Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11

“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán
THPT. Nội dung về hình học không gian được trình bày trong toàn bộ chương
trình hình học 11 và hình học 12, trong đó hình học không gian thuần túy được
trình bày trong toàn bộ chương trình hình học 11 và học kỳ I hình học 12. Trong
các đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi khảo sát của các trường, đề thi
học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây thì hình học không gian luôn là phần
kiến thức trọng tâm và không thể thiếu. Đây cũng là câu hỏi phân loại mức độ tư
duy của các học sinh giỏi. Để làm được các bài toán đó, học sinh không những
cần nắm chắc các kiến thức cơ bản mà còn phải có hệ thống liên kết chặt chẽ các
kiến thức, phải có khả năng tư duy sáng tạo.
Trong các tài liệu giáo khoa hiện hành (Sách giáo khoa và Sách bài tập cơ
bản và nâng cao), kiến thức về góc và khoảng cách trong hình học không gian
được trình bày ở học kỳ II sách giáo khoa Hình học 11. Vấn đề về góc giữa hai
mặt phẳng trong không gian, tài liệu giáo khoa và các sách tham khảo đã trình
bày các khái niệm cơ bản và cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, công thức về
diện tích hình chiếu. Tuy nhiên trong nhiều bài tập, việc tính số đo góc giữa hai
mặt phẳng trong không gian (trong trường hơp giao tuyến của chúng không
nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ) theo cách đã nêu
trong sách gặp khó khăn trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính toán
nhiều bước phức tạp, mất thời gian, dễ nhầm lẫn dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ
đến kết quả thi đặc biệt là trong bối cảnh thi bằng hình thức trắc nghiệm khách
quan đòi hỏi các bài tập phải được làm một cách nhanh nhất và chính xác. Luôn
trăn trở trước việc “làm thế nào để học sinh có cách giải ngắn nhất và nhanh
nhất trong khi làm bài tập dạng này”, từ kinh nghiệm bản thân trong các năm
giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và ôn thi trung học phổ thông quốc
gia cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên

internet, tôi lựa chọn đề tài: “Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học 11” nhằm góp
phần nâng cao chất lượng, hiệu quả trong quá trình dạy học ở trường THPT.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu mong muốn giúp đỡ các em học sinh khắc phục được điểm
yếu đã nêu về hình học không gian, nhận dạng cũng như biết cách giải dạng toán
“tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian mà giao tuyến của chúng
không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ” sau khi các
em đã biết cách làm các bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng,
nhằm góp phần nâng cao nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ
môn Toán ở trường trung học phổ thông, tạo sự tự tin, hào hứng học tập môn
Toán từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho
học sinh. Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn
đồng nghiệp.
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

1


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu
nhất trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình
quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các
bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học
sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu bài toán xác định góc giữa hai
mặt phẳng trong trường hợp giao tuyến của chúng là một đường thẳng không

nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ.
- Phạm vi nghiên cứu: Học sinh các lớp 11B 1, 11B5, 11B6 trường THPT
Bỉm Sơn.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

2


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
1.1. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Khi hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau theo giao
tuyến    , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một
mặt phẳng  � vuông góc với    , lần lượt cắt  P  và
 Q  theo giao tuyến p và q . Lúc đó, góc giữa  P  và
 Q  bằng góc giữa hai đường thẳng p, q .
(Trang 104 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)
1.3. Cho tứ diện vuông OABC có ba cạnh
OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu
của điểm O trên mp  ABC  . Khi đó ta có
1

