Hướng dẫn học sinh giải nhanh một số dạng bài tập trắc nghiệm liên quan đến đồ thị hàm số f(x)

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

PHẦN I. PHẦN MỞ ĐẦU............................................................................ 2
1.1. Lý do chọn đề tài...................................................................................... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................ 3
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu................................................................ 3
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................... 3
1.5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG SKKN....................................................................... 3
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN........................................................................... 3
2.2. Giải quyết vấn đề...............................................................

6

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm khoảng đơn điệu của các
hàm số

6

Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm cực trị của các hàm số

10

Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm GTLN, GNNN của các hàm
số

12

Dạng 4: Một số bài toán l

iên quan đến đồ thị của các hàm số

y = f ( x ) ; y = f ' ( x ) ; y = f '' ( x ) .

17

Dạng 5: Một số bài toán khác liên quan đến đồ thị hàm số

y = f '( x) .

18

2.3. Kết quả thực nghiệm

22

PHẦN III. KẾT LUẬN

25

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 27

Trang 1


PHẦN I. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Năm học 2016-2017, do yêu cầu của thực tiễn, bộ giáo dục đã đổi mới hình

thức thi THPT quốc gia, chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Vì vậy người giáo
viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp. Trong mỗi tiết
dạy cần dạy cho học sinh học được vấn đề gì, chứ không phải giáo viên dạy được
gì. Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, phần đầu chương I: Chương ứng
dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số chỉ nêu phần lí
thuyết mà có rất ít ví dụ liên quan đến đồ thị hàm số f’(x). Trong khi cấu trúc đề thi
THPT quốc gia và các đề thi thử của các trường, các sở giáo dục thường xuyên có
câu hỏi về dạng toán liên quan đến đồ thị hàm f’(x), f’’(x) và f’’’(x).
Xét ví dụ sau: Cho hàm số
mệnh đề đúng?

y = f ( x)

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
C. Hàm số đồng biến trên khoảng

có đồ thị như hình sau. Tìm

( 1; +∞ )

( −1;3)

.

.

( −∞; −1)

.

( 0; 2 )

D. Hàm số đồng biến trên khoảng
.
Đối với ví dụ trên thì học sinh dễ dàng tìm ra đáp án D. Ta thử đặt vấn đề nếu cho
y = f '( x)

đồ thị của hàm số
không? Ta xét ví dụ sau:

thì có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số

y = f ( x)

y

4
O

1

2 3

5

x

Cho hàm số
¡

và hàm số

y = f ′( x)

y = f ( x)

. Biết

f ( x)

có đạo hàm là

f ′( x)

trên

có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?
Trang 2


A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

y = f ( x)
y = f ( x)

y = f ( x)

y = f ( x)

chỉ có hai điểm cực trị.
đồng biến trên khoảng

( 1;3)

nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

.

( −∞; 2 )

( 4; +∞ )

.

.

Học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:
y = f ( x) .

- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số
- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số

y = f '( x) .

Bên cạnh đó, trong đề thi TN THPTQG 2016-2017 có câu sau:

y
4
2

−3

O 1
−2

x

3

Câu 48- Đề 102: Cho hàm số
y = f ′( x)

A.
B.
C.

như hình bên. Đặt

g ( 3) > g ( −3) > g ( 1)
g ( −3) > g ( 3) > g ( 1)

g ( 1) > g ( −3) > g ( 3)

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1)

.

.
.
Trang 3

y = f ( x)

. Đồ thị của hàm số

2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


D.

g ( 1) > g ( 3) > g ( −3)

.

Trước các vấn đề trên tôi thấy cần có những kỷ năng để hướng dẫn học sinh giải
các dạng bài tập này do đó tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh một
số dạng bài tập trắc nghiệm liên quan đến đồ thị hàm số f’(x)”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số

y = f '( x)

với các vấn đề

y = f ( x)

của hàm số
. Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao
trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT QG 2018-2019
1.3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình
SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số

y = f '( x)

.

1.4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :
Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết. Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp
dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này.
1.5. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH :
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
PHẦN II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số
Giao điểm của đồ thị hàm số
trình hoành độ giao điểm

y = f ( x)

y = f ( x)

và trục hoành.

với trục hoành là nghiệm của phương

f ( x ) = 0.

2.1.2. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng
biến thiên.
Bảng 1:
Trang 4


Hàm số

y = f ( x)

đạt cực đại tại điểm

x = x0

.

