Một số giải pháp giúp học sinh 12 phát huy khả năng giải các dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn trong kỳ thi THPT quốc gia

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Các phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG:
1. Cơ sở lý luận
1.1. Nguyên hàm
1.2. Tích phân
2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3. Giải pháp giải quyết vấn đề
Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức
Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
5
5
5
8

Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng
U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng
f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
Một số dạng khác
Bài tập vận dụng
4. Kết quả thực hiện
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân
4.2. Triển khai trước tổ bộ môn
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị

9
11
15
17
18
18
19
19
19
20

I.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
1


Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò r ất

quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong
quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp h ọc sinh n ắm
được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ x ảo, t ừ đó t ạo
được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và h ọc cho chúng
ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết ,học sinh chưa hình thành
được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và đặc biệt t ừ năm h ọc
2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi m ới trong kỳ thi Trung
học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi t ừ hình
thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên
nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và h ọc sinh trong vi ệc ôn
luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số kĩ năng m ới mà
khi thi tự luận chưa được khai thác . Chẳng h ạn, tr ước đây thi t ự lu ận khi
dạy phần tích phân giáo viên chỉ tập trung h ướng d ẫn cách h ọc sinh v ận
dụng các phương pháp tính tích phân để tính các tích phân. Ví dụ, tính các
tích phân sau:
a.
b.
c.
Khi thi tự luận gặp các bài toán này học sinh phải trình bày đ ược các b ước
để dẫn đến kết quả đúng . Nhưng khi thay đổi hình th ức thi tr ắc nghi ệm,
với những bài toán kiểu như thế này thì học sinh chỉ cần sử dụng máy tính
cầm tay hoàn toàn có thể chọn được một đáp án đúng mà không cần ph ải
biết cách tìm tích phân đó như thế nào. Đó chính là lý do quan tr ọng nh ất
mà người ra đề thi phải thay đổi hình thức ra đề để hạn chế tối đa việc s ử
dụng máy tính vào việc giải quyết các bài toán. Việc sử dụng máy tính cầm
tay chỉ hỗ trợ một phần nào đó thôi, quan trọng các e v ẫn phải n ắm đ ược
bản chất của bài toán thì mới làm được. Vì vậy hệ thống bài tập tích phân
liên quan đến hàm ẩn gần như còn mới và lạ đối v ới c ả giáo viên và h ọc
sinh. Bằng những kinh nghiệm giảng dạy trên lớp và dạy bồi dưỡng tôi đã
rút ra cho mình một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn . Đó

chính là lý do tôi đưa ra đề tài "
2.Mục đích nghiên cứu:
Thông qua đề tài này giúp cho người đọc, đặc biệt là h ọc sinh nhận thấy
được có một số bài toán về tích phân không thể dùng máy tính đ ể chọn
2


được đáp án đúng. Từ đó giúp các em biết cách nhận biết và giải quy ết
một số bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn một cách nhanh chóng và
hiệu quả cao trong các kì thi đặc biệt là trong các kì thi THPTQG ở các năm
sau.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tập trung vận dụng lý thuy ết v ề nguyên
hàm và tích phân trong SGK Giải tích 12 để giải quyết một số dạng bài tập
về tích phân có liên quan đến hàm ẩn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết, trên cơ sở đó phân dạng các bài t ập
tích phân liên quan đến hàm ẩn. Giúp học sinh nhận dạng và gi ải quy ết bài
toán một cách hiệu quả nhất.
5.Các phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lý thuy ết và th ực nghiệm
vào các dạng bài tập được sắp xếp và phân chia một cách h ợp lý.
II. NỘI DUNG :
1. Cơ sở lý luận:
1.1. Nguyên hàm:
1.Định nghĩa:
+) F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K nếu F’(x) = f(x),
+) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K thì F(x) + C (C là
một hằng số bất kì) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và đ ược kí
hiệu:

2. Tính chất:
+)
+)
+)
+) mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
3


3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm:
a. Phương pháp đổi biến số:

b. Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Hay
1.2. Tích phân:
1. Định nghĩa:

( Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b])
2. Tính chất:
+)
+) ( k là hằng số)
+)
+)
+)
3. Các phương pháp tính tích phân:
a. Phương pháp đổi biến số:

4

b. Phương pháp tính tích phân từng phần:

Hay
2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Phần kiến thức về tích phân là một nội dung không th ể thiếu trong c ấu
trúc đề thi THPTQG. Năm học 2016-2017 là năm đầu tiên thay đổi hình
thức thi trắc nghiệm, nhiều bài toán tích phân học sinh có th ể dùng máy
tính để chọn được được đáp án đúng mà không cần biết cách giải nh ư th ế
nào. Nắm được khe hở đó từ năm 2017-2018 người ra đề thay đ ổi cách
thức ra bài toán hạn chế việc sử dung máy tính chọn đáp án đúng. Vì v ậy
trong các đề sau này xuất hiện một số bài tập về tích phân liên quan đ ến
hàm ẩn,đây là một dạng bài tập mới lạ đối với các em nên các em sẽ th ấy
bở ngỡ và khó khăn. Chính vì vậy đề tài này được đ ưa ra nh ằm giúp cho
học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết một cách hiệu quả các d ạng bài
tập này.
3.Giải pháp để giải quyết vấn đề:
Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức
Phương pháp:
Nếu n = 1: Ta có
Nếu n > 1: Ta có :
Ví dụ 1:
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, thỏa mãn các đi ều ki ện:
. Tính f(ln2)
A.

B.

C.

D.

Giải:
Từ
Tại x = 0 ta có:
Tại x = ln2: . Vậy ta chọn đáp án D.
5


Ví dụ 2:
Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số (C),xác định và liên tục trên R, thỏa mãn: .
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ th ị hàm số
(C).
A. y = 6x+ 30

B. y = -6x + 30

C. y = 36x - 30

D. y = -36x + 42

Giải:

Tại x = 0:
Tại x = 1: f(1) = 6 và f’(1) = 36
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: y = 36x - 30
Vậy chọn đáp án: C
Ví dụ 3:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn:

.
Tính f(1) + f(2) + f(3)
A.

B.

C.

D.

Giải:

Tại x = 2:
Tại x = 1:
Tại x = 3:
Suy ra :
Vậy ta chọn đáp án: D
Ví dụ 4:
Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
.
6


Tổng: là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng:
A.

B.

C. a + b = 1010

D. b - a = 3029

Giải

Tại x = 0:
Tại x = 1:
Tại x = 2:
Tại x = 3:
.........
Tại x = 2018:

Suy ra: b - a = 3029
Vậy chọn đáp án : D
Ví dụ 5:
Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên , thỏa mãn: . M ệnh đ ề
nào sau đây đúng:
A. 4
B. 2
Giải:

Tại x = 1:
Tại x = 5:
Vậy chọn đáp án: C
Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức
Phương pháp: Lấy nguyên hàm hai vế ta đươc:
7

Ví dụ 1:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và th ỏa mãn đi ều ki ện:
f’(x).f(x) = và f(0) = 2. Tính
A.

B.

C.

D.

Giải:
Ta có:
Mà f(0) = 2
Vậy .
Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và th ỏa mãn điều ki ện: Khi
đó phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm.
A. 2

B. 3

C.7

D. 1

Giải: Ta có:

Mặt khác: f(0) = 2 nên C= 128
Xét pt:

Suy ra pt có 2 nghiệm nên chọn đáp án A
Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng
U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
Phương pháp: từ gt ta có (U(x).f(x))’= h(x)
Lấy đạo hàm hai vế ta được: U(x).f(x) =
Ví dụ 1:

8


Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên R và th ỏa mãn:
(x+1).f’(x)+f(x) = - 2x , f(1) = -1. Tính f(2)
A.2

B.

C. 3

D.

