Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1 Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu......................................................................................2
1.3 Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2
1.4 Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................. 2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến...........................................................................3
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.........................................3
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề........................................4
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan....................................................................4
2.3.2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý........................................................4
2.3.3. Hướng dẫn học sinh vận dụng định lý..................................................... 5
2.3.4. Định hướng để học sinh khai thác định lý............................................... 9
2.3.5. Hệ thống bài tập tự luyện………………………………………….. ….13
2.4. Hiệu quả của sáng kiến...............................................................................14
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ...........................................................................15
3.1. Kết luận........................................................................................................15
3.2 Kiến nghị.......................................................................................................16

1


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1.Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài:
Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những
con người phát triển toàn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và

đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn
diện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và
đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương
pháp dạy học môn Toán. Chính vì thế trong quá trình dạy học giáo viên cần phát
huy cao độ tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhằm đưa đến kết
quả cao nhất trong các giờ dạy. Muốn vậy đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm
hiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa ra các phương pháp phù hợp với
kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền đạt.
Trong thời gian giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới
phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức,
đặc biệt là trong việc dạy học các định lý. Đó là tôi luôn đưa ra kiến thức một
cách tự nhiên, bằng cách dẫn dắt từng bước cho học sinh tự tìm lấy, phân tích
hướng dẫn các em thấy ý nghĩa, ứng dụng của định lý, sau đó đưa ra hệ thống bài
tập áp dụng phù hợp. Với phương pháp truyền thụ như vậy tôi thấy rằng: Trước
hết người dạy luôn cảm thấy thoải mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua mỗi tiết dạy thấy
đạt được tốt mục đích của mình; đối với học sinh tiếp thu kiến thức một cách say
mê hứng thú; các kiến thức các em tiếp thu được thì ghi nhớ lâu hơn và vận dụng
tốt hơn trong quá trình giải và khai thác các bài tập liên quan.
Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một
số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa các bài toán liên quan đến tiếp tuyến
của đồ thị hàm số. Từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Kinh nghiệm hướng
dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số’’. Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học

2


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

sinh. Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi chỉ đề cập đến bốn

dạng toán:
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trước.
Dạng 4: Sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen với định lý đồng thời biết cách vận
dụng định lý để giải quyết các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất.
- Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để
học sinh có thể khai thác định lý về tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đi tìm lời giải
cho một số bài toán chứng minh bất đẳng thức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Kiến thức về đạo hàm của hàm số.
- Kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm.
- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số.
- Kiến thức liên quan đến hệ số góc của đường thẳng.
- Học sinh lớp 11D, 11G năm học 2018 – 2019 trường THPT Nga Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp.
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm.
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề
tài.
- Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

3

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: a)
/
+) f ( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm
M ( x0 ; f ( x0 ) ) .
+) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm
M ( x0 ; f ( x0 ) ) là:
y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 )

b) Quy tắc tính đạo hàm:
/
+) ( C ) = 0

+) ( u ± v ) = u / ± v /

+) ( x ) = 1

+) ( uv ) = u / v + uv /

/

+)

( x)

/

=

/

/

1
2 x

/

 
+)  ÷ =
v
u

u / v − uv /
v2

+) ( x n ) = n.x n−1 ( n ∈ N , n > 1)

+) ( ku ) = k ( u )

1
+) ( tan x ) = 2
cos x

/
+)  1 ÷ = − v2
v
v

/

/

/

/

/

c) Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) và ( C2 ) : y = g ( x ) :
+) Xét phương trình: f ( x ) = g ( x ) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của ( C1 ) : y = f ( x ) và

( C2 ) : y = g ( x )

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của ( C1 ) : y = f ( x ) và

( C2 ) : y = g ( x )

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách vận dụng và khai thác định lý về
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là rất cần thiết vì các lí do sau: Thứ
nhất, trong quá trình dạy học tôi thường đi dự giờ đồng nghiệp và thấy rằng khi
dạy định lý cho học sinh, nhiều giáo viên thường cho học sinh đọc định lý trong
sách đồng thời thấy chứng minh. Cách dạy như vậy sẽ làm cho học sinh thụ động
trong việc tiếp thu nội dung định lý cũng như cách vận dụng và khai thác định lý.
Qua trao đổi với đồng nghiệp chúng tôi nhận ra rằng: Hiện nay còn nhiều học

