Định lí điểm bất động trong không gian b metric với wt khoảng cách (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

SENGDAO SOULIYAVONG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b METRIC
VỚI t KHOẢNG CÁCH
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Sengdao SOULIYAVONG

i

LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 4 năm 2019
Tác giả

Sengdao SOULIYAVONG

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC .......................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1

Chƣơng 1 KHÔNG GIAN b
1.1. Không gian b

METRIC ........................................................ 3

metric .............................................................................. 3

1.2 Định lí Banach trong không gian b- metric………...……..……………..5
Chƣơng 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b
METRIC VỚI
2.1.

t

KHOẢNG CÁCH ........................................................... 8

khoảng cách và t

khoảng cách trong không gian b

2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b

metric ...... 8

metric với t

khoảng cách ................................................................................................... 10
2.3. Các lớp m

hàm ................................................................................... 21

2.4. Một số định lí điểm bất động đối với m
metric với t

hàm trong không gian b

khoảng cách ......................................................................... 23

KẾT LUẬN....................................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 32

iii


MỞ ĐẦU
Định lí điểm bất động Banach (hay nguyên lí co Banach) đã được
Banach chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều người tổng quát hóa kết
quả này theo nhiều hướng khác nhau. Năm 1989, Bakhtin [2] đã giới thiệu khái
niệm không gian b

metric và chứng minh Định lí điểm bất động đối với ánh

xạ co trong không gian b

metric, là tổng quát hóa của nguyên lí co Banach

trong không gian metric. Năm 1996, Kada [6] đã giới thiệu

khoảng cách và

chứng minh Định lí điểm bất động Caristi. Năm 2014, Hussian [4] đã giới thiệu
khái niệm

t

metric tổng quát, là tổng

khoảng cách và chứng minh định lí điểm bất động trong không

quát của
gian b

khoảng cách trong không gian b

metric được sắp thứ tự bộ phận bằng cách sử dụng t

khoảng cách.

Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng để tổng quát
hóa nguyên lí co Banach.
Mục đích của luận văn là giới thiệu về không gian b

metric, một trong

các mở rộng của không gian metric và trình bày một số kết quả về điểm bất
động trên các không gian b

metric với t

khoảng cách.

Với mục đích đó, chúng tôi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động trong
không gian b

metric với t

khoảng cách”.

Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [8] và [9],
gồm 32 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian b
metric và một số định lí điểm bất động trên không gian b

metric.

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của S.K Mohanta về điểm bất động trong không gian b

1


metric với t

khoảng cách và kết quả của C. Mongkolkehaa, Y.J. Chob và P.

Kumam về điểm bất động trong không gian b
t

metric đối với m

khoảng cách.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2

hàm với


Chƣơng 1

KHÔNG GIAN b
1.1. Không gian b

METRIC

metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho E là tập không rỗng và k
:E

E

i)
ii)
iii)

) được gọi là b

[0,

(s, t )

s

0

(s, t )
(s, t )

metric trên E nếu

t

(t, s) với mọi s, t
k( (s, r )

E

(r, t )) với mọi s, t, r

Cặp (E, ) được gọi là không gian b
Ví dụ 1.1.2. Cho E

(s, t )

(0,1)

(s, s )

E

E

metric với hệ số k .

:E

{-1,0,1} ,

(t, s ) với s, t

( 1,1)

1 là số thực. Hàm

) xác định bởi

E

[0,

0, s

E và

( 1, 0)

1 . Khi đó (E, ) là không gian b

3,

metric với k

3
,
2

nhưng không là không gian metric vì
( 1,1)

Ví dụ 1.1.3. Cho E

(1, 0)

và

1

1

2

:E E

(s, t ) | s

3

( 1, 0) .

thỏa mãn

t |2 với s, t

Khi đó (E, ) là không gian b

E.

metric với k

2

nhưng không là

không gian metric.
Định nghĩa 1.1.4. Cho (E, ) là không gian b

metric, s

dãy trong E . Khi đó
(i ) {sn } hội tụ đến s

Kí hiệu lim sn
n

lim (sn , s)

n

s hoặc sn

0.

s khi n

3

.

E và {sn } là một


(iii ) (E, ) là đầy đủ

(sn , sm )

lim

(ii ) {sn } là dãy Cauchy

n ,m

0.

mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ.

