Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 4 giải một số bài toán “lãi kép” để đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia

MỤC LỤC
1. PHẦN MỞ ĐẦU…………………….................................................
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………...........................
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………........
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………...
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………….....
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………….......
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………..
2.2. Thực trạng của học sinh giải các bài toán "lãi kép" trước khi

Trang
1
1
2
2
2
3
3
3

áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………………………………………..
2.3. Các giải pháp thực hiện giải các bài toán "lãi kép" nhằm

3

giúp học sinh đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia...................
2.3.1. Kiến thức có liên quan…………………………………….
2.3.2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải…………
Bài toán 1…………………………………………………….........
Bài toán 2…………………………………………………….........
Bài toán 3…………………………………………………….........

Bài toán 4…………………………………………………….........
Bài toán 5…………………………………………………….........
Bài toán 6……………………………………………………..........
2.3.3. Bài tập áp

4
4
4
5
7
8
9
9
11

dụng……………………………………………........
2.3.4. Hiệu quả của các giải pháp giải các bài toán "lãi kép" để

12

đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia..............................................
3. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………..
3.1. Kết luận…………………………………………………..
3.2. Kiến nghị……………………………………………………
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ
ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

13
13

13

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 . LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Theo Luật giáo dục tại điều 27 có đề ra mục tiêu cho giáo dục phổ thông
là: "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí lực, thể chất, thẫm mĩ và
các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo, hình
thành nhân cách con người" [5]. Và đặc biệt trong Nghị quyết 29-NQ/TW được
hội nghị lần thứ tám Ban Chấp hành trung ương khóa XI thông qua ngày
04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện GD&ĐT, đáp ứng yêu cầu công

1


nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng Xã hội
Chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã chú trọng: " Năng lực và kĩ năng thực hành,
vận dụng kiến thức vào thực tiễn" [4], hơn nữa còn nhấn mạnh các năng lực
chuyên môn trong đó có năng lực tính toán một trong những năng lực đặc thù
của môn Toán : 'Năng lực ngôn ngữ, Năng lực tính toán, Năng lực tìm hiểu tự
nhiên và xã hội, Năng lực công nghệ, Năng lực tin học, Năng lực thẩm mỹ,
Năng lực thể chất) và các năng lực đặc biệt (năng khiếu")[4].
Việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với từng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học;
bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.
Theo công văn số 911/BGDDT- QLCL của Bộ giáo dục và đào tạo chính
thức công bố phương án thi THPT Quốc gia và xét tuyển Đại học, cao đẳng năm
học 2018. Bộ giáo dục và đào tạo cũng đã công bố đề thi minh họa, đề thi thử
nghiệm và đề thi tham khảo bộ môn Toán học. Theo phương án thi đã công bố,

bộ môn Toán học sẽ được thi bằng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, nội
dung đề thi gồm 30% chương trình lớp 11 và 70% chương trình lớp 12 hiện
hành. Đặc biệt theo cấu trúc đề thi mà bộ đã công bố thì trong đề thi đưa vào các
bài toán ứng dụng thực tế, và bài toán ‘ lãi kép’ được đề cập trong cấu trúc đề thi
này. Bài toán “ lãi kép” là bài toán khó, trước đây chỉ được đề cập trong các đề
thi học sinh giỏi, trong sách giáo khoa Giải tích 12 ban cơ bản bài toán ‘lãi kép’
được lấy làm ví dụ để đặt vấn đề làm xuất hiện hàm số mũ y = a x và hàm số
logarit [7].
Bài tập về các bài toán dạng này trong sách giáo khoa và trong sách bài
tập rất ít, không phong phú tài liệu đề cập và bàn sâu đến dạng toán ‘lãi kép’ hầu
như không có nhiều trên thị trường, vì thế học sinh khi học và làm bài tập về
dạng bài toán này rất lúng túng và làm sai nhiều.
Để giúp học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 4 giải tốt các bài
toán ‘lãi kép’ trong quá trình học và ôn tập thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài:
''Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 4 giải một số bài
toán "lãi kép" để đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia ".
1.2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học
sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ để đạt kết quả
cao trong kì thi THPT Quốc gia.
Tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài toán loại này là lúng túng và
không giải được. Giúp học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các
bài toán ‘lãi kép’.

