Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THT quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (552.1 KB, 27 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
---------------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN
DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
1
MỤC LỤC
Trang
I.
Mở đầu…..……………………………………………..………3
1.
Lí do chọn đề tài……..………………………………..……….3
2.
Mục đích và đối tượng nghiên cứu……………………..…..….3
3.
Phương pháp nghiên cứu…………………..…………..………4
II.
Nội dung………... …………………………………………….4
1.
Cơ sở lí luận……………………………………………............4
2.
Thực trạng………………………………………………….......4
3.
Giải pháp……………………………………………….………5
3.1Kiến thức cơ bản của chương số phức …………….……………...5
3.2Các phương pháp…………………...…………..….……………...5
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức..……..…………………...5
3.2.2 Phương pháp xét hàm……..……………………......................10
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học……………..........................14
3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai…………………….…………..21
3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……………….....……………….22
3.3Bài tập tự luyện……………………………………………...........25
III. Kết luận……………………………………………..…………26
1.
Kết quả nghiên cứu……………………………….….………..26
2.
Kết luận và kiến nghị……………………………………..…...26
Tài liệu tham khảo………………………………………….…..........26
2
I.
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,
năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.
Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một
yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp
dạy học môn Toán.
Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Trong những năm trước đây, bài toán max, min trong số phức chỉ nằm phần
lớn ở chương trình đại học . Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụng
phương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì bài toán max, min số phức đã
được coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng
điều đó chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ
GD& ĐT. Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi
môn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với
học sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng
hơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ. Để thành công
trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần
phải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán.
Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán max, min trong
số phức nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành
cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10. Cái khó ở bài toán này được đa phần
các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất
là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếu học sinh không nắm chắc
kiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy bất đẳng
thức, tư duy hình học, tư duy hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinh
phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức tạp dễ gây sai sót,
nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh. Đây là bài toán mới, được áp dụng vào
thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chế
cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình thức. Việc có một tài
liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học luôn là một nhu cầu
cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh.
2. MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học,
thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán max, min số phức.
- Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số
phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”.
3
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các
đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi
của các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng
của một số giảng viên toán,…).
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
II.
NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò. Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm
vững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội
dung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần
thiết. Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt
vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi
học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.
Khi gặp một bài toán max, min trong số phức chúng ta có rất nhiều hướng
tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư
duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức của
cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết. Vì tính
chất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài toán max, min trong số
phức đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học
sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương số phức, các phép biến
đổi logic toán học đã biết và kiến thức về bất đẳng thức, hàm số, hình học . Tạo
ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận
và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự
hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và
lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút
ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng,
khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó. Đây là mục tiêu quan trọng
nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
2. THỰC TRẠNG
Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng
như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT
Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm
với bài toán max, min trong số phức. Lí do được các bạn đưa ra là bài toán này
khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá trình biến đổi phức tạp, sử
dụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây nhầm lẫn, trong khi
điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm. Một phần
khó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học
sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm. Điều này đã dẫn đến
4
một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi
trắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi
bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt nhất của đề. Từ
thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề
thi THPT Quốc gia ”.
3. GIẢI PHÁP
3.1 Kiến thức cơ bản chương số phức có liên quan
Đơn vị ảo i 2 1
Mỗi biểu thức dạng x yi ( x ; y R) được gọi là một số phức; x là phần
thực, y là phần ảo
x x'
y y'
Hai số phức bằng nhau: x yi x' y ' i
Mỗi số phức x yi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm
M ( x; y )
Môđun của số phức: x yi x 2 y 2 OM
Số phức z x yi có số phức liên hợp là z x yi
Phép cộng: ( x yi) ( x' y ' i) ( x x' ) ( y y ' )i
Phép trừ: ( x yi ) ( x' y ' i) ( x x' ) ( y y ' )i
Phép nhân: ( x yi).( x' y ' i) ( xx' yy' ) ( x' y xy' )i
x' y ' i
xx' yy '
xy ' x' y
Phép chia: x yi x 2 y 2 x 2 y 2 i
Dạng lượng giác z r (cos i sin )
* Chú ý:
z. z z
2
z z
z z' z z'
z z
z' z'
z. z ' z . z '
z. z ' z. z '
z z z
z
z
z'
z'
2
2
2
2
2
z z ' z z ' 2 z 2 z '
2
2
2
2
2
z z ' z ' z" z" z z z ' z" z z ' z"
2
3.2 Các phương pháp
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
5
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
+ Giải dấu = của bất đẳng thức để chỉ ra số phức thỏa mãn
* Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tìm số phức z thì để quá trình làm toán
được ngắn gọn ta có thể không cần biểu diễn số phức z thông qua x, y và
không cần giải dấu bằng. Ta chỉ cần làm hai bước:
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
* Các bất đẳng thức thường được sử dụng:
( x y ) 2 0 x; y
( x y ) 2 k k x; y . Dấu = xảy ra khi x y
k ( x y ) 2 k x; y . Dấu = xảy ra khi x y
Bất đẳng thức Côsi: x y xy x; y 0 . Dấu = xảy ra khi x y
1 1
1
9
x; y; z 0
x y
z xyz
x 2 y 2 2 xy x; y . Dấu = xảy ra khi x y
Bất đẳng thức Bunhia: (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd ) 2 . Dấu = xảy ra khi
ad bc
Bất đẳng thức số phức: z z ' z z ' z z '
z z' z z' z z'
Bất đẳng thức vectơ: a b a b
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 i 1 . Tìm số phức z có môđun lớn
nhất và nhỏ nhất
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
+, z 1 i 1 ( x 1) ( y 1)i 1
+, z x yi ( x 1) ( y 1)i 1 i ( x 1) ( y 1)i 2
1
2
1
2
i 1 2
z max 1 2 .
