HƯỚNG dẫn học SINH PHÂN TÍCH bài TOÁN xác SUẤT từ đó vận DỤNG HAI QUY tắc đếm cơ bản và QUY tắc TÍNH xác SUẤT để tìm xác SUẤT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT
TỪ ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY
TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT

Người thực hiện: Lê Văn Thượng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT hiệu Hóa
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HÓA NĂM 2019


Mục lục
Phần I. Mở đầu.............................................................................................trang 3
Lí do chọn đề tài...........................................................................................trang 3
Mục đích nghiên cứu....................................................................................trang 3
Đối tượng nghiên cứu...................................................................................trang
4
Phương pháp nghiên cứu..............................................................................trang 4
Phần II. Nội dung.........................................................................................trang 5
Cơ sở lí luận.................................................................................................trang 5
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến...........................................trang 6
Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận
dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suât để tìm xác suất........trang 7
Tính xác suất bằng định nghĩa.....................................................................trang 7
Áp dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất............................................trang 9

Bài tập tổng hợp.........................................................................................trang 13
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.........................................................................trang 22
Phần III. Kết luận và kiến nghị..................................................................trang 24
Bài tập kiến nghị........................................................................................trang 26
Tài liệu tham khảo......................................................................................trang 29

2


Phần I : MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài

Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề
cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ
hợp - xác suất học sinh phải nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản, các quy tắc tính
xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán
vào những tình huống cụ thể.
Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hoc
sinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm
cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung
khắc, biến cố đối,…Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩa các em
chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố, chưa
biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiều nhóm
kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết
cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giao các biến
cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do
đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài

toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,
thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã
làm đúng hay chưa. Để giúp học sinh nắm rõ bài toán xác suất tôi đã chọn đề tài:
Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc
đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để tìm xác suất..
1.2. Mục đích
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ
bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để
giải quyết bài toán xác suất trong nhiều tình huống khác nhau và giúp các em
học sinh lơp 12 ôn tập tốt phần xác suất.
3


1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh khối 11 và học sinh ôn thi cuối khóa trường THPT
Thiệu Hóa.
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác
suất, các bài toán xác suất.
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương
trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh.
c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
quyết các bài toán xác suất trước và sau khi được học phương pháp phân tích
này.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Tập trung phân tích các bài tập tổng hợp nâng cao phổ biến trong các kì
thi học sinh giỏi tỉnh, trong kì thi THPT quốc gia.

4


PHẦN II: NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
1) Hai quy tắc đếm cơ bản ( quy tắc cộng và quy tắc nhân)
2) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà:
- Không đoán trước được kết quả của nó.
- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Không
gian mẫu của phép thử kí hiệu là  .
3) Biến cố
Biến cố là một sự kiện liên quan đến phép thử mà việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố phụ thuộc vào kết quả của phép thử.
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng
mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Tập  A mô tả cho biến cố A là tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
- Tập  được mô tả cho biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).
- Tập  được mô tả cho biến cố chắc chắn.
Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử T
và các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
- Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A hoặc B xảy ra” kí hiệu A �B , được
gọi là hợp của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập  A � B .
- Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A và B cùng xảy ra” kí hiệu AB , được
gọi là giao của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập  A � B .
- Biến cố A không xảy ra gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và

xảy ra khi và chỉ khi

không xảy ra.

5


- Nếu  A � B   thì ta nói
- Hai biến cố

và

và

là xung khắc.

được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến
cố kia.
4) Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử

là biến cố liên quan đến một phép thử T có một số hữu hạn kết quả và
n( A)

đồng khả năng, kí hiệu n( X ) là số phần tử của tập X . Ta gọi tỉ số n() là xác
suất của biến cố , kí hiệu là P(A). Vậy P( A) 

n( A)

.
n ( )

5) Tính chất của xác suất:
a) Tính chất cơ bản:
 P(  ) = 0
 P(  ) = 1
 0 �P (A) �1 với mọi biến cố A.
 P ( A ) = 1- P(A)
b) Quy tắc cộng xác suất
 Nếu A và B xung khắc thì: P( A �B)  P( A)  P( B)
 Với mọi biến cố

và

bất kì ta có:

P( A �B)  P( A)  P( B)  P( AB)

c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi đó ta có: P ( AB)  P ( A).P ( B )
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hoc
sinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm
cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung
khắc, biến cố đối,…Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩa các em
chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố, chưa
biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiều nhóm
6

kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết
cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giao các biến
cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do
đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài
toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,
thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã
làm đúng hay chưa.
2.3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT TỪ
ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC
SUÁT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT
1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển của xác suất.
Xác suất của biến cố A là: P( A) 

n( A)
.
n( )

Như vậy bản chất của việc tính xác suất của biến cố A là việc đếm số
phần tử của phép thử ngẫu nhiên và số kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Chính vì vậy các em học sinh cần nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản và biết
cách phân tích biến cố hay sự kiện hay công việc cần thực hiện thành các
phương án, trong mỗi phương án lại được thực hiện theo các công đoạn từ
đó tìm ra các bước giải bài toán.
Bài toán 1. Gieo ba đồng xu cân đối và đồng chất như nhau. Tìm xác suất của
các biến cố sau:
a) Có đúng hai mặt sấp xuất hiện.
b) Có ít nhất một mặt sấp xuất hiện.

c) Có nhiều nhất một mặt sấp xuất hiện.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo
ba đồng xu cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Ta kí hiệu S là mặt sấp xảy ra , N là mặt ngữa xảy ra. Các khả năng xảy ra
3
là: 2  8 đó là các khả năng:    NNN ; NNS ; NSN ; SNN ; NSS ; SNS ; SSN ; SSS  .
a) Gọi A là biến cố có đúng hai mặt sấp xuất hiện. Số kết quả thuận lợi
cho A là 3 gồm NSS; SNS; SSN . Vậy P( A) 

3
8

b) Gọi B là biến cố có ít nhất một mặt sấp xuất hiện. Số kết quả thuận lợi
cho B là 3  3  1 gồm hai sấp NSS; SNS; SSN , một sấp SNN; NSN; NNS và ba
7
8

sấp SSS. Vậy P( B)  .
1
8

Nhậ xét: Ta có thể đếm phần bù là  B   NNN  suy ra P( B )  � P( B) 

7
8

7

a) Gọi C là biến cố có nhiều nhất một mặt sấp xuất hiện. Số kết quả thuận
4
8

lợi cho C là 3  1  4 gồm SNN; NSN; NNS và NNN. Vậy P(C )  