4


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

sinh khi tiếp cận một vấn đề toán học đặc biệt là các định lý đang còn ngộ nhận,
không thấy hết được các trường hợp đặc biệt, việc khai thác ứng dụng định lý
trong giải bài tập còn lúng túng. Chính vì vậy, giáo viên cần tạo cho học sinh thói
quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các mối liên hệ giữa các yếu
tố đặc trưng để tìm tòi lời giải. Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy,
óc vận dụng sáng tạo. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán giúp học sinh
hoàn thiện hơn kỹ năng định hướng, phân tích trong quá trình tìm tòi lời giải .
Thứ hai, môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc
nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất có
thể, để tiết kiệm thời gian. Thứ ba, trong quá trình ôn luyện học sinh giỏi thường
có bài toán chứng minh bất đẳng thức, đây là phần toán khó mà đôi khi học sinh
đọc lời giải còn không hiểu lý do tại sao họ lại có thể nghĩ ra được hướng làm
như vậy. Chính vì thế tôi muốn qua sáng kiến kinh nghiệm này cung cấp thêm
cho học sinh một định hướng nữa cho việc đi tìm lời giải cho bài toán chứng
minh bất đẳng thức.
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi đưa ra bốn dạng toán
mà trong quá trình giảng dạy thường gặp và một số bài tập tự luyện( xin phép
chưa đề cập đến các bài toán tiếp tuyến có liên quan đến tham số m). Mong rằng
bài viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các
em có một tài liệu hữu ích trong quá trình học tập, đồng thời cùng trao đổi, học
hỏi với các đồng nghiệp.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan:
2.3.2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý về phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số:

Đặt vấn đề với các câu hỏi sau:

5


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu hỏi 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm
M ( x0 , f ( x0 ) ) là gì?

Câu hỏi 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( x0 , y0 ) và có hệ số góc
k.
Từ đó yêu cầu học sinh viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x )
tại điểm M ( x0 , f ( x0 ) ) . Qua đó hình thành định lý cho học sinh
2.3.3. Hướng dẫn học sinh cách vận dụng định lý để giải quyết một số dạng
toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Sau khi đã hình thành định lý cho học sinh, tôi tiếp tục đưa ra một số dạng
toán về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và yêu cầu học sinh vận
dụng nội dung định lý để giải quyết:
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm.
Phương pháp:
+) Bước 1: Tính đạo hàm y = f ( x ) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = f ( x0 )
+) Bước 2: Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm
M ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 )
Chú ý:
+) Nếu đề bài cho x0 thì tìm y0 = f ( x0 )
+) Nếu đề bài cho y0 thì tìm x0 bằng cách giải phương trình: y0 = f ( x0 )
+) Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị
( C ) : y = f ( x ) và đồ thị ( C / ) : y = g ( x ) . Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm
của phương trình: g ( x ) = f ( x )

Đặc biệt: Trục Ox : y = 0 và trục Oy : x = 0 .
Sử dụng máy tính cầm tay:
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng d : y = kx + m.
/
+) Đầu tiên tìm hệ số góc của tiếp tuyến k = f ( x0 ) .
/

W

Bấm SHIFT

∫X
W

và nhập

/

d
( f ( X))
dx

/

x = x0

. Sau đó nhấn = ta được k.

d
( f ( X ) ) x= x0 × ( − X ) + f ( X ) , sau đó

dx
bấm phím CALC với X = x0 và bấm phím = ta được m.

+)Tiếp theo: Bấm phím < để sửa lại thành

6


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là
rút gọn các bước của cách trên. Việc sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng tìm
ra kết quả và hạn chế được sai sót trong tính toán. Nếu học sinh có khả năng
tính nhẩm tốt thì có thể bỏ qua cách này.
3
2
Thí dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = x + 2 x tại điểm
M ( 1,3) là:
A. y = 7 x + 4
B. y = 7 x − 4
C. y = −7 x + 4
D.
y = −7 x − 4

Lời giải:
Cách 1:
/
2
/
Ta có: y = 3 x + 4 x ⇒ k = y ( 1) = 7

Phương trình tiếp tuyến tại M ( 1,3) là:
Chọn đáp án B.
Cách 2:
W

+) Bấm SHIFT

∫X

và nhập

W

y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y = 7 x − 4

d
( X 3 + 2X 2 )
dx

x =1

. Sau đó nhấn = ta được kết quả

7 .
d
X 3 + 2 X 2 ) x =1 × ( − X ) + X 3 + 2 X 2 ,
(
dx
sau đó bấm phím CALC với X = 1 và bấm phím = ta được kết quả −4 .

