Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT tĩnh gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Văn Dũng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC


NỘI DUNG
1. Mở đầu

TRAN
G
2

1.1.Lý do chọn đề tài

2

1.2.Mục đích nghiên cứu

2

1.3.Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung nghiên cứu

2

2.1.Cơ sở lý luận

2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề

3
4

Bài toán 1

4

Bài toán 2

5

Bài toán 3

7

Bài toán 4

8

Bài toán 5

8

Bài toán 6
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị

9
12
13

3.1. Kết luận

13

3.2. Kiến nghị

14

Tài liệu tham khảo

15

2


1.
1.1

MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán ở bậc THPT học sinh gặp nhiều bài toán liên quan đến
hệ phương trình. Đặc biệt trong các kì thi Đại học, Cao đẳng, kì thi học sinh giỏi
cấp tỉnh môn toán các bài toán về hệ phương trình là bài toán khó và gây nhiều khó
khăn cho học sinh. Chính vì thế mà các dạng bài toán về hệ phương trình có sự hấp
dẫn, kích thích sự tìm tòi của những người yêu toán. Việc giúp học sinh tìm tòi
nhiều cách giải cho một bài toán là một việc mà các thầy cô giáo tâm huyết cần
phải làm. Là một giáo viên được trực tiếp giảng dạy môn toán với thời gian hơn 10
năm ở trường THPT Tĩnh Gia 3, được giao trọng trách giảng dạy đội tuyển toán của
nhà trường cũng như học sinh thi đại học tôi luôn không ngừng tìm tòi, nghiên cứu
để tìm ra các phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất, những phương pháp giải phù
hợp với nhiều đối tượng học sinh ở đơn vị công tác.
Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: "Một số kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ phương trình bằng phương
pháp hàm số"
1.2

Mục đích nghiên cứu

Qua sáng kiến kinh nghiệm tôi mong muốn trang bị cho học sinh một phương
pháp giải hệ phương trình mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về
phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng
tạo.
Đối tượng nghiên cứu
Các dạng toán giải hệ phương trình nằm trong chương trình toán phổ thông
Một số bài toán giải hệ phương trình trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và
các đề thi học sinh giỏi tỉnh.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Thông qua các ví dụ, các bài tập cụ thể với cách giải đơn giản nhằm làm cho học
sinh thấy được thế mạnh của việc sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương
trình. Từ đó học sinh biết sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình
một cách hiệu quả nhất.
Thực nghiệm sư phạm.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
2.1 Cơ sở lí luận
1.3

•
•

•

•

Sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình là một phương pháp có
tính hiện đại, cách giải hay, nhanh gọn và độc đáo.
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT nên SGK cơ bản không đề cập đến

dạng bài tập liên quan đến phương pháp này nhưng trong các đề thi thì vẫn có. Do
3


vậy phương pháp này không phổ biến và bắt buộc. Chính vì lẽ đó mà đại đa số học
sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng.
Đối với học sinh khá giỏi thì việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một
vấn đề cấp thiết giúp các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng
phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và
đạt kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT Quốc gia.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho
học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải hệ phương trình khi gặp các
bài toán liên quan đến sử dụng phương pháp hàm số.
Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi hướng
dẫn học sinh tiến hành theo các bước sau đây:
• Bước 1: Dự đoán hàm đặc trưng
• Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên miền xác định, từ đó tìm
mối liên hệ giữa các ẩn.
Để thực hiện được 2 bước trên ta phải nắm vững các dạng toán sau:
f ( x) = k
Dạng 1: phương trình
y = f ( x)

Bước 1: Xét hàm số
, dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả
sử hàm số đồng biến)
 Bước 2: nhận xét:
x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k
x = x0
- Với

, do đó
là nghiệm phương trình
x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k
- Với
, do đó phương trình vô nghiệm
x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k
- Với
, do đó phương trình vô nghiệm
x = x0
Vậy
là nghiệm duy nhất của phương trình
f ( x) = g ( x)
Dạng 2: Phương trình


y = f ( x)