2


Học sinh trường THPT Quảng Xương 4 là học sinh thuộc các xã nghèo
của huyện Quảng Xương vì vậy vay tiền cho con đi học, hay "vay trả góp, mua
hàng trả góp" là vấn đề quen thuộc. Vì vậy dạng bài toán này rất thực tế giúp

học sinh biết mình và gia đình đang chịu lãi xuất thực là bao nhiêu, để cùng có ý
thức hơn trong học tập và trách nhiệm với gia đình ngay từ khi còn ngồi trên ghế
nhà trường.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Là học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Quảng Xương 4 và trong
đề tài này tôi sẽ nghiên cứu các bài toán sau: Bài toán gửi ngân hàng theo thể
thức lãi suất đơn (có nghĩa là tiền lãi của kì hạn trước không được cộng vào vốn
để tính lãi cho kì hạn sau). Bài toán gửi ngân hàng theo thể thức lãi suất kép (có
nghĩa là tiền lãi của kì hạn trước được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau).
Bài toán ‘vay trả góp và mua hàng trả góp’...
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
+) Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung
đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi tham khảo của Bộ giáo dục
và đào tạo.
- Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của Sở giáo dục và đào tạo Thanh
Hóa, đề thi khảo sát chất lượng khối 12 của các Trường THPT.
+) Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung hàm số lũy thừa, hàm
số mũ và hàm số logarit
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua
các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình Giải tích 12 bài toán ‘lãi kép’ là một nội dung rất quan
trọng, bài toán được lấy làm ví dụ để xây dựng định nghĩa hàm số lũy thừa và

hàm số logarit.

3


Ngoài ra bài toán ‘lãi kép’ là bài toán rất thực tế đang diễn ra trong cuộc
sống hàng ngày đó là gửi tiền vào ngân hàng, vay tiền ngân hàng, vay trả góp,
mua hàng trả góp, vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp để học sinh giải
được các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ là hết sức cần thiết.
2.2. Thực trạng của học sinh giải các bài toán "lãi kép" trước khi áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm
- Khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’, một số học sinh lúng
túng, chưa biết cách giải, thường làm mò không có cơ sở toán học.
- Khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’, một số học sinh
thường bỏ qua, hoặc khoanh chừng
- Trong quá trình soạn giảng bài toán "lãi kép" giáo viên chưa đưa ra được hệ
thống các bài toán dạng này một cách hệ thống và đầy đủ.
2.3. Các giải pháp thực hiện giải các bài toán "lãi kép" nhằm giúp học sinh
đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia
Triển khai đề tài trong buổi sinh hoạt tổ chuyên môn để tất cả các đồng
chí giáo viên giảng dạy khối 12 trong tổ triển khai giảng dạy đồng loạt cho học
sinh khối 12 để đạt kết quả cao trong kì thi THPT quốc gia khi có các câu hỏi ra
vào bài toán "lãi kép"

(Hình ảnh triển khai chuyên đề: Các giải pháp thực hiện giải các bài toán "lãi
kép" giúp HS đạt giải cao trong kì thi THPT quốc gia)

Cách thức triển khai:
- Đầu tiên khi tiếp cận các bài toán, giáo viên giúp học sinh nắm được
phương pháp giải, biết phải sử dụng công thức nào cho phù hợp. Sau đó lập sơ

