Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán trong hình chóp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT
ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH CHÓP

Người thực hiện: Trần Thị Vân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2017


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

3
3
3
3

4
4

3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào
định nghĩa

4

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

5

2.3. Giải pháp
1. Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi
qua đỉnh của hình chóp

5

2. Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình

chóp

14

2.4. Hiệu quả của SKKN

16

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận

17

3.2. Đề xuất

17

Tài liệu tham khảo

18

Danh mục các đề tài SKKN đã đạt giải

18

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

2

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song… là các bài toán chủ yếu trong chương III hình
học lớp 11. Việc giải các bài toán này, phần lớn là đưa về tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng. Vì vậy học sinh cần thành thạo kỹ năng tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, với môn hình học không gian tôi thấy
các thực trạng sau:
- Theo phân phối chương trình hình học lớp 11, bài “Khoảng cách” chỉ gồm 2
tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập, trong khi lượng bài tập liên quan đến các khái niệm
về khoảng cách tương đối nhiều và phong phú. Hơn nữa cũng ở bài học này,
việc áp dụng kiến thức vào làm bài toán tìm khoảng cách chỉ thông qua vài ví dụ
chung chung. Nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh sẽ không tự giải quyết
được các bài tập liên quan đến khoảng cách nói chung và tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng nói riêng.
- Nói đến bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, các em học
sinh có lực học ở mức độ trung bình khá cũng rất muốn thử sức. Tuy nhiên các
em còn e ngại vì khi tiến hành giải bị gặp khó khăn trong việc áp dụng định
nghĩa, định lí, phương pháp chung vào các tình huống cụ thể.
Từ năm học 2016-2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc
nghiệm, việc hiểu và thuần thục các kỹ năng giải bài tập càng cần thiết hơn.
Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán trong hình chóp”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học

ở mức độ trung bình khá làm tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng áp dụng trong hình chóp. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm được
bài toán này và các bài toán về tính khoảng cách nói chung trên các loại hình
khác như: hình lăng trụ, hình hộp…
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm
đến mặt phẳng đi qua đỉnh và mặt đáy của hình chóp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.Nghiên cứu lý luận dạy học.
2. Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp.
3. Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

3


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
M
phẳng (P) là khoảng cách giữa điểm
M và hình chiếu vuông góc H của M
trên mặt phẳng (P) .
Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P) kí hiệu là: d ( M ; ( P )) .
H

P
2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Định lí:
Nếu hai mặt phẳng vuông góc
với nhau thì bất cứ đường
thẳng nào nằm trong mặt
phẳng này mà vuông góc với
giao tuyến sẽ vuông góc với mặt
phẳng kia.

a

∆

Q

P

3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định nghĩa
*Bước 1:Tìm một mp (Q) vuông góc với (P)
và đi qua M .

M

*Bước 2: Xác định giao tuyến ∆ của (Q) và
(P ) .
*Bước 3: Trong mp (Q) , dựng đường thẳng
MH vuông góc với ∆ tại H thì H là hình
chiếu vuông góc của M trên mp (P) , do đó
d ( M ; ( P)) = MH .

P

Q

H

∆

Chú ý: Trong trường hợp việc tìm hình chiếu của M trên (P) gặp khó khăn thì
ta có thể tính d ( M ; ( P )) theo khoảng cách từ một điểm N phù hợp đến (P) dựa
vào nhận xét sau:
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

4


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Trong không gian, cho hai điểm phân biệt M , N không thuộc mp (P) :
M

M

N

H

K

N

P

H K

I

Nếu MN ∩ ( P) = { I } thì:

P

Nếu MN // (P) thì:

d ( M ; ( P )) = d ( N ; ( P)) .

d ( M ;( P )) MI
MI
=
⇔ d ( M ;( P)) =
d ( N ;( P)) .
d ( N ; ( P)) NI
NI

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực
học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết câu hỏi về tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng thì rất thuộc phương pháp chung nhưng lúng túng khi
áp dụng.

