Kỹ năng tạo liên hợp ngược để giải quyết một số phương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi và thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: KỸ NĂNG TẠO LIÊN HỢP NGƯỢC ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA.

Người thực hiện: TẠ THỊ VÂN
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Văn Hưu
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Năm học: 2018 - 2019


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Môn toán là một môn học có nhiều đơn vị kiến thức, do đó giáo viên phải
tích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi
truyền tải kiến thức cho học sinh. Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia, đề
thi học sinh giỏi có những câu hỏi phân loại rất khó, vì vậy mỗi giáo viên phải
tìm tòi, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán khó
này một cách hiệu quả nhất trong các đề thi.
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay phương trình vô tỷ vốn dĩ được coi
là con át chủ bài trong chương trình giảng dạy THPT nói chung cũng như đánh
giá năng lực học sinh trong các kỳ thi quan trọng về Toán học .
Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc Gia, kỳ thi học sinh giỏi … thì các bài
toán phương trình vô tỷ là bài toán mang tính phân loại cao. Các bài tập thuộc
dạng toán này đòi hỏi học sinh cần tư duy theo nhiều hướng khác nhau, sử dụng

các phương pháp khác nhau mới có thể tìm được mấu chốt của vấn đề.
Trong quá trình giảng dạy, quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân tôi
đã tiếp cận sử dụng phương pháp “Sử dụng kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giải
một số bài toán phương trình vô tỷ.
Đây là phương pháp không chỉ nhằm phát triển tư duy độc lập sáng tạo mà
còn góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, tự bồi dưỡng hứng thú
học tập, tạo niềm tin cho học sinh trong quá trình giải toán.
Song việc vận dụng nó cần có những kỹ năng và cách thức khác nhau. Qua
hoạt động giảng dạy và quá trình tự học, tự nghiên cứu, tôi đã phát hiện ra một
số “kỹ năng” và “cách thức” đó.
Chính vì thế tôi chọn viết đề tài này, trong phạm vi đề tài tôi chủ yếu đưa ra
các ví dụ về phương trình vô tỷ, phân tích định hướng cho học sinh tìm tòi lời
giải bằng phương pháp sử dụng “kỹ năng tạo liên hợp ngược”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành cho các em
thói quen tự học, tự nghiên cứu, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học
sinh.
- Hình thành cho các em có thói quen phân tích, định hướng và từ đó tìm
được hướng giải quyết bài toán.
- Từng bước tạo ra đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại của các em học sinh
khi gặp các bài toán phương trình vô tỷ.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh trung học phổ thông ( chú trọng học sinh khá, giỏi).
- Học sinh ôn thi vào các trường Đại học, cao đẳng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu tài liệu, tự nghiên cứu.

1

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lý luận.
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng
ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức
vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm
hành động nhất định nào đó.
Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện
qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình... Trong môn
toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những
yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán... kỹ
năng tạo liên hợp ngược để giải một số phương trình vô tỷ cũng không phải là
ngoại lệ.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
- Phương pháp này không giải quyết cho mọi phương trình vô tỷ mà chỉ
thực sự rất hiệu quả với phương trình vô tỷ dạng một căn thức.
- Trong quá trình giảng dạy nhận thấy đại đa số học sinh học theo lối mòn
ghi nhớ mà không có thói quen đào sâu suy nghĩ đưa ra cách thức, con đường
tìm kiếm lời giải và nhiều giáo viên chưa chú trọng điều này.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các hằng đẳng thức thường sử dụng:
A2  B 2  ( A  B )( A  B)
A3  B 3  ( A  B)( A2  AB  B 2 )
A3  B 3  ( A  B )( A2  AB  B 2 )

2.3.2. Biểu thức liên hợp:
A( x ) được gọi là biểu thức liên hợp của B ( x ) nếu tích A( x ).B ( x) trở thành
một lượng mất căn thức. ( B( x) là biểu thức chứa căn thức)
Các dạng biểu thức liên hợp thường gặp:
1)

A B
A B
A B

A B 

3
3
3) A  B 

3

5) A  3 B 

2

A2  B
2) A  B 
A B

A  3 A.B  B
A3  B
3

2

A A B B
3

3

2

2

4)

3

A3 B 

6) A  3 B 

3

A B

A  3 A.B  3 B 2
A3  B
2

A2  A 3 B  3 B 2

2.3.3. Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình (máy
tính Casio fx-570ES và Casio fx- 570VN PLUS)
Bước 1: Nhập phương trình cần dò nghiệm vào.
Bước 2: Bấm SHIFT SOLVE, lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị khởi
tạo của ẩn X. Ta nhập vào một giá trị bất kỳ và bấm nút “=”.
�Nếu dò nghiệm thành công thì màn hình sẽ có ba dòng như sau:
Dòng 1: Phương trình đã nhập.

Dòng 2: X  Nghiêm  . Đây chính là nghiệm của phương trình ( giá trị này có
thể là nghiệm đúng hoặc nghiệm gần đúng).
2


Dòng 3: L  R  < sai lệch hai vế >.
� Nếu việc dò nghiệm quá lâu, máy thể hiện lên màn hình hỏi có nên dò
nghiệm tiếp hay không. Lúc này màn hình sẽ có ba dòng như sau:
Dòng 1: Continue:  
Nếu muốn tiếp tục dò nghiệm, ta bấm phím   .
Dòng 2:Giá trị hiện tại của X.
Dòng 3: L  R  < sai lệch hai vế >.
Nếu không muốn tiếp tục việc dò nghiệm, ta bấm phím  AC  .
�Nếu máy không thể dò được nghiệm thì màn hình sẽ hiện Can ' t solve
Điều này có hai nguyên nhân. Thứ nhất là phương trình đã nhập luôn vô nghiệm.
Thứ hai có thể là do giá trị khởi tạo không phù hợp.
2.3.4. Các khái niệm nghiệm đơn, nghiệm bội của phương trình:
�Nghiệm đơn:
Nghiệm đơn x  a là nghiệm mà tại đó phương trình f ( x)  0 được phân tích
thành nhân tử có dạng ( x  a ) g ( x)  0 và g (a) �0 .
�Nghiệm kép:
Nghiệm kép x  a là nghiệm mà tại đó phương trình f ( x)  0 được phân tích
thành nhân tử có dạng ( x  a )2 g ( x)  0 và g (a) �0 .
�Nghiệm bội ba:
Nghiệm bội ba x  a là nghiệm mà tại đó phương trình f ( x)  0 được phân tích
thành nhân tử có dạng ( x  a)3 g ( x)  0 và g (a) �0 .
2.4. Bài toán mở đầu:
Giải phương trình: 2 x  1  x 2  3 x  1  0 .(1)
( Đề thi Đại Học khối D- năm 2006)
Đây là bài toán có nhiều cách giải như:

- Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa.
- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.
Sau đây, tôi xin đưa ra một số cách giải khác:
Cách giải 1: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:
1
2
(1) � ( 2 x  1  1)  x 2  3x  2  0 (2)
2( x  1)
1
�
 ( x  1)( x  2)  0 (vì 2 x  1  1  0; x � )
2
2x 1 1
x 1
�
�
�
� 2
 x  2  0 (2)
� 2x 1  1

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:

� ( x  1)(

2
 x  2)  0
2x 1  1

Đặt: t  2 x  1 (t �0) , khi đó pt(2) trở thành:
t 3 
t2 �
3t 
1 0�۳ (t 1)(t 2 2t 1) 0

t 1
�
�2
t  2t  1  0
�

t 1
�
(vì t
�
t  2 1
�

0)
3


x 1
�
��
(t / m)
x  2 2
�2x 1  2 1 �
�2x 1  1

Hay �

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 2:
1
2

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:
(1) � ( 2 x  1  1)  x 2  3x  2  0 � ( 2 x  1  1)  ( x  1)( x  2)  0
� 2( 2 x  1  1)  2( x  1)( x  2)  0 � 2( 2 x  1  1)  ( 2 x  1  1)( 2 x  1  1)( x  2)  0
�2x 1 1  0
� 0 � �
� ( 2 x  1  1) �
(
x

2)
2
x

1

x
�
�
( x  2) 2 x  1  x  0
�
x 1
�

��
(2 x  4) 2 x  1  2 x  0 (3)
�
Đặt: t  2 x  1 (t �0) , khi đó pt(3) trở thành:
t 1
t 1
�
�
t 3 
t2 �
3t 
1 0�۳ (t 1)(t 2 2t 1) 0
(vì t
�
�2
t  2t  1  0
t  2 1
�
�

0)

x 1
�
��
(t / m)
x  2 2
�2x 1  2 1 �
�2x 1  1

Hay �

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 3: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:
1
2
(1) � ( 2 x  1  x  1)  x 2  4 x  2  0 (4)

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:

Nhận thấy x  2  2 không phải là nghiệm của phương trình
�x �2  2
�
Với � 1
thì 2 x  1  ( x  1) �0 , do đó:
�x �
� 2
1
( x 2  4 x  2)
)0
�
 x 2  4 x  2  0 � ( x 2  4 x  2)(1 
(4)
2x 1  x  1
2 x  1  ( x  1)
�
x2  4 x  2  0
�
1
x  2 2

�۳�
(vì x
)
�
2
x 1
�
� 2x 1  x
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.

Cách giải 4:
1
2
(1) � ( 2 x  1  x  1)  �
( 2 x  1) 2  ( x  1) 2 �
�
� 0

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:

� ( 2 x  1  x  1)  ( 2 x  1  x  1)( 2 x  1  x  1)  0

4


�
� 1
�x �
�
� 2

�
�
�2x 1  x
( x  1) 2  0
�
�
�
�
�
� ( 2 x  1  x  1)( x  2 x  1)  0
�
�1
�
�2x 1  1 x
� �x �1
�
�2
�
�x 2  4 x  2  0
�
�
x 1
�
��
(t / m)
x  2 2
�

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 5: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

1
2

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có 2 x  1  x  0 do đó:
(1) � ( 2 x  1  x)  x 2  2 x  1  0 �

( x 2  2 x  1)
 x2  2 x  1  0
2x 1  x

1
)0
2x 1  x
x 1
�
x 1
�
( x  1)2  0
�
�
��
��
��
(t / m)
�x �1
x

2

2

�
�
2
�2x 1  1 x
�
�x  4 x  2  0
�
� ( x 2  2 x  1)(1 

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 6:
1
2

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:
x 2  ( 2 x  1) 2 �
(1) � ( 2 x  1  x)  x 2  2 x  1  0 � ( 2 x  1  x )  �
�
� 0
� ( 2 x  1  x)  ( x  2 x  1)( x  2 x  1)  0 � ( x  2 x  1)( x  1  2 x  1)  0
�
� 1
�x �
�
� 2
�
�
�2x 1  x
x 1
( x  1) 2  0

�
�
�
��
��
��
(t / m)
1
x

2

2
�
2
x

1

1

x
�
�
�
� �x �1
�
2
�
�

�x 2  4 x  2  0
�
�

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Nhận xét:
Tất cả 6 cách giải trên đều làm xuất hiện biểu thức liên hợp nhưng từng cặp
cách giải ( cách giải 1 và cách giải 2 ; cách giải 3 và cách giải 4; cách giải 5 và
cách giải 6) đều có cách thức ngược nhau. Ở cách giải 2, cách giải 4, cách giải 6
sử dụng phương pháp tách liên hợp thông qua hằng đẳng thức:
2 x  2  ( 2 x  1) 2  1  ( 2 x  1  1)( 2 x  1  1) (cách giải 2)
x 2  4 x  2  ( x  1) 2  ( 2 x  1) 2  ( 2 x  1  x  1)( 2 x  1  1  x) (cách giải 4)
5


x 2  2 x  1  ( x)2  ( 2 x  1) 2  ( 2 x  1  x)( 2 x  1  x) (cách giải 6)

