Chủ đề 04 bài toán về thời gian image marked image marked

CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN VỀ THỜI GIAN
PHƯƠNG PHÁP 1. SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Giả sử có một điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn theo
chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với tốc độ góc . Gọi P là hình
chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox trùng với một đường kính của
đường tròn và có gốc trùng với tâm O của đường tròn. Ta thấy điểm P
dao động trên trục Ox quanh gốc toạ độ O.
Tại thời điểm t = 0, điểm M ở vị trí M0 được xác định bởi góc


P
1OM  (rad)
Sau t giây, tức là tại thời điểm t nó chuyển động đến điểm vị trí điểm M xác định bởi góc


P
1OM  t  (rad) .

Khi

ấy

tọa

độ

x  OP

x  OM cos  t     A cos  t    trong đó ta có:  

của

điểm

P

có

phương

trình

là

v
.
R

Đặt mua file Word tại link sau:
/>Như vậy:
Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống đường thẳng
nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.
Khi chất điểm chuyển động được một vòng thì vật dao động điều hòa thực hiện được một dao động. Tần
số góc của hình chiếu dao động điều hòa bằng vận tốc góc của chất điểm chuyển động tròn đều đó.
Vecto vận tốc và gia tốc trên đường tròn lượng giác:
Xét góc    0; 2 ta có:
Khi 0   
Khi

v  0


2
a  0

Khi    
Khi

 v  0

2
a  0

3  v  0

2
a  0

v  0
3
   2  
2
a  0


Trên hình vẽ ta thấy, nếu vật chuyển động tròn đều trên nửa vòng tròn phía trên thì hình chiếu của nó âm
tức là dao động điều hòa đang chuyển động theo chiều âm trục Ox, còn nếu vật chuyển động tròn đều trên
nửa vòng tròn phía dưới thì hình chiếu tức dao động điều hòa sẽ đang chuyển động theo chiều dương trục
Ox.

Vecoto gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng.
2. Phương pháp đường tròn lượng giác
BÀI TOÁN: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x  A cos  t    . Tính
khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ x1 đến điểm có li độ x2?
Phương pháp giải:
Phương trình dao động của vật có dạng x  A cos  t   
Bước 1: Vẽ trục Ox gắn vào đường tròn bán kính R = A
Bước 2: Xác định vị trí x1 trên vòng tròn lượng giác và chiều của
chuyển động.
Bước 3: Xác định vị trí x2 trên vòng tròn lượng giác và chiều của
chuyển động.
(Chiều âm nằm phía trên đường tròn, chiều dương phía dưới của
đường tròn lượng giác).
Bước 4: Khi vật dao động điều hoà từ điểm x1 đến điểm x2 thì tương ứng trên đường tròn chất


điểm chuyển động từ M1 đến M2 và quét được một góc   M
1OM 2
Bước 5: Tính góc  khi đó   .t  t 


.




Ví dụ mẫu: Một vật dao động trên trục Ox với phương trình x  4 cos  2t   cm . Tìm khoảng thời
3


gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1  2 3cm đến li độ x 2  2cm ?
Lời giải:
Vẽ đường tròn bán kính R = A = 4 cm.
Thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1  2 3cm đến li độ x 2  2 cm là
thời gian để vật đi theo 1 chiều trực tiếp (chiều âm trên hình vẽ không lặp lại
hay quay vòng) từ x  2 3  x  2 như hình vẽ bên. Khi đó vật quét được


góc   M
1OM 2 trên đường tròn lượng giác.

Ta có: cos M
1OP1 

OP1
3



M
.
1OP1 
R
2
6


Lại có: cos M
2 OP2 

OP2 1


 M
.
2 OP2 
R
2
3





1


Do đó     M
. Khi đó: t   2  s  0, 25s .
1OP1  M 2 OP2 
2
 2 4

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên qũy đạo tâm O bán kính 5 cm với tốc độ 3 m/s. Hình
chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng qũy đạo dao động điều hòa với tần số góc:
A. 30 (rad/s).

B. 0,6 (rad/s).

C. 6 (rad/s).

D. 60 (rad/s).

Lời giải:
Ta có: v = 300 cm / s suy ra tần số góc:  

v
 60(rad / s) . Chọn D
r

Ví dụ 2: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính R = 4 cm với tốc độ v. Hình
chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 5(rad/s).
Giá trị của v bằng:
A. 10cm/s.

B. 20cm/s.

C. 50cm/s.

D. 25cm/s.

Lời giải:
Vận tốc của vật là v  r.  4.5  20cm / s . Chọn B.
Ví dụ 3: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ góc 50 cm / s . Hình chiếu
của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 10(rad/s). Biên độ
của dao động điều hòa bằng:
A. 5m.

B. 0,2cm.

C. 2cm.

D. 5cm.

Lời giải:
Biên độ dao động bằng bán kính đường tròn và A  r 

v 50

 5cm . Chọn D.
 10

Ví dụ 4: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 4 cm với tốc độ v cm /s . Gọi
P là hình chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn 2 3cm thì nó có
tốc độ bằng 20 cm / s
A. 10cm/s.

