Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ
MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Trần Thị Vân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lí luận
1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

3
3
3
3

4
4

3/ Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa
vào định nghĩa

4

4/ Quan hệ giữa khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt
phẳng

4

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

5

2.3. Giải pháp
1. Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của
hình chóp

5

2. Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình
chóp

13

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

15

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

16

3.2. Kiến nghị

16

Tài liệu tham khảo

17

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

2


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song… là các bài toán thường gặp trong chương III
hình học lớp 11. Việc giải các bài toán này, phần lớn là đưa về tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng .
Từ năm học 2016-2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc
nghiệm, bên cạnh sự cần thiết của nắm chắc lý thuyết thì việc hiểu và thuần thục
các kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng đối với các em học sinh.
Khi giảng dạy bài “Khoảng cách” của môn hình học không gian lớp 11 tôi
thấy :
- Theo phân phối chương trình bài học chỉ gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập.
Việc áp dụng kiến thức vào làm bài toán tính khoảng cách chỉ thông qua vài ví
dụ chung chung trong khi lượng bài tập liên quan đến khái niệm này tương đối
nhiều và phong phú .
- Nếu giáo viên không phân dạng bài tập để hướng dẫn học sinh rèn luyện
phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì các em có
lực học ở mức độ trung bình khá sẽ rất khó khăn trong việc áp dụng định nghĩa,
định lí, phương pháp chung vào các bài cụ thể .
Từ những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh tính khoảng
cách từ một điểm đến mặt phẳng ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học
ở mức độ trung bình khá làm thành thạo bài toán tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng trong hình chóp. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm tốt
bài toán này trên các loại hình khác như: hình lăng trụ, hình hộp…
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm

đến mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận dạy học.
2. Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp.
3. Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

3


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
M
phẳng (P) là khoảng cách giữa điểm
M và hình chiếu vuông góc H của M
trên mặt phẳng (P) .
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P) kí hiệu là: d ( M ; ( P )) [1].
H
P
2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Định lí:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc
với nhau thì bất cứ đường thẳng
nào nằm trong mặt phẳng này

mà vuông góc với giao tuyến sẽ
vuông góc với mặt phẳng kia [1].

a

∆

Q

P

3/ Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào
định nghĩa
*Bước 1: Tìm một mp (Q) vuông góc với (P)
và chứa M .

M

Xác định giao tuyến ∆ của (Q) và (P) .
*Bước 2: Trong mp (Q) , dựng đường thẳng
MH vuông góc với ∆ tại H thì H là hình
chiếu vuông góc của M trên mp (P) , do đó
d ( M ; ( P)) = MH [2].
P

Q

∆
H

4/ Quan hệ giữa khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt phẳng
Trong không gian, cho mp (P) hai điểm phân biệt M , N không thuộc mp (P) :
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

4


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

M

M

N

H

K

N

P

H K

P

I

Nếu MN ∩ ( P) = { I } thì:

Nếu MN // (P) thì:

d ( M ; ( P )) = d ( N ; ( P)) [2].

d ( M ;( P )) MI
MI
=
⇔ d ( M ;( P)) =
d ( N ;( P))
d ( N ; ( P)) NI
NI

[2].
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực
học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết câu hỏi về tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng thì rất thuộc phương pháp nhưng lúng túng khi áp
dụng. Lý do là các em chưa được rèn luyện cách áp dụng phương pháp chung
vào từng loại điểm và mặt trong hình cụ thể.
2.3. Giải pháp
Trước thực trạng trên tôi đã phân chia bài toán tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng trong hình chóp thành hai bài toán với ba dạng nhỏ và cụ thể hóa
phương pháp giúp các em dễ dàng tiếp thu, áp dụng.
Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp.
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.
Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm khác chân đường cao đến mặt bên của
hình chóp.
Bài toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.
1. BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT BÊN CỦA

HÌNH CHÓP
S
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao là SH . Xác định khoảng
cách từ chân đường cao H đến mặt bên (SBC ) .
K
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