Kỹ năng dùng để tạo biểu thức liên hợp như trên gọi là “kỹ năng tạo liên
hợp ngược”.
Đây là bài toán hội tụ nhiều yếu tố: Có nghiệm hữu tỷ, có nghiệm vô tỷ, có
nghiệm đơn và có nghiệm kép.
Để hiểu rõ hơn “kỹ năng” và “cách thức” của phương pháp này , sau đây tôi
xét một số bài toán cụ thể.
2.5. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm hữu tỉ đơn:
�Phương pháp chung:
Xét phương trình: g ( x)  h( x) n f ( x) ( n  2 hoặc n  3 )
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (Dùng chức năng SOLVE của máy
tính cầm tay), Từ đó tìm lượng liên hợp.
Bước 3: Bằng cách thêm, bớt hằng số, biểu thức, hoặc tách nhóm …phân tích

biến đổi g ( x) làm xuất hiện biểu thức liên hợp.
Bước 4: Đưa phương trình về dạng tích rồi giải và kết luận.
�Các bài tập áp dụng:
Bài tập 2.5.1: Giải phương trình: 2 x 2  7 x  16  (2 x  1) x 2  10 x  4
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  6 nghiệm hữu
tỉ đơn của phương trình. Như vậy phải làm xuất hiện đại lượng ( x  6) để đặt làm
thừa số chung, khi đó ta phải biến đổi căn thức
x 2  10 x  4 thành
x 2  10 x  4  A , để ý thấy biểu thức cần xuất hiện là bậc nhất nên ta chọn A
có dạng A  ax  b . Ta thay x  6 vào căn thức ta được:
, suy ra liên hợp cần tìm là:

x 2  10 x  4  10  x  4

x 2  10 x  4  ( x  4) . Do đó ta có :

� x 2  10 x  4  ( x  4) �� x 2  10 x  4  ( x  4) � 2 x  12
�
��
�

Đây là cách tạo liên hợp, cụ thể ta có lời giải như sau:
Lời giải:
�
5  21; � (*), với đk(*), ta có:
Đk: x � �; 5  21 �
���
Pt � (2 x  1) � x 2  10 x  4  ( x  4) � (2 x  12)  0
�
�

� (2 x  1) � x 2  10 x  4  ( x  4) � � x 2  10 x  4  ( x  4) �� x 2  10 x  4  ( x  4) � 0
�
��
��
�
� � x 2  10 x  4  ( x  4) �� x 2  10 x  4  3 x  5� 0 .
�
��
�
� x 2  10 x  4  x  4
�x �4
��
��
� x  6(t / m)
2
x

6
�
�
� x  10 x  4  3x  5(Vô nghiêm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  6.
Nhận xét: Nếu khi dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình là x  6

6


thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức x 2  10 x  4 hằng số 62  10.6  4  10
� liên hợp là: x 2  10 x  4  10 thì phải nhân hai vế với ( x  16) rồi sử dụng
kỹ năng tạo liên hợp ngược vẫn giải quyết được bài toán, nhưng đưa bài toán trở

nên phức tạp hơn và dễ sai sót, cách giải trên tránh được điều này.
Bài tập 2.5.2: Giải phương trình: x3  2 x 2  5 x  2 3 5 x 2  3 .
Phân tích:
Đây là bài toán chứa căn bậc ba nhưng hoàn toàn tương tự ta vẫn sử dụng
được “kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giải. Sử dụng chức năng máy tính cầm
tay ta thu được nghiệm hữu tỷ đơn x  1 . Thay vào căn thức ta được
3
5x2  3  2  x  1 .
Do đó ta có phân tích :
x3  2 x 2  3x  2  ( x  1)3  (5 x 2  3)  ( x  1  3 5 x 2  3) �
( x  1) 2  ( x  1) 3 5 x 2  3  3 (5 x 2  3) 2 �
�
�

và lời giải như sau:
Lời giải: Ta có:





3
2
3
2
Pt � x  2 x  3x  2  2 x  1  5 x  3  0





� x  1  3 5x2  3 �
( x  1) 2  ( x  1) 3 5 x 2  3  3 (5 x 2  3) 2  2 � 0 (1)
�
�
x
Vì với mọi ta có:
1
3
�
�
�
( x  1) 2  ( x  1) 3 5 x 2  3  3 (5 x 2  3) 2  2 � �
( x  1  3 5 x 2  3) 2  3 (5 x 2  3) 2  2 � 0
�
� �
2
4
�

Do đó:
(1) � 3 5 x 2  3  x  1 � x3  2 x 2  3x  2  0 � x  1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  1 .
Bài tập 2.5.3: Giải phương trình: 5 x3  22 x 2  22 x  6  4 x  3  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được hai nghiệm hữu tỉ
đơn của phương trình là: x  1 và x  3 thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức
4 x  3 là ax  b với a,b là nghiệm của hệ phương trình:
�
a 1
�

� 4.1  3  ( a  b)  0
��
�
nên ta tìm được biểu thức liên hợp là:
b0
�
� 4.3  3  (3a  b)  0
x  4 x  3 � ( x  4 x  3)( x  4 x  3)  x 2  4 x  3 .Do đó ta có phân tích biến đổi

biểu thức tạo liên hợp ngược như sau:
5 x 3  22 x 2  22 x  6  (5 x 3  22 x 2  23x  6)  x
 ( x 2  4 x  3)(5 x  2)  x
�
x2 
�
�

=  x




4x  3   x 

2
4 x  3 �(5 x  2)  x
�
�



4x  3  5x  2  x

Lời giải:
7


3
4
2
Pt � ( x  4 x  3)(5 x  2)  ( x  4 x  3)  0

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:




�  x  4x  3  �
0
 x  4 x  3  (5x  2)  1�
�
�
10
�  x  4 x  3   0 (Vì �
 (5 x  )( x 
 x  4x  3  (5x  2) 1�
�
�
3

� x  4 x  3 x  4 x  3 (5 x  2)  ( x  4 x  3)  0

3
4
4
4 x  3)  ( x  1)  4 x  3  0 với x � )
3
3
4

� 3
x 1
�
�x �
�� 4
��
x3
�
�x 2  4 x  3  0
�

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x  1 ; x  3 .
Nhận xét : Ta thấy biểu thức cần tìm để làm xuất hiện liên hợp là:
( x  4 x  3)( x  4 x  3)  x 2  4 x  3 chưa có sẵn trong bài toán. Đối với bài toán
này thực hiện phân tích thành nhân tử 5 x3  22 x 2  23x  6  ( x 2  4 x  3)(5 x  2)
3
x