Định nghĩa 1.1.5. Cho (E, ) là không gian b
Ta nói rằng f liên tục tại s0
n

thì f (sn )

metric và ánh xạ f : E

E nếu với mọi dãy {sn } trong E , sn

f (s0 ) khi n

E.

s0 khi

. Nếu f liên tục tại mỗi điểm s0

E

thì ta nói f liên tục trên E .
Định lí 1.1.6 ([1]). Cho (E, ) là không gian b
hội tụ đến s, t

E , tương ứng. Khi đó

1
(s, t )
k2

lim inf (sn , tn )
n

n

0 . Ngoài ra, với mỗi r

n

1
(s, r )
k

lim inf (sn , r )

lim sup (sn, r)

n

t . Khi đó s

E , ta có

k (s, r) .

n

Bổ đề 1.1.7. Cho (E, ) là không gian b
s và sn

k 2 (s, t) .

lim sup (sn, tn )

t thì lim (sn, tn)

Đặc biệt, nếu s

cho sn

metric, giả sử {sn } và {tn }

metric với hệ số k và {sn }

E sao

metric với hệ số k và {sk }kn

0

t.

Bổ đề 1.1.8. Cho (E, ) là không gian b
Khi đó:
(sn , s0 )

kn

k (s0, s1)

1

(sn 2, sn 1)

kn

1

(sn 1, sn ) .

Chứng minh. Ta có
(sn , s0 )

k[ (s0, s1)

(s1, s2 )]

k (s0, s1)

k (s0, s1)

k 2[ (s1, s2 )

(s2, sn )]

k (s0, s1)

k 2 (s1, s2 )

k 2 (s2, sn )

k (s1, sn )

…

k (s0, s1)

kn

1

(sn 2, sn 1)

4

kn

1

(sn 1, sn ) .

E.


Bổ đề 1.1.9. Cho {tn } là dãy trong không gian b

metric (E, ) với hệ số k

sao cho
(tn , tn 1 )

1
và mỗi n

k

với 0

(tn 1, tn )

. Khi đó {tn } là dãy Cauchy trong E .

1.2. Định lí Banach trong không gian b -metric
Định lí 1.2.1. Cho (E, ) là không gian b

f :E

1
,
k

E là ánh xạ sao cho với 0
(fs, ft )

với mọi s, t

metric đầy đủ với hệ số k , và

(s, t )

E . Khi đó f có điểm bất động duy nhất r , và với mỗi s0

E,

dãy {f ns0 } hội tụ đến r .
Chứng minh. Lấy s0

f ns0 . Khi đó

E bất kì và kí hiệu tn

(tn , tn 1)

(ftn 1, ftn )

(tn 1, tn )

Với mỗi n

1,2.... Bổ đề 1.1.9 kéo theo {tn } là dãy Cauchy, và vì (E, ) đầy

đủ, nên r

E sao cho tn

(fr, r )

k( (fr, ftn )

k(
. Do đó, (fr, r )

khi n
Nếu fr1

. Khi đó

r khi n

(r, tn )

0 và fr

r1 , thì ta có (r, r1)

(tn 1, r ))

lim

(fr, fr1)

n

(r, r1)

0 và

(f ns, f nt )

n

(s, t ) với mọi s, t

động duy nhất .

5

r

r1 .

metric đầy đủ với hệ số k . Cho

E là ánh xạ sao cho với mỗi n
n

0

r.

Định lí 1.2.2. Cho (E, ) là không gian b

f :E

(tn 1, r ))

tồn tại

n

(0,1) sao cho

E . Khi đó f có điểm bất

tồn tại n0
n

:

n0 . Khi đó

, n

n

(gs, gt )
Theo Định lí 1.2.2
f m (fr )

(s, t ), s, t

r . Khi đó f mr

r , kéo theo
f m . Vì điểm bất động

r.

Định lí 1.2.3. Cho (E, ) là không gian b -metric đầy đủ với hằng số k

E thỏa mãn (f (s), f (t ))

giả sử f : E

:
!s

( (s, t )), s, t

là hàm tăng và thỏa mãn lim
n

E : f (s )

s và lim f n (s )

s, s

n

lim (t )

t

0

do đó f liên tục. Bây giờ, cho s
( )

2k

. Đặt g

m

Bây giờ chọn m

0 . Khi đó

suy ra

g m (s ) với mỗi m

sao cho

. Khi đó

nm

( (g(s), s) .

