Bài soạn Bài toán vượt thời gian

Bài toán Steiner - Leimus
1. Bắt đầu từ một bức thư
Năm 1840, nhà toán học người Pháp D.Ch.L, Leimus (1780 - 1863) gửi cho nhà hình học
nổi tiếng người Thụy Điển J. Steiner (1769 - 1863) một bài toán hay với yêu cầu đưa ra
một cách chứng minh thuần túy hình học :
“Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF bằng nhau. Chứng minh rằng
tam giác ABC cân” (Bài toán 1)
Để giải quyết bài toán này, J. Steiner đã chứng minh bổ đề :
“Trong tam giác ABC, với BC = a ; CA = b ; AB = c ; đường phân giác trong AD của tam
giác được tính bởi công thức (*)
Chỉ cần kiến thức hình học lớp 8, các bạn có thể tự chứng minh điều này.
áp dụng công thức (*) ta chứng minh bài toán 1 :
Ta có BE = CF
2. Khát khao vươn tới cái đẹp
Cách chứng minh trên của J. Steiner đúng nhưng ... chưa đẹp vì chưa thực sự “thuần túy
hình học”. Bởi thế, sau khi phép chứng minh trên được công bố, rất nhiều người đã lao vào
để cố công tìm kiếm một phép chứng minh mới, hay hơn cho bài toán 1. Hơn 150 năm trôi
qua ... nhiều phép chứng minh mới đã nối tiếp nhau ra đời. Trong các chứng minh đó,
người ta đặc biệt quan tâm tới hai phép chứng minh sau :
1. Phép chứng minh của R. W. Hegy
Năm 1983, R. W. Hegy công bố phép chứng minh này trên tạp chí “The mathematical
gazette” của Anh, chỉ cần dùng kiến thức hình học lớp 7.
Nếu Đ A > Đ B thì ta dựng hình bình hành BEDF như hình bên. Kí hiệu các góc như trên
hình vẽ, ta thấy :
Nếu Đ B > Đ C => Đ B
2
> Đ C
2
=> Đ D
1
> Đ C

2
(1)
Mặt khác, vì BE = CF nên DF = CF
=> Đ D
1
+ Đ D
2
> Đ C
2
+ Đ C
3
(2)
Từ (1) và (2) => Đ D
2
< Đ C
3

Xét các tam giác BCE và CBF, ta thấy : BC chung, BE = CF, BF > CF nên Đ C
1
> Đ B
1
=>
Đ C > Đ B. Mâu thuẫn.
Nếu Đ B < Đ C , hoàn toàn tương tự cũng dẫn đến mâu thuẫn.
Chứng tỏ : Đ B = Đ C => cân đỉnh A (đpcm).
2. Phép chứng minh của G. Julbert và D. Mac. Donnell
Năm 1963, phép chứng minh được công bố trên tạp chí “American Mathematical
Monthey” của Mỹ. Phép chứng minh này giải quyết bài toán khác mà bài toán 1 chỉ là hệ
quả của nó. Đó là bài toán :
“Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF. Chứng minh rằng : Nếu Đ B ≥

Đ C thì BE ≤ CF” (Bài toán 2).
Nào! Các nhà toán học nhỏ hãy giải quyết bài toán 2 để thử sức mình và gửi gấp về TTT2
nhé !
Vấn đề chưa dừng lại đâu ... Các bạn thử trăn trở xem có đề xuất được điều gì mới
không ? Hẹn gặp lại các bạn ở số tạp chí sau.
Nguyễn Minh Hà
(ĐHSP I Hà Nội)