Bài tập 2.5.4: Giải phương trình: 4 x 2  6 x  6  ( x 2  7 x) x  .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được hai nghiệm hữu tỉ

của phương trình là: x  1 và x  3 nên ta tìm được biểu thức liên hợp là:
2 x  x3  3x � (2 x  x3  3x )(2 x  x 3  3x )  4 x 2  x3  3x

có bậc bằng 3, nhưng biểu thức còn lại trong phương trình lại có bậc bằng 2.Do
đó ta phải nhân và chia biểu thức còn lại với một biểu thức để làm xuất hiện
biểu thức cần tìm, cụ thể phân tích biến đổi 4 x 2  6 x  6 làm xuất hiện liên hợp:
2
4 x2  6x  6   �
4 x 2  ( x 3  3 x) �
�
� 2 x( x  7)
x
2
  (2 x  x3  3 x )(2 x  x 3  3 x )  2 x( x  7)
x

Lời giải:
Đk: x  0 (*), Với đk(*), ta có:
2
2
Pt �  .4 x 2  ( x  7).2 x   .( x 3  3x)  ( x  7) x 3  3x
x
x
2
2 3
� �
4 x 2  ( x 3  3x ) �
 ( x  7)(2 x  x 3  3x )  0 � (2 x  x 3  3x )( x  3 
x  3x )  0
�

�
x
x
�
�x  0
�
�3
2
� x3  3x  2 x
x 1
�
�x  4 x  3x  0
�
��
��
��
(t / m )
3
2
x3
x

0
�
�
�
2
x

3

x

x

3
x
�
�
�4
3
2
�
�x  2 x  9 x  12 x  0
�

Vậy phương trình có nghiệm là x  1; x  3 .
Nhận xét :

8


Nếu xét về tính chất nghiệm thì sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta nhận
thấy x  1 là nghiệm kép và x  3 là nghiệm đơn, nhưng cách tìm liên hợp vẫn sử
dụng phương pháp tìm liên hợp của bài toán có hai nghiệm hữu tỷ đơn.
Bài tập 2.5.5: Giải phương trình: x  1  2 4  x 

5( x  3)

2 x 2  18

.

Phân tích:
Ta có: x  1  2 4  x  x  1  16  4 x và ( x  1)  (16  4 x )  5( x  3) nên ta
ghép hai căn thức với nhau và sử dụng phương pháp “ kỹ năng tạo liên hợp
ngược”, bình phương hai vế để chuẩn hóa đưa phương trình về dạng một căn
thức.
Lời giải:
Đk: 1 �x �4 (*).Với đk: (*), ta có:
Pt � 2 x 2  18.( x  1  16  4 x )  ( x  1  16  4 x )( x  1  16  4 x )
� x  1  16  4 x
x  3 (t / m)
�
��
�� 2
2
�
� 2 x  18  x  1  16  4 x (1)
� 2 x  18  x  1  16  4 x
2
( x  1)   x 2  3x  4 �
(1) � 4  x 2  3x  4  2 x 2  3 x  1 � (2 x  x  3)  4 �
�
�

��
( x  1)2  (  x 2  3 x  4) 2 � 4 �
( x  1)   x 2  3x  4 � 0
�
� �

�
��
( x  5)   x 2  3x  4 �
.�
( x  1)   x 2  3x  4 � 0
�
��
�
��
( x  1)   x 2  3 x  4 � 0 (Vì �
( x  5)   x 2  3x  4 � 0; x � 1; 4 )
�
�
�
�
x  1
�
1 �x �4
�
2
�
� x  1   x  3x  4 � � 2
�
3 (t / m )
�
x
2x  x  3  0
�
� 2
3

Vậy phương trình có ba nghiệm là: x  3; x  1; x  .
2

Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình: 3x 2  2 x  1  ( x  1) x 2  3  0 .
Bài 2: Giải phương trình: x3  8 x  1  2 10  x 2 .
Bài 3: Giải phương trình: ( x  1)( x  1)3  (2 x  1) 3x  1  7 x  x 2
2.6. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm vô tỉ đơn:
�Phương pháp chung:
Xét phương trình: g ( x)  h( x) n f ( x) ( n  2 hoặc n  3 )
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (Dùng chức năng SOLVE của máy
tính cầm tay), Từ đó tìm lượng liên hợp.
Bước 3: Bằng cách thêm, bớt hằng số, biểu thức, hoặc tách nhóm …phân tích
biến đổi g(x) làm xuất hiện biểu thức liên hợp.
Bước 4: Đưa phương trình về dạng tích rồi giải và kết luận.
�Các bài tập áp dụng:
9


Bài tập 2.6.1: Giải phương trình: x 2  2 x  4  (2 x  1) x  4  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm
x �1.561552831. Thay x �1.561552831 vào căn thức: x  4 �1.561552813 � x
Do đó liên hợp cần tìm là x  x  4 .
Xét ( x  x  4)( x  x  4)  x 2  ( x  4) 2  x 2  x  4 đó là mấu chốt của lời giải.
Lời giải:
ĐK: x �4. Ta có:
Pt � ( x 2  x  4)  (2 x  1)( x  x  4)  0
� ( x  x  4)( x  x  4)  (2 x  1)( x  x  4)  0 � ( x  x  4)( x  1  x  4)  0
�

� 4 �x �0
� 1  17
�
�2
x
�
� x  4  x
�x  x  4  0
�
2
��
��
��
� 1  13
4 �x �1
�
� x  4  x 1 �
x
�
�2
�
�
2
x

x

3

0

�
�
1  17
1  13
;x
.
2
2
Bài tập 2.6.2: Giải phương trình: 2 x 2  x  1  3x x  1  0 .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm
x �0.390388203. Thay vào căn thức ta được
x  1 �0.7807764064 �2 x .Với
nghiệm vô tỷ trên ta nhận được liên hợp  2 x  x  1  , ta có lời giải như sau:
Bài giải:
�x �1