1
2

Bài toán 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất như nhau. Tìm xác suất
của các biến cố sau:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là 8.
b) Số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là bằng nhau.
c) Tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số chẵn.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo
hai con xúc xắc cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Các khả năng xảy ra là: 6.6  36 đó là các khả năng :
(1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) �
�
�
(2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) �
�
�
�
�
...................................................�
�
�
(6,1), (6, 2), (6,3),..............(6, 6) �

�

a) Xét biến cố A: tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc
bằng 8.
Tập  A các kết quả thuận lợi của A :  A   (2, 6), (6, 2), (3,5),(5,3), (4, 4) suy
ra n( A )  5 . Vậy P ( A) 

5
36

b) Gọi B là biến cố số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là bằng
nhau. Ta có:  A   (1,1); (2, 2);(3,3); (4, 4); (5,5);(6, 6) suy ra n( B )  6 .
Vậy P( B) 

6 1
 .
36 6

c) Gọi C là biến cố tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số
chẵn.
Trong trường hợp này ta có thể liệt kê được tất cả các kết quả thuận lợi
của C là 27 kết quả. Vậy P(C ) 

27 3
 .
36 4

Nhận xét: Tuy nhiên nếu ta đếm tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con
xúc xắc là số lẻ thì có 3.3  9 kết quả đó là:
C   (1,1);(1,3);(1,5);(3,1);(3,3);(3,5);(5,1);(5,3);(5,5) .

Suy ra P(C ) 

9
1 3
� P(C )  1   . Cách đếm này thuận lợi hơn.
36
4 4

Bài toán 3. Một hộp đựng 9 thẻ có đánh số 1, 2, 3,..., 9 trên đó.Bốc ngẫu nhiên
ba thẻ. Tìm xác suất để ba thẻ thu được có:
a) Tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn.
b) Tích số ghi trên ba thẻ là số chẵn.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tập con ba phần tử của tập chín phần tử,
nên số phần tử của không gian mẫu là C93 .

8


a) Gọi A là biến cố tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn. Mỗi kết quả thuận
lợi của A sẽ là hai thẻ lẻ và một thẻ chẵn hoặc ba thẻ chẵn nên số kết quả thuận
lợi của A là C52 .C41  C43 .
C52 .C41  C43 11
 .
Vậy xác suất của biến cố A là P( A) 
C93
21

b) Gọi B là biến cố tích số ghi trên ba thẻ là số chẵn. Mỗi kết quả thuận
lợi của B sẽ là một thẻ chẵn hai thẻ lẻ, hai thẻ chẵn một thẻ lẻ hoặc ba thẻ chẵn

nên số kết quả thuận lợi của A là C41 .C52  C42 .C51  C43 .
C41 .C52  C42 .C51  C43 37

Vậy xác suất của biến cố A là P( B) 
.
C93
42

Nhận xét: Tuy nhiên nếu ta đếm phần bù là tích số ghi trên ba thẻ là số lẻ
thì có C53 kết quả.
Suy ra P( B) 

C53
5
5 37

� P( B)  1 

. Cách đếm này thuận lợi hơn.
3
C9 42
42 42

Bài toán 4: Một đội thanh niên tình nguyện gồm 8 người, trong đó có An và
Bình. Người ta phân một cách ngẫu nhiên thành hai nhóm mỗi nhóm 4 người.
Tính xác suất để An và Bình thuộc cùng một nhóm.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Không gian mẫu  là tập hợp tất cả các cách phân chia 8 người thành hai
nhóm, mỗi nhóm 4 người. Mỗi cách phân nhóm lại cho ta hai nhóm. Nên số
cách phân nhóm là

1 4
C8 .
2

Gọi A là biến cố " An và Bình thuộc cùng một nhóm" . Số kết quả thuận
lợi của A là số cách phân nhóm sao cho An và Bình thuộc cùng một nhóm. Nên
số kết quả thuận lợi là n(A )  C62 .
Vậy

P ( A) 

C62
3

1 4 7.
C8
2

2. Áp dụng các quy tắc để tính xác suất
Cần nhấn mạnh rằng:
Nếu A và B xung khắc thì: P( A �B)  P( A)  P( B)
Nếu A và B độc lập khi đó ta có: P ( AB )  P ( A).P ( B )
Với mọi biến cố

và

bất kì ta có: P( A �B)  P( A)  P( B)  P( AB)

Bài toán 5: Một hộp đựng 18 viên bi cùng kích thước và chất liệu trong đó có 5

bi trắng, 6 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để:
a) Bốn bi lấy ra cùng màu.
b) Bốn bi lấy ra có đủ ba màu.
Phân tích để giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết
quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm kết quả ta có thể coi biến cố
A là biến cố hợp của các biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng. Sau đó sử
dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.
9


4

Trong bài này không gian mẫu gồm C18 phần tử.
Gọi A là biến cố lấy được 4 bi cùng màu.
4
Gọi A1 là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu trắng, khi đó n( A1 )  C5
4
Gọi A2 là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu xanh, khi đó n( A2 )  C6
4
Gọi A3 là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu đỏ, khi đó n( A3 )  C7

Các biến cố A1 , A2 , A3 là các biến cố xung khắc từng đôi một và A  A1 �A2 �A3
Vậy xác suất để bốn bi lấy ra cùng màu là:
C54 C64 C74
11
P ( A)  P( A1 )  P( A2 )  P ( A3 )  4  4  4 
.
C18 C18 C18 612

b) Gọi B là biến cố lấy được 4 bi có đủ ba màu.

Gọi B1 là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu trắng, một bi xanh, một bi đỏ. Ta có
C52 .C61 .C71
P ( B1 ) 
.
C184
Gọi B2 là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu xanh, một bi trắng, một bi đỏ. Ta có
C62 .C51.C71
P ( B2 ) 
C184
Gọi B3 là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu đỏ, một bi xanh, một bi trắng. Ta có
C72 .C61 .C51
P ( B3 ) 
C184
Các biến cố B1 , B2 , B3 là các biến cố xung khắc từng đôi một và B  B1 �B2 �B3
Vậy xác suất để bốn bi lấy ra có đủ ba màu là:
P ( B )  P( B1 )  P( B2 )  P ( B3 ) 