1
1
x 1 2
x 1 2
1
1
z 1
1
i
Dấu = xảy ra khi
2
2
y 1 1
y 1 1
2
2
1
1
i ( x 1) ( y 1)i 2 1 z min 2 1 .
+, z 2
2
2
6
1
1
x
1
x
1
1
1
2
2
z 1
1
i
Dấu = xảy ra khi
2
2
y 1 1
y 1 1
2
2
Nhận xét: Vì bài toán cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức 1 i
cần đưa về số phức có mô đun bằng mô đun số phức ( x 1) ( y 1)i cho ở giả
thiết.
Ví dụ 2: Tìm z max ; z min biết (1 i ) z 2i 1 1
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
+, (1 i ) z 2i 1 1 z
1 2i
1
1 3
1
z i
1 i
2 2
2
2
1
3
1
x y i
2
2
2
+,
1
3 1 3
1
3
1 3
1
10
z x yi x y i i x y i i
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
z max
1
10
2
2
1 3
1
3
10
1
+, z i x y i
2 2
2
2
2
2
z min
10
1
2
2
Theo chú ý, ví dụ trên ta có thể làm gọn hơn như sau:
1 2i
1
1 3
z i
1 i
2 2
2
1 3
1 3
1 3
1 3
1
+, z z i i z i i
2 2
2 2
2 2
2 2
2
+, (1 i ) z 2i 1 1 z
z max
1
1
2
10
2
10
2
2
1 3
1 3
10
1
+, z i z i
2 2
2 2
2
2
10
1
z min
2
2
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của z i 1 biết z 2 4i 5
Hướng dẫn:
+, z i 1 z 2 4i 3 5i z 2 4i 3 5i 5 34
z max 5 34
+, z i 1 3 5i z 2 4i 34 5
7
z min 34
5
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z z 3 4i 0 . Số phức z có z min là:
A. z 3 4i
3
2
B. z 3 4i
C. z 2i
3
2
D. z 2i
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
+, z z 3 4i 0 6 x 8 y 25 0 x
2
8 y 25
6
8 y 25
1
2
10 y 20 2 225 15
y
6
36
6
3
3
Dấu = xảy ra khi y 2 x z 2i . Đáp án D
2
2
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 2 z 2 2 . Khi đó z min ?
+, z x 2 y 2
A. 2
Hướng dẫn:
B. 1
C. 3
D. 4
2 z 2 z 2 z 2 z 2 2 z z 1 z min 1 . Đáp án B
z
Ví dụ 6: Cho số phức z không phải là số thực và
là số thực. Tìm
2 z2
GTLN của z 1 i
A. 2
Hướng dẫn:
B. 2
C. 8
D. 2 2
z
z
z
z
2( z z ) z z ( z z ) 0
2
2
2
2
2z
2z
2z
2z
2
( z z )( 2 z ) 0 z 2
z 1 i z 1 i 2 2 2 2
z 1 i max 2 2
Ví dụ 7: Cho số phức z x yi ( x; y R) thoả mãn z 2 4i z 2i và
m min z . Tính môđun số phức w m ( x y )i
A. w 2 6
B. w 2 3
C. w 3 10
D. w 3 2
Hướng dẫn:
+, z 2 4i z 2i x y 4
+, z x y
2
2
x y 2
2 2 z min 2 2
2
x y 4
x 2
w 2 2 4i w 2 6 . Chọn A
+, Dấu = xảy ra khi
x y
y 2
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Tìm GTLN của A z 2 2 z 2
A. 3 5
B. 4 5
C. 3
D. 5
Hướng dẫn:
8
2
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia và đẳng thức z z ' z z ' 2 z 2 z ' ta có
2
A z 2 2 z 2 12 2 2 z 2 z 2
2
5.2 z
2
2.2 2 4 5
Amax 4 5
Chọn B
1
3
Ví dụ 9: Cho các số phức z1 ; z 2 ; z 3 thỏa mãn z1 z 2 z 3 i . Tính giá trị nhỏ
2
2
2
nhất của biểu thức P z1 z 2 z 3
A. 1
B. 2
C. 3
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
2
2
2
2
2
2
2
+, P z1 z 2 z 3 3.3 z1 . z 2 . z 3
D. 4
2
1
2
3
i z1 z 2 z 3 1 z1 z 2 z 3 1 P 3
2
Dấu = xảy ra khi z1 z 2 z 3 1
+, z1 z 2 z 3
Ví dụ 10: Cho các số phức z1 ; z 2 ; z 3 thỏa mãn z1 z 2 z 3 1 . Tính giá trị
1
1
1
nhỏ nhất của biểu thức P z z z z z z z z z z z z
1
2 1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
A. 2
B. 3
C. 1
D. 5
Hướng dẫn:
2
2
2
z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z1 z1 z 2 z1 z 2 z 2 z 3 z 2 z 3 z 3 z1 z 3 z1
2
