Định lý điểm bất động trong không gian Metric nón và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





VŨ HỒNG QUÂN







ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC NÓN VÀ ỨNG DỤNG









LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2012



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




VŨ HỒNG QUÂN






ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC NÓN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 60. 46. 30



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển
:




Hà Nội - 2012

- 3 -

Mục lục Trang

Lời nói đầu -4
Ch-¬ng 1. Các khái niệm cơ bản 7
1.1. Không gian metric 7
1.2. Sự hội tụ trong không gian metric 8
1.3. Nguyên lý ánh xạ co 8

1.4. Nón lồi 11
Ch-¬ng 2. Điểm bất động trong không gian metric nón 13
2.1. Không gian metric nón 13
2.2. Ánh xạ co 16
2.3. Mở rộng ánh xạ co 18
2.4. Điểm bất động chung của các ánh xạ 22
2.5. Điểm bất động của ánh xạ đa trị 36
Chương 3. Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón 42
3.1. Điểm bất động ánh xạ trong không gian kiểu metric nón 42
3.2. Điểm bất động chung của ánh xạ suy rộng 47
3.3. Điểm bất động của kiểu tích phân co 51
3.4. Điểm bất động đôi 59
Kết luận 69
Tài liệu tham khảo 70







- 4 -

Lời nói đầu

Cho C là một tập con của không gian X, F là một ánh xạ từ C vào X. Phải đặt
những điều kiện nào trên C, X và F để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x
0

trong C sao cho

 
00
F x x
? Điểm x
0
như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ F. Lý
thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối
ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí.
Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong
đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach
(1922).
Định lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên không
gian metric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học. Sau khi được Banach chứng
minh, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trở thành một trong những vấn đề
thu hút được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các định lý điểm bất động
đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại
không gian khác nhau . Năm 1935, Tychonoff nghiên cứu điểm bất động trên không
gian lồi địa phương (1935). Kakutani (1941), Ky Fan (1952), Glicksberg (1952) nghiên
cứu điểm bất động cho lớp hàm đa trị. Và hiện tại lý thuyết điểm bất động đã được mở
rộng đến không gian metric siêu lồi (M.A.Khamsi 1996), không gian trắc địa
(W.A.Kirk 2003), không gian R- cây (W.A. Kirk 2004). Cho đến nay có khoảng 10000
công trình về định lý điểm bất động, được công bố trên các tạp chí toán học.
Năm 2007, L-G. Huang and X.Zang [1] với bài báo ‘’cone metric spaces and fixed
poin theorems of contractive mapping’’ đưa ra khái niệm không gian metric nón và đã
đặt nền móng cho điểm bất động trong không gian mới - không gian metric nón. Bài
báo đã vận dụng sáng tạo, đưa định lý ánh xạ co
   


, , , 0,1d Tx Ty kd x y k

từ
không gian metric thông thường sang không gian metric nón, và khẳng định sự tồn tại
và duy nhất của điểm bất động của ánh xạ đó. Không những thế các tác giả còn mở
rộng kết quả sang các ánh xạ dạng co kiểu như
- 5 -

   
1
, ( , ) , , 0,
2
d Tx Ty k d Tx x d Ty y k

    




. Từ đó rất nhiều nhà toán học trên thế
giới quan tâm như Mohamed A. Khamsi [3], Nguyen Huu Dien [2], S. Rerapour and R .
Hamlbarani [5], Thabet Abdeljawad [13], Erdal Karapinar [13], L.B.Ciric [14], M.
Asadi [26], H. Soleimani [26], S. M. Vaezpour, and B. E. Roades [28]. Farshid
Khojateh, Zahra Goodarzi [29] Trên cơ sở đó P.Vetro [9] , C. Di Bari [11], M. Abbas
and G. Jungck [4], D. Ilíc and V. Racocevi [6], A. Azam [7], M.Jleli [10], B.Samet,
M.Arshad [8] and P.I.Beg [8], R.P.Agarawal [12], R. Sumitra [20], đã chứng minh
các kết quả về điểm bất động chung của các hàm. Điểm bất động của ánh xạ đa trị
Abdul Latif [15], Fawzia Y. Shaddad [15], Fawziay Shaddad (2010) Điểm bất động
đôi F. Sabetghadam [23], H. P. Masiha [23], A. H. Sanatpour (2009) v.v. Nhằm tìm
hiểu một cách chi tiết và có hệ thống các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trên
không gian metric nón, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình:
Định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng

