Hướng dẫn học sinh sử dụng tích phân vào giải một số bài toán thực tế trong chương trình toán lớp 12

MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU..............................................................................1
1. Lí do chọn đề tài................................................................................1
2. Mục tiêu nghiên cứu:.........................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................2
PHẦN 2. NỘI DUNG .........................................................................3
1. Cơ sở lí luận......................................................................................3
2 Thực trạng..........................................................................................3
3. Giải pháp thực hiện...........................................................................4
3.1 Kiến thức trang bị............................................................................4
3.2 Phương pháp....................................................................................5
3.3. Thời gian tổ chức thực hiện............................................................5
3.4. Các dạng toán cụ thể........................................................................6
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .............................................15
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ...................................................18
1.Kết luận............................................................................................18
2.Kiến nghị..........................................................................................18

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
0


Toán học có liên hệ chặt chẽ, mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng
rãi trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và
đời sống. Toán học có vai trò thiết yếu đối với mọi ngành khoa học. Bởi vậy,
việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn
là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của
giáo dục hiện nay.
Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta

cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức
vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại
những kết quả thiết thực. Vì thế, việc dạy học Toán ở trường phổ thông phải
luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và
giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các
lĩnh vực kinh tế, sản xuất.
Với vị trí đặc biệt quan trọng của môn Toán là môn học công cụ; cung cấp
kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ
thông của con người lao động mới, việc thực hiện nguyên lí giáo dục ''Học đi
đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với
xã hội'' cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối liên hệ qua
lại giữa lao động sản xuất, cuộc sống và Toán học.
Trong đề thi THPT quốc gia những năm gần đây các câu hỏi về vận dụng
kiến thức vào các bài toán thực tiễn được khai thác rất nhiều, đó là một trong
những đổi mới của chương trình môn Toán về tính thực tiễn và liên môn. Tuy
nhiên đây là các câu hỏi thuộc mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao, ngoài ra
trong sách giáo khoa hiện nay lại ít đề cập đến vấn đề này.
Trong các bài toán thực tế trên thì những bài toán tính diện tích và thể tích
bằng cách sử dụng tích phân thường hay gặp.
Vì vậy, để giúp học sinh tiếp cận và làm tốt câu hỏi phần này là rất cần
thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay. Từ thực tiễn giảng dạy lớp 12 cùng
với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi xin đưa ra đề tài: "Hướng dẫn
học sinh sử dụng tích phân vào giải một số bài toán thực tế trong chương
trình Toán lớp 12 ".
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế, xây dựng cách sử dụng tích phân vào giải các bài toán về diện tích
và thể tích.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nguyên hàm, tích phân đặc biệt là ứng dụng của tích phân.
4. Phương pháp nghiên cứu

4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về nguyên hàm, tích
phân.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các ứng dụng của tích phân.
4.2. Phương pháp chuyên gia

1


Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến
làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy
trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài
nghiên cứu.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được.

PHẦN 2. NỘI DUNG
2


1.Cơ sở lí luận
1.1. Phương pháp dạy học tích cực
Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ rút gọn, được
dùng ở nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. PPDH tích cực hướng
tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, tức là
tập kết vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là tập kết vào
phát huy tính tính tích cực của người dạy.

1.2. Dạy học tích hợp liên môn
Là định hướng dạy học trong đó giáo viên tổ chức, hướng dẫn để học sinh
biết huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng,… thuộc nhiều lĩnh vực (môn
học/hoạt động giáo dục) khác nhau nhằm giải quyết các nhiệm vụ học tập; thông
qua đó hình thành những kiến thức, kĩ năng mới; phát triển được những năng lực
cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và thực tiễn cuộc
sống.