9 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 9 z1 z 2 z 3 9
1
1
1
9
Theo bất đẳng thức x y z x y z x; y; z 0 và Côsi ta có:
P
9
9
2
2
z1 z 2 z1 z 3 z 2 z1 z 2 z 3 z 3 z1 z 3 z 2
z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z1
9
9 z1 z 2 z 3
2
2
1
Chọn C
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 và P z i z 2 i . Tính
môđun của số phức w Pmax iPmin
A. 2 6
B. 3 5
C. 4 2
D. 4
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
+, z 1 2 ( x 1) 2 y 2 2
+, P z i z 2 i x 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2
Đặt M ( x; y ) ; A(0; 1) ; B(2;1) . Theo bất đẳng thức vectơ ta có
P MA MB MA MB ( x 2 x) 2 ( y 1 1 y ) 2 2 2 Pmin 2 2
9
+, Theo bất đẳng thức Bunhia:
P x 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2 2.2 x 1 y 2 2 4 Pmax 4
2
w 2 6 . Chọn A
III.2.2
Phương pháp xét hàm
* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y (1)
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo x và y (2)
+ Rút x hoặc y ở (1) thế vào (2)
+ Xét hàm số, và kết luận
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của phần thực số phức
1
z 1 . Tính P M 2 m 2
3 , trong đó z là số phức có
z
P
8
A.
B. P 5
C. P 29
D. P 10
w z 3
Hướng dẫn:
1
z
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) z 2 x
3
1
1
1
+, w z 3 z 3 z 8 x 3 6 x
z
z
z
2
2
+, Từ z 1 x y 1 x 1;1
3
+, Xét hàm số f ( x) 8 x 3 6 x ( x 1;1 )
1
f ' ( x) 24 x 2 6 x 0 x (t / m)
4
1
11
f ( 1) 2 ; f (1) 2 ; f ( )
M 2 ; m 2 P 8 . Chọn A
4
8
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 4( z z ) 15i i ( z z 1) 2 . Tìm môđun của
1
số phức z biết z 2 3i
min
A.
41
64
B.
241
64
C.
241
8
D.
41
8
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
2
1
15
15
15
+, 4( z z ) 15i i ( z z 1) x 2 y 2 y 0 y
2
4
4
8
2
2
+, z
1
21
3i y 2 8 y
2
4
2
+, Xét hàm số f ( y ) y 8 y
21
15
y ; . Lập bảng biến thiên ta được:
4
8
10
1521
1
Min f ( y )
z 3i
64
2
min
1
x
1521
241
2
z
khi
. Chọn C
64
8
y 15
8
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i z 2i và P z 2i z 1 2i
đạt GTLN. Đặt z x yi ( x ; y R) . Tính giá trị biểu thức T x y
A. 1
B.
1
25
C. 5
D.
1
50
Hướng dẫn:
+, z 2 2i z 2i x 2 y 1
+, P z 2i z 1 2i x 2 ( y 2) 2 ( x 1) 2 ( y 2) 2
5 y 2 8 y 5 5 y 2 12 y 8
+, Xét hàm số: f ( y ) 5 y 2 8 y 5 5 y 2 12 y 8
27
x
26
26
25
f ' ( y ) 0 y . Lập bảng biến thiên được max f ( y ) f khi
25
25
y 26
25
1
T . Chọn B
25
Ví dụ 4: Cho số phức z có phần ảo dương và môđun bằng 1. Gọi M, m lần
3
lượt là GTLN, GTNN của z z 2 . Tính M m
A.
359
108
B.
359
100
C.
35
108
D.
307
102
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) .
2
2
+, z 1 y 1 x x 1;1
z1 z 2 z1 z 2
+,
z z z
2
2
2z
z 3 z 2 z z 2 1 z . z 2 1
z 2 1 2z
z
z. z
2
x 2 y 2 1 2 y x 1i x 2 y 2 1 4 y 2 ( x 1) 2 4 x 3 x 2 4 x 2
+, Xét hàm số: f ( x) 4 x 3 x 2 4 x 2 ( x 1;1 )
2
x (tm)
3
f ' ( x ) 12 x 2 2 x 4 0
x 1 (tm)
2
13
max f ( x)
1 13 2 2
4
f ( 1) 1; f ; f ; f (1) 1
2 4 3 27
min f ( x) 2
27
13
M 4
m 2
27
11
Chọn A
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN
2
của biểu thức P z 1 z z 1 . Khi đó tích M .m ?
A.
13 3
4
B.
13 3
8
C.