Bố cục luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1: Các khái niệm cơ bản.
Chương 2: Điểm bất động trong không gian metric nón.
Chương 3: Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón.
Trong chương 1 chúng ta trình bày định nghĩa không gian metric, các tính chất
không gian metric, nguyên lý ánh xạ co nhằm mục đích tạo cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 chúng ta đưa ra định nghĩa không gian metric nón. Không gian metric nón
đầy đủ và sự hội tụ theo metric nón. Ở đó tác giả đưa ra kết quả về sự tồn tại và duy
nhất điểm bất động ánh xạ co trong không gian này. Tiếp đó ta mở rộng ánh xạ co và
tìm hiểu điểm bất động chung của các hàm. Chương 3 trình bày ứng dụng điểm bất
động trong không gian metric nón. Trên cơ sở chương 2 chúng ta chứng minh điểm bất
động trong không gian mới như không gian kiểu metric nón, kiểu tích phân, trên lớp
hàm suy rộng dựa trên cách xây dựng không gian metric nón và các kết quả đã có. Cuối
cùng chúng ta xét các điểm bất động đôi của ánh xạ.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên dưới sự hướng
dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Tác giả xin bày
- 6 -

tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn
Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán đã nhiệt tình giảng dạy và
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng
nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 2009-2011 toán học tính toán đã
cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặt
dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà nội, ngày16 tháng 11 năm 2011
Tác giả

- 7 -


Chương 1

Các khái niệm cơ bản

1.1 . Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Khoảng cách hay metric trên X là một ánh xạ
:d X X
thỏa
mãn:
i.
 
,,0 d x y x y X  
và nếu

 
,0d x y 
thì
xy
.
ii.
 
,d x y 0 x y  

iii.
     
, , ,d x y d x z d z y

Nhận xét:
Từ (ii) và (iii) ta có
     
, , ,d x z d x y d y z

Hay

     
, , ,d x z d y z d x y

Đổi vai trò x và y, do (ii) ta có:

       
, , , ,d y z d x z d y x d x y  

Suy ra
iv.

     
, , ,d y z d x z d x y

Định nghĩa 1.1.2. Tập X cùng với khoảng cách d trên nó gọi là không gian metric.
Kí hiệu
 
,Xd
.
Chú ý:
1. Cho X là không gian metric với khoảng cách d
X
và A là tập con của X. Khi đó A
cũng là không gian metric với khoảng cách d
A
cảm sinh từ d
X


   
,,
AX
d x y d x y

- 8 -

Trong trường hợp này ta nói A là không gian con của X.
2. Giả sử
0X 
là tập bất kì. Ta xác định ánh xạ



: 0,d X X  
bởi

 
1
,
0
xy
d x y
xy









Dễ thấy d là metric trên X. Khi đó
 
,Xd
là không gian metric rời rạc.
1.2 Sự hội tụ trong không gian metric
Giả sử
 
,Xd
là không gian metric.
Định nghĩa 1.2.1. Dãy

 
1
n
n
x


trong X gọi là hội tụ tới x và viết là
lim
n
n
xx


nếu

 
lim , 0
n
n
d x x



Nghĩa là:

 
 
0 0 0
0, , : ,

n
n n n n d x x
  
      

Mệnh đề 1.2.2. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử
 
n
x
hội tụ tới x và
x

. Nếu
xx


, ta đặt
 
,d x x



.
Do
0


tồn tại

1
n
sao cho:

 
1
,,
2
n
d x x n n

  

Tương tự tồn tại n
2
sao cho:
 
2
,,
2
n
d x x n n


  

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được:

 
   

, , ,
22
nn
d x x d x x d x x



     


 
12
,n max n n
.
Mâu thuẫn. Vậy
xx


.
1.3 . Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.3.1. Cho
 
X ,d
là không gian metric. Ánh xạ
F : X X
gọi là ánh xạ
Lipschitzian nếu tồn tại hằng số
0



thỏa mãn:
- 9 -


   
 
 
d F x ,F y d x,y

Nếu
1


thì F gọi là ánh xạ co.
Định lý 1.3.2. Cho
 
X ,d
là không gian metric đầy đủ
F : X X
là ánh xạ co với
hằng số Lipschitzian

. Thế thì F có điểm bất động
uX
duy nhất. Hơn nữa
xX

chúng ta có:
 
n

n
lim F x u


và
 
 
 
 
n
n
d F x ,u d x,F x
1




.
Nhận xét:
Hệ số

trong ánh xạ co là một hằng số không phụ thuộc vào từng cặp điểm
 
,xy
.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng nếu

phụ thuộc vào từng cặp điểm
 
,xy

tức là
1
xy



sao cho
   
 
 
,,
xy
d F x F y d x y


thì nguyên lý điểm bất động không đúng nữa
Ví dụ 1.3.3. Xét không gian metric đầy
 
