sử dụng phép dời hình vào giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng và sáng tạo một số bài tập cùng mức độ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
--o0o--

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11
SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH VÀO
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TẬP CÙNG MỨC ĐỘ.

Người thực hiện: Nguyễn Lê Thiêm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019
1


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

I

Đặt vấn đề

2

1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

3

1.3

Đối tượng nghiên cứu

3

1.4

Phương pháp nghiên cứu

3

II

Nội dung của SKKN

4

2.1

Cơ sở lý luận của SKKN

4

2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

4

2.2.1

Thời gian và đối tượng thực nghiệm

4

2.2.2

Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên

4

Giải pháp và tổ chức thực hiện

5

Kiến thức cơ bản SGK

5

Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình

5

Phân loại mức độ khó của bài tập để gây hứng thú cho học sinh:

6

a

Các bài toán cơ bản

6

b

Các bài tập vận dụng phép dời hình để giải

9

Sử dụng phép dời hình để sáng tạo các bài toán có cùng mức độ
với bài toán gốc.

11

Hiệu quả của SKKN

17

2.3
2.3.1
2.3.2

2.3.3
2.4
III

Kết luận và đề xuất

18

1

Kết luận

18

2

Kíến nghị

18

Tài liệu tham khảo

20

2


MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Từ trước đến nay, về cơ bản chương trình giáo dục phổ thông vẫn là theo
cách tiếp cận nội dung, thường chỉ nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một
lĩnh vực (môn học) nào đó cần dạy và học. Tức là tập trung xác định và trả lời
câu hỏi: Chúng ta muốn học sinh biết cái gì? Vì vậy, chúng ta chủ yếu chạy theo
khối lượng kiến thức, ít chú ý dạy cách học, nhu cầu, hứng thú của người học…
Chương trình mới chuyển sang cách tiếp cận năng lực, nhằm phát triển phẩm
chất và năng lực người học. Đó là cách tiếp cận nêu rõ học sinh sẽ làm được gì
và làm như thế nào vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trường. Cách tiếp
cận này không chỉ đòi hỏi học sinh nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản
mà còn chú trọng yêu cầu vận dụng kiến thức, kỹ năng vào thực hành, giải quyết
các tình huống trong học tập và cuộc sống; tính chất và kết quả hoạt động cũng
phụ thuộc rất nhiều vào hứng thú, niềm tin, đạo đức… của người học.
Toán học là môn học cơ bản, nếu học tốt môn Toán thì những kiến thức
trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành cơ sở để học
tốt những môn học khác và ứng dụng trong cuộc sống.
Dạy học là một nghệ thuật, người thầy phải luôn trăn trở, tư duy tìm tòi,
đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Trong quá trình dạy học chúng ta luôn luôn phải đổi mới phương pháp, tìm tòi
sáng tạo các biện pháp để giúp học sinh có hứng thú để tiếp thu và vận dụng
kiến thức đã học vào giải quyết các bài tập. Nhiệm vụ của các thầy cô đang trực
tiếp giảng dạy là làm cho học sinh hiểu và nắm được logic giữa các phần và các
phân môn để các em có được thói quen suy luận logic, kỹ năng làm bài tập một
cách tổng hợp, nâng cao hiệu quả trong học tập và đạt kết quả cao trong các kỳ
thi.
Thực tế tính sáng tạo trong việc học môn Toán của học sinh còn thấp. Các

em chưa có ý thức tham gia sáng tạo, liên kết kiến thức giữa các phần này và
phần khác, phân môn này và phân môn khác để tạo ra kiến thức và phương pháp
làm toán một cách tổng hợp.
Sách giáo khoa toán sử dụng trong nhà trường phổ thông cung cấp cho
người dạy và người học các mảng kiến thức cơ bản. Trên cơ sở của các bài tập
trong sách giáo khoa, chúng ta có thể giúp học sinh sáng tạo ra các bài tập khác.
Thực tế nhiều năm giảng dạy và ôn luyện học sinh thi THPTQG tôi nhận
thấy nội dung của chương I hình học lớp 11 có thể ứng dụng vào giải một số bài
tập tọa độ trong mặt phẳng chương III hình học 10 và sáng tạo một số bài tập
cùng mức độ với bài toán gốc.
Để tạo hứng thú cho học sinh giải quyết tốt lớp các bài tập tọa độ trong
mặt phẳng. Tôi đã chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng phép Dời

