khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
I). PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN :
 Bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , là một dạng tốn
rất quan trọng trong chương vng góc của lớp 11 và là một phần hay ra trong đề
thi Đại Học .
Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai cơng cụ sau và nó liên
quan với nhau :
Bài tốn 1 : Tính khoảng cách từ hình chiếu vng góc của đỉnh đến một
mặt bên
Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên.
BƯỚC 1: Xác định giao tuyến d
BƯỚC 2 : Từ hình chiếu vng góc của đỉnh , DỰNG A H  d ( H �d ).
BƯỚC 3 : Dựng A I  SH  I �SH  .Khoảng cách cần tìm là AI
Với S là đỉnh , A là hình chiếu vng góc của đỉnh trên mặt đáy.
Ba bước dựng ở trên là sử dụng tính chất : Hai mặt phẳng vng góc với nhau ,
một đường thuộc mặt phẳng náy vng góc với giao tuyến thì sẽ vng vng với
mặt phẳng kia.
 Đây là bài tốn cơ bản nhưng vơ cùng quan trọng trong việc tính khoảng
cách từ một đểm đến một mặt phẳng .Hầu như tính khoảng cách từ một điểm
BẤT KỲ đến mặt phẳng bên đều thơng qua điểm này dựa vào cơng thức của bài
tốn 2 .
Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) .Hãy
xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC).
Ta có BC là giao tuyến của mp(SBC) và (ABC).
Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A , dựng A H  BC tại
H. Dựng A I  SH tại I
�BC  SA
� BC   SAH  �  SBC    SAH  .
�BC  AH

Vì �

Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (SAH)
theo giao tuyến SH có A I  SH

62


nên A I  mp  SBC  � d  A ,mp  SBC    AI
Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng
Thường sử dụng công thức sau :

Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:


  MO
d  A ,mp  P   AO

d M ,mp  P 

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Phương pháp phải tìm một đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà có thể
tính khoảng cách đến mặt phẳng (P). KINH NGHIỆM thường điểm A là hình chiếu
của đỉnh.
Để hiểu và tự làm được bài tập thì những tính chất của hình học và
phương pháp làm bài tập các bạn phải khắc vào trong tim.
II). BÀI TẬP MẪU
Câu 1: DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết

SA 

a 6
2

LỜI GIẢI
Đây là bài toán cơ bản chúng ta đã nói ở
phần trên
Gọi E trung điểm BC thì BC  A E (vì ABC
đều).
�BC  SA
� BC  mp  SAE  ,
�BC  AE

Có �

mà BC �(SBC) �  SBC    SAE  hai mặt
phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến

63


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

SE, trong mp(SAE) dựng A F  SE tại F. Suy ra





A F   SBC  . Vậy d A , SBC   AF .

Trong tam giác vuông SAE có
1
1
1
2
4
2
a 2
.





� AF 
2
AF2 AS2 A E2 3a2 3a2 a2

Kết luận d  A , SBC    AF 

a 2
.
2

Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
� =
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC

0
30 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
LỜI GIẢI
H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S, hai điểm
B và H cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm
với mặt phẳng (SAC) tại C . Nên bước đầu tiên ta
phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SAC) ,
sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để
tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC). Cách
làm cụ thể như sau :
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.
Do  SBC    ABC  vuông góc với nhau theo giao
tuyến BC nên SH  mp  ABC  .
Trong SBH vuông tại H có SH  SB.sin300  a 3, BH  SB.cos300  3a .
�AC  HG
� AC   SHG  mà
�AC  SH

Trong mp(ABC) dựng HG  AC tại G. Ta có �

A C �(SAC) �  SAC    SHG  hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến SG, trong mp(SHG) dựng HK  SG tại K � HK   SAC  .
Vậy d  H , SAC    HK .
Ta có CGH : CBA  g.g �
Trong SHG vuông tại H :

GH CH
a
3a


� GH  .3a 
.
BA CA
5a
5

1
1
1
25
1
28
3a 7
.


 2  2  2 � HK 
2
2
2
14
HK
HG
HS
9a 3a
9a

Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SAC) tại C, nên có:

64



  BC  4
d  H , SAC   HC
d B, SAC 









� d B, SAC   4d H , SAC  

6a 7
.
7

Các bạn phải nắm vững phương pháp tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh
lên mặt bên
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a,
�BC  600 . Gọi M là trung điểm BC. Biết SA = SB = SC = a 5 .
A

a). Tính chiều cao của hình chóp.
b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB).

LỜI GIẢI
a). Tính chiều cao của hình chóp.
Vì A BC vuông tại A, M trung điểm của BC
nên có MA  MB  MC (1)
Theo đề SA  SB  SC

(2) .