,d
với

 
0
,
1
1
mn
d m n
mn
nm











Xác định ánh xạ
:F 
cho bởi
 
1F n n

Khi đó không tồn tại
1


chung cho thỏa mãn
   
 
 
d F n ,F n 1 d x, y


mọi
cặp (m, n). Thật vậy nếu có hệ số


như thế thì

   
( ), ( 1) , 1d F n F n d n n

  

Tức là:

11
1 1 ,
2 3 2 1
n
nn


   




Cho
n  
ta có
1


, vô lý.
Định lý 1.3.4. Cho
 

X ,d
là không gian metric đầy đủ và
F : X X
là ánh xạ thỏa
mãn:

   
 
 
d F x ,F y d x, y



x, y X

- 10 -

Trong đó




00: , ,

  
là tự đồng cấu, không giảm, thỏa mãn
 
00
n
n

lim t ,t




Thế thì F có điểm bất động
uX
duy nhất. Hơn nữa
xX
chúng ta có
 
n
n
lim F x u


.

Định lý 1.3.6.
 
Picard Lindelof

.
Cho
nn
f : I 
là hàm số liên tục và lipschitz theo biến y, nghĩa là tồn tại
0



sao cho
   
n
f t,y f t,z y x x, y

   
,
 
0,Ib
.
Thế thì tồn tại duy nhất
 
1
y C I
là nghiệm của hệ phương trình:

   
0
, ( )
(0)
y t f t y t
yy









Định nghĩa 1.3.7. Cho
 
X ,d
là không gian metric. Ánh xạ
F : X X
gọi là ánh xạ
không giãn nếu F thỏa mãn:

   
 
 
d F x ,F y d x,y

Định lý 1.3.8. Cho
 
X ,d
là không gian metric compact và
F : X X
là ánh xạ
không giãn thỏa mãn:

   
 
 
d F x ,F y d x,y

x, y X
và
xy

Thế thì F có điểm bất động duy nhất trong X.
Định lý 1.3.9. (Schauder’s). Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian
tuyến tính định chuẩn E.
F : C C
là ánh xạ không giãn và F(C) là tập con compact
của C. Thế thì F có điểm bất động.
Định lý 1.3.10. (Browder,
Gohde

,Kirk). Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn
của không gian Hilbert (thực) H và
F : C C
là ánh xạ không giãn. Thế thì F có ít
nhất một điểm bất động.
Từ những năm 60 nhiều nhà toán học mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach bằng
cách đưa ra những khái niệm ánh xạ co mới. Để tiện theo dõi chúng tôi xin nhắc lại một
số lớp ánh xạ co tiêu biểu.
- 11 -

Dạng co Krasnoselskii:
   
 
   
d T x ,T y k a,b d x, y
nếu
 
a d x, y b
, ở đây
 

01k a,b
khi
0 ab
. Ví dụ về ánh xạ T thỏa mãn điều kiện co Krasnoselskii là
ánh xạ thỏa mãn

   
 
   
d T x ,T y d x,y d x, y    


Với
 
u
là hàm liên tục dương khi u > 0.
Dạng co Boyd-Wong phi tuyến:
   
 
 
 
d T x ,T y d x, y
.
Ở đây




00: , ,   
là hàm nửa liên tục trên từ phải và

 
00r r, r   
.
Dạng co Meir-Keeler:
00,   
sao cho

     
 
d x, y d T x ,T y        

Trong những năm tiếp theo nhiều dạng ánh xạ co được mở rộng thành các ánh xạ co
suy rộng. Chẳng hạn Boyd-Wong
   
 
   
d T x ,T y r d x,y
được mở rộng như
sau:

   
 
     
 
 
 

 
 
 

 
1
2
d T x ,T y r max d x, y ,d x,T x ,d y,T y ,
d x,T y d y,T x





ở đây
   


0 0 1r d x,y , : , ,   
là hàm nửa liên tục trên từ phải.
Các kết quả về điểm bất động chung cho cặp ánh xạ, họ ánh xạ cũng được nghiên
cứu nhiều. Các tác giả quen thuộc biết trong lĩnh vực này có thể kể tới như G. Jungck,
B. Fisher, S. S. Chang, K. V. Naik, Các công trình về điểm bất động ánh xạ co vẫn
được công bố cho đến ngày hôn nay.

1.4. Nón lồi
Trong tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi và nhiều bộ môn toán ứng dụng khác, khái niệm
về nón lồi có một vai trò quan trọng.
Định nghĩa1.4.1. Một tập C được gọi là nón nếu
,0x C x C

     
.
Theo định nghĩa ta thấy gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón. Dĩ nhiên

một nón không nhất thiết là một tập lồi.
- 12 -

Một nón gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
Ví dụ 1.4.2.
 