3
3
3 3
8
D.
Hướng dẫn:
+, Đặt t z 1 z 1 2 t 0;2
2
+, Vì z 1 z z 1 P z 1 z z z z z 1 z z 1
+,
2
t 2 z 1 z 1 z 1 2 z z z z t 2 2 P f (t ) t t 2 3 (t 0;2 )
t 2 t 3 khi 3 t 2
f
(
t
)
+, Khi đó
2
t t 3 khi 0 t 3
2t 1 khi 3 t 2
1
f ' (t )
; f ' (t ) 0 t
2
2t 1 khi 0 t 3
1 13
13
13 3
f (0) 3 ; f ( ) ; f ( 3 ) 3 ; f (2) 3 M ; m 3 M .m
2
4
4
4
Chọn A
3
5
4
5
Ví dụ 6: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn z1 z 2 i ; z1 z 2 3 và biểu
3
3
thức P 4 z1 4 z 2 3 z1 3 z 2 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của
z1 z 2 bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 2
C. -1
D. 3
Hướng dẫn:
3
5
4
5
+, Ta có z1 z 2 i 1
+, 3 z1 z 2 z1 z 2
2
2
2
+, z1 z 2 z1 z 2 2 z1 z 2
2
2z
2
1
z2
2
z
1
z2
2
2
3 z1 z 2 2
+, P 4 z1 4 z 2 3 z1 z 2 5 z1 z 2 3 z1 z 2 5
3
Đặt t z1 z 2 P t 3t 5
+, Xét hàm số f (t ) t 3 3t 5 (t 3; 2)
3
3
3
t 1 (l )
f ' (t ) 3t 2 3 0
t 1 (l )
f ( 3 ) 5 ; f (2) 7 Pmin 5 . Dấu = xảy ra khi t 3 z1 z 2 3 . Chọn D
12
z 3
1 . Tổng giá trị nhỏ nhất và giá
z 1 2i
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn
2
2
trị lón nhất của biểu thức P z z i z z z (1 i ) z (1 i)
2
A. -1
B. -2
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
+,
2
C. 1
D. 0
z 3
1 z 3 z 1 2i x y 1
z 1 2i
2
2
2 2
+, Biến đổi P z z i z z z (1 i ) z (1 i) 16 x y 8 xy
2
2
2
1
x y
+, Đặt t xy 0 t
4
2
1
2
+, Xét hàm số f (t ) 16t 8t (t 0;
4
1
1
f ' (t ) 32t 8 0 t ; f (0) 0 ; f ( ) 1 Pmax 0 ; Pmin 1 . Chọn A
4
4
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 2 z 1 2 z 1 z z 4i bằng bao nhiêu?
A. 4 2 3
B. 2 3
C. 4
14 15
15
D. 2
7 15
15
Hướng dẫn:
2
2
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) . Từ z 2 x y 4 x; y 2;2
+, P 2 z 1 2 z 1 z z 4i 2 ( x 1) 2 y 2 (1 x) 2 y 2 y 2
+, Áp dụng bất dẳng thức a 2 b 2 c 2 d 2 (a c) 2 (b d ) 2 với a x 1 ;
b d y; c 1 x và tính chất về giá trị tuyệt đối ta có:
P 2
+,
x 1 1 x 2 ( y y) 2
Xét
hàm
f ' ( y ) 0 y
1
3
số
2 y 4 1 y 2 2 y 4
f ( y ) 4 1 y 2 2 y 4 ( y 2;2 )
ta
có
(tm)
1
10 3 1
f ( 2) 4 5 ; f
4
; f
4 2 3 ; f ( 2) 4 5 8 min f ( y ) 4 2 3
3
3
3
1
Dầu = xảy ra khi x 0 ; y . Chọn A
3
Ví dụ 9: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện 2 z1 i z 1 z1 2i và
z 2 10 i 1 . Tìm GTNN của biểu thức z1 z 2
A. 10 1
Hướng dẫn:
B. 3 5 1
C. 101 1
D. 3 10 1
13
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) .
x2
+, 2 z1 i z 1 z1 2i y (P)
4
2
2
+, z 2 10 i 1 ( x 10) ( y 1) 1 (C )
Đường tròn (C) có tâm I (10;1)
Đặt z 0 10 i (số phức có điểm biểu diễn là I)
x4 x2
20 x 101 1
16 2
+, Ta có z1 z 2 1 z1 z 0 z1 z 2 z1 z 0 1
x4 x2
x3
20 x 101 f ' ( x ) x 20 0 x 4
16 2
4
x
4
f
(
x
)
f
(
4
)
45
Suy ra f(x) đạt cực tiểu tại
+, Xét hàm số f ( x)
z1 z 2 3 5 1 . Dấu = xảy ra khi z1 4 4i và z 2 là giao điểm của IM và
đường tròn (C) (với M là điểm biểu diễn số phức z1 )
Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M, m lần lượt là
2
2
GTLN, GTNN của biểu thức P z 2 z i . Mô đun của số phức
w M mi là?
A. 3 137
B. 1258
C. 2 309
D. 2 314
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) .