0.

sao cho (sm 1, sm )

(g(u), g(sm ))

0 với mỗi t

(t )

0 tùy ý. Chọn n

(g m (gs), g m (s))

Do đó, lim (sm 1, sm )

E , trong đó

0,

E và

f n và sm

(sm 1, sm )

n

1 , và

E.

Chứng minh. Trước tiên theo giả thiết về

n

E khi

E.

fr và fr là điểm bất động của g

của g là duy nhất, nên fr

, nên

f m thỏa mãn

(s, t ), s, t

! r : gr

0 khi n

n

(f ns, f nt )

n0 tùy ý, g

n0 . Nói cách khác, với m

f m 1r

1
. Vì
k

sao cho 0

Chứng minh. Lấy

n

( (u, sm ))

6

và lấy u

2k
n

( )

2k

B (s m; ). Khi đó

và


(g(sm ), sm )

(sm 1, sm )

2k

.

Do đó ta có
(g(u), sm )

Vì vậy g : B(sm ; )

k[ (g(u), g(sm ))

(g(sm ), sm )]

.

B(sm; ) . Từ đó suy ra rằng nếu i, j

(si , s j )

k[ (si , sm ), (sm , s j )]

Do đó {sm } là dãy Cauchy, vì vậy s

m , thì

2k .

s . Vì f liên tục

E : lim sm
m

nên g liên tục, do đó
s

lim sm

lim sm

m

m

1

lim g(sm )

m

g(s ) .

Vì
(g(s ), g(t )

nếu s

n

( (s , t ))

(s , t )

t , suy ra g có đúng một điểm bất động. Hơn nữa, vì
(s , g m (s))

(g m (s ), g m (s))

nm

nên g m (s)

s, s

f (s )

lim f (sm )

m

lim f (g m (s))

lim g m (f (s))

m

E bất kỳ và p
f m p (s)

suy ra lim f m (s )

,

E . Mặt khác, vì f liên tục, nên

m

Cuối cùng, với s

0 khi m

( (s , s))

m

{0,1,..., n

g m (f p (s))

s.

7

1},

s khi m

,

s .


Chƣơng 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
b

2.1.

METRIC VỚI
t

khoảng cách và

t

KHOẢNG CÁCH

khoảng cách trong không gian b

metric

Định nghĩa 2.1.1. Cho (E, ) là không gian metric. Hàm d : E
được gọi là

khoảng cách trên E nếu:

(1) d(s, t )

d(r, t ) với mọi r, s, t

d(s, r )

(2) với s
s

E

E bất kì, (s, ) : E

E và tn
0,

(3) với

t

E;

là hàm nửa liên tục dưới (tức là, nếu

E , thì d(s, t )
0 : d(r, s )

lim inf d(s, tn ) );
n

kéo theo (s, t )

và d(r, t )

Ví dụ 2.1.2. Cho (E, ) là không gian metric. Hàm d : E
c với mọi s, t

bởi d(s, t )

E là

0 với mọi s

c

và phiếm hàm d :

d(s, t )

với mọi s, t

xác định

khoảng cách trên E , trong đó c là số

thực dương. Nhưng d không là metric vì d(s, s)
Ví dụ 2.1.3. Cho E là tập số thực

E

.

|s

. (E, d ) là không gian b

E.

xác định bởi

t |2

metric với hệ số k

2. Tuy nhiên,

ta biết rằng d không là metric trên E vì bất đẳng thức tam giác không thỏa
mãn. Thật vậy,
d(3,5)

d(3, 4)

d(4,5).

Định nghĩa 2.1.4. Hàm giá trị thực f xác định trên không gian b
nửa liên tục dưới tại điểm s0

gọi là k
f (s0 )

lim inf kf (sn) , với mọi {sn }
xn

x0

E nếu lim inf f (sn )

E và sn

xn

hoặc

s0 .