Bảng 2:

Hàm số

y = f ( x)

đạt cực tiểu tại điểm

x = x0

.

2.1.3. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
bằng bảng biến thiên.
Bảng 3:

min y = f ( x0 )

Ta có:

[ a ;b ]

.

Bảng 4:

Trang 5


max y = f ( x0 )

Ta có:

[ a ;b ]

.

Bảng 5:

min y = f ( a ) ; max y = f ( b )

Ta có:

min y = f ( b ) ; max y = f ( a )

[ a ;b]

[ a ;b]

.Ta có:

[ a ;b ]

[ a ;b]

.

2.1.4. Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số dưới dấu tích phân, trục hoành và hai đường thẳng

x = a; x = b ( a < b )

.

b

b

∫ f ( x ) dx < 0.

∫ f ( x ) dx > 0.

a

a

Trang 6


b

∫  f ( x ) − g ( x ) dx > 0
a

b

∫ f ( x ) dx = S

1

b

− S 2 + S3 .

∫  g ( x ) − f ( x ) dx < 0

a

a

2.1.5. Phép biến đổi đồ thị.

y = f ( x)

Cho hàm số
 Hàm số
a

trên

y = f ( x) + a

có đồ thị (C). Khi đó, với số

a>0

ta có:

có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của

Oy

lên

đơn vị.

 Hàm số

y = f ( x) − a

có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của

Oy

a

xuống dưới đơn vị.
 Hàm số

y = f ( x + a)

có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của

Ox

qua

a

trái đơn vị.
 Hàm số
phải

a

y = f ( x − a)

có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của

đơn vị.

2.2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

Trang 7

Ox

qua


Khi cho đồ thị của hàm

f '( x )

ta cần tìm các khoảng đơn diệu, cực trị,

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
f [ u ( x)]

y = f ( x)

hoặc các hàm số hợp

, bây giờ ta đi xét một số dạng bài toán thường gặp sau đây .

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm khoảng đơn điệu của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x). Tìm khoảng đơn diệu của các
hàm số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x),...
Phương pháp chung:
Bước 1: Tính đạo hàm y’
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 1: (Câu 39 đề minh hoạ 001 năm 2018). Cho hàm số

y = f '( x)

C.

Hàm số

có đồ thị như hình bên. Hàm số

y = g ( x ) = f ( 2 − x)

A.

y = f ( x) .

đồng biến trên khoảng

( 1;3)

B.

( −2;1)

D.

( 2; +∞ )
( −∞; −2 )
Hướng dẫn:

Ta có

 2 − x < −1
x > 3
g '( x) = − f '( 2 − x) > 0 ⇔ f '( 2 − x) < 0 ⇔ 
⇔
1 < 2 − x < 4
 −2 < x < 1

Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ. Đặt

. Biết

f ( x)

g ( x ) = f ( x + 1)

có đạo hàm

f '( x)

và hàm số

. Kết luận nào sau đây đúng?

Trang 8

y = f '( x )


A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

g ( x)
g ( x)

g ( x)
g ( x)

có hai điểm cực trị.
đồng biến trên khoảng

( 1;3)

nghịch biến trên khoảng

.

( 2; 4 )

.

có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Hướng dẫn

x +1 = 1
x = 0

g ' ( x ) = f ' ( x + 1) = 0 ⇔  x + 1 = 3 ⇔  x = 2
 x + 1 = 5
 x = 4

Bảng biến thiên
x

0

−∞

y,

-

0

2
+

0

y

Ta chọn đáp án C.

Trang 9

+∞

4
-

0

+


Ví dụ 3: Cho hàm số
y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e

hàm số

g ( x ) = f ( x2 − 2)

A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

g ( x)

g ( x)
g ( x)

g ( x)

, đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

( −∞; −2 ) .

( 2; +∞ ) .

nghịch biến trên khoảng
nghịch biến trên khoảng

( −1; 0 ) .

( 0; 2 ) .

