Kinh nghiệm giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM
ĐOẠN THẲNG NỐI CÁC TIẾP ĐIỂM CỦA HAI TIẾP TUYẾN KẺ
TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

Người thực hiện: Nguyễn Công Hiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...................................................................................................................................................1

1.1. Lí do chọn đề tài:.......................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu:...............................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu:..............................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu:........................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM....................................................................................................3

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:..............................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..............3
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:............................................5
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ............................................................................................................................10

3.1. Kết luận....................................................................................................10
3.2. Kiến nghị..................................................................................................10
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................................................11

CÁC TỪ VIẾT TẮT
HD

- Hướng dẫn

KL

- Kết luận

PT

- Phương trình

TH

- Trường hợp

THCS

- Trung học cơ sỏ

THPT

- Trung học phổ thông

VTPT

- Véc tơ pháp tuyến

VTCP

- Véc tơ chỉ phương


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi cấp bách phải
nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ
chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lí của nhà nước.
Công cuộc đổi mới này đề ra những những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo
dục, những yêu cầu đó được phản ánh trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai
Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) về định hướng chiến lược phát
triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ
đến năm 2000 như sau:
Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con
người và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã
hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc;
công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước; giữ gìn và phát huy các giá trị vǎn hoá
của dân tộc, có nǎng lực tiếp thu tinh hoa vǎn hoá nhân loại; phát huy tiềm nǎng
của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích
cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy
sáng tạo, có kỹ nǎng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức
kỷ luật; có sức khoẻ, là những người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa
"hồng" vừa "chuyên" như lời dặn của Bác Hồ. [1]
Trong nhà trường, với vị trí đặc biệt của môn Toán, nhiệm vụ của giáo viên
dạy bộ môn toán là:

•

Truyền thụ tri thức, kĩ năng toán học cho học sinh.

•

Phát triển trí tuệ chung cho học sinh.

• Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ
cho học sinh, bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát
triển và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán.
Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, đường thẳng và đường
tròn chiếm một vị trí quan trọng; kiến thức về đường thẳng và đường tròn xuyên
suốt chương trình từ THCS đến THPT. Bài toán “Tìm tọa độ trung điểm đoạn
thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường
tròn” thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT Quốc gia ở mức
độ vận dụng hoặc vận dụng cao. Rất nhiều học sinh đã bỏ bài toán này vì lựa
chọn phương pháp giải không phù hợp dẫn đến mất thời gian và không đi đến
kết quả đúng.
Với lí do trên và những kinh nghiệm học hỏi được từ các đồng nghiệp cùng
với điều kiện chủ quan của bản thân đã giúp tôi chọn đề tài: “Kinh nghiệm giải
1


bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến
kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
+ Nêu phương pháp giải quyết bài toán trên một cách nhanh, chính xác
nhất.
+ Hỗ trợ giáo viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

+ Định hướng giải quyết bài toán mở rộng trong không gian hỗ trợ giáo
viên và học sinh ôn tập thi THPT Quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Phương pháp giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp
điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
+ Phương pháp lý thuyết: nghiên cứu các tài liệu có liên quan xây dựng cơ
sở lý thuyết.
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Rút ra từ quá trình giảng dạy
trong hai năm học.
+ Phương pháp so sánh.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
1
1 1
a 2 = b 2 + c 2 ; b 2 = a.b ' ; c 2 = a.c ' ; h 2 = b '.c ' ; a.h = b.c ; 2 = 2 + 2 ;
h
b c
b
c
b
c
sin B = cos C = ;sin C = cos B = ; tan B = cot C = ; tan C = cot B = . [2]

a
a
c
b
- Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT
r
n = ( A; B ) là: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 . [2]
2
2
- Phương trình đường tròn dạng: x + y − 2ax − 2by + c = 0 (với điều kiện
a 2 + b 2 − c > 0 ) có tâm I (a; b) bán kính R = a 2 + b 2 − c . [2]
2
2
2
- Phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R : ( x − a) + ( y − b) = R . [2]

- Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C ) tâm I (a; b) , bán kính R
⇔ d ( I ; ∆) = R . [3]
- Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C ) tâm I (a; b) , bán kính R tại điểm T
thì IT ⊥ ∆ và IT = R . [3]
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn (C ) có tâm I (a; b) , bán kính R và điểm
M ( x0 ; y0 ) nằm phía ngoài đường tròn (C ) . Từ điểm M ( x0 ; y0 ) kẻ các tiếp tuyến
đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm H của
đoạn thẳng T1T2 .

3


Khi gặp bài toán này, hầu hết học sinh đều nghĩ ngay đến việc đi tìm tọa

độ các tiếp điểm T1 ; T2 sau đó suy ra tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng T1T2 .
Để tìm được tọa độ các tiếp điểm T1 ; T2 học sinh phải xác định được
phương trình các tiếp tuyến hoặc phải viết được phương trình đường tròn (C ')
tâm M và có bán kính R ' = MI 2 − R 2 sau đó giải hệ phương trình mới có được
tọa độ T1 ; T2 .
Kết quả khảo sát thực trạng tư duy nhóm học sinh khi gặp bài toán cụ thể
như sau:
Bài toán cụ thể: “Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C )
2
2
có phương trình x + y − 2 x − 2 y − 2 = 0 . Từ điểm M (3;5) kẻ các tiếp tuyến đến
đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn
thẳng T1T2 ”.
Tư duy giải quyết bài toán
Năm học

Tổng số HS tham
gia khảo sát

2016-2017
2017-2018

Tìm các tiếp
điểm T1 ; T2

Hướng giải quyết khác
(Viết PT đường thẳng T1T2 )

12 HS

11 HS

1 HS

8 HS

8 HS

0 HS

Với cách giải quyết này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn trong quá trình
giải. Trong khi đó thời gian làm bài thi có hạn nên học sinh khi gặp bế tắc hoặc
gặp phải con số “không đẹp” thì thường sẽ bỏ qua bài toán này.

4


2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn (C ) có tâm I (a; b) , bán kính R và điểm
M ( x0 ; y0 ) nằm phía ngoài đường tròn (C ) . Từ điểm M ( x0 ; y0 ) kẻ các tiếp tuyến
đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm H của
đoạn thẳng T1T2 .

Trước hết, bài toán chỉ yêu cầu tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng
T1T2 ; không yêu cầu tìm tọa độ các tiếp điểm T1 ; T2 . Vì vậy chúng ta sẽ vận dụng
tính chất của véc tơ để tìm tọa độ điểm H như sau:
- Dễ nhận thấy H chính là giao điểm của T1T2 với IM và T1T2 ⊥ IM tại H .
- Xét ∆IMT1 vuông tại T1 và có H là hình chiếu vuông góc của T1 trên cạnh
uuu
r uuur uur 2

IM ⇒ IH .IM = IT1 = R 2
(1).
- Do H thuộc đường thẳng IM

(2).

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình; giải hệ ta được tọa độ điểm H .
* Bài toán cụ thể: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) có
2
2
phương trình x + y − 2 x − 2 y − 2 = 0 . Từ điểm M (3;5) kẻ các tiếp tuyến đến đường
tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng
T1T2 .
Lời giải:

5


2
2
2
2
- Đường tròn (C ) có phương trình x + y − 2 x − 2 y − 2 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = 4

⇒ (C ) có tâm I (1;1) và bán kính R = 2 .
uuur
r
- Ta có: IM = (2; 4) ⇒ đường thẳng IM có VTPT là n = (2; −1) ⇒ phương trình là:
( IM ) : 2( x − 1) − 1( y − 1) = 0 ⇔ 2 x − y − 1 = 0
(1).