3


hình vào giải một số bài tập tọa độ trong mặt phẳng và sáng tạo một số bài
tập cùng mức độ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Bổ sung phương pháp làm bài tập cho học sinh, tạo hứng thú trong học
tập, giảm căng thẳng.
Giúp học sinh năm vững các phép dời hình cơ bản, để ứng dụng các phép
dời hình vào giải và sáng tạo một số bài toán tọa độ trong mặt phẳng. Từ đó
nâng cao kết quả học tập của học sinh.
1.3. Đối tượng ngiên cứu:
Các phép dời hình cơ bản: Phép tịnh tiến, Phép đối xứng trục, phép đối
xứng tâm và ứng dụng của nó trong giải bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng
và sáng tạo một số bài tập cùng mức độ với bài toán gốc.
Giới hạn của đề tài: Xuất phát từ nhiệm vụ: Là giáo viên trực tiếp giảng
dạy môn toán và ôn luyện cho học sinh thi THPTQG. Vì vậy trong nội dung của

SKKN này, tôi chủ yếu tập trung vào việc “Tạo hứng thú trong học tập và hướng
dẫn học sinh sử dụng phép Dời hình vào việc giải và sáng tạo một số bài tập tọa
độ trong mặt phẳng”.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, các thông tin trên internet có liên quan
đến đề tài.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn.
- Phương pháp thực nghiệm.

4


NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Thực tế giảng dạy cho thấy có nhiều học sinh khi học chương I – Hình học
11, các em thường không hứng thú với việc học và không biết ứng dụng của
phép dời hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết đã học
vào thực hành, do đó các em không chú trọng trong việc học chương này. Người
thầy giáo cần chỉ rõ và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép dời hình vào
giải toán. Từ đó cho các em thấy được các ứng dụng của phép dời hình trong
giải toán.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Thời gian và đối tượng thực nghiệm:
Tìm hiểu trên đối tượng học sinh lớp 11A1, 11D2 năm học 2016-2017 và
áp dụng trên học sinh các lớp 11A3, 11A7, 11A10 năm học 2018-2019.
2.2.2. Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Qua nhiều năm giảng dạy phần này, tôi nhận thấy: Học sinh không nắm

vững, phân biệt các phép Dời hình và vận dụng vào giải một số bài tập tọa độ
trong mặt phẳng. Tôi đã suy nghĩ, tìm tòi, thử nghiệm và rút ra được kinh
nghiệm dạy cho học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức chương 1 hình học lớp 11.
Với cách dạy này đa số học sinh giải được các bài toán phù hợp với khả
năng và năng lực của mình; làm tốt bài kiểm tra. Một số em có học lực khá có
thể sáng tạo ra các bài toán mới có nội dung và mức độ tương đương với bài
toán gốc.
Phạm vi của đề tài chỉ nghiên cứu ở việc dạy, hướng dẫn học sinh giải toán
theo các hoạt động nhằm nâng cao năng lực giải toán cũng như vận dụng các
kiến thức vào việc sáng tạo bài toán mới có nội dung và mức độ tương đương
với bài toán gốc.
Trước khi áp dụng trên các đối tượng học sinh lớp 11 trong 2 khóa khác
nhau. Tôi nhận thấy các em ít sử dụng kiến thức được học ở lớp 11 vào giải một
số bài tập phần tọa độ trong mặt phẳng mà hầu hết các em chỉ sử dụng kiến thức
của lớp 10 để giải.
Tôi nhận thấy đa số học sinh không chú tâm học phần phép dời hình và
phép đồng dạng. Dẫn đến việc tiếp thu kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh
chưa hiệu quả. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc phân biệt các phép dời hình, tìm ảnh của
một hình qua một phép dời hình cụ thể.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Sự ham mê tìm tòi trong giải toán chương này của học sinh chưa thực sự
tốt.
5


- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải
kiến thức tới các em. Nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh.

Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác
định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học
trong đời sống.
2.3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện
Trong các tiết học của chương I hình học lớp 11: “Phép dời hình và phép
đồng dạng trong mặt phẳng”. Học sinh ít hứng thú dẫn đến nắm kiến thức chưa
chắc, chưa hiểu bản chất. Khả năng tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khái
quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình.
Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu
cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin
đưa ra biện pháp mà tôi đã từng sử dụng:
2.3.1. Kiến thức cơ bản SGK.
Biểu thức toạ độ của một số phép dời hình:
Phép tịnh tiến [1]:

r
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véc tơ v( a, b) , Với mỗi điểm M(x;y) ta có
r
uuuuur r
điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ v . Khi đó MM ' = v
 x '− x = a
 x = x '− a
⇔
⇔
.
(1)
y
'
−
y

=
b
y
=
y
'
−
b


x ' = x + a
Từ đó suy ra 
y' = y + b

(1’)

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tvr .
Phép đối xứng trục [1]:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho M(x; y) và M’(x’; y’). Khi đó nếu
x ' = x
+) ĐOx ( M ) = M ’ thì 
.
y' = −y

(2a)

x ' = −x
+) ĐOy ( M ) = M ’ thì 
.
y' = y

(2b)

Phép đối xứng tâm [1]:

6


Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho I (a, b) , M ( x; y ) , M ’ ( x’; y’) . Khi đó nếu
 x = 2a − x '
ĐI ( M ) = M ’ thì 
(3)
 y = 2b − y '
 x ' = 2a − x
hoặc 
.
 y ' = 2b − y

(3’)

2.3.2. Phân loại mức độ khó của bài tập để gây hứng thú cho học sinh:
a. Các bài tập cơ bản.
Phương pháp giải:
Để giải các bài tập loại này, chúng ta chỉ cần sử dụng các kiến thức cơ bản
như:
- Định nghĩa.
- Biểu thức toạ độ của các phép dời hình.
- Các tính chất của các phép dời hình.
Các bài tập ở mức độ này giúp học sinh có hứng thú và tích cực hơn trong học
phần này, nên bài tập thường rất dễ và phải cơ bản.

r
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (2; −1) , điểm M(3; 2). Tìm tọa độ
của các điểm A sao cho:
a) A = Tvr ( M )

b) M = Tvr ( A )
Giải

Học sinh thường giải:

uuur r
Giả sử A(x; y), để A = Tvr ( M ) thì MA = v .
uuur
Trong đó: MA = ( x − 3; y − 2 )
x − 3 = 2
x = 3 + 2
x = 5
⇒ A(5; 1)
⇔
suy ra: 
⇔
y
−
2
=
−
1
y
=
2

−
1
y
=
1



GV gợi ý: Áp dụng biểu thức tọa độ.
Giả sử A(x; y). Áp dụng biểu thức tọa độ:
x = 3 + 2
x = 5
⇒ A(5; 1)
⇔
a) Khi đó 
y
=
2
−
1
y
=
1



7


3 = x + 2

x = 1
⇒ A(1; 3)
⇔
b) Khi đó 
2
=
y
−
1
y
=
3


Bình luận: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ. Các em có
thể chỉ cần nhớ biểu thức tọa độ để giải là được.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm A(1; 2) tìm tọa độ điểm B đối
xứng với A qua đường thẳng d: y = x
Giải
Học sinh thường giải:
r
r
u
Gọi u là VTCP của đường thẳng d ⇒ ( 1;1) . B(x; y) là điểm đối xứng với A qua
d và H là trung điểm của AB
uuu
rr
 AB.u = 0 ( 1)
A, B đối xứng nhau qua d ⇔ 
( 2)

 H ∈ d

uuu
r
r
 x +1 y + 2 
;
- Ta có: AB = ( x − 1; y − 2 ) , u = ( 1;1) và H = 
÷.
2
2 

( x − 1) .1 + ( y − 2 ) .1 = 0
x + y = 3 x = 2

⇔
⇔
- Điều kiện (*) ⇔  x + 1 y + 2
x
=
y
+
1
=

y =1

 1
1
⇒ B = ( 2;1) .

Bình luận: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ. Các em
thường giải bằng các bước:
- Lập phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc với d.
- Xác định tọa độ giao điểm của d và d’.
- xác định tọa độ B sao cho H là trung điểm AB.
Cách giải này cơ bản nhưng dài, chúng ta có thể giải bằng suy luận sau:
- Nếu điểm A ( a; b ) thì điểm đối xứng với A qua phân giác góc phần tư thứ nhất
là B ( b; a ) .
- Cách giải này giúp rút ngắn thời gian, phù hợp với việ giải toán trắc nghiệm.
r
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ v(1; −3) , đường thẳng d có
phương trình: x + 2 y − 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d’ là ảnh của
r
d qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
Giải
8