+) Tiếp theo: Bấm phím < để sửa lại thành

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
Phương pháp:
+) Bước 1: Tính đạo hàm y = f ( x ) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = f ( x0 )
Giải phương trình này tìm được x0 , sau đó thay vào tìm y0 .
+) Bước 2: Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm
M ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 )
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc của đường thẳng dưới một số dạng như sau:
+) Tiếp tuyến d / / ∆ : y = ax + b ⇒ k = a
/

/

+) Tiếp tuyến d ⊥ ∆ : y = ax + b ⇒ k = −

/

1
a

+) Tiếp tuyến tạo với Ox một góc α thì k = tan α
+) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng ∆ : y = ax + b một góc α : Khi đó k − a = tan α
1 + ka

Sử dụng máy tính cầm tay:
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng d : y = kx + m.
+) Tìm hoành độ tiếp điểm x0
Thí dụ 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

7


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

+) Nhập k ( − X ) + f ( X ) sau đó bấm phím CALC với X = x0 và bấm phím = ta
được kết quả m.
Thí dụ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y =
với đường thẳng ∆ : 3 x − y + 2 = 0 là:
A. y = 3x − 4
B. y = 3x + 2
Lời giải:
/
2
/
Ta có: y = 3 x + 4 x ⇒ k = y ( 1) = 7
Cách 1:
Phương trình tiếp tuyến tại M ( 1,3) là:
Chọn đáp án B.
Cách 2:
W

+) Bấm SHIFT

∫X
W

và nhập

2x +1

song song
x+2

C. y = 3x + 14

D. y = 3x + 4

y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y = 7 x − 4

d
X 3 + 2X 2 )
(
dx

x =1

. Sau đó nhấn = ta được kết quả

7 .

d
X 3 + 2 X 2 ) x =1 × ( − X ) + X 3 + 2 X 2 ,
(
dx
sau đó bấm phím CALC với X = 1 và bấm phím = ta được kết quả −4 .

+) Tiếp theo: Bấm phím < để sửa lại thành

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm
cho trước.

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A ( x A , y A )
Phương pháp:
Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số
+) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A ( xA , y A ) và có hệ số góc k.
d : y = k ( x − x A ) + y A ( 1)
 f ( x ) = k ( x − x A ) + y A
có nghiệm.
/
 f ( x ) = k

+) d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ : 

+) Giải hệ tìm x ⇒ k và suy ra phương trình tiếp tuyến
Cách 2:
+) Gọi M ( x0 , f ( x0 ) ) là tiếp điểm.
/
+) Tính hệ số góc k = f ( x0 ) theo x0
/
+) Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) ( 2 )
Thí dụ 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

8


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Vì A ( x A , y A ) ∈ d nên y A = f ( x0 ) ( xA − x0 ) + f ( x0 ) ( 2 ) . Giải phương trình tìm x0
+) Thay x0 vào (2) ta được phương trình tiếp tuyến
Thí dụ 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = −4 x3 + 3x + 1 đi qua điểm A ( −1, 2 ) có

phương trình là:
A. y = −9 x + 7, y = − x + 2
B. y = −9 x + 11, y = 2
C. y = −9 x − 11, y = − x + 2
D. y = −9 x − 7, y = 2
/
2
Hướng dẫn: Ta có y = −12 x + 3
+) Phương trình đường thẳng đi qua điểm A ( −1, 2 ) và có hệ số góc k.
/

d : y = k ( x + 1) + 2 ( 1)
 −4 x3 + 3x + 1 = k ( x + 1) + 2 ( 1)
+) d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ : 
có
2
 −12 x + 3 = k ( 2 )

nghiệm.

