Hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS thành lộc giải các bài toán tính giá trị và so sánh lũy thừa với số mũ tự nhiên

A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
Mọi con sông lớn đều bắt nguồn từ những dòng suối nhỏ, mọi bài toán khó
đều bắt nguồn từ những bài toán đơn giản hơn. Đối với học sinh lớp 6, bước đầu
làm quen với việc tư duy logic cao hơn về số học. Việc tiếp thu môn số học bước
đầu còn tương đối khó khăn. Vì vậy để học sinh nâng tầm tư duy toán học hơn
nữa, ngoài việc giảng dạy kiến thức trên lớp, người giáo viên cần phải khuyến
khích học sinh, nhất là học sinh khá giỏi không những phải biết tìm tòi vận dụng
phát triển các bài toán cơ bản mà còn phải biết cách phát triển nó thành những
bài toán mới có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh. Cách dạy và học ấy mới đi đúng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay. Có
như vậy mới tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy khả năng tự
lập, chủ động, sáng tạo của học sinh, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến
tình cảm, đem lại niềm say mê và hứng thú học tập cho học sinh.
Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phương
pháp giải thích hợp. Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa
ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho
người học và người dạy rất vất vả nhất là học sinh lớp 6. Sau khi các em được
học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ít
nhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều.
Để giải được các bài tập nâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến
thức cơ bản có trong chương trình, học sinh còn phải nắm bắt một số kiến thức bổ
sung mở rộng. Những kiến thức này không được phân phối trong các tiết học nên
học sinh ít được vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài toán khó.
Vì vậy khi gặp những bài tập khó này học sinh sẽ cảm thấy bế tắc, chán nản từ
đó không còn thích thú học môn toán nữa.
Qua các kì thi, đặc biệt là các kì thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải có
sự linh hoạt các kiến thức đã học, uyển chuyển trong phương pháp giải. Do đó
phải rèn luyện cho các em có thói quen tìm tòi nhiều cách giải hay, biết xâu
chuỗi bài toán, nhằm sáng tạo trong cách học, cách giải, cách tiếp cận một bài

toán.
Là một giáo viên dạy toán ở Trường THCS, tôi luôn mong muốn học sinh
của mình không những học cách giải toán thông thường mà còn rèn luyện được
một trong những phẩm chất của con người thời hiện đại: khả năng quan sát,
phân tích và tính sáng tạo, linh hoạt trong tư duy; đức tính cẩn thận. Với suy
nghĩ như thế tôi đã tham khảo, tìm tòi và tiến hành tự nghiên cứu đề tài:
“Hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS Thành Lộc giải các bài toán tính giá
trị và so sánh lũy thừa với số mũ tự nhiên”

1


II. Mục đích nghiên cứu
- Nhằm rút ra một số biện pháp, phương pháp thích hợp hướng dẫn học
sinh lớp 6 khi giải các bài toán về lũy thừa.
- Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
- Tìm ra các phương pháp giải các bài toán về lũy thừa.
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng thức cụ thể, đảm bảo tính
chính xác, khoa học, phù hợp với học sinh.
- Tìm ra phương pháp giải hợp lý với từng kiểu bài cụ thể.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài được thực hiện trong phạm vi năm học 2016 - 2017 trong khi dạy ôn
luyện học sinh giỏi lớp 6 tại trường THCS Thành Lộc, huyện Hậu Lộc, tỉnh
Thanh Hóa.
- Giới hạn của đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS Thành Lộc
giải các bài toán tính giá trị và so sánh lũy thừa với số mũ tự nhiên”
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên
quan.
- Phương pháp điều tra.

- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp phân tích - tổng hợp.
- Phương pháp gợi mở vấn đáp
- Phương pháp so sánh
- Phương pháp tổng quát hoá …

2


B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận:
Mục tiêu của môn Toán ở trường THCS là nhằm cung cấp cho học sinh
những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện các kỹ
năng giải toán và ứng dụng vào thực tế, rèn luyện khả năng suy luận hợp lý,sử
dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như linh hoạt, độc
lập, sáng tạo. Xuất phát từ mục tiêu trên, phương pháp dạy học trong giai đoạn
mới là tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự
học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát
triển ở học sinh các phẩm chất tư duy cần thiết.
Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận khoa
học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã
giải hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài toán tưởng chừng như đơn
giản.
Bộ môn số học lớp 6 đặc biệt là phần lũy thừa với số mũ tự nhiên là một
nội dung kiến thức hoàn toàn mới đối với học sinh. Các em thường gặp rất
nhiều khó khăn trong việc biến đổi để thực hiện các phép toán về lũy thừa và so
sánh lũy thừa.
II. Thực trạng của vấn đề:
Qua theo dõi sát sao các đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 6 của
Huyện Hậu Lộc trong những năm gần đây tôi thấy nội dung vấn đề mà tôi trăn