2.3. Giải pháp
Trong bài viết này tôi đã cụ thể hóa bài toán tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng thành 2 bài toán nhỏ trong hình chóp với 4 dạng thường gặp
sau, giúp các em dễ dàng tiếp thu và áp dụng.
Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của
hình chóp.
Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao
đến mặt đi qua đỉnh của hình chóp.
Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng đi
qua đỉnh của hình chóp.
Bài toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.
Cụ thể:
1. BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
ĐI QUA ĐỈNH CỦA HÌNH CHÓP
(Trong bài này tôi chỉ xét mặt phẳng đi qua đỉnh và có giao tuyến với mặt đáy)
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của
hình chóp
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

5


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao là SH . Xác định khoảng
cách từ điểm H đến mặt phẳng đi qua đỉnh (SBC ) .
b/ Phân tích:
Xét thấy (SBC ) và mặt đáy ( ABCD) có giao

tuyến là BC . Áp dụng phương pháp chung ta
thấy ở bước 1, để xác định một mặt phẳng ( Q )
qua H và vuông góc với (SBC ) ta xác định ( Q )
qua H và vuông góc với giao tuyến BC . Làm
thế nào để xác định được ( Q ) ?.

c/ Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước như sau:
* Bước 1: .
- Xác định giao tuyến của mặt (SBC ) và mặt đáy ( ABCD) là BC
- Trong mặt đáy ( ABCD) , từ H dựng HI ⊥ BC tại I (tùy từng trường
hợp có thể xác định vị trí của I ) nối SI , ta được ( SHI ) ⊥ ( SBC )
- Trong mp (SHI ) , từ H dựng HK ⊥ SI tại K ta được d ( H ; ( SBC )) = HK
Thật vậy: Vì SH ⊥ BC và HI ⊥ BC suy ra mp ( SHI ) ⊥ BC ⇒ ( SHI ) ⊥ ( SBC )
Mà HK ⊂ ( SHI ) , HK ⊥ SI và SI = ( SHI ) ∩ ( SBC ) suy ra HK ⊥ (SBC ) . Do đó
d ( H ; ( SBC )) = HK

* Bước 2: Tính HK :
1
1
1
=
+
2
2
HK
HS
HI 2
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại C , cạnh AB = 2a và
∧
góc ABC = 60 0 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a . Tính theo a

Thường là dựa vào tam giác vuông SHI :

khoảng cách từ điểm A đến (SBC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy (SBC ) là mặt đi qua đỉnh , ( SBC ) ∩( ABC ) = BC . Khi dựng
AI ⊥ BC , lưu ý cho học sinh xác định điểm I trong bài toán tổng quát là điểm C
của bài tập (thường học sinh nhầm là I khác C ).

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

6


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Giải:

* Đã có ( SBC ) ∩( ABC ) = BC . Trong mp (SAC ) , dựng AK ⊥ SC tại K , Ta được:
d ( A; ( SBC )) = AK .
Thật vậy: Vì SA ⊥ BC , AC ⊥ BC ⇒ ( SAC ) ⊥ (SBC ) , mà AK ⊂ ( SAC ), AK ⊥ SC và
( SBC ) ∩ ( SAC ) = SC nên AK ⊥ ( SBC ) suy ra d ( A; ( SBC )) = AK
*Tính AK : Theo giả thiết ta có: ∆ABC vuông tại C , cạnh AB = 2a và góc
∧
ABC = 60 0 nên suy ra: AC = a 3 . Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường cao
nên

1
1
1

1
1
4
=
+
= 2 + 2 = 2
2
2
2
AK
AS
AC
a
3a
3a

Vậy : d ( A; ( SBC )) =

⇔ AK =

a 3
.
2

a 3
.
2
∧

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A = 120 0 .

Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD) bằng 450.
Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBD) .
Giải:
S

K
A
B

D
M

I

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

C
7


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

* Đã có ( SBC ) ∩ ( ABCD) = BC , trong ( ABCD ) dựng AI ⊥ BD tại I ( I là trung
điểm của BD ), nối SI .Trong (SAI ) dựng AK ⊥ SI tại K ta được d ( A; ( SBD)) = AK
* Tính AK :
- Xác định góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD) :
∧
∧
∧

Vì ABCD là hình thoi cạnh a có A = 120 0 nên B A C = CAD = 60 0 , suy ra ∆ABC và
∆ACD là các tam giác đều cạnh a .
Gọi M là trung điểm của cạnh CD , ta có CD ⊥ AM nên CD ⊥ SM (theo định lý
ba đường vuông góc) suy ra góc giữa mp (SCD ) và mp ( ABCD) là góc giữa hai
a 3
·
đường thẳng AM , SM và bằng SAM
.
= 450 ⇒ SA = AM =
2

- Tam giác SAI vuông tại A có AK là đường cao nên
1
1
1
4
4
16
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇔ AK =
.
2
2
2
4
AK
AI
AS

a
3a
3a
a 3
Vậy : d ( A; ( SBD)) =
.
4

Ví dụ 3: (Trích Đề thi TNTHPT năm 2015)
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
mặt phẳng ( ABCD ), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 0 .
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC .
Giải:
S

H
A
M

d

B

D
C

∧

Ta có SCA = ( SC , ( ABCD)) = 45 0 suy ra SA = AC = a 2 .
* Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC . Vì AC // mp ( SB, d ) nên

d ( AC ; SB ) = d ( AC ;( SB, d )) = d ( A; (SB, d )) .
* Xác định d ( A;( SB, d )) :
- Kẻ AM ⊥ d tại M , ( AM // BD ), nối SM .
- Kẻ AH vuông góc SM tại H , ta được d ( A;( SB, d )) = AH .
* Tính AH :
Tam giác SAM vuông tại A có đường cao AH nên:
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

8


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
1
1
1
5
a 10
=
+
= 2 ⇔ AH =
.
2
2
2
5
AH
AM
AS
2a

a 10
Vậy d ( AC ; SB ) =
.
5

Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I , F lần lượt là
trung điểm của AB và AD . Tính theo a
a/ khoảng cách từ I đến mp (SFC ) .
b/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD .
3a 2
.
8
a 15
b/ d ( SA; BD) =
.
5

Đáp số: a/ d ( I ; ( SFC )) =

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
AB = a , AA ' = 2a , A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là
giao điểm của AM và A ' C . Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (IBC ) .
Đáp số: d ( A; ( IBC )) =

2a 5
.
5

Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao
đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD có đường cao SH . Lấy điểm M thuộc
mặt phẳng đáy sao cho M khác H . Xác định khoảng cách từ M đến mặt đi qua
đỉnh (SBC ) .
S
S

B
A

H

K
C

I

B
A

H

C

M
M
D
D
(Hình a)

(Hình b)
b/ Phân tích: Nối MH , xảy ra 2 trường hợp: nếu MH ∩ ( SBC ) = H thì
( SBC ) ⊃ SH (hình a); nếu MH //( SBC ) hoặc MH ∩ ( SBC ) = I ; I ≠ H thì SH ⊄ (SBC )
(hình b).
9
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