B. 40cm/s.

C. 50cm/s.
Lời giải:

Tần số góc:  

v
(rad / s); A  r  4 cm
r

Khi P cách O một đoạn 2 3cm thì tốc độ của nó là

vP   A 2  x 2 



v 2
4  2 3
4



2

 20  cm / s   v  40cm / s . Chọn B.

D. 20cm/s.


Ví dụ 5: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ 30 cm / s. Gọi P là hình
chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn 9cm thì nó có tốc độ bằng
24 cm / s. Biên độ dao động của P là
A. 10cm.

B. 15cm.

C. 18cm.

D. 20cm.

Lời giải:
Ta có: A  r  r  A  30  v max P .

2

2

2

92  24 
x   v 
Lại có:  P    P   1  2     1  A  15cm . Chọn B.
A  30 
 A   v max P 
Ví dụ 6: [Trích đề thi THPTQG năm 2016]. Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O
bán kính 10 cm với tốc độ góc 5 rad/s. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo
có tốc độ cực đại là
A. 15cm/s.

B. 50cm/s.

C. 250cm/s.

D. 25cm/s.

Lời giải:
Ta có: A  r  10cm,   5rad / s  v max  A  50cm / s . Chọn B.
2 

Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x  4 cos  t 
  cm  . Tại thời
3 


điểm ban đầu vật có:
A. x = -2cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox
B. x = 2 cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.
C. x = 2 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
D. x = -2cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
Lời giải:
Tại thời điểm ban đầu t = 0 ta có:  
Do đó x  4 cos

2
.
3

2
 2 và vật đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox
3

Chọn D.
 2t  
   cm  . Tại thời
Ví dụ 8: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình x  8cos 
 3 6

điểm t = 0,5s vật có:
A. x  4 3cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.

B. x  4 3cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.
C. x  4 3cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
D. x  4 3cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.

Lời giải:


Tại thời điểm ban đầu t = 0,5s ta có:  
Do đó: x  8cos


.
6


 4 3 và vật đang chuyển động theo chiều âm của
6

trục Ox. Chọn C.

 2  
Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình x  A cos  t    cm  . Tính từ
6
 T

thời điểm ban đầu, khoảng thời gian vật đến vị trí có li độ x 
A. t 

13T
.
24

B. t 

T
.
2

A
lần thứ nhất là
2

C. t 

11T
.
24

D. t 

5T
.
12

Lời giải:
Tại thời điểm t  0  0  


ứng với điểm M0 trên vòng tròn lượng giác.
6

Tại thời điểm vật có li độ x  

A

lần thứ nhất ứng với điểm M0 trên
2

vòng tròn lượng giác.
x
  


; M1Oy  OM1P1  arcsin 1 
Ta có: M
0 OP0 
6
A 4

11

T 11T

 t    .

Do đó   M
. Chọn C.
0 OM1 
12

2 24


Ví dụ 10: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình x  10 cos  4t    cm  . Thời
3



gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x = -6 cm đến điểm có li độ x = 5 cm là
A. 0,292s.

B. 0,093s.

C. 0,917s.

Lời giải:
Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x = - 6 cm đến điểm có li độ x


= 5 cm là thời gian vật quét được góc   M
1OM 2 trên đường tròn lượng
giác như hình vẽ bên.

6

Ta có : cos 1  cos M
 1  0,927rad.
1OP1 
10


cos  2  cos M
.
2 OP2 
3
Do đó     1   2  1,167 . Khi đó t 

 1,167 1

 s  0, 292s . Chọn A.

4
4

D. 0,585s.




Ví dụ 11: Một vật dao động điều hòa theo dọc trục Ox với phương trình x  8cos  t    cm  . Khoảng
3


thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x1  4 3cm theo chiều dương đến điểm có li độ x 2  4cm theo
chiều âm là
A. 2s.

B. 1,33s.

C. 1,5s.

D. 1,167s.

Lời giải:
Vị trí x1  4 3 theo chiều dương là điểm M1 trên vòng tròn
lượng giác.

Vị trí x 2  4 theo chiều âm là điểm M2 trên vòng tròn lượng giác.
Thời gian ngắn nhất vật di chuyển từ x1 đến x2 là thời gian ngắn
nhất vật chuyển động từ M1 đến M2 (không lặp vòng)
3


 1  ; tương tự
Ta có: cos 1  cos M
1OP1 
2
6


2  M
2 OP2 


.
3

Do đó:     1   2 

7
6
 t   1,167 . Chọn D.
6


2 


Ví dụ 12: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình x  10 cos  4t 
 cm . Khoảng
3 


thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x1  6cm đến điểm có li độ x 2  3cm là
A. 0,237s.

B. 0,075s.

C. 0,027s.

D. 0,473s.

Lời giải:
Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x1  3cm (ứng với điểm
M1 trên đường tròn) đến điểm có li độ x 2  6 cm (ứng với điểm M2 trên
đường tròn) là khoảng thời gian ngắn nhất vật chuyển động từ M1 đến M2 trên
vòng tròn lượng giác được biểu diễn như hình vẽ bên.
3
6


 arccos
Ta có   M
2 OP2  M1OP1  arccos
10
10

Suy ra t 


 0, 027s . Chọn C.