Cách 1: Dùng tính chất của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến một đường thẳng
thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó [1].
Vì d’//d nên phương trình tổng quát của d’ có dạng x + 2 y + c = 0 . M’ thuộc d’.
Chọn M ( 1;1) thuộc d.
Gọi M ’ = T ( M ) = ( 2; −2 ) và M’ thuộc d’ ⇒ 2 + 2.( −2 ) + c = 0 ⇔ c = 2 .
Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x + 2 y + 2 = 0 .
Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến [1].
r x ' = x + 1
 x = x '− 1
⇔
v


Từ biểu thức toạ độ của T : 

 y ' = y − 3  y = y '+ 3
của d : ( x '− 1) + 2 ( y '+ 3) − 3 = 0 ⇔ x’ + 2 y’ + 2 = 0 .

thay vào phương trình

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x + 2 y + 2 = 0 .
Bình luận: Khi chưa học phép tịnh tiến, các em thường giải bằng cách:
- Lấy A, B bất kì thuộc d.

r

- Tìm ảnh A’, B’ tương ứng của A và B qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
- Lập phương trình đường thẳng A’B’.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
2
2
( x − 1) + ( y − 2 ) = 9 . Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo
r
vec to u ( 2;3) .
Giải
Cách 1. Theo tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành
đường tròn có cùng bán kính [1].
Gọi I là tâm đường tròn (C) thì: I(1;2).
Gọi I’(x;y) là tâm đường tròn (C’) thì:
uur r
x −1 = 2
x = 3
I ' = Tvr ( I ) ⇔ II ' = v ⇔ 

⇔
y − 2 = 3 y = 5
Phương trình đường tròn cần lập: ( x − 3) + ( y − 5 ) = 9 .
2

2

Cách 2. Sử dụng biểu thức tọa độ:
x ' = x + 2
 x = x '− 2
⇔
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tur là: 
.
 y ' = y + 3  y = y '− 3
9


Vì M’(x’;y’) thuộc (C’) nên: ( x '− 2 − 1) + ( y '− 3 − 2 ) = 9
2

2

⇔( x − 3) + ( y − 5 ) = 9
2

2

Vậy đường tròn cần lập có phương trình: ( x − 3) + ( y − 5 ) = 9 .
2

2

Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 . Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Giải:
Gọi (C’) là ảnh (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Ta có: đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R = 3.
’ = IOx (
Đường tròn (C’) có tâm là IĐ

) = ( 1;2 )

và bán kính R = 3.

⇒ phương trình (C) là: ( x − 1) + ( y − 2 ) = 9 .
2

2

b. Các bài tập vận dụng phép dời hình để giải.
Phương pháp (Thường thông qua một bước dựng hình):
Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một
đường đã biết qua một phép biến hình.
Bài 1[6]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-1;-1), B(3;1) và C(2;3). Tìm toạ
độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
uuur
uuu

r
Ta có: BA = (−4; −2) . Giả sử điểm D ( x; y ) ⇒ CD = ( x − 2; y − 3) .
 x − 2 = −4  x = −2
uu
r (C ) = D
⇔
ABCD là hình bình hành ⇒ TuBA
⇔
.
 y − 3 = −2  y = 1
Vậy D(-2; 1).
Nhận xét:
- Bài này học sinh thường giải bằng cách này, song ít em nhận ra đây là
kết quả của phép tịnh tiến mà thường cho là tính chất của hình bình hành.
- Giáo viên khi hướng dẫn học sinh giải nên chỉ ra đây là phép tịnh tiến để
học sinh cảm thấy phép biến hình gần với chúng ta hơn từ đó có thêm
hứng thú với phép biến hình.

10


Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành OABC. Có: A(-2;1) và B
thuộc đường thẳng (∆) có phương trình: 2x − y − 5 = 0 . Tìm tập hợp điểm
C?
Giải
Vì OABC là hình bình hành nên:
uuu
r uuur
BC = AO = (2; −1)
r

Tồn tại phép tịnh tiến theo u = (2; −1) :
r
Tur
B(x; y ) I→
C ( x′; y′) ⇔ C = Tu ( B)

∆

r
u

A

O

B

C

∆’

 x′ − x = 2
 x = x′ − 2
⇔
⇔
 y′ − y = −1  y = y′ + 1
B ( x; y ) ∈ ∆ ⇔ 2 ( x '− 2 ) − ( y '+ 1) − 5 = 0 ⇔ 2 x '− y '− 10 = 0
⇔ C ( x′; y′) ∈ ∆′ : 2 x '− y '− 10 = 0
Nhận xét:
- Đối với bài tập này giáo viên cần chỉ rõ cho HS việc xuất hiện phép tịnh tiến.