Năm 2014 , Hussian [4] đã giới thiệu khái niệm t

8

x0

metric E

khoảng cách như sau:


metric với hằng số k

Định nghĩa 2.1.5. Cho (E, ) là không gian b
Một hàm số d : E

E

được gọi là

1.

khoảng cách trên E nếu nó

t

thỏa mãn các điều kiện sau:
(i ) d(s, r )

k(d(s, t )

(ii ) với mỗi s

d(t, r )) với mọi r, s, t

E, d(s,.) : E

(iii ) với

nửa liên tục dưới.

là hàm k

0 : d(r, s )

0,

E;

kéo theo (s, t )

và d(r, t )

metric. Khi đó

Ví dụ 2.1.6. Cho (E, ) là không gian b

.
t

là một

khoảng cách trên E .
và (s, t )

Ví dụ 2.1.7. Cho E

| s |2

định bởi d(s, t )

t )2 . Khi đó hàm d : E E

(s

| t |2 với mọi s, t

E là t

t

khoảng cách trên E .

metric với hằng số k

Bổ đề 2.1.8. ([4]). Cho (E, ) là không gian b

d là

khoảng cách trên E . (sn ) và (tn ) là các dãy trong E , (

là các dãy trong [0,

) hội tụ đến 0 và r, s, t

(i ) nếu d(sn , t )

và d(sn , r )

n

Đặc biệt, nếu d(s, t )
(ii ) nếu d(sn , tn )

n

(iii ) nếu d(sn , sm )
(iv ) nếu d(t, sn )

n

với n, m

bất kỳ, thì t

0 thì t

) và ( n )

r.

r;

, thì (tn ) hội tụ đến r ;

với n

bất kỳ, m

n

1 và

E . Khi đó:

với n

0 và d(s, r )

và d(sn , r )
n

n

n

xác

n , thì (sn ) là dãy Cauchy.

bất kỳ, thì (sn ) là dãy Cauchy.

với n

Định nghĩa 2.1.9. Cho (E, ) là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Hai phần tử

s, t

E gọi là so sánh được đối với quan hệ thứ tự
Ta kí hiệu E là tập con của E

E

{(s, t )

E

nếu s

E được xác định bởi

E :s

t hoặc y

9

x}.

t hoặc t

s.


Định nghĩa 2.1.10. Cho (E, ) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ

f :E

E . Ta nói rằng

(1) f là tăng ngược, nếu với mọi s, t

E , f (s )

(2) f là không giảm, nếu với mọi s, t

E, s

f (t ) kéo theo s

t kéo theo f (s )

2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b

t.
f (t ) .

metric với

t

khoảng cách
Định lí 2.2.1. Cho d là

với mỗi s

khoảng cách trên không gian b

1 và S1 , S2 : E

(E, ) với hằng số k

max

t

d (S1(s ), S 2S1(s )),
d (S 2 (s ), S1S 2(s ))

E . Giả sử r

[0,1 / k ) sao cho

r min d(s, S1(s)), d(s, S2(s ))

min d(s, S1(s)), d(s, S2(s)) : s

E

0

(2.2)

E với t không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó S1

với mỗi t

và S 2 có điểm bất động chung trong E . Ngoài ra, nếu s

S1(s )

S2(s ) thì

0.

Chứng minh. Cho s0

Nếu n

(2.1)

E và
inf d(s, t )

d(s , s )

metric đầy đủ

E tùy ý và định nghĩa dãy (sn ) bởi
sn

S1(sn 1) nếu n lẻ và

sn

S2(sn 1) nếu n chẵn.

lẻ thì theo (2.1) ta có

d(sn , sn 1)

d(S1(sn 1), S2(sn ))

d(S1(sn 1), S2S1(sn 1))
max d(S1(sn 1), S2S1(sn 1)), d(S2(sn 1), S1S2(sn 1))
r min (d(sn 1, S1(sn 1)), d(sn 1, S2(sn 1))

10


rd(sn 1, S1(sn 1))

rd(sn 1, sn ) .

Nếu n chẵn thì theo (2.1), ta có

d(sn , sn 1)

d(S2(sn 1), S1(sn ))

d(S2(sn 1), S1S2(sn 1))
max d(S2(sn 1), S1S2(sn 1)), d(S1(sn 1), S2S1(sn 1))
r min d(sn 1, S2(sn 1)), d(sn 1, S1(sn 1))

rd(sn 1, S2(sn 1))

rd(sn 1, sn ) .

Do đó

d(sn , sn 1)

rd(sn 1, sn )

(2.3)

Áp dụng (2.3) liên tiếp ta được
r nd(s0, s1)

d(sn , sn 1)

Với m, n

,m

d(sn , sm )

(2.4)

n từ (2.4) suy ra

k[d(sn , sn 1)

d(sn 1, sm )]

k 2d(sn 1, sn 2 )

kd(sn , sn 1)

[kr n

k 2r n

1

kr n [1

kr

(kr )2

...

km
...