Ví dụ 13: [Trích đề thi đại học năm 2013]. Một vật nhỏ dao động điều hoà theo phương trình
x  A cos 4t (trong đó t tính bằng giây). Tính từ thời điểm t = 0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của

vật bằng một nửa gia tốc cực đại là


A. 0,083s.

B. 0,104s.

C. 0,167s.

D. 0,125s.

Lời giải:
Ta có: a 

a max
A
 x 
2
2

Tại thời điểm ban đầu   0 .
Như vậy thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại

bằng thời gian vật đi từ x = A đến x 
Ta có cos  

A
.
2

1

 1
    t min    s  . Chọn A.
2
3
 12



Ví dụ 14: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x  A cos  4t   (t tính bằng giây). Tính từ
4


thời điểm t = 0, khoảng thời gian ngắn nhất để tốc độ của vật bằng một nửa tốc độ cực đại và đang chuyển
động theo chiều âm là
A. 0,104s.

B. 0,073s.

C. 0,115s.

D. 0,146s.

Lời giải:
Tại thời điểm t = 0 ta có:   


A
 x1 
.
4
2
2

2

 v 
v
3
x
Khi v  max     1  
 
2
4
A
 v max 
Do đó x  

A 3
. Như vậy thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm ban đầu
2

đến khi vận tốc bằng một nửa tốc độ cực đại là thời gian vật đi đến vị trí x 

A 3
lần thứ nhất và đang
2

chuyển động theo chiều âm.
Khi đó vật chuyển động từ vị trí M1 đến vị trí M2 trên đường tròn lượng giác (hình vẽ trên)

   arccos 3  7   t    0,104s . Chọn A.
Ta có:   M
1OP1  M 2 OP2 
4
2
24


Ví dụ 15: Một vật nhỏ dao động điều hoà với biên độ A = 10 cm. Biêt rằng khoảng thời gian ngắn nhất
giữa hai thời điểm vận tốc của vật bằng

3
lần vận tốc cực đại là 0,25 (s). Gia tốc cực đại của chất điểm
2

có độ lớn là
A. 17,546m/s2

B. 1,7546m/s2

C. 55,85cm/s2

D. 0,5585m/s2


Lời giải:
2

2

x  v 
Ta có:    
 1 .
 A   v max 
Theo giả thiết

v
v max



3
A
.
 x 
2
2

Thời gian ngắn nhất giữa hai thời điểm vận tốc của vật bằng
tốc cực đại là khoảng thời gian vật đi từ vị trí x1 

3
lần vận
2

A
A
đến vị trí x 2  
2
2

hay từ điểm M1 đến vị trí M2 trên đường tròn lượng giác như hình vẽ (hoặc từ M3 đến M4) (chú ý các bạn



có thể chứng minh khoảng thời gian đi từ M4  M1 hoặc M2  M3 lớn hơn vì M
1OM 4  M 2 OM1 ).

Ta có: sin OM
1P1 

Do đó  

1





 OM
 t   0, 25  s 

do đó   2OM
1P1 
1P1 
2
6
3


4
 a max  2 A  175, 46cm / s 2  1, 7546m / s 2 . Chọn B.
3

Ví dụ 16: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có tốc
độ nhỏ hơn
A.

1
tốc độ cực đại là
2

T
.
3

B.

2T
.
3

C.

T
.
6

D.

T
.
12

Lời giải:
Ta có v 

v max
v
v
  max  v  max . Dựa vào hình vẽ ta thấy vận tốc
2
2
2

của vật được biểu diễn bởi nét đậm. Khi đó, vật quét một góc bằng





2



  2.M
1OM 3  2   M1OM 2  2    2  
3
2

T
  
t
.T 
3
2
3
Chọn A .
Ví dụ 17: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có tốc
độ nhỏ hơn
A.

T
.
8

1
tốc độ cực đại là
2

B.

T

.
16

C.

T
.
6

D.

T
.
2


Lời giải:
Ta có v 

v max
v
v
  max  v  max . Dựa vào hình vẽ ta thấy vận tốc
2
2
2

của vật được biểu diễn bởi nét đậm. Khi đó, vật quét một góc bằng







  2.M
1OM 3  2   M1OM 2  2    2   
     t 


T
.T 
2
2

Chọn D.
2 

Ví dụ 18: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  4 cos  t   cm . Trong giây đầu tiên vật đi
3 


được quãng đường 6 cm. Hỏi trong giây thứ 2014, khoảng thời gian mà lực hồi phục sinh công âm là bao
nhiêu?
A. 0,3s

B. 0,75s

C. 0,25s

D. 0,5s

Lời giải
Sử dụng đường tròn lượng giác. Ban đầu vật ở tại M0.
 1s đầu ứng với   2 / 3    2 / 3rad / s  T  3s
Ta có: 2013s  671T  M 2013  M 0
2014s  671T  T / 3  671 vòng 2 / 3  Tại M2014 lực phục hồi

sinh công âm khi vecto lực ngược chiều với vecto vận tốc  ứng với
góc phần tư thứ 2 và thứ 4 trên đường tròn.
 Trong giây thứ 2014 vật quay được 2 / 3 rad như trên hình
 Khoảng thời gian lực phục hồi sinh công âm là chọn góc phần tư thứ 4 ứng với t  T / 4  0, 75s .
Chọn B
2 

Ví dụ 19: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  4 cos  t   cm . Trong giây đầu tiên vật đi
3 


được quãng đường 6 cm. Hỏi trong giây thứ 2014, khoảng thời gian mà lực hồi phục sinh công dương là
bao nhiêu?
A. 0,3s

B. 0,75s

C. 0,25s
Lời giải

Sử dụng đường tròn lượng giác. Ban đầu vật ở tại M0.
 1s đầu ứng với   2 / 3    2 / 3rad / s  T  3s

Lực hồi phục sinh công dương khi vecto lực cùng chiều với vecto
vận tốc  ứng với góc phần tư thứ 1 và thứ 3 trên đường tròn .