 x = −1
Thay (2) vào (1) ta được: −4 x + 3x + 1 = ( −12 x + 3) ( x + 1) + 2 ⇔  1
x=

2
y
=
−
9
x

−
7
x
=
−
1
⇒
k
=
−
9
Với
. Phương trình tiếp tuyến là:
1
Với x = ⇒ k = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 2
2
3

2

Kết luận: Đáp án D
Nhận xét: Đối với bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính
toán tương đối mất thời gian và dễ dẫn đến sai lầm. Do đó để giải bài toán này
một cách nhanh chóng và chính xác nhằm tiết kiệm thời gian ta có thể sử dụng
máy tính bỏ túi để thử các đáp án như sau:
+) Cho f ( x ) bằng các đáp án, từ đó ta thu được các phương trình.
+) Sử dụng chức năng giải phương trình bậc ba của máy tính bỏ túi . Thông
thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta
chọn đáp án đó.
Cụ thể trong bài toán này:

+) Thử đáp án A, ta cho: −4 x3 + 3x + 1 = −9 x + 7 ⇔ −4 x 3 + 12 x − 6 = 0 . Máy tính cho 3
nghiệm ⇒ loại A.
+) Thử đáp án B, ta cho: −4 x3 + 3x + 1 = − x + 2 ⇔ −4 x3 + 4 x − 1 = 0 . Máy tính cho 3
nghiệm ⇒ loại B.
+) Thử đáp án C, ta cho: −4 x3 + 3x + 1 = −9 x + 11 ⇔ −4 x3 + 12 x − 10 = 0 . Máy tính cho
1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức ⇒ loại C.
⇒ Chọn đáp án D
2.3.4. Định hướng để học sinh biết cách khai thác định lý để tìm lời giải cho
một số bài toán chứng minh bất đẳng thức
Thí dụ 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

9


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Dạng 4: Sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức.
Phương pháp:
Đặt vấn đề:
Câu hỏi 1: Quan sát hình vẽ bên và cho biết vị trí tương đối giữa tiếp tuyến d
với đồ thị hàm số (C) trên khoảng ( a, b ) ?
Câu hỏi 2: Tương tự cho học sinh quan sát hình vẽ bên và cho biết vị trí tương
đối giữa tiếp tuyến h với đồ thị hàm số (C) trên khoảng ( e, f ) ?

y
d

Oe
a

(C)

f

b

x

h

Qua đó giáo viên rút ra lưu ý sau: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm
bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại mọi
điểm lõm luôn nằm phía dưới đồ thị hàm số, còn tại điểm uốn thì tiếp tuyến
xuyên qua nên ta có nhận xét:
+) Nếu y = px + q là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 , y0 )
( M không phải điểm uốn) khi đó tồn tại khoảng ( a, b ) chứa điểm x0 :
f ( x ) ≥ px + q, ∀x ∈ ( a, b ) hoặc f ( x ) ≤ px + q, ∀x ∈ ( a, b ) . Đẳng thức xảy ra khi: x = x0
Từ đó ta có: f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ a ( x1 + x2 + ... + xn ) + nb với ∀x1 ; x2 ..., xn ∈ ( a; b )
và đẳng thức xảy ra x1 = x2 = ... = xn = x0
n

Nếu

∑x
i =1

i

= k ( không đổi) ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ pk + nq hoặc

f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≤ pk + nq

Sau đây chúng ta sẽ vận dụng nhận xét trên để chứng minh một số bất đẳng
thức:

10


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Thí dụ 4: Cho a, b, c ∈ R : a + b + c = 6 . Chứng minh: a + b + c ≥ 2 ( a + b + c )
Phân tích:
4
3
4
3
4
3
Bất đẳng thức ⇔ ( a − 2a ) + ( b − 2b ) + ( c − 2c ) ≥ 0 ⇔ f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ 0
4
3
Từ đó: f ( x ) = x − 2 x . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) Tại điểm có
hoành độ x0 = 2 là y = 8 x − 16 . Ta hi vọng đánh giá được: f ( x ) ≥ 8 x − 16, ∀x ∈ R
4
3
3
Thật vậy ta có: f ( x ) − ( 8 x − 16 ) = x − 2 x − ( 8 x − 16 ) ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) − 8 ( x − 2 ) ≥ 0
4