1
1
1



.
2
2
2
OH
OA OB OC 2

(Trang 103 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)
1.4. Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng    là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong
đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng    .
(Trang 113 - Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11)
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng
Những khóa trước, sau khi dạy xong bài “Hai mặt phẳng vuông góc”, tôi
cho học sinh kiểm tra chuyên đề “góc giữa hai mặt phẳng”, tôi thấy đối với các
bài tập tìm góc giữa hai mặt phẳng mà giao tuyến của chúng là đường nằm trong
mặt phẳng đáy thì phần lớn các em làm tốt nhưng đến bài tập mà giao tuyến
không nằm trong mặt phẳng chứa đáy thì đa số các em không làm được, hoặc
chỉ làm được ở một số bài đặc biệt, một số làm được thì làm còn dài không phù
hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay. Trong khi đó bài tập dạng này vẫn
được xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và thi trung học phổ thông Quốc
gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Bản thân tôi cũng đã trao đổi với giáo viên trong trường và một số trường
bạn đang dạy khối 11 về bài tập dạng này thì đều được trả lời “dựng cổ điển là

ra hết nhưng tính toán hơi dài”.
Đề tài này mong muốn giúp các em học sinh và các đồng nghiệp giải
quyết vấn đề trên và bổ sung thêm một cách tính góc giữa hai mặt phẳng.
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

3


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Giải pháp thực hiện.
- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ
vuông góc, song song; các định lí, hệ thức trong tam giác vuông, tam giác
thường.
- Rèn luyện tốt kỹ năng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong các
trường hợp cơ bản.
- Hướng dẫn học sinh tìm ra công công thức mới để “tính số đo góc giữa
hai mặt phẳng trong không gian mà giao tuyến của chúng không nằm trong mặt
phẳng chứa đáy của hình chóp, hình lăng trụ”.
- Yêu cầu học sinh vận dụng tại lớp sau đó trình bày trước lớp hướng giải
hoặc lời giải chi tiết và ra bài tập về nhà để học sinh ghi nhớ phương pháp và rèn
luyện kỹ năng làm bài.
- Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm.
3.2. Tổ chức thực hiện.
Dựa vào cách xác định góc giữa hai mặt phẳng đã học tôi đưa ra công thức
mới tính góc giữa hai mặt phẳng như sau:
Cho hai mặt phẳng  P  � Q   d .
Từ điểm A � P  , dựng AK  d ; AH   Q  .

Vì AH   Q  , d � Q  � AH  d
� d   AKH  � d  KH



 



�
AK , HK  �
AKH   .
nên  P  ;  Q   �

AH
AK
d  A;  Q  
hay sin  
với A � P 
d  A; d 

Khi đó sin  

Chú ý: Khi làm bài không cần dựng điểm H mà chỉ cần tính độ dài
AH  d  A ;  Q  
Như vậy bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng ta quy về bài toán tính
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà các em đã được học.
Bài 1: Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  ,
SA  a , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB  BC  a , AD  2a .
Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  .

Cách mới:
Phân tích: Ta có  SBC  � SCD   SC .
Chọn điểm D � SCD  . Ta cần tính d  D ;  SBC   và d  D ; SC  .
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

4


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

Lời giải

+ Kẻ AE  SB tại E .
�SA  BC
� BC   SAB  � BC  AE
Ta có �
AB

BC
�
Do đó

AE   SBC 

� d  A;  SBC    AE 

AD / /  SBC  ).

a 2

a 2
� d  D ;  SBC   
(Vì
2
2

1
+ Gọi M là trung điểm AD � ABCM là hình vuông cạnh a � CM  AD
2
� ACD vuông tại C � CD  AC � CD   SAC  � CD  SC
� d  D ; SC   CD  a 2 .
+ Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD 
d  D ;  SBC   1
�sin  
 �   300 .
d  D ; SC 
2
Cách cũ:

+ Ta có  SBC  � SCD   SC .
Kẻ BN  SC tại N , NP  SC cắt SD tại P .
�, NP
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  �   BN
�SA  BC
� BC   SAB  � BC  SB
+ Ta có �
�AB  BC

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn





5


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

� BN 

BC.SB
a.a 2 a 6


3
a 3
SB 2  BC 2

+ Gọi M là trung điểm AD � ABCM là hình vuông cạnh a � CM 

1
AD
2

� ACD vuông tại C � CD  AC � CD   SAC  � CD  SC
2
CD  SC
�

� CD / / NP � NP  SP  SN  SB 2  2
Trong mp  SCD  có �
CD SD SC SC
3
�NP  SC
2 5a
2 2a
và SP 
.
� NP 
3
3
SB 2  SD 2  BD 2
2
2
2
2
2
�

+ BP  SB  SP  2.SB.SP.cos BSP  SB  SP  2.SB.SP.
2SB.SD
20
2 5a 2a 2  5a 2  5a 2 26 2
a 26
 2a 2  a 2 
.
 a � BP 
9
3

9
3
a 5
2
6a 8a 2 26a 2


BN 2  NP 2  BP 2
9
9
9  3
�

+ Khi đó cos   cos BNP 
2 BN .NP
2
a 6 2 2a
2.
.
3
3
0
�   30
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này
ta thấy:
+ Cách mới chỉ cần tính d  A;  SBC   và d  D ; SC  , đây là hai phép tính
đơn giản.
+ Cách cũ phải tính độ dài các cạnh BN , NP, BP . Đặc biệt tính BP khá
dài, dễ tính toán sai.
Bài 2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

SA   ABCD  và SA  a . Tính sin với  là góc giữa hai mặt phẳng  SBD 
và  SCD  .
Cách mới:
Phân tích: Ta có  SBD  � SCD   SD .
Chọn điểm C � SCD  . Ta cần tính d  C ;  SBD   và d  C ; SD  .
Lời giải

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

6


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

+ Do S.ABD là tứ diện vuông nên
1
1
1
1
3
a 3

2 
2 
2  2 � d A, SBD   
2
a
d  A,  SBD   AB AD AS
3





� d C, SBD  

a 3 (Vì AC � SBD tại trung điểm I của AC )
 
3

�SA  CD
� SD  CD � d  C , SD   CD  a.
+ Ta có �
�AD  CD

a 3
d
C
,
SBD




3
+ Vậy sin  
 3  .
d  C , SD 
a

3
Cách cũ:

+ Ta có  SBD  � SCD   SD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh
SD, SC.
Do SB  SD  BD  a 2 � SBD đều � BM  SD .
�SA  CD
�, MN
� SD  CD mà MN / /CD � MN  SD �   BM
Vì �
�AD  CD



+ Ta có BM 



3
6a MN  CD  a
,
a 2
2
2
2
2

�SA  BC
� SB  BC � SC  a 3 .
+ Vì �

AB

BC
�

BN 2 

BS 2  BC 2 SC 2 2a 2  a 2 3a 2 3a 2
a 3




� BN 
2
4
2
4
4
2

6a 2 a 2 3a 2
 
BM 2  MN 2  BN 2
�
4
4
4  6
cos



cos
BMN


+ Khi đó
2.BM .MN
3
6a a
2.
.
2 2

� sin  

3
.
3

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

7


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này
ta thấy:
+ Cách mới chỉ cần tính d  A;  SBD   và d  C ; SD  . Khoảng cách

d  A;  SBD   tính đơn giản dựa vào công thức tính khoảng cách trong hình tứ
diện vuông.
+ Cách cũ phải tính độ dài các cạnh BN , MN , BN . Đặc biệt tính BN phải
dùng công thức độ dài đường trung tuyến, học sinh dễ tính toán sai.
Bài 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
đường tròn đường kính AD  2a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  ,
SA  a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  .
Cách mới:
Phân tích: Ta có  SBC  � SCD   SC .
Chọn điểm D � SCD  . Ta cần tính d  D ;  SBC   và d  D ; SC  .
Lời giải

+ Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên
AC  CD mà SA  CD � SC  CD � d  D, SC   CD  a .
+ Qua A dựng đường thẳng AH  BC  H �BC  , lại có SA  BC
� BC   SAH  .

Dựng AK  SH  K �SH  � AK  BC
� AK   SBC  � d  A,  SBC    AK � d  D,  SBC    AK (Vì AD / /  SBC  ).
3
1
1
1
5
15
a�
a.
2 
2 
2 

2 � AK 
2
AK
AS
AH
3a
5
+ Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  .