Hình minh họa (nguồn từ internet)
2. Thực trạng.
Trong chương trình giải tích lớp 12, khi học về vấn đề: diện tích, thể tích
học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác
“sợ” bài toán tính diện, thể tích trong thực tế. Khi học vấn đề này nhìn chung
các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích ,
thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải
được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới
tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có
rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục
“những sai lầm đó”.
Trong thực tế các bài toán thuộc dạng này rất phong phú và đa dạng.
3


3. Các giải pháp thực hiện
3.1. Kiến thức trang bị
3.1.1. Diện tích hình phẳng
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.

b

S �
f (x) dx

là:

(1)

a

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S �
f (x)  g(x) dx

là:

(2)

a

3.1.2. Thể tích vật thể
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b).

Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

V�
S(x)dx

Thể tích của B là:

a

 Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V �
f 2( x)dx
a

3.1.3. Phương trình các đường thường gặp
Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:
(x  a)2  (y  b)2  R2 .
Đặc biệt: Phương trình đường tròn có tâm O(0;0) và bán kính R:
x2  y2  R2 .
Phương trình chính tắc của elip
x2
2

a



y2
2

b

1

(a  b  0, b2  a2  c2)

F1(c;0), F2(c;0) .
 Toạ độ các tiêu điểm:
A1(a;0), A2(a;0), B1(0;  b), B2(0; b)
 Toạ độ các đỉnh:
Phương trình chính tắc của parabol

4


y2  2px

(p > 0)

�p �
F � ;0�.
�2 �

 Toạ độ tiêu điểm:

Hình dạng của parabol
 (P) nằm về phía bên phải của trục tung.
 (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng.
O(0;0)
 Toạ độ đỉnh:
 Tâm sai:
e = 1.
Chú ý:
+) Đồ thị hàm số bậc hai có dạng : y  ax 2  bx  c là đường parabol.
+) Các phương trình có dạng: y 2  2 px ; x 2  2 py ; x 2  2 py cũng là phương
trình của parabol.
Phương trình chính tắc của hypebol
x2
2

a



y2
2

b

1

(a, b  0, b2  c2  a2)

F1(c;0), F2(c;0) .

 Toạ độ các tiêu điểm:
Hình dạng của hypebol
 (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối
xứng.
A1(a;0), A2(a;0)
 Toạ độ các đỉnh:
 Độ dài các trục:
trục thực: 2a,
trục ảo: 2b

3.2. Phương pháp
- Giải bài toán thực tiễn bằng cách dùng tích phân thường là các bài tập vận dụng.
Để giúp cho học sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi dạy học sinh
tiến hành theo các bước sau đây:
+ Bước 1: Nhận dạng, phân tích hình hoặc vật thể.
Tôi xem đây là bước quan trọng nhất, bởi vì chúng ta phải biết nhận dạng hình hoặc
vật thể thì mới chọn được hệ tọa độ để thiết lập hàm số. Thông thường ta thường dựa
vào tính đối xứng của hình; hoặc chia thành nhiều phần để tính.
+ Bước 2: Chọn hệ tọa độ thích hợp.
+ Bước 3: Thiết lập hàm số.
+ Bước 4: Tính kết quả.
-Dựa vào các công thức về tích phân và máy tính cầm tay Casio, Vinacal,...
3.3 Thời gian tổ chức thực hiện
- Giáo viên nên dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn hoặc dạy bồi dưỡng.
Giáo viên có thể cho học sinh nhiều bài tập về nhà để học sinh nghiên cứu, chuyên
sâu tạo kỹ năng làm toán.
- Giáo viên dạy phương pháp này cho học sinh ở khối 12.
- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi THPT
Quốc gia.
3.4 Các dạng toán cụ thể

5


Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng.
Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính
6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận
O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000
đồng / m 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải
đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với
tâm của hình tròn, Ox song song với dây cung của
mảnh đất.
+) Tính diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, sau đó
suy ra số tiền.
y
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu
vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O
là x 2  y 2  36 .

6m

O

x

Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y  36  x 2  f ( x)

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi
trục hoành, đồ thị y  f ( x ) và hai đường thẳng x  3; x  3
3

� S  2 �36  x 2 dx (bấm máy).
3

Do đó số tiền cần dùng là 70000.S �4821322 đồng.