Ta có :2013 s  671T  M 2013  M 0
2014 s  671T  T / 3  671 vòng + 2 3  tại M 2014

D. 0,5s


 Trong giây thứ 2014 vật quay được 2 3 rad như trên hình
 khoảng thời gian lực phục hồi sinh công dương là góc    6 ứng với t  T 12  0, 25 s . Chọn C
Ví dụ 20: Một con lắc lò xo có dao động điều hòa với phương trình x  A.cos  t    . Tại thời điểm t1,
vật có vận tốc là v1  40cm / s , gia tốc a1   4 3 m / s 2 . Tại thời điểm t 2  t1  t  t  0  , vật có vận tốc
là v 2   40 2 cm / s , gia tốc a 2   4 2 m / s 2 . Giá trị nhỏ nhất của khoảng thời gian t là
A.

5
s
12

B.


s
5

C.

7
s

24

D.


s
24

Lời giải
+) Tại cùng một thời điểm a, v vuông pha nên ta có:





2
 2
400 3
40


1
 v 2max
a 2max

2
 40 2
400 2



a 2max
 v 2max

v 2max
A

 8cm


a max

  v max  10rad / s

A



+) x1  

 



2

1

 v max  80cm / s

2

a max  800cm / s

a1
400 3

 4 3cm
2

102

Do v1, a1 trái dấu  chậm dần  thuộc góc phần tư thứ 4 hay chuyển động (c/đ) theo chiều dương
+) x 2  

400 2
 4 2cm
102

Do v2, a2 cùng dấu  nhanh dần  thuộc góc phần tư thứ 1 hay chuyển động (c/đ) theo chiều âm
Từ x1 đến x2 góc quay nhỏ nhất là  

5
5 /12 
 t 
 s
12
10
24

Chọn D
Ví dụ 21: Một vật dao động điều hoà mà 3 thời điểm liên tiếp t1 , t 2 , t 3 với t 2  t1  2  t 3  t 2    /12  s  có

li độ thỏa mãn x1  x 2   x 3  3cm. Tốc độ cực đại của vật là
A. 48cm/s

B. 36cm/s

C. 16 3cm / s
Lời giải

Giả sử vật đi từ M đến N rồi đến P, ta có:

D. 24 2cm / s




t

t

2
1

12  t  t      t  t      

3
1
3
1
12 24
12 24 8

t  t  
3
2

24

Mặt khác từ hình vẽ ta có:
t 3  t1 

T
T 

   T     8rad / s
2
2 8
4

T
 T
T
Lại có: t 2  t1    Thời gian đi từ M đến biên là t  6 
12 6
2 12

 x  3cm 

A 3
 A  2 3cm  v max  A  16 3cm / s . Chọn C
2

Ví dụ 22: Một chất điểm đang dao động điều hòa, vào ba thời điểm liên tiếp t1 , t 2 , t 3 vật có gia tốc lần lượt
là a1 , a 2 , a 3 với a1  a 2  a 3 . Biết rằng t 3  t1  3  t 3  t 2  . Tại thời điểm t3 chất điểm có vận tốc là

3m / s và sau thời điểm này  / 30s thì li độ của vật đạt cực đại. Gia tốc cực đại của chất điểm bằng
A. 5m / s 2

B. 20m / s 2

C. 1, 6m / s 2

D. 1m / s 2

Lời giải
Hai thời điểm t1 và t3 gia tốc có độ lớn ngược chiều nhau, các thời điểm t1, t2, t3 lại liên tiếp nên ta có:




32
31  
1

3

 a  a max

2
31  332
  2 
 21 3

Tại t3 thì v 
Sau đó t 

3
v max  3  v max  2m / s
2

 

 s  T  s thì li độ cực đại
6 30
5

Tần số góc của dao động  

2
 10rad / s
T

Gia tốc cực đại của chất điểm a max  2 A  v max  20m / s 2
Chọn B
Ví dụ 23: Cho một chất điểm có khối lượng bằng 50g đang dao động điều hòa với lực kéo về có biểu thức

F  10 cos  t / 2  3 / 4  mN. Tính từ lúc t = 0, thời điểm vật tới vị trí cách VTCB một đoạn 4 3cm lần
thứ 11 là
A. 19/6s

B. 37/6s

C. 43/6s
Lời giải

D. 67/6s


Phương trình F  Phương trình ly độ x kết hợp vị trí  Thời điểm t cần tìm
Do F  ma và a  2 x  F  m2 x hay
 t 3 
0, 01cos   
F
 2 4   0, 08cos   t  3   0, 08cos   t    m
x





2
2
m
4 
4
2
2

0, 05.  
2



 x  8cos  t   cm
4
2

Trên đường tròn vị trí cách VTCB một đoạn 4 3cm là x  4 3cm ứng với 4 trạng thái

M1 , M 2 , M 3 , M 4 . Vị trí ban đầu ứng với M 0
Tách N  11  2.4  3    2.2  19 /12
 t  2T 