Có AH  AB.sin 600 





d  D,  SBC  
 Ta có sin  
d  D, SC 

AK
DC

15
5

 510 .

Cách cũ:
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

8


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

+ Ta có  SBC  � SCD   SC .
Kẻ BM  SC tại M , MN  SC cắt SD tại N .
�, MN .
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  �   BM





SB 2  SC 2  BC 2 3 6

.
2.SB.SC
8
�  10 � BM  SB.sin BSC
�  2a. 10  10a .
� sin BSC
8
8
4
+ Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên
AC  CD mà SA  CD � SC  CD mà MN  SC � MN / /CD .
�  2a. 3 6  3 6a � MN  SN  SM  3
SM  SB.cos BSC

8
4
CD SD SC 4
3a
3 7a
� MN  , SN 
4
4
2
2
2
2
2
2
�  SB  SD  BD  SB  SN  BN
+ cos BSD
2.SB.SD
2.SB.SN
� 
+ Ta có SB  2a, SC  6a, BC  a � cos BSC

10a 2 9a 2 31a 2


BM 2  MN 2  BN 2
16
16
16  10
�


+ Khi đó cos   cos BMN 
2.BM .MN
5
10a 3a
2.
.
4
4
0
  51
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này
ta thấy rõ ràng cách mới đơn giản hơn rất nhiều.
Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2a, AD  2a 3 .
Mặt bên  SAB  là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
 là góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và  SCD  . Tính sin 
Cách mới:
Phân tích: Ta có  SAD  � SCD   SD .
Chọn điểm A � SAD  . Ta cần tính d  A;  SCD   và d  A; SD  .
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

9


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

Lời giải

+ Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB và CD thì SH  AB và HK  CD .
Kẻ HF  SK tại F .

�
 SAB    ABCD  � SH  ABCD � SH  CD
�


Ta có �
mà HK CD
�SH  AB
� CD   SHK  � CD  HF mà HF  SK � HF   SCD 
� d  H ,  SCD    HF � d  A,  SCD    HF (Vì AH / /  SCD  ).
1
1
1
1
1
5
2a 15


 2

� HF 
Ta có
2
2
2
2
2
HF
HS

HK
3a 12a 12a
5
+ Vì SH   ABCD  � SH  AD mà AB  AD � SA  AD
1
1
1
1
1
1
�
2 
2 
2 
2 
2 
SA AD 4a 12a 3a 2 � d  A, SD   a 3 .
d  A, SD 
2 15
a 2 5
d
A
,
SCD




+ Khi đó sin  
.

 5

d  A, SD 
5
a 3
Cách cũ:

+ Gọi H là trung điểm của AB thì SH  AB . Kẻ CM  HD  M �AD  .
�
 SAB    ABCD 
�

�
Ta có � SAB  � ABCD   AB � SH   ABCD  � SH  CM mà CM  HD
�
�SH  AB

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

10


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

� CM   SHD  � CM  SD



� , CI

Kẻ MI  SD  I �SD  � SD  CM �   MI



2S
1
4 39a
+ Ta có: DH  a 13  CH � S DHC  S ABCD  2 3a 2 � OC  DHC 
2
HD
13
2 13a
� OD  CD 2  OC 2 
.
13
2 13a
.a
MO
AH
OD
.
AH
39a
39
Lại có

� MO 
 13

� CM 

OD AD
AD
39
3
2 3a
3a
� DM  CM 2  CD 2 
.
3
+ Vì SH   ABCD  � SH  AD mà AB  AD � SA  AD
�  AD  3 � ID  MD.cos SDA
�  a � MI  a 3
� cos SDA
SD 2
2
6
2
a
a 15
+ CI  CD 2  ID 2  4a 2  
4
2
2
IM  IC 2  MC 2
5
2 5
�
cos



cos
MIC


� sin  
+ Khi đó
.
2.IM .IC
5
5
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này
ta thấy rõ ràng cách cũ phải tính toán qua rất nhiều bước phức tạp, dễ nhầm
lẫn. Hơn nữa, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng cũng không đơn giản.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Tính sin  với  là góc
giữa hai mặt phẳng  AB ' D ' và  BA ' C '  .
Cách mới:
Phân tích: Ta có  AB ' D '  � A ' BC '   IK .
Chọn điểm A ' � AB ' D ' . Ta cần tính d  A ';  AB ' D '  và d  A '; IK  .