⇔ ( x − 2)

2

(x

2

4

4

3

3

3

+ 2 x + 4 ) ≥ 0, ∀x ∈ R

Qua đó ta có thể trình bày lời giải như sau:
4
3
3
Ta có: a − 2a − ( 8a − 16 ) ≥ 0 ⇔ a ( a − 2 ) − 8 ( a − 2 ) ≥ 0
⇔ ( a − 2)

2

(a

2

+ 2a + 4 ) ≥ 0, ∀a ∈ R

Suy ra: a − 2a ≥ 8a − 16, ∀a ∈ R ( 1)
4
3
Tương tự: b − 2b ≥ 8b − 16 ( 2 )
4

3

c 4 − 2c 3 ≥ 8c − 16 ( 3)

4
3
4
3
4
3
Từ ( 1) , ( 2 ) , ( 3) ta có: ⇔ ( a − 2a ) + ( b − 2b ) + ( c − 2c ) ≥ 8 ( a + b + c ) − 16.3

⇔ a 4 + b 4 + c 4 ≥ 2 ( a 3 + b3 + c 3 ) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 2
Nhận xét: Nếu học sinh chưa biết tới phương pháp này thì sẽ không thể hiểu
được là tại sao người ta có thể nghĩ ra là phải trừ đi “ 8a − 16 ” mà không phải là
một biểu thức khác. Như vậy sau khi được tiếp cận với phương pháp này học
sinh sẽ có tư duy sâu hơn, rộng hơn, bao quát hơn trong việc giải toán chứng
minh bất đẳng thức.

Thí dụ 5: Cho a, b, c ≥ −
Phân tích:

3
a
b
c
9
và a + b + c = 1 . Chứng minh: 2 + 2 + 2 ≤
4
a + 1 b + 1 c + 1 10

Ta thấy đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =

1
3

Và bất đẳng thức có dạng: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤

9
10

x
 3 5
, ∀x ∈  − ,  . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x )
x +1
 4 2
1
36 x + 3
Tại điểm có hoành độ x0 = là y =

. Ta hi vọng đánh giá được:
3
50
36 x + 3
 3 5
f ( x) ≥
, ∀x ∈  − , 
50
 4 2

Trong đó: f ( x ) =

2

Thí dụ 4, thí dụ 5 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

11


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( 3x − 1) ( 4 x + 3) ≥ 0, ∀x ∈ − 3 , 5 
36 x + 3
36 x + 3
x
− f ( x) =
− 2
=
Thật vậy ta xét:
 4 2 

50
50
x +1
50 ( x 2 + 1)
2

Qua đó ta có thể trình bày lời giải như sau:

( 3a − 1) ( 4a + 3) ≥ 0, ∀a ∈  − 3 , 5 
36a + 3
a
− 2
=
Ta có:
 4 2 
50
a +1
50 ( a 2 + 1)
2

a
36a + 3
 3 5
≤
, ∀a ∈  − ,  ( 1)
a +1
50
 4 2
b
36b + 3

, ( 2)
Tương tự: 2 ≤
b +1
50
c
36c + 3
≤
, ( 3)
2
c +1
50
a
b
c
9
Từ ( 1) , ( 2 ) , ( 3) ta có: 2 + 2 + 2 ≤ (đpcm)
a + 1 b + 1 c + 1 10
1
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c =
3

Suy ra:

2

Nhận xét: Như vậy qua hai ví dụ trên ta thấy việc đầu tiên là phải hướng dẫn
các em chọn điểm “rơi” chính xác, sau đó xác định hàm số y = f ( x ) , viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm rơi đó và đánh giá. Tuy nhiên
không phải bài chứng minh bất đẳng thức nào cũng có sẵn hàm số y = f ( x )
hoặc dễ dàng tìm thấy hàm số y = f ( x ) như hai ví dụ trên mà có những bài ta

phải thực hiện một vài phép biến đổi thì mới xuất hiện hàm số như trong các thí
dụ sau:
Thí dụ 6: Cho a, b, c > 0 : a + b + c = 3 . Chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ac
Phân tích:
9 − a 2 − b2 − c 2
Ta có: ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ⇔ ab + bc + ac =
2
2
2
2
Nên bất đẳng thức có thể viết dưới dạng: a + 2 a + b + 2 b + c + 2 c ≥ 9
2