Bước 1: Xét 2 hàm số



là đồng biến còn hàm số
là nghịch biến.
x0
f ( x0 ) = g ( x0 )
Bước 2: Xác định sao cho
, suy ra phương trình có nghiệm
x = x0

duy nhất

y = f ( x)

và

y = g ( x)

y = g ( x)

, dùng lập luận khẳng định hàm số

4


Dạng 3: Phương trình

f (u ) = f ( v )
y = f ( x)

Bước 1: Xét hàm số
, dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu.
f (u ) = f (v) ⇔ u = v ∀u, v ∈ D f
 Bước 2:
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
• Trong sách giáo khoa Toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay các bài toán
về hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số có số lượng ít và mức độ
khó chưa tương xứng với yêu cầu của các đề thi hiện nay. Hầu hết học sinh
đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
• Trong suốt quá trình giảng dạy ở trường THPT Tĩnh gia 3 tôi nhận thấy là

học sinh khi gặp những bài toán về "Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ
phương trình" thường tỏ ra rất hoang mang và khó khăn khi giải.
• " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ
phương trình bằng phương pháp hàm số " là chìa khóa gỡ nút thắt trong các
bài toán hệ phương trình.
• " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ
phương trình bằng phương pháp hàm số " cho ta cách nhìn đa chiều về một
bài toán, kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của học
sinh.
2.3 Các giải pháp giải quyết vấn đề
- Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải các bài toán về hệ phương thình,
giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi
tuyển sinh.
- Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu các phương pháp này cho học sinh từ năm
lớp 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các
dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các
em quen dần với các phương pháp này.
- Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học cần tạo thành chuyên
đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt.
 Một số bài toán giải hệ phương trình áp dụng phương pháp hàm số:
Bài toán 1:


Giải hệ phương trình :
 20 6 − x − 17 5 − y − 3x 6 − x + 3 y 5 − y = 0 ( 1)
( I .1) 
2
 2 2 x + y + 5 + 3 3x + 2 y + 11 = x + 6 x + 13 ( 2 )

( x, y ∈ R )

( Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn toán Thanh Hóa 2014-2015)
5


Lời giải:
Điều kiện:

x ≤ 6; y ≤ 5;2 x + y + 5 ≥ 0; 3 x + 2 y + 11 ≥ 0

( 20 − 3x ) 6 − x = ( 17 − 3 y ) 5 − y
⇔ ( 3( 6 − x ) + 2 ) 6 − x = ( 3( 5 − y ) + 2 )
Xét hàm số

f ( t ) = ( 3t + 2 ) t
f '( t ) = 3 t +

Kết hợp với

( 3)

ta có

với

t≥0

, ta có

3t + 2

> 0, ∀t > 0
2 t

( 2)

của hệ, ta được

2 3 x + 4 + 3 5 x + 9 = x + 6 x + 13

x≥−

2

⇔

(

) (

3x + 4 − ( x + 2 ) + 3
−2 x ( x + 1)

3x + 4 + ( x + 2 )

( 3)

f ( 6 − x) = f ( 5 − y) ⇔ 6 − x = 5 − y ⇔ y = x −1

Thay vào phương trình

⇔2

5− y

+

, với

4
3

.

)

5 x + 9 − ( x + 3) = x 2 + x

−3x ( x + 1)

5 x + 9 + ( x + 3)

= x2 + x



2
3
⇔ x ( x + 1) 
+
+ 1÷ = 0

 3x + 4 + ( x + 2 )
÷
5 x + 9 + ( x + 3)



⇔ x = 0; x = −1

(vì

2
3
+
+1>1
3x + 4 + ( x + 2 )
5 x + 9 + ( x + 3)

với mọi

x

thuộc

TXĐ)
Với

x = 0 ⇒ y = −1

6

Với

x = −1 ⇒ y = −2

Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

( x; y ) ∈ { ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) }
Bài toán 2: Giải hệ phương trình
 x + x ( x 2 − 3x + 3 ) = 3 y + 2 + y + 3 + 1 (1)

( I .2) 
3 x − 1 − x 2 −6 x + 6 = 3 y + 2 + 1
(2)
Lời giải:

Đk:

 x ( x 2 − 3 x + 3) ≥ 0
 x ≥ 3 + 3


y + 3 ≥ 0
⇒  1 ≤ x ≤ 3 − 3 ( *)

x −1 ≥ 0

 y ≥ −3
 x2 − 6x + 6 ≥ 0


a = 3 y + 2 ≥ −1 ⇒ y + 3 = a 3 + 1
Đặt

( x − 1)

. Khi đó , phương trình
3

+ 1 + ( x − 1) = a 3 + 1 + a ( 3)
f ( t ) = t 3 + 1 + t , t ≥ −1

Xét hàm số
3t 2
f ' ( t) =
+ 1 > 0, ∀t ⇒ f ( t )
3
2 t +1

( 3) ⇔ f ( x − 1) = f ( a ) ⇔ x − 1 = a

(1)

trở thành

.
.

là hàm đồng biến trên R. Khi đó

7


( 2) ⇔ 3

x − 1 − x 2 −6 x + 6 = x ⇔ x 2 − 6 x + 6 = 3 x − 1 − x

3 x − 1 − x ≥ 0 ( **)
⇔
2
2
 x − 6 x + 6 = 9 ( x − 1) + x − 6 x x − 1 ( 3)
x =1
 x −1 = 0

⇔  x ≥ 0
( 3) ⇔ 2 x x − 1 = 5 ( x − 1) ⇔ 
5 x − 1 = 2 x
 4 x 2 − 25 x + 25 = 0

x =1


x =1
 x ≥ 0

⇔    x = 5 ⇔  x = 5


5

 x = 5
x =
  

4
4
Đối chiếu với (**) và
Vậy hệ có nghiệm là

( *)

x=5

thấy
thỏa mãn
( x; y ) = ( 5;62 )

Nhận

⇒ a = 4 ⇒ y = 62

.

f (t )

xét: Ở hai bài toán trên việc tìm ra hàm đặc trưng
là rất quan trọng,là
cơ sở tìm ra mối liên hệ giữa 2 ẩn, nếu không tìm ra hàm dặc trưng bài toán sẽ rất
phức tạp

Bài toán 3: Giải hệ phương trình
4 x 2 = ( x 2 + 1 + 1)( x 2 − y 3 + 3 y − 2) (1)

( I .3)  2
1 − x2
2
x
+
(
y
+
1)
=
2(1
+
)
(2)

y

Lời giải:
Giải phương trình
8


 y = −2
(2) ⇔ y ( x 2 + y 2 + 2 y + 1) = 2( y + 1 − x 2 ) ⇔ ( y + 2)( x 2 + y 2 − 1) = 0 ⇔  2
2
x + y =1

+) Với

y = −2

thay vào (1) ta được

x = 0
x = 0
4 x 2 = x 2 ( x 2 + 1 + 1) ⇔  2
⇔
 x + 1 = 3  x = ±2 2

+)

−1 ≤ x ≤ 1
x2 + y2 = 1 ⇒ 
−1 ≤ y ≤ 1

4 ( x 2 + 1) − 1 =

(

từ phương trình (1) ta có

)

x2 + 1 + 1 ( x2 − y3 + 3 y − 2)

⇔ 4 x2 + 1 − x2 + y3 − 3 y − 2 = 0

Xét hàm số

f ( x) = 4 x 2 + 1 − x 2 ; ∀x ∈ [ −1;1] ; g ( y ) = y 3 − 3 y − 2 ∀y ∈ [ −1;1]

Min f ( x) = f (0) = 4
[ −1;1]
Min g ( y ) = g (1) = −4
[ −1;1]

⇒ f ( x ) + g ( y ) ≥ 0 ∀x, y ∈ [ −1;1]

Dấu

"="

xảy ra khi

x = 0; y = 1

{

(

)(

)

T = ( 0; −2 ) , 2 2; −2 , −2 2; −2 , ( 0;1)

Vậy tập nghiệm của hệ là

}

Bài toán 4: Giải hệ phương trình

9


(

)(

)

 x + x 2 + 4 y + y 2 + 1 = 2 (1)
( I .4 ) 
12 y 2 − 10 y + 2 = 2 3 x 3 + 1
(2)
Lời giải:

( 1) ⇔ x +

x2 + 4 = 2

(

)

y2 + 1 − y ⇔ x + x2 + 4 =

f ( t) = t + t2 + 4

Xét hàm số

, hàm

(3) ⇒ f ( x ) = f ( −2 y ) ⇔ x = −2 y

f ( t)

( −2 y )

2

+ 4 + ( −2 y ) (3)

đồng biến trên R.

