Toán, học sinh thường mắc những sai lầm, cho dù
những sai lầm đó thường xảy ra hoặc có thể xảy ra đều là điều đáng tiếc cho bản
thân học sinh và người dạy. Nếu trong quá trình dạy học toán, ta đưa ra những
tình huống sai lầm mà học sinh dễ bị mắc phải, chỉ rõ và phân tích cho các em

thấy được chỗ sai lầm, điều đó sẽ giúp cho các em không những khắc phục được
sai lầm mà còn hiểu kĩ hơn bài mình đang học.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Do đặc điểm là học sinh đầu cấp ba, có nhiều cái mới đặc biệt là bộ môn
toán khó hơn và đòi hỏi tư duy cao hơn. Vì vậy, trải qua nhiều năm trực tiếp
giảng dạy học sinh lớp 10, cá nhân tôi tự nhận thấy rằng khi đứng trước một bài
toán về phương trình hay bất phương trình thì học sinh thường giải theo thói
quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lý thuyết vừa học. Việc giải
hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một phương trình hoặc bất phương trình
1


thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không lưu ý đến điều kiện nào. Những sai sót đó là
do trước đây ở THCS học sinh thường gặp chủ yếu là các phương trình hoặc bất
phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu
được...
Những khó khăn thể hiện qua các sai lầm mà các em thường gặp:
- Trong quá trình học toán học sinh hiểu phần lý thuyết có khi chưa chắc
chắn hoặc còn mơ hồ về các định nghĩa, các khái niệm, các công thức…nên
thường dẫn đến sai lầm khi làm bài tập.
- Có những dạng bài tập nếu học sinh không chú tâm để ý hay chủ quan
xem nhẹ hoặc làm theo cảm nhận tương tự là có thể vấp phải sai lầm.
- Đa số học sinh cảm thấy khó học phần định nghĩa, khái niệm mà đây lại
là vấn đề quan trọng yêu cầu học sinh phải nắm và hiểu được trước khi làm bài
tập, còn học sinh có tư tưởng chờ làm bài tập rồi mới hiểu kĩ hơn về các định
nghĩa, khái niệm đó, nên dễ dẫn đến sai lầm.
- Bản thân nhiều học sinh lại rất lười trong việc đọc - hiểu các định nghĩa,
khái niệm nên trong quá trình giải bài tập gặp rất nhiều khó khăn và hay dễ mắc
phải những lỗi sai .
Chẳng hạn, với bài tập "Giải phương trình:

x−2
= 0 ". Đa số các em đã
x2 − 2 x

sử dụng phương pháp sai để giải, số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 10 A (sĩ số 32)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Số lượng
10
18
04

Phần trăm
31.3 %
56.4 %
12.5 %

Số lượng
13
16
05

Phần trăm
38.2 %
47.1 %
14.7 %

Lớp 10B (sĩ số 34)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Từ thực trạng trên, để góp phần dạy học bộ môn đại số 10 đạt kết quả tốt
hơn, với sự thu thập và tích luỹ kinh nghiệm của bản thân, Tôi đã đúc kết, tổng
hợp những sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình dạy học, tôi mạnh
dạn viết đề tài: " Một số lỗi thường gặp của học sinh lớp 10 trong giải phương
trình và biện pháp khắc phục" với mục đích giúp học sinh học tốt hơn, các bạn
đồng nghiệp có chút tài liệu tham khảo thêm trong quá trình giảng dạy.

2


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện.
Để giúp học sinh dần dần vượt qua các khó khăn, tránh được những sai lầm
thường gặp trên, tôi đề xuất các giải pháp sau đây:
* Đối với mỗi bài học, tiết học nếu có những sai lầm mà học sinh thường
mắc phải (giáo viên rút được từ kinh nghiệm giảng dạy) thì giáo viên cần đưa
vào ngay tiết dạy để chỉ rõ cho học sinh biết trước những lỗi sai đó.
* Mỗi sai lầm đưa ra giáo viên còn hướng dẫn học sinh tìm hiểu nguyên
nhân và có biện pháp khắc phục giải quyết những sai lầm để học sinh rút kinh
nghiệm và hiểu thêm bài học.
II. Các biện pháp để tổ chức thực hiện.
f ( x)

1) Dạng: g ( x) = 0 ?