� 1 �x �0 (*). Với đk(*) ta có:
(2 x 2  x  1) x �0
�
4 x 2  ( x  1) �
PT � 3x 2 x  x  1  �
�
� 0 � 3 x 2 x  x  1  2 x  x  1 (2 x  x  1)  0

Điều kiện: �







 



�
�
�
� 1 �x �0
2x  x 1  0
� 1  17
�
�
�
� 2
x
�
1 �x �0
4 x  x 1  0
�
�
�
�
8
�
��

�
� (2 x  x  1)( x  x  1)  0 � �
� 1 5
1 �x �0
�x  x  1  0
�
�
�
x
�
�
�
2
�1 �x �0
�
�
2
�x  x  1  0
�
�
�
1 5
1  17
;x
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x 
.
2
8
Bài tập 2.6.3: Giải phương trình: 2 x 2  5 x  ( x 2  2) x  2  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay SHIFT CALC với x  1 ta thu

được nghiệm x  1 , tuy nhiên chúng ta chưa vội vàng đánh giá luôn nghiệm này

mà cân nhắc kỹ lưỡng bởi vẫn còn một nghiệm vô tỷ nữa. Thật vậy, SHIFT
CALC với x  1.5 ta thu được x �1.464101615. Với nghiệm vô tỷ trên ta được
liên hợp  x  2 x  2  .

10


Lời giải:
�x  2 �0

� 2 �x �0 (*). Với đk(*) ta có:
2 x 2  5 x �0
�
Pt � 4 x 2  10 x  2( x 2  2) x  2  0 �  x3  4 x 2  8 x  ( x 2  2)( x  2 x  2)  0

Điều kiện: �

�  x( x 2  4( x  2))  ( x 2  2)( x  2 x  2)  0
�  x( x  2 x  2)( x  2 x  2)  ( x 2  2)( x  2 x  2)  0
� ( x  2 x  2)(2  2 x x  2)  0 � ( x  2 x  2)(1  x x  2)  0
�
�
� 2 �x �0
�
x  22 3
�
�2
�

�
x

4
x

8

0
x2 x2  0
�
�
��
��
��
x  1
2 �x �0
�
1 x x  2  0
�
�
�
1  5
�3
�
2
x
�
�x  2 x  1  0
�

�
2

Vậy phương trình có ba nghiệm là: x  1; x  2  2 3; x 

1  5
.
2

Nhận xét :
Bài toán này khác với các bài toán trên là: Vừa có nghiệm hữu tỷ, vừa có
nghiệm vô tỷ. Nếu ta chỉ quan tâm đến nghiệm hữu tỷ thì ta vẫn giải được bài
toán tuy nhiên cách giải này không tối ưu làm cho bài toán phức tạp hơn.
x2  2 x  8
 ( x  1)( x  2  2) .
Bài tập 2.6.4 : Giải phương trình: 2
x  2x  3

(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015)
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x  2 .Với
�
�x2 20
x  2 thì � 2
. Do đó ta sẽ nhân liên hợp cho nhóm biểu thức x  2  2
�x  2 x  8  0
2
đồng thời phân tích cho nhóm biểu thức  x  2 x  8  để tạo ra nghiệm x  2 trước.





Sau khi tháo gỡ nghiệm x  2 ta sẽ có một phương trình vô tỷ mới và tại phương
trình này ta tìm ra được nghiệm x �3.302775638 thay vào căn thức ta được:
x  2 �2.302775638 �x  1 hay nhân tử có thể tạo ra là:  x  1  x  2  hoặc
x 2  3 x  1 .Do đó ta có các cách giải sau :
Lời giải:
Cách 1: Đk: x �2 (*)
Với đk(*), Ta có: Pt �

 x  2  x  4



( x  1)( x  2)
x22

x  2x  3
x4
x 1
� ( x  2)( 2

)0
x  2x  3
x22
�
( x  4) x  2  2  ( x  1)( x 2  2 x  3) �
� 0
� ( x  2) �
�

�
( x 2  2 x  3) x  2  2
�
�
3
2
� ( x  2) �
( x  4) x  2  x  x  x  5�
�
� 0



2







11


� ( x  2) �
x 3  2 x 2  4 x  1  ( x  4)( x  1  x  2) �
�
� 0
� ( x  2) �
( x  1)( x 2  3 x  1)  ( x  4)( x  1  x  2) �

�
� 0
� ( x  2) �
( x  1)( x  1  x  2)( x  1  x  2)  ( x  4)( x  1  x  2) �
�
� 0
� ( x  2)( x  1  x  2) �
x 2  x  3  ( x  1) x  2 �
�
� 0
� ( x  2)( x  1  x  2) �
( x  1  x  2) 2  x 2  x  3�
�
� 0 (1)
�x 2  x  3  0; x ��
�
nên ( x  1  x  2) 2  x 2  x  3  0; x �2
Vì �
2
( x  1  x  2) �0; x �2
�

Do đó:
x2
�
(1) � �
�
x

2


x

1
�

x2
�
x2
�
�
�
�x �1
3  13
�
�
x
�2
�
2
�x  3x  1  0 �
�

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x  2; x 
Nhận xét: Ta có phân tích tạo liên hợp ngược:



x 2  3 x  1  ( x  1) 2  ( x  2) 2  x  1  x  2

3  13
.
2

  x 1



x2 .

