CHUYÊN ĐỀ: Hai đường thẳng vuông góc (HÌNH HỌC 11)

CHUYÊN ĐỀ: Hai đường thẳng vuông góc (HÌNH HỌC 11)
Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông góc
Xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng
Tính tích vô hướng của hai vectơ
Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Chủ đề: Hai đường thẳng vuông góc
Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông góc
A. Phương pháp giải
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian, cho u→ và v→ là hai vectơ khác 0→. Lấy một điểm A bất kì,
gọi B và C là hai điểm sao cho AB→ = u→, AC→ = v→. Khi đó ta gọi
góc
kí hiệu là (u→, v→)

là góc giữa hai vectơ u→ và v→ trong không gian,


2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai
vectơ u→ và u→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.
II – Vecto chỉ phương của đường thẳng
1. Định nghĩa
Vectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của
vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Nhận xét
a) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k.a→ với k ≠ 0 cũng

là vectơ chỉ phương của d.


b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A
thuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng
phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
III – Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’
và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một
trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường
thẳng còn lại.
b) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°.
c) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương của
đường thẳng b và (u→, v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu
0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° - α nếu 90° < α ≤ 180°. Nếu a và b song song hoặc
trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.
IV – Hai đường thẳng vuông góc
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.
Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b .


2. Nhận xét
a) Gọi u→ và v→ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:
a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường
thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a;b;c . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a//b.
B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b.
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp(α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta xét các phương án:
+ Phương án A: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc
chéo nhau
⇒ A sai.
+ Phương án C sai do:
Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông
góc chung của a và b. Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng
bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.


+ Phương án D sai do: giả sử a vuông góc với c; bsong song với c, khi đó góc giữa
a và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°.
Do đó B đúng.
Ví dụ 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b
song song với c (hoặc b trùng với c).
B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b
song song với c.

C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường
thẳng đó.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta xét các phương án:
+ Phương án B sai: Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:
(AD; AB) = (AD; AA’) = 90° nhưng AB và AA’ lại vuông góc với nhau
+ Phương án C sai : Vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°. Mà 90° lại
không là góc nhọn .
+ Phương án D: Góc giữa hai đường thẳng chỉ bằng góc giữa hai véctơ chỉ
phương của hai đường thẳng đó khi góc giữa hai vecto chỉ phương không vượt
quá 90°.
⇒ Phương án A đúng.
Ví dụ 3: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.


B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng
thứ ba thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông
góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Theo lý thuyết
Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng
nằm trong một mặt phẳng

B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì
đồng quy.
C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng
đó cùng nằm trong một mặt phẳng.
D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi a; b; c là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một
Giả sử a; b cắt nhau tại A, vì c không nằm cùng mặt phẳng với a; b mà c cắt a; b
nên c phải đi qua A
Thật vậy giả sử c không đi qua A thì nó phải cắt a; b tại hai điểm B; C
⇒ Đường thẳng c cắt (a; b) tại 2 điểm B; C điều này là vô lí, một đường thẳng
không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.


Ví dụ 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau.
B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc
với đường thẳng c thì a vuông góc với c.
C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Nếu đường thẳng c vuông góc với a và b
thì a; b; c không đồng phẳng.
D. Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuông
góc với c.
Hướng dẫn giải
Ta xét các phương án:
+ Phương án A sai: vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau hoặc vuông góc với nhau.
+ Phương án B sai vì nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường
thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có thể song song với c(khi 3 đường

thẳng a; b; c đồng phẳng).
+ Phương án C sai vì với 2 đường thẳng a // b và 3 đường thẳng a; b; c đồng
phẳng. Nếu đường thẳng c vuông góc với a thì c cũng vuông góc với b.
+ Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song
song với đường thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.


D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì
vuông góc với đường thẳng kia.
Hiển thị lời giải
Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ AB→ và DH→
A. 45°

B.90°

C. 120°

D. 60°

Hiển thị lời giải
Chọn B

Câu 3: Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Biết a vuông góc với

đường thẳng c. Tìm mệnh đề đúng ?
A. b vuông góc với c
B. b // c
C. Cả A và B đúng
D. Tất cả sai.
Hiển thị lời giải
+ Phương án A sai: Ví dụ khi a; b và c cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó;
b // c
(vì cùng vuông góc với đường thẳng a).
+ Phương án B sai. Ví dụ hình chóp S.ABC có SA; SB và SC đôi một vuông góc.
Rõ ràng SA vuông góc SB và SC nhưng SB và SC không song song với nhau.
Chọn D
Câu 4: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì:


A. Song song với nhau
B. Vuông góc với nhau.
C. Chéo nhau
D. Tất cả sai.
Hiển thị lời giải
+ Phương án A sai: ví dụ hình chóp S.ABC có SA, SB và SC đôi một vuông góc.
Có SA và SB cùng vuông góc với SC nhưng SA và SB không song song với nhau.
Đồng thời ta thấy SA và SB cắt nhau tại S.
⇒ A và C sai
+ Phương án B sai: Ví dụ các đường thẳng a; b và c đồng phẳng. Có a và c cùng
vuông góc với b. Khi đó; a // c
⇒ B sai
Chọn D
Câu 5: Chọn mệnh đề sai?
A. Nếu a // b và b // c thì a //c.