- Phân tích cho HS kỹ thuật áp dụng phép biến hình.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho: B(-2;2) và C(-3;1) nằm trên đường tròn
có tâm I(-3;2), điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm
H của

∆

ABC.
Giải:

Ta có: phương trình đường tròn (C): (x + 3)2 + ( y − 2) 2 = 1 .
phương trình đường thẳng BC: x − y + 4= 0
Theo kết quả bài toán 1 trang 7 SGK hình học 11 NC.
Gọi (C’) là đường tròn đối xứng với (C) qua BC.
phương trình đường tròn (C’) ( x + 2 ) 2 + ( y − 1) 2 = 1 .
Vậy quỹ tích H là đường tròn (C’) trừ hai điểm B và C.
Nhận xét: Khi giải bài tập này, chúng ta đã sử dụng một kết quả đẹp trong SGK
hình học 11 NC.
Chúng ta có thể sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm để giải bài toán này.
11


Bài 4 [2]: Cho A(1;2) và B(3;4). Tìm P trên Ox sao cho tổng khoảng cách từ P
đến A và B là nhỏ nhất.
Giải:
Ta có A, B khác phía đối với Ox.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox ⇒A’(1; -2).
Ta có: PA + PB = PA’ + PB ≥ A’B .
PA + PB ngắn nhất khi và chỉ khi P là giao điểm của A’B với Ox.
Phương trình A’B: 3 x − y − 5 = 0

5

y = 0
5
x =
3 ⇒ P( ; 0).
Tọa độ P là nghiệm của hệ phương trình: 
⇔
3
3 x − y − 5 = 0
 y = 0
Nhận xét: Khi hướng dẫn HS giải bài tập này, chúng ta đã sử dụng một kết quả
đẹp trong mục 4. Áp dụng- bài phép đối xứng trục, trang 12 SGK hình học 11
NC.
Bài 5 [6]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3;1) và đường thẳng (∆):
x – y = 0 . Tìm B và C lần lượt trên Ox và ∆ sao cho tam giác ABC có chu
vi nhỏ nhất.
Giải:
Gọi A1 là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox suy ra A1(3; -1)
Gọi A2 là ảnh của A qua phép đối xứng trục ∆ suy ra A2(1; 3).
Phương trình đường thẳng A1A2 : 2 x + y − 5 = 0
Ta có: AB + BC + CA = A1B + BC + CA2 ≥ A1A2
Suy ra B là giao của A1A2 với Ox. Tọa độ B là nghiệm của hệ:
5

x =
y = 0
5 
2 x + y − 5 = 0 ⇔ 
2 suy ra B  ;0 ÷.

2 

 y = 0
Và C là giao của A1A2 với ∆. Tọa độ C là nghiệm của hệ:
5
x − y = 0
5 5
2 x + y − 5 = 0 ⇔ x = y = suy ra C  ; ÷ .
3
3 3

Nhận xét: Để giải được bài tập này, chúng ta đã sử dụng kết quả của bài 5 và
tổng các đoạn gấp khúc: AB + BC + CA = A1B + BC + CA2 ≥ A1A2 .

12


2.3.4. Sử dụng phép dời hình để sáng tạo các bài toán có cùng mức độ với
bài toán gốc.
Phương pháp và các bước sử dụng Phép dời hình để tạo bài toán mới.
Phép dời hình f : H ® H ' , ta có H là tạo ảnh (vật) còn H' là ảnh. Khi vận
dụng phép biến hình để tạo đề toán thì xem đề toán đã cho là tạo ảnh (vật) "H"
còn bài toán mới cần tìm là ảnh "H'".
"H": là bài toán gốc có thể có các đối tượng "Điểm; Đường thẳng; Mặt
phẳng" có chứa biến x; y; hoặc có các đối tượng góc, khoảng cách.
"H'": là bài toán mới được hình thành từ bài toán gốc thông qua phép biến
hình f.
a) Tạo các bài toán mới từ các bài toán gốc chúng ta làm theo các bước sau:
Phương pháp 1.
Bước 1. Từ một trong các công thức (1), (2a), (2b), (3) thay vào các đối tượng

