CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11 CÓ LỜI GIẢI

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu)
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song)
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng
quan hệ song song)
Chủ đề: Khoảng cách
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
A. Phương pháp giải
- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình
chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M
đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau:
+ Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH
+ Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH.


- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:

+ Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì

+ MH là đường cao của tam giác MAB thì
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA =
3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao
nhiêu?
A. 2a

B. 4a

C.3a

Hướng dẫn giải

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

D. 5a


Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)
⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH
+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Chọn D
Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều
cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến
đường thẳng AM bằng

Hướng dẫn giải

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường
cao và MC = a√3/2


+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có:
Chọn đáp án C
Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi
một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B


Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH
⇒ tam giác SAH vuông tại S.
Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:

Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều
cạnh bằng a . Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến
đường thẳng BD bằng:


Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:
(Định lý 3 đường vuông góc)
⇒ d(A, BD) = AM, CM = a√3/2 (vì tam giác BCD đều).
+ AC vuông góc ( BCD) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C.

⇒
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi cạnh
bằng a và ∠B = 60° . Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.


Hướng dẫn giải

Chọn C
Kẻ AH ⊥ SC, khi đó d(A; SC) = AH
+ Do ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ AC
=a
+ Do SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc AC hay tam giác SAC vuông tại
A.
Trong tam giác vuông ta có:


Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình
vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

Hướng dẫn giải

Chọn A
+ Kẻ OH ⊥ SC , khi đó d(O; SC) = OH
+ Ta có: ΔSAC ∼ ΔOHC (g.g) (g-g) nên


Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi
một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên
bằng

Hướng dẫn giải

Chọn D


+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)
+ Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α nên : ∠SDO = α
Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d(O, SD) = OH
Ta có: BD = a√a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√2 = (a√2)/2
+ Xét tam giác vuông OHD:
OH = OD.sinα = (a√2/2).sinα
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi
một. Biết SA = 3a, AB = a√3, BC = a√6. Khoảng cách từ B đến SC bằng
A. a√2

B. 2a

C. 2a√3

D. a√3

Hiển thị lời giải

Chọn B
+ Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥
SB .

+ Kẻ BH ⊥ SC, khi đó d(B; SC) = BH.
Ta có:
Trong tam giác SBC vuông tại B ta có:

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ
đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Hiển thị lời giải

Gọi M là trung điểm của CD’
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh
a√2 .
+ Tam giác ACD’ có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao AM ⊥
CD'.


d(A; CD’) = AM = AC.sin(ACM) = a√2.sin60°= (a√6)/2
Đáp án: B
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ
đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB’ bằng

Hiển thị lời giải

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB’.

Ta có:
⇒ AD ⊥ AB'
Xét tam giác ADB’ vuông tại A; đường cao AH:

Đáp án D
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba
điểm nào sau đây đến đường chéo AC’ bằng nhau ?
A. A’, B, C’

B. B, C, D

C. B’, C’, D’

D. A, A’, D’

Hiển thị lời giải

Dễ thấy các tam giác ABC’, C’CA, ADC’ là các tam giác vuông bằng nhau nên
các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau.
Vậy: d(B; AC’) = d(C; AC’) = d(D; AC’)
Đáp án B
Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO
= a√3/3. Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng


Hiển thị lời giải

Chọn B
Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao
⇒ O là tâm của tam giác ABC.
+ Gọi I là trung điểm cạnh BC.

Tam giác ABC đều nên

Kẻ OH ⊥ SA; khi đó d(O; SA) = OH
Xét tam giác SAO vuông tại O:


Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ
đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Hiển thị lời giải

Gọi M là trung điểm của CD’
Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh
a√2


Đáp án: B

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu)
A. Phương pháp giải
Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta
phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)
Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK
Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông
góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến (SBC)
bằng

Hướng dẫn giải

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM
- Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường
cao). Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥
AH
Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC)

Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật.
Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:


Hướng dẫn giải

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD
Suy ra (SAD) ⊥ CD
Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H
Khi đó AH ⊥ (SCD)

Chọn đáp án C
Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng
cách từ S đến (ABC) bằng :


A. 2a

B. a√3

C. a

D. a√5

Hướng dẫn giải

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC)

Chọn đáp án C
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng
đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:


Hướng dẫn giải

Chọn D
Kẻ AH ⊥ SB

Ta có:
Lại có: AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC)
⇒ d(A; (SBC)) = AH
Trong tam giác vuông SAB ta có:

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật.
Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:


Hướng dẫn giải

Chọn C
Kẻ AH ⊥ SD

Ta có:

nên CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH

Lại có; AH vuông góc SD (2)
Từ (1); (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) và d(A, (SCD)) = AH
Trong tam giác vuông SAD ta có:

(1)


Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ
S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một
mặt bên:

Hướng dẫn giải

Chọn C
+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)


Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều)
⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO =
a√3
+ Gọi M là trung điểm của BC

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

nên suy ra d(O; (SBC)) = OH.
Ta có: OM = (1/3).AM = (a√3)/3
Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến (BCD)
bằng:


Hiển thị lời giải

Chọn B
Gọi O là trọng tâm tam giác BCD
⇒ OB = OC = OD (do tam giác BCD là tam giác đều)
Lại có: AB = AC = AD = a
⇒ AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
⇒ AO ⊥ (BCD)


Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc
∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO =
3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:

Hiển thị lời giải

Chọn C