Lời giải

+ Gọi I  A ' C '�B ' D ', K  A ' B �AB ' � IK   AB ' D ' � BA ' C ' 
+ Vì A ' AB ' D ' là tứ diện vuông nên
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

11


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

1
1
1
1
1 1 1 3



 2  2  2  2 � A' H  a 3
2
2
2
2
A' A A' B ' A' D ' a a a a
d  A ',  AB ' D ' 
3
a 2
a 6
nên tam giác A ' IK đều � d  A ', IK  
.
2
4
a 3
d  A ',  AB ' D ' 
2 2
 3 
+ Khi đó sin  
d  A ', IK 
3

a 6
4
Cách cũ:
+ Vì IK  A ' I  A ' K 

+ Gọi I  A ' C '�B ' D ', K  A ' B �AB ' � IK   AB ' D ' � BA ' C ' 
mà AD '/ / BC ' � IK / / AD '/ / BC ' mặt khác AD '   A ' B ' CD  � IK   A ' B ' CD 
lại do  A ' B ' CD  � AB ' D '  B ' M ,  A ' B ' CD  � BA ' C '   A ' N



�
�  B
' M , A' N



+ Ta có A ' B ' NM là hình chữ nhật nên MN  A ' B '  a,
A ' B '2  B ' N 2
6a
MO  ON 

2
4
2
OM  ON 2  MN 2 1
�
� cos   cos MON

 � sin   2 2

2.OM .ON
3
3
Nhận xét: So sánh hai phương pháp được vận dụng vào giải quyết bài tập này
ta thấy rõ ràng nếu làm theo cách cũ thì nhiều học sinh cảm thấy lúng túng vì
nhìn hình thấy rất rối, nhiều học sinh không thể tìm được mặt phẳng vuông góc
với giao tuyến.
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
C , 2 AC  BC  2a, AA '  4a . Tính góc giữa hai mặt phẳng  AB 'C  và  ABC ' .
Phân tích: Ta thấy  AB ' C  � ABC '  AO . Để tìm được mặt phẳng vuông góc
với AO trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm
bài: Chọn điểm C � AB ' C  , ta cần tính d  C ;  ABC '  và d  C ; AO  .

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

12


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

Lời giải

+ Gọi O  B ' C �C ' B �  AB ' C  � ABC '  AO
1
1
1
1
+ Do CABC ' là tứ diện vuông nên d 2 C; ABC '  CA2  CC '2  CB 2


 
�

1
1
1
1
21
4a 21
 


d  C;  ABC '  a 2 4a 2 16a 2 16a 2 � d  C;  ABC '   21
2

+ Ta có AC   BCC ' B ' � AC  CO � ACO vuông tại C
1
1
1
1
1
6
� 2


 2  2 � d  C; AO   a 30
2
2 
2
d  C ; AO  AC AO

5a a 5a
6
d  C ;  ABC '  4 70
ABC ' ;  AB ' C  

+ Khi đó sin �
d  C ; AO 
35





Bài 7: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB  3,
�
AD  4, BAD
 1200 . Cạnh bên SA  2 3 vuông góc với mặt đáy . Gọi M , N , P
lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD, BC . Tính góc giữa hai mặt phẳng
( SBC ) và (MNP)
Phân tích: Ta thấy  SBC  � MNP   PI . Để tìm được mặt phẳng vuông góc với
PI trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm bài.
Lời giải