Ví dụ 2: Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng
cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được giá 100
nghìn đồng. Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi và đồ dùng nên người
này căng sợi dây 6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh
mảnh đất. Hỏi người này thu hoạch được bao nhiêu tiền.
Hướng dẫn:
y

6


Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Phương trình đường tròn của miếng đất sẽ
là x 2  y 2  25
Diện tích cần tính sẽ bằng 2 lần diện tích
phần tô đậm phía trên.
Phần tô đậm được giới hạn bởi đường cong
có phương trình là y  25  x 2 , trục
Ox; x  5; x  4 (trong đó giá trị 4 có được
dựa vào bán kính bằng 5 và độ dài dây cung
bằng 6)

Vậy
diện
tích
cần
tính
là

x

4

S  2 �25  x 2 dx �74, 45228... (bấm máy)
5

Vậy thu hoạch được 7445228 đồng.
Ví dụ 3: Ông A có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 20m và độ
dài trục bé bằng 16m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 10m và nhận
trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình). Biết kinh phí để trồng hoa là
100.000 đồng/1m2. Hỏi Ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất
đó?
y

10m

x

10m

Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của hình elip.

+) Tính diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
x2 y2

 1.
Khi đó: Phương trình đường elip là
100 64

Phần nửa hình phẳng phía trên trục Ox có phương trình y  f (x) 

4
100  x2 .
5

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi
trục hoành, đồ thị y  f ( x) và hai đường thẳng x = -5, x = 5.
5

4
S  2� 100  x2 dx �153.0578364 (bấm máy).
5
5

Vậy cần 15.305.783 đồng.
7


Ví dụ 4: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người

thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm
của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như
hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng bao
nhiêu ?
Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của viên gạch hình
vuông. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.
+) Tính diện tích của một cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Xác định các phương
trình parabol tạo nên cánh hoa đó.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Với A  20; 20  , xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.
2
Hai Parabol có phương trình lần lượt là: y  a x  P1  và
x  ay 2  P2 

Do Parabol  P1  qua điểm
20
1
x2

�
y

202 20
20
Do Parabol  P2  qua điểm A  20; 20 
A  20; 20  � a 

�a 
20

20
1
y2

�
y

� y  20x
202 20
20
20

�
x 2 � �2
x 3 � 400
3
S �
dx  � 20x  � 
� 20x  �
20 � �3
60 �0
3
0 �

Vậy diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

400

(cm 2 ).
3

Ví dụ 5: Thành phố P xây cây cầu dài 500m bắc ngang qua sông, biết rằng người ta
định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên
đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu
không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp

8


cầu là bao nhiêu (bỏ qua thể tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu).

Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc
Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân
đế)

Gọi Parabol trên có phương trình ( P1 ): y1  ax 2  bx  c  ax 2  bx (do (P) đi qua O)
20
1
 ax 2  bx  là phương trình parabol dưới
100
5
2 2 4
2 2 4
1
x 
x � y2  
x 

x
Ta có (P1 ) đi qua I và A � ( P1 ) : y1  
625
25
625
25
5
S

2
S
S
y
;
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là
1 với
1 là phần giới hạn bởi
1 y2 trong
khoảng (0; 25)
� y2  ax 2  bx 

0,2

S  2( �
(
0

25

2 2 4

1
x  x)dx  �dx) �9,9m 2
625
25
5
0,2

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
V  S .0, 2 �9, 9.0, 2 �1, 98m3 � số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu �2m3
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần �40m3 bê tông.