19 /12
19 67
 2.4   s . Chọn D
/2
6
6

Ví dụ 24: Một vật dao động điều hòa phương trình x  10 cos  2t    cm . Trong một chu kỳ dao động
khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp vật cách vị trí cân bằng m (cm) bằng khoảng thời gian giữa 2 lần liên
tiếp vật cách vị trí cân bằng n (cm). Khoảng thời gian để tốc độ của vật v  2  n  m  là 0,5s. Tính tỉ số
n
m

A. 3,73

B. 2,48

C. 1,57

D. 4,23

Lời giải
Tốc độ v  0  n  m  n gần biên hơn
Trong 1 chu kỳ dao động khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp vật cách vị trí cân bằng m (cm) bằng



khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp vật cách vị trí cân bằng n (cm) và n  m  M
1M 2  N 2 N 3  2
Khi đó:

m  A sin  
2
2
2
  n  m  10 1
n  A cos  

v  2  n  m   2  n  m   v  2  n  m 
Chu kỳ T  1s  0,5s 
 2  n  m  

T

  rad  4   
2
4

v max 20


 n  m  5 2  2
2
2

Giải hệ phương trình (1) và (2), ta được n  9, 659; m  2,588 

n
 3, 73 . Chọn A
m



PHƯƠNG PHÁP 2. SỬ DỤNG TRỤC THỜI GIAN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Thời gian vật đi từ VTCB đến li độ x hoặc ngược lại là t 
Thời gian vật đi từ biên đến li độ x hoặc ngược lại thì t 

x
1
arcsin

A

x
1
arccos

A

Chứng minh: Khi vật đi từ vị trí x đến vị trí cân bằng, góc vật quét được là 
Ta có: sin  
Do đó t1 

OP x
x

   arcsin
A
A
A

x
1
arcsin

A

Tương tự khi vật đi từ vị trí biên về vị trí có li độ x vật quét được 1 góc
là 
Ta có: cos  

x
x
1
x
   arccos
 t  arccos
A
A


A

 4t  
   cm  . Thời gian ngắn
Ví dụ mẫu 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  8cos 
 3 2

nhất vật đi từ điểm có li độ x1  4 3cm đến điểm có li độ x 2  4cm là
Lời giải
Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x1  4 3cm đến điểm có li độ x 2  4cm bằng tổng thời gian
ngắn nhất vật đi từ x1  VTCB và từ VTCB  x 2
Do đó ta có: t  t1  t 2 
Hay t 

x
x
1
1
arcsin 1  arcsin 2

A 
A

x1
x  3 
1
3
1
 arcsin 2  

 arcsin   0,375s
 arcsin
 arcsin

A
A  4 
2
2

Ghi nhớ các khoảng thời gian đặc biệt:
Vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ:
Vị trí có li độ x = 0 đến x = A hoặc ngược lại là t 
Vị trí có li độ x = 0 đến x  

T
4

A
T
hoặc ngược lại là t 
2
12


Vị trí có li độ x = 0 đến x  

A
T
hoặc ngược lại là t 
8

2

Vị trí có li độ x = 0 đến x  

A 3
T
hoặc ngược lại là t 
2
6

Vị trí có li độ x 

A
T
đến x = A hoặc ngược lại là t 
2
6

Vị trí có li độ x 

A 3
T
đến x = A hoặc ngược lại là t 
2
12

Ta có sơ đồ các khoảng thời gian đặc biệt trong dao động điều hòa:

Từ các phương pháp trên khi làm bài toán về thời gian trong dao động điều hòa ta nên vận dụng một cách
linh hoạt các phương pháp đã được học cho mỗi bài toán.

 4 2 
Ví dụ mẫu 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x  10 cos  t   cm .
3 
 3

Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật di chuyển trong từng trường hợp sau:
a) Từ vị trí cân bằng đến điểm có li độ x = 5cm
b) Từ vị trí biên dương đến điểm có li độ x  5 3cm
c) Từ vị trí có li độ x  5 2cm đến điểm có li độ x = 5cm
d) Từ điểm có li độ x  5cm đến điểm có li độ x  5 3cm
e) Từ điểm có li độ x  5 2cm đến điểm có li độ x  5 3cm
f) Từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x = 7cm
g) Từ vị trí biên âm đến vị trí có li độ x = 3cm
h) Từ vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều âm đến vị trí có li độ x = -2cm theo chiều dương
Lời giải
Ta có: T 

2
 1,5s


Dựa vào các khoảng thời gian đặt biệt ta có:


a) Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng (x = 0) đến điểm có li độ x  5cm 
t 