4


đồ giải, sử dụng máy tính cầm tay bấm như thế nào để ra được đúng kết quả cần
tìm.
- Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán liên quan đến bài
toán ‘lãi kép’, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về
cấp số cộng, cấp số nhân và kiến thức của hàm số lũy thừa, hàm số lôgarit. Sau
đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh thực hành vận dụng [6].
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về các
bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ sát với thực tế cuộc sống cũng như sát
với chương trình ôn tập thi trung học phổ thông quốc gia 2018.
2.3.1. Kiến thức toán có liên quan
- Các khái niệm cấp số cộng và cấp số nhân đại số và giải tích 11 [6]
- Các khái niệm hàm số mũ và hàm số logarit giải tích 12 [7]
2.3.2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
Bài toán 1 (Bài toán lãi đơn)
Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất đơn 7% một
năm. Hỏi số tiền người đó nhận được cả vốn và lãi sau 5 năm là bao nhiêu ?
(Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi )
Lời giải:
Hết năm thứ nhất người đó nhận về cả gốc và lãi là
A = 100.106 + 100.106.7% = 100.106.(1 + 1.7%) = 107.000000

- Hết năm thứ 2 người đó nhận về cả gốc và lãi là
A = 107.106 + 100.106.7% = 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7%
= 100.106.(1 + 2.7%) = 114000000

- Hết năm thứ 3 người đó nhận về cả gốc và lãi là

A = 114.106 + 100.106.7%
= 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7%
= 100.106.(1 + 3.7%) = 121000000

- Hết năm thứ 4 người đó nhận về cả gốc và lãi là
A = 121.106 + 100.106.7%
= 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7%
= 100.106.(1 + 4.7%) = 128000000

- Hết năm thứ 5 người đó nhận về cả gốc và lãi là

5


A = 128.106 + 100.106.7%
= 100.106 + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7% + 100.106.7%
= 100.106.(1 + 5.7%) = 135000000

(Một trăm ba lăm triệu đồng )
Từ ví dụ trên theo quy nạp ta có bài toán tổng quát sau:
Một người gửi vào ngân hàng a đồng, với lãi suất đơn r % một kì hạn. Hỏi
số tiền người đó nhận được cả vốn và lãi sau n ( n ∈ ¥ * ) kì hạn là bao nhiêu ?
(Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi )
Lời giải:
Ta gọi A là tổng số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được sau n kì hạn thì
A được tính bằng công thức:
A = a.(1 + n.r %)

(1)

Phân tích và khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất đơn thì có
nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước không được cộng vào vốn để tính lãi cho kì
hạn sau.
Như vậy ví dụ trên ta giải bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1) như
sau :
Lời giải
Áp dụng công thức (1) trên ta có
A = 100000000.(1 + 5.7%) = 135000000 đ

(Một trăm ba lăm triệu đồng )
Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng, với lãi suất đơn 7,2% một
năm. Hỏi người đó phải gửi bao nhiêu năm thì số tiền người đó nhận được cả
vốn và lãi là 27200000 đồng ? (Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không
thay đổi )
Lời giải
Theo công thức (1) ta có: 20.106.(1 + n.7, 2%) = 27200000 ⇒ n = 5
Vậy người đó phải gửi là 5 năm
Ví dụ: Một người đầu tư vào một công ty 80 triệu đồng, sau một năm người đó
nhận về cả vốn và lãi là 128000000 đồng. Hỏi lãi suất mỗi tháng người đó nhận
được là bao nhiêu ?

6


Lời giải
Theo công thức (1) ta có: 80.106.(1 + 12.r %) = 128000000 ⇒ r = 5
Vậy lãi suất mỗi tháng là 5%.
Bài toán 2 (Bài toán lãi kép)
Ví dụ: Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số

tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó
được lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm ( n ∈ ¥ * ), nếu trong khoảng thời gian này
không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ?
Lời giải:
Giả sử n ≥ 2 . Gọi số vốn ban đầu là a, lãi suất là r. Ta có a=1 (triệu đồng),
r=0,07.
- Sau năm thứ nhất:
Tiền lãi là L1 = a.r = 1.0, 07 = 0, 07 (triệu đồng)
Số tiền được lĩnh cả vốn và lãi là :
A1 = a + L1 = a + a.r = a (1 + r ) = 1, 07 (triệu đồng)