Hướng dẫn:
g '( x) = 2 x. f ' ( x 2 − 2 )

Ta có:
x = 0
x = 0
 2
g ' ( x ) = 0 ⇔  x − 2 = −1 ⇔  x = ±1
 x2 − 2 = 2
 x = ±2


 x < −2
f ' ( x2 − 2) > 0 ⇔ x2 − 2 > 2 ⇔ x2 > 4 ⇔ 
x > 2

Trang 10

y = f '( x)

. Xét


Lập bảng biến thiên của hàm số ta chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Cho hàm số
của hàm số
y = ( f ( x) )

y = f '( x)

y = f ( x)

có đạo hàm trên

¡

thoả

f ( 2 ) = f ( −2 ) = 0

có dạng như hình bên. Hàm số

2

nghịch biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau ?

A.
C.

3

 −1; ÷.
2


B.

( −2; −1) .

D.

( −1;1) .
( 1; 2 ) .

Hướng dẫn:
Ta có

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1; x = ±2.

Ta có bảng biến thiên :
x

−2

−∞

1

+∞
f '( x)

+

0

-

0
f ( x)

0

2

+

0
0

−∞
−∞

⇒ f ( x ) < 0; ∀x ≠ ±2.

Trang 11

-

và đồ thị


Xét

 f ( x) = 0
2
 x = ±2
y = ( f ( x) ) ⇒ y ' = 2 f ( x) . f '( x) = 0 ⇔ 
⇔
 x = 1; x = ±2
 f ' ( x ) = 0

Bảng xét dấu :
x

−∞

−2

1

+∞

2

f '( x)

+

0

-

0

+

0

-

f ( x)

-

0

-

0

-

0

-

-

0

+

0

-

0

+

y = ( f ( x) )

2

Chọn đáp án D.
y = f ( x)

Ví dụ 5: Cho hàm số

liên tục và có đạo hàm

f '( x)

¡

trên . Biết hàm số
có đồ thị được cho trong
hình vẽ. Tìm điều kiện của m để hàm số

(

g ( x ) = f 2019

A.
C.

x

) − mx + 2

m≤0

đồng biến trên
B.

0 < m < ln 2019

[ 0;1]

D.

m ≤ ln 2019
m > ln 2019

Hướng dẫn:

Ta có
Để

g ' ( x ) = 2019 x.ln 2019. f ' ( 2019 x ) − m

hàm

số

g ( x)

đồng

g ' ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ 2019 x.ln 2019. f ' ( 2019 x ) − m ≥ 0

⇔ m ≤ 2019 x.ln 2019. f ' ( 2019 x )

với mọi

x ∈ [ 0;1]

Trang 12

biến

trên

[ 0;1]

thì


Đặt

h ( x ) = 2019 x.ln 2019. f ' ( 2019 x )

Dựa

vào

đồ

thị

hàm

Lại có
Nên

thì

[ 0;1]

y = f '( x)

số

2019 x ∈ [ 1; 2019] ⇒ f ' ( 2019 x ) ≥ 0

y = 2019 x

m ≤ min h ( x )

f ' ( 2019 x )

và

đồng biến và dương trên

h ( x ) = 2019 x ln 2019. f ' ( 2019 x )

ta

xét

trên

đoạn

[ 0;1]

thì

đồng biến.

[ 0;1]

đồng biến trên

[ 0;1]

min h ( x ) = h ( 0 ) = 20190.ln 2019. f ' ( 2019 0 ) = ln 2019. f ' ( 1) = 0

Suy ra
f ' ( 1) = 0

[ 0;1]

(vì theo hình vẽ thì

)

m≤0

Vậy
.
Chọn: A

Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm cực trị của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x). Tìm cực trị của các hàm số
y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x),...
Phương pháp chung:
Bước 1: Tính đạo hàm y’
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Ví dụ 6: Hàm số

thị của hàm số

y = f '( x)

cực trị của hàm số
1.

A.

y = f ( x)

liên tục trên khoảng

trên

y = f ( x)

K

K

, biết đồ

như hình vẽ bên. Tìm số

trên
B.

K

.

2.

Trang 13


C.

3.

D.

4.

Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị
y = f '( x)

thôi, không kể các điểm mà đồ thị

y = f '( x)

cắt trục

tiếp xúc với trục

Ox
Ox

tại mấy điểm mà
.

Ta chọn đáp án B.
Nhận xét: xét một thực
hàm số

y = f ( x + a)

hoặc

a

dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của

y = f ( x − a)

số cực trị của các hàm số

trên

K

, thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý

y = f ( x) y = f ( x + a)

,

mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị

x0

và

y = f ( x − a)

là bằng nhau nhưng

khác nhau!

y

x

O

Ví dụ 8:
trên khoảng
điểm cực trị?