Nhận thấy x  2  ( x  2  2)( x  2  2) do đó ta ta có thể giải quyết bài toán theo
cách sau:
Cách 2: Đk: x �2 (*) .Với đk(*), Ta có:
Pt � x 2  2 x  8  ( x 2  2 x  3)( x  1)( x  2  2)
� ( x  2)( x  4)  ( x 2  2 x  3)( x  1)( x  2  2)
� ( x  2  2)( x  2  2)( x  4)  ( x3  x 2  x  3)( x  2  2)
� ( x  2  2) �
x3  x 2  x  5  ( x  4) x  2 �
�
� 0
� ( x  2  2) �
x3  x 2  x  5  ( x  4) x  2 �
�
� 0
� ( x  2  2) �
x3  2 x 2  4 x  1  ( x  4)( x  1  x  2) �
�
� 0
� ( x  2  2) �
( x  1)( x 2  3 x  1)  ( x  4)( x  1  x  2) �

�
� 0
� ( x  2  2) �
( x  1)( x  1  x  2)( x  1  x  2)  ( x  4)( x  1  x  2) �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2) �
x 2  x  3  ( x  1) x  2 �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2) �
2 x 2  2 x  6  2( x  1) x  2 �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2) �
x 2  x  3  ( x  1  x  2) 2 �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2)  0
2
�
�x  x  3  0; x
(Vì �
do đó x 2  x  3  ( x  1  x  2) 2  0; x �2 )
2
( x  1  x  2) �0; x �2
�

12

x2
�
x2
�
�
�
��
�
�x  1
3  13 .
�
x
�
2
�
�
2
�x  3x  1  0
�

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x  2; x 

3  13
.
2

Nhận xét : Đây là một bài toán hay, hội tụ rất nhiều các yếu tố như: Bài toán có
chứa một căn thức không quá lớn,bài toán có chứa một phân thức, nếu như vội
vàng quy đồng mẫu số thì học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán bởi

khi đó phương trình trở nên phức tạp; bài toán có nhiều cách giải song phương
pháp tạo liên hợp ngược là một phương pháp vô cùng hữu hiệu : phân tích nhân
tử đưa phương trình về dạng tích.
Bài tập 2.6.5: Giải phương trình: 2( x  1) 2 x  1  1  5  6 x .
Phân tích: Đây là bài toán có hai biểu thức chứa căn thức khác với các bài toán
trên nhưng ta hoàn toàn sử dụng được phương pháp này, bình phương hai vế ta
được: pt � 4 x3  6 x 2  3 x  2( x  1) 2 x  1  0 đưa bài toán về dạng một căn thức. Sử
dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x �0.809016994 . Sử dụng
nghiệm vô tỷ trên tìm được liên hợp : 2 x  2 x  1 , từ đó ta có phân tích:





4 x 2  (2 x  1)  2 x  2 x  1 2 x  2 x  1



Lời giải:
1
5
2
6
3
2
Pt � 4 x  6 x  3 x  2( x  1) 2 x  1  0

Điều kiện:  �x � (*).Với đk(*), ta có:
� x�
4 x 2  (2 x  1) �

�
� 2( x  1)(2 x  2 x  1)  0
� (2 x  2 x  1)(2 x 2  2 x  2  x 2 x  1)  0 � 2 x  2 x  1
3
1
(Vì 2 x 2  2 x  2  x 2 x  1  ( x  1)2  ( x  2 x  1) 2  0 với mọi x)
2
2
�x �0
1 5
�� 2
� x
4
4x  2x 1  0
�
1 5
thỏa mãn
4
1 5
Vậy phương trình có nghiệm x 
.
4

Thử lại nghiệm ta thấy x 

Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình: 4 x 2  13x  5  3x  1  0 .
Bài 2: Giải phương trình: 3x 2  3 x  2  ( x  6) 3 x 2  2 x  3
Bài 3: Giải phương trình:

3x 2  3x  2
x  2x  2 
3x  1
2

13


2.7. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm kép:
Bài toán nghiệm bội nói chung và nghiệm kép nói riêng là một dạng toán
mới, lạ, hay và đặc biệt rất khó nếu ta không định hướng đúng đường đi của bài
toán phương trình vô tỷ.
Bài tập 2.7.1: Giải phương trình: x 2  x  2  2 x  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  1 chính là
nghiệm kép của phương trình từ đó cần làm xuất hiện biểu thức ( x  1)2 để đặt
nhân tử chung, tức là ta biến đổi căn thức 2 x thành ax  b  2 x . Nhân liên hợp
(ax  b) 2  4 x
và ta cho: (ax  b) 2  4 x  x 2  2 x  1 � ax  b  x  1 ,
ax  b  2 x
suy ra liên hợp cần tìm là: x  1  2 x và cách tạo liên hợp như sau:
x2  x  2  �
( x  1) 2  4 x �
�
� x  1  ( x  1  2 x )( x  1  2 x )  x  1 .

tađược ax  b  2 x 

Lời giải:
Đk: x �0, (*) . Với đk (*), ta có:
Pt � ( x 2  2 x  1)  ( x  1  2 x )  0 � ( x  1  2 x )( x  1  2 x )  ( x  1  2 x )  0

� ( x  1  2 x )( x  2  2 x )  0 � x  1  2 x  0 (Vì x  2  2 x  0 với mọi x �0 )
�x �0
� x 1  2 x � �
� x 1
( x  1) 2  0
�

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  1 .
Bài tập 2.7.2: Giải phương trình: 2 2 x 2  5 x  7  x 3  3x 2  x  12 .
(Đề thi HSG Vòng 1- Hà Nội- năm 2015-2016)
Lời giải:
7
2

Đk: 1 �x � (*).Với đk (*), ta có:
Pt � 2 2 x 2  5 x  7  x  8  x 3  3x 2  4 � 2 2 x 2  5 x  7  x  8  ( x 2  4 x  4)( x  1)
� 9(2 2 x 2  5 x  7  x  8)  9( x 2  4 x  4)( x  1)
� 9(2 2 x 2  5 x  7  x  8)  �
( x  8) 2  (2 2 x 2  5 x  7) 2 �
( x  1)
�
�
� 9(2 2 x 2  5 x  7  x  8)  (2 2 x 2  5 x  7  x  8)( x  8  2 2 x 2  5 x  7)( x  1)
� (2 2 x 2  5 x  7  x  8) �
( x  8  2 2 x 2  5 x  7)( x  1)  9 � 0
�
�
� 7�
2
1; )

� 2 2 x 2  5 x  7  x  8  0 (Vì ( x  8  2 2 x  5 x  7)( x  1)  9  0; x ��
� 2�
�
7
�
1 �x �
�
��
2 � x2.
2
�
9( x  2)  0
�

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  2.