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

13


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

+ Ta có : ( SAD) �(SBC )  Sx // AD // BC
�MI / / NP / / AB
�
�  SBC  � MNP   PI .
Gọi I là trung điểm của SB � �
NP
MI 
�
�
2
Dễ dàng chứng minh được IP, MN , Sx đồng quy tại J và I , M lần lượt là trung
điểm của JP và JN .
d (M ,(SBC ))
+ Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và (MNP) � sin   d (M , IP) .
+ Hạ AK  BC , AE  SK � AE  (SBC ) � d ( A,(SBC ))  AE .
AK  AB.sin �
ABK 

3 3
1
1
1
1 4
75
6 3
�


  

� AE 
2
2
2
2
AE
AS
AK 12 27 324
5

1
� d (M ,( SBC ))  d ( A,( SBC ))  3 3 .
2
5
+ Ta có AC 2  AB 2  CB 2  2 AB.CB.cos 600  13 � AC  13 .

JP  SC  13  12  5 , JN  2MN  SD  2 7 , PN  AB  3 � S JPN  3 6 .
1
6 6 � d ( M , PI )  1 d ( N , PI ) 3 6
 d ( N , JP).JP � d ( N , JP) 

Mà S
.
JPN 2
2
5
5
2
Vậy sin  
�   450 .

2
Bài 8: Cho chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  4a, BC  3a .
Lấy H thuộc cạnh AB sao cho AH  3BH . Biết SH   ABCD  và SH  a 3 .
Gọi E , F lần lượt là trung điểm AD; BC . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
 SHD  và  SFE  .
Phân tích: Ta thấy  SHD  � SEF   SQ . Để tìm được mặt phẳng vuông góc
với PI trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm
bài.
Lời giải

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

14


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

Gọi Q  HD �EF �  SHQ � SFE   SQ .
+ Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SHD  và  SFE  � sin  

d  H ,  SEF  
d  H , SQ 

+ Kẻ HK  SQ tại K � d H,SQ  HK .
Vì E là trung điểm AD mà EQ // AH nên Q là trung điểm DH .
3 2a
30a
� SQ  SH 2  HQ2 
Ta có DH  3 2a � QH 

2
2
SH.HQ 3a 5
3a 5
� HK 

� d H,SQ 
SQ
5
5
+ Kẻ HT  FE tại T và kẻ HG  ST tại G � HG   SFE  � d H, SFE    HG .
Xét tam giác SHT vuông ở H có: SH  a 3, HT 
Vậy sin  

3a
3a 7
� HG 
.
2
7

d  H ,  SEF   HG
35
14


� cos  
.
d  H , SQ 
HK

7
7

Bài 9: Cho lăng trụ đều ABC. A���
B C có cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên bằng 3 .
 và
Gọi M là trung điểm của CC �
. Tính sin góc giữa hai mặt phẳng  ACB�
 BMA�
.
Phân tích: Ta thấy  AB ' C  � A ' BM   IJ . Để tìm được mặt phẳng vuông góc
với IJ trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để làm
bài.
Lời giải

+ Gọi I là tâm hình chữ nhật ABB�
C.
A�và J là giao điểm của BM và B�
 � BMA�
.
Suy ra IJ   ACB�

 và  BMA�
 � sin  
+ Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng  ACB�
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

d  A,  A ' BM  
.
d  A, IJ 

15


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

+ Gọi D  A�
M �AC , suy ra C là trung điểm của AD � BC 

A�
A�
 �  BDA�
   ABB�

vuông tại B � BD   ABB�

1
AD � ABD
2

B  K �A ' B  � AK   BDA�
 � d  A,  A ' BD    AK  3 .
Dựng AK  A�
2

7
15
+ Tam giác B�
AC có B�
A  B�

C  2 , AC  1 � cos �
AB�
C  , SB�AC 
.
8
4
S
B�
I B�
J 1
B�
IJ

.
 � SB�I J  15 .
S
B�
A B�
C 3
12
B�
AC
2
4
2
��
J  B�
C  � IJ  B�
I 2  B�
J 2  2 B�

I .B�
J .cos IB
J .
Ta có: B�
I  1 ; B�
3
3
3
� d  A, IJ   d  B ', IJ  

2SB�IJ
15 � sin   3 : 15  2
.