0C x x  
là một nón không lồi.
Định lý 1.4.3. Một tập C là một nón lồi khi và chỉ khi thỏa mãn:
i)
C C, 0,   

ii)
C C C
.
Chứng minh. Giả sử C là nón lồi. Do C là nón nên có (i). Do C là một tập lồi nên với
mọi
x, y C
, thì
 
1
2
x y C
. Vậy theo (i) ta có
x y C
.
Ngược lại giả sử có (i) và (ii). Từ (i) suy ra ngay C là một nón. Giả sử
x, y C
và
 

01,
. Từ (i) suy ra
xC
, và
 
1 yC 
. Theo (ii) có
 
1x y C    
. Vậy
C là nón lồi.


















- 13 -

Chương 2

Điểm bất động
trong không gian metric nón

2.1. Không gian metric nón
Định nghĩa 2.1.1. Cho E là không gian Banach thực. Tập
PE
gọi là một nón trong E
nếu thỏa mãn:
i) P đóng,

và
 
0P 

ii)
a,b R, a,b 0 và x,y P  
thì
ax by P

iii) x

P và -x


P suy ra x=0
Cho nón
PE
, chúng ta định nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận

bởi
xy
nếu và chỉ nếu
y x P
. Chúng ta viết
xy
nếu
xy
và
xy
,
xy
nếu y-x

intP.
Nón P gọi là chuẩn tắc nếu
,0KK  
sao cho
0 xy
thì
,x K y x y E  

Nón P gọi là chính quy nếu mọi dãy bị chặn thì hội tụ nghĩa là: Nếu
 

1
n
n
x

là dãy thỏa
mãn
12
x x y  
với y

E thì

xE
:
n
n
lim x x 0


.
Bổ đề 2.1.2.
i) Mọi nón chính quy là chuẩn tắc
ii) Mọi
1,



tồn tại nón chuẩn tắc với hệ số
K




- 14 -

iii) Nón P là chính quy nếu mọi dãy giảm bị chặn dưới hội tụ.
Ví dụ 2.1.3. Lấy
 
1
0,1EC
, định nghĩa chuẩn
'f f f



Xét nón
 
:0P f E f  
,
1K
đặt
   
2K
f x x, g x x
thì
,0 f g f 2  

và
21gK
. Từ đó K

fg
, suy ra P là nón không chuẩn tắc.
Định nghĩa 2.1.4. Cho X là tập khác

và E là không gian Banach thực với quan hệ
thứ tự bộ phận

đối với nón P. Giả sử rằng
:d X X E
thỏa mãn:
i)
 
,,0 d x y x y X  

ii)
 
,d x y 0 x y  

iii)
     
, , ,d x y d x z d z y

Khi đó d gọi là tựa metric nón trên X. Cặp
 
X ,d
gọi là không gian tựa metric nón
Hơn nữa nếu d thỏa mãn
iv) d (x, y)=d (y, x)
,x y X
thì d gọi là metric nón trên X và cặp

 
X ,d
gọi là
không gian metric nón.
Ví dụ 2.1.5. Lấy
3
E 

và
 
 
, , : , , 0P x y z E x y z  
, X=


Định nghĩa
:d X X E


 
 
, , ,d x y x y x y x y
  
   
với
,,
  
là các số dương
Suy ra
 

X ,d
là không gian metric nón, P chuẩn tắc hệ số K=1.
Ví dụ 2.1.6. E=L
1
,
 
 
:0
nn
nN
P x E x n

   


   
 
, , / 2
n
d x y x y



Suy ra
 
X ,d
là không gian metric nón.
Định nghĩa 2.1.7. Cho
 
X ,d

là không gian metric nón,
xX
và
 
1
n
n
x

là dãy trong
X. Thế thì
i)
 
n
x
hội tụ tới x nếu
cE
,
0c 
,
0
n
:
0
nn
,
 
,
n
d x x c

Kí hiệu
lim
n
n
xx


hoặc
n
xx

ii)
 
n
x
là dãy Cauchy nếu
cE
,
0c 
,
0
n
:
 
0
, : ,
mn
m n n d x x c 

- 15 -

iii)
 
X ,d
là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X hội tụ trong X.
Bổ đề 2.1.8. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón, lấy P là nón chuẩn tắc với hằng số
K và
 