Từ (1) và (2) suy ra M là hình chiếu vuông
góc của S lên mp(ABC).
Vậy d  S, ABC    SM .
Trong SBM có
SM  SB2  BM 2 

 a 5

2

  a  2a .
2

b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB).
CHÚ Ý: M là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp(ABC).
�AB  MF
� AB  (SMF) mà
�AB  SM

Trong mp(ABC) dựng MF  AB tại F, có �

A B �(SAB) � (SA B)  (SMF) hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến SF, trong mp(SMF) dựng MG  SF tại F � MG   SAB .
Do đó d  M ,(SAB)  MG
MBA là tam giác cân có góc 600, nên MBA đều � MF 
Trong  SMF vuông tại M:

65

a 3
.
2


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

1
1
1
1
1
2a 57




� MG 
2
2
2
2

2
19 .
MG
SM
MF
 2a �a 3 �
�
�
�2 �
�
�

Vậy d  M ,(SAB) 

2a 57
.
19

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD
là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là
điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD . Gọi M là trung điểm của AB. Biết
rằng SA= 2 3a và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30o . Tính theo a
khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
LỜI GIẢI
Trong SAD vuông tại S có
SA 2  AH.AD � SA 2 

3
2SA
AD2 � AD 

 4a
4
3

� AH  3a,HD  a,SH  a 3 .

Có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên
mp(ABCD). Vậy góc giữa SC và (ABCD) là góc
�  SH � HC  3a
�  300 , tanSCH
.
SCH
HC

Ngoài ra HC2  HD2  DC 2 � DC  2a 2 .
Muốn tính khoảng cách từ M đến mp(SBC), ta phải tính khoảng cách từ H
(hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBC) trước, sau đó sử dụng
công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ M đến mp(SBC).
�BC  HK
� BC   SHK  , mà BC �mp  SBC 
�BC  SH

Dựng HK  BC,(K �BC) Ta có �

�  SHK    SBC  , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK,

dựng HI  SK ,(I �SK ) � HI   SBC  . Vậy d  H , SBC    HI .
Trong SHK vuông tại H có
1
1

1
1
1
11
2a 66
.


 2 2
� HI 
2
2
2
2
11
HI
HK
HS
8a 3a
24a
2a 66
Vì A H P(SBC) nên d  A , SBC    d  H , SBC   
.
11

Hai điểm A và M cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBC) tại B, có

66


  MB  1 � d M , SBC  1d A , SBC  a 66
    2     11 .
d  A , SBC   AB 2

d M , SBC 

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 

3a
,
2

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB.
Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (A – 2014 ).
LỜI GIẢI
Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm của
AC và BD.
Theo đề bài ta có SH   ABCD  .
HAD vuông tại A có
HD  AH 2  A D 2 

a2
a 5
.
 a2 
4
2

SHD vuông tại H có

SH  SD 2  HD 2 

9a2 5a2

 a.
4
4

Dựng HK  BD,(K �BD) . Có BD  HK và BD  SH � BD   SHK 

mà

BD � SBD  �  SBD    SHK  hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến SK, dựng HI  SK , I �SK  � HI   SBD  . Vậy d  H , SBD    HI .
1
2

a 2
, trong SHK có
4
1
1
1
8 1 9
a


 2  2  2 � HI  .
2

2
2
3
HI
HK
HS
a a
a

Ta có HK  AO 

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại B có:


  AB  2 � d A , SBD  2d H , SBD  2a
      3 .
d  H , SBD   HB
d A , SBD 

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa
đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 60 0. Tính theo a khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng (ACC'A'). (B – 2014 ).
LỜI GIẢI

67


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề bài ta có

A 'H   A BC  .

Có HC là hình chiếu vuông góc của A'C trên
mặt phẳng (ABC), nên góc giữa A'C và mặt
�'CH  600 . Do đó
phẳng (ABC) là góc A
A 'H  HC.tan600 

a 3
3a
.
. 3
2
2

Dựng HK  AC,(K �AC) . Có A C  HK và AC  A 'H � AC   A 'HK  mà
A C � ACC 'A ' �  ACC'A '   A 'HK  hai mặt phẳng này vuông góc với nhau

theo giao tuyến A'K, dựng HI  A 'K , I �A 'K  � HI   ACC'A ' .
Vậy d  H , ACC 'A '   HI .
Ta có HK  AH.sin600 
trong A 'HK có

a 3
,
4

1

1
1
16
4
52
3a 13
.





� HI 
26
HI 2 HK 2 HA '2 3a2 9a2 9a2

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ACC'A') tại A có:


  BA  2 � d B, ACC'A '  2d H , ACC 'A '  3a 13

  13 .
 
 
d  H , ACC'A '  HA
d B, ACC'A '

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M,N
và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN
và DM, biết SH   ABCD  ,SH  a 3 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt

phẳng (SBP).
LỜI GIẢI

�1  C
� 1 , mà C
�1  N
�1  900 � D
�1  N
�1  900 .
Ta có AMD  DNC(c.g.c) � D
Vậy DM  CN tại H.