C52 .C61 .C71 C62 .C51.C71 C72 .C51 .C61 35



.
C184
C184
C184
68

Bài toán 6. Có hai hộp chứa các quả cầu cùng kích thước. Hộp thứ nhất chứa 7
quả trắng và 2 quả đen. Hộp thứ hai chứa 6 quả trắng và 3 quả đen. Lấy ngẫu
nhiên từ mỗi hộp một quả cầu. Tính xác suất để lấy được:

a) Hai quả cầu trắng.
b) Hai quả cùng màu.
c) Hai quả cầu khác màu.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Việc lấy mỗi bình một quả cầu là độc lập với nhau và để lấy được hai quả
cầu có màu quy định thì ở mỗi bình phải lấy một quả có màu sao cho hai quả
lấy ra phải được màu quy định đó. Điều này khiến chúng ta phải vận dụng quy
tắc nhân cho giao các biến cố độc lập và quy tắc cộng cho hợp các biến cố xung
khắc.
Cụ thể trong bài này ta tiến hành như sau:
Gọi A1 , A2 lần lượt là các biến cố lấy được cầu trắng từ hộp thứ nhất và hộp thứ
hai. Gọi B1 , B2 lần lượt là các biến cố lấy được cầu đen từ hộp thứ nhất và hộp
thứ hai. Các biến cố trên đều độc lập với nhau.
10


7
9

6
9

2
9

3
9

Ta có: P( A1 )  , P( A2 )  , P( B1 )  , P( B2 )  .
Gọi A, B, C lần lượt là biến cố lấy được hai quả màu trắng, hai quả cùng màu và

hai quả khác màu. Khi đó ta có: A  A1 A2 , B  A1 A2 �B1 B2 , C  A1B2 �A2 B1 .
7 6
9 9

a) Xác suất lấy được hai quả cầu trắng là: P( A)  P( A1 A2 )  P( A1 ).P( A2 )  . 

42
.
81

b) Xác suất lấy được hai quả cầu cùng màu là:
7 6 2 3 48
P( B)  P( A1 A2 �B1B2 )  P ( A1 A2 )  P ( B1B2 )  .  . 
.
9 9 9 9 81

c) Xác suất lấy được hai quả khác màu là:
7 3 6 2 11
P(C )  P( A1 B2 �A2 B1 )  P ( A1 B2 )  P ( A2 B1 )  .  . 
.
9 9 9 9 27

Bài toán 7. Chọn ngẫu nhiên một vé số có năm chữ số từ 0 đến 9. Tìm xác suất
để số trên vé không có mặt chữ số 1 hoặc không có chữ số 5.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Khi chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số từ 0 đến 9, ta có các khả năng có thể
xảy ra là n()  105 .
Gọi A là biến cố chọn được vé số mà số trên vé không có mặt chữ số 1 hoặc
không có chữ số 5. Khi đó n( A)  95  95  85 .
95  95  85

 2.(0,9)5  (0,8)5  0,8533 .
Vậy P( A) 
5
10
Nhận xét: Trong bài này nếu ta gọi A1 là biến cố không có chữ số 1 và A2 là biến
95
85
5
P
(
A
)

P
(
A
)


(0,9)
P
(
A
A
)

 (0,8)5
cố không có chữ số 5. Thì ta có
và
1

2
1 2
5
5
10
10
5
5
Từ đó P( A)  P( A1 �A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 A2 )  2.(0,9)  (0,8)  0,8533

Bài toán 8. Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A
7
trong một lần bắn là
. Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn
10
9
trúng của B trong một lần bắn là
. Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn
10
Hướng dẫn học sinh phân tích:
3
10
3
Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì P( A2 )  . A1, A2 là độc lập
10
A  A1 �A2 là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn. Ta có:
3
P ( A)  P( A1 ).P ( A2 )  ( ) 2
10
B  B1 �B2 �B3 là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn. Ta có:

1
P ( B)  P( B1 ).P ( B2 ) P ( B3 )  ( )3 .
10
A
�
B
A, B là độc lập và
là biến cố mục tiêu không trúng đạn. Ta có:
32
P ( A �B )  P ( A).P( B)  5
10

Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì P( A1 ) 

11


Từ đó giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả
thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác
nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A 1,..., An độc lập
tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A.
Bài toán 9: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25.
Lớp học không đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng cháy. Tính xác suất dể lớp học
không đủ ánh sáng.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất sáng là 0,75
4
Gọi A1 là biến cố 4 bóng cháy 2 bóng sáng, A1 là biến cố hợp của C6 biến cố
4
2

4
con, P( A1 )  C6 .(0, 75) .(0, 25)

5
Gọi A2 là biến cố 5 bóng cháy 1 bóng sáng, A2 là biến cố hợp của C6 biến cố

con, P( A2 )  C6 .0, 75.(0, 25)
5

5

6
6
Gọi A3 là biến cố 6 bóng cháy P( A3 )  C6 .(0, 25)
A  A1 �A2 �A3 là biến cố lớp học không đủ ánh sáng.
Vậy xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng là:

P( A)  P( A1 �A2 �A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P ( A3 )  0, 03759766

Bài toán 10: Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là
0,008; xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15; xác suất để 1 viên trúng vòng
dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Theo bài ra thì xác suất trúng vòng 10 là 0,2; xác suất trúng vòng 9 là 0,25
1
Gọi A1 là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A1 là biến cố hợp của C3 biến cố con,
P( A1 )  C31.0, 2.0, 252
1
Gọi A2 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 9, A 2 là biến cố hợp của C3 biến cố con,

P ( A2 )  C31.0, 2 2.0, 25
1
Gọi A3 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 8, A 3 là biến cố hợp của C3 biến cố con,

P ( A3 )  C31.0, 22.0,15

Gọi A4 là biến cố 3 viên 10, P( A4 )  0, 008
A  A1 �A2 �A3 �A4 là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. Vậy P ( A)  0, 0935
Bài toán 11.
Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác
suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là

. Hãy

tính xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
12


Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phép
toán tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ
lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi biến cố

“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”
“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

Khi đó ta có: P(A) = 0,7 � P( A) = 1 – 0,7 = 0,3
P(B) = 0,8 � P ( B ) = 1 – 0,8 = 0,2
a) Gọi

là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có

chất lượng tốt”. Suy ra
Do hai biến cố

b) Gọi

là độc lập nên ta có

là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có

chất lượng tốt”. Suy ra Y  AB �AB
Do AB, AB xung khắc và biến cố A và B; A và B độc lập nên ta có:
P(Y )  P( AB �AB)  P ( AB)  P( AB )  P( A).P( B )  P( A).P( B)  0,3.0,8  0, 7.0, 2  0,38