Sai lầm trong nắm kiến thức:
Sai lầm này thể hiện:
Học sinh học thường biến đổi tương đương như sau:
f ( x)
= 0 ⇔ f ( x) = 0
g ( x)

Rất nhiều em nhầm lẫn rằng “tử thức bằng 0 thì phân thức bằng 0”
Biện pháp khắc phục:
- Cần lưu ý học sinh khắc sâu kiến thức: “phép chia chỉ thực hiện được nếu số
chia khác 0”
- Để làm dạng toán này trước hết phải tìm điều kiện xác định.
Ví dụ 1 : Giải phương trình:
Sai lầm thường gặp:

x−2
=0
x2 − 2 x

x−2
=0⇔ x−2=0⇔ x = 2
x2 − 2 x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2
Nguyên nhân sai lầm: khi x = 2 thì x2 – 2x = 0 (vế trái không tồn tại) nên x = 2
không phải là nghiệm.
Lời giải đúng là:

x − 2 = 0
 x = 2(loaïi)

x−2
⇔
=0 ⇔  2
2
x − 2x
 x ≠ 0; x ≠ 2
x − 2x ≠ 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

3


Bài tập tương tự: Ngay sau khi phân tích nguyên nhân sai lầm và cách khắc
phục có thể cho học sinh làm các bài tập tương tự như sau:
Giải các phương
trình sau:
a)

x2 + 2x − 3
=0
x−1

b)

x2 + 2x − 3
=5
x+ 3

2) Dạng: f ( x).g ( x) = 0 ?

Sai lầm trong nắm kiến thức:
Sai lầm này thể hiện:
Học sinh học thường biến đổi tương đương
 f (x) = 0 mà không chú ý đến x thuộc điều kiện xác định của
f ( x).g ( x) = 0 ⇔ 
 g(x) = 0
phương trình: f ( x).g ( x) = 0

Biện pháp khắc phục:
- Cần lưu ý học sinh khắc sâu kiến thức: việc đầu tiên để giải phương trình là
tìm tập xác định.
Ví dụ 2 : Giải phương trình: x − 1(x + 3) = 0
Sai lầm thường gặp:

 x−1 = 0 x = 1
⇔
x − 1(x + 3) = 0 ⇔ 
(x + 3) = 0  x = −3

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1; - 3}
Nguyên nhân sai lầm: khi x = - 3 thì
phải là nghiệm.

x− 1 không có nghĩa. nên x = 2 không

Lời giải đúng là:
ĐK: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
 x−1 = 0  x = 1
⇔
⇔


x − 1(x + 3) = 0
(x + 3) = 0  x = −3(loaïi)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1}
Bài tập tương tự: Ngay sau khi phân tích nguyên nhân sai lầm và cách khắc
phục có thể cho học sinh làm các bài tập tương tự như sau:
Giải các phương
trình sau:
a) x + 1.(x + 5) = 0

4


b) x − 2.(x2 − x − 12) = 0
3) Dạng: f ( x).h( x) = g ( x).h( x) ?
Sai lầm trong nắm kiến thức:
Sai lầm này thể hiện:
Học sinh học thường biến đổi tương đương
f ( x).h( x) = g ( x).h( x ) ⇔ f (x) = g(x) mà không chú ý đến những giá trị của x
làm cho h(x) = 0
Biện pháp khắc phục:
- Cần lưu ý học sinh khắc sâu kiến thức: chỉ khi h(x) ≠ 0 thì mới có thể chia 2
vế cho h(x).
Ví dụ 3 : Giải phương trình: (2x2 – 3)(x – 5) = (3x - 4)(x - 5)
Sai lầm thường gặp:
(2x2 – 3)(x – 5) = (3x - 4)(x - 5)
⇔ 2x2 – 3= 3x – 4
x = 1
⇔ 2x – 3x + 1 = 0 ⇔ 

x = 1

2
2

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1;

1
}
2

Nguyên nhân sai lầm: học sinh đã chia 2 vế cho x - 5 mà không xét trường hợp
x - 5 = 0.
Lời giải đúng là: (2x2 – 3)(x – 5) = (3x - 4)(x - 5)
TH1: nếu x = 5 thì VP = VT nên x = 5 là một nghiệm của phương trình. TH2:
nếu x ≠ 5 thì x – 5 ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho x – 5 ta được:
x = 1
2x – 3= 3x – 4 ⇔ 2x – 3x + 1 = 0 ⇔  1 (TM)
x=

2
2

2

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1;
Kết luận:

1
; 5}

2

 f ( x).h( x ) = g ( x).h( x)
⇔ f ( x) = g ( x)

 h( x ) ≠ 0

4) Dạng: A.B = A. B ?
Sai lầm trong nắm kiến thức:
Sai lầm này thể hiện:
Học sinh học thường biến đổi
B.