2
4
IJ
4
5

Bài 10: Cho hình lăng trụ ABC.A���
B C có BA�
 CA�
 AA�
 2a , BA  BC  a ,
�
A�
B�
 và  BCC�
 . Tính

ABC  1200 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABB�
sin  .
Phân tích: Ta thấy  ABB ' A ' � BCC ' B '   BB ' . Để tìm được mặt phẳng vuông
góc với BB ' trong trường hợp này rất khó khăn vì vậy ta lựa chọn cách mới để
làm bài.
Lời giải

+ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A�xuống mặt đáy  ABC  . Vì
A�
A  A�
B  A�
C nên H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mặt
khác, trong tam giác ABC có BA  BC , �
ABC  1200 nên tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC là điểm đối xứng với điểm B qua trung điểm M của đoạn AC .
� �

�

AA //BB
B�
B�
 //  BCC �
 �  BCC�
   ABC  .
+ Vì �AH //BC �  AHA�
�

� d  A,  BCC �
B�

   d  A, BC   d  H , BC  

a 3
.
2

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

16


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

2SBAA� a 15

.
AA�
4
d  A,  BCC �
B�
 2 5

Suy ra sin  
.
5
d  A, BB�


+ d  A, BB�

  d  B, AA�


BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng a, tâm O; cạnh bên bằng a 2. Gọi M là trung điểm của CD, H là điểm
đối xứng của O qua SM . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SCH  và  SCD  .
2
Đáp số: arcsin 7 .
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng
2 2. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và SC . Côsin của góc tạo bởi hai
mặt phẳng  BMN  và  BDN  bằng

Đáp số: 10
5

Bài 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA   ABCD  ,
SA  a , AB  a , AD  2a . Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAC  và
 SCD  . Tính sin  .
Đáp số:

sin  

2

6
5

Bài 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi  là

góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  .
42
Đáp số: sin  
.
7
�
 150�,
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
B C có AB  a, AC  a 3, BAC
I
AA�
 a . Gọi I là trung điểm của CC �
. Tính sin của góc giữa mặt phẳng  AB�
và mặt phẳng  ABC  .
418
Đáp số:
22
3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Năm học 2018-2019, khi dạy chuyên đề “Góc giữa hai mặt phẳng trong
không gian” chúng tôi chọn lớp 11B1, 11B5 làm lớp dạy học thực nghiệm (lớp
sử dụng đề tài và dạy sau chuyên đề “khoảng cách”). Đồng thời cũng nội dung
như trên tôi chọn lớp 11B2, 11B6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề
tài) (các lớp đều học chương trình nâng cao; lớp 11B1, 11B2 là lớp khối D có
lực học tương đương nhau; lớp 11B5, 11B6 là lớp khối A có lực học tương
đương nhau – đánh giá qua quá trình trực tiếp giảng dạy và qua kết quả thi học
kì 1 của hai lớp). Tôi nhận thấy, ở lớp 11B2, 11B6 đa số các em chỉ làm được
các bài tính góc giữa hai mặt phẳng trong trường hợp giao tuyến của chúng nằm
Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

17


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

ở mặt phẳng chứa đáy của đa diện, còn trong trường hợp giao tuyến không nằm
trong mặt phẳng chứa đáy của đa diện học sinh thường lúng túng không xác
định được góc giữa hai mặt phẳng hoặc xác định được nhưng không tính được
số đo góc dẫn đến chán nản và cho rằng hình học không gian quá khó. Ở lớp
11B1,11B5 tôi thấy có hiệu quả rõ rệt, các em có hứng thú, đam mê học tập hơn
hẳn, các e có thể tự làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến là các bài
khó hơn; đặc biệt là các em rất vui khi các bài toán “tính góc giữa hai mặt
phẳng” trong các đề thi khảo sát, đề thi thử trung học phổ thông Quốc Gia đa số
các em đều có thể giải quyết một cách dễ dàng.
Sau khi dạy học thực nghiệm và đối chứng, tôi tiến hành cho học sinh bốn
lớp làm bài kiểm tra 45 phút và thu được kết quả thống kê theo bảng sau:

Lớp

Sĩ
số

Kết quả
Tr.bình
SL
%
7 15,6

Giỏi

Khá
Yếu
Kém
SL % SL
%
SL
%
SL
%
11B1 45
15 33,3 21 46,7
2
4,4
0
0
12,
11B2 40
5
15 37,5 15 37,5 5 12,5 0
0
5
11B5 43
18 14,6 20 24,4 5 48,8 0
0
0
0
11B6 37
3
8,1 17 45,9 10 27,1 7 18,9 0
0

Qua quá trình thực nghiệm với những kết quả trên đây tôi mạnh dạn khẳng
định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng
trong dạyhọc chủ đề “Góc giữa hai mặt phẳng” của hình học không gian lớp 11.

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

18


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
Bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian là một bài toán được
khai thác tương đối nhiều trong các đề thi, nó có thể xuất hiện ở giả thiết cũng
có thể xuất hiện ở kết luận. Để giải quyết hiệu quả bài toán dạng này học sinh
cần nắm vững cả 4 phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
(3 phương pháp đã nêu trong sách giáo khoa và một phương pháp trong sáng
kiến kinh nghiệm) để vận dụng linh hoạt cho từng bài toán cụ thể.
Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian trong trường hơp giao
tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình đa diện là bài
toán khó đối với nhiều học sinh, nó đòi hỏi người học phải vận dụng được kiến
thức tổng hợp. Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải
toán, giúp các em rút ngắn thời gian làm bài và đặc biệt tạo niềm say mê học
tập của học sinh trung học phổ thông. Tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Ứng
dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai
mặt phẳng trong hình học 11”
Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy
vấn đề này giúp ích cho học sinh trong việc làm toán, giúp các em yêu thích

hình học không gian hơn tạo niềm say mê học tập cho các em. Thực nghiệm
cho thấy có khoảng 80% học sinh giải quyết khá tốt các bài toán về góc giữa hai
mặt phẳng trong sách giáo khoa và trong các đề thi. Tôi nhận định khả năng
ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy trong nhà trường sẽ đạt
hiệu quả cao.
2. Kiến nghị.
- Thiết nghĩ đề tài này là một vấn đề mới, giúp học sinh giải quyết nhanh
chóng bài toán “tính số đo góc giữa hai mặt phẳng trong không gian trong
trường hợp giao tuyến của chúng không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình
đa diện” - một dạng khó trong các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng. Vì vậy tôi
hy vọng đề tài này được nhân rộng trong nhà trường và các đồng nghiệp.
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng các nghiên cứu khoa
học sư phạm ứng dụng, các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để giáo
viên các trường học tập và vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt hơn.
+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các bài toán
nâng cao của hình học không gian để các em HS có thể tham khảo, học tập
tốt hơn.

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

19


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện, tuy nhiên
cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân
thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn để đề tài của

tôi được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do mình tự
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết

Phùng Thị Mai Hoa

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

20


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]

Sách giáo khoa hình học 11 cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách bài tập hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

Sách bài tập hình học 11 cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục.
Đề thi thử trung học phổ thông Quốc gia trên cả nước.
Mạng Internet

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

21


“Ứng dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong hình học 11”

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

I. MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài.

1

2. Mục đích nghiên cứu.

1

3. Đối tượng nghiên cứu.

2

4. Phương pháp nghiên cứu.

2

II. NỘI DUNG SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

3

2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

3

3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

4

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

17

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
1. Kết luận.

19

2. Kiến nghị.

19

Giáo viên: Phùng Thị Mai Hoa – Trường THPT Bỉm Sơn

22