trở hầu hết năm nào cũng có trong một phần nội dung thi và chiếm từ 2 đến 3
điểm, có những năm học sinh làm tốt, song có những năm còn lúng túng trong
cách giải. Cũng vì thực tế như trên tôi thiết nghĩ: Để có kĩ năng giải bài tập phải
qua quá trình luyện tập. Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng.
Việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập
sang một loạt bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, nhằm rèn
luyện một phương pháp chứng minh nào đó.
Ở trường tôi, qua công tác giảng dạy môn toán nói chung và môn số học lớp
6 nói riêng. Trong những năm qua tôi thấy rằng đa số học sinh:
- Các em học thuộc lí thuyết theo kiểu học vẹt nên chưa biết vận dụng kiến
thức đã học vào quá trình giải toán; chưa tìm được sợi dây liên kết giữa từng
phần với nhau nên không biết làm như thế nào.
- Các em thường có thói quen không tốt khi học toán là: không chịu đọc kĩ
đề bài, phân tích các yếu tố có trong bài toán mà cứ đọc xong là bắt dầu nháp lia
lịa, trong khi không biết mình làm thế có mang lại hiệu quả không; cách làm đó
đã phù hợp với bài toán chưa. Kết qủa là sau khi làm một hồi thì bế tắc; bài toán

3


nào may mắn thì ra nhưng không biết nhận dạng nó để còn làm các bài tập
tương tự.
- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không sử dụng hết
các dữ kiện của bài toán...
- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp
suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải hoặc áp dụng
phương pháp giải một cách thụ động .
- Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở
rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện
tư duy toán học.

Từ thực trạng trên trước khi tôi vận dụng đề tài này vào việc bồi dưỡng đối
tượng học sinh khá - giỏi khối lớp 6, năm học 2016 – 2017 qua khảo sát kết quả
như sau:
Khối
lớp

Sĩ số

Số HS tự học có phát huy
được tính tư duy sáng tạo
SL

6

10

TL(%)
2

20

Số HS tự học chưa phát huy
được tính tư duy sáng tạo
SL

TL(%)
8

80

Từ những thực trạng trên, bản thân tôi đã tự xây dựng cho mình những giải
pháp, biện pháp thực hiện đề tài một cách cụ thể, khoa học và hiệu quả, đem lại
những kết quả khả quan để phát huy khả năng tư duy sáng tạo, góp phần nâng
cao chất lượng bồi dưỡng kiến thức cho học sinh mũi nhọn.
III. Các giải pháp thực hiện:
Do điều kiện không cho phép sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán số học
mà tôi sưu tầm được trong đề thi HSG Toán 6 của huyện Hậu Lộc và một số
huyện lân cận các năm học trước để làm các ví dụ cũng như bài tập áp dụng.

4


1. KIẾN THỨC CẦN ÔN TẬP VÀ MỞ RỘNG.
a) Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên .
- Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau , mỗi thừa số bằng a
a1n 4= 44
a . a2. 4a .......
(n � N* )
4 43a
n thùa sô a

1

- Quy ước : a = a
a0 = 1 (a � 0)
b) Các phép toán về lũy thừa .
* Với a, b, m, n  N ta có các phép tính
- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số :
am. an = a m + n
- Chia hai lũy thừa cùng cơ số :

am : an = am - n
(a � 0, m > n)
- Lũy thừa của một tích :
(a.b)m = am. bm
- Lũy thừa của một thương
(a : b)m = am : bm (b � 0 )
- Lũy thừa của lũy thừa
(am)n = am.n
- Lũy thừa tầng :
n
 mn 
am  a
c) Tính chất về thứ tự :
- Nếu a = b thì
an = bn
- Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b ( nếu n chẵn )
a = b ( nếu n lẻ)
m
n
- Nếu a = a thì m = n
- Nếu a > b > 0 => am > bm (m � 0)
- Nếu m > n > 0 , a > 1 => am > an
- Nếu am > bn và bn > ck => am > ck
2. HAI DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA
Loại 1 : Tính giá trị các biểu thức ở dạng biểu thức nguyên .
* Phương pháp :
-Thực hiện theo thứ tự thực hiện phép tính và sử dụng các phép tính của lũy
thừa .
- Sử dụng các phép tính của lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối của phép

nhân đối với phép cộng .
Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức :
a) A  483 : 33  246 : 66
Hướng dẫn :
Các lũy thừa của 48 và 3 có cùng số mũ là 3. Lũy thừa của 24 và 6 có
cùng số mũ là 6. vậy ta chỉ cần thực hiện theo thứ tự phép tính : Nhân , chia ,
cộng ,trừ .
5