A.B = A. B mà không xét đến dấu của A và

5


Biện pháp khắc phục:
- Cần lưu ý học sinh khắc sâu kiến thức:
 A. B
neu
á A, B ≥ 0
A.B = 
u A, B ≤ 0
 − A. − B neá

Ví dụ 4 : Giải phương trình: (x + 1)(x2 − 2x − 3) = x + 1
Sai lầm thường gặp:
(x + 1)(x2 − 2x − 3) = x + 1

⇔

(x + 1)(x + 1)(x − 3) = x + 1

⇔

(x + 1)2(x − 3) = x + 1

⇔ x + 1 (x − 3) = x + 1

⇔

  x + 1= 0

 x − 3≥ 0
  x + 1≥ 0 ⇔
 
  x − 3 = 1


  x = −1

 x ≥ 3 ⇔
x=4
  x ≥ −1

  x = 4

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {4}
Nguyên nhân sai lầm: Học sinh nghĩ x = - 1 không phải nghiệm của phương

trình vì sẽ làm x− 3 không có nghĩa!
Lời giải đúng là:
(x + 1)(x2 − 2x − 3) = x + 1
⇔

(x + 1)(x + 1)(x − 3) = x + 1

⇔

(x + 1)2(x − 3) = x + 1

⇔ x + 1 (x − 3) = x + 1
⇔

 x + 1= 0

  x + 1≠ 0 ⇔
 x − 3 = 1
 

 x = −1
 x = −1

  x ≠ −1 ⇔  x = 4

  x = 4


Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1; 4}

5) Dạng:

A
=
B

A
?
B

Sai lầm trong nắm kiến thức:
Sai lầm này thể hiện:
Học sinh học thường biến đổi

A
=
B

A
mà không xét đến dấu của A và B.
B

6


Biện pháp khắc phục:
- Cần lưu ý học sinh khắc sâu kiến thức:
 A

A  B

=
B  −A

 − B

neu
á A, B ≥ 0
neu
á A, B ≤ 0

Ví dụ 5 : Giải phương trình: 2 (x2 − 1) = (x + 3)

x+ 1
x−1

Sai lầm thường gặp:
2 (x2 − 1) = (x + 3)

x+ 1
x−1

⇔ 2 (x − 1)(x + 1) = (x + 3)
⇔
⇔
⇔

x+ 1

x−1


x+ 3 
x + 12 (x − 1) −
=0
x − 1


x+ 1
x−1

 2(x − 1) − (x + 3) = 0

x+1

(x − 5) = 0
x−1
 x − 1≥ 0
x ≥ 1


⇔   x + 1= 0 ⇔   x = −1 ⇔ x=5
 x − 5 = 0
 x = 5



Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {5}
Nguyên nhân sai lầm: Học sinh nghĩ x = - 1 không phải nghiệm của phương
trình vì sẽ làm x− 1 không có nghĩa!
Lời giải đúng là:
2 (x2 − 1) = (x + 3)

x+ 1
x−1

⇔ 2 x + 1.(x − 1)2 = (x + 3) x + 1
x−1
x−1
⇔ 2 x + 1. x − 1 = (x + 3) x + 1
x−1
x−1
⇔

x+ 1
 2 x − 1 − (x + 3) = 0

x−1 

7


 x+ 1
 x−1 = 0

⇔  x + 1
 x − 1 ≥ 0

 2 x − 1 − (x + 3) = 0
 x = −1

 x > 1


⇔   x ≤ −1

  2(x − 1) − (x + 3) = 0 vôù
i x − 1≥ 0

i x − 1< 0
  2(1− x) − (x + 3) = 0 vôù
 x = −1
⇔
x = 5

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1; 5}
6) Dạng: A.B = A.C ?
Sai lầm trong nắm kiến thức:
Sai lầm này thể hiện:
Học sinh học thường biến đổi:
A.B = A.C ⇔

A = 0
A . B = A. C ⇔ 
Đây không phải là phép biến
 B = C

đổi tương đương!.
Biện pháp khắc phục:
- Cần lưu ý học sinh khắc sâu kiến thức:
A = 0

A.B = A.C ⇔   B = C

  A ≠ 0, A.B ≥ 0


Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2x3 − 3x = x2 − 2x
Sai lầm thường gặp:
2x3 − 3x = x2 − 2x
⇔

x(2x2 − 3) = x(x − 2)