+, z 3 4i 5 ( x 3) 2 ( y 4) 2 5
x 3 5 sin t
(t 0;
y 4 5 cos t
+, Đặt
2
2
+, P z 2 z i 4 x 2 y 3 4 5 sin t 2 5 cos t 23
+, Xét hàm số f (t ) 4 5 sin t 2 5 cos t 23 (t 0; ) . Ta tìm được
Max f (t ) 33
min f (t ) 13 w 1258 . Chọn B
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học
* Phương pháp
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) .
+, Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài toán về phương trình theo x và y. Nhận
biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các phương trình này để biểu
diễn nó trên mặt phẳng tọa độ
+, Từ hình vẽ và các tính chất hình học giải tích biện luận max, min.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 . Tìm số phức z có môđun lớn
nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
O
3
14
M”
-4
I
M’
2
2
+, z 3 4i 2 ( x 3) ( y 4) 4
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (3; 4) ; R 2
Phương trình đường thẳng OI: 4 x 3 y 0
+, z max OI R 7
+, z min OI R 3
+, Tọa độ các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là nghiệm hệ
( x 3) 2 ( y 4) 2 4
4 x 3 y 0
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 3 i . Tìm GTNN của z 3 2i
Hướng dẫn:
.I
M
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) có điểm biểu diễn là M
+, z 2i z 3 i 3x y 3 0
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x y 3 0
+, Đặt R z 3 2i ( x 3) 2 ( y 2) 2 R 2 ( x 3) 2 ( y 2) 2 (C)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm M 0 ( 3;2) , bán kính R
Suy ra M là giao điểm của d và (C)
R M 0 M d ( M 0 , d )
4
2 10
+, z 3 2i đạt giá trị nhỏ nhất bằng d ( M 0 , d )
5
10
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 1 3i 6 5 . Giá trị lớn nhất
của z 2 3i là
A. 5 5
B. 2 5
Hướng dẫn:
C. 6 5
D. 4 5
15
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) .
+, z 1 i z 1 3i 6 5 ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1) 2 ( y 3) 2 6 5
Đặt M ( x; y ) biểu diễn số phức z; A(1;1) biểu diễn số phức 1 i ; B( 1; 3) biểu
diễn số phức 1 3i . Ta có MA MB 6 5
Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6 5 và A, B là hai tiêu
điểm
+, z 2 3i ( x 2) 2 ( y 3) 2 MC với C (2;3) biểu diễn số phức 2 3i
+, AB( 2; 4) AB 2 5 ; AC (1;2) AC 5
Ta có AB 2 AC AB 2 AC
+, Gọi M’ là điểm trên elip sao cho A, B, M’ thẳng hàng và M’ khác phía A so
với B. Khi đó BM '
6 5 AB
2 5
2
Ta thấy MC M ' C với mọi điểm M nằm trên elip. Do đó MC lớn nhất khi và
chỉ khi M trùng M’. Suy ra MC M ' C CA AB BM ' 5 5 . Chọn A
Ví dụ 4: Cho các số phức z1 ; z 2 thỏa mãn z1 5 3i 3 ; iz 2 4 2i 2 . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức T 3iz1 2 z 2
A. 554 5
B. 558 2
C. 322 1
D. 554 13
Hướng dẫn:
3iz1 15i 9
3 3iz1 9 15i 9
3i
i
2 z 2 4 8i 2 2 z 2 4 8i 4
+, iz 2 4 2i 2
2
+, Gọi A, B là điểm biểu diễn của 3iz1 và 2z 2 , khi đó A, B lần lượt thuộc
các đường tròn tâm O(9;15) bán kính bằng 9 và đường tròn tâm I (4; 8) bán
+, z1 5 3i 3
kính bằng 4. Ta tính được OI 554 T 3iz1 2 z 2 3iz1 ( 2 z 2 ) AB
Do IO 554 4 9 nên hai đường tròn ngoài nhau.
16
Suy ra ABmax AO OI IB 554 13 . Chọn D
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i z 5 2i 34 . Tìm tổng GTLN
và GTNN của z 1 2i
A.
30
34
34
B.
30
34
5
C. 34 6
D.
30
34
6
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R) có điểm biểu diễn là I ( x; y )
+, Từ giả thiết ta có A(2;3); B(5; 2) ;C ( 1; 2) lần lượt là điểm biểu diễn các số
phức 2 3i ; 5 2i ; 1 2i . Ta có AB 34 ; z 1 2i CI
+, Theo giả thiết thì AI BI 34 AB I thuộc đoạn thẳng AB.
Phương trình AB: 5 x 3 y 19 0
+, CI min d (C; AB)
30
34
+, CI max khi I trùng với điểm đầu mút của đoạn AB
Do CA 34 ; CB 6 CI max 6 . Chọn D
Ví dụ 6: Cho các số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z1 i z1 1 i ;
z 2 1 z 2 2i . Tìm GTNN của biểu thức P z1 z 2 z1 3 z 2 3
A.
4 3
2
B.