Giải :
A  483 : 33  246 : 66
3
6
  48 : 3   24 : 6   163  46
  24    22   212  212  0
3

6

b) B  34.18  33.15
Hướng dẫn : Ta thấy trong tích thứ nhất và tích thứ hai đều có chung một thừa
số là lũy thừa của 3, nên ta dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng để thực hiện
B  33.18  32.15
Giải :
 32  3.18  15   32  54  15 

 32.39  9.39  351

24
23
66
c) C   8  8  : 2
Hướng dẫn :
- Khi làm một số học sinh của tôi đã áp dụng sai một công thức quan trọng là
a n .a m  a n  m HS nhầm a n  a m  a n  m (Đây là công thức sai)
- Sau khi chỉ sai cho HS tôi hướng dẫn các em.
Đưa về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8 ,sau đó sử dụng tính chất phân phối của
phép cộng đối với phép chia để thực hiện .
24
23
66
Giải : C   8  8  : 2

  824  823  :  23 

22

  824  823  : 822

 824 : 822  823 : 822  82  8  72

Loại 2 : Tính giá trị các biểu thức có dạng phân số :
Phương pháp : Viết tử và mẫu dưới dạng tích các lũy thừa. Sau đó sử dụng tính
chất của phân số chia cả tử và mẫu cho cùng một lũy thừa khác không .
Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức .

 2 .5.7   5 .7 
A

 2.5.7 
3

a)

2

3

2 2

Hướng dẫn :
Tử và mẫu là tích của các lũy thừa có cơ số là các số nguyên tố. Ta chỉ việc
viết gọn tử và mẫu bằng cách sử dụng nhân lũy thừa , tính lũy của lũy thừa ,rồi
rút gọn các lũy thừa giống nhau .
Giải:

 2 .5.7   5 .7 
A
 2.5.7 
3

2

2 2

b)

B

3



23.53.7 4
23.5.7.52.73
 2 2 4 = 2.5 = 10
22.52.7 4
2 .5 .7

914.255.87
1812.6253.243

Hướng dẫn :

6


- Tử và mẫu là tích các lũy thừa không cùng cơ số mà các lũy thừa này có cơ số
chưa phải là số nguyên tố .
- Do đó ta viết các lũy thừa thành các lũy thừa có cơ số là số nguyên tố , rồi rút
gọn .
914.255.87
Giải :
B  12
18 .6253.243

 3  . 5  . 2 

2 .9 .  5  .  3.8 

2 14

12

12

2 5

3 7

4 3

3

328.510.221
 12 24 12 3 9
2 .3 .5 .3 .2

3
328.510.221 3
 27 12 21  2 
25
5
3 .5 .2

c)

46.95  69.120
C = 4 12
8 . 3  611

( Đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2016 – 2017)
Hướng dẫn : Biểu thức C có tử và mẫu là một tổng vì vậy sử dụng tính chất
phân phối viết tử, mẫu thành tích các lũy thừa sau đó rút gọn .
Giải :
2 6
2 5
9 3
212.310  212.310.5
46.95  69.120 (2 ) .(3 )  (2.3) .2 .3.5


C = 4 12
(23 ) 4 .312  211.311
212.312  211.311
8 . 3  611

212.310.(1 + 5)
2.6 12 4
 11 11
=
 
2 .3 (2.3 - 1) 3.5 15 5

Loại 3: Tính giá trị các biểu thức có dạng tổng các lũy thừa viết theo
quy luật .
Phương pháp : - Biến đổi làm xuất hiện biểu thức khác là bội của biểu thức đó
có chứa các lũy thừa có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi cộng
hoặc trừ hai biểu thức .
Ví dụ 3 : Thu gọn biểu thức sau :

A  1  2  2 2  23  ...  2 2015

Hướng dẫn :
- Biểu thức A là tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 21 ( 21 có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong
A có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp )
Giải :
A  1  2  22  23  24  ...  22015