2

2

2

(

⇔ f ( a) + f ( b) + f ( c) ≥ 9

) (

) (

)

Từ đó: f ( x ) = x 2 + 2 x , 0 < x < 3 . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) Tại

điểm có hoành độ x0 = 1 là y = 3x .
Ta có: f ( x ) − 3x = x 2 + 2 x − 3x = ( x − 1) ( x + 2 x ) ≥ 0
2

Suy ra: a 2 + 2 a ≥ 3a, 0 < a < 3 ( 1)
Tương tự: b 2 + 2 b ≥ 3b, ( 2 )
c 2 + 2 c ≥ 3c, ( 3)

Thí dụ 6 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1

12


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2
2
2
Từ ( 1) , ( 2 ) , ( 3) ta có: ( a + 2 a ) + ( b + 2 b ) + ( c + 2 c ) ≥ 9 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 .

( b + c − a) + ( a + c − b) + ( b + a − c) ≥ 3
Thí dụ 7: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh: 2
2
2
2
5
a + ( b + c)
b2 + ( a + c )
c2 + ( b + a )

2

2

2

Phân tích:
Trước hết chúng ta cần biến đổi bất phương trình như sau:

( b + c − a ) − 1 + ( a + c − b ) − 1 + ( b + a − c ) − 1 ≥ − 12
2
2
2
5
a2 + ( b + c )
b2 + ( a + c )
c2 + ( b + a )
( b + c) a + ( a + c) b + ( b + a) c ≤ 6
2
2
2
5
a2 + ( b + c )
b2 + ( a + c )
c2 + ( b + a )
2

2

2

Do các phân thức ở vế trái có tử số và mẫu số đồng bậc, không mất tính tổng
quát ta giả sử a + b + c = 3 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:

( 3 − a) a + ( 3 − b) b + ( 3 − c) c
2
2
2
a2 + ( 3 − a )
b2 + ( 3 − b )
c2 + ( 3 − c )

≤

6
1
1
1
3
⇔ 2
+ 2
+ 2
≤
5
2a − 6a + 9 2b − 6b + 9 2c − 6c + 9 5

Ta thấy đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bất đẳng thức được viết lại: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤

3

5

1
. Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) Tại
2x − 6x + 9
2x + 3
điểm có hoành độ x0 = 1 là y =
.
25

Trong đó: f ( x ) =

2

Thật vậy ta chứng minh:

1
2x + 3
2
≤
, ∀x ∈ ( 0,3) ⇔ ( x − 1) ( 2 x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0,3)
2x − 6x + 9
25
2a + 3 2b + 3 2c + 3 3
+
+
=
Suy ra: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤
25
25

25
5
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
2

Nhận xét:
Bất đẳng thức luôn “ hay ” và “ khó” không chỉ với học sinh mà còn đối với
cả giáo viên. Chính vì vậy tôi muốn thông qua sáng kiến kinh nghiệm nho nhỏ
của mình giúp học sinh thấy được cái hay cái đẹp của bất đẳng thức,học sinh
không còn e sợ bất đẳng thức nữa.Từ đó không ngừng học hỏi, tìm tòi trong giải
toán bất đẳng thức nói riêng và trong nghiên cứu toán học nói chung.
Qua việc phân dạng và đưa ra phương pháp giải tương ứng như trên. Hi vọng
rằng nó sẽ giúp học sinh có thể nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp cho từng
bài nhằm tiết kiệm thời gian tối đa và có kết quả làm bài chính xác nhất.