- Sau năm thứ hai:
Tiền lãi là L2 = A1.r = 1, 07.0, 07 = 0, 0749 (triệu đồng)
Số tiền được lĩnh cả vốn và lãi là :
A2 = A1 + L2 = a (1 + r ) + A1.r = a(1 + r ) + a (1 + r ).r = a (1 + 2r + r 2 )
= a (1 + r ) 2 = (1, 07) 2 = 1,1449 (triệu đồng)

- Tương tự, số tiền được lĩnh cả vốn và lãi sau n năm là :
An = a.(1 + r ) n = (1, 07) n (triệu đồng)

Vậy sau n năm, người đó được lĩnh (1, 07) n triệu đồng
Từ ví dụ trên theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau:
An = a.(1 + r ) n

(2)

Trong đó
Số vốn ban đầu là: a
Lãi suất là: r

7


Thời gian gửi ( kì gửi) là: n
Số tiền cả gốc và lãi trong n kì là: An
Phân tích và khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép thì có
nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Ví dụ: Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một
năm với lãi suất 7,65%/năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 5 năm ông
A thu được cả vốn và lãi là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng)?
Lời giải:
Áp dụng công thức (2) ở trên ta có:
A5 = 15.106.(1 + 7, 65%)5 = 21685000 đồng

Vậy sau 5 năm ông A thu được cả vốn và lãi là 21685000 đồng
Bài toán 3 (Bài toán mỗi kì gửi đều đặn a đồng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau n
kì số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu ? )
Ví dụ: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên
một tháng ( chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng
1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1%/
tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của
tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1) . Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền (kết
quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng ).
Lời giải
Gọi a là số tiền gửi, r là lãi suất
- Cuối tháng thứ nhất mẹ có được số tiền là : A1 = a.(1 + r )
- Cuối tháng thứ hai mẹ có được số tiền là :
A2 = [a (1 + r ) + a ](1 + r ) = a (1 + r ) 2 + a (1 + r )

-Tương tự và theo quy nạp hết tháng thứ n mẹ có số tiền là

An = a.(1 + r )

(1 + r ) n − 1
r

(3)

Áp dụng công thức (3) cho 11 kì gửi và chú ý kì 12 không đươc tính lãi ta có
A12 = 4.106.(1 + 1%)

(1 + 1%)11 − 1
+ 4.106 = 50730012, 05
1%

8


Vậy mẹ nhận được 50730000 đồng
Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép như sau : Mỗi tháng người
này tiết kiệm được một số tiền là a đồng rồi gửi vào ngân hàng theo kì hạn một
tháng với lãi suất 0,6%/tháng. Tìm a để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên
người đó có được tổng số tiền là 400 triệu đồng. (Biết rằng lãi suất không thay
đổi trong suốt thời gian gửi )
Lời giải:
Áp dụng công thức (3) ta có
A = a(1 + 0, 6%)

(1 + 0, 6%)36 − 1
= 400000000 ⇒ a ≈ 9928000
0, 6%

Như vậy người đó phải gửi vào ngân hàng mỗi tháng xấp xỉ 9928000 đồng.
Bài toán 4 (Ban đầu kì thứ nhất gửi P đồng sau đó kể từ kì thứ 2 trở đi mỗi kì
gửi đều đặn a đồng theo thể thức lãi kép và lãi suất là r. Hỏi sau n kì tổng số
tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu ? )
Ví dụ: Một người gửi gói tiết kiệm tích lũy cho con tại một ngân hàng theo thể
thức lãi kép, với số tiền tiết kiệm ban đầu là 200 triệu đồng, lãi suất 7%/năm. Từ
năm thứ 2 trở đi đúng ngày ngân hàng tính lãi người đó gửi thêm vào 20 triệu
đồng. Biết rằng người đó không rút lãi định kì hàng năm và lãi suất không thay
đổi trong suốt thời gian gửi. Hỏi sau 18 năm người đó nhận được cả gốc và lãi là
bao nhiêu ?
Lời giải:
- Sau năm thứ nhất người đó nhận được số tiền cả gốc và lãi là :
200.106.(1 + 7%) = 214 triệu đồng