68


a2 a 5
Trong CDN có CN  CD2  DN 2  a2  
,
4

CD 2  CH.CN � CH 

2

2a 5
4a2 a 5
, DH  CD2  CH 2  a2 
.

5

5
5

Muốn tính khoảng cách từ C đến mp(SBP), ta phải tính khoảng cách từ H (hình
chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBP) trước, sau đó sử dụng công
thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp(SBP).
Gọi K  BP �CN , suy ra K trung điểm của HC, vậy HK  KC 

a 5
.
5

Vì BPDM là hình bình hành nên BP PDM � BP  CN , và có BP  SH suy ra
BP  (SHK ) mà BP �(SBP) � (SHK )  (SBP) , hai mặt phẳng này vuông góc với
nhau theo giao tuyến SK, dựng HI  SK � HI  (SBP) . Vậy d  H ,(SBP)  HI .
Trong SHK vuông tại H có

1
1
1
5
1
16
a 3
.


 2  2  2 � HI 
2
2

2
4
HI
HK
HS
a 3a
3a

Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBP) tại K, có


  CK  1� d C, SBP  d H , SBP  a 3
      4 .
d  H , SBP   HK
d C, SBP 

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC ,đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông
góc với đáy , góc giữa SB và đáy ABC bằng 60 0 . I trung điểm của BC , H là
hình chiếu vuông góc của A trên SI
a). Chứng minh tam giác ABH vuông .
b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt
phẳng ABH
LỜI GIẢI
a). Chứng minh tam giác ABH vuông .
Ta có
�BC  AI
� BC   SAI  �  SBC    SAI  BC � SBC 
�
�BC  SA





hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến

SI , có AH  SI � AH   SBC  � AH  BH  BH � SBC  

Kết luận tam giác ABH vuông tại H .
AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) , nên góc giữa SB và
�  600 � SA  AB.tan600  2a 3 .
(ABC) là góc SBA
b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt
phẳng ABH

69


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Ta có A H   SBC  �  ABH    SBC  , từ I thuộc BC kẻ IK  HB K �HB ,
mà HB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (ABH) và (SBC) , nên suy ra
IK   ABH  . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABH) là IK .
SA I vuông

Trong

tại

A

có

A I 2  IH.IS � 3a2  IH.a. 15 � IH 

Trong BIH vuông tại I có :

,

SI  SA 2  AI 2  12a2  3a2  a 15

a 15
.
5

1
1
1
1
5
8
a 6
.





� IK 
4

IK 2 IB2 IK 2 a2 3a2 3a2

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (ABH) là
A , theo công thức tính tỉ lệ khoảng cách có



d G, ABH 



d I, ABH 



  GA  2
IA

3

2
2 a 6 a 6
� d G, ABH   d I, ABH   .

.
3
3 4
6









Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm
O, AB = 2a, SA = 4a. Tính:
a). Khoảng cách từ O đến (SAB). b). Khoảng cách từ A đến (SCD).
LỜI GIẢI
a). Khoảng cách từ O đến (SAB).
Do S.ABCD là hình chóp đều nên
SO  mp  A BCD  .( các bạn để ý O là hình

chiếu của đỉnh S)
Trong mp(ABCD) dựng OI  AB tại I, thì
A B   SIO 

mà

A B �(SAB)

�  SAB   SIO  , hai mặt phẳng này vuông

góc với nhau theo giao tuyến SI, trong (SOI)

dựng OH  SI tại H � OH   SAB . Vậy





d O, SAB  OH .
1
2

Có OI là đường trung bình của BAD � OI  AD  a .
Trong SAO vuông tại O : SO  SA 2  AO 2  16a2  2a2  a 14 .
Trong SOI vuông tại O :
1
1
1
1
1
15
a 210
.
 2
 2

� OH 
2
2
2
2
15
OH
OI
OS

a 14a
14a

b). Khoảng cách từ A đến (SCD).

70


Vì S.ABCD là hình chóp đều nên khoảng cách từ tâm O đến các mặt bên bằng
nhau, nên d  O, SAB   d  O, SCD    OH 

a 210
.
15

Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C, nên có:


  AC  2
d  O,mp  SCD   AO

d A ,mp  SCD 









� d A ,mp  SCD   2d A ,mp  SCD  

2a 210
.
15

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng
a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300.
a). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
b). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
c). Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC, trọng tâm G của tam giác SCD
đến mặt phẳng (SBD).
d). Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng (SAB).
LỜI GIẢI
a). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
�
CB  AB
� CB   SA B � SB là hình chiếu
CB  SA
�

Vì �

của SC lên mp(SAB)

 





� SAB  SC,SB
�  300
� SC,
  �  CSB

Trong SBC vuông tại B có
SB  BC.cot300  a 3 .