1
n
n
x


X.
i)
n
xx
 
,0
n
d x x
( tương đương
 
,0
n

d x x 
)
ii)
 
n
x
là dãy Cauchy
 
,0
nm
d x x

iii)
n
xx
,
n
yy
thì
 
 
,,
nn
d x y d x y

Chứng minh:
i) Giả sử
 
n
x

hội tụ tới x. Với mọi
0


, chọn
cE
với
0 c
và
Kc


tồn
tại
N0
, sao cho
nN
,
 
n
d x ,x c
. Từ đó
 
,
n
d x x K c


nghĩa là
 

,0
n
d x x 
.
Ngược lại, giả sử
 
,0
n
d x x 
. Lấy
cE
với
0 c
và
0


sao cho
x


thì
c x int P
. Từ đó

là N. Với
nN
,
 
,

n
d x x



( , ) int
n
c d x x P
, nghĩa là
 
n
d x ,x c
. Vậy
 
n
x
hội tụ tới x.
ii) Giả sử
 
n
x
là dãy Cauchy. Với mọi
0


chọn
cE
với
0 c
và

Kc


,
tồn tại
0N 
:
,n m N
,
( , )
nm
d x x c
. Từ đó
 
,
nm
d x x K c


nghĩa là
 
,0
nm
d x x 
.
Ngược lại, Lấy
cE
với
0 c
và

0


sao cho
x


thì
c x int P
. Từ đó


là N. Với
,n m N
,
 
,
nm
d x x



( , ) int
nm
c d x x P
, nghĩa là
( , )
nm
d x x c
.

Vậy
 
n
x
là dãy Cauchy.
iii) Với
0


chọn
cE
với
0 c
và
42
c
K



. Từ
n
xx
,
n
yy
tồn tại
N0
:
nN

,
   
, , ,
nn
d x x c d y y c
ta có:

         
, , , , ,
n n n
d x x d x x d x y d y y d x y 2c    


         
, , , , ,
n n n n n n
d x y d x x d x y d y y d x y 2c    

- 16 -

Từ đó:
   
,,
nn
0 d x y 2c d x y 4c   

Và
       
, , , 2 , 2
n n n n

d x y d x y d x y c d x y c    


 
4K 2c c

  
.
Vậy
   
, , ( )
nn
d x y d x y n 
.

Định nghĩa 2.1.9.
 
X ,d
là không gian metric nón và
:f X X
. Nếu
n
xx
kéo
theo
 
 
n
f x f x
thì f gọi là liên tục trên X.

Định nghĩa 2.1.10. Cho f và g là tự đồng cấu của không gian metric nón
 
X ,d
. Ta nói
rằng g và f là tương thích nếu với
 
n
x
là dãy tùy ý trong X,
nn
nn
lim fx lim gx t
 


X
ta có
 
0
nn
n
lim gfx fgx


.
Định nghĩa 2.1.11. Hai tự đồng cấu g và f của không gian metric nón
 
X ,d
là tương
thích yếu nếu chúng giao hoán tại các điểm chung nghĩa là

,fu gu u X
thì
fgu gfu
.
Mệnh đề 2.1.12. Cho g và f là tương thích yếu trên X. Nếu f và g có điểm chung
w fx gx
thì w là điểm bất động chung duy nhất của f và g.
Chứng minh:
Từ
w fx gx
và f, g là tương thích yếu nên ta có
fw gfx gfx gw
nghĩa là
fw gw
là điểm chung của f và g. Nhưng w là điểm chung của f và g nên
w fw gw
. Hơn nữa nếu
z fz gz
thì z là điểm chung của f và g. Do tính duy nhất
nên
zw
. Từ đó w là điểm bất động chung duy nhất của f và g.
Ví dụ 2.1.13. Lấy
2
E  

Định nghĩa
, : ,g f X X

 
 
1
1,
2
f x x x X
g x x
   


Thì f, g là tương thích.
- 17 -


2.2. Điểm bất động ánh xạ co
Định nghĩa 2.2.1. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc hệ số K.
Ánh xạ
f : X X
gọi là ánh xạ co nếu tồn tại
[ , )k 0 1
thỏa mãn:

   
 
 
d f x , f y kd x, y

Định lý 2.2.2. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón đầy đủ
f : X X
là ánh xạ thoả
mãn
   
 
 
d f x , f y kd x, y
với


01k , ,
x, y X
. Thế thì f có điểm bất động duy
nhất, hơn nữa
xX
dãy {f
n
(x)} hội tụ tới điểm bất động.
Chứng minh:
Chọn
0
xX
. Xét tập
     
1 0 2 1 n 1 n
x f x ,x f x , ,x f x


  

Ta có :

     
 
 
   
n 1 n n n 1 n n 1
2n
n 1 n 2 1 0
d x ,x d f x , f x kd x ,x
k d x ,x k d x ,x
  


  

Với n > m :

       
 
 
 
n m n n 1 n 1 n 2 m 1 m
n 1 n 2 m
10
m
10

d x ,x d x ,x d x ,x d x ,x
k k k d x ,x
k
d x ,x
1k
   

   
   



suy ra :

   
10
,,
1
m
nm
k
d x x K d x x
k



Vì
k 
[0,1) nên
 

,
,0
mn
nm
d x x


. Từ đó {x
n
} là dãy Cauchy, do x đầy đủ nên
x
n
→ x*
X

Ta có :