B. Nếu a vuông góc với b ; b vuông góc với c thì a // c.
C. Cho a // b. Nếu a vuông góc với c thì b vuông góc với c.
D. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vecto chỉ
phương của hai đường thẳng đó bằng 0.
Xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng
A. Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai đường thẳng d 1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo
hai cách


Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d 1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích
hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O
nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng
d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) =
Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không
đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec
tơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ AB→ và DH→


A. 45°

B. 90°

C. 120°

D.60°

Hướng dẫn giải:
Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) =
∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).
Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ AB→ và EG→?
A. 90°

B. 60°

C. 45°

D. 120°

Hướng dẫn giải

Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:
(do ABCD là hình vuông)
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:
A. 45°

B. 90°

C. 60°

D. 120°


Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương
Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .
Lại có, DA’ song song CB’ nên
(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.
Chọn C
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có
ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải


Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác
A’DC’ là tam giác nhọn) nên :
(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'
Chọn B
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?
A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°
B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°
C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°
D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.
Hướng dẫn giải
Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°.

Khẳng định B sai. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm
của AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằng
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°


Hướng dẫn giải

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD

Từ (1) và (2) suy ra:


Do đó IJEF là hình thoi
Suy ra (IE; JF) = 90°.
Chọn D
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trung
điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 30°

B. 45°

C. 60°

Hướng dẫn giải

Chọn C
Gọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.
Ta có:

D. 90°


Gọi O là giao điểm của MN và IJ.
Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .
Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB
và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?
A. 120°
Hướng dẫn giải

B. 90°

C. 60°

D.45°


Chọn B
+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Tương tự tam giác ABD đều.
⇒ BC = BD (= AB)
+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :
BC = AC.
AD = BD
CD chung
⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ
⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồng
thời là đường cao.
⇒ IJ ⊥ AB.
⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 60°
Hiển thị lời giải

B. 30°

C. 90°

D. 45°


+ Gọi M là trung điểm của CD
+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) có
AM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.
Chọn C
Câu 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?
A. 0°

B. 30°

Hiển thị lời giải

C. 90°

D. 60°


Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên:

Suy ra AO→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AO và CD bằng 90°.
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa
hai đường thẳng chéo nhau SC và AB
A. 30°
Hiển thị lời giải

B. 45°

C. 60°

D. 90°


Xét:

Vậy SC và AB vuông góc với nhau.
Chọn D
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ; CD)bằng:
A . 90°
Hiển thị lời giải

B. 45°

C. 30°

D. 60°


Chọn D
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
+ Ta có: OJ là đường trung bình của tam giác BCD nên
OJ // CD
⇒ (IJ; CD) = (IJ, JO)
+ Xét tam giác IOJ có

⇒ tam giác IOJ đều.
Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ
bằng góc ∠IJO = 60°
Chọn D.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng
a. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SC
A. 30°
Hiển thị lời giải

B. 45°

C. 60°

D.90°


Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) .
Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.
Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC .
Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh
đáy). Vậy SA ⊥ SC
Chọn D.
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB;
DM) bằng

Hiển thị lời giải


Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)
Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)
Ta có:

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các
cạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)a
Xét tam giác MED, ta có:

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các
cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của
góc (MN; SC) bằng
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D.90°

Hiển thị lời giải
Chọn D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình
vuông ABCD (1)

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình
vuông ABCD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)
Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).
⇒ (MN; SC) = (SA; SC).
Xét tam giác SAC, ta có:

⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC
⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°


Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD

= 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp
vectơ IJ→ và CD→ ?
A. 45°

B. 90°

C. 60°

D. 120°

Hiển thị lời giải
Chọn B
Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI = DI
(2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB)
⇒ Tam giác CID là tam giác cân ở I.
Mà IJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên IJ ⊥ CD
Tính tích vô hướng của hai vectơ
Tính tích vô hướng của hai vectơ
A. Phương pháp giải
Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai
vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→. v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→. v→ = 0→
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB;
DM) bằng :