9


Ví dụ 6: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ
nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là
60m người ta làm một con đường nằm
trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền
ngoài và viền trong của con đường là hai
đường Elip, Elip của đường viền ngoài có
trục lớn và trục bé lần lượt song song với
các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí của mỗi
m 2 làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó.
Hướng dẫn
Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là giao điểm 2
đường chéo hình chữ nhật và Ox, Oy song
song với cạnh chiều dài và chiều rộng.
Diện tích mặt đường là diện tích phần mặt
phẳng giới hạn bởi 2 elip  E1  :

y
x
O

x2
y2

1
502 302

và

 E2  :

x2
y2

 1 � S    50.30  48.28   156.
482 282

Số tiền làm đường là: 294053072 đồng.
Ví dụ 7: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên
đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol
có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa
đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của
khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước
cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần
bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó ?
4m
4m

4m

Hướng dẫn

10


y
4m
4m

4m
x
O

Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là tâm của đường tròn như hình vẽ trên.
Khi đó nửa đường tròn có phương trình: x2  y2  20,
parabol có phương trình: y  x2
2

( 20  x2  x2)dx �11,9m2
Diện tích cần tính bằng: S  2�
0

Số tiền cần là: 1193961 đồng.
12 m
Ví dụ 8: Một công ty quảng cáo X
I
A

muốn làm một bức tranh trang trí hình
F
MNEIF ở chính giữa của một bức tường
hình chữ nhật ABCD có chiều cao
BC  6 m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ
bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có
MN  4 m ; cung EIF có hình dạng là một
M
phần của cung parabol có đỉnh I là D
4m
trung điểm của cạnh AB và đi qua hai
điểm C , D . Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m2 .
Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?

Hướng dẫn
A

F

12 m
I y

E

B

E

6m

N

C

B

6m

D

M

O
4m

N

x
C

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.
11


1
6

Khi đó parabol có phương trình: y   x2  6
2

1
208 2
( x2  6)dx 
m
Diện tích cần tính bằng: S  2�
6
9
0

Số tiền cần là: 2080000 đồng.
Dạng 2: Tính thể tích vật thể.
Ví dụ 9. Gọi  H  là phần giao của hai khối

1
hình trụ có bán kính a , hai trục
4

hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của  H  .
Hướng dẫn
Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao  H  là
một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a
, thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình
2
2
vuông có diện tích S  x   a  x
a

a

0

0

S  x  dx  �
 a 2  x 2  dx 
Thể tích khối  H  là �

Ví dụ 10: Người ta dựng một cái lều vải
(H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều”
như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình
lục giác đều cạnh 3m. Chiều cao SO  6m
(SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các
cạnh bên của (H) là các sợi dây
c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường
parabol có trục đối xứng song song với SO.
Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt
phẳng (P) vuông góc với SO là một lục
giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO

2a 3
.
3

S

c6
c1

1m
c2

c3

c5
c4

O
3m

12


thì lục giác đều có cạnh bằng 1m Tính thể tích phần không gian nằm bên trong
cái lều (H) đó.

Hướng dẫn
Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt
1
7
là A(0;6), B (1;3), C (3;0) nên có phương trình là y  x 2  x  6
2

2

Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện là BM
7
2

Nếu ta đặt t  OM thì BM   2t 

1
4

Khi đó diện tích của thiết diện lục giác:
2

BM 2 3 3 3 �7
1�
t � 0;6
S (t )  6.


2
t

�
�
�, với
4
2 �
2
4
�
�
2

3 3 �7
1�
135 3
S (t ) dt  � �


2
t

dt 
.
Vậy thể tích của túp lều theo đề bài là: V  �
�
�
�
2 �2
4�
8
0
0
6

6

Ví dụ 11: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu
bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường
cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
0,5m

2m

5m

0,5m

19m

0,5m

Hướng dẫn
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

13


y

O

x

19

�
�
2
Gọi  P1  : y  ax  c là Parabol đi qua hai điểm A � ; 0 �, B  0; 2 
2
�

�

�
8
19 �

�
�
a
0  a. � � 2 �
8 2
�
x 2
361 �  P1  : y  
Nên ta có hệ phương trình sau: �
�2 � � �
361
�2  b
�
b2
�
�
2