4 2
3
C. 4 3
D. 4 2
Hướng dẫn:
+, Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức
z1 a bi ; z 2 c di (a, b, c, d R )
+, z1 i z1 1 i 2a 4b 1 0 . Suy ra M di động trên đường thẳng
d 1 : 2 x 4 y 1 0
17
+, z 2 1 z 2 2i 2c 4d 3 0 . Suy ra N di động trên đường thẳng
d 2 : 2 x 4 y 3 0
+, P z1 z 2 z1 3 z 2 3 (a c) 2 (b d ) 2 (a 3) 2 b 2 (c 3) 2 d 2
MN MA NA ; A(3;0)
+, Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1 ; A2 đối xứng với A qua đường
thẳng d 2 . Ta có MN MA NA MN MA1 NA2 A1 A2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm M , N , A1 , A2 thẳng hàng.
+, Gọi 1 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d1 , phương trình
5
1 : 2 x y 6 0 , H 1 1 d1 H 1 ;1 A1 ( 2;2)
2
Gọi 2 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d 2 , phương trình
6 18
21 9
2 : 2 x y 6 0 , H 2 2 d 2 H 2 ; A2 ( ; )
5 5
10 5
Vậy Pmin A1 A2 4 2 . Chọn D
Ví dụ 7: Cho z1 ; z 2 là hai số phức thỏa mãn hệ thức z 3 4i 2 và
2
2
z1 z 2 1 . Tìm GTNN của biểu thức P z1 z 2
A. -10
B. -5
C. -3
D. 2
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
z 3 4i 2 ( x 3) 2 ( y 4) 2 4 . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số
phức z1 ; z 2 , khi đó M, N thuộc đường tròn tâm I (3;4) ; R 2 và MN 1
2
2
2
2
+, P z1 z 2 OM ON (OM ON )(OM ON ) NM (OM ON )
2 NM .OJ (với J là trung điểm MN)
2 NM (OI IJ ) 2 NM .OI ( MN IJ ) 2MN .OI . cos( NM , OI ) 2MN .OI .( 1) 10
Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm môđun của số phức z biết
2
2
2
P z 2 2i 2 z 4 i 3 z 2i đạt GTLN.
A. 7 2
B. 2 7
C. 6
D. 5
Hướng dẫn:
18
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
z 4 3i 5 ( x 4) 2 ( y 3) 2 25 . Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức
z là đường tròn tâm I (4;3) ; R 5
+, Với A( 2;2) ; B(4; 1) ; C (0; 2) P MA 2 2MB 2 3MC 2
+, Gọi H ( x; y ) thỏa mãn HA 2 HB 3HC 0 H (1; 1)
2
2
2
+, P MH HA 2 MH HB 3 MH HC
6MH 2 HA 2 2 HB 2 3HC 2 2 MH HA 2 HB 3HC 6 MH 2 HA 2 2 HB 2 3HC 2
Do A, B, C, H cố định nên biểu thức P lớn nhất khi MH lớn nhất. Suy ra M,
I, H thẳng hàng HM
HM
IM
IM
x 1 2( x 4)
x 7
y 1 2( y 3) y 7
Ta có HI 5 HM HI MI 10 HM 2 IM
Chọn A
Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn z 1 i 5 và biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
nhất P z 7 9i 2 z 8i
A. z 5 2i
B. z 1 6i
C. z 3 i
D. z 4 5i
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
z 1 i 5 ( x 1) 2 ( y 1) 2 25 . Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
là đường tròn tâm I (1;1) ; R 5
+, Xét các điểm A(7;9); B(0;8) IA 10 2 IM
1
4
5
2
Gọi K là điểm trên tia IA sao cho IK IA K ;3
19
IM
IK 1
, góc MIK chung IKM đồng dạng với IMA
IA IM 2
MK IK 1
MA 2MK
MA IM 2
+, P z 7 9i 2 z 8i MA 2MB 2( MK MB) 2 BK 5 5
+, Do
Pmin 5 5 M BK (C ) , M nằm giữa B và K 0 x
5
2
+, Phương trình đường thẳng BK : 2 x y 8 0
Ta tìm được M (1;6) . Chọn B
Ví dụ 10: Cho số phức z x yi ( x ; y R) thỏa mãn z 2 3i z i 2 5 .
Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của P x 2 y 2 8 x 6 y . Tính M m
A.
156
20 10
5
B. 60 20 10
C.
156
20 10
5
D. 60 2 10
Hướng dẫn:
+, z 2 3i z i 2 5 ( x 2) 2 ( y 3) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2 5
2 x y 2 0
2
2
( x 2) ( y 1) 25
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền phẳng (T) được tô đậm (hình vẽ).