của "H" chứa x, y, bởi các biểu thức chứa x', y' ta có " H1" .
Bước 2. Để xác định trong mặt phẳng Oxy ta thế các đối tượng x', y', trong "H1"
lần lượt bởi x, y sẽ được "H'" xác định trong mặt phẳng Oxy.
Bước 3. Chỉnh sửa câu chữ, chặt chẽ đi đến hoàn thiện bài toán để được bài toán
mới.
Phương pháp 2.
Bước 1. Trong "H" các biến x, y của các đối tượng được thay thế lần lượt bởi x',
y' khi đó ta có "H1".
Bước 2. Vận dụng một trong các công thức (1’), (2a), (2b), (3’). Trong "H 1" thế
các biến x', y' lần lượt bởi các biểu thức của nó ta có "H'".
Bước 3. Chỉnh sửa câu chữ, chặt chẽ đi đến hoàn thiện bài toán để được bài toán
mới.
Phần tiếp theo là sử dụng các quy tắc đã xây dựng để tạo các bài toán mới có
cùng mức độ.
b) Ví dụ minh họa các bước thực hiện theo mỗi phương pháp trên.
Bài toán gốc. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-3;2) và đường thẳng d
có phương trình: 2 x - y + 3 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
A trên đường thẳng d.
Đáp án: Gọi B là hình chiếu của A lên d: B(-1;1)
Áp dụng Phương pháp 1, tạo bài toán mới như sau.
r
Chọn Phép dời hình là Phép tịnh tiến có v ( 2;3) .

13


 x = x '− 2
Bước 1. Sử dụng công thức 
(1)
 y = y '− 3

Từ hình H ta có hình H1:
+) d trở thành d1 như sau: 2( x '- 2) - ( y '- 3) + 3 = 0 Û 2 x '- y '+ 2 = 0
ìï x =- 3
+) Điểm A: ïí
trở thành
ïïî y = 2

ìïï x '- 2 =- 3
Tọa độ A1
í
ïïî y '- 3 = 2

ìïï x =- 1
+) Đáp án: Điểm B í
chuyển thành
ïïî y =1

ìïï x ' =- 1
í
ïïî y ' = 5

ìïï x '- 2 =- 1
Tọa độ B1
í
ïïî y '- 3 =1

ìïï x ' =1
í
ïïî y ' = 4

Bước 2. Thế x', y' tương ứng bởi x, y.
Từ hình H1 ta có H'
+) Chuyển d1 thành d': Û 2 x - y + 2 = 0
ïì x =- 1
+) Chuyển A1 thành A' ïí
ïïî y = 5
ìï x ' =1
+) Chuyển B1 thành B’ ïí
.
ïïî y ' = 4
Bước 3.
Đề toán mới: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;5) và đường thẳng d
có phương trình: 2 x - y + 2 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm A trên đường thẳng d.
Đáp án: Gọi B là hình chiếu của A lên d. Tọa độ B(1;4).
Áp dụng Phương pháp 2, tạo bài toán mới như sau.
Chọn phép dời hình là phép đối xứng tâm, với tâm I(2;1).
Bước 1. thế x, y tương ứng bởi x', y'. hình H thành H1
Từ hình H thành H1.
+) d trở thành d1: 2 x '- y '+ 3 = 0
ìïï x =- 3
+) Điểm A í
trở thành A1
ïïî y = 2

ìïï x ' =- 3
í
ïïî y ' = 2

ïì x =- 1

+) Đáp án: Điểm B ïí
chuyển thành B1
ïïî y =1

ïìï x ' =- 1
í
ïïî y ' =1

14


 x ' = 2a − x
Bước 2. Áp dụng công thức 
(3’) với
 y ' = 2b − y

a = 2
ta được

b = 1

x ' = 4 − x

y' = 2 − y

Từ hình H1 thành H'.
+) d1 thành d': 2( 4 - x) - ( 2 - y ) + 3 = 0 Û 2 x - y - 9 = 0
ìï x ' =- 3
+) Điểm A1 ïí
trở thành

ïïî y ' = 2

ìïï 4 - x =- 3
nên A'
í
ïïî 2 - y = 2

ìïï x ' =- 1
+) Đáp án: Điểm B1 í
chuyển thành B:
ïïî y ' =1

ìïï x = 7
í
ïïî y = 0

ìïï 4 - x =- 1
Û
í
ïïî 2 - y =1

ìïï x = 5
í
ïïî y =1

Bước 3.
Đề toán mới: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(7;0) và đường thẳng d
có phương trình: 2 x - y - 9 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm A trên đường thẳng d.
Đáp án: Gọi B là hình chiếu của A lên d. Tọa độ B(5;1).