Trong SA B vuông tại A có SA  SB2  AB2  3a2  a2  a 2
�
SA  BD

+ Ta có �

�AC  BD

� BD   SAC  mà BD �(SBD) �  SBD    SAC  hai mặt

phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SO  O  AC �BD  ,trong mp(SAC)
dựng A H  SO,H �SO � A H   SBD  � d  A , SBD    AH .
+ Trong tam giác vuông SAO có:
Vậy d  A , SBD   

1
1
1
1
2

10a


 2  2 � AH 
2
2
2
5
AH
SA
AO
2a a

a 10
.
5

b). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

71


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD)


  CO  1� d C, SBD  d A , SBD  a 10
      5 .
d  A , SBD   A O

d C, SBD 

tại O nên có:

c). Tính khoảng cách từ I và G đến mặt phẳng (SBD)
Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại


  IS  1 � d I , SBD  1 d C, SBD  a 10
    2     10 .
d  C, SBD   CS 2
d I, SBD 

S nên có:

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SBD) tại
D nên có:



d G, SBD 



d I, SBD 



  GD  2 � d G, SBD  2d I, SBD  2. a 10  a 10
    3     3 10 15 .

ID 3

d). Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng (SAB).
ở câu a) ta có CB   SA B � d  C,mp  SAB   CB  a .
 Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB) tại
S nên có


  IS  1 � d I, SAB  1d C, SA B  a
    2     2.
d  C, SAB  CS 2
d I, SAB

Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB)
tại A nên có


  OA  1 � d O, SAB  1d C, SAB  a
   2    2.
d  C, SAB  CA 2

d O, SAB

Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB)
tại A nên có


  OA  1 � d O, SAB  1d C, SAB  a
   2    2.
d  C, SAB  CA 2

Vì CE PAB nên d  C, SAB   d  E, SAB   a .
d O, SAB

Vì hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SAB)
tại S nên có:


  GS  2 � d G, SAB  2 d E, SAB  2a
   3    3 .
d  E, SAB  ES 3

d G, SAB

72


Thông qua bài tập này các bạn thấy mấu chốt của bài toán là dựa vào khoảng
cách từ hình chiếu của đỉnh ở đây là điểm A , sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ
khoảng cách.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a , SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA  a 6 .
a). Tính khoảng cách từ A , B đến (SCD).
b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
LỜI GIẢI

�
CD  AC  gt 
�
� CD  mp  SAC  mà CD �(SCD) �  SCD    SAC  , hai
CD  SA

�

Có �

mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SC, trong (SAC) dựng





A H  SC ( H �SC ) � AH   SCD  . Vậy d A , SCD   AH .

Trong A CD vuông tại C có A C  AD 2  CD 2  4a2  a2  a 3 .
Trong tam giác vuông SAC có

1
1
1
1
1
a 3
.


 2  2 � AH 
2
2
2
2
AH

SA
AC
a 3a

 Kết luận d  A , SCD    AH  a 3 .
2

Gọi M trung điểm của AD thì BM PCD � BM P SCD  , gọi O  BM �AC nên









d B, SCD   d O, SCD  .

Hai điểm A và O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C nên
Ta có:


  OC  1
d  A , SCD   AC 2
d O, SCD 



 Kết luận d  B, SCD    a 3 .

4

b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).

73



� d O, SCD  

1
a 3
d A , SCD  
.
2
4






Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Vì AD PBC � AD Pmp  SBC  � d  AD, SBC    d  A , SBC  
�BC  AK

Trong mp(ABCD) dựng AK  BC  K �BC  , có �

�BC  SA

� BC   SA K  mà

BC �(SBC) �  SBC    SAK  hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến

SK



,

trong

mp(SAK)

dựng

A J  SK  J �SK  � AJ   SBC 



� d A , SBC   AK .
2

�a � a 3
.
2
�2 �

Tính AK: A K  AB2  BK 2  a2  � � 
Trong tam giác vuông SAK:
Kết luận d  A D, SBC   

1
1
1
1
4
a 3 a 21


 
� AJ 

.
7
AJ 2 SA 2 AK 2 a2 3a2
7

a 21
.
7

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa
mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0. Tính khoảng cách từ D đến
mặt phẳng (SBM).
LỜI GIẢI

�1  A
� , Mà
�Gọi H là giao điểm của BM và AN. Ta có A BM  DAN  c.g.c � B
1
� M
�  900 � A
� M
�  900 . Vậy BM  AN
B
1
1
1
1
�BM  AN
� BM   SAN  � BM  SH .
�BM  SA

Ta có �

BM là giao tuyến của mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) và có
BM  AN , BM  SH nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng AN
�  450 .
và SH là góc SHA

Tam giác SAH vuông cân tại A � AH  AS  a
Trong tam giác vuông ABM:

74

1
1
1


2
2
AB AM
AH 2
� AB2  5AH 2 � AB  AH 5  a 5

Có BM   SAN  mà BM �(SBM) � (SBM )  (SAN) , hai mặt phẳng (SBM) và
(SAN) vuông góc nhau theo giao tuyến SH , trong (SAN) dựng A I  SH  I �SH 
suy ra A I   SBM  � d  A ,mp  SMB   AI .
Trong tam giác SAH vuông cân tại A có A I 

SH A H. 2 a 2
.