A
là
2

T 1,5

 0,125  s 
12 12

b) Thời gian vật đi từ vị trí biên dương (x = A) đến điểm có li độ x  5 3 
t 

T 1,5

 0,125  s 
12 12

c) Thời gian vật đi từ vị trí có li độ x  5 2cm 
t 

A 3
A
đến điểm có li độ x  5 3 
là
2
2

T T T
   0,125  s 
6 12 12

e) Thời gian vật đi từ điểm có li độ x  5 2 
t 

A
A
đến điểm có li độ x  5cm 
là
2
2

T T
  0,3125  s 
8 12

d) Thời gian vật đi từ điểm có li độ x  5cm 
t 

A 3
A
đến điểm có li độ x  5 3 
là
2
2

T T T
 
 0, 0625  s 
6 8 24

f) Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x = 7cm là
t 

x
1
3
7
arcsin 
arcsin  0,185  s 

A 4
10

g) Thời gian vật đi từ vị trí biên âm đến vị trí có li độ x = 3cm là
t 

A 3
là
2

x 1,5 3
T 1
3
 arcsin 

arcsin  0, 448  s 
4 
A
4 4
10


h) Thời gian vật đi từ vị trí có li độ x = 5cm theo chiều âm đến vị trí có li độ x = -2cm theo chiều dương là

t 

T T 1
x T 3
  arccos
 
arccos  0, 2   0,827  s 
12 4 
A 3 4

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  8cos  2t  cm  . Khoảng thời gian ngắn nhất vật
đi từ điểm có li độ x  4 2 đến vị trí vật có vận tốc là 8 cm / s là
A.

1
s
12

B.

5
s
24

C.

7
s

24

D.

1
s
24

Lời giải
2

2

v
A 3
x  v 
Khi vật có vận tốc v  8cm / s  max . Lại có:    
 1 x 
2
2
 A   v max 
v  0

Do đó, khi vật có vận tốc là 8cm / s thì 
A 3
x 

2

Do đó t min  t  A

A 3



2 
 2
2



T T T
1
 
 s . Chọn D
6 8 24 24

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà, biết khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ x1  A đến
điểm có li độ x 2 
A. T = 1s

A 3
là 0,5s. Chu kì dao động của vật là
2

B. T = 1,5s

C. T = 2s

D. T = 1,2s

Lời giải
Ta có: t 

A 3
  A  2 



 t   A 0   t 

A 3
 0  2 





T T
  0,5  T  1, 2s . Chọn D
4 6

Ví dụ 3: [Trích đề thi đại học năm 2013]. Một vật nhỏ dao động điều hoà theo phương trình x  A cos 4t
(t tính bằng giây). Tinh từ thời điểm t = 0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật bằng một nửa gia
tốc cực đại là


A. 0,083s

B. 0,104s

C. 0,167s

D. 0,125s

Lời giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp đường tròn
Ta có: tại t  0  x  A, a 

a max
A
 x 
2
2

Tại thời điểm ban đầu   0
Như vậy thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật bằng một nửa gia
tốc cực đại bằng thời gian vật đi từ x = A đến x 
Ta có: cos  

A
2

1

 1
    t min    s  . Chọn A
2
3
 12

Cách 2: Sử dụng trục thời gian
Ta có: tại t  0  x  A, a 

a max
A
T 1
 x  ; t min  t  A     s  . Chọn A
2
2
6 2
 A 
2


Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với chu kì T và biên độ A = 5 cm . Tính từ lúc vật
đang ở biên âm, thời điểm lần thứ 3 vật có tốc độ bằng

3
lần tốc độ cực đại là t = 1,2s. Tốc độ cực đại
2

của vật là
A. 17,45cm/s

B. 15,27cm/s

C. 28,36cm/s

D. 34,91cm/s

Lời giải

Ta có: v 

v max 3
A
A
 x  x
2
2
2

Do đó thời điểm lần thứ 3, tính từ biên âm đến khi vật có tốc độ bằng

t  t   A A   t 

A
 A 
2


 v max  A 



3
lần tốc độ cực đại là
2

T T 2T
 
 1, 2  T  1,8s
2 6
3

2
.A  17, 45cm / s . Chọn A
T



Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  4 cos  5t    cm  . Tính từ thời điểm ban đầu,
3


khoảng thời gian ngắn nhất để vật đến vị trí có gia tốc a  50 32 cm / s 2 là
A. 0,0167s

B. 0,105s

C. 0,033s
Lời giải

D. 0,33s


  x  2  cm 

3

 v  0

Tại thời điểm ban đầu ta có:   

Lại có: a  502 3  2 x  x  2 3  cm 

Do đó: t  t  A

A 3
 

2
2 


 t

A 3
 0 

2 


 t

A
 0 
2




T T T
2
1
  

 0, 033  s  . Chọn C
6 12 12 12 30

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà với chu kì T. Nếu chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí x 

A
2

theo chiều dương thì trong nửa chu kì đầu tiên tốc độ của vật cực đại ở thời điểm
A. t 

T
8

B. t 

T
4

C. t 

T
6

D. t 

5T
12

Lời giải

Ta có: v  v max  x  0 . Khi đó t  t  A


 A 
2


 t  A 0  

T T 5T
. Chọn D
 
6 4 12

Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi vmax là tốc độ cực đại của vật trong quá trình
dao động, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v 
A.

2T
3

B.

T
3

C.

T
6

D.

v max
là
2

T
2

Lời giải
2

2

 v 
v max
A 3
x
Ta có:    1  
nên x 
 , do v 

2
2
A
 v max 

Khi đó t  2t   A



2

3

A 3


2 

 2.