...

n 1 m 2

r

(kr )m

km

n 1

km

n 1 m 1

n 2

[d(sm 2, sm 1)

r

(kr )m

d(sm 1, sm )]

]d(s0, s1)

n 1

]d(s0, s1)

kr n
d(s0, s1 ) .
1 kr
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {sn } là dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên

{sn } hội tụ đến z
d(sn ,.) là k

. Khi đó vì {sn } hội tụ đến z và

E . Cố định n

nửa liên tục dưới, nên ta có

d(sn , z )

lim inf kd(sn , sm )
m

11

k 2r n
d(s 0, s1) .
1 kr


Giả sử z không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó theo giả
thiết ta có
inf d(s, z )

0

inf d(sn , z )

min d(s, S1(s)), d(s, S2(s)) : s

min d(sn , S1(sn )), d(sn , S2(sn )) : n

inf

k 2r n
d(s0, s1)
1 kr

inf

k 2r n
d(s 0, s1)
1 kr

d(sn , sn 1) : n
r nd(s0, s1) : n

Điều này mâu thuẫn. Do đó, z
với s

E

S1(z )

0

S2(z ) . Nếu s

S1(s )

S2(s )

E thì
d(s , s )

max p(S1(s ), S 2S1(s )), p(S 2(s ), S1S 2(s ))
r min d(s , S1(s )), d(s , S2(s ))

rd(s , s )

r min d(s , s ), d(s , s )

Từ đó suy ra d(s , s )

0.

Hệ quả 2.2.2. Cho (E, ) là không gian b
là t

khoảng cách trên E và S : E

E . Giả sử tồn tại r

d(S (s), S 2(s))
với mỗi s

1, d

[0,1 / k) sao cho

rd(s, S (s))

E và
inf d(s, t )

với mỗi t

metric đầy đủ với hằng số k

E với t

d(s, S (s)) : s

S (t ) . Khi đó s

E

E : S (s )

0

s.

Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Định lí 2.2.1 bằng cách lấy

S1

S2

S.

12


metric đầy đủ với hằng số k

Định lí 2.2.3. Cho (E, ) là không gian b
d là t
r

khoảng cách trên E và S : E

1,

E là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại

[0,1 / k) sao cho

d(S (s), S 2(s))
với mỗi s

E . Khi đó s0

E : S (s0 )

Chứng minh. Giả sử t

E :t

inf d(s, t )

Khi đó

{sn }

s0 .

S (t ) và

d(s, S (s)) : s

E

0.

E :
lim d(sn , t )

n

Suy ra d(sn , t )

S (sn )

rd(s, S (s))

d(sn , S (sn ))

0 và d(sn , S (sn ))

0.

0 . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra

t . Ta có
d(sn , S 2(sn ))

d(S (sn ), S 2(sn ))]

k[d(sn , S (sn ))

k(1 r )d(sn , S(sn ))

0.

Do đó, (S 2(sn )) hội tụ đến t . Nhưng S : E
S (t )

Điều này mâu thuẫn với t

S (lim S (sn ))
n

lim S 2(sn )

n

S (t ) . Do đó, nếu t

inf d(s, t )

Theo Hệ quả 2.2.2, s0

E : S (s0 )

E

0.

s0 .

metric đầy đủ với hằng số k

1,

E sao cho

(S (s), S (t ))

với mỗi s, t

t

S (t ) , thì

d(s, S (s)) : s

Định lí 2.2.4. Cho (E, ) là không gian b
và ánh xạ S : E

E liên tục, nên

c1 (s, t )

E , trong đó c1, c2, c3

c2 (s, S(s))
0 với c1

13

c2

c3 (t, S(t ))

c3

1
.
k

(2.5)

Khi đó ! s0

E : S (s0 )

Chứng minh. Ta xét b

s0 .

metric

(S (s), S 2(s))

khoảng cách trên E . Từ (2.5), ta có

là t

c1 (s, S (s))

c3 (S (s), S 2(s )) .

c2 (s, S (s))

Suy ra

c1 c2
(s, S (s ))
1 c3

(S (s ), S 2(s ))

c1 c2
khi đó r
1 c3

Đặt r

1
[0, ) vì k(c1
k

c2 )

c3

(2.6)

k (c1

c2

c3 )

1.

Do đó, (2.6) trở thành

(S (s), S 2(s))
Giả sử t

E :t

r (s, S (s)) với mỗi s

E.