2
2
2

Hai điểm A và D cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBM) tại M
nên có :


  DM  1

d  A , SMB  AD
d D, SMB









� d D, SMB  d A , SMB 

a 2
.
2

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình vuông tâm O cạnh a , SA
vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi I , J là trung điểm của SC và AB.
a). Chứng minh IO  (ABCD).

b). Tính khoảng cách từ I đến CJ.

LỜI GIẢI
a). Chứng minh IO  (ABCD).
Trong tam giác SAC có OI là đường trung
bình của tam giác. Nên có :
�
OI PSA
�

� OI  mp  ABCD  .
�
SA  mp  ABCD 
�

b). Tính khoảng cách từ I đến CJ.
Trong (ABCD) dựng OH  CJ tại H. Ta có
�
CJ  SO
� CJ   IOH  � CJ  IH .
�
CJ  OH
�

Khoảng cách từ I đến CJ là HI . Gọi G  BO �CJ nên G là trọng tâm của tam
1
3

giác ABC ,với OG  OB 

a 2
.
6

Trong COG vuông tại O có

75

1
1

1
2 18 20
a





� OH 
.
OH 2 OC 2 OG2 a2 a2 a2
20


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

a2 a2 a 30
Trong OIH vuông tại O : IH  OH 2  OI 2 
.


20

4

10

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 .
a). Tính khoảng cách từ AA' đến (BCC'B').

b). Tính khoảng cách từ A đến (A'BC).
c). Chứng minh AB  (ACC'A') và tính khoảng cách từ A' đến (ABC').

LỜI GIẢI
a). Tính khoảng cách từ AA' đến mp(BCC'B').
do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các đường thẳng
AA’, BB’, CC’ vuông góc với các đáy (ABC) và
(A’B’C’).
Dựng A H  BC tại H. có
�AH  BC
� AH   BCC'B' � d A , BCC 'B'  AH
�
�AH  BB'





Tam giác ABC vuông tại A có AC  BC 2  AB2  a
và A H.BC  A B.AC � AH 

a 3.a a 3
.

2a
2

Kết luận d  A ,mp  BCC 'B'  

a 3

2

Vì AA' // BB'









� AA ' P BCC'B' � d AA ',  BCC 'B'  d A ,  BCC'B'  AH 

a 3
.
2

b). Tính khoảng cách từ A đến (A'BC).
Có BC  A H và BC  AA ' � BC   A 'AH  mà BC �(A'BC)
�  A 'BC    A 'AH  , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến

A'H trong (A’AH) dựng A K  A 'H  K �A 'H  � AK   A 'BC  .
Vậy d  A , A 'BC    AK .
Trong A 'AH có :

1
1
1
1

4
7
a 21
.


 2  2  2 � AK 
2
2
2
7
AK
AA ' AH
a 3a
3a

76


Kết luận d  A , A 'BC   

a 21
.
7
�AB  A C
� AB   ACC 'A '
�AB  A A '

c). Chứng minh AB  (ACC'A') , vì �

Vì A B   ACC'A ' �  ABC'   ACC 'A ' , hai mặt phẳng này vuông góc với
nhau

theo



giao

tuyến

AC',

A 'I  AC ' � A 'I   ABC' .

dựng

Vậy



d A ',  ABC '  A 'I

Trong A A 'C ' có

1
1
1
1 1
2

a


 2  2  2 � A 'I 
.
2
2
2
A 'I
AA ' A 'C'
a a
a
2

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA  đáy
và SA = a 3 .
a). Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC).
b). Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
c). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).
LỜI GIẢI
a). Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC).
�BC  AB
�BC  SA

Ta có �

� BC   SAB �  SBC    SAB , hai mặt phẳng

này vuông góc với nhau theo giao tuyến SB trong

mp(SAB) dựng AH  SB tại H � AH   SBC  . Vậy





d A , SBC   AH

Trong SA B có

1
1
1
1
1


 2  2 � AH  a 3 .
2
2
2
AH
A B AS
a 3a
2

Kết luận d  A , SBC   

a 3
.

2

b). Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBC) tại C, nên có:


  OC  1
d  A , SBC   AC 2
d O, SBC 





� d O, SBC  

a 3
.
4

c). Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp(SAC).