+, Gọi A(2; 6) ; B( 2;2) là các giao điểm của đường thẳng 2 x y 2 0 và
đường tròn (C ' ) : ( x 2) 2 ( y 1) 2 25
Ta có P x 2 y 2 8 x 6 y ( x 4) 2 ( y 3) 2 P 25
Gọi (C) là đường tròn tâm J ( 4; 3) ; R P 25
+, Đường tròn (C) cắt miền (T) khi và chỉ khi:
JK R JA IJ IK R IA 2 10 5 25 P 3 5 40 20 10 P 20
M 20; m 40 20 10 . Chọn B
3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai
* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
20
+ Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x và y (1)
+ Đặt biểu thức yêu cầu bài toán bằng P, biến đổi biểu thức này theo x và y
(2)
+ Từ các phương trình (1) và (2) đưa về phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y)
trong đó P là tham số
+, Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai để biện luận.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Gọi M, m lần lượt là GTLN,
GTNN của z 1 i . Tính giá trị biểu thức M 2 m 2
A. M 2 m 2 20
B. M 2 m 2 26
C. M 2 m 2 28
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
z 2 3i 1 ( x 2) 2 ( y 3) 2 1 (1)
D. M 2 m 2 2
2
2
2
+, Đặt P z 1 i ( x 1) ( y 1) P ( P 0) (2)
P 2 6 x 10
thay vào (1) ta được:
4
52 x 2 ( 40 12 P 2 ) x P 4 4 P 2 52 0
+, Để phương trình trên có nghiệm thì (40 12 P 2 ) 2 4.52( P 4 4 P 2 52) 0
Lấy (1) trừ (2) ta được y
14 2 13 P 14 2 13
m 14 2 13 ; M 14 2 13 M 2 m 2 28
Chọn C
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M, m lần lượt là
GTLN,
2
2
GTNN của biểu thức P z 2 z i . Tính mô đun của số phức w M mi
A. w 128
B. w 1558
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
C. w 2 314
D. w 1258
z 3 4i 5 ( x 3) 2 ( y 4) 2 5 (1)
2
2
+, P z 2 z i 4a 2b 3 (2)
+, Từ (1) và (2) ta có:
20 x 2 (64 8 P) x P 2 22 P 137 0
Phương trình có nghiệm khi ' 4 P 2 184 P 1716 0 13 P 33
w 33 13i w 1258
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn z1 1 z1 3 2i và z 2 z1 m i ,
m là tham số (m R) . Giá trị của m để ta luôn có z 2 2 5 là?
m 3
A.
m 7
m 7
B.
m 3
C. 3 m 7
D. 3 m 7
21
Hướng dẫn:
+, z1 z 2 m i z 2 m 1 i z 2 m 3 3i
+, Gọi z 2 x yi ( x ; y R) . Ta có ( x m 1) ( y 1)i ( x m 3) ( y 3)i
( x m 1) 2 ( y 1) 2 ( x m 3) 2 ( y 3) 2 y 2 x 2m 4
2
+, z 2 x 2 y 2 x 2 (2 x 2m 4) 2 5 x 2 8(2 m) x 4m 2 16m 16
Để z 2 2 5 5 x 2 8(2 m) x 4m 2 16m 4 0 x
m 7
' 0 16(2 m) 2 5(4m 2 16m 4) 0
m 3
Chọn B
Ví dụ 4: Cho số phức z x yi ( x ; y R) thỏa mãn
môđun z lớn nhất. Tính x y ?
A. 2
B. 1
Hướng dẫn:
+, Đặt t z 3 4i
C. 2
z 3 4i 1
3 z 3 4i 3
t 1 1
t 5 z 3 4i 5 x 2 y 2 6 x 8 y
3t 3 2
2
2
1
và
2
D. 1
+, x 2 y 2 6 x 8 y x 2 y 2 6 x 8 y 2 100 x 2 y 2 z 100 z
4
4
2
2
z 100 z 0 0 z 100 0 z 10 z max 10
x 2 y 2 100
2
x 6
2
Với x y 6 x 8 y
y 8
x
y
8
6
Chọn C
3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa.
* Phương pháp 1
+ Gọi z x yi ( x ; y R)
+ Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài toán về phương trình theo x, y
x f (sin t )
y g (cos t )
+ Quan sát phương trình giả thiết và đặt
+ Chuyển yêu cầu bài toán về biểu thức theo lượng giác và biện luận max,
min
Chú ý
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường tròn x a 2 y b 2 R 2 thì đặt
x a R sin t
y b R cos t
22
x2 y2
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip 2 2 1 thì đặt
a
b
x a sin t
y b cos t
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
1 thì
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip
a2
b2
x x0 a sin t
đặt
y y 0 b cos t
* Phương pháp 2
+ Gọi số phức dạng lượng giác z r (cos x i sin x)
+ Chuyển giả thiết và yêu cầu bái toán về cosx và sinx để biện luận max, min
theo lượng giác
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 5 . Gọi M, m lần lượt là GTLN,
2
2
GTNN của biểu thức P z i z 2 . Tính M+m.