Thí dụ 7 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

13


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Dưới đây là hệ thống bài tập tương tự mà tôi đã siêu tầm được. Mong rằng
đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích giúp các em học sinh ôn tập tốt phần kiến
thức này:
2.3.5. Hệ thống bài tập tự luyện:
Bài tập trắc nghiệm :
1
3

Bài tập 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 − 2 x 2 + 2 tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục tung có phương trình là:
A. y = 2
B. x − y − 2 = 0
C. x + y − 2 = 0
Bài tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =
số với trục hoành có phương trình là:
A. y = 3x

B. y = 3x − 3

D. x = 0 .

x −1
tại giao điểm của đồ thị hàm
x+2

C. y = x − 3

1
3

1
3

D. y = x − .

Bài tập 3: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành
độ x0 =

π
là:
4

A. 2
B. 3
C. 1
D. 0.
4
2
Bài tập 4: Đồ thị của hàm số y = x − 2 x có bao nhiêu tiếp tuyến song song vói
trục hoành
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1.
3
2
Bài tập 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x + 3x − 7 x + 1 biết tiếp
tuyến có hệ số góc k = 2
A. y = 2 x − 4, y = 2 x + 28
B. y = 2 x + 4, y = 2 x − 28
C. y = 2 x − 4, y = 2 x − 28
D. y = 2 x + 4, y = 2 x − 28 .
1
3

Bài tập 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 − 2 x 2 + 3x + 1 biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 3x + 2
A. y = 3x + 101, y = 3x − 11

B. y = 3x + 1, y = 3x −

C. y = 3x + 2

D. y = 3x, y = 3x − 1 .

29
3

1
3

Bài tập 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 − 2 x 2 + 3x + 1 biết
x
8

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = − + 2
x
8
y
=
3
x
− 1, y = 3 x + 10
C.

A. y = − + 2

11

97
, y = 8x −
3
3
y
=
3
x
+
101,
y
=
3
x
−
11
D.
.

B. y = 8 x +

Bài tập 1,2,3,4,5,6,7 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

14


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài tập 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =

3x − 2
biết tiếp tuyến tạo với trục
x −1

hoành một góc 450 .
A. y = − x + 2, y = − x

B. y = − x + 6, y = − x + 2

C. y = − x − 3, y = − x + 6

D. y = − x − .

1
3

Bài tập 9: Số tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1, −6 ) của đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 1
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1.
Bài tập 10: Số tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1, 0 ) của đồ thị hàm số y = x3 − 2 x + 1
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4.
Bài tập tự luận:
Bài tập 11: Cho a, b, c, d ≥ 0 và a + b + c + d = 4 . Chứng minh:
a
b

c
d
1
+
+
+
≤
2
2
2
2
5 + 3a 5 + 3b 5 + 3c 5 + 3d
2
a
,
b
,
c
,
d
>
0
Bài tập 12: Cho
và a + b + c + d = 1 .. Chứng minh:
1
6 ( a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) ≥ ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) +
8
a
,
b

,
c
,
d
>
0
a
+
b
+
c + d = 4 . Chứng minh:
Bài tập 13: Cho
và
3

3

3

3

4
 a   b   c   d 

÷ +
÷ +
÷ +
÷ ≥
 a + 2   b + 2   c + 2   d + 2  27
Bài tập 14: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh:

9
a
b
c
≤
+
+
≤1.
10 1 + bc 1 + ac 1 + ab

Bài tập 15: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Chứng minh:
Bài tập 16: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh:

( 2a + b + c ) + ( 2b + a + c ) + ( 2c + b + a )
2
2
2
2a 2 + ( b + c )
2b 2 + ( a + c )
2c 2 + ( b + a )
2

2

1
1
1
3
+
+

≤ .
9 − bc 9 − ac 9 − ab 8

2

≤8.

Bài tập 17: Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh:

1
1
1
9
+
+
≤ .
1 − bc 1 − ac 1 − ab 2

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Thực tế cho thấy, đối với đối tượng học sinh tôi đang trực tiếp giảng dạy và ôn
luyện, các em có lực học ở mức trung bình, khá thì khi gặp những bài toán ở ba
dạng đầu đều có thể dễ dàng xử lý được, nhưng khi gặp bài toán bất đẳng thức
thì thường rất sợ và bỏ qua, tuy nhiên sau khi tôi đã hệ thống lại toàn bộ kiến
thức về phương trình tiếp tuyến và các kiến thức liên quan, đồng thời tiến hành
cho
em việc đi tìm lờiđược
giải tham
cho bài
minh
bấtsốđẳng

thức bằng
Bàidạy
tập 8,
9, các
10,11,12,13,14,15,16,17
khảotoán
từ tàichứng
liệu tham
khảo
1
15