T T
 . Chọn B
6 3

Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi vmax là tốc độ cực đại của vật trong quá trình


dao động, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v 

v max 3

là 0,333s.
2

Biết rằng khi vận tốc của vật là 7,5cm / s thì gia tốc của vật là 102 cm / s 2 . Biên độ dao động của vật là
A. 10cm

B. 12,5cm

C. 13cm

D. 15cm

Lời giải
2

2

 v 
v max 3
A
x
Ta có:    1  
nên x 
 , do v 
2
2
A
 v max 

Khi đó t  2t   A

A
 

2
 2

 2.

T T
2
  0,33  s   T  2s   
   rad / s 
12 6
T
2

a
v
Ta có: x 
 10cm  A  x 2     12,5cm . Chọn B
2

 
Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40cm. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ là x – 10cm
1
và đang tăng, đến thời điểm t  s thì vật đến vị trí biên lần đầu tiên. Vận tốc của vật tại thời điểm ban đầu
3

là

A. 20 3cm / s

B. 20 3cm / s

C. 20cm / s

D. 20cm / s

Lời giải
Do   2A  A 


 20  cm  . Tại t  0, x  10 và đang tăng nên v > 0
2

Khi đó t  t  1020  t 

A

  A 
 2


Suy ra v   A 2  x 2 

 t

A

  0 

 2


 t

A
 0 
2




T T T 1
    T  1 s 
12 4 3 3

2
A 2  x 2  20 3cm / s .Chọn B
T

Ví dụ 10: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, gọi t1 là thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng
đến điểm có li độ x 0  x 0  0  và t2 là thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x 0 đến biên dương. Biết
rằng t 2  2t1 , biên độ dao động của vật là
A. A  x 0 3

B. A  x 0 2

C. A  2x 0
Lời giải

Ta có: t1  t 2  3t1  t  0A  

T
T
A
 t1   t  A   x 0   A  2x 0 . Chọn C
4
12  0 2 
2

D. A 

2x 0
3


Ví dụ 11: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, gọi t1 là thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng
đến điểm có li độ x 0  x 0  0  và t2 là thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x 0 đến biên dương. Biết
rằng t 2  3t1 , khi đó:
A. x0 

A
3

B. x0 

A
3

C. x0 

A
2

D. x0  0,383 A

Lời giải
Ta có: t1  t 2  4t1  t  0A  
Do đó

x
T
T
1
 t1   t  0 x 0   arcsin 0
4
16

A

x
x
T
T
 x

arcsin 0  sin  0  A  0 . Chọn D

16 2
A

8 A
sin
8

Tổng quát bài toán: Khi t2  n.t1 ta suy ra A 

x0
sin

hay x0  A sin



2  n  1



2  n  1

.

Ví dụ 12: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  A cos  t    . Trong khoảng thời gian 1,75s
vật chuyển động từ vị trí có li độ 

A 3
A
theo chiều dương đến vị trí có li độ
. Khi vật qua vị trí có li
2
2

độ 3cm thì vật có vận tốc v  cm / s . Gia tốc của vật có độ lớn cực đại là
A. 4, 65cm / s 2

B. 4, 65m / s 2

C. 4,85cm / s 2

D. 5, 48 m / s 2

Lời giải
Ta có: a max  2 A
Mặt khác t 

A 3 A 2
  2  2 



Do đó  

 t


A 3
  2  0 



 t

A 2
 0  2 





T T
  1, 75  s   T  6  s 
6 8

2 
  rad / s 
T 3
2

v2
3 
Lại có: A  x  2  32   .   3 2cm

 
2

Do vậy a max  2 A 

2
.3 2  4, 65cm / s 2 .Chọn A
9



Ví dụ 13: Một vật dao động với phương trình x  6 cos  4t    cm  (t tính bằng s). Khoảng thời gian
6


ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ 3cm theo chiều dương đến vị trí có li độ 3 3cm là
A.

7
s
24

B.

1
s
4

C.
Lời giải

5
s
24

D.

1
s

8


T T T 7T
Ta có thời gian cần tìm là t  t 36  t  60  t 0 3 3    

 6 4 6 12

Mặt khác T 

2
7
 0,5s  t  s . Chọn A

24

5 

Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x  20 cos  t   cm . Tại thời điểm t1 gia
6 


tốc của chất điểm cực tiểu. Tại thời điểm t 2  t1  t (trong đó t  2015T ) thì tốc độ của chất điểm là
10 2cm / s . Giá trị lớn nhất của t là

A. 4028,75s

B.4028,25s

C. 4029,25s

D. 4025,75s

Lời giải

v2
A
Khi v  10 2cm / s  x   A  2  

2
2

Tại thời điểm t1 gia tốc của chất điểm cực tiểu (vật ở biên dương)
Vì t  2015T nên t max  2015T 

T
 4025, 75s . Chọn D
8

Ví dụ 15: Một vật dao động điều hòa mà 3 thời điểm t1 , t 2 , t 3 với t 3  t1  2  t 3  t 2  , vận tốc có cùng độ
lớn là v1  v 2   v3  20 2cm / s. Vật có vận tốc cực đại là
A. 28,28cm/s

B. 40,00cm/s

C. 32,66cm/s

D. 56,57cm/s

Lời giải

Không mất tính tổng quát có thể xem ở thời điểm t1 vật có vận tốc v 0 và đang tăng, đến thời điểm t 2 vật
có vận tốc v 0 và đang giảm, đến thời điểm t 3 vật có vận tốc  v 0 và đang giảm.