2 A  2  22  23  24  ...  22016

2 A  A  (2  22  23  24  ...  22016 )   1  2  22  23  24  ...  22015 
A  22016  1
Ví dụ 4 : Thu gọn biểu thức :
B  1  53  56  ...  5105
7


Hướng dẫn:
- Biểu thức B là tổng các lũy thừa của 5 với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 53 ( 53 có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong
B có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp )
Giải :
B  1  53  56  ...  5105
53 B  53  56  59...  5108
125B  B  (53  56  59...  5108 )  1  53  56  59  ...  5105





124 B  5108  1
5108  1
B
124

Ví dụ 5 : Thu gọn biểu thức
1 1 1
1
C   2  3  ...  99
3 3 3
3
Hướng dẫn : - Biểu thức C là tổng mỗi số hạng là phân số có tử là 1 mẫu là lũy
thừa của 3 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị
1

- Nhân cả hai vế của biểu thức với 31 hoặc nhân cả hai vế với (cơ số)
3
Giải :

1 1 1
1
C   2  3  ...  99
3 3 3
3
1 1 1
1
3C  1   2  3  ...  98
3 3 3
3

1 1 1
1
1 �
�1 1 1
3C  C  (1   2  3  ...  98 )  �  2  3  ...  99 �
3 3 3
3
3 �
�3 3 3

Cách 1:

2C  1 

Cách 2:

1
399

� C

1
1
 99
2 2.3

1 1 1
1
C   2  3  ...  99
3 3 3

3
1
1 1 1
1
C  2  3  4  ......... 100
3
3 3 3
3
1
1 � �1 1
1 �
�1 1 1
C  C  �  2  3  ......  99 � �2  3  .....  100 �
3
3 � �3 3
3 �
�3 3 3
2
1 1
1
1
C   100 � C   99
3
3 3
2 2.3

Loại 4: Chứng tỏ một biểu thức chia hết, chia có dư cho một số.
Với các ví dụ tôi đưa ra dưới đây có rất nhiều hướng giải quyết nhưng do
mục đích và giới hạn của đề tài là giúp các em tính giá trị của các lũy thừa với
số mũ tự nhiên, nên việc hướng dẫn các em đều hướng vào việc tính giá trị.

Ví dụ 1: Chứng tỏ rẳng:
8


a) 55  54  53 chia hết cho 7.
b) 76  75  7 4 chia hết cho 11.
c) 2454.5424.210 chia hết cho 7263
d) 3n  2  2n  2  3n  2n chia hết cho 10.
e) 3n 3  3n1  2n 3  2n  2 chia hết cho 6.
Hướng dẫn: Để chứng minh biểu thức A chia hết cho b (b �0) ta biểu diễn biểu
thức A dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc
chia hết cho b)
Giải:
5
4
3
3
2
3
3
a) 5  5  5  5  5  5  1  5  25  5  1  5 .21
Vì : 21 M7 nên 53 .21 M7 Vậy 55  54  53 chia hết cho 7.
b) Tương tự 76  75  7 4 = 7 4.55 = 7 4 .5.11 M11
54
24
c) Ta có: 2454.5424.210 =  3.23  .  2.33  .210  3126.2196
Mặt khác : 7263 =  23.32   2189.3126
Ta thấy: 3126.2196 M 2189.3126 Vậy 2454.5424.210 chia hết cho 7263
n 2
n

n 2
n
n
2
n
2
n
n
d) 3n  2  2n 2  3n  2n = 3 .3  3  2 .2  2  3  3  1  2  2  1  3 .10  2 .5
Ta thấy: 3n.10 có tận cùng là 0 và 2n.5 cũng có tận cùng là 0
Vậy 3n  2  2n 2  3n  2n có tận cùng là 0 nên chia hết cho 10
n
n
e) 3n 3  3n1  2n3  2n  2 = 6  3 .5  2 .2  M6
Ví dụ 2: a) Chứng tỏ M  1  2  22  23  �
�
�
 2 2017 chia hết cho 3.
b) Biểu thức N  1  2  22  23  �
�
�
 2 2017  2 2018 có chia hết cho 3 không?
Có chia hết cho 7 không?
Hướng dẫn:
- Biểu thức M có tất cả 2018 số hạng nếu chia thành mỗi nhóm hai số hạng thì
được 1009 nhóm và mỗi nhóm đều chia hết cho 3
- Biểu thức N có 2019 số hạng nếu chia thành mỗi nhóm hai số hạng thì được
1009 nhóm chia hết cho 3 còn lại một số hạng không chia hết cho 3 (là số 1)
- Biểu thức N có 2019 số hạng nếu chia thành mỗi nhóm ba số hạng thì được
673 nhóm mỗi nhóm đều chia hết cho 7