Cho hàm số
K

K,

như hình vẽ. Khi đó trên

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

hàm số

f ( x)

có đồ thị

y = f ( x − 2018 )

f ′( x)

của nó

có bao nhiêu

Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số

f ' ( x − 2018 )

là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

trục hoành nên đồ thị hàm số

f ' ( x − 2018 )

f ′( x)

vẫn cắt trục hoành 1 điểm.

Trang 14

theo phương


Ta chọn đáp án A.
f ( x)

Ví dụ 9: Cho hàm số
f ′( x)

xác định trên

g ( x) = f ( x) − x.

như hình vẽ. Đặt
cực đại tại điểm nào sau đây?
A.
C.

x = 1.

và có đồ thị

Hàm số

B.

x = 0.

¡

D.

g ( x)

đạt

x = 2.
x = −1.

Hướng dẫn :

* Ta có

x = 1
g ' ( x ) = f ' ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ' ( x ) = 1 ⇔  x = −1
 x = 2

Bảng biến thiên :
x

−1

−∞

g '( x)

+

0

1
-

0

g ( x)

Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 10: Cho hàm số
đồ thị của hàm

f '( x)

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)

y = f ( x)

và đồ thị hình bên là

. Hỏi đồ thị của hàm số

2

có tối đa bao nhiêu điểm cực
trị ?
A. 6.
C. 8.

B. 7.
D. 9.
Trang 15

+∞

2
-

0

+


Hướng dẫn:
h ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1) ⇒ h ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 ( x − 1)
2

Đặt

Ta vẽ thêmđường thẳng

y = x −1

.

h ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = x − 1 ⇔ x = 0; x = 1; x = 2; x = 3.

Ta có
Theo đồ thị

h ' ( x ) > 0 ⇔ f ' ( x ) > x − 1 ⇔ x ∈ ( 0;1) ∪ ( 3; +∞ ) .

Bảng biến thiên :
Đồ thị hàm số

g ( x)

có nhiều
h ( x)

điểm cực trị nhất khi
có
nhiều giao điểm với trục hoành
nhất, vậy đồ thị hàm số
số

g ( x)

h ( x)

cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm, suy ra đồ thị hàm

có tối đa 7 điểm cực trị. Ta chọn đáp án B.

Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm f’(x) để tìm GTLN, GNNN của các hàm số
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị của hàm số f’(x). Tìm GTLN,GNNN của các hàm
số y=f(x), y=f(x+a), y=f[u(x)], y=f(x)+u(x),...trên đoạn [a, b]
Phương pháp chung:
Bước 1: Tính đạo hàm y’ trên đoạn [a ; b]

y
x
−2 −1 O

1

2

Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó kết luận.
Trang 16


Ví dụ 11: Cho hàm số
số

y = f ′( x)

trên

[ −2; 2]

A.
C.

y = f ( x)

xác định và liên tục trên

như hình bên. Tìm giá trị

x0

[ −2; 2]

y = f ( x)

để hàm số

, có đồ thị của hàm
đạt giá trị lớn nhất

.

x0 = 2

.

x0 = −2

B.
.

x0 = −1

D.

x0 = 1

.

.

Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
x

−2

−1

y,

+

1

0

+

2

0

-

y

f ( −2 )

f ( 2)

Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 12: Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm là

được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
nhỏ nhất

m

và giá trị lớn nhất

m = f ( 4) , M = f ( 2) .

A.
m = f ( 0) , M = f ( 2) .

C.

M

B.

D.

của

f ′( x)

. Đồ thị của hàm số

f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3)
f ( x)

trên đoạn

m = f ( 4 ) , M = f ( 1) .

m = f ( 1) , M = f ( 2 ) .

Hướng dẫn:
Trang 17

[ 0; 4] ?

y = f ′( x)

. Tìm giá trị

Lập bảng biến thiên
x

0

y,

2

1

+

0

4

−

0
f ( 2)

y

f ( 0)

Dựa vào BBT ta có
Ta lại có:

f ( 4)

M = f ( 2)

, GTNN chỉ có thể là

f ( 0)

hoặc

f ( 4)

f ( 1) ; f ( 3) < f ( 2 ) ⇒ f ( 1) + f ( 3 ) < 2 f ( 2 ) ⇔ 2 f ( 2 ) − f ( 1) − f ( 3 ) > 0

f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) ⇔ f ( 0 ) − f ( 4 ) = 2 f ( 2 ) − f ( 3) − f ( 1) > 0 ⇒ f ( 0 ) > f ( 4 ) .