- Nếu (SBC ) chứa đường cao SH thì qua M có sẵn mp ( ABCD) ⊥ ( SBC ) dẫn
đến việc xác định d ( M ; ( SBC )) gặp thuận lợi.
- Nếu (SBC ) không chứa SH thì việc tìm hình chiếu của M trên (SBC ) khó
khăn. Trong trường hợp này để tìm d ( M ; ( SBC )) ta quy về tìm khoảng cách từ
chân đường cao H đến mặt bên ( SBC ).
c/ Phương pháp: Xác định đường cao SH , Nối MH để biết (SBC ) chứa
hay không chứa SH và vận dụng phương pháp phù hợp:
* Trường hợp 1: Nếu (SBC ) chứa SH ( MH ∩ ( SBC ) = H ).
- Bước 1: Xác định ( ABCD) ∩ ( SBC ) = BC
- Bước 2: Dựng MK ⊥ BC tại K được d ( M ; ( SBC )) = MK
Thật vậy: vì ( ABCD) ⊥ ( SBC ) , ( ABCD) ∩ ( SBC ) = BC và MK ⊥ BC nên MK ⊥ (SBC )
suy ra d ( M ; ( SBC )) = MK .
* Trường hợp 2: Nếu (SBC ) không chứa SH ( MH //( SBC ) ) hoặc (
MH ∩ ( SBC ) = I ≠ H ).
- Bước 1: Quy việc tính d ( M ; ( SBC )) về tính d ( H ; ( SBC )) .
+ Nếu MN //(SBC ) thì : d ( M ; ( SBC )) = d ( H ; ( SBC ))
d ( M ; ( SBC ))

MI

+ Nếu MH cắt (SBC ) tại điểm I thì: d ( H ; ( SBC )) = HI
- Bước 2: Xác định và tính d ( H ; ( SBC )) suy ra d ( M ; ( SBC )) .
Ví dụ 1: (Trích đề minh họa THPT Quốc gia năm 2015)
∧
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2a . ACB = 30 0 .
Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và
SH = a 2 . Tính theo a :
a/ Khoảng cách từ B đến mp (SAC ) .
b/ Khoảng cách từ C đến mp (SAB) .
∧
Giải: Xét tam giác ABC vuông tại B , ta có: BC = AC .cos ACB = a 3 .
∧
AB = AC .sin ACB = a .

S
a/

A

M

H
C

B
* Vì ( SAC ) ⊃ SH nên ( ABC ) ⊥ ( SAC ) . Kẻ BM ⊥ AC tại M suy ra BM ⊥ (SAC ) ,
Do đó d ( B; ( SAC )) = BM .
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

10


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp
1
1
1
1
1
4
a 3
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇔ BM =
.
2
2
2
BM
BA
BC
a
3a
3a
2
a 3
Vậy d ( B; ( SAC )) =
.
2

S

* Trong ∆ABC :

b/

K
H

A

C
I
B

* Ta có CH ∩ ( SAB) = A và CA = 2 HA ⇒ d (C ; ( SAB)) = 2d ( H ; ( SAB)) .
* Xác định d ( H ; ( SAB)) : Trong ( ABC ) , kẻ HI ⊥ AB tại I ( HI // BC ). Nối SI .
Trong (SHI ) , kẻ HK ⊥ SI tại K . Ta được d ( H ; ( SAB )) = HK .
* Tính HK : Xét ∆SHI vuông tại H , HK là đường cao
1
1
1
11
a 66
=
+
= 2 ⇔ HK =
.
2
2

2
HK
HI
HS
6a
11
2a 66
Vậy: d (C; ( SAB)) = 2 HK =
.
11
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a , AD = CD = a , góc giữa hai mặt
phẳng (SBC ) và ( ABCD) bằng 45 0 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SCD ) .

ta có:

Gợi ý:
* Từ giả thiết chứng minh được AC ⊥ CB ,
SC ⊥ CB suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC )
∧
và ( ABCD) bằng SCA = 45 0 , tính được SA .
* Vì AB //(SCD) nên d ( B; ( SCD)) = d ( A; ( SCD )) .
* Gọi H là hình chiếu của A trên SD ,
chứng minh được AH là khoảng cách từ A
đến (SCD ) .
* Trong tam giác vuông ∆SAD tính được AH .
a 6
Đáp số: d ( B; ( SCD )) =
.