�
�
 2 2017
Giải: a) M  1  2  2 2  23  �
63

  1  2    22  23   .....   22016  22017   3  2 2  1  2   .....  22016  1  2 
 3  3.2 2  ......  3.2 2016  3  1  2 2  ............  2 2016  M
3

b) * N  1  2  22  23  �
�
�
 22017  22018

 1   2  2 2    23  2 4   ..........   2 2017  2 2018 
 1  2  1  2   23  1  2   ..........  2 2017  1  2 

3
2017
 1  3.2  3.23  ..............  3.2 2017  1  3  2  2  ...............  2 

3
2017
Vì 3  2  2  ...............  2  M3 còn 1 không chia hết cho 3 nên N không chia hết
cho 3

9

`* N  1  2  22  23  �
�
�
 22017  22018

  1  2  22    23  24  25   ............   2 2016 2 2017  2 2018 
 7  2  1  2  2 2   ..............  2 2016  1  2  2 2 
3

 7  7.23  .........  7.2 2016  7  1  23  ...........  2 2016  M7

Kết luận: N không chia hết cho 3 nhưng N chia hết cho 7
DẠNG 2: SO SÁNH CÁC LŨY THỪA
Loại 1 : So sánh hai lũy thừa cùng cơ số .
* Phương pháp : - Đưa các lũy thừa về cùng cơ số .
- Sử dụng tính chất. Nếu m > n thì a m  a n ( a > 1 )
Ví dụ 1 : So sánh các số sau :
a) 2711 và 818
Hướng dẫn : - Các cơ số 27 và 81 đều có thể viết được dưới dạng là một lũy
thừa của 3
- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 3 rồi so sánh
hai số mũ với nhau
Giải: Ta có 2711   33   333
11

818   34   332
8

Vì 333  332 � 2711  818
b) 6255 và 1257

Hướng dẫn : - Các cơ số 625 và 125 đều là lũy thừa của 5
- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 5 rồi so sánh
5
Giải : Ta có : 6255   54   520
1257   53   521
7

Vì 521  520 � 1257  6255
c) 215 và 275.498
Hướng dẫn : - Các cơ số 21 và 27 ; 49 đều viết được thành tích của hai số
nguyên tố 7 và 3
- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 7 và cơ số 3 rồi
so sánh
15
Giải : Ta có : 2115   3.7   315.715
275.498   33  .  7 2   315.716
5

8

Vì 716  715 � 315.716  315.715
Vậy 275.498  215
Loại 2 : So sánh hai lũy thừa cùng số mũ
* Phương pháp : - Đưa các lũy thừa về cùng số mũ lớn hơn 0.
- Sử dụng tính chất .Nếu a > b thì a m  b m ( m > 0 )
Ví dụ 2 : So sánh
10


a) 536 và 1124

Hướng dẫn : - Các cơ số 5 và 11 là các số nguyên tố không đưa được về cùng
một cơ số . Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng số mũ
- Ta thấy số mũ 36 và 24 có ƯCLN là 12 nên ta viết hai lũy thừa trên thành các
lũy thừa có cùng số mũ 12 rồi so sánh các cơ số với nhau.
Giải: Ta có :
12
536  53.12   53   12512
1124  112.12   112   12112
12

Vì 12512  12112 � 536  1124
b)
52 n và 25 n với n �N g
Hướng dẫn :
- Ta thấy số mũ 2n và 5n đều có chung thừa số n nên ta viết hai lũy thừa trên
thành các lũy thừa có cùng số mũ là n.
Giải : Ta có :
n
52 n   52   25n
25 n   25   32n
n

Với n �N gnên ta có 32n  25n � 25 n  52 n
Loại 3 : So sánh qua lũy thừa trung gian .
Phương pháp :
- Sử dụng tính chất của phép nhân : Nếu c > 0 và a > b => a.c > b.c .
Nếu c > 0 và a < b => a.c < b.c .
-Tính chất bắc cầu để so sánh : Nếu a > b và b > c thì a > c
Ví dụ 3 : So sánh :
a) 3299 và 2502

Hướng dẫn :
- Hai lũy thừa trên rất khó đưa về cùng cơ số hay số mũ .
- Ta thấy số mũ 299 < 300 và 502 > 500 , mà 300 và 500 có ƯCLN là 100 do đó
ta dùng lũy thừa trung gian có số mũ là 100 so sánh .
Giải : Ta có :
3299  3300  33.100   33 