3. Bài tập tổng hợp vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh thường gặp kho
khăn hơn ở bài toán tính xác suất bằng định nghĩa và thường gặp khó khăn ở
đếm các kết quả thuận lợi cho những biến cố phức tạp. Các em thường chưa
biết cách phân tích để chia tập các kết quả thuận lợi cho biến cố thành nhiều
tập hợp con các kết quả thuận lợi.
Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh xem bài toán xác suất dạng này
như là tìm tỉ số giữa các sản phẩm thỏa mãn yêu cầu với toàn thể sản phẩm tạo
ra. Khi đó bài toán được tiến hành như sau:
Bước 1. Cần xác định các nguyên liệu để tạo ra sản phẩm, các công đoạn tạo
ra một sản phẩm. Từ đó vận dụng quy tắc đếm cơ bản để đếm tổng số sản phẩm

có thể tạo ra được.
Bước 2. Cần xác định các nguyên liệu để tạo ra sản phẩm thỏa mãn yêu cầu.
Bước 3. Cần phân tích sản phẩm đạt yêu cầu có thể được phân chia thành
những nhóm sản phẩm nào.
Bước 4. Cần xác định các công đoạn để tạo ra một sản phẩm trong mỗi nhóm
và cách thức tiến hành để tạo ra sản phẩm đó.
Cuối cùng xác định xem cách phân nhóm sản phẩm có tạo ra sản phẩm
13


khác biệt hoàn toàn không hay có sự trùng lặp, nếu trùng lặp thì trùng lặp thế
nào. Từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản để đém tổng số sản phẩm thỏa mãn
yêu cầu và tìm xác suất của bài toán.
Bài toán 12. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một xấp
bài. Tính xác suất để trong xấp bài này có chưá hai bộ đôi (tức là có hai con
thuộc một bộ, hai con thuộc bộ thứ hai và một con thứ 5 thuộc bộ khác).
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi sản phẩm hay mỗi kết quả của phép thử là chọn 5 quân bài trong 52
quân. Vậy có C525 kết quả.
Gọi A là biến cố chọn được 5 quân có chưá hai bộ đôi. Mỗi kết quả thuận
lơị cho A hay một sản phẩm đạt yêu cầu là chọn được 5 quân ở ba bộ trong đó
một bộ một quân, hai bộ khác mỗi bộ một đôi. Từ đó ta suy ra cách để tạo ra xấp
bài trên là như sau:
Cách 1. Trước hết ta chọn 3 bộ trong 13 bộ, số cách chọn là C133 . Tiếp theo ta
chọn 1 bộ trong 3 bộ số cách chọn là C31 , trong bộ này ta chọn một quân, số cách
chọn là 4. Tiếp theo hai bộ còn lại mỗi bộ chon 2 quân, số cách chọn 2 quân mỗi
bộ là C42 . Vậy có tất cả C133 .C31.4.C42 .C42  123552 cách chọn được xấp bài 5 quân có
chưá hai bộ đôi.
123552

198

123552

198

123552

198

vậy xác suất cần tìm là P( A)  C 5  4165 .
52
Cách 2. Trước hết ta chọn 1 bộ trong 13 bộ, số cách chọn là 13 . Trong bộ vưà
chọn ra ta chọn lấy một cây số cách chọn là 4. Tiếp theo ta chọn 2 bộ trong 12
bộ còn lại số cách chọn là C122 . Trong 2 bộ này mỗi bộ chon 2 quân, số cách chọn
2 quân mỗi bộ là C42 . Vậy có tất cả 13.4.C122 .C42 .C42  123552 cách chọn được xấp bài
5 quân có chưá hai bộ đôi.
vậy xác suất cần tìm là P( A)  C 5  4165 .
52
Cách 3. Trước hết ta chọn 2 bộ đôi trong 13 bộ, số cách chọn là C132 . Trong hai
bộ vưà chọn ra ta chọn lấy mỗi bộ 2 quân, số cách chọn hai quân mỗi bộ là C42 .
Lúc này còn 44 quân bài ta chọn lấy một quân. Vậy có tất cả
C132 .C42 .C42 .44  123552 cách chọn được xấp bài 5 quân có chưá hai bộ đôi.
vậy xác suất cần tìm là P( A)  C 5  4165 .
52
Bài toán 13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số tự nhiên
có 4 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập được. Tính xác suất để:
a) Số được chọn là số chẵn nhỏ hơn 2015.
b) Số được chọn là số chẵn nhỏ hơn 2015 và có các chữ số khác nhau.
Hướng dẫn học sinh phân tích:

Mỗi sản phẩm là một số tự nhiên có 4 chữ số dạng abcd .
Nguyên liệu tạo ra sản phẩm là các chứ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Công việc tạo
ra số dạng abcd gồm bốn công đoạn:
Chữ số a có 6 cách chọn vì a khác 0, mỗi chữ số còn lại đều có 7 cách
chọn nên theo quy tắc nhân ta có thể lập được tất cả 6.73 số có bốn chữ số.
14


a) Gọi A là biến cố chọn được số chẵn nhỏ hơn 2015.
Mỗi kết quả thuận lợi của A là chọn được số dạng abcd sao cho
d � 0; 2; 4;6 , a � 1; 2 . Ta nhận thấy nếu a là chữ số 1 thì việc các chữ số b, c
khác với khi a là chữ số 2. Vì vậy tập kết quả thuận lợi được phân thành hai tập
con không giao nhau.
Trường hợp 1: a = 1 khi đó b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn, d có 4
cách chọn. Trường hợp này lập được 7.7.4 = 196 (số).
Trường hợp 2: a = 2 khi đó b là 0, c là 0, d có 4 cách chọn. Trường hợp
này lập được 4 (số).
Trường hợp 3: a = 2 khi đó b là 0, c là 1, d có 3 cách chọn. Trường hợp
này lập được 3 (số).
Suy ra số các số chẵn nhỏ hơn 2015 là: 203 (số)
Vậy xác suất chọn được số chẵn nhỏ hơn 2015 là P( A) 

203
29

.
2058 294

b) Gọi B là biến cố chọn được số chẵn nhỏ hơn 2015 có các chữ số khác nhau.
Mỗi kết quả thuận lợi của A là chọn được số dạng abcd sao cho

d � 0; 2; 4;6 , a � 1; 2 , a, b, c, d đôi một khác nhau. Ta nhận thấy nếu a là chữ số
1 thì việc chọn các chữ số b, c, d khác với khi a là chữ số 2. Vì vậy tập kết quả
thuận lợi được phân thành hai tập con không giao nhau.
Trường hợp 1: a = 1 khi đó d có 4 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4
cách chọn. Trường hợp này lập được 4.5.4 = 80 (số).
Trường hợp 2: a = 2 khi đó b là 0, c là 1, d là 4. Trường hợp này lập được
1 (số).
Suy ra số các số chẵn nhỏ hơn 2015 có các chữ số khác nhau là: 81 (số)
Vậy xác suất chọn được số chẵn nhỏ hơn 2015 có các chữ số khác nhau là
P ( A) 