.

(2) ⇒ 3 x 2 + 5 x + 2 = 2 3 x 3 + 1
Với

x = −2 y

Xét hàm số

⇔ ( x + 1) + 2 ( x + 1) = ( x 3 + 1) + 2 3 x 3 + 1 (4)
3

,

g ( t ) = t 3 + 2t

đồng biến trên R.

(4) ⇔ x + 1 = 3 x 3 + 1 ⇔ ( x + 1) = x 3 + 1
3

x = 0
⇔ 3x 2 + 3x = 0 ⇔ 
 x = −1

( 0,0 ) ,  −1,
Vậy hệ phương trình có nghiệm:



1
÷
2

Nhận xét: Đây là hai bài toán khó trong đề thi đại học, nhờ cách ứng dụng
phương pháp hàm số ta đã có lời giải rất nhẹ nhàng.
Bài toán 5: Giải hệ phương trình
2 x + 1 = y 3 + y 2 + y

I
.5
( ) 2 y + 1 = z 3 + z 2 + z


3
2
2 z + 1 = x + x + x

( 1)
( 2)
( 3)
10


Lời giải: Xét hàm đặc trưng:
Ta có

f ( t ) = t3 + t 2 + t

với

f ' ( t ) = 3t 2 + 2t + 1 = 2t 2 + (t + 1)2 > 0 ⇒ f ( t )

Giả sử:

t∈R

đồng biến

x ≤ y ≤ z ⇒ f ( x) ≤ f ( y ) ≤ f ( z )

⇒ 2z + 1 ≤ 2x + 1 ≤ 2 y + 1 ⇔ z ≤ x ≤ y ⇒ x = y = z

Hệ

2 x + 1 = y 3 + y 2 + y
x = y = z

( I .5) 2 y + 1 = z 3 + z 2 + z ⇔ 
3
2
2 x + 1 = x + x + x
2 z + 1 = x 3 + x 2 + x

x = y = z
x = y = z = 1
⇔
⇔
 x = y = z = −1
2

( x + 1)( x − 1) = 0

T = { (1;1;1),(−1; −1; −1)}

Vậy tập nghiệm của hệ là
Bài toán 6 : Giải hệ phương trình :

 x 2 − 2 x + 6.log 3 ( 6 − y ) = x


( I .6)  y 2 − 2 y + 6.log 3 ( 6 − z ) = y
 2

 z − 2 z + 6.log 3 ( 6 − x ) = z

(Đề thi HSG quốc gia THPT năm 2006)

Lời giải:
Điều kiện:

x, y , z < 6

.

Hệ đã cho tương đương với:

11



x
log 3 ( 6 − y ) =
x2 − 2x + 6


y
log 3 ( 6 − z ) =
2
y − 2y + 6


z
log 3 ( 6 − x ) = 2

z − 2z + 6


f ( t) =
Xét hàm số
⇒ f '( t ) =
⇒ f ( t)

t
t 2 − 2t + 6

( 2)
( 3)

( 6;+∞ )

2t − 2

t 2 − 2t + 6 − t.