100

2502  2500  25.100   25 

100

 27100

 32100

Ta có 2502  32100  27100  3299
Vậy 2502  3299
b) 19920 và 200315
Hướng dẫn :

11


Hai lũy thừa trên rất khó đưa về cùng cơ số hay số mũ. Ta thấy cơ số
199 < 200 và 2003 > 2000 , mà 200 và 2000 có thể viết thành tích của 2 số
nguyên tố 2 và 5 do đó ta dùng lũy thừa trung gian có cơ số là 2 và 5 so sánh .
Giải :
Ta có :

199 20  200 20   8.25 

20

  23.52 

20

 260.540

200315  200015   16.125    24.53   260.545
15

15

Ta có:
545  540 � 260.545  260.540
� 200315  19920

Vậy 200315  19920
c) 2102 và 545
Hướng dẫn : Số mũ 102 và 45 không so sánh được với lũy thừa trung gian có
cùng số mũ hay cùng cơ số . vì vậy ta phải thực hiện biến đổi để hạ bậc tương
đương rồi so sánh .
Giải :
Ta có : 2102  296.26  22.16.3.64  22.16.3.125  48.2.3.125  48.42.43.125
545  542.53  57.2.3.125  57.52.53.125

Ta lại có : 48.4  49   43   643  653   13.5   133.53
3

3

57.4  54.4.53
Ta thấy : 133  2197  54.4  2500
133.53  54.4.53 � 48  57 � 48.2.3.125  57.2.3.125 � 2102  545

Vậy 2102  545
d)

1  5  5 2  ...  5 9
A=
1  5  5 2  ...  5 8

và

1  3  3 2  ...  3 9
B =
1  3  3 2  ...  3 8

Ta có:
1  5  5 2  ...  5 9
A=
1  5  5 2  ...  5 8

=
2

9

2

8

1  (5  5  ...  5 ) 1  5(1  5  5  ...  5 )
1


 5  5 (1)
2
8
2
8
2
1  5  5  ...  5
1  5  5  ...  5
1  5  5  ...  5 8
1
 3  4 (2)
Tương tự B =
2
1  3  3  ...  3 8
1
1
Từ (1) và (2) Ta có A =
+3=B
2
8 + 5 > 5 > 4 >
2
1  5  5  ...  5

1  3  3  ....  3 8

Vậy A > B
Loại 4 : Bài toán về so sánh biểu thức .
Phương pháp : Để giải loại toán này ta phải huy động các kiến thức về các phép
tính của lũy thừa các kiến thức đã học ở các dạng trên như so sánh hai lũy thừa ,
thu gọn biểu thức viết theo quy luật để so sánh .
12


2008 2008  1
Ví dụ 4 : So sánh A và B biết : A =
2008 2009  1

;

2008 2007  1
B=
2008 2008  1

Cách 1: Cách này ít khi dùng vì trước khi làm phải chứng minh tính chất sau :
* Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 (Hoàn toàn chứng minh được)
- Nếu
- Nếu

a
> 1 thì
b
a
< 1 thì

b

a ac

b bc
a a c

b bc

Áp dụng tính chất trên vào ví dụ
Ta có : 20082008  20082009
� 20082008  1  20082009  1
2008 2008  1
=> A =
<1
2008 2009  1
2008 2008  1 2008 2008  1  2007 20082008  2008
Nên A =
<
=
2008 2009  1 2008 2009  1  2007 20082009  2008
2008.( 2008 2007  1) 2008 2007  1
=
=
=B
2008.( 2008 2009  1) 2008 2007  1

Vậy A < B
Cách 2: Để so sánh A và B ta so sánh 2008.A và 2008.B
(20082008  1).2008

20082009  1
20082009  1  2007
20082009  1
2007

=

2009
2009
2008  1
2008  1
20082009  1
2007
=1+
2008 2009  1
20082007  1).2008
2008.B =
20082008  1
20082008  1  2007
20082008  1
2007

=

2008
2008
2008  1
2008  1 20082008  1
2007
=1+

2008 2008  1
2007
2007
Vì 20082009 + 1 > 20082008 + 1 nên
<
2009
2008
1
2008 2008  1