 
 
 
 
 
 
 
   
nn
n n 1
d f x ,x d f x , f x d f x ,x
kd x ,x d x ,x
   






- 18 -

Từ đó

 
 
   
* * * *
1
, . , , 0
nn
d f x x K k d x x K d x x

  

Vậy
 
f x x x
  

là điểm bất động của f.
Tính duy nhất : giả sử
 
f y y



từ
     
 
 
d x ,y d f x , f y kd x , y
     


Do đó
 
0d x , y


nên x
*
= y
*
.
Ví dụ 2.2.3. Lấy
2
E  
,
 
 
2
0P x,y : x, y  


 

 
 
 
22
0 0 1 0 0 1X x, : x ,x : x        

Định nghĩa
d : X X E
xác định bởi

   
 
4
,0 , ,0 ,
3
d x y x y x y

  




   
 
2
0, , 0, ,
3
d x y x y x y

  





   
 
   
 
42
,0 , 0, ,0 , 0, ,
33
d x y d y x x y x y

   



Dễ thấy
 
X ,d
là không gian metric nón đầy đủ.
Xét ánh xạ f : X → X cho bởi

 
 
 
0, 0,f x x


 

 
1
,0 ,0
2
f x x





Khi đó f thỏa mãn điều kiện :

   
 
   
 
   
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3
, , , , , , , , , ,
4
d f x x f y y d x x y y x x y y X  

Theo định lý (2.1.2), f có điểm bất động duy nhất
 
00,X
.
2.3. Mở rộng ánh xạ co.
Định lý 2.3.1. Cho
 

X ,d
là không gian metric nón đầy đủ và f : X → X thỏa mãn
- 19 -


   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
345
, , ,
, , ,
d f x f y a d f x x a d f y y
a d f x y a d f y x a d x y

  

với


5
1

0 1 1
ii
i
x, y X ,a , ; a

  

. (2.1)
Thế thì f có điểm bất động duy nhất, hơn nữa
xX
dãy
 
 
n
fx
hội tụ tới điểm bất
động.
Chứng minh.
Không giảm tổng quát giả sử a
1
= a
2
, a
3
= a
4


   
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
34
5
, , ,
2
, , ,
2
aa
d f x f y d f x x d f y y
aa
d f x x d f y y a d x y






  


Cho y = f(x) ta được :

   
 
 
 
 
 
22
1 5 3
22
, , ,
11
a a a
d f x f x d x f x d x f x
aa



(2.2)
Từ
   
 
 
 
 
 
22
, , ,d f x f x d f x x d f x x
và (2.2) ta được

 
 
 
 
 
 
 
 
22
1 5 3
22
, , , ,
11
a a a
d f x x d f x x d x f x d x f x
aa

  

(2.3)
Suy ra :

 
 
 
 
2
1 5 2
23
1

,,
1
a a a
d f x x d x f x
aa
  


(2.4)
Thay vào (2.4) vào (2.2) ta có

   
 
 
 
2
1 3 5
23
,,
1
a a a
d f x f x d x f x
aa



(2.5)
Đổi a
1
bởi a

2
và a
3
bởi a
4
ta được :

   
 
 
 
2
2 4 5
14
,,
1
aaa
d f x f x d x f x
aa



(2.6)
Đặt
1 3 5 2 4 5
2 3 1 4
min ,
11
a a a a a a
a a a a



   


   

, suy ra
   
 
 
 
2
,,d f x f x d x f x


.
- 20 -

Lấy m > n ta có :

   
 
   
 
   
 
   
 
1 1 2

1
, , ,
,
m n m m m m
nn
d f x f x d f x f x d f x f x
d f x f x
  





 
 
 
1 ,
n m n
d x f x
  

   


 
 
,
1
n
d x f x







Lấy
 
 
11
0, : ,
1
c N d x f x c n N


   

  

Từ đó :
   
 
,
mn
d f x f x c
→
 
 
n
fx

là dãy Cauchy trong
 
X ,d
. Vì
 
X ,d
đầy
đủ nên
 
 
*
2
:
n
n
n N f x x

  
.
Chọn
22
:N n N  
:
 
 
 
 
23
*
14

1
,
21
n
c a a
d f x x
aa





 
 
 
 
23
*
1 3 5
1
,
2
m
c a a
d f x x
a a a




Từ có :
 
 
 
 
 
 
 
* * * *
, , ,
nn
d f x x d f x f x d f x x


   
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
1 * * * 1
1 2 3
* 1 * *
45
, , ,

, , ,
n n n
n n n
a d f x f x a d f x x a d f x f x
a d f x x a d f x x d f x x


  
  


 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* 1 * * *
1 1 2
* * 1 * *
3 3 4