Ta chọn đáp án A.
a( t)

t

Ví dụ 13: Người ta khảo sát gia tốc
của một vật thể chuyển động ( là khoảng
thời gian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ
a( t)

10 và ghi nhận được
là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi
trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật
thể có vận tốc lớn nhất?

A. giây thứ 7.

B. giây thứ nhất.

C. giây thứ 10.

Hướng dẫn:
Trang 18

D. giây thứ 3.


t

1

3

7

10
a (t ) = v ' ( t )

+

0

-

-

v ( 3)
v (t )

v ( 1)
v ( 10 )

Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 14: Cho hàm số
hàm số
đúng?
A.
B.
C.
D.

f ′( x)

y = f ( x)

có đạo hàm

f ′( x)

liên tục trên

như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây

f ( a) > f ( b)

f ( a) > f ( b)
f ( a) < f ( b)

f ( a) < f ( b)

và
và
và
và

f ( c) > f ( a) .

f ( c) < f ( a) .
f ( c) > f ( a) .

f ( c) < f ( a) .

Hướng dẫn:
a

f ( a ) − f ( b ) = ∫ f ' ( x ) dx > 0 ⇔ f ( a ) > f ( b ) .
b

c

f ( c ) − f ( a ) = ∫ f ' ( x ) dx < 0 ⇔ f ( c ) < f ( a ) .
a

Ta chọn đáp án B.

Trang 19

¡

và đồ thị của


Ví dụ 15: Cho hàm số
hàm số

f ′( x)

f ( b) > f ( c)

B.

f ( b) < f ( c)

C.

f ( b) < f ( c)

D.

có đạo hàm

f ′( x)

và
và

và
và

f ( c) > f ( a) .

f ( c) < f ( a) .
f ( c) > f ( a) .

f ( c) < f ( a) .

Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị của hàm số

f '( x )

ta có:

b

f ( b ) − f ( c ) = ∫ f ' ( x ) dx > 0 ⇔ f ( b ) > f ( c ) .
c

c

f ( c ) − f ( a ) = ∫ f ' ( x ) dx > 0 ⇔ f ( c ) > f ( a ) .
a

Ta chọn đáp án A.
Ví dụ 16: Cho hàm số
tục trên

¡

A.
B.
C.

y = f ( x)

xác định và liên

, có đồ thị của hàm số

vẽ sau. Đặt
đúng ?

liên tục trên

như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

f ( b) > f ( c )

A.

y = f ( x)

g ( x) = f ( x) − x

y = f '( x)

như hình

Mệnh đề nào sau đây

g ( −1) < g ( 1) < g ( 2 ) .

g ( 2 ) < g ( 1) < g ( −1) .
g ( 2 ) < g ( −1) < g ( 1) .

Trang 20

¡

và đồ thị của


D.

g ( 1) < g ( −1) < g ( 2 ) .

Hướng dẫn :
Ta có
y = 1.

g '( x) = f '( x) −1

. Ta vẽ thêm đường thẳng

Ta có:
1

1

−1

−1

g ( 1) − g ( −1) = ∫ g ' ( x ) dx = ∫  f ' ( x ) − 1dx < 0
⇒ g ( 1) < g ( −1) .
2

2

1

1

g ( 2 ) − g ( 1) = ∫ g ' ( x ) dx = ∫  f ' ( x ) − 1dx < 0 ⇒ g ( 2 ) < g ( 1) .

Ta chọn đáp án B.

y
4
−3

2
O

1
−2

3

x

Ví dụ 17: (Câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018)
Cho hàm số

y = f ( x)

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1)

A.
B.
C.
D.

. Đồ thị của hàm số

y = f ′( x)

như hình bên. Đặt

2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

g ( 3) > g ( −3) > g ( 1)
g ( −3) > g ( 3) > g ( 1)

g ( 1) > g ( −3) > g ( 3)
g ( 1) > g ( 3) > g ( −3)

.
.
.
.
Trang 21


Hướng dẫn:

Ta có:
g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 ( x + 1) = 2  f ' ( x ) − ( x + 1) 
y = x +1

Ta vẽ đường thẳng

.