uuu
r uuur uur 2
- Do IH .IM = IT1 = R 2 = 4 nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình:
2( x − 1) + 4( y − 1) = 4

⇔

x + 2y − 5 = 0
2 x − y − 1 = 0
x + 2 y − 5 = 0

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 

(2).
7 9
⇒ H  ; ÷.
5 5



Kết luận: H  ; ÷ .
5 5
7 9

* Một số bài tập áp dụng:
2
2
Bài 1: Cho đường tròn (C ) có phương trình x + y + 4 x − 2 y − 4 = 0 . Từ điểm
M (4;3) kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm. Tìm tọa
độ trung điểm H của đoạn thẳng T1T2 .

2
2
Bài 2: Cho đường tròn (C ) có phương trình x + y − 6 x + 2 y − 6 = 0 . Từ điểm
M (8;3) kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm. Tìm tọa
độ trung điểm H của đoạn thẳng T1T2 .
2
2
Bài 3: Cho đường tròn (C ) có phương trình x + y + 3x − 2 y + 1 = 0 . Từ điểm
M (3; −2) kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn (C ) ; gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm. Tìm
tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng T1T2 .
2
2
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( C ) : x + y − 2 x − 2 y − 2 = 0 . Gọi
M ; N thứ tự là tiếp điểm của đường tròn (C ) với các cạnh AB và AC . Tìm tọa



độ đỉnh A biết trung điểm của MN là H  ; ÷
5 5
7 9

Hướng dẫn:
 I (1;1)
R = 2

2
2
Từ ( C ) : x + y − 2 x − 2 y − 2 = 0 ⇒ 



7 9
 I (1;1); H  ; ÷
5 5⇒ A
Từ 
R = 2


6


·
Bài 5: Cho tam giác ABC có BAC
= 600 . Đường tròn (C ) nội tiếp tam giác ABC
có tâm I (1;1) và tiếp xúc với các cạnh AB; AC thứ tự tại M ; N . Tìm tọa độ đỉnh
A biết đường thẳng MN có phương trình 2 x + y − 5 = 0 .

Hướng dẫn:
 I (1;1)
⇒ PT (AI )
 PT (MN )

Từ 

 PT (AI )
⇒H
 PT (MN )

Từ 

 IH

⇒R
Từ  ·
0
 BAC = 60
I ; H
⇒A
R

Từ 

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
+ Với phương pháp trên, bài toán đã trở nên đơn giản và “nhẹ nhàng” hơn
rất nhiều.
+ Bản thân các đồng nghiệp cũng không còn “ngại” khi gặp các bài toán
tương tự.
+ Đối với việc bồi dưỡng, ôn luyện học sinh khá giỏi, học sinh cũng không
còn “sợ” khi gặp dạng toán tương tự, tư duy tự tin hơn và giải toán tốt hơn.
Sau khi áp dụng phương pháp đã nêu trên, khảo sát lại nhóm học sinh về
nội dung này, tôi có bảng so sánh và kết quả như sau:

7


Tư duy giải quyết bài toán
khi chưa áp dụng đề tài
Năm học

Tổng số
HS tham

gia khảo
sát

20162017
20172018

Kết quả sau khi áp dụng đề tài

Tìm các tiếp
điểm T1 ; T2

Hướng giải
quyết khác
(Viết PT
đường thẳng
T1T2 )

Phương pháp tìm H
thông qua biểu thức
uuu
r uuur uur 2
IH .IM = IT1 = R 2

Tỷ lệ giải
quyết bài
toán thành
công

12 HS

11 HS

1 HS

12/12 HS

100%

8 HS

8 HS

0 HS

8/8 HS

100%

+ Việc mở rộng bài toán trong không gian, chúng ta cũng có phương pháp giải
tương tự, hỗ trợ tốt cho đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
2
2
2
Bài toán cụ thể: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + ( z + 1) = 1
và đường thẳng d : x − 2 = y = − z . Hai mặt phẳng ( P), ( P ') chứa d , tiếp xúc với ( S )
tại T và T ' . Tọa độ trung điểm H của TT ' là:










A. H =  ; ; − ÷ B. H =  ; ; − ÷ C. H =  ; − ; ÷ D. H =  ; − ; − ÷ [4]
3 6 6
3 6 6
3 6 6
3 6 6
1 5

5

2 5

7

1

5 5

1

7

7

Phương pháp giải:
 IT ⊥ ( P ) ⇒ IT ⊥ d

⇒ d ⊥ (α ) tại M .
 IT ' ⊥ ( P ') ⇒ IT ' ⊥ d

+ Gọi (α ) là mặt phẳng ( ITT ') ; 

Vậy M là hình chiếu vuông góc của I trên d ⇒ tọa độ M .
 H ∈ IM


+ Do  uuur uuur

2
 IH .IM = R

⇒ tọa độ H .



+ Đáp án: A. H =  ; ; − ÷.
3 6 6
1 5

5

8


* Một số bài tập áp dụng (Cho dạng mở rộng trong không gian):
Bài 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 1) 2 = 1 và
x−2 y −2 z +3

=
=
. Hai mặt phẳng ( P), ( P ') chứa d , tiếp xúc với
3
−1
1
( S ) tại T và T ' . Tìm tọa độ trung điểm H của TT ' .

đường thẳng d :

Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : x + 2 y + 2 z − 1 = 0 và
(Q) : 2 x + y − 2 z − 5 = 0 . Mặt cầu ( S ) tâm I , tiếp xúc với ( P ) và (Q) thứ tự tại T
và T ' . Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ( S ) biết tọa độ trung điểm của TT ' là
H (2; −2;0) .
Hướng dẫn:
 PT ( P )
⇒ PT d = ( P ) ∩ (Q)
 PT (Q)

Từ 

 H (2; −2;0)
⇒M
 PT d

Từ 

Để ý rằng ( P) ⊥ (Q) ⇒ MT ⊥ MT ' cùng với tọa độ H ; M ⇒ I

9

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Mặc dù bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn nhưng phương
pháp giải không đi sâu vào khai thác tiếp tuyến mà chủ yếu dựa vào tính chất
hình học, tọa độ véc tơ để giải quyết.
Nên tìm phương pháp giải quyết bài toán đơn giản, dễ hiểu, dễ thực hiện
bằng cách sử dụng kiến thức liên quan.
Việc mở rộng bài toán trong không gian cũng phải được áp dụng để có
phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất đáp ứng ôn tập dành cho học sinh ôn thi
THPT Quốc gia.
3.2. Kiến nghị
Đối với giáo viên, không nên cho rằng đây là bài toán khó và bỏ qua; khi
dạy học sinh dạng bài toán này, nên tạo tư tưởng thoải mái cho học sinh và cố
gắng trình bày bài toán sao cho đơn giản, nhẹ nhàng. Nên sử dụng hình ảnh trực
quan để học sinh học sinh dễ hiểu.
Đối với học sinh, không nên bỏ qua bài toán này; khi gặp bài toán dạng này
hãy bình tĩnh để tìm phương án giải phù hợp.
Do thời gian nghiên cứu có hạn, quá trình thực nghiệm áp dụng chưa rộng
rãi với các đối tượng học sinh. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các
bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

NGƯỜI VIẾT SKKN

(Đã ký)

(Đã ký)

Nguyễn Đình Bảy

Nguyễn Công Hiến

10


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trích Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng
(khoá VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ
công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2020.
2. Hình Học 10, Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành,
Trần Đức Huyên, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,
2016.
3. Phân dạng và Phương pháp giải toán Hình Học 10, Trần Thị Vân Anh,
Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016.
4. Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018-2019, Đoàn
Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức, Nguyễn Khắc Minh,
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2019.

11