c) Sử dụng phép biến hình tạo các bài toán đại số mới.
Chúng ta có thể sử dụng hai Phương pháp trên để tạo ra các bài toán hệ
phương trình (hai ẩn) mới từ bài toán gốc.
Đối với các bài toán về hệ phương trình ba ẩn thì tôi sẽ trình bày trong đề
tài khác. (Đối với hệ ba biến (x;y;z) việc vận dụng tạo ra các bài toán mới hoàn
giống như việc tạo ra các bài toán trong chương "Phương pháp tọa độ trong
không gian").
Sau đây là một số bài toán làm ví dụ thể hiện việc sử dụng phép biến hình
tạo ra các bài toán đại số mới có mức độ khó tương đương với bài toán gốc.
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
Bài toán gốc. Giải hệ phương trình sau: 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

( 1)
( 2)

Giải:
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0.
PT (1) ⇔ x 2 − xy − 2 y 2 − ( x + y ) = 0
⇔ ( x + y ) ( x − 2 y − 1) = 0

⇔ x − 2 y − 1 = 0 (vì theo điều kiện thì x+y >0 ).
⇔ x = 2 y + 1 Thay vào PT (2) và biến đổi ta được:

( y + 1) (

)

2y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5
15

KL nghiệm của hệ là: (5;2).
* Sử dụng Phép tịnh tiến:
r
Với véc tơ tịnh tiến v ( −1;2 ) .
 x = x '+ 1
Công thức chuyển đổi: 
, thay vào hệ ta được:
 y = y '− 2
( x '+ 1) ( y '− 2 ) + ( x '+ 1) + ( y '− 2 ) = ( x '+ 1) 2 − 2 ( y '− 2 ) 2


( x '+ 1) 2 ( y '− 2 ) − ( y '− 2 ) ( x '+ 1) − 1 = 2 ( x '+ 1) − 2 ( y '− 2 )
 x ' y '− 3x '− 6 y '+ 6 = ( x ' ) 2 − 2 ( y ' ) 2
Thu gọn: 
( x '+ 1) 2 y '− 4 − ( y '− 2 ) x ' = 2 ( x '− y '+ 3 )
Thay x’ và y’ bằng x và y ta được:
 xy − 3x − 6 y + 6 = x 2 − 2 y 2
(*)

( x + 1) 2 y − 4 − ( y − 2 ) x = 2 ( x − y + 3)
5 = x '+ 1
x ' = 4
⇔
Nghiệm của hệ ban đầu là (5;2), ta có: 
.
2 = y '− 2  y ' = 4
Thay x’ và y’ bằng x và y ta được nghiệm của hệ (*): (4;4).
Ta được bài toán mới thứ nhất:

 xy − 3x − 6 y + 6 = x 2 − 2 y 2
Giải hệ phương trình sau: 
.
( x + 1) 2 y − 4 − ( y − 2 ) x = 2 ( x − y + 3)
x = 4
Đáp số: 
.
y = 4
Bình luận: Nếu đối với học sinh khá trở lên thì bản chất của việc làm trên là
phép đặt ẩn phụ trong đại số.
Tuy vậy tôi vẫn nhận thấy học sinh có hứng thú với cách làm theo hướng tịnh
tiến.
Với cách làm tương tự:
ur
Với véc tơ tịnh tiến m( 2;1) ta được bài toán thứ hai:
Bài toán mới 2.

16


ìï xy - 2 x + 7 y + 3 = x 2 - 2 y 2
ï
Giải hệ phương trình sau: í
ïï ( x + 2) 2 y + 2 - ( y +1) x +1 = 2 x - 2 y + 2
î
ìïï x = 3
Đáp số: í
.
ïïî y =1

ur
véc tơ tịnh tiến m( 1;1) ta được bài toán thứ ba:
Bài toán mới 3.
ìï xy + 6 y + 4 = x 2 - 2 y 2
ï
Giải hệ phương trình sau: í
.
ïï ( x +1) 2 y + 2 - ( y +1) x = 2 x - 2 y
î
ìïï x = 4
Đáp số: í
.
ïïî y =1
...
d) Chú ý: Ngoài ra chúng ta có thể sử dụng Phép vị tự và Phương pháp 2 để tạo
bài toán mới.
 y 3 + y = x3 + 3 x 2 + 4 x + 2
Bài toán gốc. Giải hệ phương trình: 
2
 1 − x − y = 2 − y − 1
ïì x = 0
Đáp số: Hệ có nghiệm là ïíï
.
ïî y = 1

Ta sử dụng phép vị tự [4]:
Phép vị tự VIk : M ® M ' . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với I ( a; b) và điểm
M ( x; y ) và M '( x '; y ') . Mối liên hệ tọa độ của M và M' qua Phép vị tự tâm I tỷ
số k ( k Î ¡ ) như sau:
ìï