6−t
2. t 2 − 2t + 6 =
> 0 ∀t ∈ ( 6; +∞ )
t 2 − 2t + 6
( t 2 − 2t + 6 ) t 2 − 2t + 6

là hàm số đồng biến trên

Xét hàm số

g ( t ) = log 3 ( 6 − t )

⇒ g '( t ) = −

⇒ g( t)

( 6;+∞ )

trên

( 6;+∞ )

1
< 0 ∀t ∈ ( 6;+∞
( 6 − t ) ln 3

là hàm số nghịch biến trên

Khi đó hệ ban đầu có dạng
Giả sử

trên

( 1)

)

( 6;+∞ )

 f ( x) = g ( y)


 f ( y) = g ( z)

 f ( z) = g ( x)

( x; y; z )

là một nghiệm của hệ phương trình. Không mất tính tổng quát ta
x = max { x; y; z}
giả sử
thì sẽ xảy ra một trong hai trường hợp sau:
12


1.

x≥ y≥z
f ( t)

Do
Do

g ( t)

.

là hàm số đồng biến nên

là hàm số nghịch biến nên

Thay vào (2) và (3) ta có :
Vậy
2.

Do

f ( t)
g ( t)

mà

y=z

log3 ( 6 − x ) = log 3 ( 6 − z ) ⇔ x = z

là hàm số đồng biến nên

.
.

f ( x) ≥ f ( z) ≥ f ( y) ⇒ g ( y ) ≥ g ( x) ≥ g ( z )

là hàm số nghịch biến nên

y≤x≤z

. Suy ra

x=z

log3 ( 6 − x ) = log 3 ( 6 − y ) ⇔ x = y

.
.

x=y=z

Vậy hệ (I.6)
Do

. Suy ra

.

Thay vào (1) và (3) ta có :
Vậy

y≤z≤x

x=y=z

x≥z≥ y

Do

f ( x) ≥ f ( y) ≥ f ( z ) ⇒ g ( y) ≥ g ( z ) ≥ g ( x)

f ( x)

 x = y = z

⇔
 f ( x ) = g ( x )

là hàm số đồng biến trên

f ( 3) = g ( 3)

Vậy hệ (I.6)

nên

( 6; +∞ )

f ( x) = g ( x) ⇔ x = 3

,

g ( x)

là hàm số nghịch biến trên

( 6;+∞ )

.

⇔ x= y = z =3

Nhận xét: Hai hệ phương trình (I.5) và (I.6) đều là hệ phương trình hoán vị 3 ẩn,
khi sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn. Sau đây
tôi sẽ đưa ra cách giải tổng quát có sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương

trình hoán vị 3 ẩn.
13


Xét hệ phương trình hoán vị 3 ẩn dạng:
Trong đó hàm số

 f ( x) = g ( y)

( I .7)  f ( y ) = g ( z )

 f ( z) = g ( x)

f ( t) ,g( t)

là hai hàm số đơn điệu trên
x = y = z
⇔
 f ( x) = g ( x)
tương tự như trên ta có hệ (I.7)
.

D

thì bằng cách lý luận

Chứng minh:

f ( t) ,g( t)

D
là hai hàm số đồng biến trên . Vì hệ không
x, y , z
thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với
nên không mất tính tổng quát ta giả
x = max { x; y; z}
sử
.
Trường hợp 1: Giả sử

x≥ y≥z

Nếu
.
f ( t)
Do
là hàm số đồng biến nên
f ( x) ≥ f ( y) ≥ f ( z ) ⇒ g ( y) ≥ g ( z ) ≥ g ( x)

•

Do

g ( t)

Suy ra

là hàm số đồng biến nên

. Vậy

x≥ y≥z≥x

x= y=z

x≥z≥ y

•

y≥z≥x

f ( t)

Nếu
. Do
là hàm số đồng biến nên
f ( x) ≥ f ( z ) ≥ f ( y) ⇒ g ( y) ≥ g ( x) ≥ g ( z )
Do

g ( t)

Suy ra

là hàm số đồng biến nên

y≥x≥z

. Vậy

x≥ z≥ y≥x≥ z

x= y=z

14


Vậy hệ (I.7)

x = y = z
⇔
 f ( x) = g ( x)

Trường hợp 2: Giả sử

f ( t)

là hàm số đồng biến,

g( t)

là hàm số nghịch biến. Vì
x, y , z
hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với
nên không mất tính tổng
x = max { x; y; z}
quát ta giả sử
.

x≥ y≥z

Nếu
.
f ( t)
Do
là hàm số đồng biến nên
f ( x) ≥ f ( y) ≥ f ( z ) ⇒ g ( y) ≥ g ( z ) ≥ g ( x)

•

Do

g ( t)

là hàm số nghịch biến nên

Thay vào hệ ta có:
f ( x) = f ( y) ⇔ x = y
Vậy
•

Nếu

f ( x) = f ( y)

y≤z≤x

. Do

f ( t)

. Suy ra:

y=z

.

là hàm số đồng biến nên

x= y=z

x≥z≥ y
f ( t)

.