3

S

H
I

A
D

B
C

Bài tập vận dụng
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

11


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Bài 1. (Trích đề ĐH khối D-2011) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam
giác vuông tại B , BA = 3a, BC = 4a ; mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt phẳng
∧
( ABC ) . Biết SB = 2a 3 và SBC
= 30 0 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến
mặt phẳng (SAC ) .
Đáp số: d ( B; ( SAC )) =

6a 7
.
7

Bài 2. (Trích đề ĐH khối B-2014) Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam
giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung
điểm cạnh AB , góc giữa đường thẳng A ' C và mặt đáy bằng 60 0 .Tính theo a
khoảng cách từ điểm B đến mp( ACC ' A ' ).
3a 13
.
13
Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B , BC = 2 AB = 2 AD = 2a . Gọi E là điểm đối xứng với A qua D , M là trung
điểm của BC . Biết rằng cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa
hai mặt phẳng ( SCE ) và ( ABCD ) bằng 45 0 .Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM , SD .

Đáp số: d ( B; ( ACC ' A ' )) =

Đáp số: d ( AM ; SD) =

a 3
.
3

Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng
đi qua đỉnh của hình chóp.
a/ Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD , M là điểm thuộc mp (SAD) và M khác
S , M ∉ ( ABCD ) . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC ) .
b/ Phân tích: Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC ) ta quy về

tính cách từ một điểm thuộc mặt đáy ( ABCD) đến (SBC ) . Làm thế nào để tìm ra
điểm đó?
S

.
M
A
N

H

B

D hành theoCcác bước sau:
c/ Phương pháp: Có thể tiến
d ( M ; ( SBC ))

MS

*Bước 1: Nối SM cắt ( ABCD) tại N , suy ra liên hệ: d ( N ; ( SBC )) = NS .
*Bước 2: Tính khoảng cách từ N đến (SBC ) suy ra tính được d ( M ; ( SBC )) .
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

12


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Ví dụ : Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có độ dài cạnh đáy bằng a 3 , độ dài

cạnh bên bằng 2a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ∆ABC , H là hình chiếu
vuông góc của G trên SA . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
(SBC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy SH ∩ ( ABC ) = A , để tính khoảng cách từ H đến mp (SBC ) ta
dựa vào khoảng cách của điểm A đến (SBC ) ?.
Giải:
S

H
P
A

C
G

M

B
Vì S. ABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đường cao của hình chóp.
SH SG 2
=
.
SA SA2
2 a 3 3 2
Mà SG 2 = SA2 − AG 2 = 4a 2 − ( .
) = 3a 2 .
3
2
2
3

SH SG
3
=
=
nên d ( H ; ( SBC )) = d ( A; ( SBC )) , (1) .
2
4
SA SA
4
* Xác định d ( A; ( SBC ) :
Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có AG = 2GM suy ra

* Xét ∆SAG : SA.SH = SG 2 ⇒

d ( A; ( SBC )) = 2d (G; ( SBC )) , (2). Từ (1) và (2): d ( H ; ( SBC )) =

3
d (G; ( SBC )) .
2

* Tính d (G; ( SBC ))
Vì M là trung điểm của BC suy ra GM ⊥ BC , nối SM . Trong (SGM ) kẻ
GP ⊥ SM tại P , ta được d (G; ( SBC )) = GP .
Trong ∆SGM :

1
1
1
1
4

13
3 a 39
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ GP = a
=
.
2
2
2
13
13
GP
SG
GM
3a
a
3a
3a 39
Vậy d ( H ; ( SBC )) =
.
26

Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a .
Cạnh bên SA = a 2 , SA vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SB , G là trọng tâm tam giác ∆SAB . Tính theo a
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

13

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

a/ Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD ) .
Đáp số: d ( H ; ( SBC )) =

2a 6
.
9

b/ Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SAC ) .
Đáp số: d (G; ( SAC )) =

a 2
.
6

2. BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT ĐÁY CỦA
HÌNH CHÓP
a/Bài toán: Cho hình chóp S. ABCD , lấy điểm M bất kỳ thuộc mặt (SBC ) sao
cho M không trùng với các điểm S , B, C . Xác định khoảng cách từ điểm M đến
mp ( ABCD) .
b/ Phân tích: Vì d ( S ; ( ABCD)) = SH nên để tính d ( M ; ( ABCD)) ta dựa vào SH .
c/ Phương pháp:Tiến hành theo các bước như sau:

S

* Bước 1: Dựng đường cao SH của hình chóp.