Ta có : 2008.A =

=> 2008.A < 2008. B
=> A < B
Cách 3:
Để so sánh A và B ta so sánh

1
1
và
A
B

1 2008 2009  1 2008 2009  2008  2007
=
=
=
A 2008 2008  1
2008 2008  1
=

2008.(20082008  1)  2007
20082008  1

2007
2008.(20082008  1)
2007
= 2008 2008
2008
2008 2008  1
2008  1
2008  1
13


1
2008 2008  1 2008 2008  2008  2007
2008.(20082007  1)  2007
=
=
=
B 2008 2007  1
20082007  1
2008 2007  1
2007
2008.(20082007  1)
2007


= 2008 2007

2007
2008 2007  1
2008  1
2008  1

Vì 20082008 + 1 > 20082007 + 1

2007
2007
<
2008
2008
 1 2008 2007  1
2007
2007
=> 2008 > 2008 2008
2008
1
2008 2007  1
1
1
Vậy
>
=> A < B (vì A,B > 0)
A B

nên

Ví dụ 5 : So sánh :
A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 và B = 22009 – 1

Hướng dẫn : Biểu thức A là tổng các lũy thừa viết theo quy luật , để so sánh A
và B ta phải thu gọn biểu thức A.
Giải : A  1  2  22  23  24  ...  22008
2 A  2  22  23  24  ...  22009
2 A  A  (2  22  23  24  ...  22009 )  1  2  2 2  23  24  ...  22008





A  22009  1
Vậy A = B

Ví dụ 6 : Chứng tỏ rằng.

H=

1
1
1
1
1
 2  2  .. 

1
2
2
2
3
4

2007
2008 2

Hướng dẫn: - Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học
sinh hiểu được giáo viên dẫn dắt, gợi mở cho học sinh.
1

1

1

- Giáo viên giới thiệu kiến thức : n.(n  1)  n  n  1
(n  N*)
( Thực ra kiến thức này học sinh đã áp dụng rất nhiều ở tiểu học, đặc biệt là
HSG và học sinh học ở các lớp 5A2 )
Giải:

1
1

22
1.2
1
1

2
3
2.3
1
1


2
4
3.4
……..

Ta có:

1
1

2
2008
2007.2008
1
1
1
1
1
1
1
1



 .. 
=> H = 2  2  2  .. 
2
2
1.2 2.3

2007.2008
2
3
4
2007
2008

(*)

14


Mà

1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1

 .. 
1       ..... 

1 
1
1.2 2.3
2007.2008
2 2 3 3 4

2007 2008
2008

Nên , từ (*) => H < 1
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức
a)

 3.4.12 
16

A

2

11.213.411  169

( Trích đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2004– 2005)
34.23  34.4
B 5 2
b)
.
3 .3  35.5
(Trích đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2010 – 2011)
c)

34.23  34.4 52.7 52.2
C = 5 2 5  3
3
3 .3  3 .5 5.7 5.4

(Trích đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2012 – 2013)
5.(22.32 )9.(22 )6  2.(22.3)14.34
d)
D
5.228.318  7.229.318
(Trích đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2015– 2016)
Bài 2 : So sánh hai lũy thừa
101102  1
101103  1
N
a) So sánh M và N biết rằng : M 
.
.
101103  1
101104  1
(Trích đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2010 – 2011)
b) So sánh P và Q biết P 

1
1
1
1
1




;
2

2
2
2
101 102 103 104 1052

Q=

1
2 .3.52.7
2

(Trích đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2011– 2012)
c) Chứng minh rằng :

a2012  b2012 a2011  b2011

a2012  b2012 a2011  b2011

(Trích đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2011– 2012)
IV. Hiệu quả
Sau khi áp sáng kiến vào việc hướng dẫn học sinh giải quyết hai dạng toán
trên, hôm sau tôi kiểm tra vở bài tập của các em, một kết quả thật không ngờ là
cả 09/10 em học sinh mà tôi ôn luyện đã làm đúng đáp án và cách trình bày
cũng rất khoa học và gọn gàng.
Quả thật đây là một kết quả như tôi mong đợi trước khi tiến hành bài dạy,
tuy chỉ là một vấn đề nhỏ gói gọn trong một buổi ôn luyện xong tôi nhận thấy
hiệu quả của nó thật là to lớn. Mong rằng các đồng nghiệp có thể góp ý thêm
cho tôi để bài giảng này hoàn thiện và hiệu quả hơn.
Sau khi vận dụng sáng kiến này vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh
giỏi, tôi đã tiến hành điều tra và cho kết quả như sau:

Khối Sĩ số
Số HS tự học có phát huy
Số HS tự học chưa phát huy
lớp
được tính tư duy sáng tạo
được tính tư duy sáng tạo