- Đầu năm thứ 2 người đó gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ hai người đó
nhận được số tiền là : (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) đồng
- Đầu năm thứ 3 người đó gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ ba người đó
nhận được số tiền là :
[(214.106 + 20.106 )(1 + 7%) + 20.106 ].(1 + 7%) =
= (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) 2 + 20.106.(1 + 7%) đồng

-Tương tự, đến hết năm thứ 18 người đó nhận được
(214.106 + 20.106 )(1 + 7%)17 + 20.10 6.(1 + 7%)

(1 + 7%)16 − 1
= 1335967105 đồng
7%

9

Vậy người đó nhận được 1335967105 đồng.
Theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau:
A = ( P + P.r + a )(1 + r ) n −1 + a (1 + r )

(1 + r ) n − 2 − 1
r

(4)

Bài toán 5 (Bài toán gửi vào ngân hàng A đồng theo thể thức lãi kép, cuối mỗi
kì sau khi gửi rút ra a (A>a) đồng . Hỏi rút a bằng bao nhiêu để trong thời gian
n kì thì hết số tiền cả gốc và lãi ? )
Ví dụ: Một người học Đại học được gia đình gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng
theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính
lãi người này đến ngân hàng rút ra a đồng để chi tiêu. Hỏi mỗi tháng người này
rút ra bao nhiêu tiền để sau 5 năm số tiền vừa hết ?
Lời giải:
Theo bài ra ta có:
0 = 20.106.(1 + 0, 7%)60 − a

(1 + 0, 7%)60
⇒ a = 409367,3765 đồng
7%

Vậy người đó mỗi tháng rút ra 409367,3765 đồng
Bài toán 6 (Bài toán vay trả góp và mua hàng trả góp)
Ví dụ: Một người vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thức trả góp để
mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay người này

trả 5,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất
không thay đổi ) thì sau bao lâu người này trả hết số tiền trên ?
Lời giải
Giả sử người đó vay A đồng với lãi suất r mỗi tháng. Mỗi tháng trả a đồng
(a- Cuối tháng thứ nhất số tiền người đó còn nợ là :
N1 = A.(1 + r ) − a đồng

- Cuối tháng thứ hai số tiền người đó còn nợ là :
N 2 = N1.(1 + r ) − a = A.(1 + r ) 2 − a.(1 + r ) − 1 đồng

- Cuối tháng thứ ba số tiền người đó còn nợ là :

10


N 3 = N 2 .(1 + r ) − a = A.(1 + r )3 − a.(1 + r ) 2 − a.(1 + r ) − a đồng

- Tương tự, cuối tháng n số tiền người đó còn nợ là
N n = A.(1 + r ) n − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ... + (1 + r ) n −1 ]=A.(1+r) n − a.

(1 + r ) n − 1
đồng
r

Như vậy theo công thức trên ta có :
(1 + 0.5%) n − 1
11
300.10 .(1 + 0.5%) − 5500000.
= 0 ⇔ n = log1,005 ≈ 63,84980473

0.5%
8
6

n

Người này cần 64 tháng để trả hết nợ.
Ví dụ Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày
vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số
tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày
vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi
lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong
thời gian ông A hoàn nợ
Lời giải
A(1 + r ) n .r 100.(1 + 0, 01)3 .0, 01
(1, 01)3
=
=
Theo bài ra ta có m =
triệu đồng
(1 + r ) n − 1
(1 + 0, 01)3 − 1
(1, 01)3 − 1

Như vậy ông A mỗi lần trả cho ngân hàng là m = 34002211,15 đồng
Ví dụ: Một xe máy điện giá 10 triệu đồng được bán trả góp 11 lần (11 tháng liên
tục). Mỗi lần trả góp với số tiền là 1.000.000 đồng (lần đầu trả sau khi nhận xe
được 1 tháng). Tính lãi suất tiền hàng tháng.
Lời giải

- Tiền giá xe sau 11 tháng tăng lên thành A = 10.106.(1 + r )11
- Mỗi tháng trả được a = 1.106.