A. -3
B. -2
C. 5
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
2
2
+, z 2 3i 5 x 2 y 3 5
2
D. 10
2
+, P z i z 2 4 x 2 y 3
x 2 5 sin t
(t R ) P 4 5 sin t 2 5 cos t 1
y 3 5 cos t
Đặt
2
2
2
4 5 2 5 sin 2 t cos 2 t 100
10 P 1 10 11 P 9 M 9 ; m 11 M m 2 . Chọn B
( P 1) 2 4 5 sin t 2 5 cos t
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z 2)i 1 ( z 2)i 1 10 . Gọi M, m lần
lượt là GTLN, GTNN của z . Tính M m
A. 2
B. 4
C. 2 21
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
D. 21
( z 2)i 1 ( z 2)i 1 10 z ( 2 i ) z (2 i ) 10
+, Gọi M, N là điểm biểu diễn các số phức z và z ; A( 2;1) ; B(2; 1) ; C (2;1) . Ta
thấy MC NB
+, Từ giả thiết có MA MC 10 . Quỹ tích điểm M là elip (E):
X2 Y2
1
25 21
(Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) là trung điểm đoạn AC)
X x
x 2 ( y 1) 2
(E) :
1
25
21
Y y 1
+, Áp dụng công thức đổi trục
23
x 5 sin t
2
(t 0;2 ) z OM 2 x 2 y 2
+,Đặt
y 1 21 cos t
4 cos 2 t 2 21 cos t 26
4a 2 2 21a 26 (với a cos t ; a 1;1 )
+, Xét hàm số f (a) 4a 2 2 21a 26 (a 1;1 ) M 1 21 ; m 1
21
Chọn A
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN
2
của biểu thức P z 1 z z 1 . Khi đó tích M .m ?
A.
13 3
4
B.
13 3
8
3
3
C.
D.
3 3
8
Hướng dẫn:
+, z r (cos x i sin x) x yi
z.z z 2 1
P 2 2 cos x 2 cos x 1
Do z 1
r x 2 y 2 1
+, Đặt t cos x (t 1;1 ) P 2 2t 2t 1
13
4
13 3
4
Sử dụng phương pháp xét hàm ta được Pmax ; Pmin 3 M .m
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z1 z 2 2017 . Tìm
2
z1 z 2
z1 z 2
GTNN của biểu thức P
2
2
2017 z1 z 2 2017 z1 z 2
1
2
2
A.
B.
C.
2017
2017
2017 2
2
D.
1
2017 2
Hướng dẫn:
+, Đặt z1 2017(cos 2 x i sin 2 x) ; z 2 2017(cos 2 y i sin 2 y )
z1 z 2
cos 2 x i sin 2 x cos 2 y i sin 2 y
cos( x y )
2
2017 z1 z 2 20171 cos( 2 x 2 y ) i sin(2 x 2 y ) 2017 cos( x y )
z1 z 2
sin( y x)
Tương tự 2017 2 z z 2017 sin( y x)
1 2
2
2
cos( x y ) sin( y x)
cos 2 ( x y )
sin 2 ( y x)
P
2017 2 cos 2 ( x y ) 2017 2 sin 2 ( y x )
2017 cos( x y ) 2017 sin( y x)
1
1
cos 2 ( x y ) sin 2 ( x y )
2
2017
2017 2
Chọn D
3.3 Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z1 1 i 2 ; z 2 iz1 . Tìm
GTNN của biểu thức P z1 z 2
24
A. 2 1
B. 2 2
C. 2
D. 2 2 2
Câu 2: Cho z x yi ( x ; y R) thỏa mãn điều kiện 4( z z ) 15i i ( z z 1) 2 .
Tính 4 y x khi biểu thức z
A. 7
B. 6
1
3i đạt GTNN.
2
C. 5
D. 4
Câu 3: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện
z1 i
3 5
;
5
5 z1 (2 i )( z 2 4) . Tìm GTLN của biểu thức P z 2 1 2i z 2 5 2i
A. 6 7
B. 4 2 13
C. 2 53
D. 4 13
Câu 4: Cho các số phức z ; z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z1 4 5i z 2 1 ;
z 4i z 8 4i . Tính z1 z 2 khi biểu thức P z z1 z z 2 đạt GTNN
A. 41
B. 6
C. 2 5
D. 8
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( z 2)i 1 ( z 2)i 1 10 . Gọi M,
m lần lượt là GTLN, GTNN của z . Tính tổng M m
A. 9
B. 8
C. 2 21
D. 2 21 1
Câu 6: Cho z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z1 5 5 và z 2 1 3i z 2 3 6i . Tìm
GTNN của z1 z 2
A.
5
2
B.
5
4
C. 10
D. 3 10
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 . Tìm GTNN của biểu thức
P 2 z 1 2 z 1 z z 4i
A. 4 2 3
C. 4
B. 2 3
14
15
D. 2
7
15
z1 3i 5 2 và
Câu 8: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện
iz 2 1 2i 4 . Tìm GTLN của biểu thức P 2iz1 3 z 2
A. 313 16
B. 313
C. 313 8
D. 313 2 5
Câu 9: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện iz 2 i 1 và z 2 z 2 2
. Tìm GTLN của biểu thức P z1 z 2
A. 4
B. 2 3
C. 3 2
Câu 10: Cho hai số phức z thỏa mãn điều kiện
biểu thức P z i 2 z 4 7i
A. 8
B. 10
C. 2 5
D. 3
z 1
1
. Tìm GTLN của
z 3i
2
D. 4 5
III. KẾT LUẬN
1. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
25