A

B

H
D

I
C

5


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

b/ Phân tích: Đầu tiên, cần lấy một
mp( Q ) vuông góc với (SBC ) và chứa H :
Xét thấy đã có sẵn SH ⊥ BC ⊂ ( SBC ) , để lấy mp
(Q) vuông góc với (SBC ) , ta chọn lấy mp( Q )
vuông góc với BC . Vậy kẻ thêm một đường
thẳng vuông góc với BC và cắt SH là có mp( Q
).

c/ Phương pháp:
* Bước 1: Tìm một mp (Q) vuông góc với ( SBC ) và chứa H như sau
+ Nhận biết đã có sẵn SH ⊥ BC ⊂ ( SBC ) .
+ Trong ( ABCD) , dựng HI ⊥ BC tại I (tùy vào đặc điểm của mặt
đáy mà I có vị trí cụ thể) ta được ( SHI ) ⊥ ( SBC )
Lấy giao tuyến của ( SHI ) và ( SBC ) là SI
* Bước 2:
- Trong mp (SHI ) , từ H dựng HK ⊥ SI tại K suy ra d ( H ; ( SBC )) = HK
- Tính HK : Thường dựa vào các hệ thức trong tam giác vuông SHI
1
1
1
·
=
+
; HK = HI .Sin SIH
; HK 2 = SK .IK ...
2
2
HK
HS
HI 2

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại C , cạnh AB = 2a và
góc ·ABC = 600 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a . Tính theo a
khoảng cách từ điểm A đến (SBC ) .
S

Hướng dẫn:

a

K
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
2a
A

600

C

6
B


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

* Đã biết A là chân đường cao của hình chóp nên có sẵn SA ⊥ BC , kẻ từ A
đường thẳng vuông góc với BC chính là AC ⊥ BC , suy ra ( SAC ) ⊥ ( SBC ) .
Xác định ( SAC ) ∩ ( SBC ) = SC .
* Trong mp (SAC ) , dựng AK ⊥ SC tại K , ta được: d ( A; ( SBC )) = AK .
Tính AK : Theo giả thiết ta có: ∆ABC vuông tại C , cạnh AB = 2a và góc
·ABC = 600 nên suy ra: AC = a 3 . Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường cao
nên

1
1
1
1

1
4
=
+
= 2 + 2 = 2
2
2
2
AK
AS
AC
a
3a
3a

Vậy : d ( A; ( SBC )) =

⇔ AK =

a 3
.
2

a 3
.
2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S . ABC có đáy lá tam giác đều cạnh bằng a , hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm H của BC , mặt phẳng

( SAB)

tạo với đáy một góc bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến
mặt phẳng ( SAB) .
S
Hướng dẫn:

M
H

C

B

600

a

I

K

A
* Đã có sẵn SH ⊥ AB , kẻ HK ⊥ AB ( K là trng điểm BI với I là trung điểm
AB ) ta được ( SHK ) ⊥ ( SAB ) . Xác định ( SHK ) ∩ ( SAB ) = SK
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

7

Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

* Từ H kẻ HM ⊥ SK tại M ⇒ HM ⊥ ( SAB) ⇒ d( H;( SAB) ) = HM
Tính HM :
·
Xác định góc giữa mp ( SAB) và mp ( ABC ) là SKH
= 600
3a
·
HM = HK.sinSKH
=
8
3a
Vậy d ( H ; ( SAB)) = .
8
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC = 600 .
Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mp ( ABCD) bằng 450. Tính
theo a khoảng cách từ A đến mp (SBD) .
1
a 3
HK = CI =
,
2
4

Hướng dẫn:

S

K

A
B

D

600

I
a

450

a

C

Nhận xét: Điểm A là chân đường cao và (SBD) là mặt bên hình chóp S . ABD
* Đã có SA ⊥ BD , trong ( ABCD ) dựng AI ⊥ BD tại I ( I là trung điểm của BD
) ta được ( SAI ) ⊥ ( SBD) . Xác định ( SAI ) ∩ ( SBD) = SI .
* Trong (SAI ) dựng AK ⊥ SI tại K suy ra d ( A; ( SBD)) = AK
Tính AK :
+ Xác định góc giữa SC và mp ( ABCD) là ¶ACS = 450
a
+ ∆ABC là các tam giác đều cạnh a nên AC = a ⇒ AI =

+ ∆SAC vuông tại A và có ¶ACS = 45 suy ra SA = AC = a
+Tam giác SAI vuông tại A có AK là đường cao nên

2

0

1
1
1
4 1
5
a 5
= 2+
= 2 + 2 = 2 ⇔ AK =
.
2
2
AK
AI
AS
a
a
a
5
a 5
Vậy : d ( A; ( SBD)) =
.
5

Bài tập tự luyện

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

8

Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a 2 và
BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với đáy là 600
. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD) .
Đáp số: d( A;( SBD) ) =

3a 58
29
Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I , F lần lượt là
trung điểm của AB và AD . Tính theo a
a/ khoảng cách từ I đến mp ( SCD) .
b/ khoảng cách từ I đến mp (SFC ) .

Đáp số: a/ d ( I ; ( SCD)) =

a 21
.
7

b/ d ( I ; ( SFC )) =

3a 2
.
8

Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,

AB = a , AA ' = 2a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là giao điểm
của AM và A 'C . Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (IBC ) .
Đáp số: d ( A; ( IBC )) =

2a 5
.
5

Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm khác chân đường cao đến mặt bên
của hình chóp.
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao SH . Lấy điểm M thuộc
mặt phẳng đáy sao cho M khác H . Tính khoảng cách từ M đến mặt bên (SBC ) .
S
S

B

H

K

C

I

B
H

A

A
M

D

M

C

D

(Hình a)
(Hình b)
c/ Phương pháp: Áp dụng cho 2 trường hợp sau
* Trường hợp 1: mp (SBC ) chứa đường cao SH (Hình a).
Vì (SBC ) chứa đường cao SH suy ra ( SBC ) ⊥ ( ABCD) theo giao tuyến BC
Tiến hành dựng MK ⊥ BC tại K , được d ( M ; ( SBC )) = MK .
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

9


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

* Trường hợp 2: mp (SBC ) không chứa H thì ta tính d ( M ; ( SBC )) dựa vào
d ( H ; ( SBC )) (Hình b).
- Bước 1: Thực hiện “ chuyển dần khoảng cách từ M về
khoảng cách từ H ” như sau
+ Nếu MH / /( SBC ) thì : d ( M ; ( SBC )) = d ( H ; ( SBC ))
+ Nếu MH cắt (SBC ) tại điểm I thì:

d ( M ;( SBC )) MI
MI
=
⇒ d ( M ;( SBC )) =
d ( H ;( SBC ))
d ( H ;( SBC )) HI
HI
MI
(Chú ý: Trong trường hợp tỷ lệ
khó tìm, thì ban đầu ta chuyển M về N
HI
có tỷ lệ khoảng cách dễ tìm trước, ... cuối cùng mới chuyển đến H )
- Bước 2: Xác định và tính d ( H ; ( SBC )) suy ra d ( M ; ( SBC )) .

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2a .
¶ACB = 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của
cạnh AC và SH = a 2 . Tính theo a :
a/ Khoảng cách từ B đến mp (SAC ) .
b/ Khoảng cách từ C đến mp (SAB) [4].
Hướng dẫn: Xét tam giác ABC vuông tại B , ta có: BC = AC .cos ¶ACB = a 3 .
AB = AC .sin ¶ACB = a .
a/
S

A

M

2a

H

C

300

B

* Vì ( SAC ) ⊃ SH nên ( SAC ) ⊥ ( ABC ) ; ( SAC ) ∩ ( ABC ) = AC . Kẻ BM ⊥ AC tại M
suy ra BM ⊥ (SAC ) . Do đó d ( B; ( SAC )) = BM .
* Trong ∆ABC :