77


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

�BO  A C

Ta có �

�BO  SA





� BO   SAC  � d B, SAC   BO 

BD a 2

.
2
2

Hai điểm B và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại I với I trung
điểm của SA , nên có:


  GI  1
d  B, SAC   BI 3

d G, SAC 

1
a 2
� d G, SAC   d B, SAC  
.
3
6









Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a,
SA = a và SA vuông góc với đáy (ABCD) . Gọi I , M là trung điểm của SC , CD .
a). Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b). Tính khoảng cách từ I đến (SBD).
c). Tính khoảng cách từ A đến (SBM).
LỜI GIẢI
a). Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Trong mp(ABCD) dựng A O  BD tại O
Có BD  AO và BD  SA � BD   SA O 
mà BD �(SBD) �  SBD    SAO  , hai
mặt phẳng này vuông góc với nhau theo
giao tuyến SO, trong (SAO) dựng
A H  SO tại H � AH   SBD  .

Vậy d  A , SBD    AH .
Trong A BD có
1
1
1
1
1
5

2a





� AO 
.
AO 2 AB2 AD 2 a2 4a2 4a2
5

Trong SAO có

1
1
1
5
1
9
2a





� AH 
.
3
AH 2 A O 2 AS2 4a2 a2 4a2

Kết luận d  A , SBD    AH 

2a
.
3

b). Tính khoảng cách từ I đến (SBD)
Gọi N  AC �BD . Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với
mp(SBD) tại N, nên có:


  CN  1 � d C, SBD  d A , SBD
     
d  A , SBD   AN
d C, SBD 

Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại S , nên có:

78



  IS  1
d  C, SBD   CS 2
d I, SBD 





� d I, SBD  

1
a
d C, SBD   .
2
3





c). Tính khoảng cách từ A đến (SBM).
�BM  AK
� BM  (SAK ) mà
�BM  SA

Trong mp(ABCD) dựng A K  BM ,K �BM , có �

BM �(SBM) � (SAK )  (SBM) hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến SK, trong (SAK) dựng A J  SK ,J �SK � A J   SBM  � d  A , SBM    AJ .
Có BM  BC 2  CM 2  4a2 

a2 a 17
.

4
2
1

2

1
2

Có SABCD  SABM  2SBCM � 2a2  AK.BM  2. BC.CM
1 a 17
a2
6a
2a2  .
AK 
� AK 
.
2 2
2
17

Trong SAK có

1
1
1
17
1
53
6a



 2

� AJ 
.
2
2
2
2
2
AJ
AK
AS
36a a
36a
53

Kết luận d  A , SBM    A J 

6a
53

.

Câu 17: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của
AB dựng SH vuông góc với (ABCD) với SH = a.
a). Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
b). Tính khoảng cách từ O đến (SCD).
c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
LỜI GIẢI
a). Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
Trong (ABCD) dựng HK  CD tại K .
�

CD  HK
� CD   SHK 
CD  SH
�

Ta có �

mà CD �(SCD) �  SCD    SHK  hai mặt
phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến
SK , trong (SHK) dựng HI  SK tại I
� HI   SCD  .

Vậy d  H ,mp  SCD    HI .

79


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Vì A B PCD � d  H ,CD   d  A ,CD  
Trong SHK vuông tại H :

a 3
( A CD đều )
2

1
1
1
4

1
7
a 21
.


 2  2  2 � HI 
2
2
2
7
HI
HK
HS
3a a
3a

Kết luận d  H ,mp  SCD    HI 

a 21
.
7

b). Tính khoảng cách từ O đến (SCD).
Gọi M là giao điểm của HO và CD, O là tâm đối xứng của đáy suy ra O trung
điểm của HM. Nên


  OM  1 � d O, SCD  a 21
    14 .

d  H , SCD   HM 2
d O, SCD 

c). Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Muốn tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) , ta phải tính khoảng cách từ H đến
mp(SBC) trước sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách
�BC  HL
� BC   SHL 
�BC  SH

Trong (ABCD) dựng HL  BC tại L , có �

�  SBC    SHL  , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SL,

trong mp(SHL) dựng HJ  SL tại J � HJ   SBC  � d  H , SBC    HJ .
�  600 . Trong  HBL: HL  BH.sin600  a 3 .
Ta có A BC đều nên HBL
4

Trong SHL vuông tại H :

1
1
1
16 1 19
a 57


 2  2  2 � HJ 
2

2
2
19
HJ
HL HS
3a a
3a

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBC) tại B nên có


  AB  2 � d A , SBC  2a 57
    19 .
d  H , SBC   HB
d A , SBC 

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a và SA  đáy (ABCD) , đáy là
hình thang vuông tại A và B, có AB = BC = a, AD = 2a.
a). Tính khoảng cách từ A , B đến (SCD). b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
LỜI GIẢI

80


a). Đáy được vẽ lại ở hình 2 . Dễ dàng chứng minh CD  AC .
�
CD  AC
� CD   SAC  �  SCD    SAC  hai mặt phẳng này vuông góc
CD  SA
�

Có �

với nhau theo giao tuyến SC, trong (SAC) dựng A H  SC,H �SC � AH   SCD  .
Vậy d  A , SCD    AH .
Trong SA C có

1
1
1
1
1
3





AH 2 AC 2 AS2 2a2 4a2 4a2
2a

Kết luận d  A , SCD    AH 

3

� AH 

2a
3

.