T

 t 3  t1  2t  2   t 
Theo bài ra 
4

 t  t  2t
3 2
T
T

Mà t 3  t1  2  t 3  t 2  , suy ra 2t  2   t   2.2t  t 
8
4



Thay t 

T
2
t ta tính được v max  40cm / s . Chọn B
vào công thức v 0  v max sin
8
T

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính l0cm với tốc độ l00cm/s.
Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc
A. 10 rad/s

B. 20 rad/s

C. 5 rad/s

D. 100 rad/s

Câu 2: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 5cm với tốc độ v. Hình
chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 20(rad/s).
Giá trị của v bằng:
A. 10cm/s

B. 20cm/s

C. 50cm/s

D. 100cm/s

Câu 3: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ góc 50cm/s. Hình chiếu
của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 20(rad / s). Biên
độ của dao động điều hòa bằng:
A. 10cm

B. 2,5cm

C. 50cm

D. 5cm

Câu 4: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính l0cm với tốc độ l00cm/s.
Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn 5 3cm thì
nó có tốc độ bằng:
A. 10cm/s

B. 20cm/s

C. 50cm/s

D. 100cm/s

Câu 5: . Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính l0cm với tốc độ l00cm/s.
Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn b thì nó có
tốc độ là 50 3cm / s . Giá trị của b là:
A. 10cm

B. 2,5cm

C. 50cm

D. 5cm

Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  A cos 5t  cm  . Vectơ vận tốc
hướng theo chiều âm và vectơ gia tốc hướng theo chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian nào
(kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây?
A. 0, 2s  t  0,3s

B. 0, 0s  t  0,1s

C. 0,3s  t  0, 4s

D. 0,1s  t  0, 2s

Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  A cos  5t   / 4  cm  .
Vectơ vận tốc hướng theo chiều âm và vectơ gia tốc hướng theo chiều dương của trục Ox trong khoảng
thời gian nào (kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây?
A. 0, 2s  t  0,3s

B. 0, 05s  t  0,15s

C. 0,3s  t  0, 4s

D. 0,1s  t  0, 2s

Câu 8: Chọn câu sai. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, gốc O trùng với vị trí cân bằng của
vật. Vào thời điểm t vật đi qua điểm M có vận tốc v = -20cm/s và gia tốc a = -2m/s2. Tại thời điểm đó
vật:
A. chuyển động nhanh dần

B. có li độ dương

C. chuyển động chậm dần.

D. đang đi về O

Câu 9: Chọn phát biểu sai?

A. Dao động điều hòa là dao động mà li độ được mô tả bằng một định luật dạng sin (hoặc cosin) theo thời
gian: x  A cos  t    trong đó A, ,  là những hằng số.
B. Dao động điều hòa có thể được coi là hình chiếu của chuyển động tròn đều xuống đường thẳng nằm
trong mặt phẳng quỹ đạo
C. Dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vectơ không đổi
D. Khi một vật dao động điều hòa thì động năng của vật đó cũng dao động tuần hoàn
Câu 10: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x  4 cos 17t   / 3 cm  ,
trong đó t tính bằng giây. Người ta chọn mốc thời gian lúc vật có:
A. li độ -2 cm và đang theo chiều âm.
B. li độ -2 cm và đang theo chiều dương,
C. li độ +2cm và đang theo chiều dương.
D. li độ +2 cm và đang theo chiều âm.
Câu 11: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  3cos  2t   / 3 cm  , trong đó t tính bằng
giây. Gốc thời gian được chọn lúc vật có:
A. x = -1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.
B. x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.
C. x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
D. x = -1,5 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
Câu 12: Chọn phương án sai khi nói về dao động điều hòa:
A. Thời gian dao động từ vị trí cân bằng ra biên bằng thời gian đi ngược lại.
B. Thời gian đi qua vị trí cân bằng 2 lần liên tiếp bằng 1 chu kỳ.
C. Tại mỗi li độ có hai giá trị của vận tốc.
D. Khi gia tốc đổi dấu thì vận tốc có độ lớn cực đại.
Câu 13: Một chất điểm chuyển động với tốc độ 0,75 m/s trên đường tròn đường kính 0,5 m. Hình chiếu
M' của M lên đường kính của đường tròn dao động điều hòa. Lúc t = 0 thì M' qua vị trí cân bằng theo
chiều âm. Khi t = 4 s li độ của M' là:
A. -12,5cm.

B. 13,4cm.

C. -13,4cm.

D. 12,5cm.

Câu 14: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox (với O là vị trí cân bằng), với chu kỳ 2 s với biên độ
A. Sau khi dao động được 4,25 s vật ở VTCB theo chiều dương. Tại thời điểm ban đầu vật đi theo chiều:
A. dương qua vị trí có li độ A / 2

B. âm qua vị trí có li độ  A / 2

C. dương qua vị trí có li độ A / 2

D. âm qua vị trí có li độ A / 2

Câu 15: Một vật dao động đều hòa có tần số 2Hz, biên độ 4cm. Ở một thời điểm nào đó vật chuyển động
theo chiều âm qua vị trí có li độ 2 cm thì sau thời điểm đó
A. . chiều âm qua vị trí có li độ 2 3cm

1
s vật chuyển động theo
12

B. chiều âm qua vị trí cân bằng