1
1
1 S 1
1
4
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇔ BM =
.
2
2
2
BM
BA
BC
a
3a

3a
2
a 3
Vậy d ( B; ( SAC )) =
.
2

b/
K
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT LêHHoàn
2a
A
0
30

I
B

10
C


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Xét thấy mp ( SAB) không chứa H , do đó để tính d (C;( SAB)) chuyển về
d ( H ;( SAB ))
* Ta có CH ∩ ( SAB) = A và CA = 2 HA ⇒ d (C ; ( SAB)) = 2d ( H ; ( SAB)) .
* Xác định d ( H ; ( SAB)) : Trong ( ABC ) , kẻ HI ⊥ AB tại I ( HI // BC ). Nối SI .
Trong (SHI ) , kẻ HK ⊥ SI tại K . Ta được d ( H ; ( SAB )) = HK .
* Tính HK : Xét ∆SHI vuông tại H , HK là đường cao

1
1
1
11
a 66
=
+
= 2 ⇔ HK =
ta có:
.
2
2
2
HK
HI
HS
6a
11

2a 66
Vậy: d (C; ( SAB)) = 2 HK =
.
11

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a , AD = CD = a , góc giữa hai mặt
phẳng (SBC ) và ( ABCD) bằng 45 0 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SCD ) .
Hướng dẫn:
S

* Vì AB //(SCD) nên d ( B; ( SCD)) = d ( A; ( SCD )) .
* Gọi H là hình chiếu của A trên SD ,
chứng minh được AH là khoảng cách từ A
đến (SCD ) .
* Từ giả thiết chứng minh được AC ⊥ CB ,
H
SC ⊥ CB suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC )
A 2a I
0
·
và ( ABCD) bằng SCA
= 45 , tính được SA .
a
450
B
* Trong tam giác vuông ∆SAD tính được AH .
D a
a 6
C
S
Đáp số: d ( B; ( SCD )) =
.
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có độ dài cạnh đáy bằng a 3 , độ
dài cạnh bên bằng 2a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ∆ABC , M là trung điểm
2a
(SBC ) .
của SA . Tính theo a khoảng
M cách từ điểm M đến mặt phẳng

H
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
A
C
G
I
B

11


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Hướng dẫn: G là chân đường cao của hình chóp, nếu “ chuyển trực tiếp
khoảng cách từ M về khoảng cách từ G ” sẽ khó thấy tỷ lệ khoảng cách, vậy ta
chọn chuyển M về A , A về G
1
1
3
2
2
2
* Tính d (G; ( SBC )) = GH . ( Hình vẽ)
a
2
3
AG = (a 3. ) = a ; GI = ; GS = SA2 − AG 2 = a 3
2
3
2

1
1
1
1
4
13
3 a 39
=
+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ GH = a
=
Trong ∆SGI :
.
2
2
GH
SG GI
3a a
3a
13
13
3a 39
Vậy d ( M ; (SBC )) =
.
26

* d ( M ;( SBC )) = d ( A;( SBC )) = .3d (G;( SBC )) = d (G;( SBC ))

Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng
a . Cạnh bên SA = a 2 , SA vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác

∆SAB . Tính theo a
a/ Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD ) .
b/ Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SAC ) .
a 6
.
6
a 2
b/ d (G; ( SAC )) =
.
6
Bài 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BA = 3a ,
BC = 4a ; mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Biết SB = 2a 3 và
·
SBC
= 300 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC ) .