81
27

.
2058 686

Bài toán 14. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 người ta lập tất cả các số tự
nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập được. Tính xác suất để:
a) Số được chọn là số chẵn có các chữ số đôi một khác nhau.
b) Số được chọn là số lẻ nhỏ hơn 600.000 và có các chữ số khác nhau.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi sản phẩm là một số tự nhiên có 6 chữ số dạng abcdef . Công việc tạo
ra sản phẩn là việc lập số tự nhiên dạng abcdef .
Nguyên liệu tạo ra sản phẩm là các chứ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Công
việc tạo ra số dạng abcdef gồm sáu công đoạn:
Chữ số a có 9 cách chọn vì a khác 0, năm chữ số còn lại đều có 10 cách
chọn nên theo quy tắc nhân ta có thể lập được tất cả 9.105 số có sáu chữ số.
a) Gọi A là biến cố chọn được số chẵn có các chữ số đôi một khác nhau.
Mỗi kết quả thuận lợi của A là chọn được số dạng abcdef sao cho

f � 0; 2; 4;6;8 , a �0 hay a � 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 và a, b, c ,d, e, f đôi một khác
nhau. Ta nhận thấy nếu f là chữ số 0 thì a có 9 cách chọn còn nếu f khác chữ số

15


0 thì a có 8 cách chọn. Vì vậy tập kết quả thuận lợi được phân thành hai tập con
không giao nhau.
Trường hợp 1: f = 0 khi đó a có 9 cách chọn, b có 8 cách chọn, c có 7 cách
chọn, d có 6 cách chọn, e có 5 cách chọn. Trường hợp này lập được 9.8.7.6.5 =
15120
Trường hợp 2: f �0 khi đó f có 4 cách chọn, a có 8 cách chọn, b có 8
cách chọn, c có 7 cách chọn, d có 6 cách chọn, e có 5 cách chọn. Trường hợp
này lập được 4.8.8.7.6.5 = 53760
Suy ra số các số chẵn có các chữ số khác nhau đôi một là: 68880
Vậy xác suất chọn được số chẵn có các chữ số đôi một khác nhau là
P ( A) 

68880 287

.
9.105 3750

b) Gọi B là biến cố số được chọn là số lẻ nhỏ hơn 600.000 có các chữ số khác
nhau.
Mỗi kết quả thuận lợi của B là chọn được số dạng abcdef sao cho
a � 1; 2;3; 4;5 , f � 1;3;5;7;9 và a, b, c ,d, e, f đôi một khác nhau. Ta nhận thấy
nếu f � 1;3;5 thì a có 4 cách chọn còn nếu f � 7;9 thì a có 5 cách chọn. Vì
vậy tập kết quả thuận lợi được phân thành hai tập con không giao nhau.
Trường hợp 1: f � 1;3;5 khi đó f có 3 cách chọn, a có 4 cách chọn, b có 8

cách chọn, c có 7 cách chọn, d có 6 cách chọn, e có 5 cách chọn. Trường hợp
này chọn được 3.4.8.7.6.5 = 20160
Trường hợp 2: f � 7;9 khi đó f có 2 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 8
cách chọn, c có 7 cách chọn, d có 6 cách chọn, e có 5 cách chọn. Trường hợp
này chọn được 2.5.8.7.6.5 = 16800
Suy ra số các số lẻ có các chữ số khác nhau đôi một và nhỏ hơn 600000
là: 20160 + 16800 = 36960
Vậy xác suất chọn được số lẻ có các chữ số khác nhau đôi một và nhỏ hơn
600000 là P( B) 

36960
77

.
5
9.10
1875

Bài toán 15. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số tự nhiên
có 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập được. Tính xác
suất để:
a) Số được chọn là số chẵn có các chữ số đôi một khác nhau.
b) Số được chọn là số chia hết cho 5 và có các chữ số khác nhau.
c) Số được chọn là số chia hết cho 25 và có các chữ số khác nhau.
d) Số được chọn là số chia hết cho 3 và có các chữ số khác nhau.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi sản phẩm là một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau dạng
abcd . Công việc tạo ra sản phẩn là việc lập số tự nhiên dạng abcd sao cho các
chữ số không chọn lập lại.
Nguyên liệu tạo ra sản phẩm là các chứ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Công việc tạo ra số

dạng abcd gồm bốn công đoạn:

16


Chữ số a có 6 cách chọn vì a khác 0, mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại là
một chỉnh hợp chập 3 của 6 chữ số còn lại nên theo quy tắc nhân ta có thể lập
được tất cả 6.A63 số có bốn chữ số đôi một khác nhau.
a) Gọi A là biến cố chọn được số chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau.
Mỗi kết quả thuận lợi của A là chọn được số dạng abcd sao cho
d � 0; 2; 4;6 , a �0 hay a � 1; 2;3; 4;5;6 và a, b, c ,d đôi một khác nhau. Ta nhận
thấy nếu d là chữ số 0 thì a có 6 cách chọn còn nếu d khác chữ số 0 thì a có 5
cách chọn. Vì vậy tập kết quả thuận lợi được phân thành hai tập con không giao
nhau.
Trường hợp 1: d = 0 khi đó a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4
cách chọn. Trường hợp này chọn được 6.5.4 = 120 (số)
Trường hợp 2: d �0 khi đó d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 5
cách chọn, c có 4 cách chọn. Trường hợp này chọn được 3.5.5.4 = 300 (số).
Suy ra số các số chẵn có bốn chữ số khác nhau đôi một là: 120 + 300 = 420 (số)
Vậy xác suất chọn được số chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau là
P ( A) 

420 7
 .
720 12

b) Gọi B là biến cố chọn được số chia hết cho 5 có bốn chữ số đôi một khác
nhau.
Mỗi kết quả thuận lợi của B là chọn được số dạng abcd sao cho d � 0;5 ,
a � 1; 2;3; 4;5;6 và a, b, c ,d đôi một khác nhau. Ta nhận thấy nếu d là chữ số 0

thì a có 6 cách chọn còn nếu d là chữ số 5 thì a có 5 cách chọn. Vì vậy tập kết
quả thuận lợi được phân thành hai tập con không giao nhau.
Trường hợp 1: d = 0 khi đó a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4
cách chọn. Trường hợp này chọn được 6.5.4 = 120 (số)
Trường hợp 2: d = 5 khi đó a có 5 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4
cách chọn. Trường hợp này chọn được 5.5.4 = 100 (số)
Suy ra số các số chia hết cho 5 có bốn chữ số khác nhau đôi một là:
120 + 100 = 220 (số)
Vậy xác suất chọn được số chia hết cho 5 có bốn chữ số đôi một khác
nhau là P( B) 