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

cách sử dụng kiến thức về tiếp tuyến từ những bài đơn giản nhất và nâng dần
mức độ lên thì thấy rằng cách làm đó đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn,
kiên trì, linh hoạt, hứng thú và không còn thấy sợ các bài toán chứng minh bất
đẳng thức nữa. Qua đó kích thích các em không ngừng tìm tòi, khám phá những
phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác. Đồng thời học sinh biết vận dụng
và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều
phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán. Cách làm trên đã đáp
ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã được ôn tập kĩ
lưỡng, học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập
nằm trong các đề thi học sinh giỏi. Đồng thời biết tự xây dựng cho mình hệ
thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức được học và những bài tập tương
tự trong các đề thi. Qua đó, hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên
rõ rệt.
Qua kết quả thực nghiệm, đồng thời với cương vị là người trực tiếp giảng dạy tôi
nhận thấy việc hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là rất cần thiết và hiệu quả.
3. Kết luận, kiến nghị:
3.1. Kết luận:
Phương pháp dạy học này đã được tôi thực hiện thí điểm trên các lớp 11D, 11G
và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11. Kết quả thu được rất khả quan:
Hầu hết các em học sinh say mê hứng thú hơn trong các giờ học, trong quá
trình ôn tập, kiểm tra bài cũ thấy rằng các em nắm rất vững kiến thức và vận
dụng làm bài tốt. Kết quả cuối kỳ, cuối năm các em đạt được rất cao.
Kết quả cụ thể như sau:
+) Lớp 11D:
Kết quả
Giỏi

Học kì 1
15

Học kì 2
20

Cả năm
20

Ghi chú

16


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Khá

TB
Yếu
+) Lớp 11G:

25
4
0

24
0
0

23
1
0

Kết quả
Học kì 1
Học kì 2
Cả năm
Ghi chú
Giỏi
5
8
8
Khá
20
24
25
TB

15
8
7
Yếu
0
0
0
Trong quá trình trao đổi với đồng nghiệp được các đồng nghiệp đánh giá cao
và cùng nghiên cứu vận dụng.
Tuy nhiên muốn phương pháp này phát huy hiệu quả tối đa thì đòi hỏi người
thầy phải biết vận dụng sáng tạo, linh hoạt, phù hợp với kiến thức đang cần
truyền thụ cho học sinh, đánh giá đúng đối tượng học sinh để giới thiệu và khai
thác kiến thức một cách phù hợp.
3.2. Kiến nghị:
Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ
của học sinh làm mục đích chính, luôn trau dồi kiến thức, không ngừng tìm tòi,
nghiên cứu phương pháp mới, phù hợp với từng đối tượng học sinh, nhằm đem
lại hiệu quả cao nhất trong quá trình giảng dạy.
Đối với học sinh: cần có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, nhiệt tình, tích
cực, chủ động tiếp cận kiến thức một cách khoa học.
Đối với nhà trường: nhân rộng các đề tài khoa học trong nhà trường để đồng
nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý và vận dụng trong quá trình dạy học.
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những
thiếu sót, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung, góp ý để bài viết được hoàn
thiện hơn, cũng như việc ứng dụng nội dung bài viết này vào giảng dạy cho học
sinh lớp mình, qua đó có thể đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, hấp
dẫn hơn và hiệu quả hơn.

17

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 15/05/2019
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến
kinh nghiệm của mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.
Người viết:

Lê Thị Minh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Chuyên đề luyện thi vào đại học – Đại số - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục
[2]. Các bài giảng luyện thi môn Toán – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống
Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục

18


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

[3]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG môn Toán năm 2018 – Phan Đức Tài
– Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam
[4]. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT – Nguồn internet

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

19


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Họ và tên tác giả:
Lê Thị Minh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Rèn luyện kĩ năng giải
nhanh các bài toán trắc

Kết quả
Năm học
Cấp đánh đánh
đánh giá xếp
giá xếp loại giá xếp
loại
loại
Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
C
Hóa

2016 – 2017

nghiệm về đường tiệm cận
của đồ thị hàm số
2.

Kinh nghiệm hướng dẫn
học sinh giải một số

Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
Hóa

C

2017-2018

phương trình mũ có chứa
tham số theo hướng trắc
nghiệm

20