Giải: Từ gt ta có
((x+1).f(x))’ =
Mà f(1) = -1 nên C = 2.f(1) = -2
Tại x = 2 ta có: 3.f(2) = 2 nên f(2) = 2/3
Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) xác định, có đạo hàm trên (0;+∞) va th ỏa mãn: , f(1) =

2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x = 2 là:
A. y = 16x + 20

B. y = -16x+ 20

C. y = -16x -20

D. y = 16x - 20

Giải:
Từ (1)
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

Mà f(1) = 2 nên C = 0. Vậy :
Tại x = 2: f(2) = 12, f’(2) = 16 nên pttt là: y = 16(x-2)+12 hay y = 16x-20
Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, th ỏa mãn:
sinx.f’(x) + cosx.f(x) = 2x - 1 . Tính: f().
A.

B.

C.

D.

Giải:
Từ gt ta có: (sinx.f(x))’=2x - 1
9

Mặt khác với x = 0 ta có: sin0.f(0) = 0 +C suy ra C = 0
Với
Vậy chọn đáp án B
Ví dụ 4:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, th ỏa mãn:
(1) và f(0) = 2. Tính f(3)
A.

B.

C.

D.

Giải:
Từ (1) ta có:

Mặt khác : f(0) = C = 2
Tại x = 3: 10.f(3) = . Vậy chọn đáp án A
Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng
f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
Phương pháp : Nhân cả hai vế với ta được:

Ví dụ 1 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
f(x) + f’(x) = sinx, (1) và f(0) = 1. Tính:
A.
Giải:

B.

C.

D.

dễ dàng nhận thấy:

P(x) = 1
Nhân cả hai vế với ta được:
10


Tại x = 0:
Tại
Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 2 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, th ỏa mãn:
và f(1) = -1.Tính: f(3).
A.

B.

C.

D.

Giải:
Từ (1) : (2)

Nhận thấy: P(x) = -1
Nhân hai vế của (2) với ta được:

Tại x = 1:
Tại x = 3:
Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, th ỏa mãn:

Tính f(2).
A.

B.

C.

D.
11


Giải:
Từ (1) ta có: (2)
Nhận thấy :
Nhân cả hai vế của (2) với ta được:

Tại x = 0:
Tại x = 2:
Vậy chọn đáp án D.
Ví dụ 4:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên , thỏa mãn:

f’(x).cosx + sinx.f(x) = 1 , (1) và f(0) = 1. Tính:
A.

B.

C.

D.

Giải:
Từ (1) ta có: (2)
Nhận thấy:

Nhân cả hai vế của (2) với ta được:

Tại x = 0:

Vậy chọn đáp án A
12


Ví dụ 5:
Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R\{0;-1} và thỏa mãn:

Giá trị f(2) = a + b.ln3, (). Tính:
A.

B.

C.

D.

Giải:
Từ (1)
Nhận thấy:

Nhân hai vế của (2) với ta được:

Tại x = 1:
Tại x = 2:

Vậy chọn đáp án B
Một số dạng khác
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn:

Tính:
A.

B.

C.

D.

Giải:
Từ (1)
13

Tại x = 1:

Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên [4;8] và
f(x) , và thỏa mãn:
Tính: f(6).
A.

B.

C.

D.

Giải:
Ta có
Giả sử k là một số thực thỏa mãn:

Tức: (a)
Mặt khác: (b)
Từ (a) và (b) suy ra : f(6) =
Vậy chọn đáp án D.
Chú ý:

14


Bài tập vận dụng:

Câu 1(Đại học Vinh lần 2- 2018) : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên
tục trên [1;2] thỏa mãn: f(1) = 4 và .
Tính: f(2)
A. 5

B. 20

C. 10

D. 15

Câu 2(Quỳnh Lưu 1- Nghệ An - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và
liên tục trên R thỏa mãn: và f(0) = 1. Tính: f(1).
A. e

B.

C.

D.

Câu 3(Cẩm Bình - Hà Tĩnh - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và liên
tục trên R thỏa mãn: và f(1) = e. Tính:

A.

B. e

C.

D.