220 11

.
720 36

c) Gọi C là biến cố số được chọn chia hết cho 25 có các chữ số đôi một khác
nhau.
Mỗi kết quả thuận lợi của B là chọn được số dạng abcd sao cho hai chữ số
cd là 25, 50.
Trường hợp cd là 25 thì a khác c, d va 0 nên a có 4 cách chọn, b khác c, d
và a nên b có 4 cách chọn. Trường hợp này có 16 (số).
Trường hợp cd là 50 thì a khác c, d nên a có 5 cách chọn, b khác c, d và a
nên b có 4 cách chọn. Trường hợp này có 20 (số).
Suy ra số các số chia hết cho 25 có bốn chữ số khác nhau đôi một là: 36 (số).
Vậy xác suất số được chọn chia hết cho 25 là: P(C ) 

36
1


.
720 20

17


d) Gọi D là biến cố số được chọn là số chia hết cho 3 và có các chữ số khác
nhau.
Ta biết rằng mỗi số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3
nên trước hết ta cần xác định số tập con gồm 4 chữ số chia hết cho 3. Tập các
chữ số chia hết cho 3 là E   0;3;6 , tập các chữ số chia 3 dư 1 là F   1; 4 và tập
các chữ số chia 3 dư 2 là G   2;5 . Chọn từ ba tập hợp đó ra 4 phần tử để được
một tập có 4 phần tử là 4 chữ số có tổng chia hết cho 3 nên hai phần tử được
chọn từ E, một phần tử được chọn từ F, một phần tử được chọn từ G hoặc hai
phần tử được chọn từ F và hai phần tử được chọn từ G nên có tất cả 3.2.2 + 1 =
13 tập. Trong các tập đó có 8 tập có phần tử 0 và 5 tập các phần tử đều khác 0.
Mỗi tập có phần tử 0 lập được 3.3.2.1  18 (số), mỗi tập có các phàn tử
khác 0 lập được 4! = 24 (số), suy ra lập được tất cả 8.18  5.24  264 (số).
Vậy xác suất số được chọn chia hết cho 3 là P( D) 

264 11

.
720 30

Bài toán 16. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 người ta lập tất cả các số tự nhiên có 7
chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập được. Tính xác suất để số được chọn có
chữ số 1 xuất hiện ba lần các chữ số còn lại có mặt một lần.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 người ta lập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số

tương đương với bỏ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 vào 7 ô trống sau
Ô đầu tiên có 4 cách chọn số các ô còn lại đều có 5 cách chọn số. Nên số
các số lập được là 4.56 = 62500(số).
Để tạo ra số có 7 cữ số mà chữ số 1 xuất hiện ba lần các chữ số còn lại có
mặt một lần công việc đó ttương đương với bỏ 7 chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4 vào 7 ô
trống. Chữ số 0 có 6 cách bỏ, chọn 3 ô trong 6 ô còn lại số cácg chọn là C63 , mỗi
cách chọn 3 ô ta có một cách bỏ ba chữ số 1, ba ô còn lại bỏ ba chữ số 2, 3, 4 có
3! cách bỏ. Vậy số các số 7 cữ số mà chữ số 1 xuất hiện ba lần các chữ số còn
lại có mặt một lần là 6.C63 .3!  720 (số) .Suy ra xác suất cần tìm là
P

720
36

62500 3125

Bài toán 17. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 người ta lập tất cả các số tự
nhiên có 9 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập được. Tính xác
suất để số được chọn có mặt 4 chữ số lẻ và chữ số 0 nằm giữa hai chữ số lẻ.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Số các số có 9 chữ số phân biệt là 9.9.8.7.6.5.4.3.2  9.9! (số)
Việc tạo ra số tự nhiên có 9 chữ số trong đó có mặt 4 chữ số lẻ và chữ số 0
nằm giữa hai chữ số lẻ tương đương với bỏ năm chữ số chẵn và bốn chữ số lẻ
vào 9 ô trống sau sao cho chữ số 0 nằm giữa hai chữ số lẻ.
Vì chỉ có 4 chữ số lẻ nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Không có mặt chữ số 1. Khi đó chữ chữ số 0 có 7 cách chọn ô để
bỏ, có 4 cách bỏ số lẻ vào ô liền trước và 3 cách bỏ chữ số lẻ vào ô liền sau ô có
18

chữ số 0, sáu ô còn lại có 6! cách bỏ 6 chữ số còn lại. Trường hợp này lập được
7.4.3.6! (số).
Tương tự cho trường hợp không có chữ số 3, 5, 7, 9. Có 5 trường hợp như vậy,
nên có thể lập được tất cả 5.7.4.3.6! (số). Suy ra xác suất cần tìm là
P

5.7.4.3.6! 5

.
9.9!
54

Bài toán 18. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 người ta lập tất cả các số tự
nhiên có 7 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập được. Tính xác
suất để số được chọn có mặt chữ số 1 và chữ số 2 không đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Số các số có 7 chữ số phân biệt là 9. A96  544320 (số)
Việc tạo ra số tự nhiên có 7 chữ số trong đó có mặt chữ số 1 và chữ số 2
không đứng cạnh nhau tương đương với bỏ 7 chữ số vào 7 ô trống sau sao cho
chữ số 1 và chữ số 2 luôn có mặt và không đứng cạnh nhau.
Số cách bỏ hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau là 30 cách. Trong đó có 10
cách là ô đầu tiên có 1 hoặc 2
Trường hợp 1. Ô đầu tiên có 1 hoặc 2 thì số cách bỏ vào 5 ô còn lại là A85 .
Trường hợp này có 10.A85 (số).
Trường hợp 2. Ô đầu tiên không có 1 và 2 thì ô đầu tiên có 7 cách bỏ và
số cách bỏ vào 4 ô còn lại là A74 . Trường hợp này có 20.7.A74 (số).
Suy ra xác suất cần tìm là P 