⇔

x. 2x2 − 3 = x. x − 2

⇔

x( 2x2 − 3 − x − 2) = 0

 x=0
⇔
 2x2 − 3 − x − 2 = 0

8


x = 0
x = 0
x = 0



⇔ 
⇔  2x2 − 3 = x − 2 ⇔  2x2 − x − 1= 0
2
 2x − 3 = x − 2
  x ≥ 2
  x ≥ 2


x = 0

 x = 1
⇔   
−1 ⇔ x = 0
 x =
2
  
  x ≥ 2


Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0}
Lời giải đúng là:
2x3 − 3x = x2 − 2x
⇔

x(2x2 − 3) = x(x − 2)

x = 0

⇔  2x2 − 3 = x − 2
  x(x − 2) ≥ 0


x = 0

2x2 − x − 1= 0
⇔  
x ≥ 2
  
   x ≤ 0

x = 0
⇔
 x = −1

2

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;

−1
}
2

III. Kết quả thực hiện.
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết
quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi
khảo sát tình hình giải bài tập toán ở 2 lớp 10A và 10B như sau:
Bài số 1: Giải phương trình sau:
x2 + 2x − 3
=0
x−1

Lớp 10 A (sĩ số 32)
Không giải được
Giải sai phương pháp

Số lượng
4
4

Phần trăm
12.5 %
12.5 %
9


Giải đúng phương pháp

24

75%

Số lượng
5
5
24

Phần trăm
14.7 %
14.7 %
70.6 %

Lớp 10B (sĩ số 34)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp
Bài số 2: Giải phương trình:

x − 2.(x2 − x − 12) = 0

Lớp 10 A (sĩ số 32)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

Số lượng
4
5
23

Phần trăm
12.5 %
15.6 %
71.9%

Số lượng
6
5
23

Phần trăm
17.6 %

14.7 %
67.7 %

Lớp 10B (sĩ số 34)
Không giải được
Giải sai phương pháp
Giải đúng phương pháp

C. KẾT LUẬN:
Khi áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi nhận thấy học sinh đã có khả
năng hạn chế để xảy ra những sai lầm đáng tiếc trong khi làm bài tập ở nhà, ở
lớp hoặc bài kiểm tra.Tuy nhiên do đặc điểm là học sinh GDTX nên vẫn còn một
số trường hợp học sinh vẫn còn mắc phải sai lầm bởi khả năng nhận thức của
các em hạn chế, tính chủ quan xem nhẹ hay làm bài theo cảm nhận thói quen.
Với những nguyên nhân và biện pháp khắc phục sai lầm đã được mổ xẻ phân
tích làm cho học sinh thêm hiểu bài học, nắm vững phần lý thuyết để trong quá
trình làm bài tập được dễ dàng hơn và khỏi bị mắc sai lầm.
Qua việc áp dụng đề tài này trong giảng dạy, tôi rút ra được một số bài học
kinh nghiệm sau đây:
- Dạy cho học sinh biết sự dễ mắc sai lầm, làm cho học sinh dễ nhớ và
hiểu bài hơn.
- Phương pháp chỉ ra cái sai để tìm ra cái đúng rất dễ dạy và dễ học.
- Phải tích luỹ những sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy, để
từ đó tìm ra biện pháp khắc phục sao cho hữu hiệu.
10


- Thực tế đề tài sáng kiến kinh nghiệm này có thể được áp dụng vào ngay
trong tiết dạy, tại một thời điểm phù hợp ở từng bài học, hoặc giáo viên có thể
cho học sinh tham khảo trước ở nhà để học sinh nắm bắt nội dung bài học một

cách dễ dàng hơn.
- Tuy nhiên những sai lầm cùng với những nguyên nhân và biện pháp khắc
phục tôi đưa ra không phải là hoàn toàn hữu hiệu, những bài tập ví dụ cũng chỉ
dừng lại ở đa số những bài dễ, bài khó ít do đặc thù của bậc học GDTX. Rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp.

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi
không sao chép nội dung của người khác.

Bùi Văn Tiếp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đại số 10 - SGK - Bộ Giáo dục và đào tạo - NXBGD.
2. Bài tập Đại số 10 - SBT - Bộ Giáo dục và đào tạo - NXBGD 2015.

11


3. Để học tốt Đại số 10 – Sách tham khảo – Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng,
Trần Hữu Nam, Hoàng Đức Nguyên (2011) – NXBGD.
4. Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán - Sách tham khảo - Nguyễn Thái
Hòe (1998) - NXBGD
5. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán – Sách tham khảo Trần
Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), , NXB Hà Nội.

12