1

1

−3

−3

g g ( 1) − g ( −3) = ∫ g' ( x ) dx = 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx > 0

Ta có:

⇒ g ( 1) > g ( −3) .
3

3

1

1

g g ( 3) − g ( 1) = ∫ g' ( x ) dx = 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx < 0
⇒ g ( 3) < g ( 1) .

3

3

⇒ g ( 3) − g ( −3) = ∫ g' ( x ) dx = 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx
−3

−3

1

3

−3

1

= 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx + 2 ∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx = 2 S1 − 2S 2 > 0
⇒ g ( 3) > g ( −3) .

Như vậy ta có:

g ( 1) > g ( 3) > g ( −3)

Ta chọn đáp án D.

Trang 22


Dạng 4:

Một

số bài toán

liên quan

đến

đồ thị

của

hàm số

y = f ( x ) ; y = f ' ( x ) ; y = f '' ( x ) .

Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.


f '( x)

Phương Pháp1: Đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại những điểm là các

f ( x)



điểm cực trị của đồ thị hàm số
.
Phương pháp 2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu
có). Sau đó dựa vào tính chất sau.

f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ K ⇒ f ( x )

tăng trên

f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ K ⇒ f ( x )

K

.

K

giảm trên

Ví dụ 18: Cho đồ thị của ba hàm số

.

y = f ( x)

ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số
y = f ′( x)

,

y = f ′( x)

y = f ( x)

y = f ′′ ( x )

,

và
theo thứ tự, lần lượt tương
ứng với đường cong nào ?
A.
B.
C.
D.

( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )

( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )
( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 )

( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 )

.
.
.
.
Hướng dẫn:
Trang 23

,

y = f ′′ ( x )

được vẽ mô tả


Trong khoảng
Trong khoảng
Đồ thị

( C1 )

( 0; +∞ )
( −∞;0 )

,

thì

nằm trên trục hoành và

( C2 )

( C2 )

Cho đồ thị của ba hàm số

y = f ′′ ( x )

( C3 )

nằm dưới trục hoành và

nằm hoàn toàn trên trục hoành và

Ví dụ 19:
y = f ′( x)

thì

( C2 )

“đi lên”.

( C3 )

“đi xuống”.

“đi lên”. Ta chọn đáp án A.

y = f ( x)

,

được vẽ mô tả ở hình dưới đây.
y = f ( x)

y = f ′( x)

y = f ′′ ( x )

Hỏi đồ thị các hàm số
,
và
theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A.

( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )

. B.

( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )

C.

( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 )

.

D.

( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 )

.

Hướng dẫn:
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị
thị hàm số
Đồ thị

( C3 )

( C2 )

cắt trục

Ox

tại 3 điểm là 3 điểm cực trị của của đồ

( C1 ) .

cắt trục

Ox

tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số

Ta chọn đáp án D.
Dạng 5: Một số bài toán khác liên quan đến đồ thị hàm số

Trang 24

y = f '( x) .

( C2 ) .


Ví dụ 20:

y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ ; a ≠ 0 )

Cho hàm số

Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng
y = f '( x)

thị hàm số

y=4

có đồ thị (C).

tại điểm có hoành độ âm và đồ

cho bởi hình vẽ bên. Tìm diện

S

tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục
hoành?

A.

S=

S = 9.

S=

C.

B.

21
.
4

D.

27
.
4

5

S= .
4

Hướng dẫn:
Ta có

f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c

y = f '( x)

là parabol có trục đối xứng là trục tung nên

Đồ thị hàm số
Suy ra:

. Dựa vào đồ thị hàm số

y = f '( x)

y = f '( x)

đi qua 2 điểm

( 1;0 ) , ( 0, −3)

f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 ⇒ f ( x ) = x 3 − 3x + C

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng

y=4

ta thấy đồ thị hàm số

b = 0.

ta tìm được:

a = 1; c = −3

.

.

tại điểm có hoành độ âm nên ta có:

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1; x = 1 ⇒ x = −1.

Như vậy (C) đi qua điểm

( −1; 4 )

ta tìm được

C = 2 ⇒ f ( x ) = x 3 − 3x + 2

.

Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
2

x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = −1; x = 2.

S=

3

suy ra:

∫x

3

− 3 x + 2 dx =

−1

Trang 25

27
.
4

Ta chọn đáp số B.