S (t ) và
(s, t )

inf

Khi đó {sn }

(s, S (s)) : s

E

0.

E:
lim{ (sn , t)

(sn, S(sn ))}

n

Từ đó (sn , t )

0 và (sn , S (sn ))

0.

0 . Theo Bổ đề 2.1.8, S (sn )

t.

Ta có

(t, S (t ))

k[ (t, S(sn ))

(S(sn ), S(t))]

k[ (t, S (sn )) c1 (sn , t ) c2 (sn, S (sn )) c3 (t, S (t ))]
với mỗi n

và từ đó
(t, S (t ))

Do đó,
t

(t, S (t )

kc3 (t, S (t )) .

0 , tức là t

S (t ) là mâu thuẫn. Như vậy, nếu

S (t ) thì
inf

(s, t )

(s, S (s)) : s

E

Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta có điều phải chứng minh

14

0.


Định lí 2.2.5. Giả sử (E, ) là không gian b

k

1 và ánh xạ S : E

E thỏa mãn

(S (s), S (t ))

với mọi s, t

metric đầy đủ với hằng số

c1 (s, S (t ))

0 với c1k

E trong đó c1, c2

c2 (t, S (s))

1
k

1

(2.7)

hoặc c2k

đó S có một điểm bất động trong E . Hơn nữa, nếu c1

c2

1
1

k

. Khi

1 , thì S có điểm

bất động duy nhất trong E .
Chứng minh. Ta xét b

là t

metric

khoảng cách trên E . Từ (2.7),

ta có

(S (s), S 2(s))

c1 (s, S 2(s))

c2 (S (s), S (sx ))

c1k[ (s, S (s))

(S (s), S 2(s))] .

Suy ra
c1k
(s, S (s))
1 c1k

(S (s), S 2(s))

Đặt r

c1k
. Khi đó r
1 c1k

1
[0, ) . Do đó, (2.8) trở thành
k

(S (s), S 2(s))
với mọi s

E . Giả sử t

Khi đó {sn }

S (t ) và

(s, t )

(s, S (s)) : s

lim{ (sn , t)

0 và d(sn , S (sn ))

(sn, S(sn ))}

0.

k[ (t, S(sn ))

0.

0 . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra S (sn )

Ta cũng có

(t, S (t ))

E

E:
n

Từ đó (sn , t )

r (s, S (s))

E với t

inf

(2.8).

(S(sn ), S(t))]

15

t.

k[ (t, S (sn )) c1 (sn , S (t )) c2 (t, S (sn ))]
k[ (t, S (sn )) c1k (sn , t ) c1k (t, S (t )) c2 (t, S (s n ))]
c1k 2 (t, S (t ))
với n

k[ (t, S (sn ))

k 2c1 (t, S (t )) .

(t, S (t ))

nếu t

c2 (t, S (s n ))]

ta được

. Cho n

(t, S (t ))

Suy ra

c1k (sn, t )

S (t ) . Điều này là mâu thuẫn. Do đó,

0 , tức là t

S (t ) thì
(s, t )

inf

(s, S (s)) : s

E

0.

Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta nhận được điểm bất động của S trong E .
Bây giờ giả sử c1
(u, v)

c2

u, v

1 và

(S (u), S (v))

Điều này kéo theo (u, v)

X : S (u)

c1 (u, v)

0 , suy ra u

v . Khi đó

u và S (v)

c2 (v, u)

(c1

c2) (u, v) .

v . Do đó S có điểm bất động duy

nhất trong E .
Định lí 2.2.6. Cho (E, ) là không gian b
và S : E

E . Giả sử tồn tại r

(S (s), S (t ))

với mọi s, t

metric đầy đủ với hằng số k

[0,1 / k ) sao cho

r max{ (s, t ), (s, S (s)), (t, S(t )), (t, S(s))}

E . Khi đó ! s0

Chứng minh. Ta xét b
(S (s ), S 2(s ))

metric
r max

E : S (s0 )

là t

(2.9)

s0 .

khoảng cách trên E . Từ (2.9), ta có

(s, S (s )), (s, S (s)),
(S (s ), S 2(s )), (S (s), S (s))

(2.10)

r max{ (s, S (s)), (S(s), S 2(s))} .
Nếu S (s)
r

1

S 2 (s) thì rõ ràng T có điểm bất động. Giả sử S (s )

1
, nên từ (2.10) ta nhận được
k

16

S 2(s) . Vì


(S (s), S 2(s))
với mọi s

E . Giả sử

t

{sn }

S (t ) và

(s, t )

inf

Khi đó

E :t

(s, S (s)) : s

lim (sn , t )

(t, S (t ))

0 và (sn , S (sn ))
k[ (t, S (sn ))

với n

(sn , S(sn ))}

0.