* Bước 2:
-Trong (SBC ) có chứa M , nối SM cắt mp ( ABCD) tại
I (tùy vào hình mà có thể chính xác hóa vị trí I ).
- Nối HI .
A
d ( M ;( ABCD)) MI
=
-Tìm liên hệ :
.

M
B

SH

SI
* Bước 3: Tính SH suy ra d ( M ; ( ABCD)) .

D

H

N

I

C

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên
bằng a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , tính khoảng cách từ G đến mp

( ABCD) .
S
Giải :
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD . Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều
nên SO ⊥ ( ABCD) .
+ Nối SG cắt BC tại N (Do SBC là tam giác cân tại S nên N là trung điểm
1

1
a 2
của BC ). Vì GN = SN nên d (G; ( ABCD)) = SO =
.
3
3
G 3
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn
A
B

D

O

P N
C

14


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động

giải một số bài toán trong hình chóp

BD a 2. 2
=
= a , SO = SB 2 − OB 2 = a 2
2
2
a 2
Vậy d (G; ( ABCD)) =
.
3
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa đường
thẳng A ' C và mp ( ABC ) bằng 45 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A ' BC . Tính
khoảng cách từ G đến mp ( ABC ) .
Hướng dẫn: Xét thấy ( ABC ) là mặt đáy của hình chóp A ' . ABC với đường cao

+ Ta có: SB = a 3 , OB =

A ' A . Áp dụng phương pháp trên ta có lời giải sau:

Giải:

B’

A
’

C’
G

A

G
’

B
I

C
+ Vì ABC. A ' B ' C ' là hình lăng trụ tam giác đều nên A ' A ⊥ ( ABC ) tức A' A là đường
cao của hình chóp A ' . ABC .
1
3

1
3

+ Ta có G thuộc trung tuyến A' I của ∆A' BC và GI = A ' I nên d (G; ( ABC ) = A' A
∧
∧
+ Tính A' A : Góc giữa A ' C và ( ABC ) là góc A ' CA suy ra A 'CA = 45 0 .
∧
Vì A 'CA = 45 0 nên cạnh A ' A = AC = AB = a .

a
3

Vậy : d (G; ( ABC )) = .
GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

15


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm
tam giác SCD . Tính theo a khoảng cách từ G đến mp ( ABCD) .
Đáp số: d (G; ( ABCD )) =

a 3
.
6

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết diện tích đáy
bằng 2a 2 , AD = a , ∆SAB là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm của SC . Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt
phẳng ( ABCD) .
Đáp số: d ( M ;( ABCD )) =

a 3
.
6

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán
học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả
thu được như sau:

- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):
Lớp

Sĩ số

11A4
12A5

45
44

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
17
37.7
15
34.09

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
28
62.3
29
65.91

- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)
Lớp

Sĩ số

11A8
12A7

44
44

Đạt yêu cầu
Số lượng
%
39
88.63
40
90.0

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
5
11.37
4
10.0

16


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động

giải một số bài toán trong hình chóp

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
1. Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiến
thức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán về
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2. Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học
sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn.
3. Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt
động giáo dục.
4. Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra
bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng
tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp
mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin,
hứng thú khi học tập bộ môn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong
giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học
tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thêm.
Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh hoá, ngày 01 tháng 06 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Thị Vân

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

17


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động
giải một số bài toán trong hình chóp

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách hình học nâng cao lớp 11
2/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
3/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
4/ Đề đại học khối D-2011
5/ Đề đại học khối B-2014

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Vân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Lê Hoàn

TT

Tên đề tài SKKN

Kết quả

Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

1.
2.
3.
4.
5.

...

GV: Trần Thị Vân - Trường THPT Lê Hoàn

18