Câu 4(SGD Bắc Ninh) : Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạohàm t ại và
thỏa mãn: f(x) = x.(sinx + f’(x)) + cosx và

Khi đó nằm trong khoảng nào?
A. (6;7)

B. (5;6)

C. (12;13)

D. (11;12)

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đồng th ời th ỏa
mãn:

Trong đó . Tính giá trị của biểu thức: P = a + b.
A.

B.

C.

D.

Câu 6: Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm liên tục trên R và th ỏa mãn
, f(1) = cot1. Tính tích phân
I=
A. 1 - ln(cos1)

B. 0

C. 1 - cot1

D. -1

15


Câu 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], f(x) và f’(x) đ ều
nhận giá trị dương trên [0;1] thỏa mãn: f(0) = 2,

A.

B.

C.

D.

Câu 8: Cho , F(x) là một nguyên hàm của x.f’(x) thỏa mãn: F(0) = 0. Bi ết ,
thỏa mãn: tana = 3. Tính

A.

B.

C.

D. ln10

Câu 9: Cho hai số a, b thỏa mãn: F(x)= là một nguyên hàm của hàm số f(x)
và thỏa mãn: . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nh ất ?
A. a= 1, b = 4.

B. a= 1, b = -1.

C. D.
Câu 10:
Tính:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên và th ỏa mãn: .

A.

C.

B.

D.- 8.

4.Kết quả thực hiện:
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân:
Tôi đã thực hiện việc giảng dạy mảng kiến th ức này trong hai năm gần đây
với mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng m ột khóa h ọc hay các khóa
học khác nhau. Đề tài đã được thực hiện khi tôi tham gia gi ảng d ạy môn
toán của lớp 12A1 trường THPT Ngọc Lặc, trong quá trình gi ảng d ạy h ọc
sinh dễ dàng tiếp nhận kiến thức và vận dụng một cách linh hoạt . K ết qu ả
học sinh cảm thấy tự tin và hứng thú khi gặp các dạng toán này.Qua các bài

kiểm tra về phần này và các đề thi thử THPTQG nhiều em có s ự tiến bộ rõ
rệt và kết quả tốt. Cụ thể như sau:

Lớp 12A1 năm học 2018-2019 (Sỉ số 41)
G
K
TB
Y
SL %
SL %
SL %
SL

%

Kém
SL %
16


20

48,1

21

51,9

0

0

0

0

0

0

4.2. Triển khai trước tổ bộ môn:
Tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi và rút kinh nghiệm, đa số các đ ồng
nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo đ ược h ứng
thú cho học sinh, giúp các em hiểu sâu, nắm v ững và t ự tin h ơn khi đ ứng
trước các bài toán tích phân liên quan đến hàm ẩn.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán
tích phân nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành m ột hệ th ống
theo một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình gi ải
toán sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài h ọc, đ ồng th ời có
thể phát triển tư duy học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú
trong học toán.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp h ọc sinh d ễ ti ếp
thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến th ức nào cho
phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm
để từ đó làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao h ơn. .Tuy
nhiên, vẫn còn một số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá l ớn
hoặc chưa có động cơ, hứng thú trong học tập.
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn gi ải pháp đ ể giúp

phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên tr ước h ết ph ải cung
cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung c ấp cho
học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có th ể
vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra h ướng gi ải, b ắt
đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không s ợ
khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự t ự tin, gây h ứng thú
say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong t ự h ọc t ự nghiên c ứu .
17


Đề tài có thể phát triển và xây dựng thành hệ thống đề thành sách tham
khảo cho học sinh và giáo viên.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp đ ể
đề tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn .
2. Kiến nghị:
Đối với tổ chuyên môn :
Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung tích phân, đ ặc bi ệt là
các dạng bài mới lạ liên quan đến tích phân. Khuyến khích h ọc sinh xây
dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài gi ảng.
Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các h ọc
sinh bổ trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên
cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có ph ương pháp và
quy trình giải toán.
Đối với ngành giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng th ực tiễn cao,
đồng thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.
Người viết

Đào Quỳnh Giao

18