0.

0 . Theo Bổ đề 2.1.8, S (sn )

t . Ta cũng có

(S (sn ), S (t ))]

k (t, S (sn ))

kr max

. Cho n

ta được

(sn , t ), (sn, S(sn )), (t, S(t)), (t, S(s n ))

(t, S (t ))

Do đó (t, S (t ))
t

E

E:
n

(sn , t )

r (s, S (s))

0 tức là t

kr (t, S (t )) .

S (t ) . Điều này là mâu thuẫn. Do đó nếu

S (t ) thì
(s, t )

inf

(s, S (s)) : s

E

0.

Theo Hệ quả 2.2.2, tồn tại điểm bất động duy nhất của S trong E .
Định lí 2.2.7. Cho p là
(E, ) với hằng số k

r

t

metric đầy đủ

khoảng cách trên không gian b

1 . Cho S1, S2 : E

E là toàn ánh. Giả sử tồn tại

k sao cho
min

với mọi s

p(S2S1(s ), S1(s )),
p(S1S2 (s ), S 2 (s ))

r max p(S1(s ), s ), p(S 2(s ), s )

(2.11)

E và
inf p(s, t )

đối với mỗi t

min p(S1(s), s), p(S2(s ), s ) : s

E

0

(2.12)

E với t không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó

S1 và S 2 có điểm bất động chung trong E .

17


Chứng minh. Lấy u0

E tùy ý, vì S1 là toàn ánh nên tồn tại u1

S1 1(u0 ) . Vì S 2 cũng là toàn ánh, nên u2

u1

Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được u2n
với n

Nếu n

1,2,... . Do đó u2n

E : u2

S1(u2n 1 ) và u2n

S2 1(u1) .

S1 1(u2n ) và u2n

1

1

E sao cho

2

S2(u2n 2 ) với n

S2 1(u2n 1 )

0,1,2... .

2m thì do (2.11) ta có

p(un 1, un )

p(u2m 1, u2m )

p(S2(u2m ), S1(u2m 1))

p(S2S1(u2m 1), S1(u2m 1))
min{p(S2S1(u2m 1), S1(u2m 1)), p(S1S2(u2m 1), S2(u2m 1))}

r max{p(S1(u2m 1), u2m 1), p(S2(u2m 1), u2m 1)}
rp(S1(u2m 1), u2m 1)
Nếu n

2m

p(un 1, un )

rp(u2m , u2m 1)

rp(un , un 1) .

1 thì theo (2.11) ta có

p(u2m , u2m 1)

p(S1(u2m 1), S2(u2m 2 ))

p(S1S2(u2m 2 ), S2(u2m 2 ))
min{p(S2S1(u2m 2 ), S1(u2m 2 )), p(S1S2(u2m 2 ), S2(u2m 2 ))}

r max{p(S1(u2m 2 ), u2m 2 ), p(S2(u2m 2 ), u2m 2 )}
rp(S2(u2m 2 ), u2m 2 )

rp(u2m 1, u2m 2 )

rp(un , un 1) .

Như vậy, với mỗi n nguyên dương bất kỳ ta được

p(un 1, un )

rp(un , un 1) .

Từ đó suy ra
p(un , un 1 )

Đặt

1
, thì 0
r

1
p(un 1, un )
r

1
vì r
k

...

1
( )n p(u0, u1 )
r

k . Khi đó (2.13) trở thành

18

(2.13)


n

p(un , un 1)

Do đó, nếu m

p(un , um )

p(u0, u1) .

n thì

k[p(un , un 1)

kp(un , un 1)

p(un 1, um )]

k 2p(un 1, un 2 )

km

...

n 1

[p(um 2, um 1)

[k

n

k2

n 1

...

km

n 1 m 2

km

n 1 m 1

[k

n

k2

n 1

...

km

n 1 m 2

km

n

(k )2

...

k n [1
k

(k )m

n 2

]p(u0, u1)

]p(u0, u1)

(k )m

n 1

]p(u0, u1)

n

k

1

k

m 1

p(um 1, um )]

p(u0, u1 ) .

Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {un } là dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên {un } hội
tụ đến điểm w

. Vì p(un ,.) là s

E . Cố định n
p(un , w)

lim inf kp(un , um )
m

nửa liên tục dưới, nên

k2 n
p(u0, u1)
1 k

(2.14)

Giả sử w không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó theo giả thiết ta có

0

inf{p(s, w)

min{p(S1(s), s), p(S2(s), s)} : s

inf{p(un , w)

min{p(S1(un ), un ), p(S2(un ), un )} : n

k2 n
inf
p(u0, u1)
1 k
k2 n
inf
p(u0, u1)
1 k

S1(w)

Mâu thuẫn này dẫn đến w
Lấy S1

S2

E}
}

p(un 1, un ) : n
n 1

p(u0, u1) : n

0.

S2(w) .

S , ta có:

Hệ quả 2.2.8. Cho p là
(E, ) với hằng số k

t

metric đầy đủ

khoảng cách trên không gian b

1 và S : E

E là toàn ánh. Giả sử

19

r

k:


p(S 2(s), S (s))
với mọi s

(2.15)

E và
inf{p(s, t )

với mọi t

rp(S (s), s)

E với t

p(S(s), s) : s

E}

0

(2.16)

S (t ) . Khi đó S có điểm bất động trong E .

Áp dụng Hệ quả 2.2.8, ta có các kết quả sau.
Định lí 2.2.9. Cho (E, ) là không gian b

E là toàn ánh liên tục. Giả sử r

và S : E

(S 2(s), S (s))

với mọi s

E . Khi đó z

Chứng minh. Xét
t

metric đầy đủ với hằng số k

E : S (z )

t

là

1

k:

r (S (s), s)
z.

khoảng cách trên E . Giả sử tồn tại t

E với

S (t ) và
inf{ (s, t )

Khi đó {sn }

(S(s), s) : s

lim{ (sn , t )

(sn , t )

0 và (S (sn ), sn )

(S (sn ), t )

Suy ra lim S (sn )
n

(S(sn ), sn )}

0.

0 khi n

. Mặt khác ta có

(S (sn ), sn )

0 khi n

(sn, t )

.

t . Vì S là liên tục, nên

S (t )
Mâu thuẫn này kéo theo t

S (lim sn )
n

Theo Hệ quả 2.2.8, z

lim S(sn )

n

t.

S (t ) , từ đó

inf{ (s, t )

E : S (z )

(S(s), s) : s

E}

0.

z.

Định lí 2.2.10. Cho (E, ) là không gian b
và cho S : E

0.

E:
n

Suy ra

E}

metric đầy đủ với hằng số k

E là toàn ánh liên tục. Giả sử r

20

k:

1


(S (s), S(t ))

với mọi s, t

r min{ (s, S(s)), (S(t), t), (s, t)}

E . Khi đó z

E : S (z )

là t

Chứng minh. Xét

(2.17)

z.

khoảng cách trên E . Thay t bởi S (s ) trong (2.17),

ta có
(S (s), S 2(s))

với s

r min{ (s, S (s)), (S 2(s), S (s)), (s, S (s))}

S 2 (s) thì rõ ràng S có điểm bất động. Không mất tính

E . Nếu S (s)

tổng quát, ta giả sử S (s)

S 2(s) . Vì r

k

(S 2(s), S (s))

với mọi s

(2.18)

1 , nên từ (2.18) suy ra

r (S (s), s)

E . Bằng cách tương tự như trong chứng minh Định lí 2.2.9, ta có

thể khẳng định rằng nếu t

S (t ) thì

inf{ (s, t )

Từ đó, theo Hệ quả 2.2.8, z
2.3. Các lớp m

(S(s), s) : s

E : S (z )

E}> 0 .

z.

hàm

Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng, gọi tắt
là m

hàm, là tổng quát điều kiện co Banach như sau:

Định nghĩa 2.3.1 ([7]). m

: [0,

hàm là một ánh xạ

) [0,

)

thỏa

lim sn

0 thì

mãn các điều kiện sau:
( 1 ) (0, 0)

0;

( 2 ) (t, s)

s

t với mọi s, t

0.

( 3 ) nếu {tn } và {sn } là các dãy số dương sao cho lim tn
n

lim sup (tn , sn )

n

0.

n

Ví dụ 2.3.2 Cho

i

: [0,

) [0,

với i

)

21

1,2, 3 xác định bởi