� 5�
2
Gọi  P2  : y  ax  c là Parabol đi qua hai điểm C  10;0  , D �0; �
� 2�

1
5
2
�
�
a



0

a
.
10



�
�
1
5
�
40
2��
�  P2  : y   x 2 
Nên ta có hệ phương trình sau: �
�
5
40
2
�5  b
�
b
�2
� 2
19
�10 � 1 2 5 �
8 2

��
2 �
V

5.2

x

dx


x  2�
dx � 40m3
Ta có thể tích của bê tông là:
�
�
�
�
�
�
0
0
2�
� 361
��
� � 40

Ví dụ 12: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ
bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để
lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Hình 1
Hình 2
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm
(Hình 2).Tính V .
Hướng dẫn
14


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có
15;15�
phương trình : y  225  x2, x ��
�
�
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ,
15;15�
 x ��

�
�

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S  x  (xem hình).
Dễ thấy NP  y và MN  NP tan450  y  15  x2 khi đó





1
1

S x  MN .NP  . 225  x2 suy ra thể tích hình nêm là : V 
2
2

 

15







1
 �
. 225  x2 dx  2250 cm3
2 15

15

S  x dx
�

15



Ví dụ 13: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình
tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết

diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
Hướng dẫn
Chọn tâm đường tròn làm gốc.
3
AB 2  3(4  x 2 )
4
2
2
64
V�
S ( x )dx  4 �
(4  x 2 )dx 
3
2
2

Diện tích thiết diện là S 

Ví dụ 14: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt
bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và
cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
Hướng dẫn:
Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường
thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn
lớn có phương trình x 2  y 2  25 .
Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong
y  25  x 2 , x  3, x  3 quay quanh Ox.
3

V  �

(25  x 2 )dx = 132 (bấm máy).
3

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trên cơ sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy môn
Toán cho học sinh lớp 12 là hợp lý và thu được kết quả tốt, tôi đã thực hiện
thành công mục tiêu đề ra, đó là vận dụng những kiến thức trong sách giáo khoa
15


để có thể giải quyết được những bài toán trong thực tế. Từ đó không chỉ giúp các
em có thể giải quyết được những bài tập mà còn có thể vận dụng vào thực tế
cuộc sống, các em hứng thú hơn trong việc lĩnh hội tri thức.
Kết quả về điểm số là khả quan trên cơ sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương quan
với chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp vẫn dạy theo phương pháp truyền
thống. Học sinh đó bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ năng vận dụng vào thực
tiễn cuộc sống, có hứng thú, say sưa học toán.
Bên cạnh một số bài tập cơ bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng
có những bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao, phải tích luỹ
được nhiều kinh nghiệm. Từ đó, khuyến khích lòng hăng say tìm tòi giải bài tập
của một nhóm học sinh có nhận thức khá.
Tôi đã chọn lớp 12A3 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn
lớp 12A4 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa. Kết quả thực
nghiệm thu được khi cho hai lớp cùng làm một đề kiểm tra 45 phút về giải
những bài toán tính diện tích và thể tích:
Lớp

n

TN

ĐC

40
40

xi

1

TN
(%)
ĐC
(%)