1 * *
5
, , ,
, , ,
,,
nn
nn
nn
a d f x x a d f x x a d f x x
a d f x x a d f x x a d f x x
a d f x x d f x x



  
  



 
 
 
 
 
1 * 1 *
1 3 5
14
2 3 2 3
1
,,

11
nn
a a a
aa
d f x x d f x x
a a a a




   


22
cc
c  


Từ đó
 
 
**
,1
c
d f x x m
m

.
- 21 -

Vì
 
 
**
,
c
d f x x P
m

, cho
 
 
 
* * * *
,0m d f x x f x x     

Ta thấy rằng định lý (2.1.1) là hệ quả trực tiếp của định lý (2.2.2) bằng cách cho a
1
= a
2
= a
3
= a
4
=

0. Ngoài ra, từ định lý (2.2.2) ta có các hệ quả sau.
Hệ quả 2.3.3. Cho
 
X ,d

là không gian metric nón đầy đủ.
f : X X
thỏa mãn

   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f x f y k d f x x k d f y y
(2.7)
với
1 2 1 2
01k ,k ,k k  
. Khi đó f có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh:
Hệ quả (2.2.3) suy trực tiếp từ định lý (2.2.2) bằng cách cho

1 1 2 2
a =k ,a =k ,

3 4 5 6
a =a =a =a 0

Hệ quả 2.3.4. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón đầy đủ.

f : X X
thỏa mãn

   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f x f y k d f x y k d f y x
(2.8)
với
1 2 1 2
01k ,k ,k k  
. Khi đó f có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh:
Hệ quả (2.2.4) suy trực tiếp từ định lý (2.2.2) bằng cách cho

3 1 4 2 1 2 5 6
0a =k ,a =k ,a =a =a =a 

Hệ quả 2.3.5. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón đầy đủ.
f : X X
thỏa mãn

   

 
 
 
 
 
, , ,d f x f y k d f x x d f y y



(2.9)
với
1
0, , ,
2
k x y X





. Khi đó f có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh:
Theo (2.7) ta có:
   
 
 
 
 
 
12

, , ,d f x f y k d f x x k d f y y
(2.10)
Tráo vai trò x và y ta được:

   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f y f x k d f y y k d f x x
(2.11)
Cộng 2 vế (2.10) và (2.11)

   
 
   
 
   
 
   
 
1 2 1 2
, , , ,d f x f y d f y f x k k d f y y k k d f x x    

- 22 -

Vì
   

 
   
 
d f x , f y d f y , f x
nên:

   
 
 
 
 
 
12
, , ,
2
kk
d f x f y d f y y d f x x





Đặt
12
kk
k
2


ta được (2.9). Áp dụng hệ quả (2.2.3) ta có kết quả cần chứng minh.

Hệ quả 2.3.6. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón dầy đủ. Ánh xạ
f : X X
thỏa
mãn:

   
 
 
 
 
 
, , ,d f x f y k d f x y d f y x



(2.12)
với
1
0, , ,
2
k x y X





. Khi đó f có điểm bất động duy nhất.

Chứng minh:
Theo (2.8) ta có:
   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f x f y k d f x y k d f y x
(2.13)
Tráo vai trò x và y ta được:

   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f y f x k d f y x k d f x y
(2.14)
Cộng 2 vế (2.13) và (2.14)

   
 
   
 
   
 

   
 
1 2 1 2
, , , ,d f x f y d f y f x k k d f x y k k d f y x    

Vì
   
 
   
 
d f x , f y d f y , f x
nên:

   
 
 
 
 
 
12
, , ,
2
kk
d f x f y d f x y d f y x





Đặt

12
kk
k
2


ta được (2.12). Áp dụng hệ quả (2.2.4) ta có kết quả cần chứng minh.
2.4. Điểm bất động chung của các ánh xạ
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu điểm bất động chung của hai ánh xạ và ba ánh
xạ.
Định nghĩa 2.4.1. Cho
( , )Xd

là không gian metric nón. Giả sử ánh xạ
,:f g X X

thỏa mãn:
i.
( ) ( )f X g X

ii.
()fX
hoặc
()gX
đầy đủ trong
X

- 23 -

Khi đó cặp

( , )fg
gọi là Aj’spair
Định lý 2.4.2. Giả sử
( , )fg
là Aj’spair và tồn tại
5
1
0, 1,5, 1, ,
ii
i
a i a x y X

    


tacó:
   
 
   
 
   
 
12
, , ,d f x f y a d f x g x a d f y g y


       
 
   
 

3 4 5
( , ) , ,a d f y g x a d f x g y a d g y g x  

(2.15)

Khi đó f và g có điểm chung trong X. Hơn nữa f, g tương thích yếu thì f, g có điểm bất
động chung duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử f thỏa mãn (2.15)