(1 + r )11 − 1
r

- Theo bài ra ta phải có 10.106.(1 + r )11 − 1.106.

(1 + r )11 − 1
= 0 ⇒ r ≈ 1, 62%
r

Vậy lãi suất hàng tháng r ≈ 1, 62%
2.3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1. Ông A gửi vào ngân hàng một số tiền là 120 triệu đồng với lãi suất định
kỳ hàng năm là 12%/năm. Nếu sau mỗi năm, ông không đến ngân hàng lấy lãi

11


thì tiền lãi sẽ cộng dồn vào vốn ban đầu. Hỏi sau đúng 12 năm kể từ ngày gửi, số
tiền lãi L ( không kể vốn) ông sẽ nhận được là bao nhiêu? ( Giả sử trong thời
gian đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi).
Bài 2. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập
vào vốn, hỏi sau bao nhiêu tháng người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu ?
Bài 3. Anh B đầu tư 200 triệu đồng vào một công ty theo thể thức lãi kép với lãi
suất 15% một năm. Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi. Hỏi sau 3 năm, số
tiền lãi của anh B là bao nhiêu ?
Bài 4. Anh A vay ngân hàng 500 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua
nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 8,5 triệu đồng và

chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau
bao lâu, anh A trả hết số tiền trên ?
Bài 5. Một sinh viên X trong thời gian học 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi
năm 12 triệu đồng với lãi suất 3%/năm (thủ tục vay một năm 1 lần vào thời điểm
đầu năm học). Khi ra trường X thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng nên
phải chịu lãi suất 8%/năm. Sau một năm thất nghiệp, sinh viên X cũng tìm được
việc làm và bắt đầu trả nợ dần. Tính số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong 4
năm đại học và một năm thất nghiệp.
Bài 6. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,5%/năm và lãi hàng năm được nhập
vào vốn. Hỏi để sau 3 năm người đó thu được cả vốn và lãi là 600 triệu đồng thì
số tiền cần gửi lúc đầu ít nhất là bao nhiêu đồng ?
Bài 7. Bà B bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng.
Cứ sau ba năm thì bà B lại được tăng lương 40%. Hỏi sau tròn 20 năm đi làm
tổng tiền lương bà B nhận được là bao nhiêu ?
Bài 8. Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở 2 ngân hàng X và Y theo phương thức lãi
kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời
gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73% một tháng
trong thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng là
27507768,13 đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông năm lần lượt gửi ở ngân
hàng X và Y là bao nhiêu ?
2.3.4. Hiệu quả của các giải pháp giải các bài toán "lãi kép" để đạt
kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia

12


- Đối với giáo viên : Đề tài này đã được triển khai tại tổ chuyên môn, và
được tất cả các đồng chí giảng dạy lớp 12 áp dụng trong ôn thi THPT Quốc gia
- Đối với học sinh: Phần đa các em không còn lúng túng khi gặp các bài
toán liên quan đến bài toán "lãi kép". Tránh được kiểu làm mò, khoanh bừa,

hoặc bỏ trống.
- Kết quả
+ Đối với các lớp chưa triển khai đề tài
Lớp Sĩ số

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9,0 - 10

6,5 – 8,0

5,0 - 6,4

3,5 - 4,9

12D 41

7 (1,7%)

14 (34 %)

15 (36,5 %) 5 (27,8 %)

0 (%)

12M 42

0 (0%)

14 (33 %)

18 (64,6 %) 10 (2,4 %)

0 (%)

12I

0 (0%)

20 (51,3 %) 12 (30,8 %) 7 (17,9 %)

0 (%)