15


6

10

SL
9

TL(%)
90%)

SL
1

TL(%)
10%

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận:
Sau khi áp dụng đề tài bản thân tôi thấy với cách hướng dẫn học sinh tự nêu
vấn đề và giải quyết vấn đề có sự giúp đỡ của giáo viên đã làm cho học sinh có

hứng thú hơn trong khi học và các em đã tạo được thói quen "suy nghĩ", giải
16


quyết bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, thông qua một bài toán đơn giản bằng
tư duy khái quát hoá để làm được bài toán khó hơn, tổng quát hơn. Từ đó, các
em học sinh hình thành tư duy của mình, biết tự phát triển tư duy khi học môn
Toán nói chung, và phân môn Số học nói riêng. Vấn đề này giúp học sinh giải
quyết một bài toán đại số, số học chắc chắn hơn, sáng tạo hơn.
Về phía bản thân tôi, trong quá trình nghiên cứu và áp dụng tôi đã học hỏi
được nhiều điều bổ ích về mặt nhận thức và hiểu biết được nâng cao.
Về phía học sinh, những bài toán trước kia làm các em thấy khó thì nay các em
tiếp nhận dễ dàng hơn; thực sự làm chủ được kiến thức của mình; vận dụng được
kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo. Tính cẩn thận, khả năng quan sát, phân
tích và sự linh hoạt trong tư duy của học sinh được phát huy. Đa số các em thực sự
thấy được cái “hay” của môn toán; thực sự hứng thú khi học; tìm được niềm vui
qua việc giải được các bài toán mà vốn dĩ trước đây là không thể. Không những
thế điều này còn cho các em thấy khái niệm “mình không thể” đã được giải toả;
mà thay vào đó là“ Mọi việc đều có thể”.
II. Kiến nghị :
Với đề tài này, tôi xin được mạnh dạn đề xuất một số vấn đề như sau:
* Đối với các đồng chí giáo viên:
- Giáo viên bồi dưỡng HSG cần biên soạn chương trình, nội dung bồi dưỡng
rõ ràng, cụ thể, chi tiết cho từng khối, lớp, về từng mảng kiến thức và rèn luyện
các kỹ năng theo số tiết quy định. Nhất thiết phải bồi dưỡng theo quy trình từ
thấp đến cao, từ dễ đến khó để các em học sinh bắt nhịp dần.
- Phải luôn trau dồi các kỹ năng dạy học của mình và học tập những kinh
nghiệm của đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
- Tham gia các chuyên đề của tổ chuyên môn của nhà trường, của cụm, của
ngành tổ chức để trao đổi các vấn đề còn hạn chế trong quá trình giảng dạy góp

phần nâng cao chất lượng bộ môn.
- Tích cực tự học, tự nghiên cứu khoa học để phát hiện và tìm ra những vấn
đề mới, cách đi mới vận dụng vào công tác giảng dạy.
* Đối với nhà trường:
- Huy động các lực lượng giáo dục góp phần nâng cao chất lượng giáo dục
của nhà trường nói chung và chất lượng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
nói riêng. Thực hiện tốt, có hiệu quả công tác xã hội hoá sự nghiệp giáo dục.
- Tạo điều kiện cho giáo viên đi học nâng chuẩn, nâng cao năng lực chuyên
môn phục vụ có hiệu quả cho công tác giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi.
* Đối với ngành:
Trong điều kiện có thể hãy tổ chức các chuyên đề về bồ dưỡng HSG để cán
bộ, giáo viên được học tập trao đổi, đúc rút kinh nghiệm lẫn nhau. Trên cơ sở đó
bản thân mỗi giáo viên khi về trường sẽ làm tốt hơn nữa việc dạy của mình và
đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi sẽ mang lại hiệu quả cao hơn.
Đây chỉ là vấn đề nhỏ mà tôi đưa vào bài dạy bồi dưỡng, trong quá trình
thực hiện đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế, sẽ có
17


nhiều quan điểm khác nhau xung quanh việc giải quyết các vấn đề về nội dung của
đề tài. Song tôi thiết nghĩ tất cả những quan điểm ấy sẽ giúp cho đề tài của mình
hoàn thiện hơn, tốt hơn. Tôi rất mong được sự góp ý từ các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan SKKN này do chính tôi
nghiên cứu và viết ra. Tuyệt đối không sao
chép của bất cứ người nào khác.

Người thực hiện

Nguyễn Văn Thọ

18