   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
, , ,
, , ,
d f x f y kd f x g x kd f y g y
ld f y g x ld f x g y md g y g x

  
(2.16)
Với



01x, y X ,k,l,m ,  
và
2 2 1k l m  

 
1 2 3 4 5
2 ,2 ,k a a l a a m a    

Lấy
0
xX
và
1
xX
sao cho
 
 
10
g x f x
. Từ đó xác định với
n
xX
lấy
1n
xX



sao cho
   
1
.
nn
g x f x



Nếu
   
1nn
f x f x n

  
thì
 
 
n
fx
là dãy Cauchy.
Giả sử rằng
   
1nn
f x f x n N

  
. Sử dụng (3.2) và
   
1nn

g x f x



Ta có:

   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
1 1 1
11
11
, , ,
, , ,
,,
1
n n n n n n

n n n n n n
n n n n
d f x f x kd f x f x kd f x f x
ld f x f x ld f x f x ld f x f x
k l m
md f x f x d f x f x
kl
  



  




Do đó:

   
 
 
 
 
1 0 1
,,
1
n
nn
k l m
d f x f x d f x f x

kl








Với
,,m n N n m  
ta có:
- 24 -


   
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 

1
1 2 1
12
01
01
,,
, ,
,
,
1
n m n n
n n m m
n n m
m
d f x f x kd f x f x
kd fx f x kd f x f x
k k k d f x f x
k
d f x f x
k

  


  
   



ở đây

[0,1).
1
k l m
k
kl




Lấy
 
 
 
1 0 1
0, : ,
1
m
k
c N d f x f x c
k


  

1
mN

Từ đó:
   
 

,,
nm
d f x f x c n m
. Chứng tỏ
 
 
n
fx
là dãy Cauchy
Theo giả thiết
 
fX
hoặc
 
gX
đầy đủ nên tồn tại
 
*
x g X
sao cho
 
*
n
f x x
và
 
*
n
g x x

Lấy
 
*
:y X g y x
. Ta cần chỉ ra
   
f y g y

Từ (3.2) ta có:

 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, , ,
, , ,
n n n
n n n

d f x f y kd f x g x kd f y g y
ld f y g x ld f x g y md g y g x

  

Cho
n  
ta được:

 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
**
**
, , ,
,,
d x f y kd f y g y ld f y x
md g y x k l d x f y

  

Từ đó
   

*
x f y g y

Vì
   
f y g y
và
,fg
tương thích yếu nên:

 
   
 
**
f x fg y gg y g x  

Tiếp theo ta chứng tỏ rằng:
   
* * *
x f x g x

Giả sử
 
**
f x x
. Từ (2.16) ta có:
- 25 -


 

 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* * * *
* * * *
, , , ,
, , 2 , 2 ,
d f x f y kd f x g x kd f y g y ld f y x
ld f x g y md g y g x ld f y g x ld f y f x
  
   

Từ đó suy ra

   
* * *
f x x g x
và
*
x
là điểm bất động chung f và g.
Hệ quả 2.4.3. Cho
d
gI
ta được định lý (2.3.1)
Từ định lý trên ta rút ra những kết quả của L-G. Huang và Zhang[1], Abbas, Jungck[4],
Vetro[9], S. Rezapour và R. Hamlbarani [5].
Hệ quả 2.4.4. Giả sử rằng
( , )fg
là Aj’spair và
(0,1)

sao cho:

   
 
   
 
,,d f x f y d g x g y


(2.17)

với

,.x y X
Thế thì
,fg
có điểm chung duy nhất. Hơn nữa
,fg
tương thích yếu thì
f và g có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh:
Từ định lý (2.4.2) cho
1 2 3 4 5
0,a a a a a

    
ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.4.5. Lấy
 
1
, 0,1
R
X E C
và
 
:0PE

  

Định nghĩa
:d X X E
xác định bởi
 

,d x y x y


với
 
 
: 0,1 ,
t
R t e



Khi đó
 
,Xd
là không gian metric nón đầy đủ.
Xét
,:f g X X
cho bởi:

 
1
0
1
00
xx
fx
x












,
 
 
10
00
xx
gx
x

   




,
1, R



Dễ thấy rằng:
   

 
   
 
1
,,d f x f y d g x g y



Hàm
,fg
giao hoán tại
0x 
và
0x 
là điểm chung.
Do
,fg
tương thích yếu nên theo hệ quả (2.3.4) thì
0x 
là điểm bất động chung duy
nhất.
Hệ quả 2.4.6. Giả sử
,fg

là Aj’spair thỏa mãn:

   
 
   
 

   
 
,,
,
2
d f x g x d f y g y
d f x f y



(2.18)