1
k- 1
ïï x = x '+
a
ï
k
k
í
ïï
1
k- 1
b
ïï y = y '+
k
k
ïî

(4) hoặc

ïìï x ' = kx - ( k - 1) a
í
ïï y ' = ky - ( k - 1) b
î

(4*)

*) Áp dụng:
Chọn I ( 1;1) và tỷ số k = 2
ìï 8 y 3 - 12 y 2 + 8 y - 2 = 8 x 3 + 2 x
ï

Bài toán mới 1. Giải hệ phương trình: í
ïï 4 x - 4 x 2 - 2 y - 1 = 3 - 2 y - 1
ïî
17


ìï
1
ïï x =
2.
Đáp số: í
ïï
ïî y =1
*) Chọn I ( −1; −1) và tỷ số k = 2
ìï 4 y 3 + 6 y 2 + 4 y = 4 x 3 +12 x 2 +13 x + 4
ï
Bài toán mới 2. Giải hệ phương trình: í
.
ïï - 4 x - 4 x 2 - 2 y +1 = 1 - 2 y - 1
ïî
ìï
1
ïï x =2.
Đáp số: í
ïï
ïî y =1
Với cách làm này tiếp tục vận dụng các phép biến hình đã nêu để hình
thành các bài toán mới với mức khó của bài toán không thay đổi và phương
pháp giải không thay đổi.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Nghiên cứu đề tài này đối với học sinh lớp 11A1, 11D2 năm học 20162017 và áp dụng trên đối tượng học sinh các lớp 11A3, 11A7, 11A10 năm học
2018-2019 tôi đã thu được kết quả sau khảo sát như sau:
- Số học sinh có hứng thú với việc học phần phép biến hình và áp dụng vào giải
bài tập tọa độ trong mặt phẳng tăng lên.
Lớp

Chiều hướng hứng thú
học tập

Tỷ lệ %

11A3 (Ban KHTN)

Tăng

85%

11A7 (Ban KHXH)

Tăng

65%

11A10 (Ban KHXH)

Tăng

68%

- Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với môn hình học, không

bị áp lực khi phải ngồi học trong các giờ hình học, tạo được niềm tin và sự hứng
thú trong học tập.

18


III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận.
Qua thời gian nghiên cứu đề tài và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra
được một số ý kiến sau:
Về người dạy:
- Luôn tạo ra hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích
cực tư duy của học sinh khi tiếp cận nội dung môn học.
- Tổ chức dạy học kết hợp nhiều hình thức để môn học trở lên hấp dẫn và học
sinh thấy được ý nghĩa của môn học.
- Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của học
sinh, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức
trong tình huống đa dạng.
- Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng
giải toán thông qua việc luyện tập.
- Khắc phục tính chủ quan, hình thành kỹ năng tư duy độc lập, tính tự giác ở
người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách của các em.
- Thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp với đối tượng học sinh ở các lớp khác nhau..
- Nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em không
cảm thấy áp lực trong học tập.
- Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học
sinh.
- Chỉ ra cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
- Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.

Về người học:
- Chăm chỉ nắm chắc lý thuyết.
- Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc.
- Biết chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
- Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc.
3.2. Kiến nghị:

19


Nhà trường nên tạo điều kiện để các SKKN đến được với đông đảo học
sinh và phụ huynh cũng như người yêu toán để chúng ta có thể tìm hiểu sâu hơn
kiến thức.
Nhà trường nên tạo điều kiện để có các buổi sinh hoạt chuyên đề, thảo luận
chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với nhau
về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối tượng
học sinh.
Thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh
khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp, học
sinh và người yêu thích Toán học để tôi có thể hoàn thiện đề tài hơn nữa.
XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 14 tháng 05 năm 2019

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Nguyễn Lê Thiêm

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn
Hà Thanh, Phan Văn Viện, Sách giáo khoa hình học lớp 11- cơ bản- Nhà xuất
bản giáo dục, năm 2007.
[2]. Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà, Sách bài tập hình học lớp
11- cơ bản- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007.
[3]. Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán lớp 11.
[4]. Một số vấn đề phát triển hình học 11.
[5]. Bài viết "Dùng phép tịnh tiến, phép đối xứng để sáng tạo ra nhiều đề toán
mới" báo TH&TT số 383.
[6]. Tài liệu tham khảo trên internet.

21