10. A85  20.7. A74 184800 55



.
9. A96
544320 162

Bài toán 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 người ta lập tất cả các số tự nhiên có 4
chữ số phân biệt.
a) Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập được. Tính xác suất để số được chọn
là số chẵn và luôn có mặt chữ số 1.
b) Chọn ngẫu nhiên hai số vưà lập được. Tính xác suất để trong hai số
được chọn có ít nhất một số lớn hơn 2015.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, lập được từ
các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ta có n( S )  5.5.4.3  300 (số).
a) Gọi A là biến cố số được chọn là số chẵn và luôn có mặt chữ số 1.
Vơí abcd �S , abcd chẵn và luôn có mặt chữ số 1, khi đó ta phân tập hợp
số loại này thành các tập hợp số sau:
Loại số mà a  1 thì d có các trường hợp là 0, 2, 4 và số trường hợp của b
và c là A42 . Số các số loại này là 3. A42  36 (số).
Loại số mà b  1 , d  0 thì số trường hợp của a và c là A42 . Số các số loại
này là 12 (số).
Loại số mà b  1 , d �0 thì d có 2 trường hợp, số trường hợp của a và c là
3.3  9 . Số các số loại này là 18 (số).
Tương tự vơí loại số có c  1 có 12  18  30 (số).

19


Vậy có tất cả 36  30  30  96 (số). Suy ra xác suất cần tìm là P( A) 

96
8

.
300 25

2
b) Số cách lấy hai số thuộc S là C300
.
Gọi B là biến cố hai số được chọn có ít nhất một số lớn hơn 2015. Biến cố
đối của B là B cả hai số được chọn đều nhỏ hơn hoặc bằng 2015.
Số abcd �2015 , khi đó a  1 hoặc a  2 .
Trường hợp a  1 khi đó số trường hợp của ba chữ số b, c, d là A53 . Số các
số loại này là 60 (số).
Trường hợp a  2 có ba số là 2013, 2014, 2015 .
Nên có tất cả 63 (số) có bốn chữ số đôi một khác nhau không lớn hơn 2015.
Suy ra C632 cách lấy được hai số đều nhỏ hơn hoặc bằng 2015.

Vậy P( B)  1  P( B)  1 

C632
42897

.
2
C300 44850

Bài toán 20: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau
được chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S. Tính
xác suất để lấy được một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia

hết cho 11.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Không gian mẫu là S. Số phần tử của S là n( S )  A94  3024.
Gọi số tự nhiên thuộc S có dạng abcd và A là tập các số thuộc S chia hết cho 11
và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11.
Vì abcd  1000a  100b  10c  d  1001a  99b  11c  (a  c)  (b  d )
nên abcd chia hết cho 11 khi b  d  (a  c) chia hết cho 11
Từ giả thiết a  b  c  d chia hết cho 11 suy ra a  c, b  d cùng chi hết cho 11.
Các cặp có tổng chi hết cho 11 là (2;9), (3;8), (4;7), (5;6).
Nên số các số abcd thuộc A là n( A)  4 �3 �2!�2!  48
Vậy P( A) 

48
1
 .
3024 63

Bài toán 21: Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ " THANH HOA'' thành
một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Số cách xếp khác nhau 8 chữ cái trong cụm từ " THANH HOA'' có 3 cữ H, 2
chữ A thành một hàng ngang là n() 

8!
 3360 .
3!.2!

Gọi A là biến cố " có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau" khi đó có hai trường
hợp:
- Có 3 chữ cái H đứng cạnh nhau số cách xếp 3 chữ H là 6, nên số cách xếp 8

chữ cái có 3 chữ H cạnh nhau là 6 �C52 �3!  360 .
- Có đúng 2 chữ cái H đứng cạnh nhau có hai trường hợp: khi 2 chữ cái H nằm
hai vị trí đầu (hoặc cuối) có 5 cách xếp chữ H còn lai khi 2 chữ cái H nằm ở vị
trí giữa thì có 4 cách xếp chữ Cái H còn lại nên số cách xếp 8 chữ cái có đúng 2
chữ H cạnh nhau là (5 �2  4 �5) �C52 �3!  1800 .

20


Vậy xác suất để có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau là P( A) 

360  1800 9

3360
14

Bài toán 22: Một lớp học có 42 học sinh xếp thành một vòng tròn chọn ngẫu
nhiên ra 3 học sinh để tham gia vào một trò chơi. Tính xác suất để trong 3 học
sinh được chọn không có hai học sinh đứng kề nhau.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 3 học sinh tùy ý bằng
3
C42
 11480 .
Số cách chọn 3 học sinh có ít nhất hai học sinh đứng cạnh nhau có hai trường
hợp có đúng 2 học sinh cạnh nhau và 3 học sinh cạnh nhau là 42 �38  42  1638
Suy ra số cách chọn 3 học sinh không có 2 học sinh cạnh nhau là
11480  1638  9842 .
Vây xác suất cần tìm là P 

9842 703

.
11480 820

Bài toán 23: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi P
là tích của ba số ở ba lần tung (mỗi số là số chấm trên mặt xuất hiện ở mỗi lần
tung), tính xác suất sao cho P không chia hết cho 6.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
TH1: Tích ba số ở ba lần gieo không hia hết cho 2 nên được chọn từ tập  1,3,5
có 3.3.3  27 khả năng.
TH2: Tích ba số ở ba lần gieo không hia hết cho 3 nên được chọn từ tập  1, 2, 4,5
có 4.4.4  64 khả năng.
TH3: Tích ba số ở ba lần gieo không hia hết cho cả 2 và 3 nên được chọn từ tập
 1,5 có 2.2.2  8 khả năng.
Do đó tích ba số ở ba lần gieo không chia hết cho 6 là 27  64  8  83
Suy ra P 

83 83

.
63 216

Bài toán 24: Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau đôi một.
Lấy ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để lấy được số có chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải và chứ số 7 luôn đứng trước chữ
sô 6.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Số các số thuộc S là n()  9 �9!
Gọi A là tập tất cả các số của S có chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 được xếp theo thứ tự

tăng dần từ trái qua phải và chứ số 7 luôn đứng trước chữ sô 6.
Cách lập các số trong A là bỏ 10 chữ số khác nhau vào 10 sau
Chọn 3 ô bỏ 3 chữ số 0, 8, 9 kể cả chữ số 0 nằm ô đầu tiên là C103 �3! cách
Chọn 1 ô trong 6 ô trống (trừ ô trống sau cùng bên phải) bỏ chữ số 7 có 6 cách
Các ô còn lại có một cách bỏ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Trường hợp này có C103 �3!�6  4320 ( số) .
Trường hợp chữ số 0 nằm ô đầu có C92 �2!�6  432 (số).