Đáp số: a/ d (O;( SCD )) =

Đáp số: d ( B; ( SAC )) =

6a 7
.
7

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

12


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AB , góc giữa
đường thẳng A ' C và mặt đáy bằng 60 0 .Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến
mp( ACC ' A ' ) .
Đáp số: d ( B; ( ACC ' A ' )) =

3a 13
.
13

2. BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT ĐÁY CỦA
HÌNH CHÓP
a/Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao SH lấy điểm M bất kỳ
thuộc mặt (SBC ) sao cho M không trùng với các điểm S , B, C . Xác định khoảng
cách từ điểm M đến mặt đáy ( ABCD) .
b/ Phân tích: Đã biết d ( S ; ( ABCD)) = SH nên để xác định d ( M ; ( ABCD)) ta dựa
vào d ( S ;( ABCD )) = SH .
c/ Phương pháp:

S

M
A

B
H

D

N

I

C

Cách 1: “ Chuyển khoảng cách từ M về khoảng cách từ S ”
* Trong (SBC ) có chứa M , nối SM cắt mp ( ABCD) tại I (tùy vào hình mà
có thể chính xác hóa vị trí I ).
d ( M ;( ABCD ))

MI

MI

* Tìm liên hệ : d ( S ; ( ABCD)) = SI ⇔ d ( M ; ( ABCD)) = SI .SH .
Cách 2: Dựng hình chiếu của MS trên ( ABCD)
* Trong ( SHM ) kẻ MN / / SH suy ra MN = d ( M ;( ABCD))
* Tính MN theo tỷ lệ với SH .
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên
bằng a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , tính khoảng cách từ G đến mp
G
( ABCD) .
13
GV: Trần Thị Vân - Trường
A THPT Lê Hoàn
B
D

O

P N
C


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Hướng dẫn:
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD . Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều
nên SO ⊥ ( ABCD) .
1
3

+ Nối SG cắt BC tại N ( N là trung điểm của BC ). Vì GN = SN nên
1
1
d (G;( ABCD)) = d ( S ; ( ABCD ) = SO .
3
3
BD a 2. 2
=
= a , SO = SB 2 − OB 2 = a 2
+ Ta có: SB = a 3 , OB =
2
2
a 2
Vậy d (G; ( ABCD)) =
.
3
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa đường

thẳng A ' C và mp ( ABC ) bằng 45 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A ' BC . Tính
khoảng cách từ G đến mp ( ABC ) .

A’

B’
C’
G

A

a

G’ 450

B
I

C
Hướng dẫn:
+ Xét thấy ( ABC ) là mặt đáy của hình chóp A ' . ABC với đường cao A ' A .
1
3

1
3

+ Ta có G thuộc trung tuyến A' I của ∆A' BC và GI = A ' I nên d (G;( ABC ) = A' A
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

14


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

+ Tính A' A : Góc giữa A ' C và ( ABC ) là góc ·A'CA suy ra ·A'CA = 450 .
Vì ·A'CA = 450 nên cạnh A ' A = AC = AB = a .
a
3

Vậy : d (G; ( ABC )) = .
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm
tam giác SCD . Tính theo a khoảng cách từ G đến mp ( ABCD) .
a 3
.
6
Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết diện tích đáy
bằng 2a 2 , AD = a , ∆SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm của SC . Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt
phẳng ( ABCD) .

Đáp số: d (G; ( ABCD )) =

Đáp số: d ( M ; ( ABCD)) =

a 3
.
6

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán
học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả
thu được như sau:
- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):
Lớp

Sĩ số

11A4
12A5

45
44

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
17
37.7
15
34.09

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
28
62.3
29

65.91

- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)
Lớp

Sĩ số

11A8
12A7

44
44

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
39
88.63
40
90.0

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
5
11.37
4
10.0

15


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
1. Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiến
thức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán về
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2. Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học
sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn.
3. Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt
động giáo dục.
4. Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra
bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng
tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp
mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin,
hứng thú khi học tập bộ môn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong
giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học
tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thêm.
Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh hoá, ngày 19 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Thị Vân

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

16


Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao- Văn Như Cương chủ biênNhà xuất bản giáo dục, 2007.
2/ Giải toán hình học 11- Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn - Nhà xuất bản
Hà Nội, 2008.
3/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015.
4/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015.

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

17