Do
là hàm số đồng biến nên
f ( x) ≥ f ( z) ≥ f ( y) ⇒ g ( y) ≥ g ( x) ≥ g ( z )

Do

g( t)

là hàm số nghịch biến nên

Thay vào hệ ta có:
g ( x) = g ( y ) ⇔ x = y

g ( x) = g ( y)

y≤x≤z

. Do

g( t)

. Suy ra:

x=z

là hàm số nghịch biến nên

15


Vậy

x= y=z

Vậy hệ (I.7)
2.4

x = y = z
⇔
 f ( x) = g ( x)

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.

"Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình" đã được bản thân tôi và

các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em có học lực từ khá trở lên. Kết
quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. Tất cả các
em trong đội tuyển toán đều làm được bài hệ phương trình trong đề thi học sinh
giỏi. Trên 80% học sinh lớp 12C1 làm được các bài toán về hệ phương trình trong
các đề thi khảo sát do Bộ, Sở và Nhà trường tổ chức.
Tuy nhiên với đề tài này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo các phương
pháp, luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp,
xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập, tìm
hiểu.
Đối tượng học sinh là học sinh khá giỏi, luôn tin tưởng ở thầy, có điều kiện học
tập, nghiên cứu.
3.
3.1

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề
thực hiện.
3. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn
đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích
cực.
5. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm được đề xuất.
16

Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm
vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường THPT Tĩnh Gia 3, từ việc áp
dụng các hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết
quả rõ rệt, bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn
luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày phương pháp giải những bài toán liên quan đến chuyên đề.
3 – Hệ thống hóa thành những nhóm bài toán có sử dụng phương pháp trong
chuyên đề.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và phương
pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói chung.
Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp
dụng trong chuyên đề này.
3.2

Kiến nghị

1. Với Sở giáo dục và đào tạo
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên
dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong tỉnh.
2. Với Ban Giám Hiệu nhà trường
- Nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo môn
Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được
những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn
toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.
3. Với Phụ huynh học sinh
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên kiểm
tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.

Để có những tiết học đạt hiệu quả cao nhất ngoài trình độ chuyên môn người
giáo viên phải luôn tâm huyết với nghề,luôn học hỏi và trau dồi những phương
pháp đổi mới. Phải có trách nhiệm "thắp sáng ngọn lửa" truyền cảm hưng đến học
17


sinh, kích thích các em hăng say nghiên cứu, khả năng tự học. Qua nghiên cứu và
áp dụng " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ
phương trình bằng phương pháp hàm số " cho học sinh Trường THPT Tĩnh Gia 3
tôi thu được hiệu quả nhất định, các em học sinh đã tự tin hơn và kết quả có nhiều
tiến bộ. Để kết quả thật sự bền vững và có tính kế thừa, tôi kính mong đồng nghiệp
và hội đồng khoa học của trường THPT Tĩnh Gia 3 cũng như hội đồng khoa học
của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài của tôi
hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh.
Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các cấp
tôi xin chân thành cảm ơn nhiều. Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe, hạnh
phúc, thành đạt.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Các bài toán về hàm số, Phan Huy Khải - NXB Hà Nội 1997.
2.Các chuyên đề Hàm số ,Trần Phương,NXB Hà Nội 2006.
3. Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trong trường và ngoài trường.
4.Đề luyện thi tuyển sinh môn toán, NXB Giáo dục Việt Nam 2006.
5. Đề thi Đại học , Cao Đẳng các năm.
6.Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-NXB Giáo dục Việt Nam 2013.
7.Tạp chí toán học và tuổi trẻ( các năm 2009-2018)
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Lê Văn Dũng

18