14


Bài tập 2.7.3: Giải phương trình: 20 x 2  14 x  9  (14 x  11) 2 x2  1  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  2 chính là một
nghiệm kép của phương trình từ đó có liên hợp cần tìm là:

4
1
2 x 2  1  x  hay
3
3

3 2 x 2  1  (4 x  1) . Vì vậy ta cần phải làm xuất hiện biểu thức liên hợp như sau:

2 x 2  8 x  8  9(2 x 2  1)  (4 x  1) 2  (3 2 x 2  1  4 x  1)(3 2 x 2  1  4 x  1) .

Lời giải:
Ta có: Pt � 60 x 2  42 x  27  3(14 x  11) 2 x 2  1  0
� 4 x 2  16 x  16  (14 x  11) �
3 2 x 2  1  (4 x  1) � 0
�
�
� 2�
(3 2 x 2  1) 2  (4 x  1) 2 � (14 x  11) �
3 2 x 2  1  (4 x  1) � 0
�
�
�
�
��
3 2 x 2  1  (4 x  1) �(6 2 x 2  1  6 x  9)  0
�
�
�
1
�
�x �
�
4
�
�
x2
�
2

�
�
2( x  2) 2  0
�
3 2x 1  4x 1
�
�
��
��
�
3 � 14
�
2
3
�
x
�
2 2x 1  2 x  3
�
�
�x �
�
2
�
2
�
�
�
4 x 2  12 x  5  0
�

�

Vậy phương trình có ba nghiệm là: x  2; x 

3 � 14
.
2

Nhận xét :
Bài toán này vừa có nghiệm hữu tỷ kép, vừa có nghiệm vô tỷ nhưng lời giải
trên chọn nghiệm hữu tỷ kép để tìm nhân tử chung.
Bài tập 2.7.4: Giải phương trình: 2 x  1  2 x  2 x  1 .
Phân tích: Khi ta đặt ẩn phụ t  x thì phương trình trở thành:
2t 2  1  2t  2t 2  1

( Đưa về bài toán chỉ chứa một căn thức). Sử dụng chức năng máy tính cầm tay
ta tìm được t  1 chính là nghiệm kép của phương trình từ đó có liên hợp cần tìm
là: 2t  1  2t 2  1 và cách tạo liên hợp như sau:
2t 2  2t  1  �
(2t  1)2  ( 2t 2  1)2 � 2t  1  (2t  1  2t 2  1)(2t  1  2t 2  1)  2t  1
�
�

Lời giải:
1
Đk: x � , (*) . Với đk (*), ta đặt: t  x (t �
2

1
) , phương trình trở thành:

2

2t 2  2t  1  2t 2  1  0 � 2t 2  4t  2  (2t  1  2t 2  1)  0
� (2t  1) 2  ( 2t 2  1) 2  (2t  1  2t 2  1)  0 � (2t  2t 2  1)(2t  1  2t 2  1)  0

15


� 1
t�
�
� 2t  1  2t  1 � � 2
� t  1(t / m)
2
�
2(t  1)  0
�
2

hay x  1 � x  1 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  1 .
�
0 �t � 2
�
��
� t  1 hay
(t  1) 2  0
�

x  1  1 � x  2 (t/m)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  2.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình: x 2  8  4( x  2) x  1  0 .
Bài 2: Giải phương trình: x 2  5 x  6  ( x  2) x 2  3 x  3  0 .
2.8. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm bội ba:
Xét phương trình: g ( x)  h( x) n f ( x) ( n  2 hoặc n  3 ). Nếu pt có nghiệm bội
ba x0 thì “lượng liên hợp” cần bớt ở n f ( x) thông thường là biểu thức ax 2  bx  c
. Tương tự như bài toán nghiệm kép để tìm a, b, c hoặc bằng phương pháp nhân
liên hợp rồi đồng nhất hệ số hoặc sử dụng tính chất nghiệm bội ba, ta làm như
sau:
Đặt r ( x)  n f ( x) khi đó a, b là nghiệm của hệ phương trình:
�
2a  r "( x0 )
�
b  r '( x0 )  2a.x0
�
�
c  r ( x0 )  a.x02  b.x0
�

Bài tập 2.8.1: Giải phương trình: x( x 2  2 x  3)  2( x3  x 2  x  1) .
Phân tích:
Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  1 là nghiệm bội ba của
phương trình, đặt r ( x)  2( x 3  x 2  x  1) thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức
này là ax 2  bx  c với:
2a  r "(1)  2
a 1
�
�

�
�
b  r '(1)  2a.1  0 � �
b0
�
�
c  r (1)  a.1  b.1  1 �
c 1
�
�





� Liên hợp cần tìm là: x 2  1  2( x3  x 2  x  1) , do đó ta cần phân tích biến đổi

biểu thức làm xuất hiện biểu thức sau:
( x 2  1  2( x3  x 2  x  1))( x 2  1  2( x3  x 2  x  1))  x 4  2 x 3  2 x  1

Lời giải:
Đk: x �0 , ta có:
Pt � ( x3  3 x 2  3 x  1)  ( x 2  1  2( x3  x 2  x  1))  0 (1)
Với x �0 thì x  1  0 nên nhân hai vế của phương trình (1) với x  1 ta được:
( x 4  2 x3  2 x  1)  ( x  1)( x 2  1  2( x3  x 2  x  1))  0
16


� ( x 2  1  2( x3  x 2  x  1))( x 2  1  2( x 3  x 2  x  1))  ( x  1)( x 2  1  2( x 3  x 2  x  1))  0
� ( x 2  1  2( x3  x 2  x  1))( x 2  x  2  2( x3  x 2  x  1))  0

(Vì x 2  x  2  2( x3  x 2  x  1)  0; x �0 )
� ( x  1)3 ( x  1)  0 � x  1 ( t / m ).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  1 .
Bài tập 2.8.2: Giải phương trình: x3  x 2  1  2 x 2  1  2 x3 .
Phân tích:
Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  0 là nghiệm bội ba của
� x 2  1  2( x3  x 2  x  1)  0





2
2
3
phương trình. Tương tự ta có liên hợp cần tìm là: x  1  2 x  1  2 x , do đó

cần biến đổi biểu thức ngoài căn thức làm xuất hiện biểu thức:

 x 1
2

2 x 2  1  2 x3

  x  1
2



2 x 2  1  2 x3  x 4  2 x3 và có lời giải như sau:

Bài giải:
Đk: 2 x 2  1  2 x3 �0 , ta có:
Pt � x 3  ( x 2  1  2 x 2  1  2 x 3 )  0 (1)
Nhận thấy x  2 không phải là nghiệm của phương trình.
Xét x �2 , nhân hai vế của phương trình (1) với x  2 , ta được:
( x 4  2 x3 )  ( x  2)( x 2  1  2 x 2  1  2 x 3 )  0
��
( x 2  1) 2  ( 2 x 2  1  2 x3 ) 2 � ( x  2)( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )  0
�
�
� ( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )  ( x  2)( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )  0
� ( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )( x 2  x  3  2 x 2  1  2 x 3 )  0
� x 2  1  2 x 2  1  2 x 3  0 (Vì x 2  x  3  2 x 2  1  2 x 3  0; x )
� x 3 ( x  2)  0 � x  0.

Nhận xét :
Đối với bài toán này nếu ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp thì rất khó
đánh giá phần còn lại vì việc tìm điều kiện chặt của phương trình rất khó khăn.
Bài tập 2.8.3: Giải phương trình: x3  (5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  0 là nghiệm bội
2

2

�
(5 x  4) 2 x  1�
(7 x  4) x  1�
ba của phương trình và nhận thấy: x3  �

�
� �
�.

Do đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
Cách 1:
1
2

Đk: x � , ta có:
2

2

�
�
Pt � �
(5 x  4) 2 x  1 �
(7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
�
� �
� �
� 0
�
�
��
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �

(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
�
�
�
� �
� 0

�
�
��
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
�
�
�
� �
� 0

17


�
��
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1  1�
�
��
� 0
��

(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
�
� 0

1
2

(Vì (5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1  1 >0 ; x � )

� x 3  0 � x  0. ( t / m )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x  0
Nhận xét : Với bài toán này ta thấy khi giải phương trình nghiệm bội ba ta
không chỉ tập trung vào việc tìm và tạo liên hợp mà còn phải tư duy để có những
quyết định giải bài hợp lý hơn. Ngoài định hướng trên ta còn nhận thấy:





3

2 x  1  x  1  (5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1

Với định hướng này ta có cách giải sau:
Cách 2:
1
2

Đk: x � , ta có:

Pt � x3 



2x 1  x 1



2

3

0 � �
( 2 x  1) 2  ( x  1) 2 �
�
�
3

��
( 2 x  1  x  1)( 2 x  1  x  1) �
�
�


�
�
�


x  1   0 (Vì ( 2 x  1 

x  1  0 � x  0 ( t / m )









3

2x 1  x 1  0

3

2x 1  x 1  0

3

2x 1  x  1 �
( 2 x  1  x  1)3  1�
�
� 0
2x 1 
2x  1 

3

1

x  1)3  1  0; x � )
2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x  0
Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình: x3  x 2  x  1  3x 2  2 x  1 .
Bài 2: Giải phương trình: 2( x  5) 3  x  16 x  2  3x 2  11x  36  0 .
2.9.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Đối với học sinh
Tôi đã áp dụng đề tài này vào việc trực tiếp giảng dạy cho các đối tượng
học sinh khá, giỏi lớp10, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10,11ở các lớp tôi được
giao nhiệm vụ và ôn thi THPT Quốc Gia, thu được một số kết quả rất khả quan:
- Các em đã xóa bỏ dần tâm lý e ngại đồng thời đam mê, hứng thú hơn khi
gặp bài toán phương trình vô tỷ.
- Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho
thấy có trên 80% các em học sinh có hứng thú bài học và giải quyết được các bài
tập tương tự.
Đối với bản thân và đồng nghiệp
- Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá
trình dạy học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi.
3.Kết luận và kiến nghị:
3.1. Kết luận:
18


Không chỉ dừng lại ở việc: “ Giải các phương trình vô tỷ ” mà ta có thể áp
dụng “Kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giải các bài toán bất phương trình, hệ
phương trình chứa căn thức, bài toán phương trình và bất phương trình vô tỷ có
nghiệm bội 4, 5, 6....Đặc biệt có thể áp dụng phương pháp này đối với các bài
toán tìm giới hạn, bài toán tính tích phân.

Dù đã được kiểm nghiệm qua giảng dạy nhưng đề tài vẫn còn nhiều hạn
chế. Rất mong có đươc thật nhiều ý kiến đóng góp để đề tài ngày càng đạt hiệu
quả cao hơn.
3.2. Kiến nghị:
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, tôi có một số đề xuất sau:
- Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học của mình để phù hợp với
từng đối tượng, từng nội dung bài học. Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự
nghiên cứu, để tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến
thức và kỹ năng tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi.
- Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự
nghiên cứu, hợp tác nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó
tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất
lượng học tập giúp các em có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Tạ Thị Vân

TÀI LIỆU THAM KHẢO
19


1.Sách “Phương trình vô tỷ-Phương pháp suy luận và tư duy”-Phạm Kim Chung
– Phạm Chí Tuân- NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
2. Phương pháp nhân tử Casio .Tác giả Bùi Thế Việt –Chuyên Thái Bình.
3. Các phương trình vô tỷ trên các trang toán học trên mạng Internet.
4. Đề thi thử, chính thức THPT Quốc Gia, HSG các tỉnh.

20


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU............................................................................................................1
1.1 Lí do chọn đề tài...............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu........................................................................................1
1.3 Đối tượng nghiên cứu......................................................................................1
1.4 Phương pháp nghiên cứu..................................................................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM......................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến............................................................................. 2
2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu...................................................................2
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.............................................2
2.4. Bài toán mở đầu..............................................................................................3
2.5 .Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm hữu tỷ đơn................................................6
2.6.Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm vô tỷ đơn...................................................9
2.7. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm kép..........................................................14
2.8. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm bội ba......................................................16
2.9. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm............................................................18
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.............................................................................19
3.1. Kết luận.........................................................................................................19
3.2 Kiến nghị........................................................................................................19
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 20

21