.

Gọi M là trung điểm của AD, thì BCDM là hình vuông � BM PCD . Gọi









O  BM �AC . Vì MB PCD � BM Pmp  SCD  � d B, SCD   d O, SCD  .

Hai điểm O và A nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C nên có


  OC  1
d  A , SCD   AC 2
d O, SCD 





� d O, SCD  

Kết luận d  B, SCD   

a
3

1
a
d A , SCD  
.
2
3





.

b). Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).







A D P BC � AD P SBC  � d AD, SBC   d A , SBC 



Ta có BC  mp  SAB �  SBC    SAB , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau

theo giao tuyến SB, trong (SAB) dựng A I  SB I �SB � AI   SBC  .
Vậy d  A , SBC    AI .
Trong SA B có

1
1
1
1
1
5
2a





� AI 
.
AI 2 AB2 AS2 a2 4a2 4a2
5

Kết luận d  A D, SBC    AI 

2a
5

.

�  1200 , BD = a ,
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với BAD

SA  đáy (ABCD), góc giữa mp(SBC) và mp đáy là 600 . Tính:
a). Đường cao của hình chóp.
b). Khoảng cách từ A đến (SBC).
LỜI GIẢI

81


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

a). Gọi

O  AC �BD ,

trong (ABCD) dựng

�BC  AH
A H  BC,H �BC . Có �
�BC  SA
� BC   SAH  � BC  SH .
�
 SBC  � ABCD   BC
�
Có �SH  BC , AH  BC
�
SH � SBC  ,AH � ABCD 
�
�HS  600
��

SBC  , ABCD  � A
�
�
�

Dễ thấy ABC là tam giác đều A H  BO 

AB. 3
a
a
� AB 
, và BO 
.
2
2
3

�  SA � SA  tan600.AH  a 3 .
Trong SA H có: tan AHS
AH

2

b). Theo câu a) có BC   SAH  mà BC �(SBC) � (SBC)  (SAH) , trong (SAH)
dựng A I  SH ,I �SH � AH   SBC  . Vậy d  A , SBC    AI .
1
1
1
4
4

16
a 3
.





� AI 
4
AI 2 AH 2 AS2 a2 3a2 3a2

Kết luận d  A , SBC    AI 

a 3
.
4

Câu 20: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
�BC  BAD
�  900 , BA = BC = a,
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. A

AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính ( theo a)
khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
LỜI GIẢI

82

1
2

Gọi M trung điểm của AD có MA  MC  M D � MC  AD ,vậy tam giác
�
CD  AC
� CD   SAC  � CD  SC . Kết luận tam giác
CD  SA
�

ACD vuông tại C. Có �
SCD vuông tại C.

�AI  SC
� AI   SCD 
�AI  CD

Trong (SAC) dựng A I  SC tại I . Có �





� d A , SCD   AI .
1
1
1
1
1

1


 2  2  2 � AH  a
2
2
2
AI
AC
AS
2a 2a
a
Gọi G  BM �AC .Ta có BM PCD nên BM P(SCD)

Trong SA C vuông tại A có

Vậy d  B, SCD    d  G, SCD   .
Hai điểm A và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SCD) tại
C nên:


  GC  1 � d G,mp SCD  1d A ,mp SCD  a

 2 

  2.

d  A ,mp  SCD   AC 2
d G,mp  SCD 

Trong SA B vuông tại A có :
SH.SB  SA 2 �

SH.SB SA 2
SH
SA 2
2a2
2

�

 2 2 .
2
2
2
2
SB
3
SB
SB
SA  A B
2a  a

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng (SCD) tại S
nên:


  HS  2
BS 3
d  B,mp  SCD  

d H ,mp  SCD 





� d H ,mp  SCD  

2
a
d B,mp  SCD   .
3
3





Câu 21: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc
�
= 600 và SA=SB = SD = a.
BAD
a). Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b). Chứng minh tam giác SAC vuông.
c). Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
LỜI GIẢI
a). Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có SBD cân tại S có O là trung điểm

của BD nên SO  BD ; ABCD là hình thoi nên
BD  AC � BD   SAC  .

mà BD � ABCD  �  SAC    ABCD  .
b). Chứng minh tam giác SAC vuông:
Ta chứng minh SO = AO = OC.

83


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

�  600 � ABD đều.
 Do A BD cân tại A có BAD

 A BD đều cạnh a có AO là đường trung tuyến � AO  a 3 .
2

2

a�
3a2 a 3
 Xét SOD vuông tại O, ta có : SO  SD2  OD2  a2  �
.