39

Điểm
dưới 3,5

+ Đối với các lớp đã triển khai đề tài : Hướng dẫn HS giải các bài
toán “lãi kép”
Lớp Sĩ số

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9,0 - 10

6,5 - 8

5,0 - 6,4

3,5- 4,9

Điểm
dưới 3,5

5 (12 %)

0 (0%)

0 (0%)

5 (13 %)

0 (0%)

0 (0%)

5 (12,3%)

0

0 (0%)

12C 41

29
%)

(70,3 7 (17,7 %)

12H 38

22 (58 %)

12G 42

28
%)

11 (29 %)

(66,7 9 (21 %)

(0%)

+ Đối với làm đề ( Cho HS làm đề Toán thi quốc gia 2016 - 2017)
và đề thi khảo sát của một số Sở giáo dục.
Lớp Sĩ số

Số HS làm được câu có HS không làm được câu có bài toán
bài toán “lãi kép”
“lãi kép”

12C

41

40 ( 90,2 %)

1 (9,8 %)

12H

38

35 ( 92 %)

3 ( 8 %)

12G

42

40 (95 %)

2 ( 5 %)

Qua kết quả đối chứng giữa nhóm các lớp chưa triển khai hướng dẫn giải các

bài toán “lãi kép” và các nhóm lớp đã triển khai làm các bài tập và làm đề đã
cho thấy kết quả nâng lên rõ rệt.
Theo công văn 911 của Bộ giáo dục tiếp tục thi trắc nghiệm đối với bộ môn
Toán [3], cho nên các câu hỏi trong một đề thi được “rãi đều” ở các bài, cho nên

13


nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn học sinh học tập thật kĩ. Đặc biệt là soạn
thảo được hệ thống bài tập đầy đủ, theo các mức độ, để các em tự tin và chủ
động khi làm bài.
Số câu giải một số bài toán “lãi kép” trong đề thi THPT quốc gia không
nhiều, nhưng làm tốt các câu đó góp phần không nhỏ giúp học sinh đạt kết quả
cao trong kì thi quan trọng có tính chất quyết định trong cuộc đời mỗi học sinh,
đặc biệt khi chỉ cần 0,2 điểm quyết định đậu, trượt – thành, bại của mỗi học
sinh.
3. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sau khi áp dụng vào giảng dạy cho các em học sinh, đa số các em đều
thích thú học tập, hiểu và vận dụng tốt. Qua đó tôi nhận thấy các em tự tin hơn
trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến ‘lãi kép’.
3.2 Kiến nghị
Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực
phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng
kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa
học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh
được tham khảo.
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Người viết

Nguyễn Văn Đương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ đề minh họa, thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo
2. Các đề thi thử, các đề thi khảo sát chất lượng của các trường, các Sở giáo dục
trên toàn quốc

14


3. Công văn số Số: 991/BGDĐT- QLCL: Hướng dẫn thực hiện Quy chế thi
THPT quốc gia và xét công nhận tốt nghiệp THPT năm 2018
4. Nghị quyết 29-NQ/TW của hội nghị lần thứ tám Ban chấp hành Trung ương
khóa XI thông qua ngày 4/11/2013
5. Luật giáo dục
6. Sách giáo khoa Giải tích 11 cơ bản, NXB giáo dục 2007
7. Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, NXB giáo dục 2007
8. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục 2007
9. Nguồn khác: Internet

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI TỪ LOẠI C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Đương

15


Chức vụ và đơn vị công tác: Phó tổ trưởng chuyên môn, trường THPT Quảng

Xương 4

TT

1

2

Tên đề tài SKKN
Ứng dụng hàm số ngược để giải
phương trình
Hướng dẫn học sinh lớp 10
Trường THPT Quảng Xương 4

Kết quả

Năm học

đánh giá

đánh giá xếp

xếp loại

loại

Cấp Sở

B

2002-2003

Cấp Sở

C

2014-2015

Cấp đánh
giá xếp loại

giải phương trình vô tỷ

16


17