21


Suy ra tập A có tất cả 4320  432  3888 (số).
Vầy xác suất lấy được số có chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 được xếp theo thứ tự tăng dần
từ trái qua phải và chứ số 7 luôn đứng trước chữ sô 6 là P 

3888
1

.
9 �9! 840

Bài toán 25: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 11A, 3 học sinh
lớp 11B và 5 học sinh lớp 11C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có
học sinh của cùng một lớp đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Số phần tử của không gian mẫu là: n()  10!
Gọi A là biến cố " không có học sinh của cùng một lớp đứng cạnh nhau" để tìm
số kết quả của A ta tiến hành các bước:
Bước 1: Xếp 5 học sinh lớp 11C thành một dãy có 5! cách xếp.
Khi đó 5 học sinh của lớp 11C tạo ra 6 khoảng trống được đánh số từ 1 đến 6

như sau:
1C2C3C4C5C6
Bước 2: Xếp 5 học sinh của hai lớp 11A và 11B vào các khoảng trống sao cho
không có học sinh của cùng một lớp đứng cạnh nhau xảy ra hai trường hợp:
Trường hơp1: Xếp vào 5 vị trí 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 2, 3, 4, 5, 6 có 2 �5!  240 cách.
Trường hợp 2: Xếp vào 5 học sinh vào 4 vị trí trong đó có 1 vị trí hai học sinh
gồm 1 học sinh lớp 11A và 1 học sinh lớp 11B , 3 vị trí còn lại mỗi vị trí xếp 1
học sinh
+ Có 4 cách chọn 1 vị trí xếp hai học sinh
+ Có 2 �3 cách chọn cặp hai học sinh 1 học sinh lớp 11A và 1 học sinh lớp 11B.
Suy ra có (4 �2 �3) �2!  48 cách xếp hai học sinh, 1 học sinh lớp 11A và 1 học
sinh lớp 11B vào 1 vị trí trong 4 vị trí.
+ Có 3! cách xếp 3 học sinh vào 3 vị trí còn lại
Do đó trường hợp này có 48 �3!  288 cách xếp.
Suy ra tổng số cách xếp là n(A )  5!�(240  288)  63360 cách xếp.
n ( )

63360

11

A
Vậy xác suất cần tìm là P( A)  n()  10!  630 .

2.4. Hiệu quả sau khi thực hiện sáng kiên.
Trên đây là một vài phương pháp phân tích giải các bài toán xác xuất mà
tôi đã nghiên cứu và áp dụng vào thực tế giảng dạy ở lớp 11G, 11D và ôn tập
cho học sinh cuối khóa năm học 2017-2018 và 2018-2019 tại trường THPT
Thiệu Hóa.
Trước khi dạy các phương pháp trên tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm

tra và sau khi giảng dạy các phương pháp này tôi tiếp tục khảo sát được kết quả
như sau:
Điểm
Điểm dưới 5 Điểm 5;6
Điểm 7;8
Điểm 9;10
Lớp
11D - lần 1
37%
52,5%
10,5%
0%
11D – lần 2
0%
8%
54 %
38%

22


Điểm
Lớp
11G - lần 1
11G - lần 2

Điểm dưới 5
25%
0%

Điểm 5;6
37 %
3%

Điểm 7;8
30 %
51 %

Điểm 9;10
8%
46%

Đây là một kết quả đáng mừng, thể hiện rằng học sinh đã biết phân tích bài toán
xác suất và vận các quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để giải quyết bài
toán xác suất tốt hơn. Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tôi có trao đổi với
đồng nghiệp và được đồng nghiệp góp ý, đánh giá sáng kiến có tính vận dụng
thực tiễn cao. Sáng kiến của tôi là một nội dung bổ ích trong sinh hoạt chuyên
môn của tổ và các đồng nghiệp đã đưa vào áp dụng cho kết quả tốt.

23


PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trong thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh nắm vững và sâu
phần xác suất chúng ta cần giúp học sinh để các em nắm được:
Bước 1: Hệ thống hóa các kiến thức các khái niệm cơ bản như: không gian
mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các quy tắc cộng
và quy tắc nhân xác suất
Bước 2: Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích tìm lời giải các bài toán điển

hình vể các dạng toán: Đồng xu, con xúc xắc, hộp đựng thẻ, hộp đựng cầu, vé
số, xạ thủ bắn mục tiêu, bóng đèn, ...
Bước 3: Giúp các em rèn luyện kĩ năng phân tích và vận dụng các quy tắc đếm
cơ bản và các quy tắc tính xác suất cho học sinh từ việc phân tích tìm lơì giải
cho các bài toán tổng hợp và nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát
triển, mở rộng bài toán.
Sáng kiến của tôi tuy chỉ đề cập một vấn đề của đại số lớp 11, nhưng nó
lại là vấn đề khá phổ biến trong các đề ôn luyện thi THPT quốc gia và là vấn đề
còn gây khó khăn cho nhiều học sinh. Chính vì vậy đề tài của tôi được đồng
nghiệp đánh giá cao và đưa vào áp dụng giảng dạy.
3.2. Giải pháp đề nghị :
Trong chương trình toán phổ thông, bài toán xác suất là bài toán mới và
bắt đầu học ở lớp 11 Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán
này. Để giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết
vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống
khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:
1. Hệ thống hóa khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp
các kết quả thuận lợi của biến cố, công thức xác suất cổ điển , giải thích thông
qua các ví dụ từ mô hình cụ thể đến các mô hình trừu tượng. Sau đó hướng dẫn

24


học sinh tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng các quy tắc đếm cơ bản
công thức xác suất cổ điển.
2. Nêu các quy tắc xác suất , hướng dẫn học sinh sử dụng các quy tắc này
để tính xác suất trong một số ví dụ điển hình, từ đó giúp học sinh rút ra nhận xét
về cách sử dụng các quy tắc này một cách linh hoạt hợp lí trong từng trường
hợp cụ thể.
3. Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài

tập tổng hợp và nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở
rộng bài toán.
Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi qua quá trình giảng dạy các bài toán
xác suất ở lớp 11 THPT và hướng dẫn học sinh cuối khóa ôn tập. Rất mong nhận
được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em học sinh. Xin chân thành cảm ơn.
Đề tài tôi trình bày ở trên là ý tưởng hình thành trong quá trình giảng dạy và
trải nghiệm thực tế qua kết quả học tập của học sinh, tôi cam đoan là sáng kiến
kinh nghiệm này do cá nhân tự nghiên cứu. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm
Thiệu Hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2019
Tác giả

Lê Văn Thượng
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
CHỦ TỊCH

25