0.0
0
0.0
0

2

Điểm số Xi
1
2
3
4
5
6
0
0

0
0
3
5
0
0
0
6
5
10
Bảng tần số các bài kiểm tra
3
4
5
6
7

0.00 0.00

0.00

7.50

0.00 0.00

15.0
0

12.5
0

12.5
0
25.0
0

12.5
0
22.5
0

7
5
9

8
11
6
8
27.5
0
15.0
0

9
9
3
9

10

7
1
10

22.50 17.50
7.50

2.50

16


Từ đồ thị và bảng số liệu phân tích điểm số qua các bài kiểm tra cho thấy:
Lớp TN:
- Điểm giỏi có tỷ lệ 40,00%.
- Tỷ lệ HS khá chiếm 40,00%.
- HS trung bình 20,00%, không có yếu kém.
Lớp ĐC:
- Tỷ lệ HS đạt điểm giỏi là 10,00%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá 37,50%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 37,50%
- Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,00%.
Thông qua tỷ lệ trên chứng tỏ rằng kết quả học tập của HS lớp TN tốt hơn
lớp ĐC. Cụ thể, điểm trung bình của lớp TN thấp hơn lớp ĐC, điểm khá và điểm
giỏi tăng. Lớp đối chứng không có điểm yếu.
Thông qua việc áp dụng đề tài sáng kiến, Tôi thấy học sinh đã biết áp
dụng kiến thức đã học để giải quyết những bài toán thực tế hay là những tình
huống trong thực tiễn cuộc sống biết áp dụng kiến thức toán học vào thực tế
nhanh hơn, tốt hơn và bản thân được rèn luyện bản lĩnh hơn, tự tin trước câu hỏi
cũng như câu trả lời khi xây dựng bài học, tự tin trước tập thể lớp, trước công

việc được giao, có cách sống chan hòa mình vì mọi người, mọi người vì mình
yêu thích môn học nhiều hơn vì được trải nghiệm thực tế, nói năng văn minh,
lịch sự, ngăn chặn được tối đa các tai tệ nạn thâm nhập vào học đường.

17


PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Việc nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ở mức độ ban đầu nên
kết quả còn nhiều hạn chế. Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian và trí tuệ trong
một thời gian dài để hoàn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức này cho học
sinh. Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá
nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế,
khiếm khuyết.
Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực
hiện thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực
nghiệm chắc chắn chưa phải là tốt nhất. Mặc dù vậy, qua thời gian thực nghiệm
tôi nhận thấy rằng, việc tạo hứng thú học tập môn Toán cho học sinh thông qua
sử dụng tích phân để giải một số bài toán về diện tích và thể tích trong thực tế là
điều rất cần thiết góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích
cực học tập của HS, đáp ứng được yêu cầu đổi mới về nội dung và phương pháp
trong dạy và học hiện nay.
2. Kiến nghị
18


Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.

Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cơ sở nghiên cứu, phát triển chuyên đề.
Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và điều kiện nghiên
cứu nên sáng kiến kinh nghiệm này còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự đóng
góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn nữa ở các đề
tài nghiên cứu tiếp theo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục)
2. Đào Văn Trung(2001), Làm thế nào để học tốt môn Toán phổ thông,
NXBĐHQG Hà Nội
3. Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học
sư phạm Hà Nội.
4. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các bài
giảng luyện thi môn toán. NXB Giáo dục
5. Tài liệu tập huấn sách giáo khoa (NXB Giáo dục)
6. Sách hướng dẫn giảng dạy (NXB Giáo dục)
7. Thư viện: violet.vn › Toán
8. />9. />10. />19


11.
12.khohoclieu.hanoiedu.vn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Trương Văn Hòa

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trương Văn Hòa
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ phó chuyên môn trường THPT 4 Thọ Xuân.

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Tạo hứng thú học tập môn
Toán cho học sinh thông qua
giải bìa tập trong sách giáo
khoa.
Tạo hứng thú học tập môn
Toán cho học sinh thông qua

2.

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh Hóa

C

2008- 2009

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh Hóa

C

2009- 2010
20


3.

giải bìa tập trong sách giáo
khoa Đại số 10 nâng cao.
Tạo hứng thú học tập môn

Toán cho học sinh thông qua
giải bìa tập trong sách giáo
khoa.
Hướng dẫn học sinh sử dụng
đạo hàm vào giải một số dạng
bài tập về lượng giác trong
tam giác.

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh Hóa

C

2010-2011

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh Hóa

C

2011- 2012

5

Rèn luyện kỹ năng giải Sở GD và ĐT
phương trình bằng phương Tỉnh Thanh Hóa
pháp sử dụng tính đơn điệu
của hàm số cho học sinh lớp
12.

C

2014- 2015

6

Giúp học sinh lớp 10 Sở GD và ĐT
giải phương trình vô tỉ bằng Tỉnh Thanh Hóa
phương pháp đặt ẩn phụ.

C

2015- 2016

4.

21