��
�2 �

� SO  AO  OC 

4

2

a 3
, mà SO là đường trung tuyến của SA C � SAC
2

vuông tại S.
Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến
A BC vuông tại A � AM  MB  MC .
“Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”
c). Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Xét hình chóp S.ABD :
Ta có : SA = SB = SD = a , AB = BD = DA = a nên
S.ABD là hình chóp đều.
Gọi H là trọng tâm của A BD � SH   ABD  (Theo
tính chất của hình chóp đều).





� SH   ABCD  tại H � d S, ABCD   SH .
2
3

2 a 3 a 3

.

3 2
3

 Vì H là trọng tâm ABD nên A H  AO  .
 Trong SHA vuông tại H, ta có :
2

2

�a 3 �
�a 3 �
SH  SA  AH  a  �
�  a2  �
�
�3 �
�3 �
�
�
�
�
2



2



2

� d S, ABCD   SH 

2a2 a 6
.

3
3

a 6
.
3

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA   ABCD  ,
SA  AB  a,AD  a 2 , Gọi H là trung điểm SB.

a). Chứng minh:  SCD    SAD  ,A H  SC.
b). Xác định và tính góc giữa SC và  ABCD  .
c). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB . Tính khoảng cách từ G đến  SA C  .
LỜI GIẢI

84


�
CD  AD

a). Có �

CD  SA
�

� CD  (SAD) ,

mà CD �(SAC) � (SCD)  (SAD) .
�BC  AB
� BC  (SAB)
�BC  SA

Có �

� BC  AH  do A H �(SA B) (1).

Vì SA B vuông cân tại A � AH  SB

(2).

Từ (1) và (2) suy ra AH  (SBC) � AH  SC  do SC �(SBC) .
b). AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD) do đó góc giữa SC và
� .
mp(ABCD) là góc SCA
�
Trong SA C vuông tại A có tanSCA 

SA
a
1
�  300



� CSH
.
AC a 3
3

c). Gọi E trung điểm của AB. Dựng EF  AC,F �AC
� EF  (SAC)  do EF  AC,EF  SA  .Vậy d  E,(SAC)  EF .
a
FE
AE
a 6.
Có AFE ~ABC  g.g �

� FE  2 .a 2 
BC AC
6
a 3

Hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại S, có:
d  G,(SAC)
d  E,(SAC)



GS 2
2
a 6
 � d  G,(SAC)  d  E,(SAC) 
ES 3

3
9

Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
A B  a;BC  a 6,SA   ABC  và SA  a . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A

trên cạnh SB và G là trọng tâm của SA B .
a). Chứng minh:  AEC    SBC  .
b). Tính góc giữa hai đường thẳng SC và  SAB .
c). Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  .
d). Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SA C  .
LỜI GIẢI
�BC  AB
� BC  (SAB)
�BC  SA

a). Có �

� BC  AE  do AE �(SAB) (1)

Theo đề A E  SB (2).

85


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Từ (1) và (2) suy ra A E  (SAB) ,
mà A E �(ACE) � (ACE)  (SAB)
Có SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB), do đó góc giữa SC và

� .
(SAB) là góc CSB
� 
Trong SBC vuông tại B có tanCSB

BC a 6
�  600

 3 � CSB
.
SB a 2

�
(SBC) �(ABC)  BC
�
�
�
�
� SB,AB
��
(SBC),(ABC)
 SBA
c). Có �SB  BC;AB  BC
.
�
�
�
SB
�
(SBC);AB

�
(A
BC)
�





SA a
�  450
  1� SBA
.
AB a
d). Theo giả thuyết có SA B vuông cân tại A � E trung điểm của SB
Gọi H trung điểm của AB. Dựng HI  AC,I �AC
� 
Trong SA B vuông tại A có tanSBA

� HI  (SAC)  do HI  AC,HI  SA  .Vậy d  H,(SAC)  HI .
a
IH
AH
a 42 .
Có AIH ~ABC  g.g �

� IH  2 .a 6 
BC AC
14
a 7

Hai điểm H và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với (SAC) tại S, có:
d  G,(SAC)

d  H,(SAC)



GS 2
2
a 42
 � d  G,(SAC)  d  E,(SAC) 
.
HS 3
3
21

Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a.
Hai mặt bên  SAB và  SAD  cùng vuông góc với đáy, SA  a.
a). Chứng minh: BD  SO; SAD    SCD  .
b). Xác định và tính góc giữa SB và mặt phẳng  SAC  .
c). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  .
d). Xác định và tính góc giữa  SBC  và  SCD  .
LỜI GIẢI
�
(SAB) �(SAD)  SA
�
a). Theo đề bài �(SAB)  (ABCD)
�
(SAD)  (ABCD)

�
� SA  (ABCD) .

86